下载文档原格式
3第二章有限差分方法基础解读有限差分方法是数值计算中常用的一种方法，用于求解偏微分方程的数值解。
它的基本思想是将连续的空间或时间域离散化为有限的点，然后用差分近似代替导数，将偏微分方程转化为差分方程，从而得到问题的数值解。
有限差分方法的基础概念有三个：差分节点、差分近似和差分方程。
差分节点是指将连续的自变量区域划分为离散的点，这些点被称为节点。
差分近似是指用函数在差分节点上的函数值来近似代替它们的导数值。
差分方程是指在差分节点上建立的方程，用来表示问题的数值解。
在有限差分方法中，常用的几种差分格式有：向前差分、向后差分和中心差分。
其中，向前差分是将函数在节点$x_i$处的导数近似为$f'(x_i)≈\frac{f(x_i+h)-f(x_i)}{h}$，向后差分是将函数在节点$x_i$处的导数近似为$f'(x_i)≈\frac{f(x_i)-f(x_i-h)}{h}$，中心差分是将函数在节点$x_i$处的导数近似为$f'(x_i)≈\frac{f(x_i+h)-f(x_i-h)}{2h}$。
这些差分格式的选择要根据问题的具体情况和求解的精度要求来确定。
有限差分方法中，差分方程的建立是非常重要的一步。
一般来说，差分方程的建立需要利用边界条件和初始条件。
对于初始条件，通常是指给定问题在初始时刻或初始位置上的条件；而边界条件是指给定问题在边界上的条件。
缺乏良好的边界条件和初始条件会导致差分方程无法建立或无法得到合理的数值解。
因此，在使用有限差分方法求解偏微分方程时，需要仔细考虑问题的边界条件和初始条件，并将其合理地纳入差分方程中。
有限差分方法还包括时间步长和空间步长的选择。
时间步长是指时间域上的离散间隔，空间步长是指空间域上的离散间隔。
时间步长和空间步长的选取要兼顾问题的稳定性和精度要求。
一般来说，时间步长和空间步长越小，计算的精度越高，但计算量也会增加。
因此，在具体应用中，需要根据问题的特点和计算资源的限制来选择合适的步长。
亥姆霍兹方程有限差分法
亥姆霍兹方程是一个描述电磁波的椭圆偏微分方程，以德国物理学家亥姆霍兹的名字命名。
有限差分法是求解亥姆霍兹方程的一种常用数值方法。
有限差分法的基本思想是将求解区域离散为网格，然后使用中心差分格式来逼近微分算子。
这种方法的优势在于其简单性和易于实现，通过适当选择网格分辨率，可以获得足够的精度。
同时，研究者们也在不断探索如何构造高精度、收敛快且针对大波数问题有效的有限差分格式。
然而，有限差分法在求解高波数问题时可能会遇到一些困难，因为Helmholtz方程的解在高波数时会出现严重的震荡，导致数值解的精度随着波数的增加而逐渐变差，即所谓的“污染效应”。
为了解决这个问题，研究者们提出了各种优化差分系数的方法来提高数值精度。
总的来说，有限差分法是一种有效且实用的求解亥姆霍兹方程的方法，但在实际应用中需要根据具体问题的特点和要求进行选择和调整。
有限差分方程有限差分方程（Finite Difference Equation）有限差分方程是数值分析中一种常用的数值解法，用于近似求解微分方程。
它的基本思想是将连续的函数或方程转化为离散的差分形式，通过有限个点上的函数值来逼近微分方程的解。
首先，我们需要定义一个离散的网格。
将自变量的定义域分成有限个小区间，并在每个小区间上选择一个节点。
这些节点上的函数值将用来近似描述整个区域上的函数行为。
然后，利用差分运算来逼近微分运算。
常用的差分运算有一阶前向差分、一阶后向差分和中心差分。
一阶前向差分可以用来近似求解一阶导数。
它的定义为：$$f'(x)≈\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$其中，h为网格的步长，f(x)为在节点x处的函数值。
一阶后向差分也可以用来近似求解一阶导数。
它的定义为：$$f'(x)≈\frac{f(x)-f(x-h)}{h}$$中心差分是一种更准确的差分近似方法，可以用来近似求解一阶导数和二阶导数。
对于一阶导数，中心差分的定义为：$$f'(x)≈\frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}$$对于二阶导数，中心差分的定义为：$$f''(x)≈\frac{f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^2}$$有限差分方程的求解过程需要将微分方程转化为差分形式。
将微分方程中的导数用差分近似代替，并将其转化为一个线性方程组。
然后，通过解这个线性方程组，得到离散网格上的函数值，从而得到近似解。
需要注意的是，有限差分方程的求解结果只是近似解，并不是精确解。
但是在实际应用中，有限差分方程是一种非常有效的数值解法，可以用来求解各种类型的微分方程，例如常微分方程、偏微分方程等。
总之，有限差分方程是一种常用的数值解法，通过将微分方程转化为离散的差分形式，利用离散点上的函数值来近似求解微分方程。
在实际应用中，有限差分方程可以有效地求解各种类型的微分方程，具有广泛的应用价值。
第⼆章有限差分基础第2章有限差分基础（finite difference method ，FDM ）1.1 偏微分⽅程的⼀般形式()()φφφρρφq x x x u t j j j j +Γ=+ （ 2-1 ） 2.1 ⽹格划分⼀般有限差分采⽤结构化⽹格划分。
即节点对应于当地坐标系统的原点。
它的轴同⽹格线⼀致。
即两个同⼀族的⽹格线不相交，且没对⽹格线对应不同的族。
每⼀个节点可⽤唯⼀的⼀个坐标表⽰，如（ξ1, ξ2）。
⽹格线能⽤ξ1＝const, ξ2＝const 表⽰。
1D 2D有限差分法就是要将节点上的偏微分⽅程⽤相邻点上的值表⽰，变成线性代数⽅程式。
i-1ii+1N1 N jj+1 j-1j 11i-1 i i+1为流体⼒学的微分⽅程的数值求解⽅法之代表。
必要条件：连续领域内的分配有限的⽹格领域内的函数分布可⽤⽹格点上的值代表1. 计算分⼦（computational molecule ）5点计算分⼦ 15点计算分⼦ 7点计算分⼦这些节点⼜称为计算分⼦。
⽅程的个数应与未知数相同，即每个节点有⼀个⽅程式。
EWNET N2. T aylor 展开例如：⼀维时间变量φ的理论解为φ(t,x)，它在离散点上的值为投影（projection ）的近似值为：()x i t n ?Λ,φ,n: 时间的step 数i:空间的step 数为了求得此近似解，需对微分⽅程进⾏差分近似。
利⽤T aylor 展开可得到⼏个差分表⽰形式，仅考虑空间依存问题：在?x 很⼩时，位置j ?x 内的物理量φ⽤φj 来表⽰，则位置(j+1)?x 上的值φj+1表⽰为：()+++=+ii i i x x x x 222121φφφφ（ 2-2 ）(j-1)?x 上的值φj+1表⽰为：()++-=-ii i i x x x x 222121φφφφ（ 2-3 ） 2.2 基本差分格式1. ⼀阶导数（first derivative ）的近似()xu orxφρφ（ 2-4 ） i. 向前差分(forward difference ，FDS)利⽤( 1 ) 式，可得到1阶微分的向前差分形式:)(1x O xx j j j ?+?-=??+φφφ（ 2-5 ） ii. 向后差分(backward difference ，BDS)利⽤( 1 ) 式，可得到1阶微分的向后差分形式)(1x O xx j j j ?+?-=??-φφφ（ 2-6 ） iii. 中⼼差分（central difference ，CDS ）(1)-(2) 得1阶微分的2 次精度中⼼差分法：)(2211x O xx j j j ?+?-=??-+φφφ（ 2-7 ） iv. 上风法、迎风法（upwind difference, UDS ）与速度有关的微分()<-->--≈??++--;0if,;0if ,1111u x x u u x x u x u ii i i i i i i φφρφφρφρ（ 2-8 ）2. ⼆阶导数的近似i. 中⼼差分（central difference ，CDS ）利⽤（j ±1/2）?x 的T ayor 展开，可得过且1阶微分的2次精度的向前向后差分形式：11112121---+++--=??--=??i i i i i ii ii i x x x x x x φφφφφφ（ 2-9 ）将上⼆式相减，得2阶微分的差分⽅程式中⼼差分：(?x 相当))(2221122x O xx i i i i ?+?+-=??-+φφφφ（ 2-10 ）其它还有各种形式。
