有限差分法的基本知识.ppt教程文件

应用前景
总结了有限差分方法在科学计算、工程仿真、金融建模等 领域的应用前景，以及在未来的发展趋势和挑战。
展望
技术发展
展望了有限差分方法在未来的技术发展趋势，如高精度、高效率、并 行化等，以及与其他数值方法的结合应用。
应用领域拓展
探讨了有限差分方法在解决复杂问题中的应用潜力，如多物理场耦合 、非线性问题等。
有限差分方法的重要性
有限差分方法是一种通用、有效的数 值计算方法，适用于各种微分方程的 求解，尤其在偏微分方程的数值求解 中应用广泛。
它能够处理复杂的边界条件和初始条 件，提供精确度和稳定性较高的数值 解，是科学研究、工程技术和实际应 用中常用的数值计算工具之一。
有限差分方法的历史与发展
有限差分方法最早可以追溯到19世纪中叶，随着计算机技术的发展，有限差分方 法得到了广泛的应用和发展。有限差分方法的实现有限差分方法的编程实现
编程语言选择
选择适合的编程语言，如Python、C或Matlab，以 便高效地实现有限差分方法。
离散化过程
将连续的问题离散化，将连续的时间和空间变量转换 为离散的数值。
迭代过程
使用迭代法逐步逼近问题的解，每一步使用差分公式 进行计算。
有限差分方法的数值稳定性
数值稳定性定义
数值稳定性是指随着迭代次数的增加，解的 数值误差不会无限增大，而是逐渐收敛到真 实解。
稳定性和差分方案的关系
不同的差分方案对应不同的数值稳定性，需要选择 稳定的差分方案以获得可靠的数值结果。
数值稳定性的判定方法
通过分析差分方案的系数矩阵的特征值来判 断数值稳定性，确保特征值在稳定区域内。
理论完善
展望了有限差分方法的理论研究前景，如数学证明、误差估计、收敛 性分析等。

土
工
数
值
计
算
方
法
法分差限有 讲二第
2.5 基本原理
1)问题的提出 1)问题的提出 2)稳定性和收敛性 2)稳定性和收敛性 3)差分法的求解步骤 3)差分法的求解步骤
土
工
数
值
计
算
方
法
法分差限有 讲二第
2.5 基本原理
3)差分法的求解步骤 3)差分法的求解步骤
①对求解区域进 ①对求解区域进 行网格划分； 行网格划分； ②选择逼近微分 ②选择逼近微分 方程定解问题 方程定解问题 的差分格式； 的差分格式；
¶ 2V c ¶V 2 c -1 ¶V = ( ) + V ¶T ¶ 2 z V ¶z v
1.7
土
工
数
值
计
算
方
法
2.6 例子
法分差限有 讲二第
软粘土地基非线性一维固结分析 软粘土地基非线性一维固结分析
定解条件变为： 定解条件变为： V = 1 ; （1） T v = 0 : （2） Z = 0 : V = b ; （3） Z = 1 :
算
方
法
法分差限有 讲二第
2.1 优点与局限性
不 适 应
规则边界的问题 规则边界的问题
应 适
简便、易编程 简便、易编程 不规则边界的问题 不规则边界的问题
土
工
数
值
计
算
方
法
法分差限有 讲二第
2.2 基本思路
1
3
2
将求解区域 将求解区域 划分成网格 划分成网格
差分方程解 差分方程解 作为微分方 作为微分方 程近似解。 程近似解。

的 m=4，即此表对应差商的精度是四阶的。从这些表可以看出，一般地说，随着
差分阶数的增大和对应差商精度的提高，差分表达式所包含的项数将增多。
表 5-1
j
n0 1 2 34
1 -1
aj 1
2 1 -2 1
3 -1 3 -3 1
4 1 -4 6 -4 1
表 5-3 j
n0 1 2345 aj
1 -3 4 -1 2 2 -5 4 -1 3 -5 18 -24 14 -3 4 3 -14 26 -24 11 -2
依此类推，任何阶差分都可由其低一阶的差分再作一阶差分得到。例如 n 阶前差
分为
∆n y = ∆(∆n−1 y) = ∆[∆(∆n−2 y)]
⋯⋯ = ∆{∆⋯[∆(∆y)]} = ∆{∆⋯[∆( f (x + ∆x) − f (x)]}
n 阶的向后差分、中心差分的型式类似。
（5-6）
函数的差分与自变量的差分之比，即为函数对自变量的差商。如一阶向前差
二阶差商多取中心式，即
∆2 y ∆x 2
=
f (x + ∆x) − 2 f (x) + (∆x) 2
f (x − ∆x) 。
（5-9） （5-10） （后的二阶差商。 以上是一元函数的差分与差商。多元函数 f(x,y,…)的差分与差商也可以类推。
如一阶向前差商为
应地，上式中的 ∆y 、 ∆x 分别称为函数及自变量的差分， dy //#######为函数对 dx
自变量的差商。 在导数的定义中 ∆x 是以任意方式趋近于零的，因而 ∆x 是可正可负的。在差
分方法中， ∆x 总是取某一小的正数。这样一来，与微分对应的差分可以有 3 种
形式： 向前差分 向后差分 中心差分

有限差分法在求解导热微分方程中的应用
1
有限差分方法是一种微分方法,广泛用于计算机求解偏微分方程 。
为求解由偏微分方程定解问题所构造的数学模型，有限差分法 是将定解区域（场区）离散化为网格离散节点的集合。并以各离 散点上函数的差商来近似该点的偏导数，使待求的偏微分方程定 解问题转化为一组相应的差分方程。根据差分方程组解出各离散 点处的待求函数值——离散解。
Q c hc (T Ta )
Qr (T4Ta4)
代 入
C pz T t kz 2 T 2 h c T 2T 4 2 h c T a 2T a 4
上 式Leabharlann 边界条件： x=0m ,x=1m, y=1m ； q=0 w/m2
y=1m
； T=300 K
12
（2）利用matlab中的pdetool工具箱，首先绘出空间区域，并以0.1m为 步长对其进行网格划分。 （3）输入已知的参数并设定边界条件
2
建立控制方程及定解条件
确定节点（区域离散化）
建立节点物理量的代数方程
设立迭代初值
求解代数方程组 否
收敛？ 是
解的分析
改进初场
3
1. 建立控制方程及定解条件
根据实际问题建立偏微分方程，同时给出边界条件。
2. 区域离散化
理论上可以通过任意的网格划分把求解区域划分成许多求解区域，以网格 线的交点作为需要确定的物理量的空间位置。实际应用中根据边界的形状采用 最简单、最有规律，和边界拟合程度最佳的方法来分割。
建立节点物理量的离散方程节点类型内节点边界节点泰勒级数展开法热平衡法泰勒级数展开法热平衡法热平衡法多运用于非均分网格划分下离散方程的建立其物理概念清晰推导过程简洁我们以二维稳态无内热源矩形均分下的温度场为例先用泰勒级数展开法对内节点由ab两个式子即可推出一阶导数和二阶导数的差分一般取中心差分更为精确一阶导数的中心差分

uin1

uin

a
t x
(uin

un i 1
)

ui0 u (xi )
几种差分格式介绍
u a u 0 t x u(x,0) u(x)
FTFS格式（时间向前差分、空间向前差分）
uin1 uin uin1 uin 0
t
x

ui0 u (xi )
uin 1

uin

a
t x
(uin1

uin )

ui0 u (xi )
几种差分格式介绍
FTBS格式（时间向前差分、空间向后差分）
限差分方程的解是收敛T的(i。, n)

lim
x0,t
0
Ti
t
一般情况下，证明收敛性是非常难的，暂不予以证明。
3.稳定性 稳定性讨论的是差分解的误差在计算过程中的发展问题。
在 数值解中，引进误差是不可避免的，电子计算机也有舍入误差， 因此实际算得的有限差分方程的解是近似解。这种误差是要向其 他方向传播的，如果计算中引入的误差在以后逐层计算过程中影 响逐渐消失或者保持有界，则称差分方程是稳定的。否则就是不 稳定的。
Von Neumann稳定性分析方法简介
分析例题
T n1 i
Ti n

t x 2
(Ti
n 1

2Ti n

Ti
n 1
),
S


t x 2
Ti n1

STi n1

(1
2S )Tin

STi
n 1
上式T中i n 近似数值

x
2!
3!
4!
f (x) O(x)
（1-15）
10
第一节 差分原理及逼近误差/逼近误差（2/9）
f (x x) f (x) x f (x) (x)2 f (x) (x)3 f (x) (x)4 f IV (x) O((x)5 ),
2!
3!
4!
f (x) f (x x) f (x) O(x) x
只有方程相容，定解条件也相容，即
lim || R || 0 和 lim || r || 0
x0
x0
t 0
t 0
整个问题才相容。
（2-21）
无条件相容 条件相容 以上3种格式都属于一阶精度、二层、相容、显式格式。
32
第三节 收敛性与稳定性/收敛性（1/6）
t
x
0
(x,0) (x)
这里 (x) 为某已知函数。同样，差分方程也必须有初始条件：
（2-7）
n1 i
n i
n i 1
n i 1
0
t
2x
0 i
(xi )
（2-8）
初始条件是一种定解条件。如果是初边值问题，定解条件中还应有适当的边界条件。差分方程和其定解条件一起， 称为相应微分方程定解问题的差分格式。
用空间中心差商代替空间导数时的误差为 O((x)2 ) ，因而对流方程与对应的差分方程之间也存在一个误差，它是
Rin O(t) O((x)2 ) O(t, (x)2 )
（2-5）
这也可由Taylor展开得到。因为
(xi ,tn t) (xi ,tn ) (xi x,tn ) (xi x,tn )
J2
aj jn
j J1
（1-21）

算
物 理
ui,k1 ui1,k (1 2 )ui,k ui1,k
学 ui,0 (ih)
u0,k g1(k ) ul,k g2 (k )
i=0,1, ,N k=0,1, ,M
.精品课件.
4.2 热传导方程的差分解法
计 显示差分递推公式的稳定性：
算
物 理
ui,k ui',k i,k k i,k
计
算 一维各向同性、均匀介质，且无热源的热传导方程：
物 理 学
u 2u
t x2
0t T 0 xl
为了求解u(x,t)，还必须利用边界条件和初 始条件。
定解条件：边界条件和初始条件。
定解问题：解存在、唯一并且连续依赖初始条件。
.精品课件.
4.2 热传导方程的差分解法
计 对于一维热传导问题（第一类边界条件）
计 同样，在节点（xi,tk）上
算
物
理 学
( x, t )
u xi ,tk u xi ,tk
t xxi
t tk
ui,k 1 ui,k
一阶向前差商O(h)
.精品课件.
4.2 热传导方程的差分解法
计 一维热传导方程可以近似为
算 物 理 学
ui,k 1 ui,k ui1,k 2ui,k ui1,k
理
学
u t0
f1(x, y, z)
u t
t0
f2 (x, y, z)
边界条件：边界受到外界的影响
常见的物理问题可以归结为三大类边界条件
.精品课件.
4.1 有限差分法原理
1 第一类边界条件（狄利克雷Dirichlet）
计
算
u u0(r,t)

1
0
、
倚
南
窗
以
寄
傲
，
审
容
膝
之
易
安
。
46、我们若已接受最坏的，就再没有什么损失。——卡耐基 47、书到用时方恨少、事非经过不知难。——陆游 48、书籍把我们引入最美好的社会，使我们认识各个时代的伟大智者。——史美尔斯 49、熟读唐诗三百首，不会作诗也会吟。——孙洙 50、谁和我一样用功，谁就会和我一样成功。——莫扎特
文 家 。汉 族 ，东 晋 浔阳 柴桑 人 （今 江西 九江 ） 。曾 做过 几 年小 官， 后辞 官 回家 ，从 此 隐居 ，田 园生 活 是陶 渊明 诗 的主 要题 材， 相 关作 品有 《饮 酒 》 、 《 归 园 田 居 》 、 《 桃花 源 记 》 、 《 五 柳先 生 传 》 、 《 归 去来 兮 辞 》 等 。
有限差分法基本原理
6
、
露
凝
无
游
氛
，
天
高
风
景
澈
。
7、翩翩新 来燕，双双入我庐 ，先巢故尚在，相 将还旧居。
8
、
吁
嗟
身
后
名
，于我若 Nhomakorabea浮
烟
。
9、 陶渊 明（ 约 365年 —427年 ），字 元亮， （又 一说名 潜，字 渊明 ）号五 柳先生 ，私 谥“靖 节”， 东晋 末期南 朝宋初 期诗 人、文 学家、 辞赋 家、散

uin n 1 n 1 a n n n ui ui ui 1 ui 1 2 ui 1 2uin uin 1 2h h uin n a n n 1 n n ui ui ui 1 ui 1 2 ui 1 2uin uin 1 或 2h h
n Rj
O t x

2

无条件稳定
2.一维混合问题
u 2u 2 0 t x u x ,0 F x u a, t t u b, t t
0 x b, t 0, 0
对于[a，b]区间的内点，可以构造以上各种格式。 如四点显式
例:驱动腔内的流体流动。
3.网格划分
x h y l xi ih
-----称为步长。
u x, y u i , j
xi , y j i, j
y j jl
4.差分格式 将u在(i,j)附近展成Taylor级数
ui 1, j ui , j ui 1, j ui , j 1 2u 1 3u u h 2 h 2 3 h 3 ... 2 x 3! x x i , j i, j i, j 1 2u 1 3u u h 2 h 2 3 h 3 ... 2 x 3! x x i , j i, j i, j


-----中心差分式
O h 表示具有二阶精度。

2
两Taylor展式相加
2u 1 ui 1, j 2ui , j ui 1, j O h 2 x 2 h2 i, j

i, n
i 1, n
i 1, n 1
i, n 1
i 1, n 1
x
§4.2 导数的差分近似方法
(1) 泰勒级数展开法

一阶偏导数
t
i 1, n 1 i, n 1 i 1, n 1
时间前差
ui ui u ( t ) t t i
xi
…
xI
x
U ( x i , tn ) U
n i
discrete grids
§4.1 引言
(2) 离散化网格
复杂外形网格生成
§4.1 引言
(3) 离散化过程
网格生成
L(u)=0 B(u)=0
( u i , j ,k ) 0
n
( u i , j ,k )
g ( u i , j ,k )
第四章 有限差分法的基本概念
§4.1 §4.2 §4.3 §4.4 §4.5 §4.6

引言 导数的差分近似方法 差分方程 显式和隐式差分格式 差分格式的基本性质 数值耗散与数值色散
§4.1 引言
(1) 离散化概念
f(x)
y f ( x ),
i
x [a , b ]
x
u x
～ ～
ui1 ui x i1 x i
ui ui1 x i x i1
ui1 ui1
i1
向前差分
（前差）
向后差分
（后差）
xi-1
xi
xi+1
x
～x
x i1
中心差分
（中心差）
§4.1 引言
(5) 有限差分法
离散对象： 偏微分方程和定解条件

一阶精度
n
n
n
i 1, n
i, n
i 1, n
i 1, n 1
i, n 1
i 1, n 1
x
§4.2 导数的差分近似方法
(1) 泰勒级数展开法

一阶偏导数
t
i 1, n 1 i, n 1 i 1, n 1
时间前差
ui ui u ( t ) t t i
一阶精度
n
n
n1
( t )
i 1, n
P
i, n
i 1, n
i 1, n 1
i, n 1
i 1, n 1
x
§4.2 导数的差分近似方法
(1) 泰勒级数展开法

一阶偏导数
t
i 1, n 1 i, n 1 i 1, n 1
空间中心差分
ui1 ui1 u 2 ( x ) 2x x i
§4.1 引言
(5) 有限差分法

基本问题：
① ② ③
判断方程的类型，选择合适的差分离散方法； 对解域的选取和网格划分； 方程和定解条件的离散，构造逼近微分方程定解 问题的差分方程； 解的合理性研究。
④
§4.1 引言
(5) 有限差分法

基本问题：
④

解的合理性研究：
解的精度:数值解的误差估计； 解的收敛性及收敛速度:与偏微分方程的一致性； 解的稳定性：对误差传播的敏感程度； 解的结构研究：逼近真实解的形式。
§4.3 差分方程
u t a u x 0, (a 0)
问题：
n
n