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第八讲蒙特卡罗方法蒙特卡罗（Monte Carlo简称MC）方法又称随机抽样法（Random Sampling）、随机模拟（Random Simulation）或统计试验法(Statistic Testing）。
这个方法的起源可以追溯到十七世纪或更早的年代。
Monte Carlo 是摩纳哥（Monaco）的一个著名城市，位于地中海之滨，以旅游赌博闻名。
Von Neumann 等人把计算机随机模拟方法定名为Monte Carlo方法，显然反映了这种方法带有随机的性质。
简单地说，MC方法是一种利用随机统计规律，进行计算和模拟的方法。
它可用于数值计算，也可用于数字仿真。
在数值计算方面，可用于多重积分、线性代数求解、矩阵求逆以及用于方程求解，包括常微分方程、偏微分方程、本征方程、非齐次线性积分方程和非线性方程等。
在数字仿真方面，常用于核系统临界条件模拟、反应堆模拟以及实验核物理、高能物理、统计物理、真空、地震、生物物理和信息物理等领域。
§8.l蒙特卡罗方法的基础知识8.1.1 基本概念为了对MC方法有一点初步的认识，请先看使用MC方法的几个例子。
蒲丰投针问题：蒲丰（Buffon-法国著名数学家）在1777年发现随机投针的概率与无理数π之间的关系．这个问题是说，若在平面上画有距离为a的平行线束，向平面上投掷长为()<的针，试求针与一平行线相交的概率。
l l a这个问题的解法如下：以M表示落下后针的中点，x表M与最近一平行线的距离，ϕ表针与此线的交角，见上图。
可见，02 0≤≤≤≤/,x a ϕπ这两式决定x ϕ平面上一矩形R ；为了使针与一平行线（这线必定是与针中点M 最近的平行线）相交，充分而且必要条件是2ϕ≤sin lx 这个不等式决定R 中一个子集G 。
因此，我们的问题等价于向R 中均匀分布地掷点而求点落于G 中的概率P.根据概率的几何意义，得222sin ()ld l P a a πϕϕππ==⎰此式提供了求π值的一个方法：可以通过投针事件求得针与平行线相交概率P ，求得π值：2/()l Pa π= （8.1）若投掷次数为m ，针与平行线相交的次数为n ，那么/p n m ≈即 2/()lm an π≈于是，可用投针试验来求无理数π的近似值．下表列举了历史上若干学者投针试验计算π值的结果：射击问题（打靶游戏）：设r 表示射击运动员的弹着点到靶心的距离，()g r 表示击中r 处相应的得分数（环数），分布密度函数()f r 表示该运动员的弹着点分布，它反映运动员射击水平。
蒙特卡洛法的基本原理蒙特卡洛法（Monte Carlo method）是一种基于随机抽样的数值计算方法，用于解决难以通过解析方法或传统数学模型求解的问题。
它在物理学、化学、工程学、计算机科学、金融学、生物学等领域都有广泛应用。
本文将介绍蒙特卡洛法的基本原理，包括随机数生成、统计抽样、蒙特卡洛积分、随机漫步等方面。
一、随机数生成随机数是蒙特卡洛法中的基本元素，其质量直接影响着计算结果的准确性。
随机数的生成必须具有一定的随机性和均匀性。
常见的随机数生成方法有：线性同余法、拉斯维加斯法、梅森旋转算法、反序列化等。
梅森旋转算法是一种广泛使用的准随机数生成方法，其随机数序列的周期性长、随机性好，可以满足大多数应用的需要。
二、统计抽样蒙特卡洛法利用抽样的思想，通过对输入参数进行随机取样，来模拟整个系统的行为，并推断出某个问题的答案。
统计抽样是蒙特卡洛方法中最核心的部分，是通过对概率分布进行样本抽取来模拟随机事件的发生，从而得到数值计算的结果。
常用的统计抽样方法有：均匀分布抽样、正态分布抽样、指数分布抽样、泊松分布抽样等。
通过对这些概率分布进行抽样，可以在大量随机取样后得到一个概率分布近似于输入分布的“抽样分布”，进而求出所需的数值计算结果。
三、蒙特卡洛积分蒙特卡洛积分是蒙特卡洛法的重要应用之一。
它利用统计抽样的思想，通过对输入函数进行随机抽样，计算其随机取样后的平均值，来估算积分的值。
蒙特卡洛积分的计算精度与随机取样的数量、抽样分布的质量等因素有关。
蒙特卡洛积分的计算公式如下：$I=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}f(X_{i})\frac{V}{p(X_{i})}$$N$为随机取样的数量，$f(X_{i})$为输入函数在点$X_{i}$的取值，$V$为积分区域的体积，$p(X_{i})$为在点$X_{i}$出现的抽样分布的概率密度函数。
通过大量的样本拟合，可以估算出$I$的值接近于真实积分的值。
