7-10章课时卷

优化方案·课时作业 第7章 直线和圆的方程 高三数学作业33第7章 直线和圆的方程§7.1 直线的方程1．直线x tan π7＋y ＝0的倾斜角是( )A ．－π7 B.π7C.5π7D.6π7解析：选D.k ＝－tan π7＝tan 67π.2．经过点P (1,4)的直线在两坐标轴上的截距都是正值，且截距之和最小，则直线的方程为( )A ．x ＋2y －6＝0B ．2x ＋y －6＝0C ．x －2y ＋7＝0D ．x －2y －7＝0解析：选B.直线过P (1,4)，代入方程后舍去A 、D ，又在两坐标轴上的截距均为正值，故舍去C.3．直线l 经过第二、三、四象限，l 的倾斜角为α，斜率为k ，则( ) A ．k sin α＞0 B ．k cos α＞0 C ．k sin α≤0 D ．k cos α≤0解析：选B.由已知直线l 经过二、三、四象限⇒l 的倾斜角α∈(90°，180°)，斜率k ＜0，所以k cos α＞0.4．(2009年高考安徽卷)直线l 过点(－1,2)且与直线2x －3y ＋4＝0垂直，则l 的方程是( )A ．3x ＋2y －1＝0B ．3x ＋2y ＋7＝0C ．2x －3y ＋5＝0D ．2x －3y ＋8＝0解析：选A.所求直线的斜率为－32.∴y －2＝－32(x ＋1)．5．(2011年山东名校信息优化卷)已知一动直线l 与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积比直线l 在纵、横坐标上的截距之和大1，则这个三角形面积的最小值为( )A ．4B ．2＋ 6C ．4＋3 3D ．5＋2 6解析：选D.设直线l 的方程为x a ＋y b ＝1(a >0，b >0)，则12ab ＝a ＋b ＋1，∵a ＋b ≥2ab ，∴12ab ≥2ab ＋1，即(ab )2－4ab －2≥0，解得ab ≥2＋6， ∴12ab ≥12×(2＋6)2，当a ＝b ＝2＋6时，三角形面积的最小值为5＋2 6. 6．(2011年福州市质检)已知曲线y ＝1x上一点A (1,1)，则该曲线在点A 处的切线方程为___．解析：y ′＝(1x )′＝－1x2，故曲线在点A (1,1)处的切线的斜率为－1，故所求的切线方程为y －1＝－(x －1)，即为x ＋y －2＝0.答案：x ＋y －2＝07．已知{a n }是等差数列，a 1＝15，S 5＝55，则过点P (3，a 2)，Q (4，a 4)的直线的斜率为___．解析：S 5＝a 1＋a 1＋4d2×5＝55⇒d ＝－2，知a 2＝13，a 4＝9，所以过点P (3，a 2)，Q (4，a 4)的直线的斜率为a 4－a 24－3＝9－13＝－4.答案：－48．若三点A (2,2)，B (a,0)，C (0，b )(ab ≠0)共线，则1a ＋1b 的值等于________．解析：A 、B 、C 三点共线，则B 、C 所在直线的方程为x a ＋y b ＝1，故有2a ＋2b ＝1.∴1a ＋1b ＝12.答案：129．△ABC 的三个顶点为A (－3,0)，B (2,1)，C (－2,3)，求： (1)BC 所在直线的方程；(2)BC 边上中线AD 所在直线的方程； (3)BC 边上的垂直平分线DE 的方程．解：(1)因为直线BC 经过B (2,1)和C (－2,3)两点，由两点式得BC 的方程为 y －13－1＝x －2－2－2，即x ＋2y －4＝0. (2)设BC 中点D 的坐标(x ，y )，则 x ＝2－22＝0，y ＝1＋32＝2.BC 边的中线AD 过点A (－3,0)，D (0,2)两点，由截距式得AD 所在直线方程为x －3＋y2＝1，即2x －3y ＋6＝0.(3)BC 的斜率k 1＝－12，则BC 的垂直平分线DE 的斜率k 2＝2，由斜截式得直线DE 的方程为y ＝2x ＋2.10．直线l 过点P (1,4)，分别交x 轴的正方向和y 轴的正方向于A 、B 两点． (1)当|P A |·|PB |最小时，求l 的方程； (2)当|OA |＋|OB |最小时，求l 的方程． 解：设直线l 的斜率为k .依题意，l 的斜率存在，且斜率为负． 则：y －4＝k (x －1) (k <0)．令y ＝0，可得A (1－4k，0)；令x ＝0，可得B (0,4－k )．(1)|P A |·|PB |＝ (4k)2＋16·1＋k 2＝－4k (1＋k 2)＝4[(1－k)＋(－k )]≥8(k <0)．∴当且仅当1k＝k 且k <0即k ＝－1时，|P A |·|PB |取最小值．这时l 的方程为x ＋y －5＝0.(2)|OA |＋|OB |＝(1－4k )＋(4－k )＝5－(k ＋4k )＝5＋(－k ＋4－k)≥5＋4＝9.∴当且仅当－k ＝4－k且k <0，即k ＝－2时，|OA |＋|OB |取最小值． 这时l 的方程为2x ＋y －6＝0.11．(探究选做)已知实数x 、y 满足2x ＋y ＝8，当2≤x ≤3时，求yx的最大值与最小值．解：如图所示，由已知，点P (x ，y )在线段AB 上运动，其中A 、B 两点的坐标分别为A (2,4)、B (3,2)，yx的几何意义是直线OP 的斜率．因为k OA ＝2，k OB ＝23，所以y x 的最小值为23，最大值为2.作业34§7.2 两条直线的位置关系1．(2009年高考上海卷)已知直线l 1：(k －3)x ＋(4－k )y ＋1＝0与l 2：2(k －3)x －2y ＋3＝0平行，则k 的值是( )A ．1或3B ．1或5C ．3或5D ．1或2 解析：选C.∵l 1∥l 2，∴－2(k －3)－2(k －3)(4－k )＝0，(k －3)(5－k )＝0， ∴k ＝3或5.2．过点(1，33)且与直线x －3y ＝0所成角为60°的直线方程为( )A ．x ＋3y －2＝0B ．x ＋3y ＋2＝0C ．x ＝1D ．x ＋3y －2＝0或x ＝1解析：选D.作图可知x ＝1符合条件，又由对称性知应为两条，故应选D.3．(2011年湖南省十二校联考)已知过A (－1，a )、B (a,8)两点的直线与直线2x －y ＋1＝0平行，则a 的值为( )A ．5B ．2C ．－10D ．17解析：选B.k ＝2＝a －8－1－a，∴a ＝2.4．设两直线(m ＋2)x －y －m －2＝0，x ＋y ＝0与x 轴围成三角形，则( ) A ．m ≠－2，m ≠－3 B ．m ≠－2，m ≠－1 C ．m ≠－3，m ≠－1 D ．m ≠－2，m ≠3 解析：选A.两两相交且不可共点 由m ＝－2时均过(0,0)，排除C ；而m ＝－3时有两条平行，排除B ，D.5．(2011年遵义市调研)若P (2，－1)为圆(x －1)2＋y 2＝25的弦AB 的中点，则直线AB 的方程为( )A ．2x ＋y －3＝0B ．x －y －3＝0C ．x ＋y －1＝0D ．2x －y －5＝0 解析：选B.圆心O (1,0)，∴OP ⊥AB .k OP ＝－11＝－1，∴k AB ＝1，过P (2，－1)∴AB ：y －(－1)＝(x －2)，即x －y －3＝0.6．直线2x ＋y ＋2＝0与ax ＋4y －2＝0垂直，则其交点坐标为________．解析：依题意得－a 4＝12，a ＝－2.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＋2＝0，－2x ＋4y －2＝0.得x ＝－1，y ＝0，即两直线的交点坐标是(－1,0)．答案：(－1,0)7．已知点A (1，－1)，点B (3,5)，点P 是直线y ＝x 上的动点，当|P A |＋|PB |的值最小时，点P 的坐标是________．解析：要使|P A |＋|PB |的值最小，P 为AB 与y ＝x 的交点时取得：直线AB ：y ＋15＋1＝x －13－1，∴y ＝3x －4.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x －4，y ＝x .解得P (2，2)．答案：(2,2)8．(2010年高考山东卷)已知圆C 过点(1,0)，且圆心在x 轴的正半轴上．直线l ：y ＝x －1被圆C 所截得的弦长为22，则过圆心且与直线l 垂直的直线的方程为________．解析：设圆心坐标为(x 0,0)(x 0>0)，由于圆过点(1,0)，则半径r ＝|x 0－1|.圆心到直线l 的距离为d ＝|x 0－1|2.由弦长为22可知：(|x 0－1|2)2＝(x 0－1)2－2，整理得(x 0－1)2＝4， ∴ x 0－1＝±2，∴x 0＝3或x 0＝－1(舍去)．因此圆心为(3,0)，由此可求得过圆心且与直线y ＝x －1垂直的直线方程为y ＝－(x －3)，即x ＋y －3＝0.答案：x ＋y －3＝09．已知两直线l 1：x ＋2＝0，l 2：4x ＋3y ＋5＝0及定点A (－1，－2)，求过l 1、l 2的交点且与点A 的距离等于1的直线l 的方程．解：先利用“过l 1、l 2的交点”写出直线系方程，再根据“l 与A 点距离等于1”来确定参数．过l 1、l 2交点的直线系方程是x ＋2＋λ(4x ＋3y ＋5)＝0，λ是参数．化为(1＋4λ)x ＋3λy ＋(2＋5λ)＝0①，由|－1×(1＋4λ)＋(－2)×3λ＋(2＋5λ)|(1＋4λ)2＋(3λ)2＝1，得λ＝0.代入方程①，得x ＋2＝0.因为直线系方程①中不包含l 2，所以应检验l 2是否也符合已知条件．因A (－1，－2)到l 2的距离为|－4－6＋5|42＋32＝1，l 2也符合要求．故直线l 的方程为x ＋2＝0和4x ＋3y ＋5＝0.10．光线沿直线l 1：x －2y ＋5＝0射入，遇直线l ：3x －2y ＋7＝0后反射，求反射光线所在的直线方程．解：由⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋5＝0，3x －2y ＋7＝0.得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2. ∴反射点M 的坐标为(－1,2)．又取直线x －2y ＋5＝0上一点P (－5，0)，设P 关于直线l 的对称点P ′(x 0，y 0)，由PP ′⊥l 可知，k PP ′＝－23＝y 0x 0＋5.而PP ′的中点Q 的坐标为(x 0－52，y 02)，Q 点在l 上，∴3·x 0－52－2·y 02＋7＝0.由⎩⎨⎧y 0x 0＋5＝－23，32(x 0－5)－y 0＋7＝0.得⎩⎨⎧x 0＝－1713，y 0＝－3213.根据直线的两点式方程可得所求反射光线所在直线的方程为29x －2y ＋33＝0.11．(探究选做)若m ，n ，a ，b ∈R 且a ＋2b ＝4，m ＋2n ＋1＝0.求证：(m －a )2＋(n －b )2≥ 5.证明：(m －a )2＋(n －b )2可以视为点A (m ，n )、B (a ，b )之间的距离，而由题设得点A 、B 之间的距离的实质是：直线x ＋2y ＋1＝0上一点到直线x ＋2y ＝4上一点的距离，而两直线是平行直线，故上述距离的最小值就是两平行直线间的距离．设A (m ，n )，B (a ，b )分别为l 1：x ＋2y ＋1＝0，l 2：x ＋2y ＝4上的点．由l 1∥l 2知，l 1，l 2间的距离d ＝|1＋4|12＋22＝ 5. 由两条平行直线上的任意两点的距离不小于两平行直线间的距离，得AB ≥d . 故点A (m ，n )与点B (a ，b )之间的距离不小于5，即(m －a )2＋(n －b )2≥ 5.作业35§7.3 简单的线性规划1．(2010年高考重庆卷)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x －y ≥0，2x －y －2≤0，则z ＝3x －2y 的最大值为( )A ．0B ．2C ．4D ．6解析：选C.作出可行域如图所示，在B (0，－2)点z ＝3x －2y 有最大值，∴z 最大值＝3×0－2×(－2)＝4.2．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0y ≥a0≤x ≤2，表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是( )A ．a <5B ．a ≥7C ．5≤a ＜7D ．a <5或a ≥7解析：选C.由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥00≤x ≤2作出平面区域，要使平面区域为三角形，须使y ＝a 界于y＝5与y ＝7之间，但y ≠7，故5≤a <7.3．(2009年高考陕西卷)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2，目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，则a 的取值范围是( )A ．(－1,2)B ．(－4,2)C ．(－4,0]D ．(－2,4)解析：选B.作出可行域如图所示，直线ax ＋2y ＝z 仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知－1<－a2<2，即－4<a <2.4．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y －13≤02y －x ＋1≥0x ＋y －4≥0，且有无穷多个点(x ，y )使目标函数z ＝x ＋my 取得最小值，则m ＝( )A ．－2B ．－1C ．1D ．4解析：选C.由题意可知，不等式组表示的可行域是由A (1,3)，B (3，1)，C (5，2)组成的三角形及其内部部分．当z ＝x ＋my 与x ＋y －4＝0重合时满足题意，故m ＝1.5．(2010年高考北京卷)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －11≥03x －y ＋3≥05x －3y ＋9≤0，表示的平面区域为D .若指数函数y ＝ax 的图象上存在区域D 上的点，则a 的取值范围是( )A ．(1,3]B ．[2,3]C ．(1,2]D ．[3，＋∞)解析：选A.先画出可行域，如图，y ＝ax 必须过A 点及图中阴影部分．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －11＝0，3x －y ＋3＝0，得交点A (2,9)． ∴9＝a 2，∴a ＝3.∵a >1，∴1<a ≤3，故选A.6．(2010年高考重庆卷)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，x －y ＋1≥0，x ＋y －3≤0，则z ＝2x ＋y 的最大值为________．解析：画出可行域，如图，A (－1,0)，B (3,0)，C (1,2)，由可行域可知z ＝2x ＋y 过点B (3,0)时，z 有最大值z max ＝6.答案：67．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3≤0x ＋3y －3≥0.y －1≤0当目标函数z＝x ＋y 取得最大值时，其最优解为________．解析：画出x 、y 满足的可行域(如图中阴影部分所示)可知，当平移直线x ＋y ＝0至过点A (3,0)时z 取得最大值，故其最优解为(3,0)．答案：(3,0)8．(2011年湖南十二校联考)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧|x |－2≤0y －3≤03x －2y ≤2所表示的平面区域为S ，若A 、B 为S 内的任意两点，则|AB |的最大值为________．解析： 原不等式组可以化为⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x ≤2y ≤3y ≥32x －1，则其表示的平面区域如图所示．当A 、B 位于图中所示的位置时|AB |取得最大值，即|AB |＝65.答案：659．已知D 是由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ≥0，x ＋3y ≥0.所确定的平面区域，试求圆x 2＋y 2＝4在区域D内的弧长．解： 如图阴影部分表示⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ≥0，x ＋3y ≥0.确定的平面区域，所以劣弧AB 的弧长即为所求．∵k OB ＝－13，k OA ＝12，∴tan ∠BOA ＝12－(－13)1＋12×(－13)＝1，∴∠BOA ＝π4.∴劣弧AB 的长度为2×π4＝π2.10．某公司仓库A 存有货物12吨，仓库B 存有货物8吨，现按7吨、8吨和5吨把货物分别调运给甲、乙、丙三个商店．从仓库A 运货物到商店甲、乙、丙，每吨货物的运费分别为8元、6元、9元；从仓库B 运货物到商店甲、乙、丙，每吨货物的运费分别为3元、4元、5元．问应如何安排调运方案，才能使得从两个仓库运货物到三个商店的总运费最少？解：设仓库A 则仓库A 运给丙商店的货物为(12－x －y )吨，从而仓库B 运给甲、乙、丙商店的货物分别为(7－x )吨、(8－y )吨、[5－(12－x －y )]＝(x ＋y －7)吨，于是总运费为z ＝8x ＋6y ＋9(12－x －y )＋3(7－x )＋4(8－y )＋5(x ＋y －7)＝x －2y ＋126. ∴线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧12－x －y ≥0，7－x ≥0，8－y ≥0，x ＋y －7≥0，x ≥0，y ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤12，0≤x ≤7，0≤y ≤8，x ＋y ≥7.目标函数为z ＝x －2y ＋126.作出上述不等式组表示的平面区域，即可行域，如图所示作出直线l ：x －2y ＝0，把直线l 平行移动，显然当直线l 移动到过点(0,8)时，在可行域内z ＝x －2y ＋126取得最小值z min ＝0－2×8＋126＝110，则x ＝0，y ＝8时总运费最少．安排的调运方案如下：仓库A 运给甲、乙、丙商店的货物分别为0吨、8吨、4吨，仓库B 运给甲、乙、丙商店的货物分别为7吨、0吨、1吨，此时可使得从两个仓库运货物到三个商店的总运费最少．11．(探究选做)某人有楼房一幢，室内面积共计180 m 2，拟分隔成两类房间作为旅游客房．大房间每间面积18 m 2，可住游客5名，每名游客每天住宿费40元；小房间每间面积15 m 2，可以住游客3名，每名游客每天住宿费为50元；装修大房间每间需要1000元，装修小房间每间需600元．如果他只能筹款8000元用于装修，且游客能住满客房，他隔出大房间和小房间各多少间，能获得最大收益？解：设隔出大房间x 间，小房间y 间时收益为z 元，则x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧18x ＋15y ≤1801000x ＋600y ≤8000x ，y ∈Zx ≥0y ≥0，且目标函数z ＝200x ＋150y .所以⎩⎪⎨⎪⎧6x ＋5y ≤605x ＋3y ≤40x ，y ∈Zx ≥0y ≥0.可行域为如图阴影(含边界)中的整点．作直线l ：200x ＋150y ＝0，即直线4x ＋3y ＝0. 把直线l 向右上方平移至l 1的位置时，直线经过可行域上的一点B ，且与原点距离最大．此时，z ＝200x ＋150y 取最大值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧6x ＋5y ＝605x ＋3y ＝40，解得点B 的坐标为(207，607)．由于点B 的坐标不是整数，而最优解(x ，y )中x 、y 必须都是整数，所以，可行域内点B (207，607)不是最优解．可以验证，使z ＝200x ＋150y 取得最大值的整点是(0,12)和(3,8)，此时z 取得最大值1800元．所以，隔出小房间12间，或大房间3间、小房间8间，可以获得最大收益．作业36§7.4 曲线与方程1．曲线y ＝14x 2与x 2＋y 2＝5的交点是( )A ．(2,1)B ．(±2,1)C ．(2,1)或(25，5)D ．(±2,1)或(±22，5)解析：选B.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝14x 2x 2＋y 2＝5⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1. 2．方程y ＝1－x 2表示的图形是( )A ．抛物线B ．圆C ．抛物线的一部分D ．半圆解析：选D.原方程可化为x 2＋y 2＝1(y ≥0，－1≤x ≤1)，它表示的图形为半圆，故选D.3．长为3的线段AB 的端点A 、B 分别在x 轴，y 轴上移动，AC →＝2CB →，则点C 的轨迹是( )A ．线段B ．圆C ．椭圆D ．双曲线 解析：选C.设C (x ，y )，A (a,0)，B (0，b )， 则a 2＋b 2＝9，① 又AC →＝2CB →，所以(x －a ，y )＝2(－x ，b －y )，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3x ，b ＝32y ，代入①式整理可得x 2＋y 24＝1. 4．方程|y |－1＝1－(x －1)2表示的曲线是( ) A ．抛物线 B ．一个圆 C ．两个圆 D ．两个半圆 解析：选D.∵1－(x －1)2＝|y |－1≥0， ∴y ≥1或y ≤－1.∴(x －1)2＋(|y |－1)2＝1.即(x －1)2＋(y －1)2＝1(y ≥1)或(x －1)2＋(y ＋1)2＝1(y ≤－1)，∴是两个半圆．故选D. 5．(2010年高考重庆卷)到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是( )A ．直线B ．椭圆C ．抛物线D ．双曲线解析：选D.在边长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，DC 与A 1D 1是两条相互垂直的异面直线，平面ABCD 过直线DC 且平行于A 1D 1，以D 为原点，分别以DA 、DC 为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，设点P (x ，y )在平面ABCD 内且到A 1D 1与DC 之间的距离相等，∴|x |＝y 2＋a 2，∴x 2－y 2＝a 2.6．若曲线y 2－xy ＋2x ＋k ＝0通过点(a ，－2a )(a ∈R )，则k 的取值范围是________． 解析：把点(a ，－2a )代入方程得6a 2＋2a ＋k ＝0， ∴k ＝－6a 2－2a＝－6(a 2＋13a ＋136)＋16＝－6(a ＋16)2＋16≤16.∴k ∈(－∞，16]．答案：(－∞，16]7．已知OP →＝(2＋2cos α，2＋2sin α)，α∈R ，O 为坐标原点，向量OQ →满足OP →＋OQ →＝0，则动点Q 的轨迹方程是________．解析：设Q (x ，y )， 由OP →＋OQ →＝(2＋2cos α＋x,2＋2sin α＋y )＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2－2cos α，y ＝－2－2sin α， ∴(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝4. 答案：(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝48．过点P (2,4)作两条互相垂直的直线l 1、l 2，若l 1交x 轴于A 点，l 2交y 轴于B 点，则线段AB 的中点M 的轨迹方程是________．解析： 设点M 的坐标为(x ，y )，由M 是AB 的中点得A (2x,0)，B (0，2y )．如图，连结PM ，由l 1与l 2垂直得，∠APB ＝90°， ∴|AB |＝2|PM |， 即(2x )2＋(2y )2＝2(x －2)2＋(y －4)2， 化简得x ＋2y －5＝0. 答案：x ＋2y －5＝09．已知点P 是圆x 2＋y 2＝4上一个动点，定点Q 的坐标为(4,0)．求线段PQ 的中点的轨迹方程．解：设线段PQ 的中点坐标为M (x ，y )，由Q (4,0)可得点P (2x －4,2y )，代入圆的方程x 2＋y 2＝4可得(2x －4)2＋(2y )2＝4，整理可得所求轨迹方程为(x －2)2＋y 2＝1.10．已知点G 是△ABC 的重心，A (0，－1)，B (0,1)，在x 轴上有一点M ，满足|MA →|＝|MC →|，GM →＝λAB →(λ∈R )，求点C 的轨迹方程．解：设C (x ，y )为轨迹上任一点，则G (x 3，y3)，∵GM →＝λAB →(λ∈R )，∴GM ∥AB ，又M 是x 轴上一点，则M (x3，0)，又|MA →|＝|MC →|，∴ (x3)2＋(0＋1)2＝ (x3－x )2＋y 2，整理得x 23＋y 2＝1(x ≠0)，即为点C 的轨迹方程．11．(探究选做)已知定点A (2,0)，点P 在曲线x 2＋y 2＝1上运动，∠AOP 的平分线交P A 于点Q ，其中O 是坐标原点，求点Q 的轨迹方程．解：设Q (x ，y )，P (x 1，y 1)，因为OQ 是∠AOP 的平分线，所以由平面几何知识可得PQ →＝|OP ||OA |·QA →，即PQ →＝12QA →，AP →＝－3PQ →，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2＋(－3)x 1－3，y 1＝0＋(－3)y1－3，即⎩⎨⎧x 1＝3x2－1，y 1＝3y2.代入x 21＋y 21＝1并整理可得(x －23)2＋y 2＝49，即为所求轨迹方程．作业37§7.5 圆及直线与圆的位置关系1．(2009年高考重庆卷)直线y ＝x ＋1与圆x 2＋y 2＝1的位置关系是( ) A ．相切 B ．相交但直线不过圆心 C ．直线过圆心 D ．相离解析：选B.圆心到直线的距离d ＝12＝22<1，∵d <r 且d ≠0，∴直线与圆相交但不过圆心．2．(2011年潍坊模拟)若PQ 是圆x 2＋y 2＝9的弦，PQ 的中点A 的坐标是(1,2)，则直线PQ 的方程是( )A ．x ＋2y －3＝0B ．x ＋2y －5＝0C ．2x －y ＋4＝0D ．2x －y ＝0解析：选B.结合圆的几何性质易知直线PQ 过点A (1,2)，且和直线OA 垂直，故其方程为：y －2＝－12(x －1)，整理得x ＋2y －5＝0.3．(2010年高考广东卷)若圆心在x 轴上、半径为5的圆O 位于y 轴左侧，且与直线x ＋2y ＝0相切，则圆O 的方程是( )A ．(x －5)2＋y 2＝5B ．(x ＋5)2＋y 2＝5C ．(x －5)2＋y 2＝5D ．(x ＋5)2＋y 2＝5解析：选D.设圆心为(a,0)(a <0)．因为直线x ＋2y ＝0与圆相切，所以|a ＋2×0|12＋22＝5，即|a |5＝5，解得a ＝－5.所以圆O 的方程为(x ＋5)2＋y 2＝5.4．(2011年东北三校质检)与圆x 2＋(y －2)2＝1相切，且在两坐标轴上截距相等的直线共有( )A ．2条B ．3条C ．4条D ．6条解析：选C.由题意可知，过原点且与圆相切的直线共有2条，此时与两坐标轴的截距都是0；当圆的切线与两坐标轴截距相等且不为零时，此切线过一、二、四象限，易知满足题意的切线有2条，综上共计4条．5．(2010年高考江西卷)直线y ＝kx ＋3与圆(x －2)2＋(y －3)2＝4相交于M ，N 两点，若|MN |≥23，则k 的取值范围是( )A ．[－34，0]B ．[－33，33]C ．[－3， 3 ]D ．[－23，0]解析：选B.如图，若|MN |＝23，则由圆与直线的位置关系可知圆心到直线的距离满足d 2＝22－(3)2＝1.∵直线方程为y ＝kx ＋3，∴d ＝|k ·2－3＋3|1＋k 2＝1，解得k ＝±33.若|MN |≥23，则－33≤k ≤33.6．(2010年高考课标全国卷)圆心在原点且与直线x ＋y －2＝0相切的圆的方程为_______．解析：由题意知，可设圆的方程为x 2＋y 2＝r 2，则r ＝|－2|2＝2，∴圆的方程为x 2＋y 2＝2.答案：x 2＋y 2＝27．(2011年浙江金华十校质检)圆C 的半径为1，圆心在第一象限，与y 轴相切，与x 轴相交于点A 、B ，若|AB |＝3，则该圆的标准方程是________．解析：根据|AB |＝3，可得圆心到x 轴的距离为12，故圆心坐标为(1，12)，故所求圆的标准方程为(x －1)2＋(y －12)2＝1.答案：(x －1)2＋(y －12)2＝18．(2011年成都市摸底考试)已知曲线C ：x 2＋y 2＋2x ＋Ey ＋F ＝0(E 、F ∈R )，有以下命题：①E ＝－4，F ＝4是曲线C 表示圆的充分非必要条件；②若曲线C 与x 轴交于两个不同点A (x 1，0)，B (x 2,0)，且x 1、x 2∈[－2，1)，则0≤F ≤1；③若曲线C 与x 轴交于两个不同点A (x 1,0)，B (x 2,0)，且x 1、x 2∈[－2,1)，O 为坐标原点，则|OA →－OB →|的最大值为2；④若E ＝2F ，则曲线C 表示圆，且该圆面积的最大值为3π2.其中所有正确命题的序号是________．解析：①当E ＝－4，F ＝4时，则22＋(－4)2－4×4＝4>0，方程表示圆，反之不一定有E ＝－4，F ＝4.①正确．②若圆C 与x 轴交于两点时，有x 2＋2x ＋F ＝0，x 1＋x 2＝－2，圆心在x ＝－1上，x 1，x 2∈[－2,1)，|AB |≤2 且当F ＝1时，方程x 2＋2x ＋1＝0时，x 1＝x 2＝－1不适合题意．②错．③由②可知当圆过A (－2,0)，B (0,0)时，|OA →－OB →|＝2为最大．③正确． ④若E ＝2F ，曲线C 为x 2＋y 2＋2x ＋2Fy ＋F ＝0，4＋4F 2－4F ＝4×(F －12)2＋3>0，∴r ＝12 4×(F －12)2＋3，当F ＝12时，r min ＝32，圆面积有最小值34π.④错．答案：①③9．设P (x 0，y 0)是圆x 2＋y 2＝r 2外的一点，过P 作圆的切线，试求过两切点的切点弦所在的直线方程．解：设两切点分别为P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)则有x 21＋y 21＝r 2，x 22＋y 22＝r 2.OP 1→＝(x 1，y 1)，P 1P →＝(x 0－x 1，y 0－y 1)， ∴OP 1→·P 1P →＝0，∴x 1(x 0－x 1)＋y 1·(y 0－y 1)＝0.即x 1x 0－x 21＋y 1y 0－y 21＝0，∴x 1x 0＋y 1y 0＝r 2.同理由OP 2→·P 2P →＝0得x 2x 0＋y 2y 0＝r 2.∵(x 1，y 1)及(x 2，y 2)是直线x 0x ＋y 0y ＝r 2上的两点． ∴所求方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.10．已知圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝2sin θ(0≤θ＜2π)，(1)求其普通方程，指出圆心和半径．(2)设θ＝43π时，对应的点P ，求直线OP 的倾斜角．(3)若此圆经过点(m,1)，求m 的值．解：(1)⎩⎨⎧x2＝cos θy2＝sin θ∵sin 2θ＋cos 2θ＝1∴(x 2)2＋(y2)2＝1，∴x 2＋y 2＝4. 圆心为(0,0)，r ＝2.(2)当θ＝43π时，x ＝2cos 43π＝－1，y ＝2sin 43π＝－ 3.对应的P 点为(－1，－3)，∴k OP ＝－3－1＝ 3.倾斜角为α，tan α＝3，∴α＝60°.(3)法一：依题意得m ＝2cos θ，1＝2sin θ，∴sin θ＝12，又0≤θ＜2π，∴cos θ＝±32，m ＝±3.法二：x 2＋y 2＝4∴m 2＋1＝4 ∴m ＝±3.11．(探究选做)已知实数x 、y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0.(1)求yx的最大值和最小值；(2)求y －x 的最值．解：(1)原方程化为(x －2)2＋y 2＝3，表示以点(2,0)为圆心，半径为3的圆．设yx＝k ，即y＝kx ，当直线y ＝kx 与圆相切时，斜率k 取最大值和最小值，此时有|2k －0|k 2＋1＝3，解得k ＝±3. 故yx的最大值为3，最小值为－ 3. (2)设y －x ＝b ，即y ＝x ＋b ，当y ＝x ＋b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值和最小值，此时|2－0＋b |2＝3，即b ＝－2±6.故(y －x )max ＝－2＋6，(y －x )min ＝－2－ 6.优化方案·课时作业 第8章 圆锥曲线方程 高三数学作业38第8章 圆锥曲线方程§8.1 椭 圆1．(2009年高考陕西卷)“m >n >0”是“方程mx 2＋ny 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C.mx 2＋ny 2＝1可化为x 21m ＋y 21n＝1.因为m >n >0，所以0<1m <1n ，因此椭圆焦点在y轴上，反之亦成立．2．(2011年浙江五校联考)椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值为( )A.14B.12 C ．2 D ．4解析：选A.将原式变形为x 2＋y21m＝1，由题意知a 2＝1m ，b 2＝1，∴a ＝ 1m ，b ＝1，∴ 1m ＝2，∴m ＝14，故选A.3．(2010年高考四川卷)椭圆x 2a 2＋y2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，其右准线与x 轴的交点为A ，在椭圆上存在点P 满足线段AP 的垂直平分线过点F ，则椭圆离心率的取值范围是( )A ．(0，22]B ．(0，12]C ．[2－1,1)D ．[12，1)解析：选D.设P (x 0，y 0)，则|PF |＝a －ex 0.又点F 在AP 的垂直平分线上，∴a －ex 0＝a 2c－c ，因此x 0＝a (ac －a 2＋c 2)c 2.又－a ≤x 0<a ，∴－a ≤a (ac －a 2＋c 2)c 2<a .∴－1≤e 2＋e －1e 2<1.又0<e <1，∴12≤e <1.4．(2011年山东信息化考试)已知椭圆x 24＋y 23＝1的长轴的左、右端点分别为A 、B ，在椭圆上有一个异于点A 、B 的动点P ，若直线P A 的斜率k P A ＝12，则直线PB 的斜率k PB 为( )A.34B.32C ．－34D ．－32解析：选D.设点P (x 1，y 1)(x 1≠±2)，则k P A ＝y 1x 1＋2，k PB ＝y 1x 1－2，∵k P A ·k PB ＝y 1x 1＋2·y 1x 1－2＝y 21x 21－4＝3(1－x 214)x 21－4＝－34，∴k PB ＝－34k P A ＝－34×2＝－32，故应选D.5．已知椭圆E ：x 2a 2＋y2b2＝1(a >b >0)，以其左焦点F 1(－c ，0)为圆心，以a －c 为半径作圆，过上顶点B 2(0，b )作圆F 1的两条切线，设切点分别为M ，N .若过两个切点M ，N 的直线恰好经过下顶点B 1(0，－b )，则椭圆E 的离心率为( )A.2－1B.3－1C.5－2D.7－3解析：选B.由题意得，圆F 1: (x ＋c )2＋y 2＝(a －c )2.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则切线B 2M ：(x 1＋c )(x ＋c )＋y 1y ＝(a －c )2，切线B 2N ：(x 2＋c )(x ＋c )＋y 2y ＝(a －c )2.又两条切线都过点B 2(0，b )，所以c (x 1＋c )＋y 1b ＝(a －c )2，c (x 2＋c )＋y 2b ＝(a －c )2.所以直线c (x ＋c )＋yb ＝(a －c )2就是过点M 、N 的直线．又直线MN 过点B 1(0，－b )，代入化简得c 2－b 2＝(a －c )2，所以e ＝3－1.6．已知A (－1,0)，B (1,0)，点C (x ，y )满足：(x －1)2＋y 2|x －4|＝12，则|AC |＋|BC |＝________.解析：(x －1)2＋y 2|x －4|＝12⇒x 24＋y 23＝1，∴A 、B 为椭圆x 24＋y 23＝1的两焦点，故|AC |＋|BC |＝4. 答案：47．(2011年潍坊调研)若椭圆x 24＋y 2m ＝1的离心率等于32，则m ＝________.解析：解答本题要注意由于椭圆焦点位置不确定，故应分类解答．由条件当m <4时，由题意得：32＝ 1－m 4⇒m ＝1，当m >4时，有32＝ 1－4m ⇒m ＝16，故m 的取值为1或16.答案：1或168．(2011年上海市质检)已知F 1、F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且PF 1→⊥PF 2→.若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________.解析：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧12|PF 1||PF 2|＝9， ①|PF 1|2＋|PF 2|2＝(2c )2， ②|PF 1|＋|PF 2|＝2a ， ③解得a 2－c 2＝9，即b 2＝9，所以b ＝3.答案：39．(2010年高考辽宁卷)设F 1，F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左，右焦点，过F 2的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为60°，F 1到直线l 的距离为2 3.(1)求椭圆C 的焦距；(2)如果AF 2→＝2F 2B →，求椭圆C 的方程．解：(1)设椭圆C 的焦距为2c ，由已知可得F 1到直线l 的距离3c ＝23， 故c ＝2.所以椭圆C 的焦距为4.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意知y 1<0，y 2>0， 直线l 的方程为y ＝3(x －2)．联立 ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3(x －2)x 2a 2＋y 2b 2＝1，得(3a 2＋b 2)y 2＋43b 2y －3b 4＝0.解得y 1＝－3b 2(2＋2a )3a 2＋b 2，y 2＝－3b 2(2－2a )3a 2＋b 2.因为AF 2→＝2F 2B →， 所以－y 1＝2y 2.即3b 2(2＋2a )3a 2＋b 2＝2·－3b 2(2－2a )3a 2＋b 2，得a ＝3.而a 2－b 2＝4， 所以b ＝ 5.故椭圆C 的方程为x 29＋y 25＝1.10．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >1)右焦点为F ，它与直线l ：y ＝k (x ＋1)相交于P 、Q 两点，l 与x 轴的交点M 到椭圆左准线的距离为d ，若椭圆的焦距2c 是b 与d ＋|MF |的等差中项．(1)求椭圆离心率e ；(2)设点N 与点M 关于原点O 对称，若以N 为圆心，b 为半径的圆与l 相切，且OP →·OQ →＝－53，求椭圆C 的方程． 解：(1)由4c ＝b ＋d ＋|MF |＝b ＋c ＋a 2c得b 2＋bc －2c 2＝0，即b ＝c ，所以e ＝22.(2)设椭圆方程为x 22b 2＋y 2b2＝1，将y ＝k (x ＋1)代入椭圆方程可得：(1＋2k 2)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2b 2＝0，由于Δ>0则有b 2>k 21＋2k 2，并且x 1＋x 2＝－4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－2b 21＋2k 2，OP →·OQ →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋k 2(x 1＋1)(x 2＋1)＝3k 2－2b 2(1＋k 2)1＋2k 2＝－53，而|2k |1＋k 2＝b 代入上式得k 2＝1，所以b 2＝2，a 2＝2b 2＝4.所求椭圆方程为x 24＋y 22＝1.11．(探究选做)已知椭圆C 1：x 2a 2＋y2b2＝1(a >b >0) 的左、右焦点分别为F 1、F 2，其中F 2也是抛物线C 2：y 2＝4x 的焦点，M 是C 1与C 2在第一象限的交点，且|MF 2|＝53.(1)求椭圆C 1的方程；(2)已知菱形ABCD 的顶点A 、C 在椭圆C 1上，顶点B 、D 在直线7x －7y ＋1＝0上，求直线AC 的方程．解：设M (x 1，y 1)，∵F 2(1,0)，|MF 2|＝53.由抛物线定义，x 1＋1＝53，∴x 1＝23，∵y 21＝4x 1，∴y 1＝263.∴M (23，263)，∵M 在C 1上，∴49a 2＋83b2＝1，又b 2＝a 2－1∴9a 4－37a 2＋4＝0，∴a 2＝4或a 2＝19<c 2舍去．∴a 2＝4，b 2＝3.∴椭圆C 1的方程为x 24＋y 23＝1.(2)∵直线BD 的方程为7x －7y ＋1＝0，四边形ABCD 为菱形， ∴AC ⊥BD ，设直线AC 的方程为y ＝－x ＋m ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋m x 24＋y 23＝1⇒7x 2－8mx ＋4m 2－12＝0， ∵A 、C 在椭圆C 1上， ∴Δ>0，∴m 2<7， ∴－7<m <7.设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8m7.y 1＋y 2＝(－x 1＋m )＋(－x 2＋m )＝－(x 1＋x 2)＋2m＝－8m 7＋2m ＝6m 7.∴AC 的中点坐标为(4m 7，3m 7)，由ABCD 为菱形可知，点(4m 7，3m7)在直线BD ：7x －7y＋1＝0上，∴7·4m 7－7·3m7＋1＝0，m ＝－1.∵m ＝－1∈(－7，7)，∴直线AC 的方程为y ＝－x －1， 即x ＋y ＋1＝0.作业39§8.2 双曲线1．(2009年高考海南卷)双曲线x 24－y 212＝1的焦点到渐近线的距离为( )A ．23B ．2 C. 3 D ．1解析：选A.∵双曲线x 24－y 212＝1的一个焦点为F (4,0)，其一条渐近线方程为y ＝3x ，∴点F 到y －3x ＝0的距离为432＝2 3.2．(2009年高考全国卷Ⅰ)设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的渐近线与抛物线y ＝x 2＋1相切，则该双曲线的离心率等于( )A. 3 B ．2 C. 5 D. 6解析：选C.双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±bax ，因为y ＝x 2＋1与渐近线相切，故x 2＋1±b a x ＝0只有一个实根，∴b2a 2－4＝0，∴c 2－a 2a 2＝4，∴c2a2＝5，∴e ＝ 5. 3．(2011年潍坊质检)若k ∈R ，则“k >3”是方程x 2k －3－y 2k ＋3＝1表示双曲线的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.若方程x 2k －3－y 2k ＋3＝1为双曲线，则k >3或k <－3，因此选A.4．(2010年高考大纲全国卷Ⅰ)已知F 1、F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝1的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1|·|PF 2|＝( )A ．2B ．4C ．6D ．8 解析：选B.如图，设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n . 则⎩⎨⎧|m －n |＝2，(22)2＝m 2＋n 2－2mn cos ∠F 1PF 2.∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2mn ＋n 2＝4，m 2－mn ＋n 2＝8. ∴mn ＝4. ∴|PF 1|·|PF 2|＝4.5．(2011年山东日照调研)设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，且它的一条准线与抛物线y 2＝4x 的准线重合，则此双曲线的方程为( )A.x 25－y 26＝1B.x 27－y 25＝1 C.x 23－y 26＝1 D.x 24－y 23＝1 解析：选C.抛物线y 2＝4x 的准线方程为x ＝－1，由题意，得：⎩⎪⎨⎪⎧－a 2c＝－1，ca ＝3，c 2＝a 2＋b 2.解得，a 2＝3，b 2＝6，故所求双曲线的方程为x 23－y 26＝1.6．如图，椭圆①，②与双曲线③，④的离心率分别为e 1，e 2，e 3，e 4，其大小关系为________．解析：椭圆①，②的b 值相同，椭圆①的a 值小于椭圆②的a 值，由e ＝c a ＝ 1－(ba)2，可得e 1<e 2<1.同理可得1<e 4<e 3，故e 1<e 2<e 4<e 3.答案：e 1<e 2<e 4<e 37．(2011年山东名校联考优化卷)已知点F 、A 分别为双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点、右顶点，点B (0，－b )满足FB →·AB →＝0，则双曲线的离心率为________．解析：∵FB →·AB →＝0，∴FB ⊥AB ，则Rt △AOB ∽Rt △BOF ， ∴|OB ||OA |＝|OF ||OB |⇒b a ＝c b ⇒b 2＝ac ⇒c 2－a 2＝ac ⇒e 2－e －1＝0， ∴e ＝1＋52.答案：1＋528．(2010年高考福建卷)若双曲线x 24－y 2b 2＝1(b >0)的渐近线方程为y ＝±12x ，则b 等于______．解析：双曲线x 24－y 2b 2＝1的渐近线方程为x 24－y 2b 2＝0，即y ＝±b2x (b >0)，∴b ＝1.答案：19．由双曲线x 29－y 24＝1上的一点P 与左、右两焦点F 1、F 2构成△PF 1F 2，求△PF 1F 2的内切圆与边F 1F 2的切点坐标N .解：由双曲线方程知a ＝3，b ＝2，c ＝13.当点P 在双曲线的右支上时，如右图，根据从圆外一点引圆的两条切线长相等及双曲线定义可得|PF 1|－|PF 2|＝2a . 由于|NF 1|－|NF 2|＝|PF 1|－|PF 2|＝2a .① |NF 1|＋|NF 2|＝2c .②由①②得|NF 1|＝2a ＋2c2＝a ＋c ，∴|ON |＝|NF 1|－|OF 1|＝a ＋c －c ＝a ＝3. 故切点N 的坐标为(3,0)．根据对称性，当P 在双曲线左支上时，切点N 的坐标为(－3,0)． 10．求满足下列条件的双曲线方程：(1)与双曲线x 216－y 24＝1有公共焦点，且过点(32，2)；(2)渐近线方程为2x ±3y ＝0，且焦距为213.解：(1)设双曲线方程为x 216－k －y 24＋k＝1(－4<k <16)，将点(32，2)代入得k ＝4，所以双曲线方程为x 212－y 28＝1.(2)设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x2b2＝1(a >0，b >0)．∵c 2＝a 2＋b 2， ∴13＝a 2＋b 2，由渐近线斜率得b a ＝23或a b ＝23，故⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝23a 2＋b 2＝13或⎩⎪⎨⎪⎧a b ＝23a 2＋b 2＝13，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝9b 2＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4b 2＝9.∴所求双曲线方程为x 29－y 24＝1或y 24－x 29＝1.11．(探究选做)已知双曲线C ：x24－y 2＝1，P 为C 上的任意一点．(1)求证：点P 到双曲线C 的两条渐近线的距离的乘积是一个常数； (2)设点A 的坐标为(3,0)，求|P A |的最小值．解：(1)证明：设P (x 1，y 1)是双曲线C 上任意一点，该双曲线的两条渐近线方程分别是x －2y ＝0和x ＋2y ＝0，点P (x 1，y 1)到两条渐近线的距离分别是|x 1－2y 1|5和|x 1＋2y 1|5，它们的乘积是|x 1－2y 1|5·|x 1＋2y 1|5＝|x 21－4y 21|5＝45.故点P 到双曲线C 的两条渐近线的距离的乘积是一个常数． (2)设点P 的坐标为(x ，y )，则|P A |2＝(x －3)2＋y 2＝(x －3)2＋x 24－1＝54(x －125)2＋45， ∵|x |≥2，∴当x ＝125时，|P A |2取到最小值45，即|P A |的最小值为255.作业40§8.3 抛物线1．(2010年高考陕西卷)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线与圆x 2＋y 2－6x －7＝0相切，则p 的值为( )A.12 B ．1 C ．2 D ．4解析：选C.由抛物线的标准方程得准线方程为x ＝－p2.由x 2＋y 2－6x －7＝0得(x －3)2＋y 2＝16.∵准线与圆相切，∴3＋p2＝4，∴p ＝2.2．(2010年高考湖南卷)设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是( )A ．4B ．6C ．8D ．12解析：选B.如图所示，抛物线的焦点为F (2,0)，准线方程为x ＝－2，由抛物线的定义知：|PF |＝|PE |＝4＋2＝6.3．(2011年四川成都二诊)设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，过点F 作直线l 交抛物线于A 、B 两点．若线段AB 的中点E 到y 轴的距离为3，则弦AB 的长为( )A ．5B ．8C ．10D ．12解析：选C.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋4，又E 到y 轴距离为3， ∴x 1＋x 22＝3.∴|AB |＝10. 4．(2011年天水一中调研)圆心在抛物线x 2＝2y (x >0)上，并且与抛物线的准线及y 轴均相切的圆的方程是( )A ．x 2＋y 2－x －2y －14＝0B ．x 2＋y 2＋x －2y ＋1＝0 C ．x 2＋y 2－x －2y ＋1＝0D ．x 2＋y 2－2x －y ＋14＝0解析：选D.根据抛物线的定义可知，圆与y 轴相切于焦点(0，12)，所以圆心为(1，12)，r ＝1.圆的方程为(x －1)2＋(y －12)2＝1.即x 2＋y 2－2x －y ＋14＝0.5．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( )A ．2B ．3 C.115 D.3716解析：选A.直线l 2：x ＝－1为抛物线y 2＝4x 的准线，由抛物线的定义本题化为在抛物线y 2＝4x 上找一个点P 使得P 到点F (1，0)和直线l 2的距离之和最小，最小值为F (1,0)到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离，即d min ＝|4－0＋6|5＝2，故选择A.6．(2010年高考浙江卷)设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点A (0,2)．若线段F A 的中点B 在抛物线上，则B 到该抛物线准线的距离为________．解析：由已知得B 点的纵坐标为1，横坐标为p 4，即B (p4，1)，将其代入y 2＝2px 得1＝2p ×p 4，解得p ＝2，则B 点到准线的距离为p 2＋p 4＝34p ＝342.答案：3427．(2011年桂林调研)已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，C 上的点M 在C 的准线上的射影为M ′，若MM ′→·MF →＝12|MM ′→|·|MF →|，则点M 的横坐标为________．解析：∵MM ′→·MF →＝|MM ′→||MF →|cos ∠M ′MF ＝12|MM ′→||MF →|， ∴cos ∠M ′MF ＝12.∴∠M ′MF ＝60°.又∵|M ′M |＝|MF |，故△MM ′F 为正三角形． 设M (x ，y )，则M ′(－1，y )，F (1,0)，∴|M ′F |＝(－1－1)2＋y 2＝|MM ′|＝x ＋1， 整理得y 2＝x 2＋2x －3，将y 2＝4x 代入y 2＝x 2＋2x －3得x 2－2x －3＝0， 即x ＝3或－1(舍)． 答案：38．(2010年高考大纲全国卷Ⅱ)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的准线为l ，过M (1,0)且斜率为3的直线与l 相交于点A ，与C 的一个交点为B ，若AM →＝MB →，则p ＝________.解析：如图，由AB 的斜率为3，知∠α＝60°，又AM →＝MB →，∴M 为AB 的中点．过点B 作BP 垂直准线l 于点P ，则∠ABP ＝60°，∴∠BAP ＝30°.∴|BP |＝12|AB |＝|BM |.∴M 为焦点，即p2＝1，∴p ＝2.答案：29．设抛物线y 2＝4ax (a ＞0)的焦点为A ，以B (a ＋4,0)点为圆心，|BA |为半径，在x 轴上方画半圆，设抛物线与半圆相交于不同两点M 、N ，点P 是MN 的中点．求|AM |＋|AN |的值．解：设M 、N 、P 在抛物线的准线上射影分别为M ′、N ′、P ′， 则由抛物线定义得|AM |＋|AN |＝|MM ′|＋|NN ′|＝x M ＋x N ＋2a . 又圆的方程为[x －(a ＋4)]2＋y 2＝16，将y 2＝4ax 代入得x 2－2(4－a )x ＋a 2＋8a ＝0， ∴x M ＋x N ＝2(4－a )，所以|AM |＋|AN |＝8.10．(2011年东北三校调研)点M (5,3)到抛物线y ＝ax 2的准线的距离为6，试求抛物线的方程．解：当抛物线开口向上时，准线为y ＝－14a ，点M 到它的距离为14a ＋3＝6，a ＝112，抛物线的方程为y ＝112x 2.当抛物线开口向下时，准线为y ＝－14a ，M 到它的距离为－14a －3＝6，a ＝－136.抛物线的方程为y ＝－136x 2.所以，抛物线的方程为y ＝112x 2或y ＝－136x 2.11．(探究选做)如图，设抛物线方程为x 2＝2py (p >0)，M 为直线y ＝－2p 上任意一点，过M 引抛物线的切线，切点分别为A ，B .(1)求证：A ，M ，B 三点的横坐标成等差数列；(2)已知当M 点的坐标为(2，－2p )时，|AB |＝410.求此时抛物线的方程．解：(1)证明：由题意设A (x 1，x 212p )，B (x 2，x 222p)，x 1<x 2，M (x 0，－2p )．由x 2＝2py 得y ＝x 22p ，则y ′＝x p ，所以k MA ＝x 1p ，k MB ＝x 2p.因此直线MA 的方程为y ＋2p ＝x 1p (x －x 0)．直线MB 的方程为y ＋2p ＝x 2p(x －x 0)．所以x 212p ＋2p ＝x 1p (x 1－x 0)，①x 222p ＋2p ＝x 2p(x 2－x 0)，② 由①－②得x 1＋x 22＝x 1＋x 2－x 0，因此x 0＝x 1＋x 22，即2x 0＝x 1＋x 2.所以A ，M ，B 三点的横坐标成等差数列．(2)由(1)知，当x 0＝2时，将其代入①、②并整理得x 21－4x 1－4p 2＝0，x 22－4x 2－4p 2＝0，所以x 1、x 2是方程x 2－4x －4p 2＝0的两根， 因此x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝－4p 2，又k AB ＝x 222p －x 212p x 2－x 1＝x 1＋x 22p ＝x 0p ，所以k AB ＝2p.由弦长公式得|AB |＝1＋k 2AB(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝ 1＋4p216＋16p 2.又|AB |＝4 10， 所以p ＝1或p ＝2.因此所求抛物线方程为x 2＝2y 或x 2＝4y .作业41§8.4 直线与圆锥曲线的位置关系1．(2011年福州质检)已知F 1，F 2是椭圆x 216＋y 29＝1的两焦点，过点F 2的直线交椭圆于A ，B 两点．在△AF 1B 中，若有两边之和是10，则第三边的长度为( )A ．6B ．5C ．4D ．3解析：选A.根据椭圆定义，知△AF 1B 的周长为4a ＝16，故所求的第三边的长度为16－10＝6.2．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，F 1是左焦点，O 是坐标原点，若双曲线上存在点P ，使|PO |＝|PF 1|，则此双曲线的离心率的取值范围是( )A ．(1,2]B ．(1，＋∞)C ．(1,3)D ．[2，＋∞)解析：选D.若双曲线上存在点P ，使|PO |＝|PF 1|，则点P 为线段OF 1的垂直平分线与双曲线的交点，即直线x ＝－c 2与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1有交点，故－c 2≤－a ，所以e ＝ca≥2，选D.3. (2011年东北三校联考)已知曲线C 1的方程为x 2－y28＝1(x ≥0，y ≥0)，圆C 2的方程为(x －3)2＋y 2＝1，斜率为k (k >0)的直线l 与圆C 2相切，切点为A ，直线l 与曲线C 1相交于点B ，|AB |＝3，则直线AB 的斜率为( )A.33B.12 C ．1 D. 3解析：选A.设B (a ，b )，则由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 28＝1(a －3)2＋b 2＝3＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝0.则直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，故|3k －k |1＋k 2＝1，∴k ＝33，或k ＝－33(舍去)．4．(2010年高考辽宁卷)设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( )A. 2B. 3C.3＋12D.5＋12解析：选D.设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，如图所示，双曲线的一条渐近线方程为y ＝ba x ，而k BF ＝－bc ，∴b a ·(－b c)＝－1，整理得b 2＝ac . ∴c 2－a 2－ac ＝0，两边同除以a 2，得e 2－e －1＝0，解得e ＝1＋52或e ＝1－52(舍去)，故选D.5．(2010年课标全国卷)已知双曲线E 的中心为原点，F (3，0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，则E 的方程为( )A.x 23－y 26＝1B.x 24－y 25＝1C.x 26－y 23＝1D.x 25－y 24＝1 解析：选B.∵k AB ＝0＋153＋12＝1，∴直线AB 的方程为y ＝x －3. 由于双曲线的焦点为F (3,0)， ∴c ＝3，c 2＝9.。