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二次函数的表达式一、选择题1.函数y =21x 2+2x +1写成y =a (x －h)2+k 的形式是A.y =21(x －1)2+2B.y =21(x －1)2+21C.y =21(x －1)2－3D.y =21(x +2)2－1 2.抛物线y =－2x 2－x +1的顶点在第_____象限A.一B.二C.三D.四 3.不论m 取任何实数，抛物线y =a (x +m )2+m (a ≠0)的顶点都A.在y =x 直线上B.在直线y =－x 上C.在x 轴上D.在y 轴上4.任给一些不同的实数n ，得到不同的抛物线y =2x 2+n ，如当n =0，±2时，关于这些抛物线有以下结论：①开口方向都相同；②对称轴都相同；③形状都相同；④都有最低点，其中判断正确的个数是A.1个B.2个C.3个D.4个 5.二次函数y =x 2+p x +q 中，若p+q=0，则它的图象必经过下列四点中A.(－1，1)B.(1，－1)C.(－1，－1)D.(1，1)图36.下列说法错误的是A.二次函数y =－2x 2中，当x =0时，y 有最大值是0B.二次函数y =4x 2中，当x >0时，y 随x 的增大而增大C.在三条抛物线y =2x 2，y =－0.5x 2，y =－x 2中，y =2x 2的图象开口最大，y =－x 2的图象开口最小D.不论a 是正数还是负数，抛物线y =ax 2(a ≠0)的顶点一定是坐标原点 7.已知二次函数y =x 2+(2k +1)x +k 2－1的最小值是0，则k 的值是A.43B.－43C.45D.－458.小颖在二次函数y =2x 2+4x +5的图象上，依横坐标找到三点(－1，y 1)，(21，y 2)， (－321，y 3)，则你认为y 1，y 2，y 3的大小关系应为A.y 1>y 2>y 3B.y 2>y 3>y 1C.y 3>y 1>y 2D.y 3>y 2>y 1 二、填空题9.抛物线y =21(x +3)2的顶点坐标是______.10.将抛物线y =3x 2向上平移3个单位后，所得抛物线的顶点坐标是______.11.函数y =34x －2－3x 2有最_____值为_____.12.已知抛物线y =ax 2+bx +c 的图象顶点为(－2，3)，且过(－1，5)，则抛物线的表达式为______.13.二次函数y =mx 2+2x +m －4m 2的图象过原点，则此抛物线的顶点坐标是______. 三、解答题14.根据已知条件确定二次函数的表达式（1）图象的顶点为（2，3），且经过点（3，6）；（2）图象经过点（1，0），（3，0）和（0，9）；（3）图象经过点（1，0），（0，-3），且对称轴是直线x=2。
2.3确定二次函数的表达式知识要点基础练知识点1用一般式(三点式)确定二次函数表达式1.图象经过(1,0),(2,0)和(0,2)三点的二次函数的表达式是(D)A.y=2x2+x+2B.y=x2+3x+2C.y=x2-2x+3D.y=x2-3x+22.已知二次函数的图象与y轴交点的纵坐标为1,且经过点(2,5)和(-2,13),求这个二次函数的表达式.解:设二次函数的表达式为y=ax2+bx+c,把(0,1)代入,得c=1,即y=ax2+bx+1,将(2,5),(-2,13)分别代入,得解得所以二次函数的表达式为y=2x2-2x+1.3.抛物线y=ax2+bx-3经过点A(2,-3),与x轴负半轴交于点B,与y轴交于点C,且OC=3OB,求抛物线的表达式.解:由y=ax2+bx-3得C(0,-3),∴OC=3,∵OC=3OB,∴OB=1,∴B(-1,0),把A(2,-3),B(-1,0)代入y=ax2+bx-3,得解得∴抛物线的表达式为y=x2-2x-3.知识点2用顶点式确定二次函数表达式4.已知抛物线的顶点坐标是(2,1),且抛物线的图象经过点(3,0),则这条抛物线的表达式是(D)A.y=-x2-4x-3B.y=-x2-4x+3C.y=x2-4x-3D.y=-x2+4x-35.请写出一个开口向上,对称轴为直线x=2,且与y轴的交点坐标为(0,3)的抛物线的表达式y=x2-4x+3(答案不唯一).【变式拓展】二次函数图象过A,B,C三点,点A的坐标为(-1,0),点B的坐标为(4,0),点C在y轴正半轴上,且AB=OC,则该二次函数的表达式为y=-x2+x+5.6.(赤峰中考)如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象交x轴于A,B两点,交y轴于点D,点B 的坐标为(3,0),顶点C的坐标为(1,4).(1)求二次函数的表达式和直线BD的表达式;(2)P是直线BD上的一个动点,过点P作x轴的垂线,交抛物线于点M,当点P在第一象限时,求线段PM长度的最大值.解:(1)∵抛物线的顶点C的坐标为(1,4),∴可设抛物线的表达式为y=a(x-1)2+4,∵点B(3,0)在该抛物线的图象上,∴0=a(3-1)2+4,解得a=-1,∴抛物线的表达式为y=-(x-1)2+4,即y=-x2+2x+3.由y=-x2+2x+3知,D点的坐标为(0,3).根据B(3,0),D(0,3)可求得直线BD的表达式为y=-x+3.(2)设P点横坐标为m(m>0),则P(m,-m+3),M(m,-m2+2m+3),∴PM=-m2+2m+3-(-m+3)=-m2+3m=-,∴当m=时,PM有最大值.知识点3用交点式确定二次函数表达式7.抛物线与x轴交点的横坐标为-2和1,且过点(2,8),则它对应的二次函数表达式为(D)A.y=2x2-2x-4B.y=-2x2+2x-4C.y=x2+x-2D.y=2x2+2x-48.抛物线与x轴的两个交点坐标为(-3,0)和(2,0),且它经过点(1,4),求出对应的二次函数的表达式.解:设y=a(x+3)(x-2),则-4a=4,解得a=-1,则y=-(x+3)(x-2),即y=-x2-x+6.综合能力提升练9.已知二次函数的图象如图所示,则这个二次函数的表达式为(B)A.y=x2-2x+3B.y=x2-2x-3C.y=x2+2x-3D.y=x2+2x+310.如图为抛物线y=ax2+bx+c的图象,A,B,C为抛物线与坐标轴的交点,且OA=OC=1,则下列关系中正确的是(B)A.a+b=-1B.a-b=-1C.b<2aD.ac<011.若抛物线C:y=ax2+bx+c与抛物线y=x2-2关于x轴对称,则抛物线C的表达式为(C)A.y=x2-2B.y=-x2-2C.y=-x2+2D.y=x2+212.抛物线y=x2+bx+c的图象向右平移2个单位,再向下平移3个单位所得图象的表达式为y=x2-2x-3,则b,c的值为(B)A.2,2B.2,0C.-2,-1D.-3,213.二次函数y=x2-8x+c的最小值是0,那么c的值等于(D)A.4B.8C.-4D.1614.二次函数y=x2-3x+m的顶点在x轴上,则m的值是.15.已知二次函数图象的对称轴是直线x=-3,图象经过点(1,6),且与y轴的交点为.(1)求这个二次函数的表达式;(2)当x在什么范围内变化时,这个函数的函数值y随x的增大而增大?解:(1)设抛物线的表达式为y=ax2+bx+c,由题意可得解得∴这个二次函数的表达式为y=x2+3x+.(2)∵y=x2+3x+,∴a=>0,开口向上,对称轴是直线x=-3,∴当x>-3时,函数值y随x的增大而增大.16.(毕节中考)如图,在平面直角坐标系中,二次函数的图象交坐标轴于A(-1,0),B(4,0),C(0,-4)三点,P是直线BC下方抛物线上一动点.(1)求这个二次函数的表达式.(2)是否存在点P,使△POC是以OC为底边的等腰三角形?若存在,求出P点坐标;若不存在,请说明理由.解:(1)设抛物线的表达式为y=ax2+bx+c,把A,B,C三点坐标代入,得解得∴抛物线的表达式为y=x2-3x-4.(2)作OC的垂直平分线DP,交OC于点D,交BC下方抛物线于点P,∴PO=PC,此时P点即为满足条件的点,∵C(0,-4),∴D(0,-2),∴P点纵坐标为-2,代入抛物线表达式,得x2-3x-4=-2,解得x=(小于0,舍去)或x=,∴存在满足条件的P点,其坐标为.拓展探究突破练17.已知抛物线y=-x2+mx过点(8,0).(1)求m的值;(2)如图,在抛物线内作矩形ABCD,使点C,D落在抛物线上,点A,B落在x轴上,设矩形ABCD 的周长为L,求L的最大值.解:(1)由条件可得-×82+8m=0,解得m=4.(2)∵m=4,∴抛物线的表达式为y=-x2+4x.由于抛物线和矩形都是轴对称图形,所以点A与B,点C与D都关于抛物线的对称轴x=4对称,设A(n,0),则D,B(8-n,0),则AB=8-2n.∴L=2+2(8-2n)=-n2+4n+16=-(n-2)2+20,∴L的最大值为20.。
确定二次函数的表达式一、选择题1．若二次函数y=x2+bx-2的图象与x轴的一个交点为（1，0），则该二次函数的表达式为（）A．y=x2-2x B．y=x2+x-1 C．y=x2+x-2 D．y=x2-x-22．若二次函数的图象经过点（1，10），顶点坐标为（-1，-2），则此二次函数的表达式为（）A．y=3x2+6x+1 B．y=3x2+6x-1 C．y=3x2-6x+1 D．y=-3x2-6x+1 3．如图，抛物线的函数表达式是（）A．y=x2-x+2 B．y=x2+x+2 C．y=-x2-x+2 D．y=-x2+x+2 4．若y=ax2+bx+c，则由表格某某息可知y与x之间的函数表达式是（）A．y=x2-4x+3 B．．y=x2-4x+8 5．已知二次函数y=x2+bx+c，若b+c=0，则它的图象一定过点（）A．（-1，-1）B．（1，-1） C．（-1，1）D．（1，1）二、填空题6．在二次函数y=x2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表，则m的值为________．7．若抛物线y=ax2+bx+c的顶点是A（2，1），且经过点B（1，0），则此抛物线的表达式为___________．8．如果一条抛物线的形状与抛物线y=-x2+2的形状相同，且顶点坐标是（4，-2），那么它的函数表达式是__________．9．二次函数的图象如图，则其表达式为__________．10．如果抛物线经过A（-1，-6），B（1，-2），C（2，3）三点，那么抛物线的函数表达式为__________．三、解答题11．如图，已知抛物线y=x2+bx+c的顶点坐标为M（0，-1），与x轴交于A，B两点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）判断△MAB的形状，并说明理由．12．如图，一拱桥的截面呈抛物线形状，拱桥两端点与水面的距离都是1 m，拱桥的跨度为10 m，拱桥与水面的最大距离是5 m，桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4 m的景观灯．（1）建立适当的直角坐标系并求出抛物线对应的函数表达式；（2）求两盏景观灯之间的水平距离．13．如图，已知二次函数y=x2+mx+n的图象经过点P（-3，1），对称轴是经过点（-1，0）且平行于y轴的直线．（1）求m，n的值；（2）若一次函数y=kx+b的图象经过点P，与x轴相交于点A，与二次函数的图象相交于另一点B，点B在点P的右侧，PA：PB=1：5，求一次函数的表达式．14．已知二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）的图象经过A，B，C，D四个点，其中横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：求：（1（2）△ABD的面积．15．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A（-1，0），B（3，0），C（0，-3）三点，直线l是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）设P是直线l上的一个动点，当点P到点A，B的距离之和最小时，求点P的坐标．16．如图，已知抛物线y=x2+bx+c经过A（-1，0），B（3，0）两点．（1）求抛物线的表达式和顶点坐标；（2）当0<x<3时，求y的取值X围；（3）P为抛物线上一点，若S△PAB =10，求出此时点P的坐标．参考答案一、1．C 2．A 3．D 4．A 5．D二、6．-1 7．y=-x2+4x-3 8．y=（x-4）2-2或y=-（x-4）2-29．y=-x2+2x+3 10．y=x2+2x-5三、11．解：（1）∵在抛物线的函数表达式中二次项系数为1，且顶点为M（0，-1），∴其函数表达式为y=x2-1．（2）△MAB是等腰直角三角形．理由如下：当y=0时，x2-1=0，∴x=±1．∵点M的坐标为（0，-1），∴OA=OB=OM，∴∠OAM=∠OMA=∠OBM=∠OMB=45°，∴∠AMB=90°，∴△MAB是直角三角形，且MA=MB，∴△MAB是等腰直角三角形．12．解：（1）答案不唯一，如建立如图的平面直角坐标系．由题意知，抛物线的顶点坐标为（5，5），与y轴的交点坐标是（0，1）．设抛物线对应的函数表达式是y=a（x-5）2+5．把（0，1）代入y=a（x-5）2+5，得a=-，∴y=-（x-5）2+5（0≤x≤10）．（2）由题意知，两盏景观灯的纵坐标都是4，令4=-（x-5）2+5，∴425（x-5）2=1，∴x1=，x2=．∴两盏景观灯之间的水平距离为-=5（m）．13．解：（1）∵抛物线的对称轴是经过点（-1，0）且平行于y轴的直线，∴-=-1，解得m=2．∵二次函数y=x2+mx+n的图象经过点P（-3，1），∴9-3m+n=1，∴n=3m-8=-2．（2）∵m=2，n=-2，∴二次函数的表达式为y=x2+2x-2．如图，分别过点P，B作PC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，则PC∥BD，∴．∵点P的坐标为（-3，1），∴PC=1．∵PA：PB=1：5，∴，∴BD=6，∴点B的纵坐标为6．令6=x2+2x-2，解得x1=2，x2=-4（舍去），∴点B的坐标为（2，6）．∴解得∴一次函数的表达式为y=x+4．14．解：（1）把A，B，C三点的坐标分别代入y=ax2+bx+c，得解得所以二次函数的表达式为y=-x2+3x+3．（2）S△ABD =×3×4=6．15．解：（1）分别将A（-1，0），B（3，0），C（0，-3）代入y=ax2+bx+c，得解得∴抛物线的函数关系式为y=x2-2x-3．（2）当点P在x轴上时，P，A，B三点在一条直线上，则点P到点A，B的距离之和最小，此时点P的横坐标x=-=1．∴点P的坐标为（1，0）．16．解：（1）把A（-1，0），B（3，0）分别代入y=x2+bx+c，得解得∴抛物线的表达式为y=x2-2x-3．∵y=x2-2x-3=（x-1）2-4，∴抛物线的顶点坐标为（1，-4）．（2）由图象可知，当0<x<3时，-4≤y<0．（3）∵A（-1，0），B（3，0），∴AB=4．设P（x，y），则S△PAB =AB·|y|=2|y|=10，∴|y|=5，∴y=±5．①当y=5时，x2-2x-3=5，解得x1=-2，x2=4，此时点P的坐标为（-2，5）或（4，5）．②当y=-5时，x2-2x-3=-5，方程无实数解．综上所述，点P的坐标为（-2，5）或（4，5）．。
