高中数学第二章平面向量第7课时2.3.2向量的坐标表示2教案苏教版必修4

2．3.2 平面向量的坐标运算(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)掌握平面向量的坐标运算，能准确表述向量的加法、减法、实数与向量的坐标运算法则，并能进行相关运算．(2)理解用坐标表示的平面向量共线的条件．2．过程与方法(1)通过向量的正交分解及坐标运算，进一步体会向量的工具作用．(2)通过学习平面向量共线的坐标表示及应用，提高分析问题、解决问题的能力．3．情感、态度与价值观培养学生学习数学的兴趣，勤于思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯．●重点难点重点：平面向量的加、减、数乘的坐标运算．难点：平面向量平行条件的理解．(教师用书独具)●教学建议1．关于平面向量的坐标的概念教学教学时，建议教师从学生熟悉的平面向量基本定理出发，结合物理知识中力的正交分解，自然引出向量的正交分解，并类比平面直角坐标系中“点与坐标”的关系，得出“平面向量的坐标”的概念，并强调指出平面直角坐标系中“点的坐标同以原点为起点的向量是一一对应的”．2．关于平面向量的坐标的线性运算的教学教学时，建议教师让学生结合向量加、减及数乘向量的定义和向量的坐标的概念自主推导出平面向量的坐标的线性运算，并就每种运算的特征加以概括；在此基础上要求学生通过练习熟练掌握平面向量的坐标的线性运算．3．关于平面向量平行的坐标表示的教学教学时，建议教师引导学生从向量共线定理出发，自主推导出向量共线时的坐标关系，并会应用向量的坐标关系解决与平行有关的平面几何证明问题．●教学流程创设问题情境，引入平面向量的坐标概念.⇒引导学生结合向量加、减及数乘运算，推导出平面向量的坐标的线性运算.⇒引导学生结合向量共线定理，推导出向量平行的坐标表示，并总结利用向量坐标关系判断向量平行的方法.⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握结合图形用坐标表示向量的方法.⇒通过例2及其互动探究，使学生掌握平面向量坐标的线性运算方法.⇒通过例3及其变式训练，使学生掌握利用平行向量的坐标表示，解决有关向量平行问题的方法.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.课标解读1.理解平面向量的坐标的概念，会写给定向量的坐标．2.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．3.理解用坐标表示的平面向量共线的条件．(难点)4.会根据平面向量的坐标判断向量是否共线．(重点)平面向量的坐标表示及坐标运算【问题导思】1．在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，任作一向量OA→.根据平面向量基本定理，OA→＝x i＋y j，那么(x，y)与A点的坐标相同吗？【提示】相同．2．如果向量OA→也用(x，y)表示，那么这种向量OA→与实数对(x，y)之间是否一一对应？【提示】是一一对应．(1)平面向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面上的向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对有序实数x，y，使得a＝x i＋y j，则把有序实数对(x，y)称为向量a的(直角)坐标，记作a＝(x，y)．(2)平面向量的坐标运算①已知向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)和实数λ，那么a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)．②已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，O为坐标原点，则AB→＝OB→－OA→＝(x2，y2)－(x1，y1)＝(x2－x1，y2－y1)，即一个向量的坐标等于该向量终点的坐标减去起点的坐标.向量平行的坐标表示设a＝(1,3)，b＝(2,6)，向量b与a共线吗？【提示】b＝(2,6)＝2(1,3)＝2a，∴b与a共线．设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(a≠0)，如果a∥b，那么x1y2－x2y1＝0；反过来，如果x1y2－x2y1＝0，那么a∥b.向量的坐标表示图2－3－10在直角坐标系xOy 中，向量a ，b ，c 的方向如图2－3－10所示，且|a |＝2，|b |＝3，|c |＝4，分别计算出它们的坐标．【思路探究】 利用三角函数求出各向量在x 轴、y 轴上的分量的模的大小，以此确定向量的横、纵坐标．【自主解答】 设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，c ＝(c 1，c 2)，则a 1＝|a |cos 45°＝2×22＝2，a 2＝|a |sin 45°＝2×22＝2， b 1＝|b |cos 120°＝3×(－12)＝－32，b 2＝|b |sin 120°＝3×32＝332， c 1＝|c |cos(－30°)＝4×32＝23， c 2＝|c |sin(－30°)＝4×(－12)＝－2.因此a ＝(2，2)，b ＝(－32，332)，c ＝(23，－2)．1．向量的坐标等于终点的坐标减去起点的相应坐标，只有当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标才等于终点的坐标．2．求向量的坐标一般转化为求点的坐标，解题时常常结合几何图形，利用三角函数的定义和性质进行计算．图2－3－11如图2－3－11，已知O 是坐标原点，点A 在第二象限，|OA →|＝2，∠xOA ＝150°，求向量OA →的坐标．【解】 过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，作AC ⊥y 轴于点C ，设A (x ，y )，则x ＝|OA →|cos 150°＝－3，y ＝|OA →|sin 150°＝1.所以OA →的坐标为(－3，1).平面向量的坐标运算 (1)若a ＝(1，－3) ，b ＝(－2,4)，c ＝(0,5)，则3a －b ＋c ＝________.(2)已知三点A (2，－1)，B (3,4)，C (－2,0)，试求向量3AB →＋12CA →，BC →－2AB →.【思路探究】 (1)中分别给出了两向量的坐标，可根据向量的直角坐标运算法则进行．(2)中给出了点的坐标，可运用终点坐标减去起点坐标得到相应向量的坐标，然后再进行运算．【自主解答】 (1)∵a ＝(1，－3)，b ＝(－2,4)，c ＝(0,5)， ∴3a －b ＋c ＝3(1，－3)－(－2,4)＋(0,5)＝(3，－9)－(－2,4)＋(0,5)＝(3＋2＋0，－9－4＋5) ＝(5，－8)．【答案】 (5，－8)(2)∵A (2，－1)，B (3,4)，C (－2,0)． ∴AB →＝(3,4)－(2，－1)＝(1,5)， CA →＝(2，－1)－(－2,0)＝(4，－1)， BC →＝(－2,0)－(3,4)＝(－5，－4)，∴3AB →＋12CA →＝3(1,5)＋12(4，－1)＝(5，292)，BC →－2AB →＝(－5，－4)－2(1,5)＝(－7，－14)．平面向量坐标的线性运算的方法：(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行． (2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算．(3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行．若题(2)中条件不变，如何求2AB →－3BC →＋CA →呢？ 【解】 ∵A (2，－1)，B (3,4)，C (－2,0)， ∴AB →＝(3,4)－(2，－1)＝(1,5)， BC →＝(－2,0)－(3,4)＝(－5，－4)， CA →＝(2，－1)－(－2,0)＝(4，－1)， ∴2AB →→→向量平行的坐标表示AB 与CD 是否平行？(2)已知向量OA →＝(k,12)，OB →＝(4,5)，OC →＝(10，k )．当k 为何值时，A ，B ，C 三点共线？【思路探究】 (1)判断AB →∥CD →→判断点A 是否在直线CD 上→结论．(2)求A ，B ，C 三点共线时k 的值，则一定有AB →＝λAC →成立．先求AB →，AC →，再列方程组求解k .【自主解答】 (1)因为AB →＝(2,4)，AD →＝(4,11)－(－1，1)＝(5,10)，AC →＝(－2，－1)－(－1,1)＝(－1，－2)，所以AB →＝－2AC →，AD →＝－5AC →.所以AB →∥AC →∥AD →.由于AB →与AC →，AD →有共同的起点A ， 所以A ，B ，C ，D 四点共线． 因此直线AB 与CD 重合． (2)AB →＝OB →－OA →＝(4－k ，－7)，AC →＝OC →－OA →＝ (10－k ，k －12)，若A ，B ，C 三点共线，则AB →∥AC →， ∴(4－k )(k －12)＝－7×(10－k )， 解得k ＝－2或11，∴当k ＝－2或11时，A ，B ，C 三点共线．1．对于根据向量共线的条件求值的问题，一般有两种处理思路，一是利用共线向量定理a ＝λb (b ≠0)列方程组求解，二是利用向量共线的坐标表达式x 1y 2－x 2y 1＝0直接求解．2．利用x 1y 2－x 2y 1＝0求解，解决向量共线问题的优点在于不需要引入参数“λ”，从而减少未知数个数，而且使问题的解决具有代数化的特点、程序化的特征．已知向量a ＝(1,1)，b ＝(2，x )，若a ＋b 与4b －2a 平行，求实数x 的值． 【解】 因为a ＝(1,1)，b ＝(2，x )，所以a ＋b ＝(3，x ＋1)，4b －2a ＝(6,4x －2)，由于a ＋b 与4b －2a 平行，得6(x ＋1)－3(4x －2)＝0，解得x ＝2.忽略平行四边形顶点顺序的讨论致误已知A (2,1)，B (3,2)，C (－1,4)，若A ，B ，C 是平行四边形的三个顶点，求第四个顶点D 的坐标．【错解】 设点D 的坐标为(x ，y )，则由AD →＝BC →，得x －2＝－1－3，y －1＝4－2，即x ＝－2，y ＝3，故所求点D 的坐标为(－2,3)．【错因分析】 错解中认为平行四边形的四个顶点的顺序是ABCD .事实上，本题没有给出是四边形ABCD ，因此，需要分类讨论．【防范措施】 在求平行四边形某一顶点的坐标时，常常需要对平行四边形顶点顺序进行讨论．【正解】 设点D 的坐标为(x ，y )．当四边形为平行四边形ABCD 时，则有AD →＝BC →，从而有x －2＝－1－3，y －1＝4－2，即x ＝－2，y ＝3，故点D 的坐标为(－2,3)．当四边形为平行四边形ADBC 时，则有AD →＝CB →，从而有x －2＝3－(－1)，y －1＝2－4，即x ＝6，y ＝－1，故点D 的坐标为(6，－1)．当四边形为平行四边形ABDC 时，则有AC →＝BD →，从而有x －3＝－1－2，y －2＝4－1，即x ＝0，y ＝5，故点D 的坐标为(0,5)，故第四个顶点D 的坐标为(－2,3)或(6，－1)或(0,5)．1．向量的坐标运算(1)向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行．若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标．(2)解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则． 2．两个向量共线条件的表示方法 已知a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)， (1)当b ≠0时，a ＝λb . (2)x 1y 2－x 2y 1＝0.(3)当x 2y 2≠0时，x 1x 2＝y 1y 2，即两向量的相应坐标成比例.1．设平面向量a ＝(3,5)，b ＝(－2,1)，则a －2b ＝________. 【解析】 a －2b ＝(3,5)－2(－2,1)＝(3,5)－(－4,2)＝(7,3)． 【答案】 (7,3)2．已知M (3，－2)，N (－5，－1)，MP →＝12MN →，则P 点坐标为________．【解析】 设P (x ，y )，则MP →＝(x －3，y ＋2)，MN →＝(－8,1)． ∵MP →＝12MN →，∴(2x －6,2y ＋4)＝(－8,1)．∴⎩⎪⎨⎪⎧2x －6＝－8，2y ＋4＝1.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－32.【答案】 (－1，－32)3．已知向量a ＝(3,1)，b ＝(1,3)，c ＝(k,7)，若(a －c )∥b ，是k ＝________. 【解析】 a －c ＝(3－k ，－6)，b ＝(1,3)，∵(a －c )∥b ，∴3－k 1＝－63.∴k ＝5.【答案】 54．已知A ，B ，C 三点的坐标分别为(－1,0)，(3，－1)，(1,2)，并且AE →＝13AC →，BF →＝13BC →.求证：EF →∥AB →.【证明】 ∵AC →＝(2,2)，BC →＝(－2,3)，∴AE →＝13AC →＝(23，23)，BF →＝13BC →＝(－23，1)∴E (－13，23)，F (73，0)．∴EF →＝(83，－23)．又AB →＝(4，－1)，所以AB →＝32EF →.即EF →∥AB →.一、填空题1．下列说法正确的有________． (1)向量的坐标即此向量终点的坐标； (2)位置不同的向量其坐标可能相同；(3)一个向量的坐标等于它的始点坐标减去它的终点坐标； (4)相等的向量坐标一定相同．【解析】 我们所学的向量是自由向量，位置不同，可能是相同的向量，同时相等的向量坐标一定相同．故正确的说法是(2)(4)．【答案】 (2)(4)2．若向量a ＝(3,2)，b ＝(0，－1)，则向量2b ＋a 的坐标是________．【解析】 2b ＋a ＝2(0，－1)＋(3,2)＝(0，－2)＋(3,2)＝(3,0)． 【答案】 (3,0)3．已知a ＝(－1，x )与b ＝(－x,2)共线，且方向相同，则实数x ＝________.【解析】 设a ＝λb ，则(－1，x )＝(－λx,2λ)，所以有⎩⎪⎨⎪⎧－1＝－λx ，x ＝2λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，λ＝22或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，λ＝－22.又a 与b 方向相同，则λ＞0，所以λ＝22，x ＝ 2. 【答案】24．(2013·连云港高一检测)已知点M (3，－2)，N (－6,1)，且MP →＝2PN →，点P 的坐标为________．【解析】 设P (x ，y )，则MP →＝(x －3，y ＋2)， PN →＝(－6－x,1－y )，∴由MP →＝2PN →得⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝－12－2x ，y ＋2＝2－2y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－3，y ＝0，∴点P 的坐标为(－3,0)．【答案】 (－3,0)5．设m ＝(a ，b )，n ＝(c ，d )，规定两向量之间的一个运算为m ⊗n ＝(ac －bd ，ad ＋bc )，若已知p ＝(1,2)，p ⊗q ＝(－4，－3)，则q ＝________.【解析】 设q ＝(x ，y )，则由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＝－4，y ＋2x ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1，所以q ＝(－2,1)．【答案】 (－2,1)6．已知向量OA →＝(k,12)，OB →＝(4,5)，OC →＝(10，k )，若A ，B ，C 三点共线，则实数k ＝________.【解析】 由题意得AB →＝OB →－OA →＝(4－k ，－7)， BC →＝OC →－OB →＝(6，k －5)，∵AB →与BC →共线． ∴(4－k )×(k －5)－6×(－7)＝0， 解得k ＝－2或11. 【答案】 －2或117．下列说法正确的有______________． (1)存在向量a 与任何向量都是平行向量；(2)如果向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，且a ∥b ，则x 1y 1＝x 2y 2；(3)如果向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，且a ∥b ，则x 1y 2－x 2y 1＝0；(4)如果向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，且x 1y 1＝x 2y 2，则a ∥b .【解析】 (1)当a 是零向量时，零向量与任何向量都是平行向量；(2)不正确，当y 1＝0或y 2＝0时，显然不能用x 1y 1＝x 2y 2来表示；(3)(4)正确．【答案】 (1)(3)(4)8．已知向量m ＝(2,3)，n ＝(－1,2)，若a m ＋b n 与m －2n 共线，则a b等于________． 【解析】 a m ＋b n ＝(2a,3a )＋(－b,2b )＝(2a －b,3a ＋2b )，m －2n ＝(2,3)－(－2,4)＝(4，－1)，∵a m ＋b n 与m －2n 共线，∴b －2a －12a －8b ＝0，∴a b ＝－12.【答案】 －12二、解答题9．已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)． 设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，且CM →＝3c ，CN →＝－2b ， (1)求3a ＋b －3c ；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ；(3)求M ，N 的坐标及向量MN →的坐标．【解】 由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)． (1)3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8) ＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． (2)∵m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ －6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－1. (3)设O 为坐标原点，∵CM →＝OM →－OC →＝3c ， ∴OM →＝3c ＋OC →＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)，∴M (0,20)．又∵CN →＝ON →－OC →＝－2b ， ∴ON →＝－2b ＋OC →＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2) ，∴N (9,2)．∴MN →＝(9，－18)．10．已知O (0,0)，A (1,2)，B (4,5) 及OP →＝OA →＋tAB →，求： (1)t 为何值时，P 在x 轴上？P 在y 轴上？P 在第二象限？(2)四边形OABP 能否为平行四边形？若能，求出相应的t 值；若不能，请说明理由．【解】 (1)设P (x ，y )，AB →＝(3,3)，由OP →＝OA →＋tAB →得(x ，y )＝(1,2)＋t (3,3)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3t ，y ＝2＋3t .若P 在x 轴上，则y P ＝0，即2＋3t ＝0，∴t ＝－23.若P 在y 轴上，则x P ＝0，即1＋3t ＝0，∴t ＝－13.若P 在第二象限，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋3t ＜0，2＋3t ＞0，∴－23＜t ＜－13.(2)四边形OABP 不能为平行四边形． 因为若四边形OABP 能构成平行四边形， 则OP →＝AB →，即(1＋3t,2＋3t )＝(3,3)． ∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋3t ＝3，2＋3t ＝3， t 无解，故四边形OABP 不能为平行四边形． 11．已知a ＝(1,2)，b ＝(－2,1)，x ＝a ＋(t 2＋1)b ，y ＝－1k a ＋1tb ，是否存在正实数k ，t 使得x ∥y ？若存在，求出取值范围；若不存在，请说明理由． 【解】 不存在．理由：依题意，x ＝a ＋(t 2＋1)b＝(1,2)＋(t 2＋1)(－2,1)＝(－2t 2－1，t 2＋3)．y ＝－1k a ＋1tb＝－1k (1,2)＋1t(－2,1)＝(－1k －2t，－2k ＋1t)．假设存在正实数k ，t ，使x ∥y ，则(－2t 2－1)(－2k ＋1t )－(t 2＋3)·(－1k －2t)＝0，化简得t 2＋1k ＋1t ＝0，即t 3＋t ＋k ＝0. ∵k ，t 为正实数，∴满足上式的k ，t 不存在，∴不存在这样的正实数k ，t ，使x ∥y .(教师用书独具)已知△AOB 中，O (0,0)，A (0,5)，B (4,3)，OC →＝14OA →，OD →＝12OB →，AD 与BC 交于点M ，求点M 的坐标．【思路探究】 由已知条件易求得点C ，D 的坐标，再由点M 是AD 与BC 的交点，即A ，M ，D 三点共线与B ，M ，C 三点共线可得到以点M 的坐标为解的方程组，解方程组即可．【自主解答】 ∵点O (0,0)，A (0,5)，B (4,3)， ∴OA →＝(0,5)，OB →＝(4,3)，OC →＝14OA →＝(0，54)， ∴点C 的坐标为(0，54)．同理可得D (2，32)． 设点M (x ，y )，则AM →＝(x ，y －5)，∵A ，M ，D 共线，∴AM →与AD →共线．又AD →＝(2－0，32－5)＝(2，－72)， ∴－72x －2(y －5)＝0， 即7x ＋4y ＝20.①∵CM →＝(x ，y －54)，CB →＝(4－0,3－54)＝(4，74)， CM →与CB →共线，∴74x －4(y －54)＝0， 即7x －16y ＝－20.②由①②得x ＝127，y ＝2， ∴M 的坐标为(127，2)．在求点或向量的坐标中充分利用两个向量共线，要注意方程思想的应用，在题目中充分利用向量共线、向量相等等条件作为列方程的依据．如图所示，已知点A (4,0)，B (4,4)，C (2,6)，求AC 和OB 的交点P 的坐标．【解】 法一 设OP →＝tOB →＝t (4,4)＝(4t,4t )，则AP →＝OP →－OA →＝(4t,4t ) －(4,0)＝(4t －4,4t )，AC →＝(2,6)－(4,0)＝(－2,6)．由AP →，AC →共线的条件知(4t －4)×6－4t ×(－2)＝0，解得t ＝34. 所以OP →＝(4t,4t )＝(3,3)，所以P 点的坐标为(3,3)．法二 设P (x ，y )，则OP →＝(x ，y )，OB →＝(4,4)．因为OP →，OB →共线，所以4x －4y ＝0.①又CP →＝(x －2，y －6)，CA →＝(2，－6)，且向量CP →，CA →共线，所以－6(x －2)＋2(6－y )＝0.②解①②组成的方程组，得x ＝3，y ＝3，所以P点的坐标为(3,3)．。

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2。

3 向量的坐标表示典题精讲例1 如图2—3-2，在平行四边形ABCD 中,M 、N 分别为DC 、BC 的中点，已知AM =c ，AN =d ，试用c 、d 表示AB 和AD .图2—3-2思路分析:本题要求用c 、d 表示和，所以可以将c 、d 看作基底,也就变成了用基底表示AB 和AD 两个向量。

解：设AB =a ，AD =b ,由M 、N 分别为DC 、BC 的中点， 得=21b ，DM =21a 。

从△ABN 和△ADM 中， 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+).2(32),2(32.21,21d c b c d a c a b d b a 解得 即AB =32(2d —c ），AD =32（2c -d ). 绿色通道：从解答本题的过程来看,本题策略性较强：（1)为使问题表达简单，采用代换AB =a ，AD =b ；（2）为使问题降低难度，采用正难则反策略，即直接用c 、d 表示AB 、AD 困难，反过来改用、表示c 、d ，然后将和看成是未知量，利用方程组解得和.变式训练 如果e 1、e 2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法错误的有（ ) ①λe 1+μe 2 (λ、μ∈R ）可以表示平面α内的所有向量②对于平面α中的任一向量a ，使a =λe 1+μe 2的实数λ、μ有无数多对③若向量λ1e 1+μ1e 2与λ2e 1+μ2e 2共线,则有且只有一个实数λ，使λ1 e 1+μ1 e 2=λ(λ2 e 1+μ2e2)④ 若实数λ、μ使λe1+μe2=0，则λ=μ=0A。

232 平面向量的坐标运算(2)教学目标:1 •让学生经历知识的探究与交流来感受向量平行的坐标表示，理解向量共线的坐标表示;2 .理解向量共线的条件，会根据向量的坐标，判断向量是否共线；3 •能利用两向量平行的坐标表示解决有关综合问题.教学重点:向量平行的充要条件的坐标表示.教学难点：应用向量平行的充要条件证明三点共线和两直线平行的问题.教学方法：引导发现、合作探究.教学过程：一、问题情境1.已知a (3,2) , b (0, 1)，求2a 4b , 4a 3b 的坐标;1 12.已知点A(1,1), B( 1,5)及AC AB , AD 2 AB , AE AB，求点C、D、2 2E的坐标.归纳：(1)设点A(X1,yJ , B(X2,y2)，则AB (X2 为以如);r r r r(2) a (X1,yj , b (X2,y2)，则a b (X1 X2, y1 y2),r r ra b (X! X2, y1 y?) , a ( x“ yj;提出问题：a = (1 , —4) , b = ( —2, 8)，作图表示，发现了什么？二、学生活动提出问题："a = (X1, y" , = (X2, y2)，若7 // "b，如何用坐标刻画？三、建构数学共线向量的充要条件:思考：共线向量的条件是有且只有一个实数入使得b = a ,那么这个条件如何用坐标来表示呢？(x1,y1) (x2,y2)y 1y 2归纳：向量平行(共线)的两种表达形式：r r . .a //b ( b 0)a b x 1 y 2 x 2y 1 0r注意：①消去 时不能两式相除，T y 1, y 2有可能为0. v b 0，二x 2, y 2中至少有一个 不为0 •②这个条件不能写成丸X 1y 2 , • xX 1,X 2有可能为0.r r r —b- —fc-③向量共线的两种判定方法：a //b ( b 0)a b x°2 X2% 0 •rr r r即：若存在两个不全为 0 的实数,使得 a +b =0 , 那么a 与b 为共线向量，零向量与任意向量共线.四、数学运用1.例题.rrr r例1已知a (4, 2) , b(6,y) ,且a//b ,求y •例 2 已知 A(0, 2),B(2,2),C(3,4)，求证： A , B , C 三点共线.r r r r r r例3已知a (1,0), b (2,1)，当实数k 为何值时，向量k a — b 与a + 3b 平行？并确 定此时它们是同向还是反向.rr r urrr r r 例 4 已知 a(2, 4) , b ( 1,3), c (6,5), p a 2b c ，则以 a , b为ur基底，求p .例5 已知点0, A, B , C 的坐标分别为(0, 0), (3, 4), (— 1, 2) , (1 , 1),是否存在 常数t ，使得OA tOB =OC 成立？解释你所得到结论的几何意义.r a由ro rb中消去入：x 1y 2x 2y 1-X 2,y 2中至少有一个不为 0•r O2.巩固.r 3 r i r r(1)设a (-,sin )，b (cos ,_)，(0,2 )，且a//b，求锐角；2 3r r(2) ____________ 当x 时，向量a (1,2)与b (x,4)平行；r r r r r r(3)已知向量 a (1,2), b (x,1), u a +2b , v 2a - b，且u//v，求x ；(4)设a、b是不共线的非零向量，求证a+2b与a-2 b不平行；(5)已知a (1,2) , b ( 3,2)，当k为何值时，k a+b与a-3 b平行？平行时它们是同向还是反向？(6)已知点A( 1, 1)，B(1,3)，C(1,5)，D(2,7)，向量AB 与CD 平行吗？直线AB与直线CD平行吗？r(7) __________________________________________ 与向量a (3,4)平行的单位向量为.五、回顾反思1 •熟悉平面向量共线充要条件的两种表达形式；2 •会用平面向量平行的充要条件的坐标形式证明三点共线和两直线平行；3•明白判断两直线平行与两向量平行的异同.。

2.3 平面向量的基本定理及其坐标表示2.3.1 平面向量基本定理2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示整体设计教学分析平面向量基本定理既是本节的重点又是本节的难点.平面向量基本定理告诉我们同一平面内任一向量都可表示为两个不共线向量的线性组合,这样,如果将平面内向量的始点放在一起,那么由平面向量基本定理可知,平面内的任意一点都可以通过两个不共线的向量得到表示,也就是平面内的点可以由平面内的一个点及两个不共线的向量来表示.这是引进平面向量基本定理的一个原因.在不共线的两个向量中,垂直是一种重要的特殊情形,向量的正交分解是向量分解中常用且重要的一种分解,因为在平面上,如果选取互相垂直的向量作为基底时,会给问题的研究带来方便.联系平面向量基本定理和向量的正交分解,由点在直角坐标系中的表示得到启发,要在平面直角坐标系中表示一个向量,最方便的是分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底,这时,对于平面直角坐标系内的一个向量a,由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数x、y,使得a=x i+y j.于是,平面内的任一向量a都可由x、y唯一确定,而有序数对(x,y)正好是向量a的终点的坐标,这样的“巧合”使平面直角坐标系内的向量与坐标建立起一一映射,从而实现向量的“量化”表示,使我们在使用向量工具时得以实现“有效能算”的思想.三维目标1.通过探究活动,能推导并理解平面向量基本定理.2.掌握平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示,理解这是应用向量解决实际问题的重要思想方法.能够在具体问题中适当地选取基底,使其他向量都能够用基底来表达.3.了解向量的夹角与垂直的概念,并能应用于平面向量的正交分解中,会把向量正交分解,会用坐标表示向量.重点难点教学重点:平面向量基本定理、向量的夹角与垂直的定义、平面向量的正交分解、平面向量的坐标表示.教学难点:平面向量基本定理的运用.课时安排1课时教学过程导入新课思路 1.在物理学中我们知道,力是一个向量,力的合成就是向量的加法运算.而且力是可以分解的,任何一个大小不为零的力,都可以分解成两个不同方向的分力之和.将这种力的分解拓展到向量中来,会产生什么样的结论呢？又如一个放在斜面上的物体所受的竖直向下的重力G,可分解为使物体沿斜面下滑的力F1和使物体垂直于斜面且压紧斜面的力F2.我们知道飞机在起飞时若沿仰角α的方向起飞的速度为v,可分解为沿水平方向的速度vcosα和沿竖直方向的速度vsinα.从这两个实例可以看出,把一个向量分解到两个不同的方向,特别是作正交分解,即在两个互相垂直的方向上进行分解,是解决问题的一种十分重要的手段.如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线的向量,a 是这一平面内的任一向量,那么a 与e 1、e 2之间有什么关系呢？在不共线的两个向量中,垂直是一种重要的情形.把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量正交分解.在平面上,如果选取互相垂直的向量作为基底,是否会给我们带来更方便的研究呢?思路2.前面我们学习了向量的代数运算以及对应的几何意义,如果将平面内向量的始点放在一起,那么平面内的任意一个点或者任意一个向量是否都可以用这两个同起点的不共线向量来表示呢？这样就引进了平面向量基本定理.教师可以通过多对几个向量进行分解或者合成,在黑板上给出图象进行演示和讲解.如果条件允许,用多媒体教学,通过相应的课件来演示平面上任意向量的分解,对两个不共线的向量都乘以不同的系数后再进行合成将会有什么样的结论？推进新课新知探究提出问题图1①给定平面内任意两个不共线的非零向量e 1、e 2,请你作出向量3e 1+2e 2、e 1-2e 2.平面内的任一向量是否都可以用形如λ1e 1+λ2e 2的向量表示呢?②如图1,设e 1、e 2是同一平面内两个不共线的向量,a 是这一平面内的任一向量,我们通过作图研究a 与e 1、e 2之间的关系.活动:如图1,在平面内任取一点O,作OA =e 1,OB =e 2,OC =a .过点C 作平行于直线OB 的直线,与直线OA;过点C 作平行于直线OA 的直线,与直线OB 交于点N.由向量的线性运算性质可知,存在实数λ1、λ2,使得OM =λ1e 1,ON =λ2e 2.由于ON OM OC +=,所以a =λ1e 1+λ2e 2.也就是说,任一向量a 都可以表示成λ1e 1+λ2e 2的形式.由上述过程可以发现,平面内任一向量都可以由这个平面内两个不共线的向量e 1、e 2表示出来.当e 1、e 2确定后,任意一个向量都可以由这两个向量量化,这为我们研究问题带来极大的方便.由此可得:平面向量基本定理:如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a ,有且只有一对实数λ1、λ2,使a =λ1e 1+λ2e 2.定理说明:(1)我们把不共线向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底;(2)基底不唯一,关键是不共线;(3)由定理可将任一向量a 在给出基底e 1、e 2的条件下进行分解;(4)基底给定时,分解形式唯一.讨论结果:①可以.②a =λ1e 1+λ2e 2.提出问题①平面中的任意两个向量之间存在夹角吗？若存在,向量的夹角与直线的夹角一样吗？ ②对平面中的任意一个向量能否用两个互相垂直的向量来表示？活动:引导学生结合向量的定义和性质,思考平面中的任意两个向量之间的关系是什么样的,结合图形来总结规律.教师通过提问来了解学生总结的情况,对回答正确的学生进行表扬,对回答不全面的学生给予提示和鼓励.然后教师给出总结性的结论:不共线向量存在夹角,关于向量的夹角,我们规定:图2已知两个非零向量a和b(如图2),作OA=a,OB=b,则∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角.显然,当θ=0°时,a与b同向;当θ=180°时,a与b反向.因此,两非零向量的夹角在区间[0°,180°]内.如果a与b的夹角是90°,我们说a与b垂直,记作a⊥b.由平面向量的基本定理,对平面上的任意向量a,均可以分解为不共线的两个向量λ1a1和λ2a2,使a=λ1a1+λ2a2.在不共线的两个向量中,垂直是一种重要的情形.把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量正交分解.如上,重力G沿互相垂直的两个方向分解就是正交分解,正交分解是向量分解中常见的一种情形.在平面上,如果选取互相垂直的向量作为基底时,会为我们研究问题带来方便.讨论结果:①存在夹角且两个非零向量的夹角在区间[0°,180°]内;向量与直线的夹角不一样.②可以.提出问题①我们知道,在平面直角坐标系中,每一个点都可用一对有序实数(即它的坐标)表示.对直角坐标平面内的每一个向量,如何表示呢?②在平面直角坐标系中,一个向量和坐标是否是一一对应的？图3活动:如图3,在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量ｉ、j作为基底.对于平面内的一个向量a,由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数x、y,使得a=xｉ+y j ①这样,平面内的任一向量a都可由x、y唯一确定,我们把有序数对(x,y)叫做向量a的坐标,记作a=(x,y) ②其中x叫做a在x轴上的坐标,y叫做a在y轴上的坐标,②式叫做向量的坐标表示.显然,ｉ=(1,0),j=(0,1),0=(0,0).教师应引导学生特别注意以下几点:(1)向量a与有序实数对(x,y)一一对应.(2)向量a 的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置没有关系,只与其相对位置有关系.如图所示,11B A 是表示a 的有向线段,A 1、B 1的坐标分别为(x 1,y 1)、(x 2,y 2),则向量a 的坐标为x=x 2-x 1,y=y 2-y 1,即a 的坐标为(x 2-x 1,y 2-y 1).(3)为简化处理问题的过程,把坐标原点作为表示向量a 的有向线段的起点,这时向量a 的坐标就由表示向量a 的有向线段的终点唯一确定了,即点A 的坐标就是向量a 的坐标,流程表示如下:讨论结果:①平面内的任一向量a 都可由x 、y 唯一确定,我们把有序数对(x,y)叫做向量a 的坐标,记作a =(x,y).②是一一对应的.应用示例思路1例1 如图4,ABCD,AB =a ,AD =b ,H 、M 是AD 、DC 之中点,F 使BF=31BC,以a ,b 为基底分解向量HF AM 和.图4活动:教师引导学生利用平面向量基本定理进行分解,让学生自己动手、动脑.教师可以让学生到黑板上板书步骤,并对书写认真且正确的同学提出表扬,对不能写出完整解题过程的同学给予提示和鼓励.解:由H 、M 、F 所在位置,有+=+=AD DM AD AM a b AB AD DC 212121+=+=AB 21=b +21a . AD AD AB AD BC AH BF AB AH AF HF 21312131-+=-+-+=-= =a 61-b . 点评:以a 、b 为基底分解向量AM 与HF ,实为用a 与b 表示向量AM 与HF . 变式训练图5已知向量e 1、e 2(如图5),求作向量-2.5e 1+3e 2作法:(1)如图,任取一点O,作OA =-2.5e 1,OB =3e 2.(2)作OACB. 故OC OC 就是求作的向量.图6例2 如图6,分别用基底ｉ、j 表示向量a 、b 、c 、d ,并求出它们的坐标.活动:本例要求用基底i 、j 表示a 、b 、c 、d ,其关键是把a 、b 、c 、d 表示为基底i 、j 的线性组合.一种方法是把a 正交分解,看a 在x 轴、y 轴上的分向量的大小.把向量a 用i 、j 表示出来,进而得到向量a 的坐标.另一种方法是把向量a 移到坐标原点,则向量a 终点的坐标就是向量a 的坐标.同样的方法,可以得到向量b 、c 、d 的坐标.另外,本例还可以通过四个向量之间位置的几何关系:a 与b 关于y 轴对称,a 与c 关于坐标原点中心对称,a 与d 关于x 轴对称等.由一个向量的坐标推导出其他三个向量的坐标.解:由图可知,a =1AA +2AA =x i +y j ,∴a =(2,3).同理,b =-2i +3j =(-2,3);c =-2i -3j =(-2,-3);d =2i -3j =(2,-3).点评:本例还可以得到启示,要充分运用图形之间的几何关系,求向量的坐标.变式训练i ,j 是两个不共线的向量,已知AB =3i +2j ,CB =i +λj ,CD =-2i +j ,若A 、B 、D 三点共线,试求实数λ的值.解:∵BD =CD -CB =(-2i +j )-(i +λj )=-3i +(1-λ)j ,又∵A、B 、D 三点共线, ∴向量AB 与BD 共线.因此存在实数υ,使得AB =υBD ,即3i +2j =υ[-3i +(1-λ)j ]=-3υi +υ(1-λ)j .∵i 与j 是两个不共线的向量,故⎩⎨⎧=-=-,2)1(,33λv v∴⎩⎨⎧=-=.3,1λv ∴当A 、B 、D 三点共线时,λ=3.例3 下面三种说法:①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面的基底;②一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底;③零向量不可以作为基底中的向量,其中正确的说法是( )A.①②B.②③C.①③D.①②③ 活动:这是训练学生对平面向量基本定理的正确理解,教师引导学生认真地分析和理解平面向量基本定理的真正内涵.让学生清楚在平面中对于基底的选取是不唯一的,只要是同一平面内的两个不共线的向量都可以作为基底.解:平面内向量的基底是不唯一的.在同一平面内任何一组不共线的向量都可作为平面内所有向量的一组基底;而零向量可看成与任何向量平行,故零向量不可作为基底中的向量.综上所述,②③正确.答案:B点评:本题主要考查的是学生对平面向量定理的理解.思路2图7例1 如图7,M 是△A BC 内一点,且满足条件=++CM BM AM 320,延长CM 交AB 于N,令CM =a ,试用a 表示CN .活动:平面向量基本定理是平面向量的重要定理,它是解决平面向量计算问题的重要工具.由平面向量基本定理,可得到下面两个推论:推论1:e 1与e 2是同一平面内的两个不共线向量,若存在实数λ1、λ2,使得λ1e 1+λ2e 2=0,则λ1=λ2=0.推论2:e 1与e 2是同一平面内的两个不共线向量,若存在实数a 1,a 2,b 1,b 2,使得a =a 1e 1+a 2e 2=b 1e 1+b 2e 2,则⎪⎩⎪⎨⎧==.,2211b a b a 解:∵,,NM BN BM NM AN AM +=+= ∴由CM BM AM 32++=0,得=++++CM NM BN NM AN 3)(2)(0. ∴CM BN NM AN 323+++=0.又∵A、N 、B 三点共线,C 、M 、N 三点共线,由平行向量基本定理,设,,NM CM BN AN μλ== ∴=+++NM BN NM BN μλ3230.∴(λ+2)BN +(3+3μ)NM =0. 由于BN 和NM 不共线,∴⎩⎨⎧=+=+,033,02μλ∴⎩⎨⎧-=-=12μλ ∴.MN NM CM =-=∴CM MN CM CN 2=+==2a .点评:这里选取NM BN ,作为基底,运用化归思想,把问题归结为λ1e 1+λ2e 2=0的形式来解决.变式训练设e 1与e 2是两个不共线向量,a =3e 1+4e 2,b =-2e 1+5e 2,若实数λ、μ满足λa +μb =5e 1-e 2,求λ、μ的值.解:由题设λa +μb =(3λe 1+4λe 2)+(-2μe 1+5μe 2)=(3λ-2μ)e 1+(4λ+5μ)e 2.又λa +μb =5e 1-e 2.由平面向量基本定理,知⎩⎨⎧-=+=-.154,523λλλλ 解之,得λ=1,μ=-1.图8例2 如图8,△A BC 中,AD 为△A BC 边上的中线且AE=2EC,求GEBG GD AG 及的值. 活动:教师让学生先仔细分析题意,以明了本题的真正用意,怎样把平面向量基本定理与三角形中的边相联系？利用化归思想进行转化完后,然后结合向量的相等进行求解比值. 解:设μλ==GEBG GD AG , ∵BD =DC ,即AD -AB =AC -AD , ∴AD =21(AB +AC ). 又∵AG =λGD =λ(AD -AG ), ∴AG =λλ+1AD =)1(2λλ+AB +)1(2λλ+AC . ① 又∵BG =μGE ,即AG -AB =μ(AE -AG ),∴(1+μ)AG =AB +μAG AE ,=AE AB μμμ+++111 又AE =32AC ,∴AG =AB μ+11+)1(32μμ+AC . ② 比较①②,∵AB 、AC 不共线, ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=++=+.)1(32)1(2,11)1(2μμλλμλλ解之,得⎪⎩⎪⎨⎧==23,4μλ∴.23,4==GE BG GD AG 点评:本例中,构造向量在同一基底下的两种不同表达形式,利用相同基向量的系数对应相等得到一实数方程组,从而进一步求得结果.变式训练过△O AB 的重心G 的直线与边OA 、OB 分别交于P 、Q,设OP =h OA ,OB k OQ =,试证:311=+kh 解:设OA =a ,OB =b ,OG 交AB 于D,则OD =21(OB OA +)=21(a +b )(图略). ∴OG =32OD =31(a +b ),OQ OG QG -==31(a +b )-k b =31a +331k -b , OQ OP QP -==h a -k b .∵P、G 、Q 三点共线,∴QP QG λ=. ∴31a +331k -b =λh a -λk b .∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=.331,31k k h λλ 两式相除,得.3311hk h k k h k =+⇒-=-, ∴kh 11+=3. 知能训练1.已知G 为△A BC 的重心,设AB =a ,AC =b ,试用a 、b 表示向量AG .2.已知向量a =(x+3,x 2-3x-4)与AB 相等,其中A(1,2),B(3,2),求x.图9解答:1.如图9,AG =32AD , 而=+=+=BC AB BD AB AD 21a +21(b -a )=21a +21b , ∴3232==AD AG (21a +21b )=31a +31b . 点评:利用向量加法、减法及数乘的几何意义. 2.∵A(1,2),B(3,2),∴AB =(2,0). ∵a=AB ,∴(x+3,x 2-3x-4)=(2,0). ∴⎩⎨⎧=--=+043,232x x x 解得⎩⎨⎧=-=-=.41,1x x x 或 ∴x=-1.点评:先将向量AB 用坐标表示出来,然后利用两向量相等的条件就可使问题得到解决. 课堂小结1.先由学生回顾本节学习的数学知识:平面向量的基本定理,向量的夹角与垂直的定义,平面向量的正交分解,平面向量的坐标表示.2.教师与学生一起总结本节学习的数学方法,如待定系数法,定义法,归纳与类比,数形结合,几何作图.作业课本习题2.3 A 组1.设计感想1.本节课内容是为了研究向量方便而引入的一个新定理——平面向量基本定理.教科书首先通过“思考”:让学生思考对于平面内给定的任意两个向量进行加减的线性运算时所表示的新向量有什么特点,反过来,对平面内的任意向量是否都可以用形如λ1e 1+λ2e 2的向量表示.2.教师应该多提出问题,多让学生自己动手作图来发现规律,通过解题来总结方法,引导学生理解“化归”思想对解题的帮助,也要让学生善于用“数形结合”的思想来解决这部分的题.3.如果条件允许,借助多媒体进行教学会有意想不到的效果.整节课的教学主线应以学生练习为主,教师给与引导和提示.充分让学生经历分析、探究并解决实际问题的过程,这也是学习数学,领悟思想方法的最好载体.学生这种经历的实践活动越多,解决实际问题的方法就越恰当而简捷.。

2．3.2 平面向量的坐标运算整体设计教学分析1．前面学习了平面向量的坐标表示，实际是平面向量的代数表示．在引入了平面向量的坐标表示后可使向量完全代数化，将数与形紧密结合起来，这就可以使很多几何问题的解答转化为学生熟知的数量运算．2．本小节主要是运用向量线性运算的交换律、结合律、分配律，推导两个向量的和的坐标、差的坐标以及数乘的坐标运算．推导的关键是灵活运用向量线性运算的交换律、结合律和分配律．3．引进向量的坐标表示后，向量的线性运算可以通过坐标运算来实现，一个自然的想法是向量的某些关系，特别是向量的平行、垂直，是否也能通过坐标来研究呢？前面已经找出两个向量共线的条件(如果存在实数λ，使得a＝λb，那么a与b共线)，本节则进一步地把向量共线的条件转化为坐标表示．这种转化是比较容易的，只要将向量用坐标表示出来，再运用向量相等的条件就可以得出平面向量共线的坐标表示．要注意的是，向量的共线与向量的平行是一致的．三维目标1．通过经历探究活动，使学生掌握平面向量的和、差、实数与向量的积的坐标表示方法．理解并掌握平面向量的坐标运算以及向量共线的坐标表示．2．引入平面向量的坐标可使向量运算完全代数化，平面向量的坐标成了数与形结合的载体．在解决问题过程中要形成见数思形、以形助数的思维习惯，以加深理解知识要点，增强应用意识．重点难点教学重点：平面向量的坐标运算．教学难点：对平面向量共线的坐标表示的理解．课时安排2课时教学过程第1课时导入新课对于平面内的任意向量a ，过定点O 作向量OA →＝a ，则点A 的位置被向量a 的大小和方向所惟一确定．如果以定点O 为原点建立平面直角坐标系，那么点A 的位置可通过其坐标来反映，从而向量a 也可以用坐标来表示，这样就可以通过坐标来研究向量问题了．事实上，向量的坐标表示，实际上是向量的代数表示．引入向量的坐标表示可使向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，这就可以使很多几何问题的解答转化为学生熟知的数量运算．引进向量的坐标表示后，向量的线性运算怎样通过坐标运算来实现呢？推进新课新知探究1．平面向量的坐标表示在平面直角坐标系内，分别取与x 轴，y 轴正方向相同的两个单位向量i ，j 作为基底，对任一向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x ，y ，使得a ＝x i ＋y j ，则实数对(x ，y)叫做向量a 的坐标，记作a ＝(x ，y)．注意：(1)在直角坐标平面内，以原点为起点的向量OA →的坐标就等于点A 的坐标． (2)两个向量相等对应坐标相等． 2．平面向量的坐标运算(1)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ±b ＝(x 1±x 2，y 1±y 2)． (2)若A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)．即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标． |AB →|＝2－x 12＋2－y 12，即平面内两点间的距离公式．(3)若a ＝(x ，y)，则λa ＝(λx ，λy)，λ∈R . 3．线段的中点坐标公式若P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则P 1P 2的中点P(x 1＋x 22，y 1＋y 22)．应用示例思路1例1课本本节例1. 变式训练已知平面向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，则向量12a －32b 等于( )A ．(－2，－1)B ．(－2,1)C ．(－1,0)D ．(－1,2) 答案：D例2课本本节例2. 变式训练 1.如图1，已知的三个顶点A 、B 、C 的坐标分别是(－2,1)、(－1,3)、(3,4)，试求顶点D 的坐标．图1活动：本题的目的仍然是让学生熟悉平面向量的坐标运算．这里给出了两种解法：方法一利用“两个向量相等，则它们的坐标相等”，解题过程中应用了方程思想；方法二利用向量加法的平行四边形法则求得向量OD →的坐标，进而得到点D 的坐标．解题过程中，关键是充分利用图形中各线段的位置关系(主要是平行关系)，数形结合地思考，将顶点D 的坐标表示为已知点的坐标．解：方法一：如图1，设顶点D 的坐标为(x ，y)． ∵AB →＝(－1－(－2)，3－1)＝(1,2)，DC →＝(3－x,4－y)， 由AB →＝DC →，得(1,2)＝(3－x,4－y)．∴⎩⎪⎨⎪⎧1＝3－x ，2＝4－y.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2.∴顶点D 的坐标为(2,2)．方法二：如图1，由向量加法的平行四边形法则可知BD →＝BA →＋AD →＝BA →＋BC →＝(－2－(－1)，1－3)＋(3－(－1)，4－3)＝(3，－1)，而OD →＝OB →＋BD →＝(－1,3)＋(3，－1)＝(2,2)， ∴顶点D 的坐标为(2,2)．点评：本题的目的仍然是让学生熟悉平面向量的坐标运算．2.如图2，已知平面上三点的坐标分别为A(－2,1)，B(－1,3)，C(3,4)，求点D 的坐标，图2使这四点构成平行四边形的四个顶点． 解：当为ABCD 时，仿例2得D 1＝(2,2)；当为ACDB 时，仿例2得D 2＝(4,6)； 当为DACB 时，仿例2得D 3＝(－6,0).例3课本本节例4.思路2例1设点P 是线段P 1P 2上的一点，P 1、P 2的坐标分别是(x 1，y 1)、(x 2，y 2)． (1)当点P 是线段P 1P 2的中点时，求点P 的坐标； (2)当点P 是线段P 1P 2的一个三等分点时，求点P 的坐标．活动：教师充分让学生思考，并提出：这一结论可以推广吗？即当P 1PPP 2＝λ时，点P 的坐标是什么？师生共同讨论，一起探究，可按照求中点坐标的解题思路类比推广，有学生可能提出如下推理方法：由P 1P →＝λPP 2→，知(x －x 1，y －y 1)＝λ(x 2－x ，y 2－y)，即⎩⎪⎨⎪⎧x －x 1＝λ2－y －y 1＝λ2－⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋λx 21＋λ，y ＝y 1＋λy21＋λ.这就是线段的定比分点公式，教师要给予充分肯定，鼓励学生的这种积极探索，这是学习数学的重要品质．时间允许的话，可以探索λ的取值符号对P 点位置的影响，也可鼓励学生课后探索．解：(1)如图3，由向量的线性运算可知图3OP →＝12(OP 1→＋OP 2→)＝(x 1＋x 22，y 1＋y 22)．所以点P 的坐标是(x 1＋x 22，y 1＋y 22)．(2)如图4，当点P 是线段P 1P 2的一个三等分点时，有两种情况，即P 1P PP 2＝12或P 1PPP 2＝2.如果P 1P PP 2＝12，那么 OP →＝OP 1→＋P 1P →＝OP 1→＋13P 1P 2→＝OP 1→＋13(OP 2→－OP 1→)＝23OP 1→＋13OP 2→图4＝(2x 1＋x 23，2y 1＋y 23)．即点P 的坐标是(2x 1＋x 23，2y 1＋y 23)．同理，如果P 1P PP 2＝2，那么点P 的坐标是(x 1＋2x 23，y 1＋2y 23)．点评：本例实际上给出了线段的中点坐标公式和线段的三等分点坐标公式.例2已知点A(1,2)，B(4,5)，O 为坐标原点，OP →＝OA →＋tAB →.若点P 在第二象限，求实数t 的取值范围．活动：教师引导学生利用向量的坐标运算以及向量相等，把已知条件转化为含参数的方程(组)或不等式(组)再进行求解．教师以提问的方式来了解学生组织步骤的能力，或者让学生到黑板上板书解题过程，并对思路清晰过程正确的同学进行表扬，同时也要对组织步骤不完全的同学给予提示和鼓励．教师要让学生明白“化归”思想的利用．不等式求变量取值范围的基本观点是：将已知条件转化为关于变量的不等式(组)，那么变量的取值范围就是这个不等式(组)的解集．解：由已知AB →＝(4,5)－(1,2)＝(3,3)， ∴OP →＝(1,2)＋t(3,3)＝(3t ＋1,3t ＋2)．若点P 在第二象限，则⎩⎪⎨⎪⎧3t ＋1<03t ＋2>0⇒－23<t<－13.故t 的取值范围是(－23，－13)．点评：此题通过向量的坐标运算将点P 的坐标用t 表示，由点P 在第二象限可得到一个关于t 的不等式组，这个不等式组的解集就是t 的取值范围．知能训练课本本节练习1～6.课堂小结1．先由学生回顾本节都学习了哪些数学知识：平面向量的和、差、数乘的坐标运算． 2．教师与学生一起总结本节学习的数学方法，定义法、归纳、整理、概括的思想，强调在今后的学习中，要善于培养自己不断探索、善于发现、勇于创新的科学态度和求实开拓的精神，为将来的发展打下良好的基础．作业课本习题2.3 1～8.设计感想1．本节课中向量的坐标表示及运算实际上是向量的代数运算．这对学生来说学习并不困难，可大胆让学生自己探究．本教案设计流程符合新课改精神．教师在引导学生探究时，始终抓住向量具有几何与代数的双重属性这一特征和向量具有数与形紧密结合的特点．让学生在了解向量知识网络结构的基础上，进一步熟悉向量的坐标表示以及运算法则、运算律，能熟练向量代数化的重要作用和在实际生活中的应用，并加强数学应用意识，提高分析问题、解决问题的能力．2．平面向量的坐标运算包括向量的代数运算与几何运算．相比较而言，学生对向量的代数运算要容易接受一些，但对向量的几何运算往往感到比较困难，无从下手．3．通过平面向量坐标的加、减代数运算，结合图形，不但可以建立向量的坐标与点的坐标之间的联系，而且教师可在这两题的基础上稍作推广，就可通过求向量的模而得到直角坐标系内的两点间的距离公式甚至可以推出中点坐标公式．它们在处理平面几何的有关问题时，往往有其独到之处，教师可让学有余力的学生课下继续探讨，以提高学生的思维发散能力．备课资料一、关于点P 分有向线段所成的比的探讨(1)定义法：根据已知条件直接找到使P 1P →＝λPP 2→的实数λ的值．例1已知点A(－2，－3)，点B(4,1)，延长AB 到P ，使|AP →|＝3|PB →|，求点P 的坐标． 解：因为P 点在AB 的延长线上，P 为AB →的外分点，所以AP →＝λPB →，λ<0. 又根据|AP →|＝3|PB →|，可知λ＝－3，由分点坐标公式易得P 点的坐标为(7,3)． (2)公式法：依据定比分点坐标公式．x ＝x 1＋λx 21＋λ，y ＝y 1＋λy 21＋λ，结合已知条件求解λ.例2已知两点P 1(3,2)，P 2(－8,3)，求点P(12，y)分P 1P 2→所成的比λ及y 的值．解：由线段的定比分点坐标公式，得⎩⎪⎨⎪⎧12＝3＋λ－1＋λ，y ＝2＋λ×31＋λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝517，y ＝4922.例3如图5，已知三点A(0,8)，B(－4,0)，C(5，－3)，D 点内分AB →的比为1∶3，E 点在BC 边上，且使△BDE 的面积是△ABC 面积的一半，求DE 中点的坐标．图5分析：要求DE 中点的坐标，只要求得点D 、E 的坐标即可，又由于点E 在BC 上，△BDE 与△ABC 有公共顶点B ，所以它们的面积表达式选定一公用角可建立比例关系求解．解：由已知有AD →＝13DB →，则得|DB →||AB →|＝34，又S △BDE S △ABC ＝12，则S △BDE ＝12|DB →||BE →|sin∠DBE， S △ABC ＝12|AB →||BC →|sin∠ABC，且∠DBE＝∠ABC，∴|DB →||BE →||AB →||BC →|＝12，即得|BE →||BC →|＝23. 又点E 在边BC 上，∴|BE →||EC →|＝2.∴点E 分BC →所成比λ＝2.由定比分点坐标公式有⎩⎪⎨⎪⎧x E ＝－4＋2×51＋2＝2，y E＝0＋－1＋2＝－2，即E(2，－2)， 又由⎩⎪⎨⎪⎧x D ＝0＋13－1＋13＝－1，y D＝81＋13＝6，有D(－1,6)．记线段DE 的中点为M(x ，y)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋－2＝12，y ＝－2＋62＝2，即M(12，2)为所求．二、备用习题1．已知a ＝(3，－1)，b ＝(－1,2)，则－3a －2b 等于( ) A ．(7,1) B ．(－7，－1) C ．(－7,1) D ．(7，－1)2．已知A(1,1)，B(－1,0)，C(0,1)，D(x ，y)，若AB →和CD →是相反向量，则D 点的坐标是( )A ．(－2,0)B ．(2,2)C ．(2,0)D ．(－2，－2)3．若点A(－1，－1)，B(1,3)，C(x,5)共线，则使AB →＝λBC →的实数λ的值为( ) A ．1 B ．－2 C ．0 D ．24．已知A 、B 、C 三点共线，且A(3，－6)，B(－5,2)，若C 点的横坐标为6，则C 点的纵坐标为( )A ．－2B ．9C ．－9D ．135．若A(2,3)，B(x,4)，C(3，y)，且AB →＝2AC →，则x ＝________，y ＝________. 6．已知中，AD →＝(3,7)，AB →＝(－2,1)，则CO →的坐标(O 为对角线的交点)为________．7．向量OA →＝(k,12)，OB →＝(4,5)，OC →＝(10，k)，当k 为何值时，A 、B 、C 三点共线？ 8．已知点A(2,3)，B(5,4)，C(7,10)，若AP →＝AB →＋λAC →(λ∈R )，试问：当λ为何值时，点P 在第一与第三象限的角平分线上？当λ在什么范围内取值时，点P 在第三象限内？9．如图6所示，已知△AOB 中，A(0,5)，O(0,0)，B(4,3)，OC →＝14OA →，OD →＝12OB →，AD 与BC 相交于点M ，求点M 的坐标．图610．已知四边形ABCD 是正方形，BE∥AC，AC ＝CE ，EC 的延长线交BA 的延长线于点F ，求证：AF ＝AE.参考答案：1．B 2.B 3.D 4.C 5.4 72 6.(－12，－4)7．解：∵OA →＝(k,12)，OB →＝(4,5)，OC →＝(10，k)， ∴AB →＝OB →－OA →＝(4－k ，－7)，BC →＝OC →－OB →＝(6，k －5)． ∵AB →∥BC →，∴存在实数λ，使得(4－k ，－7)＝λ(6，k －5)． ∴k 2－9k －22＝0.解得k ＝11或k ＝－2. 8．解：∵AB →＝(3,1)，AC →＝(5,7)，∴AB →＋λAC →＝(3＋5λ，1＋7λ)．而AP →＝AB →＋λAC →(已知)， ∴OP →＝OA →＋AP →＝(2,3)＋(3＋5λ，1＋7λ)＝(5＋5λ，4＋7λ)． (1)若点P 在第一与第三象限的角平分线上，则5＋5λ＝4＋7λλ＝12；(2)若点P 在第三象限内，则⎩⎪⎨⎪⎧5＋5λ<04＋7λ<0⇒λ∈(－∞，－1)．9．解：∵OC →＝14OA →＝14(0,5)＝(0，54)，∴C(0，54)．∵OD →＝12OB →＝12(4,3)＝(2，32)，∴D(2，32)．设M(x ，y)，则AM →＝(x ，y －5)，AD →＝(2－0，32－5)＝(2，－72)．∵AM →∥AD →，∴存在实数λ，使得(x ，y －5)＝λ(2，－72)，即7x ＋4y ＝20.①又CM →＝(x ，y －54)，CB →＝(4，74)，∵CM →∥CB →，∴存在实数μ，使得(x ，y －54)＝μ(4，74)，即7x －16y ＝－20.②联立①②解得x ＝127，y ＝2，故点M 的坐标为(127，2)．10．证明：建立如图7所示的直角坐标系，为了研究方便，不妨设正方形ABCD 的边长为1，则B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)，设E(x ，y)，这里y>0，于是AC →＝(1,1)，BE →＝(x －1，y)．图7∵AC →∥BE →，∴存在实数λ，使得(1,1)＝λ(x －1，y)，即1×y－(x －1)×1＝0 ⇒y ＝x －1.①∵AC＝OC ＝CE(已知)，∴CE 2＝OC 2－1)2＋(y －1)2＝2.②由y>0，联立①②解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋32，y ＝1＋32，即E(3＋32，1＋32)． AE ＝OE ＝3＋322＋1＋322＝3＋1.设F(t,0)，则FC →＝(1－t,1)，CE →＝(1＋32，－1＋32)．∵F，C ，E 三点共线，∴FC →∥CE →.∴存在实数μ，使得(1－t ，t)＝μ(1＋32，－1＋32)，即(1－t)×－1＋32－1＋32×1＝0，解得t ＝－1－3.∴AF＝OF ＝1＋3.∴AF＝AE.第2课时导入新课向量的应用主要是解决平面几何问题，而几何中的平行问题占着重要的地位，向量的平行包含着几何中的平行情形，本章开始时已初步研究了向量的平行问题，但仍然用的是几何方法来研究的．本节课通过坐标的方法来研究向量的平行问题，但涉及内容不是很深．推进新课新知探究若向量a 与非零向量b 为共线向量，则当且仅当存在惟一的一个实数λ，使得a ＝λb ，那么这个条件如何用坐标来表示呢？活动：教师引导推证：设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠a ，由a ＝λb ，(x 1，y 1)＝λ(x 2，y 2) ⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝λx 2，y 1＝λy 2，消去λ，得x 1y 2－x 2y 1＝0.结论：a ∥b (b ≠0) ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. 教师应向学生特别提醒感悟：1°消去λ时不能两式相除，∵y 1、y 2有可能为0，而b ≠0，∴x 2、y 2中至少有一个不为0.2°此条件不能写成y 1x 1＝y 2x 2(∵x 1，x 2有可能为0)．3°从而向量共线的条件有两种形式：a ∥b (b ≠0) ⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＝λb ，x 1y 2－x 2y 1＝0.由此我们得到：设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)(a ≠0)，如果a ∥b ，那么x 1y 2－x 2y 1＝0； 反过来，如果x 1y 2－x 2y 1＝0，那么a ∥b .证明：a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，因为a ≠0，所以x 1、y 1不全为0. 不妨假设x 1≠0.(1)如果a ∥b ，则存在实数λ，使b ＝λa ，即(x 2，y 2)＝λ(x 1，y 1)＝(λx 1，λy 1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝λx 1，y 2＝λy 1.①②因为x 1≠0，由①得λ＝x 2x 1.③将③代入②，得y 2＝x 2x 1y 1，即x 1y 2－x 2y 1＝0.(2)反之，如果x 1y 2－x 2y 1＝0，因为x 1≠0，所以y 2＝x 2x 1y 1.(x 2，y 2)＝(x 2，x 2x 1y 1)＝x 2x 1(x 1，y 1)．令λ＝x 2x 1，则b ＝λa ，所以a ∥b .应用示例例1已知a ＝(1,0)，b ＝(2,1)，当实数k 为何值时，向量k a －b 与a ＋3b 平行？并确定此时它们是同向还是反向．解：k a －b ＝k(1,0)－(2,1)＝(k －2，－1)，a ＋3b ＝(1,0)＋3(2,1)＝(7,3)． 由向量平行的条件，可得3·(k－2)－(－1)·7＝0，所以k ＝－13.此时，k a －b ＝(－73，－1)＝－13(7,3)＝－13(a ＋3b )．因此，它们是反向的.例2已知点O ，A ，B ，C 的坐标分别为(0,0)，(3,4)，(－1,2)，(1,1)，是否存在常数t ，使得OA →＋tOB →＝OC →成立？解释你所得结论的几何意义．解：设存在常数t ，使得OA →＋tOB →＝OC →，则(3,4)＋t(－1,2)＝(1,1)，所以t(－1,2)＝(1,1)－(3,4)＝(－2，－3)．所以⎩⎪⎨⎪⎧－t ＝－2，2t ＝－3.此方程组无解，故不存在这样的常数t. 上述结论表明向量AC →与OB →不平行.知能训练课本本节练习1、2、3.课堂小结代数化研究向量平行问题是本节课的重点内容，向量的平行可以公式化地解决，这就是数学化思考问题的方法，我们通过本节课，不光要记住平行向量的坐标表示的方法，还要理解数学化处理问题的思想．设计感想本节课的主要内容是让学生探究向量平行的坐标表示及应用，实际上向量的应用主要是解决平面几何问题和物理问题的．在平面几何中平行问题占着重要的地位．本章开始时已初步研究了向量的平行问题，但所用方法仍是向量的几何法．本节是通过坐标的方法来探究向量的平行问题，由于上节学生刚刚探究了向量的坐标表示及坐标运算，所以本节的教学活动完全可以放给学生自己探究完成，本教案的设计就是在教师的指导下，学生探究、应用．由于本节难度小，学生会轻松愉快地掌握好本节内容．备课资料备用习题1．若a ＝2i ＋3j ，b ＝4i ＋y j ，且a ∥b ，则y 等于( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．82．已知A(1，－3)，B(8，12)，若A 、B 、C 三点共线，则C 点坐标可能是( )A ．(－9,1)B ．(9，－1)C ．(9,1)D ．(－9，－1)3．向量a ＝(n,1)与b ＝(4，n)共线且方向相同，则n ＝________. 4．已知O 点是ABCD 的对角线的交点，AD →＝(2,5)，AB →＝(－2,3)，则CD →坐标为________，DO →坐标为________，CO →坐标为________．5．△ABC 中，A(2，－1)，B(－3,2)，C(0，－4)，D 、E 、F 是BC 、AB 、AC 的中点，若EF 与AD 交于M 点，求DM →.6．已知四点A(5, 1), B(3, 4)，C(1, 3)，D(5, －3)，求证：四边形ABCD 是梯形． 7．若a ＝(－1，x)与b ＝(－x, 2)共线且方向相同，求x. 参考答案： 1．C 2.C3．2 n 2－4＝0，∴n＝±2.又a 与b 方向相同，∴n＝2. 4．(2，－3) (－2，－1) (0，－4) 5．解：由EF 为中位线，得EF 平分AD ，∴DM →＝12DA →＝12(DB →＋BA →)＝14CB →＋12BA →＝14(－3,6)＋12(5，－3)＝(74，0)．6．解：∵AB →＝(－2, 3)，DC →＝(－4, 6)，∴2AB →＝DC →. ∴AB →∥DC →且|AB →|≠|DC →|. ∴四边形ABCD 是梯形．7．解：∵a ＝(－1，x)与b ＝(－x, 2)共线， ∴(－1)×2－x·(－x)＝0.∴x＝±2.∵a 与b 方向相同，∴x＝ 2.。

江苏省连云港市灌云县四队中学高中数学必修四教案：2.3.2平面向量的坐标运算2教学目标 1．掌握两向量平行时坐标表示的充要条件；2．能利用两向量平行的坐标表示解决有关综合问题。

重点难点 1．向量平行的充要条件的坐标表示；2．应用向量平行的充要条件证明三点共线和两直线平行的问题。

教学过程（一）复习：1．已知(3,2)a =，(0,1)b =-，求24a b -+，43a b +的坐标；2．已知点(1,1)A ，(1,5)B -及12AC AB =，2AD AB =，12AE AB =-，求点C 、D 、E 的 坐标。

归纳：（1）设点11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2121(,)AB x x y y =--；（2）11(,)a x y =，22(,)b x y =，则1212(,)a b x x y y +=++， 1212(,)a b x x y y -=--，11(,)a x y λλλ=；3．向量a 与非零向量b 平行的充要条件是：(,0)a b R b λλ=∈≠.（二）新课讲解：1．向量平行的坐标表示：设11(,)a x y =，22(,)b x y =，（0b ≠），且//a b ，则(,0)a b R b λλ=∈≠，∴112222(,)(,)(,)x y x y x y λλλ==.∴1212x x y y λλ=⎧⎨=⎩，∴12210x y x y -=. 归纳：向量平行（共线）的充要条件的两种表达形式：①//a b (0)b ≠⇔(,0)a b R b λλ=∈≠；②//a b (0)b ≠且设11(,)a x y =，22(,)b x y =⇔12210x y x y -=（1212,,,x x y y R ∈）例1 已知(4,2)a =，(6,)b y =，且//a b ，求y ．解：∵//a b ，∴4260y -⨯=．∴3y =．例2 已知(1,1)A --，(1,3)B ，(2,5)C ，求证A 、B 、C 三点共线．证明：(1(1),3(1))(2,4)AB =----=，(2(1),5(1))(3,6)AC =----=，又26340⨯-⨯=，∴//AB AC .∵直线AB 、直线AC 有公共点A ，∴A ，B ，C 三点共线。

课题:2.3.2平面向量的坐标表示班级： 姓名： 学号： 第 学习小组、【学习目标】掌握平面向量的坐标表示及坐标运算【课前预习】1、在直角坐标平面内一点M 是如何表示的？ 。

2、以原点O 为起点，M 为终点，能不能也用坐标来表示OM 呢？例：)4,3(M3、平面向量的坐标表示。

4、平面向量的坐标运算。

已知),(11y x a = 、),(22y x b = 、实数λ，那么 =+b a ；=-b a ；=a λ 。

【课堂研讨】例1、如图，已知O 是坐标原点，点A 在第一象限，34||=OA ，︒=∠60xOA ，求向量OA 的坐标。

例2、如图，已知)3,1(-A ，)3,1(-B ，)1,4(C ，)4,3(D ，求向量OA ，OB ，AO ，CD 的坐标。

例3、用向量的坐标运算解：如图，质量为m 的物体静止的放在斜面上，斜面与水平面的夹角为θ， 求斜面对物体的摩擦力f 。

例4、已知),(111y x P ，),(222y x P ，P 是直线21P P上一点，且)1(21-≠=λλPP P P ，求点P 的坐标。

【学后反思】课题:2.3.2平面向量的坐标表示检测案班级： 姓名： 学号：【课堂检测】 1、与向量)5,12(=a 平行的单位向量为（ ）A 、)135,1312(B 、)135,1312(--C 、)135,1312(或)135,1312(-- D 、)135,1312(±± 2、已知O 是坐标原点，点A 在第二象限，2||=OA ，︒=∠150xOA ， 求向量OA 的坐标。

3、已知四边形ABCD 的顶点分别为)1,2(A ，)3,1(-B ，)4,3(C ，)2,6(D ，求向量AB ，DC 的坐标，并证明四边形ABCD 是平行四边形。

4、已知作用在原点的三个力)2,1(1F ，)3,2(2-F ，)4,1(3--F ，求它们的合力的坐标。

5、已知O 是坐标原点，)1,2(-A ，)8,4(-B ，且03=+BC AB ，求OC 的坐标。

第7课时 §2.3.2 向量的坐标表示（2）【教学目标】一、知识与技能理解用坐标表示的平面向量共线的条件，体会数形结合的思想二、过程与方法经历知识的探究与交流来感受向量平行的坐标表示三、情感、态度与价值观数形结合思想的熏陶培养学生的审美意识【教学重点难点】平面向量共线的条件简单应用、平面向量共线的条件的证明一、复习1．已知(3,2)a =，(0,1)b =-，求24a b -+，43a b +的坐标；2．已知点(1,1)A ，(1,5)B -及12AC AB =，2AD AB =，12AE AB =-，求点C 、D 、E 的 坐标。

3．向量共线定理：二、创设情景： 我们知道，对于两个非零向量()b a a ,0≠，如果有一个实数，使a b λ=，那么是共线向量与a b 。

问题1 能否向量形式坐标化？即利用坐标关系来刻画向量共线？三、讲解新课：向量平行的坐标表示：设11(,)a x y =，22(,)b x y =，（0b ≠），且//a b ，则(,0)a b R b λλ=∈≠，∴112222(,)(,)(,)x y x y x y λλλ==.∴1212x x y y λλ=⎧⎨=⎩，∴12210x y x y -=. 归纳：向量平行（共线）的等价条件的两种表达形式：①//a b (0)b ≠⇔(,0)a b R b λλ=∈≠；②//a b (0)b ≠且设11(,)a x y =，22(,)b x y =⇔12210x y x y -=（1212,,,x x y y R ∈）四、例题分析：例1 、已知向量a =（4，3），b =（6，y ），且a ∥b ，求实数y 的值。

例2、已知A （0，-2），B （2，2），C （3，4），求证：A 、B 、C 三点共线。

例3、已知a=（1，0），b=（2，1），当实数k 为何值时，向量ka-b 与a+3b 平行？并确定此时它们时同向还是反向？例4、已知(2,4)a =-，(1,3)b =-，(6,5)c =，2p a b c =+-，则以a ，b 为基底，求p例5、已知点(1,1)A --，(1,3)B ，(1,5)C ，(2,7)D ，向量AB 与CD 平行吗？直线AB 平行与直线CD 吗？五、课时小结：1．熟悉平面向量共线的两种表达形式；2．会用平面向量平行的坐标形式证明三点共线和两直线平行；3．明白判断两直线平行与两向量平行的异同六、反馈练习。