信号与系统 第3讲

一、经典法
( p + a n 1 p
n
n 1
+ ... + a1 p + a0 )r ( t ) = 0
p+3 , 且r (0) = 1, r ' (0) = 2, 例1：已知一系统 H ( p ) = 2 p + 3p+ 2 求系统零输入响应
r (t ) = 4e t 3e 2t t≥0
分析： 系统的特征方程就是转移算子的分母D(p) 分析： 系统的特征方程就是转移算子的分母 解：第一步 求微分方程的特征根
m n m+n
m,n为任意整数 为任意整数
m , n同为正数或负数
微分和积分的次序不能交换
1 1 p 问： = p? p p
问:px(t)=py(t)
x(t)=y(t)
一般的微分方程： 一般的微分方程：
dn d n1 d r ( t ) + a n 1 n 1 r ( t ) + ... + a 1 r (t ) + a0r (t ) n dt dt dt dm d m 1 d e ( t ) + b m 1 m 1 e ( t ) + ... + b 1 e ( t ) + b0 e ( t ) = bm m dt dt dt
rzi ( t ) = C 1 e
若有k阶重根： 若有 阶重根： 阶重根
λ1t
+ C 2e
λ 2t
+ ... + C n e
λnt
rzi ( t ) = (C1 + C 2 t + C 3 t + ... + C k t
2
k 1
)e
λ1t
+ C k +1e
λk +1 t
+ ... + C n e
λn t
λ + 4λ + 3 = 0
2
r (t ) =C 1e t + C2 e 3t
C1 + C 2 = 2 C 1e + C 2 e
1 3
= 0.42
r (t ) = e t + e 3t
t≥0
( p n + a n1 p n1 + ... + a1 p + a0 )r ( t ) = 0
1 写解的形式： 写解的形式：
第一节 系统方程的算子表示法
R
+ e(t) -
+ uc -
C
dr (t) C .R + r (t ) = e(t ) dt dr (t) r (t ) 1 + = e(t ) dt RC RC
1 1 d n dn 1 t )r ( t ) = e(t ) 微分算子： 微分算子：p = ; p = n ; = ∫∞ ( )dτ ; ( p + RC RC dt dt p
(0) = λ1
( n 1 )
C1 + λ2
( n 1 )
C 2 + ... + λn
( n 1 )
Cn
第三节
奇异函数
1 熟练掌握阶跃函数及其表示信号的方法 2 **充分理解冲激函数的定义 3 熟练掌握冲激函数的性质
一
阶跃函数
1. 定义
0 ( t < 0) ε (t ) = 1 ( t > 0)
b m p m + b m 1 p m 1 + ... + b 1 p + b 0 H ( p) = p n + a n 1 p n 1 + ... + a 1 p + a 0
第二节 零输入响应
熟练掌握零输入响应的经典法 零输入响应:系统在没有输入激励的情况下， 零输入响应 系统在没有输入激励的情况下，仅仅由系统的初 系统在没有输入激励的情况下 始状态引起的响应。 始状态引起的响应。
转移算子: 转移算子
H(p) =
1 r (t ) RC = 1 e(t ) (p+ ) RC
r ( t ) = H ( p )e ( t )
注意:上面只是微分方程的一种简单记法， 注意:上面只是微分方程的一种简单记法，并不是代数量
算子运算法则
1 : mp + np = ( m + n) p
2: p p = p
∫
∫
+∞
∞
+∞
f ( t )δ ( t ) dt = f ( 0 )
f ( t )δ ( t t 0 ) dt = f ( t 0 )
∞
作业： 作业：2. 4 2.5 2.7 2.8(a) 2.9(a,d) 2.10
λ + 3λ + 2 = 0
2
λ1 = 1, λ2 = 2
r (t ) = C1e t + C2 e 2t
第二步 代入初始条件 C1+C2=1 - C1-2C2=2 C1=4 C2=-3
例2:连续系统转移算子 连续系统转移算子
r ''(t ) + 4r '(t ) + 3r (t ) = 0
，
且r(0)=2, r (1)=0.42，求此系统的响应。 ，求此系统的响应。
Qc = ∫ i ( t )dt
0 0+
(1)冲激函数定义 冲激函数定义 连续时间单位冲激信号 连续时间单位冲激信号: 持续时间无穷小，瞬间 持续时间无穷小， 连续时间单位冲激信号 幅度无穷大，涵盖面积恒为1的一种理想信号 幅度无穷大，涵盖面积恒为 的一 0, t ≤ 0 δ (t ) = 0, t ≥ 0+ +∞ ∫∞ δ (t ) dt = 1
∫
∞
∞
f (t )δ (t ) =
f ( 0)
3 筛选：f(t)在t0点连续 筛选： 在
δ(t)
(1) f(0) 0
f(t) t
例： 2δ (t 8)ε (t 4)dt = ∫
∞
+∞
∫
+∞
∞
2δ (t 4)ε (t 8)dt =
的导数的波形。 例1：写出所示信号的时域表达式 ，并画出 的导数的波形。 ：写出所示信号的时域表达式f(t)，并画出f(t)的导数的波形 f(t) （1） ）
ε (t)
1 0 t
合闸 用 ε (t ) 来描述开关的动作 t = 0合闸 e(t) = E ε (t )
E
K
u(t)
Eε(t ) ε
u(t)
2. 单位阶跃函数的延迟
ε (t-t0)
1 0 t0 t
0 ( t < t 0 ) ε (t t0 ) = 1 ( t > t 0 )
3.表示定义域 表示定义域 例：画出f(t-2)ε(t-2)的波形 画出 ε 的波形 f(t) 1 -1 0 1 t 1 0 1 2 t f(t-2) ε(t-2)
t d 3. δ (t ) = ε (t ) ε (t ) = ∫∞ δ (τ )dτ dt
f (t ) = Aδ (t t0 )
(A) t0 t
4.冲激函数是一个偶函数δ(t)= δ(-t) 冲激函数是一个偶函数δ 冲激函数是一个偶函数 5. δ(t)f(t)= δ(t)f(0), δ(t-t0)f(t)= δ(t- t0)f(t0) 6.
d n dn 1 t 微分算子： 微分算子：p = ; p = n ; = ∫∞ ( )dτ ; dt dt p
( p n + a n 1 p n 1 + ... + a 1 p + a 0 ) r ( t ) = ( b m p m + b m 1 p m 1 + ... + b 1 p + b 0 ) e ( t )
4
f(t) （2） ）
A
4
t
t1 t2
t
（3） ）
2 1 -1
f(t)
1
t
总结： 总结：δ(t) 1.冲激函数的图形表示方法：位置，强度。 冲激函数的图形表示方法：位置，强度。 冲激函数的图形表示方法 2.该函数只在 处为非零值，其它各处都为零； 该函数只在t=0处为非零值 其它各处都为零； 该函数只在 处为非零值，
二
冲激函数 R i(t) +
研究此电路电流： 研究此电路电流：
+ uc C=1F
ε (t )
-
uc ( t ) = (1 e
t RC
)ε ( t )
u c (0 ) = 0
若R->0
t 1 RC i (t ) = e ε (t ) R
Qc = ∫ i (t )dt =1
0
∞
i ( t ) → ∞( t = 0); i ( t ) = 0, ( t < 0, t > 0 )
冲激信号的一种理解： 冲激信号的一种理解：
0
单位冲激平移
0
t0
t
（2）冲激函数的性质 ） 1偶函数 偶函数 2 积分 3 筛选
δ (t ) = δ ( t )
例：在 t = 0点连续的信号 f ( t ) 强度为f(0)的冲激函数 强度为 的冲激函数 则f ( t )δ ( t ) = f (0)δ (t )
2 利用初始条件，求待定系数 利用初始条件，
r (0) = C1 + C 2 + ... + C n r ' (0) = λ1C1 + λ2C 2 + ... + λnC n ............ r
( n 1 )
特征根： 特征根：