信号与系统第四章(陈后金)3

F
x(t) t -
1 则x(at) X ( j ) a a
F
X(j)
-0.5
x(t)
0.5

X(j)


t -
-1

1



尺度变换后语音信号的变化
x(t)
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 -0.1 -0.2 -0.3 -0.4 -0.5 0
F[ ~(t )] X ( j ) F[ Cn e x
n -
jn0t
n -
F [ ~(t )] 2π Cnd ( - n0 ) x
n -
（二）常见周期信号的频谱密度
4. 单位冲激串
d T (t )
n -
d (t - nT )

因为dT (t)为周期信号，先将其展开为指数形式 傅里叶级数：
（一）常见非周期信号的频谱
1. 单边指数信号
-
x(t ) e u(t )，a 0，

-at
X ( j ) x(t )e - jt dt 0 e -at e - jt dt
e -(a j )t 1 - (a j ) 0 a j
幅度频谱 相位频谱
-
x( )e
- j ( t 0 )
d X ( j) e
- jt0
信号在时域中的时移，对应频谱函数在频域 中产生的附加相移，而幅度频谱保持不变。
例1 试求图示延时矩形脉冲信号x1(t)的频 谱函数X1(j)。
x1 (t )
A
A
x (t )

T t
0
-
0
2

2
t
解： 无延时且宽度为 的矩形脉冲信号x(t) 如图， 其对应的频谱函数为
0
-
e
- ( j ) t
t -
j
- t
t 0
-1 1 - j j
F[sgn(t )] lim F[sgn(t )e

]

2 j
（一）常见非周期信号的频谱
5. 符号函数信号
- 1 t 0 sgn(t ) 0 t 0 1 t 0
单边指数信号及其幅度频谱与相位频谱
x (t )
1
0
0

t
0

-π/2
（一）、常见非周期信号的频谱
2. 双边指数信号 e-a|t|
X ( j ) 2 x(t ) costdt 2 e-at costdt
0 0
2e
-at
( sin t - a cos t ) 2a 2 2 2 0 a 2 a
F
-
证明:
F[ x(at)]
x(at)e - jt dt

令 = at，则 d = adt ，代入上式可得
1 F[ x(at)] a


-
x( )e
-j a
1 d X ( j ) a a
时域压缩，则频域展宽；展宽时域，则频域压缩。
4. 展缩特性
若x(t ) X ( j)
幅度频谱 相位频谱
2a X ( j ) 2 a 2 ( ) 0
（一）、常见非周期信号的频谱
3. 单位冲激信号d(t)
F[d (t )] x(t )e
- - jt
dt d (t )e- jt dt 1
-

d (t )
(1)
1
X ( j )
1 jn0t d T (t ) d (t - nT ) e T n - n -
1 F [d T (t )] 2 π d ( - n 0 ) 0 d ( - n0 ) n - T n -


（二）常见周期信号的频谱密度
4. 单位冲激串
信号与系统
Signals and Systems
普通高等教育“十一五”国家级规划教材 《信号与系统》
陈后金，胡健，薛健
高等教育出版社， 2007年
信号的频域分析
连续周期信号的频域分析 连续非周期信号的频域分析 离散周期信号的频域分析 离散非周期信号的频域分析 信号的时域抽样和频域抽样
连续非周期信号的频域分析
若 x(t ) F X ( j)
则
x * (t ) F X * (- j) x * (-t ) F X * ( j)
当x(t)为实偶函数时，有 X(j) = X*(j) ， X(j)是的实偶函数
当x(t)为实奇函数时，有 X(j) = - X*(j) ， X(j)是的虚奇函数
X ( j) X ( j) e
j ( )
X R ( j) jX I ( j)
当x(t)为实函数时，有 |X(j)| = |X(-j)| ， () - (-)
X R ( j) X R (- j), X I (- j) - X I (- j)
2. 共轭对称特性
( )
π/2
X ( j )
0

0

-π/2
符号函数的幅度频谱和相位频谱
（一）常见非周期信号的频谱
6. 单位阶跃信号 u(t)
1 1 1 1 u (t ) {u (t ) u (-t )} {u (t ) - u (-t )} sgn( t ) 2 2 2 2
F [u (t )] πd ( )
连续时间信号的傅氏变换及其频谱 常见连续时间信号的频谱 连续时间傅氏变换的性质
二、常见连续时间信号的频谱
常见非周期信号的频谱(频谱密度) 单边指数信号 双边指数信号e-a|t| 单位冲激信号d(t) 直流信号 符号函数信号 单位阶跃信号u(t) 常见周期信号的频谱密度 虚指数信号 正弦型信号 单位冲激串
X ( j )
( π)
t
( )
( π)
π/2
- 0
0
0

0
-π/2

正弦信号及其频谱函数
（二）常见周期信号的频谱密度
3. 一般周期信号
~(t ) x
两边同取傅里叶变换
n -
Cn e


jn0t
2π (0 ) T0 ] Cn F [e jn0t ]

X ( j )
1
a 2 2
() - arctan( ) a
（一）、常见非周期信号的频谱
1. 单边指数信号
X ( j ) 1
x(t ) e u(t )，a 0，
() - arctan( ) a
X ( j )
1/ a
( )
π/2
-at
a 2 2
t
- 0 0 0

三、傅里叶变换的基本性质
1. 线性特性 2. 共轭对称特性 7. 时域卷积特性 8. 频域卷积特性
3. 对称互易特性
4. 展缩特性
9. 时域微分特性
10. 积分特性
5. 时移特性
6. 频移特性
11. 频域微分特性
12. 能量定理
1. 线性特性
若x1 (t ) F X1 ( j)； x2 (t ) F X 2 ( j)，
2 因为 x1 (t ) x(t - T ) 故，由延时特性可得 - jT - jT X 1 ( j) X ( j )e A Sa( )e
2
X ( j ) A Sa (

)
4. 展缩特性
若x(t ) X ( j)
F
1 则x(at) X ( j ) a a
同理:
j0t
]
- j( -0 )t e dt -
- j0t
2πd ( - 0 )
2πd ( 0 )
F[e
]
- j( 0 )t e dt -
（二）常见周期信号的频谱密度
2. 正弦型信号
1 j0t cos 0 t (e e - j0t ) F π[d ( - 0 ) d ( 0 )] 2
（一）、常见非周期信号的频谱
5. 符号函数信号
符号函数定义为
F[sgn(t )e
- t
- 1 t 0 sgn(t ) 0 t 0 1 t 0
]
0 -
(-1)e e
( - j ) t 0
t - jt
dt e -t e - jt dt
0
-
e
- j

d T (t )
n -
d (t - nT )

1 F [d T (t )] 2 π d ( - n 0 ) 0 d ( - n0 ) n - T n-
d T (t )
(1)
单位冲激串 及其频谱函数
F[d T (t )]
( 0 )




-T 0 T
3. 时移特性
若x(t ) F X ( j) 则x(t - t0 ) F X ( j) e- jt0
式中t0为任意实数 证明：
来自百度文库
F[ x(t - t0 )]


-
x(t - t0 )e
- jt
dt
令x = t-t0，则dx = dt，代入上式可得
F[ x(t - t0 )]
x(2t)
x(t/2)
f (t)
f (1.5t)
f (0.5t)
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
一段语音信号(“对了”) 。抽样频率 = 22050Hz
0 2 lim[ ] 0 2 2
0 0

-
2 d 2 arctan( ) 2π 2 2 -
（一）、常见非周期信号的频谱
4. 直流信号f (t )
1 t
0
直流信号及其频谱
X ( j )
(2π)
0

对照冲激、直流时频曲线可看出: 时域持续越宽的信号，其频域的频谱越窄； 时域持续越窄的信号，其频域的频谱越宽。
cos 0t 1
( π)
X ( j )
( π)
t
- 0
0
0

余弦信号及其频谱函数
（二）常见周期信号的频谱密度
2. 正弦型信号
sin 0 t 1 j0t (e - e - j0t ) F - jπ[d ( - 0 ) - d ( 0 )] 2j
sin 0 t 1
u (t )
1
(π)
1 j
( )
π/2
X ( j )
0

0
t
0

-π/2
阶跃信号及其频谱
（二）常见周期信号的频谱密度
1. 虚指数信号
由 -1 e - jt dt
e j t (- t )
0
X ( j )
(2π)

2πd ()
0
0

虚指数信号频谱密度
得F[e
则ax1 (t ) bx2 (t ) F aX1 ( j) bX2 ( j)
其中a和b均为常数。
2. 共轭对称特性
若 x(t ) F X ( j)
则
x * (t ) F X * (- j) x * (-t ) F X * ( j)
X(j)为复数，可以表示为
0
t
0

单位冲激信号及其频谱
（一）、常见非周期信号的频谱
4. 直流信号x(t)=1,-<t<
直流信号不满足绝对可积条件，可采用极限的 方法求出其傅里叶变换。 2 - | t| ] 2 πd ( ) F [1] lim F [1 e ] lim[ 2 2 0 0