信号与系统第三版 第六章习题答案

1
由此可得系统的微分方程为：
y(t ) 6 y(t ) 8 y(t ) 3x(t ) 9 x(t )
引入中间变量q(t)：
q(t ) 6q(t ) 8q(t ) x(t ) q(t ) x(t ) 6q(t ) 8q(t ) y(t ) 3q(t ) 9q(t )
一阶系统为：
y(t ) 4 y(t ) x(t )
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二阶系统为： y(t ) y(t ) y(t ) x(t ) 2 x(t )

x( t )
4


y( t )

1

1

2

END
由(b)可知，u(t)的响应为：
3t 1 8 e u (t ) 4
Eu(t)的响应为： Eu(t-T)的响应为：
E 83 t e u (t ) 4
3 ( t T ) E 8 e u (t T ) 4
则：e(t)=E[u(t)-u(t-1)]的响应为：
3t 3 ( t T ) E 8 8 I 2 (t ) [e u (t ) e u (t T )] 4
第六章
习 题
6.2 图P6.2所示电路的初始状态为零，开关在t=0时接通，
其输入电压e(t)为图示单个矩形脉冲。 (a) 求电路的频率响应H(jw) (b) 求电路的冲激响应h(t)和阶跃响应s(t) (c) 用傅立叶分析法求流过R2中的电流i2(t)
R1=1Ω R2=3Ω
E (w)
e(t)
jwL L=2H
i2 (t )
I 2 (w)
解: (a)先画出电路的频域模型如上图，则有: E ( w) jwL E ( w) 2 jw 2 jw I 2 ( w) E ( w) jwLR2 jwL R2 6 jw 2 jw 3 8 jw 3 R1 1 jwL R2 2 jw 3
H ( jw) S ( jw) ( w) H (0) jw 2( jw) 2 2 ( w) 2 jw[( jw) 2 jw 1]
2
2 4 jw 2 2 2 ( w) 2 jw ( jw) 2 jw 1 4( jw 22 ) 1 2[ ( w)] jw ( jw 22 ) 2 ( 22 ) 2 s (t ) F {S ( jw)} [2 4e
解:(a)对系统方程作傅立叶变换，得：
2 2 1 1 H ( jw) 2 ( jw) 6 jw 8 ( jw 2)( jw 4) ( jw 2) jw 4
h(t ) F 1{H ( jw)} (e2t e4t )u(t )
H ( jw) s(t ) h(t )dt S ( jw) ( w) H (0) jw 2 1 S ( jw) ( w) jw( jw 2)( jw 4) 4
I 2 (w) 2 jw H ( jw) E (w) 8 jw 3
(b) 对H(jw)作反傅立叶变换可得h(t)
2 jw 1 H ( jw) 8 jw 3 4
h(t ) F 1{H ( jw)}
3 32 3 jw 8 3t 1 3 8 (t ) e u (t ) 4 32
y(t ) y(t ) x(t )
二阶系统为： y(t ) y(t ) y(t ) 5x(t ) 7 x(t )
5
x( t )

4


1

1

7
y( t )
(b) 并联结构
1 jw 2 H ( jw) H1 ( jw) H 2 ( jw) ( jw 4) ( jw) 2 jw 1
(b) 对H(jw)作反傅立叶变换可得h(t)
3 3 3( jw 3) 2 H ( jw) 2 ( jw 2)( jw 4) ( jw 2) jw 4
3 2t h(t ) F {H ( jw)} (e e 4t )u (t ) 2 (c) 3( jw 3) 3 jw 9 Y ( w) H ( jw) 2 ( jw 2)( jw 4) ( jw) 6 jw 8 X ( w)
1
2 t 2
cos
2 2
t ]u (t )
6.13 一个因果LTI系统的频率响应为：
5 jw 7 H ( jw) ( jw 4)[( jw) 2 jw 1]
(a) 求该系统的冲激响应
(b) 试确定由一阶系统和二阶系统构成的串联型结构 (c)试确定由一阶系统和二阶系统构成的串联型结构 解:(a) 5 jw 7 1 jw 2
s(t ) h(t )dt

t
H ( jw) S ( jw) ( w) H (0) jw
3t 1 8 s(t ) F {S ( jw)} e u(t ) 4
S ( jw)
1 4 3 jw 8
1
(c) 由e(t)的波形可写出其表达式为：
e(t ) E[u(t ) u(t 1)]
H ( jw) ( jw 4)[( jw) jw 1]
2

( jw 4) [( jw) 2 jw 1]

3 jw 1 3 1 2 2 2 3 2 2 2 2 2 ( jw 4) ( jw 1 ( jw ) ( ) ( ) 2 2 ) 2 2
1 X ( w) ( jw 2) 2
Y (w) H ( jw) X (w)
2 Y ( w) 3 ( jw 2) ( jw 4)
1 1 4 2 3 ( jw 2) ( jw 2) ( jw 2) ( jw 4) 1 4 1 2
1 2t 1 2t 1 2 2t 1 4t y (t ) F {Y ( w)} ( e te t e e )u (t ) 4 2 2 4 2 2 ( jw ) 2 (c) H ( jw) ( jw) 2 2 jw 1
t
1 1 1 1 1 1 2 ( w) 4 jw 4 ( jw 2) 4 ( jw 4) 1 1 2t 1 4t 1 s (t ) F {S ( jw)} ( e e )u (t ) 4 2 4
(b)
x(t ) te u (t )
2t
6.7 考虑一个LTI系统，它对输入 x(t ) [et e3t ]u(t ) 的响应为： t 4t
y(t ) [2e 2e ]u(t )
(a) 求该系统的频率响应
(b) 确定该系统的冲激响应
(c) 求出联系输入和输出的方程，并用积分器、相加器 和系数相乘器实现该系统。
解: (a)
h(t ) F {H ( jw)} (e
1
4t
e
1 t 2
cos
3 2
t 3e
1 t 2
sin
3 2
t )u(t )
(b) 串联结构
1 5 jw 7 H ( jw) H1 ( jw) H 2 ( jw) ( jw 4) ( jw) 2 jw 1
一阶系统为：
1
2 2 ( jw 22 ) 2 2 22 2 2 2 2 2 ( jw 2 ) ( 2 ) ( jw 22 ) 2 ( 22 ) 2
h(t ) F {H ( jw)} 2 (t ) 2 2e
1

2 t 2
[cos
2 2
t sin
2 2
t ]u (t )
系统的模拟图为：
6.9 一个因果系统的输入和输出由如下微分方程描述：
y(t ) 6 y(t ) 8 y(t ) 2 x(t )
(a) 求该系统的冲激响应和阶跃响应 (b) 若x(t)=te-2tu(t)，该系统的响应是什么？
(c) 对如下表征因果LTI系统的方程，重做(a)
y(t ) 2 y(t ) y(t ) 2x(t ) 2x(t )
1 1 2 jw 4 X ( w) F {x(t )} jw 1 jw 3 ( jw 1)( jw 3)
2 2 6 Y ( w) F { y (t )} jw 1 jw 4 ( jw 1)( jw 4)
Y ( w) 6 ( jw 1)( jw 3) H ( jw) X ( w) ( jw 1)( jw 4) 2 jw 4 3( jw 3) ( jw 2)( jw 4)