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八、刚体的平面运动8.1 如图所示，O 1A 的角速度为ω1，板ABC 和杆O 1A 铰接。
问图中O 1A 和AC 上各点的速度分布规律对不对？8.2如图所示，板车车轮半径为r ，以角速度ω 沿地面只滚动不滑动，另有半径同为r 的轮A 和B 在板车上只滚动不滑动，其转向如图，角速度的大小均为ω，试分别确定A 轮和B 轮的速度瞬心位置。
[解] 板车作平动，轮A 、B 与板车接触点 E 、F 的速度相同，且r v v v O F E ω=== 对A 轮由基点法求轮心A 的速度 A E AE =+v v v ，r v AE ω=∴ r v A ω2=，且A 轮的速度瞬心在E 点下方r 处。
同理可得B 轮的速度瞬心就在轮心B 处。
8.3直杆AB 的A 端以匀速度v 沿半径为R 的半圆弧轨道运动，而杆身保持与轨道右尖角接触。
问杆AB 作什么运动？你能用几种方法求出杆AB 的角速度？E FPOE v Av Fv Ov[解] AB 杆作平面运动。
(一) 瞬心法AB 杆作平面运动，速度瞬心为P 。
Rv AP v AAB2==ω (二)基点法D A DA =+v v v ，DA v v AB A DA ωθ==sin又 DA ＝2R cos(90o －θ)＝2R sin θ ∴ Rv AB 2=ω(三)自然法： d d AB tϕω=，而R S ϕ2= ∴d d 2d d S R v t t ϕ==， d d 2vt R ϕ= ∴ Rv AB 2=ω 8.4如图所示四连杆机构OABO 1中，OA=O 1B=AB/2，曲柄OA 的角速度ω=3rad/s 。
当OA 转到与OO 1垂直时，O 1B 正好在OO 1的延长线上，求该瞬时AB 杆的角速度ωAB 和曲柄O 1B 的角速度ω1。
[解]取AB 为研究对象，AB 作平面运动。
以A 为基点，画B 点速度合成图 由B A BA =+v v v(rad/s)32230sin o==∴⋅=⋅==ωωωωAB OAAB OA v v AB AB ABABBBvvvDAv Dv Dv111cos3022(rad/s)B BAv v OA O Bωωω=︒=⋅=∴=8.5图示曲柄摇机构中，曲柄OA以角速度oω绕O轴转动，带动连杆AC在摇块B内滑动，摇块及与其固结的BD杆绕B铰转动，杆BD长l；求在图示位置时摇块的角速度及D点的速度。
习 题8-1 椭圆规尺AB 由曲柄OC 带动，曲柄以匀角速度O ω绕轴O 转动，初始时OC 水平，如图8-28所示。
OC = BC = AC =r ，取C 为基点，试求椭圆规尺AB 的平面运动方程。
图8-28t t r y t r x O O C O C ωϕωω===sin cos8-2 半径为R 的圆柱缠以细绳，绳的B 端固定在天花板上，如图8-29所示。
圆柱自静止下落，其轴心的速度为3/32gh v A =，其中g 为常量，h 为轴心A 至初始位置的距离。
试求圆柱的平面运动方程。
图8-293/32gh v A = 3/22gh v A= 3/g a A = 3/2gt x A = 0=A y )3/(2r gt A =ϕ8-3 杆AB 的A 端以等速v 沿水平面向右滑动，运动时杆恒与一半径为R 的固定半圆柱面相切，如图8-30所示。
设杆与水平面间的夹角为θ，试以角θ表示杆的角速度。
图8-30瞬心法θθθθωcos sin cot sin 2R v R v AIv A === 基点法 θsin v v CA =θθθθωcos sin cot sin 2R v R v CA v CA ===8-4 图8-31所示两平行齿条同向运动，速度分别为v 1和v 2，齿条之间夹一半径为r 的齿轮，试求齿轮的角速度及其中心O 的速度。
图8-31AB B A v v v += ωr v v 221+= r v v 221-=ω OB B O v v v += 2212v v r v v O +=+=ω8-5 两直杆AC 、BC 铰接于点C ，杆长均为l ，其两端A 、B 分别沿两直线运动，如图8-32所示。
当ADBC 成一平行四边形时，m /s 4.0m /s,2.0==B A v v ，试求此时点C 的速度。
图8-32CB B CA A C v v v v v +=+=向x︒=︒+-60cos 30cos B CA A v v v 38.02/3214.02.030cos 60cos =⨯+=︒︒+=B A CA v v v 向ξ ︒-=︒-30cos 60cos CB B A v v v3130cos 60cos =︒︒+=A B CB v v v m/s 306.038.023314.02314.030cos 2222==⨯⨯⨯-+=︒-+=CB B CB B C v v v v v8-6 图8-33所示机构中，OA =200mm ，AB =400mm ，BD =150mm ，曲柄OA 以匀角速度rad/s 4=ω绕轴O 转动。
6 刚体平面运动微分方程刚体的平面运动可简化成刚体的平面图形S 在某一固定平面内的运动，用3个独立坐标描述。
作用在刚体上的外力可简化为S 平面内的一平面力系F i (=1, 2,…,n )。
设坐标系Oxy 为固定的惯性参考系，Cx ′ y ′为质心平移坐标系，如图8-6所示。
平面图形的运动可用质心坐标x C , y C 和绕质心的转动角ϕ描述。
刚体的绝对运动可分解成跟随质心的平移和相对质心平移坐标系的转动。
由动量定理所述，刚体跟随质心的平移仅与外力系的主矢有关，由质点系相对质心的动量矩定理可知，刚体相对质心平移坐标系的运动仅与外力系对质心的主矩有关。
于是，由式(8.1.11)可写出y C x C F ym F x m R R ,==&&&& (8.1.55) 式中m 为刚体的质量，F R x , F R y 分别是外力系的主矢在y x ,方向上的分量。
由式(8.1.54)在垂直于平面图形S 方向上的投影，可得Cz CzM tL =d d (8.1.56) 其中M Cz 是外力系对通过质心且垂直于平面图形S 的轴之矩的代数和。
而ϕ&C Cz J L =，J C 是刚体对于通过质心且垂直于平面图形S 的轴的转动惯量。
应用质心运动定理和相对质心的动量矩定理，得到了三个动力学方程，给出了三个广义坐标x C , y C 和ϕ的封闭方程组，用以解决刚体的平面运动问题。
动力学方程组m (8.1.57)Cz C ni iy C n i ix C M J F ym F x ===∑∑==ϕ&&&&&&,,11称为刚体平面运动微分方程组。
给出相应的初始条件，例如，t ＝0时，刚体质心的位置分别为x C 0和y C 0，质心在初始时的速度分别为和，平面图形S 在初始时的角位移和角速度分别为ϕ0C x &0C y&0和0ϕ&。
第8章刚体的平面运动一、选择题1．图8-1所示平面图形上A、B两点的加速度与其连线垂直且ɑA≠ɑB，则此瞬时平面图形的角速度ω、角加速度α应该是（）。
A．ω≠0，α＝0B．ω＝0，α≠0C．ω＝0，α＝0D．ω≠0，α≠0图8-1【答案】B2．图8-2所示各平面图形的速度分布为：（a）v A＝－v B，v A不垂直AB，这种速度分布是（）。
A．可能的B．不可能的不垂直AB，，这种速度分布是（）。
A．可能的B．不可能的图8-2【答案】B；B3．在图8-3所示机构中，则ω1（）ω2。
A．＝B．＞C．＜图8-3【答案】C4．在图8-4所示机构的几种运动情况下，平面运动刚体的速度瞬心为：（a）（）；（b）（）；（c）（）；（d）（）。
A．无穷远处B．B点C．A、B两点速度垂线的交点D．A点E．C点图8-4【答案】D；B；A；C5．已知图8-5所示平面图形上B点的速度v B，若以A为基点，并欲使是B点相对于A点的速度，则A点的速度v A（）。
A．与AB垂直B．沿AB方向，且由A指向BC．沿AB方向，且由B指向AD．与AB成φ角图8-5【答案】B二、填空题1．边长为L的等边三角形板在其自身平面内运动，已知B点的速度大小为，方向沿CB，A点的速度沿AC方向。
如图8-6所示，则此时三角板的角速度大小为______；C点的速度大小为______。
图8-6【答案】2．已知作平面运动的平面图形上A点的速度v A，方向如图8-7所示。
则B点所有可能速度中最小速度的大小为______，方向______。
【答案】；沿AB方向图8-73．已知作平面运动的平面图形（未画出）上某瞬时A点的速度大小为v A，方向如图8-8所示，B点的速度方位沿mn，AB＝l，则该瞬时刚体的角速度ω为______,转向为______。
【答案】；顺时针图8-8三、判断题1．作平面运动的平面图形上（瞬时平移除外），每一瞬时都存在一个速度瞬心。
（）【答案】对2．研究平面运动图形上各点的速度和加速度时，基点只能是该图形上或其延展面上的点，而不能是其他图形（刚体）上的点。
理论力学8章作业题解8-2 半径为r 的齿轮由曲柄OA 带动，沿半径为R 的固定齿轮滚动。
如曲柄OA 以匀角加速度a 绕O 轴转动，且当运动开始时，角速度00=w ，转角0=j 。
求动齿轮以中心Ａ为基点的平面运动方程。
解：图示，A 轮平面运动的转角为=A j ∠C 3AC 2=j +∠CAC 2由于弧长CC 1=CC 2，故有 ∠CAC 2=r R /j ，所以22/t rr R r r R r R A a j j j j +=+=+=A 轮平面运动方程为ïïîïïíì+=+=+=+=+=22212212)sin()()sin()()cos()(cos )(tr r R t r R r R y t r R r R x A A A a j a j a j8-6两刚体M ，N 用铰C 连结，作平面平行运动。
已知AC=BC=600mm ，在题附图所示位置s mm v s mm v B A /100,/200==，方向如图所示。
试求C 点的速度。
解：由速度投影定理得()()0==BC C BC B v v 。
则v C 必垂直于BC 连线，v C 与AC 连线的夹角为30°。
由()()AC A AC C v v = 即得：s mm v v A C /200== ，方向如题4-6附图示。
解毕。
8-9 图所示为一曲柄机构，曲柄OA 可绕O 轴转动，带动杆AC 在套管B 内滑动，套管B 及与其刚连的BD 杆又可绕通过B 铰而与图示平面垂直的水平轴运动。
已知：OA ＝BD ＝300mm ，OB ＝400mm ，当OA 转至铅直位置时，其角速度ωo ＝2rad/s ，试求D 点的速度。
C 12Aj C解 (1)平面运动方法： 由题可知：BD AC w w =确定AC 杆平面运动的速度瞬心。
套筒中AC 杆上一点速度沿套筒(为什么？)s rad IAOA IA v A AC /72.00=´==w w , s mm BD BD v AC BD D /216=´=´=w w D 点加速度如何分析？关键求AC 杆角加速度(=BD 杆角速度) 基点法，分析AC 杆上在套筒内的点(B’)：(1) tA B n A B A B a a a a ¢¢¢++=r r r r大小：× ∠ ∠ × 方位：× ∠ ∠ ∠ 再利用合成运动方法：动点：套筒内AC 杆上的点B’，动系：套筒。
