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八、刚体的平面运动8.1 如图所示，O 1A 的角速度为ω1，板ABC 和杆O 1A 铰接。
问图中O 1A 和AC 上各点的速度分布规律对不对？8.2如图所示，板车车轮半径为r ，以角速度ω 沿地面只滚动不滑动，另有半径同为r 的轮A 和B 在板车上只滚动不滑动，其转向如图，角速度的大小均为ω，试分别确定A 轮和B 轮的速度瞬心位置。
[解] 板车作平动，轮A 、B 与板车接触点 E 、F 的速度相同，且r v v v O F E ω=== 对A 轮由基点法求轮心A 的速度 A E AE =+v v v ，r v AE ω=∴ r v A ω2=，且A 轮的速度瞬心在E 点下方r 处。
同理可得B 轮的速度瞬心就在轮心B 处。
8.3直杆AB 的A 端以匀速度v 沿半径为R 的半圆弧轨道运动，而杆身保持与轨道右尖角接触。
问杆AB 作什么运动？你能用几种方法求出杆AB 的角速度？E FPOE v Av Fv Ov[解] AB 杆作平面运动。
(一) 瞬心法AB 杆作平面运动，速度瞬心为P 。
Rv AP v AAB2==ω (二)基点法D A DA =+v v v ，DA v v AB A DA ωθ==sin又 DA ＝2R cos(90o －θ)＝2R sin θ ∴ Rv AB 2=ω(三)自然法： d d AB tϕω=，而R S ϕ2= ∴d d 2d d S R v t t ϕ==， d d 2vt R ϕ= ∴ Rv AB 2=ω 8.4如图所示四连杆机构OABO 1中，OA=O 1B=AB/2，曲柄OA 的角速度ω=3rad/s 。
当OA 转到与OO 1垂直时，O 1B 正好在OO 1的延长线上，求该瞬时AB 杆的角速度ωAB 和曲柄O 1B 的角速度ω1。
[解]取AB 为研究对象，AB 作平面运动。
以A 为基点，画B 点速度合成图 由B A BA =+v v v(rad/s)32230sin o==∴⋅=⋅==ωωωωAB OAAB OA v v AB AB ABABBBvvvDAv Dv Dv111cos3022(rad/s)B BAv v OA O Bωωω=︒=⋅=∴=8.5图示曲柄摇机构中，曲柄OA以角速度oω绕O轴转动，带动连杆AC在摇块B内滑动，摇块及与其固结的BD杆绕B铰转动，杆BD长l；求在图示位置时摇块的角速度及D点的速度。
刚体平面运动习题第八章刚体平面运动的练习1.真或假(勾选正确和交叉错误)8-1。
刚体的平面运动是一种运动，在这种运动中，刚体上的任何一点与固定平面之间的距离总是平行的。
()8-2。
平面图形的运动可以看作基点的平移和围绕基点的旋转的组合。
()8-3。
平面图形上任意两点的速度都相等地投影在一个固定的轴上。
()()()8-6。
瞬时速度中心的速度为零，加速度为零。
()8-7。
刚体的平移也是一种平面运动。
()2。
填空(在横线上写出正确答案)8-8。
在直线轨道上纯滚动时，圆轮与地面接触点的速度为。
8-9。
平面图上任意两点的速度在上投影中相等。
8-10。
瞬时刚体平移时的角速度是:刚体上每个点的速度；每个点的加速度。
3.简短回答问题8-11。
确定图中所示平面运动物体的瞬时速度中心的位置。
AbabaccωOboaωOdbω(b)Co(a)(c)图8-11 (d)8-12。
如果一个刚体在一个平面上运动，下面平面图中A和B的速度方向是正确的吗？问题8-12图(c)8-13。
下图中O1A和AC的速度分布是否正确？8-14。
当圆形车轮在曲线上滚动时，某一瞬时车轮中心的速度vo和加速度ao，而车轮的半径是R，即车轮中心的角度加速度是多少？如何确定瞬时速度中心的加速度的大小和方向？蟹爪兰O1VβA01ωO2P 8-13图8-148-15。
为什么用基点法计算平面图中单个点的加速度时没有科里奥利加速度？4.计算问题8-16。
椭圆规AB由曲柄OC驱动，曲柄OC以均匀的角速度ω O绕O轴旋转。
如图所示，如果以C为基点，OC=BC=AC=r，试着找出椭圆规AB的平面运动方程。
8-17。
半径为R的齿轮由曲柄OA驱动，沿半径为R的固定齿轮滚动，如图所示。
曲柄以均匀的角加速度α绕O轴旋转，并设定初始角速度ω。
角加速度α？0.角落？？0.如果选择移动齿轮的中心C点作为基点，试着找出移动齿轮的平面运动方程。
yay rarαφBMMoxorBx 8-16图ωOO图8-178-18。
刚体的平面运动习题及解答已知：OA 的转速n=40r/min,OA=r=0.3 m求：图示瞬时，筛子BC 的速度。
解: A ，B 两点速度如图所示,图中ππω3460n 2==rad/s由速度投影定理得： 0B A cos60.v v = 解出筛子BC 平动的速度为：m/s513.2r 2 v 2v A B ===ω 254.0.==ωCD v D m/s已知：1m.0DE BD OA===,,m 31.0EF =s /rad 4OA =ω;求 EF 杆的角速度ω和滑块F 的速度F v 。
解: 各点速度分析如图所示, AB 杆为瞬时平动,故4.0.OA OA A B ===ωv v m/sBC 杆的速度瞬心为点D ，三角形DEC 绕D 点作定轴转动，得BB CE v B Dv .DE DC.DE v ===v由 FEE Fv v v +=解出462.0cos30v 0E F ==v m/s ，333.1EF FEEF ==v ω rad/s已知：滚子纯滚动，m12r R AB OA====,s /rad 2=ω求 图示瞬时点B 和点C 的速度与加速度。
解: 先作速度分析如图（a ）所示, C2.R A B ===ωv vm/s42rB B ===ωωv rad/s2.828.r 22.C ===ωωB PC v m/s取A 为基点，对B 点作加速度分析如图（a ）所示 有BAn BA A B n B a a a a a ++=+ττ大小：？r vB22R ω ？ 0R BA 2=ω 方向： 如图所示向AB 轴投影得 0a B =τ，故B 点加速度为8rvaa B2Bn B === 2s /m最后取B 为基点，对C 点作加速度分析如图（b ）所示，即CBCB n B C a a a a τ++=大小：？r vB2r B 2ωr rar BB ==τα方向： 如图所示 故C 点加速度为11.31aaa CB2n B2C =+=2s/m已知：r OA =,r 32AB = ，轨道半径2r B O 1=，OA 杆的角速度和角加速度为O ω和O α； 求： 图示瞬时滑块B 的加速度。
理论力学8章作业题解8-2 半径为r 的齿轮由曲柄OA 带动，沿半径为R 的固定齿轮滚动。
如曲柄OA 以匀角加速度a 绕O 轴转动，且当运动开始时，角速度00=w ，转角0=j 。
求动齿轮以中心Ａ为基点的平面运动方程。
解：图示，A 轮平面运动的转角为=A j ∠C 3AC 2=j +∠CAC 2由于弧长CC 1=CC 2，故有 ∠CAC 2=r R /j ，所以22/t rr R r r R r R A a j j j j +=+=+=A 轮平面运动方程为ïïîïïíì+=+=+=+=+=22212212)sin()()sin()()cos()(cos )(tr r R t r R r R y t r R r R x A A A a j a j a j8-6两刚体M ，N 用铰C 连结，作平面平行运动。
已知AC=BC=600mm ，在题附图所示位置s mm v s mm v B A /100,/200==，方向如图所示。
试求C 点的速度。
解：由速度投影定理得()()0==BC C BC B v v 。
则v C 必垂直于BC 连线，v C 与AC 连线的夹角为30°。
由()()AC A AC C v v = 即得：s mm v v A C /200== ，方向如题4-6附图示。
解毕。
8-9 图所示为一曲柄机构，曲柄OA 可绕O 轴转动，带动杆AC 在套管B 内滑动，套管B 及与其刚连的BD 杆又可绕通过B 铰而与图示平面垂直的水平轴运动。
已知：OA ＝BD ＝300mm ，OB ＝400mm ，当OA 转至铅直位置时，其角速度ωo ＝2rad/s ，试求D 点的速度。
C 12Aj C解 (1)平面运动方法： 由题可知：BD AC w w =确定AC 杆平面运动的速度瞬心。
套筒中AC 杆上一点速度沿套筒(为什么？)s rad IAOA IA v A AC /72.00=´==w w , s mm BD BD v AC BD D /216=´=´=w w D 点加速度如何分析？关键求AC 杆角加速度(=BD 杆角速度) 基点法，分析AC 杆上在套筒内的点(B’)：(1) tA B n A B A B a a a a ¢¢¢++=r r r r大小：× ∠ ∠ × 方位：× ∠ ∠ ∠ 再利用合成运动方法：动点：套筒内AC 杆上的点B’，动系：套筒。
第8章 刚体平面运动习题1.是非题（对画√，错画×）8-1.刚体平面运动为其上任意一点与某一固定平面的距离始终平行的运动。
（ ） 8-2.平面图形的运动可以看成是随着基点的平移和绕基点的转动的合成.( ) 8-3.平面图形上任意两点的速度在某固定轴上投影相等。
（ ） 8-4.平面图形随着基点平移的速度和加速度与基点的选择有关。
（ ） 8-5.平面图形绕基点转动的角速度和角加速度与基点的选择有关。
（ ） 8-6.速度瞬心点处的速度为零，加速度也为零。
（ ） 8-7.刚体的平移也是平面运动。
（ ） 2.填空题（把正确的答案写在横线上）8-8.在平直轨道作纯滚动的圆轮，与地面接触点的速度为 。
8-9.平面图形上任意两点的速度在 上投影相等。
8-10.某瞬时刚体作平移，其角速度为 ；刚体上各点速度 ；各点加速度 。
3.简答题8-11.确定图示平面运动物体的速度瞬心位置。
题8-11图(a) (b)(c)8-12.若刚体作平面运动，下面平面图形上A 、B 的速度方向正确吗？ 题8-12图(a) (b) (c)8-13.下面图形中O 1A 和AC 的速度分布对吗？8-14.圆轮做曲线滚动，某瞬时轮心的速度o v 和加速度o a ，轮的半径为R ，则轮心的角加速度等于多少？速度瞬心点处的加速度大小和方向如何确定？题8-13图B8-15.用基点法求平面图形个点的加速度时，为什么没有科氏加速度？ 4.计算题8-16.椭圆规尺AB 由曲柄OC 带动，曲柄以匀角速度o ω绕O 轴转动，如图所示，若取C 为基点，OC=BC=AC=r ，试求椭圆规尺AB 的平面运动方程。
8-17.半径为r 的齿轮由曲柄OA 带动，沿半径为R 的固定齿轮滚动，如图所示。
曲柄以匀角加速度α绕O轴转动，设初始时角速度0=ω、角加速度0=α、转角0=ϕ，若选动齿轮的轮心C 点为基点，试求动齿轮的平面运动方程。
题8-16图题8-17图8-18.曲柄连杆机构，已知OA =40cm ，连杆AB =1m ，曲柄OA 绕O 轴以转速180=n r/min 匀速转动，如图所示。
第八章作业答案
1、解 取C 为基点。
将规尺的平面运动分解为随基点的平移和绕基点的转动。
故规尺AB 的平面运动方程为
2、解 筛子BC 作平移，如图b 所示。
3、解 杆AB 作瞬时平移。
杆BC 的速度瞬心在点D，故
由速度投影定理得
杆EF 的速度瞬心在点P
4、解
5、解 （1）杆AB 作曲线平移
以C 为基点，则
（2）ω 为常数，ωC 为常数， 0
=α
6、解 速度分析，如图7b 所示，杆AB 瞬心在点P
加速度分析，如图c 所示。
以A 为基点
7、解 轮A 的瞬心在点P，如图b 所示。
以套筒上点C 为动点，动系固结于杆BE
由速度投影定理得
加速度分析，如图c、d 所示。
以套筒上点C 为动点，BE 为动系。
以B 为基点
8、解 速度分析，如图b 所示。
加速度分析，如图c 所示。
习 题8-1 椭圆规尺AB 由曲柄OC 带动，曲柄以匀角速度O ω绕轴O 转动，初始时OC 水平，如图8-28所示。
OC = BC = AC =r ，取C 为基点，试求椭圆规尺AB 的平面运动方程。
图8-28t t r y t r x O O C O C ωϕωω===sin cos8-2 半径为R 的圆柱缠以细绳，绳的B 端固定在天花板上，如图8-29所示。
圆柱自静止下落，其轴心的速度为3/32gh v A =，其中g 为常量，h 为轴心A 至初始位置的距离。
试求圆柱的平面运动方程。
图8-293/32gh v A = 3/22gh v A= 3/g a A = 3/2gt x A = 0=A y )3/(2r gt A =ϕ8-3 杆AB 的A 端以等速v 沿水平面向右滑动，运动时杆恒与一半径为R 的固定半圆柱面相切，如图8-30所示。
设杆与水平面间的夹角为θ，试以角θ表示杆的角速度。
图8-30瞬心法θθθθωcos sin cot sin 2R v Rv AI v A === 基点法θsin v v CA =θθθθωcos sin cot sin 2R v R v CA v CA ===8-4 图8-31所示两平行齿条同向运动，速度分别为v 1和v 2，齿条之间夹一半径为r 的齿轮，试求齿轮的角速度及其中心O 的速度。
图8-31AB B A v v v += ωr v v 221+= rv v 221-=ω OB B O v v v += 2212v v r v v O +=+=ω8-5 两直杆AC 、BC 铰接于点C ，杆长均为l ，其两端A 、B 分别沿两直线运动，如图8-32所示。
当ADBC 成一平行四边形时，m/s 4.0m/s,2.0==B A v v ，试求此时点C 的速度。
图8-32CB B CA A C v v v v v +=+=向x︒=︒+-60cos 30cos B CA A v v v 38.02/3214.02.030cos 60cos =⨯+=︒︒+=B A CA v v v 向ξ︒-=︒-30cos 60cos CB B A v v v3130cos 60cos =︒︒+=A B CB v v v m/s 306.038.023314.02314.030cos 2222==⨯⨯⨯-+=︒-+=CB B CB B C v v v v v8-6 图8-33所示机构中，OA =200mm ，AB =400mm ，BD =150mm ，曲柄OA 以匀角速度rad/s 4=ω绕轴O 转动。
当︒=45θ时，连杆AB 恰好水平、BD 铅直，试求该瞬时连杆AB 及构件BD 的角速度。
图8-33瞬心法800==ωOA v Arad/s 414.122400800====AB A AB AI v ω24002400=⨯==AB AB B BI v ωrad/s 711.32381502400====BD v B BD ω 基点法8-7 在如图8-34所示的筛动机构中，筛子BC 的摆动是由曲柄连杆机构所带动。
已知曲柄长OA =0.3m ，转速为n =40r/min 。
当筛子运动到与点O 在同一水平线上时，∠︒=90OAB ，试求此时筛子BC 的速度。
图8-34π4.04030π3.0=⨯⨯==ωOA v A 速度投影定理 A B v v =︒60cosm/s 2512.0π8.0260cos ===︒=A AB v v v8-8 长为l =1.2m 的直杆AB 作平面运动，某瞬时其中点C 的速度大小为v C =3m/s ，方向与AB 的夹角为︒60，如图8-35所示。
试求此时点A 可能有的最小速度以及该瞬时杆AB 的角速度。
图8-35︒-+=30cos 222AC C AC C A v v v v v对AC v 求导，并令其等于0，得︒=30cos C AC v v 即AC A v v ⊥时m/s 5.130sin =︒=C A v v ︒=30cos C AC v vrad/s 33.435.26.0233==⨯==AC v AC ABω8-9 如图8-36所示的四连杆机构中，连杆AB 上固连一块直角三角板ABC ，曲柄O 1A 的角速度恒为rad/s 21=ω，已知O 1A =0.1m ，O 1 O 2=AC ＝0.05m ，当O 1A 铅直时，AB 平行于O 1 O 2，且AC 与O 1A 在同一直线上，︒=30ϕ 。
试求此时直角三角板ABC 的角速度和点C 的速度。
图8-36基点法m/s 2.021.01=⨯==ωA O v Am/s 32.030tan =︒=A BA v vrad/s 0718.1135.021.0305.02.031.005.032.0=+=+=+==AB v BA ABC ωm/s 2536.00718.105.02.0=⨯+=+=+=ABC A CA A C AC v v v v ω瞬心法305.01.030cot 05.01.011+=︒+=+=I O A O AI m/s 2.021.01=⨯==ωA O v Arad/s 0718.1305.01.02.0=+==AI v A ABC ωm/s 2536.00718.1)305.01.005.0(=⨯++==ABC C CI v ω8-10 在瓦特行星机构中，杆O 1A 绕轴O 1转动，并借连杆AB 带动曲柄OB 绕轴O 转动（曲柄OB 活动地装在O 轴上），如图8-37所示。
齿轮Ⅱ与连杆AB 固连于一体，在轴O 上还装有齿轮Ⅰ。
已知m 5.1m,75.0m,33.0121====AB A O r r ；又杆O 1A 的角速度rad/s 61=O ω 。
试求当︒=60γ 且︒=90β 时，曲柄OB 和齿轮Ⅰ的角速度。
图8-37瞬心法360cos =︒=ABAI 35.160tan =︒=AB BIm/s 5.4675.011=⨯==O A A O v ωrad/s 5.135.4===AI v A AB ωm/s 325.25.135.1=⨯==AB B BI v ω rad/s 75.336.0325.2===OB v B OB ω m/s 38.15.1)33.035.1(=⨯-==AB C CI v ω rad/s 633.038.1I ===OC v C ω 基点法m/s 5.4675.011=⨯==O A A O v ωm/s 325.2235.430cos =⨯=︒=A B v v rad/s 75.336.0325.2===OB v B OB ω m/s 25.230sin =︒=A BA v vrad/s 5.15.155.2===AB v BA AB ωm/s 38.15.133.0325.2=⨯-=-=CB B C v v v r a d /s633.038.1I ===OC v C ω8-11 图8-38所示的双曲柄连杆机构中，滑块B 和E 用杆BE 连接，主动曲柄OA 和从动曲柄OD 都绕O 轴转动。
主动曲柄OA 作匀速转动，角速度的大小为rad/s 12=O ω。
已知各部件的尺寸为：m 312.0m,12.0m,26.0m,12.0m,1.0=====DE BE AB OD OA 。
试求当曲柄OA 垂直于滑块的导轨方向时，从动曲柄OD 和连杆DE 的角速度。
图8-38m 24.01.026.02222=-=-=OA AB OB m 12.012.024.0=-=-=EB OB OE 杆AB 瞬时平动m/s 2.1121.0=⨯==O A OA v ωm/s 2.1==A B v v杆EB 平动m/s 2.1==B E v v杆DE 平面运动(瞬心法)︒=∠=∠=∠30EIO DEO EDO312.0==DE EI 36.0=DIrad/s 3310310312.02.1====EI v E DE ω m/s 32.1331036.0=⨯==DE D DI v ω rad/s 31012.032.1===OD v D OD ω加速度分析(讨论) 杆AB 瞬时平动222m/s 4.14121.0=⨯==O A OA a ω2m/s 624.01.04.144.14tan =⨯=⨯==OB OA a a A B ϕ (向右)杆EB 平动2m/s 6==B E a a杆DE 平面运动(基点法)以E 为基点，分析D 点nτn τD ED E E D D a a a a a ++=+ 36)310(12.022n =⨯==O D D OD a ω 34)3310(312.022n =⨯==DE DE DE a ω向ξnτn 30cos 30sin 30cos DEE D D a a a a +︒=︒-︒ ︒-︒-=︒-︒-︒=30sin 30cot )(30sin 30cos 30cos nnn n τDE E D DE E D Da a a a a a a 3222343)636(=⨯--= 2τr a d /s 5.3173355063110012.0322=====OD a D ODα (逆时针)8-12 图8-39所示机构中，已知：m;31.0m,1.0m,1.0m,1.0====EF DE BD OA 曲柄OA 的角速度为rad/s 4=O ω。
在图示位置时，OA 垂直于水平线OB ；B 、D 和F 位于同一铅直线上；又DE 垂直于EF 。
试求此时杆EF 的角速度和点F 的速度。
图8-39杆AB 瞬时平动m/s 4.041.0=⨯==O A OA v ω m/s 4.0==A B v v杆BC 平面运动(瞬心法)，瞬心在D 点rad/s 41.04.0===BD v B BC ωCDE C CDv ω== 杆EF 平面运动(瞬心法)3.0=EI 32.0=FIm/s 4.041.0=⨯==CDE E DE v ωrad/s 3333.1343.04.0====EI v E EF ωm/s 4619.0338.03432.0==⨯==EF F FI v ω8-13 半径为r 的圆柱形滚子沿半径为R 的固定圆弧面作纯滚。
在图8-40所示瞬时，滚子中心C 的速度为C v 、切向加速度为τC a 。
试求此时滚子与圆弧面的接触点A 以及同一直径上最高点B 的加速度。
图8-40r v C =ω r a C τ=α r R v a C nC -=2nACτAC n C τC A a a a a a +++= rv r a C nAC22==ω ττCAC a r a ==α rr R Rv r v r R v a a a C C C nAC n C A )(222-=+-=+= nBC τBC n C τC B a a a a a +++= τCBC a r a ==ατrv r aCn BC22==ωττ2CBC C B a a a a =+=ττ r r R v r R r R v r v a aa CC C nCn BCnB)()2(222--=--===8-14 绕线轮沿水平面滚动而不滑动，轮的半径为R 。
