{高中试卷}广东省2020年上学期珠海市斗门区第一中学高二数学月质量监测试题

2019—2020学年第一学期高二级第一次段考数学答案一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1-5 ADDBD 6-10 CBCBB 11-12 BC二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,满分20分.13.16 14. 96π15. 3+616.三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.解：（1）由正弦定理得：2sin B cos A =sin A cos C +sin C cos A ..........1分2sin B cos A=sin（A+C）=sin（π-B）=sin B．..........2分sin B≠0，所以cos A=，..........3分又A为△ABC的内角•.........4分∴A=60°．..........5分（2） a=3及△ABC的周长为8，∴b+c=5，..........6分由余弦定理得a2=b2+c2-2b cos A=（b+c）2-2bc-2bc cos60°=（b+c）2-3bc．∴3bc=（b十c）2-a2=25-9=16，∴bc=，..........9分∴△ABC的面积S=bc sin A=．..........10分18. 解：（1） E为PA的中点，O为AC的中点，所以EO∥PC..........1分又EO⊄平面PCD，PC⊂平面PCD，所以EO∥平面PCD..........2分同理可证，FO∥平面PCD，..........3分又EO∩FO=O ,EFOEO面、⊂..........5分FO∴平面EFO∥平面PCD．..........6分（2） PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴PA⊥BD.........7分底面ABCD是菱形，∴AC⊥BD，.........8分又PA∩AC=A ,PAC、⊂.........10分ACPA面∴BD⊥平面PAC.........11分又BD⊂平面PBD，∴平面PAC⊥平面PBD．.........12分19. 解：（1）当a=-1时，此不等式为-x2-x+2＜0，可化为x2+x-2＞0，化简得（x+2）（x-1）＞0，.........2分解得即{x|x＜-2或x＞1}；.........4分（2）不等式ax2-（a+2）x+2＜0化为（ax-2）（x-1）＜0，.........5分当a=0时，x＞1；.........6分当a＞0时，不等式化为（x-）（x-1）＜0，.........7分若＜1，即a＞2，解不等式得＜x＜1；若=1，即a=2，解不等式得x∈∅；若＞1，即0＜a＜2，解不等式得1＜x＜；.........10分当a＜0时，不等式（x-）（x-1）＞0，解得x＜或x＞1；.........11分综上所述：当a=0，不等式的解集为{x|x＞1}；当a＜0时，不等式的解集为{x|x＜或x＞1}；当0＜a＜2时，不等式的解集为{x|1＜x＜}；当a=2时，不等式的解集为∅；当a＞2时，不等式的解集为{x|＜x＜1}．.........12分20. 证明：（1） BB1⊥面ABC，AE⊂面ABC， AE⊥BB1,.........1分由AB=AC，E为BC的中点得到AE⊥BC,.........2分∵BC∩BB1=B，BC、BB1面BB1C1C，.........3分∴AE⊥面BB1C1C，∴AE⊥B1C；.........4分解：（2）取B1C1的中点E1，连A1E1，E1C，则AE∥A1E1，∴∠E1A1C是异面直线AE与A1C所成的角(或其补角)，.........5分设AC=AB=AA1=2，则由∠BAC=90°，可得A1E1=AE=，A1C=2，E1C1=EC=BC=，∴E1C==，∵在△E1A1C中，cos∠E1A1C==，.........7分所以异面直线AE与A1C所成的角为；........8分（3）连接AG，设P是AC的中点，过点P作PQ⊥AG于Q，连EP，EQ，则EP⊥AC，又∵平面ABC⊥平面ACC1A1,平面ABC平面ACC1A1=AC∴EP⊥平面ACC1A1，而PQ⊥AG∴EQ⊥AG．∴∠PQE是二面角C-AG-E的平面角，.......10分由(2)假设知：EP=1，AP=1，Rt Rt，PQ=，故tan∠PQE==，........11分所以二面角C-AG-E的平面角正切值是.........12分21. 解：（Ⅰ）由，可知两式相减得，.........1分即，.........3分∵，∴，∵，∴（舍）或，则是首项为3，公差的等差数列，.........5分∴的通项公式为；.........6分（Ⅱ）∴，.........7分∴;.........8分∵，即，∴，.........10分又，当且仅当时，等号成立，∴，∴．.........12分22. (1)证明：在等腰△APB中，, .........1分则由余弦定理可得, ∴,.........2分∴PE2＋BE2＝4＝PB2，∴PE⊥AB，.........3分∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，∴PE⊥平面ABCD；.........4分(2)解：设平面EFG与棱CD交于点N，连接EN，如下图:∵GF∥AD，∴GF∥平面ABCD，∴可得EN∥AD，延长FG至点M，使GM＝CF，连接DM，MN，........7分∴AFE－DMN为直三棱柱，∵F到AE的距离为，∴，∴，.........9分∴，.........10分又，.........11分∴..........12分10.【答案】B 解：过F作FO⊥平面ABCD，垂足为O，取BC的中点P，连结PF，过F作FQ⊥AB，垂足为Q，连结OQ．∵△ADE和△BCF都是边长为2的等边三角形，∴OP=（AB-EF）=1，PF=，OQ=BC=1，∴OF==，FQ==，∴S梯形EFBA=S梯形==3，EFCB又S△BCF=S△ADE==，S矩形ABCD=4×2=8，∴几何体的表面积S=3++8=8+8．故选：B．11.【答案】B 解：将正方体纸盒展开图还原成正方体，在①中，如图知AF与GC异面垂直，故①正确；在②中，BD与GC成异面直线，连接EB，ED．则BM∥GC，在等边△BDM中，BD与BM所成的60°角就是异面直线BD与GC所成的角，故②正确；在③中，BD与MN异面垂直，故③错误；在④中，GD⊥平面ABCD，所以在Rt△BDG中，∠GBD是BG与平面ABCD所成的角，Rt△BDG不是等腰直角三角形．所以BG与平面ABCD所成的角不是为45°，故④错误．故选：B．12.【答案】C 解：取CD中点F，连接MF，BF，则MF∥DA1，BF∥DE，∴平面MBF∥平面A1DE，∴MB∥平面A1DE，故D正确由∠A1DE=∠MFB，MF=A1D=定值，FB=DE=定值，由余弦定理可得MB2=MF2+FB2-2MF•FB•cos∠MFB，所以MB是定值，故A正确．∵B是定点，∴M是在以B为圆心，MB为半径的圆上，故B正确，∵A1C在平面ABCD中的射影为AC，AC与DE不垂直，∴存在某个位置，使DE⊥A1C不正确．故选：C．15.【答案】3+6解：根据题意，x+2y=（x+2）+2（y+2）-6=[（x+2）+2（y+2）]（+）-6=3++≥3+2=3+6，即x+2y的最小值为3+6，故答案为：3+6．16.【答案】解: 如图: 延长D1M,DA,相交于N,连接NC,交AB于G，因为M是棱AA1的中点,所以M是D1N的中点,A是ND的中点，所以G是NC的中点,也是AB的中点，又因为正方体ABCD-A1B1C1D1是棱长为2的正方体，所以，，因此等腰梯形MGD1C的面积为.故答案为.。

上学期高二数学1月月考试题05分值：150分 时间：120分钟一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每题所给的四个选项中,只有一项是符合题的要求的1 若直线x=1的倾斜角为等于，则αα （ ） A.0 B 。

4π C 。

2πD.不存在 2抛物线28y x =的焦点到准线的距离是（ )A 1B 2C 4D 83若点P 在椭圆1222=+y x 上，1F 、2F 分别是椭圆的两焦点,且 9021=∠PF F ，则21PF F ∆的面积是（ )A 。

2 B. 1 C 。

23 D. 214双曲线19422=-y x 的渐近线方程是( ） A x y 23±= B x y 32±= C x y 49±= D x y 94±=5椭圆4422=+y x 的准线方程是（ ）A y =B x =C y =±433D x =±433 6若直线054=+-y mx 与直线052=-+n y x 互相垂直,则m 的值是( ）A 10B 85- C -10D 857双曲线221x y -=的一弦中点为()2,1，则此弦所在的直线的方程为( ） A 21y x =- B 22y x =- C 23y x =- D 23y x =+8若点A 的坐标为(3,2),点F 为抛物线22y x =的焦点，而点P 在抛物线上移动，为使PA PF +取得最小值，点P 的坐标应为（ ）A 。

(3,3) B.(2,2) C 。

1(,1)2D.(0,0) 9【理科】抛物线214y x =的焦点坐标为( ）A ．1,016⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．10,16⎛⎫⎪⎝⎭ C ．()0,1 D ．()1,0【文科】抛物线28y x =-的焦点坐标是（ ）A ．(4,0)B ．(4,0)-C ．(2,0)-D ．(2,0)10【理科】双曲线11422+==-kx y y x 与直线有唯一公共点,则k 值为（ ）A22B 22-C 22±D 2122±±或 【文科】如果双曲线的焦距等于两条准线间距离的4倍，则此双曲线的离心率为( ）A 。

广东省珠海二中2020～2021学年度高二第一学期10月月考数学试题注意事项:1、答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。

2、选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上相对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试题上。

3、非选择题必须用黑色自己的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4、考生必须保持答题卡的整洁,考试结束后,答题卡交回。

第Ⅰ卷(选择题)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,有且只有一个选项符合题目要求)1.已知集合20{|}2A x x x =-<,{B x x =<,则A B =(C)(A){}0x x <<(B){}2x x <(C){0x x <<(D){}20x x -<<2.若函数()1,15,1x e x f x x x -⎧≤=⎨->⎩,则()()2f f =(A)(A)1(B)4(C)0(D)25e -3.设a ,b 是非零向量,“a b a b ⋅=⋅”是“a b ”的(A) (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件4.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若44S =-,66S =,则5S =(B) (A)1(B)0 (C)-2 (D)45.已知双曲线22:13y C x -=的右顶点为A ,过右焦点F 的直线l 与C 的一条渐近线平行,交另一条渐近线于点B ,则ABFS=(B)6.下列命题正确的是(C)(A)若两条直线和同一个平面平行,则这两条直线平行 (B)若一条直线与两个平面所成的角相等,则这两个平面平行(C)若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行 (D)若两个平面垂直于同一个平面,则这两个平面平行 7.已知α为锐角,且3cos 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭,则cos2α＝(A) (A)2425(B)725 (C)2425-(D)2425±8.已知a ,b 为单位向量,则a b a b ++-的最大值为(D) (A)1(C)3(D)9.椭圆22214x y a +=与双曲线2212x y a -=有相同的焦点,则a ＝(B) (A)-1(B)1(C)1±(D)210.已知等比数列{}n a 满足14a =,26414a a a =-,则2a =(A) (A)2(B)1(C)12(D)1811.已知ABC △的内角A ,B ,C 对的边分别为a ,b ,c,且sin 2sin A B C =,则cos C 的最小值为(A)12.已知A ,B ,P 是双曲线22221x y a b -=上不同的三点,且AB 连线经过坐标原点,若直线PA ,PB 的斜率乘积23PA PB k k ⋅=,则该双曲线的离心率e ＝(B) (A)2 (B)3(C)2第Ⅱ卷(非选择题)二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分,把答案填写在横线上)13.若变量x ,y 满足约束条件02143y x y x y ≤⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩,则z x y =+的最小值是-2.14.命题“x R ∀∈,都有210x x -+>”的否定是0x R ∃∈,使得20010x x -+≤.15.设数列{}n a 的前n 项和为n S ,且()1413n n a S -=,若38a =,则112a =. 16.将函数()cos f x x ω=的图像向右平移2π个单位后得到函数()sin 4g x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像,则正数ω的最小值等于32. 17.下列命题中:(1)“若1xy =,则x ,y 互为倒数”的逆命题;(2)“四边相等的四边形是正方形”的否命题;(3)“梯形不是平行四边形”的逆否命题;(4)“若sin sin x y =,则x y =”的逆命题.其中是真命题的是(1)(2)(3)(4). 18.在R 上定义了运算“*”:()*1x y x y =-;若不等式()()*1x a x a -+<对任意实数x 恒成立,则实数a 的取值范围是13,22⎛⎫-⎪⎝⎭. 三、解答题(本大题共5小题,每小题12分,共60分)19.(1)已知命题:1p a x a ≤≤+,命题2:40q x x -<,若p 是q 的充分不必要条件,求a 的取值范围;(2)已知命题:p “[]0,1x ∀∈,x a e ≥”,命题:q “0x R ∃∈,使得20040x x a ++=”.若命题“p q ∧”是真命题,求实数a 的取值范围.解:(1)令{|}1M x a x a =≤≤+,{}24{|}|004N x x x x x =-<=<<.因为p 是q 的充分不必要条件,所以M N.所以014a a >+<⎧⎨⎩,解得03a <<.所以a 的取值范围是(0)3，.(2)若命题“p q ∧”是真命题,则p ,q 都是真命题. 由[]0,1x ∀∈,x a e ≥,可得a e ≥;由0x R ∃∈,使得20040x x a ++=,可得1640a ∆=-≥,解得4a ≤.所以4e a ≤≤.所以a 的取值范围是[4]e ，.20.设{}n a 是公比不为1的等比数列,1a 为2a ,3a 的等差中项. (1)求{}n a 的公比;(2)若11a =,求数列{}n na 的前n 项和. 解:(1)设数列{}n a 的公比为q (0q ≠且1q ≠).因为1a 为2a ,3a 的等差中项,所以1232a a a =+.即()2111120a a q a q a =+≠.整理得220q q --=,解得2q =-或1q =(舍). 所以数列{}n a 的公比为-2. (2)由(1)知,当11a =时,()12n n a -=-.所以()12n n na n -=-.设数列{}n na 的前n 项和为n T , 则()()()()()22112232122n n n T n n --=+⨯-+⨯-+⋯+-+⋅-⋅-①()()()()()()231222232122n nn T n n --=-+⨯-+⨯-+-⋅-+⋅⋯+-②由①－②得,()()()()2132222nn n T n -=-+-+⋯+--⋅-()()()12212nn n --=-⋅--- ()()312133nn +⋅-=- 所以()()3121399nn n T +⋅-=-.21.已知ABC △中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且1cos 2a c Bb =+. (1)求cos C ;(2)若c =求a b +的取值范围.解:(1)1cos 2a c B b =+,由正弦定理可得1sin sin cos sin 2A CB B =+, 即()1sin sin cos sin 2BC C B B +=+,整理得1sin cos sin 2B C B =.因为0B π<<,所以sin 0B ≠,所以1cos 2C =.(2)由(1)得,3C π=,所以sin 2C =.由正弦定理可得,2sin sin sin a b cA B C===. 所以22sin 2sin 2sin 2sin 3a b A B A A π⎛⎫+=+=+-⎪⎝⎭3sin 6A A A π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭.因为203A π<<,所以5666A πππ<+<. 所以1sin 126A π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭,从而a b +的取值范围为.22.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的一个顶点为()2,0A ,离心率为2,直线()1y k x =-与椭圆C 相交于不同的两点M ,N. (1)求椭圆C 的方程; (2)当AMN △时,求k 的值. 解:(1)由题意得2222a caa b c =⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩,解得2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩所以椭圆C 的方程为22142x y +=. (2)联立()221142y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩,消去y 得2222()124240k x k x k +-+-=.设11(),M x y ,22()N x y ,,则2122412k x x k +=+,21222412k x x k -=+.所以12MN x x =-==.又点0(2)A ，到直线()1y k x =-的距离为d =所以AMN △的面积为124S MN d =⋅⋅==,整理得4220470k k +-=. 解得212k =或2710k =-(舍),故22k =±.23.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为22,右焦点为F ,以原点O 为圆心,椭圆C 的短半轴长为半径的圆与直线20x y --=相切.(1)求椭圆C 的方程;(2)如图,过定点0(2)P ，的直线l 交椭圆C 于A ,B 两点,连接AF 并延长交C 于M ,求证:PFM PFB ∠=∠. 解:(1)由题意可设圆O 的方程为222x y b +=.因为圆O 与直线20x y --=相切,所以212b ==.由221a c -=及2c a =,解得2a =所以椭圆C 的方程为2212x y +=. (2)由题意可知直线l 的斜率必存在,设():2l y k x =-.联立()22212x y y k x ⎧⎪⎨+==-⎪⎩消去y 得2222()128820k x k x k +-+-=有2222841()()()2820k k k ∆=--+->,整理得2210k -<.设11()A x y ,,22(),B x y ,则2122812k x x k +=+,21228212k x x k -=+.有()()()()()1212121212121222234111111AF BF k x k x x x x x y y k k k x x x x x x ---+++=+=+=⋅------ 其中()22121222828223423401212k k x x x x k k ---++=⋅-⋅+=++ 所以0AF BF k k += 所以PFM PFB ∠=∠.。

珠海市斗门区第一中学2020～2021学年度10月质监测高三数学试题说明:全卷共2页,考试时间为120分钟,满分150分。

注意事项:1、答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。

2、选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上相对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试题上。

3、非选择题必须用黑色自己的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4、考生必须保持答题卡的整洁,考试结束后,答题卡交回。

一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,满分60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请在答题卡上选涂相应选项。

1.已知命题():1,p x ∀∈+∞,3168x x +>,则命题p 的否定为( ) A.():1,p x ⌝∀∈+∞,3168x x +≤B.():1,p x ⌝∀∈+∞,3168x x +<C.():1,p x ⌝∃∈+∞,300168x x +≤D.()0:1,p x ⌝∃∈+∞,300168x x +<2.24x ≤的一个充分不必要条件是( ) A.2x ≤B.2x ≥C.02x <≤D.22x -≤≤3.某食品广告词为“幸福的人们都拥有”,初听起来这似乎只是普通的赞美之词,然而它的实际效果却很大,原来这句广告词的等价命题是( ) A.不拥有的人们不一定幸福 B.不拥有的人们可能幸福 C.拥有的人们不一定幸福D.不拥有的人们不幸福4.已知命题“非P ”为真,而命题“P 且Q ”为假,则:( ) A.Q 为真B.“非P 或Q ”为假C.“P 或Q ”为真D.“P 或Q ”可真可假5.已知1F 、2F 是定点,126F F =.若点M 满足126MF MF =+,则动点M 的轨迹是( ) A.直线B.线段C.圆D.椭圆6.已知椭圆22:11612x y C +=的离心率与双曲线()22:101612x y C b '-=>的离心率互为倒数关系,则b =( )A.B.C.4D.67.若m 为实数,则“12m <<”是“曲线22:12x y C m m +=-表示双曲线”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件8.直线3by x a=+与双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的交点个数是( )A.1B.2C.1或2D.09.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的焦距为6,过右焦点F 的直线l 交椭圆C 与A ,B 两点,若AB 的中点坐标为()1,1-,则C 的方程为( )A.2214536x y +=B.221189x y += C.221459x y +=D.2217236x y += 10.已知P 是双曲线22:14y x E m-=上任意一点,M ,N 是双曲线上关于坐标原点对称的两点,且直线PM ,PN 的斜率分别为1k ,()2120k k k ≠,若12k k +的最小值为1,则实数m 的值为( ) A.16B.2C.1或16D.2或811.已知命题p :椭圆22259225x y +=与双曲线22312x y -=有相同的焦点;命题q :函数()2f x =的最小值为52,下列命题为真命题的是( ) A.p q ∧B.()p q ⌝∧C.()p q ⌝∨D.()p q ∧⌝12.已知点P 是椭圆22143x y +=上一点,1F ,2F 分别为椭圆的左、右焦点,M 为12PF F △的内心,若1122MPF MF F MPF S S S λ=-△△△成立,则λ的值为( )A.32B.12C.2D.2二、填空题:术大题共8小题,每小题5分,麻烦40分,请将正确的答案写在答题卡上.13.命题:若“3x ≠且2x ≠,则2560x x -+≠”是______(选填“真”或“假”)命题.14.关于x 的方程2100x x k -+=有两个异号根的充要条件是______.15.已知命题0:p x R ∃∈,2010mx +≤,命题:q x R ∀∈,210x mx ++>,若p q ∨为假命题,则实数m 的取值范围为______.16.将圆224x y +=上的点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的一半,所得曲线的方程为______.17.已知1F 、2F 是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点,点P 为C 上一点,O 为坐标原点,2POF △为正三角形,则C 的离心率为______.18.双曲线22221x y a b-=的离心率为2,过其左支上一点M 作平行于x 轴的直线交渐近线于P 、Q 两点,若4PM MQ ⋅=,则该双曲线的焦距为______.19.P 为椭圆221164x y +=上一点,()2,0Q ,则线段PQ 长度的最小值为______. 20.已知双曲线2213y x -=的左顶点为1A ,右焦点为2F ,P 为双曲线右支上一点,则12PA PF ⋅的最小值为______.三、解答题:本大题共5小题,共50分,解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 21.(本题满分10分)命题p :方程230x x m -+=有实数解,命题q :方程＋22192x y m m +=--表示焦点在x 轴上的椭圆. (1)若命题p 为真,求m 的取值范围; (2)若命题p q ∧为真,求m 的取值范围. 22.(本题满分10分)已知2:210p x x -++≥,:34q x -≤≤,()22:1200r x ax a a --≤>.(1)判断p 是q 的什么条件;(2)如果q 是r 的充要条件,求a 的值. 23.(本题满分10分)已知椭圆()222210x y a b a b+=>>过点()0,2M ,离心率3e =.(1)求椭圆的方程;(2)设直线1y x =+与椭圆相交于A 、B 两点,求AMB S △. 24.(本题满分10分)椭圆()222210x y a b a b +=>>离心率为12,2P ⎫⎪⎪⎭是椭圆上一点. (1)求椭圆方程;(2)1F ,2F 是椭圆的左右焦点,过焦点1F 的弦AB 的中点为1,2E t ⎛⎫- ⎪⎝⎭,求线段2EF 长. 25.(本题满分10分)已知圆()222:4M x m y n ++=(,0m n >且m n ≠),点(),0N m ,P 是圆M 上的动点,线段PN 的垂直平分线交直线PM 于点Q ,点Q 的轨迹为曲线C . (1)讨论曲线C 的形状,并求其方程;(2)若1m =,且QMN △直线l 过点N 且不垂直于坐标轴,l 与曲线C 交于A ,B ,点B 关于x 轴的对称点为D.求证:直线AD 过定点,并求出该定点的坐标.珠海市斗门区第一中学2020～2021学年度10月质量监测高三数学试题(答案)1.1.【解答】解:命题p 是全称命题,则命题p 的否定是特称命题,即命题p 的否定是:()0:1,p x ⌝∃∈+∞,30168x x +≤,故选:C.2.【解答】解:∵24x ≤的解集为[]2,2x ∈-,选项中:(][]0,22,2≠⊂-,∴“24x ≤”的一个充分不必要条件为:02x <≤,故选:C. 3.【解答】解:“幸福的人们都拥有”我们可将其化为:如果人是幸福的,则这个人拥有某种食品 它的逆否命题为:如果这个没有拥有某种食品,则这个人是不幸福的 即“不拥有的人们不幸福” 故选:D.4.【解答】解:“非P ”为真,∴P 一定为假, ∵命题“P 且Q ”为假,∴两个命题中至少有一个为假, ∴“P 或Q ”不一定为真, 故选:D.5. 【解答】解:对于在平面内,若动点M 到1F 、2F 两点的距离之和等于6,而6正好等于两定点1F 、2F 的距离,则动点M 的轨迹是以1F 、2F 为端点的线段.故选:B.6. 【解答】解:椭圆22:11612x y C +=的离心率与双曲线()222:104x y C b b '-=>的离心率互为倒数关系,椭圆22:11612x y C +=的离心率12=;所以双曲线()222:104x y C b b '-=>的离心率2=,解得b =故选:B.7.【解答】解:曲线22:12x y C m m +=-表示双曲线,则()20m m -<,解得02m <<.∴“12m <<”是“曲线22:12x y C m m +=-表示双曲线”的充分不必要条件. 故选:A.8.【解答】解:双曲线22221x y a b -=的渐近线方程为:by x a =±.因为直线3by x a=+与双曲线22221x y a b -=的一条渐近线平行,在y 轴上的截距为3,所以直线3by x a=+双曲线22221x y a b -=的交点个数是:1.故选:A.9.【解答】解:设()11,A x y ,()22,B x y ,代入椭圆方程得22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩①②①-②得:22221222220x x y y a b --+=, ∴12121222120x x y y y y a x x b+-++⋅=-. ∵122x x +=,122y y +=-,1212101132AB y y k x x ---===--.∴2221202a b-+⨯=, 化为222a b =,又3c ==解得218a =,29b =.∴椭圆C 的方程为221189x y +=. 故选:B.10. 解答】解:设(),P A y ,(),M s t ,则(),N s t --,则有2214t s m -=,2214y x m-=,两式相减得,222204t y s x m---=, 则有22224t y s x m-=-, 而1t y k s x -=-,2t yk s x--=--, ∴221212224t y k k k k s x m-⋅=⋅==-. ∴12124221k k k k m+≥⋅==. 得16m =. 故选:A.11. 【解答】解:p 中:椭圆为221925x y +=,双曲线为221124x y -=, 焦点坐标分别为()0,4±和()4,0±,故p 为假命题; q 中:()2222444f x x x x ==++++,设242t x =+≥,则()1f t t t=+在区间[)2,+∞上单调递增,故()min 52f x =,故q 为真命题。

珠海一中2023-2024高二上学期元月阶段测试数学答案解析（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 4．测试范围：统计、概率+选择性必修一 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第I 卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1．（本题5分）已知()2,1,3PA =− ，()1,2,3PB =−，(),6,9PC λ=− ，若P ，A ，B ，C 四点共面，则λ=（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】CA ．320x y −+=B ．320x y +−=C ．320x y −−=D ．310x y ++=的距离是（【答案】B【分析】利用空间法求点到直线的距离即可得解.【详解】依题意，知直线m 的方向向量()1,1,1a =，()3,4,5OQ = ，A ．14k −<<B ．41k−<< C ．1k >或4k <− D ．4k >或1k <−A ．甲、乙两家商店营业额的极差相同B ．甲、乙两家商店营业额的中位数相同C ．从营业额超过3000元的天数所占比例来看，甲商店较高D ．甲商店营业额的方差小于乙商店营业额的方差【答案】D【分析】延长IP 到A 且||||IP PA =，延长2IF 到B 且22||||IF F B =，结合向量的线性关系知I 是1ABF 的重心，根据重心和内心的性质，进而得到1122||||2||PF F F PF ==，由双曲线定义得到齐次方程，即可求离心率.【详解】如下图示，延长IP 到A 且||||IP PA =，延长2IF 到B 且22||||IF F B =， 所以1222IF IF PI +=，即10IF IB IA +=+ ， 故I 是△1ABF 的重心，即11AIF BIF AIB S S S == ， 又1111222,2,4AIF PIF BIF F IF AIB PIF S S S S S S === ， 所以11222PIF F IF PIF S S S == ，而I 是12PF F △的内心，则1122||||2||PF F F PF ==，【答案】C【分析】利用异面直线的距离可判定A ，利用棱锥的体积公式可判定B ，利用特殊位置可排除C ，利用坐标法可判定D.【详解】根据正方体的特征可知111111,C D B C C D ⊥⊥面1AD ， 又1AD ⊂面1AD ，所以111C D AD ⊥， 即11C D 是异面直线1AD 和11B C 的公垂线，二、多选题（共20分）9．（本题5分）一个质地均匀的骰子，掷一次骰子并观察向上的点数．A表示事件“骰子向上的点数大于等三、填空题（共20分）13．（本题5分）在正方体1111ABCD A B C D −中，E 是棱AD 的中点，则异面直线1BD 与1C E 所成角的余弦值PM 【详解】四、解答题（共70分）17．（本题10分）某高校承办了奥运会的志愿者选拔面试工作，现随机抽取了100名候选者的面试成绩并分成五组：第一组[45,55)，第二组[55,65)，第三组[65,75)，第四组[75,85)，第五组[85,95]，绘制成如图所示的频率分布直方图，已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同．(1)求a 、b 的值；(2)估计这100名候选者面试成绩的第60百分位数（精确到0.1）. 【答案】(1)0005,0025a b =．．(2)71.7【分析】（1）根据频率分布直方图中频率的计算方法及性质，列出方程，即可求解； （2）根据频率分布直方图中百分位数的计算方法，即可求解. 【详解】（1）解：由题意，因为第三、四、五组的频率之和为0.7，可得(00450020)1007a ++×=．．．，解得0005a =．， 所以前两组的频率之和为10703−=．．，即()1003a b +×=．，所以0025b =．. （2）解：由前两个分组频率之和为0.3，前三个分组频率之和为0.75， 所以第60百分位数在第三组，设第60百分位数为x ，则(65)00450603x −×=−．．．，解得717x ≈．，故第60百分位数为71.7． 18．（本题12分）圆C 与x 轴的交点分别为()2,0A −，()6,0B 且与1:3470l x y ++=和2:34310l x y −+=都(1)求证：平面PBD ⊥平面(2)若线段PC 上存在点F ， 因为2CBCD ==，BCD ∠所以()0,1,0B ，()0,1,0D −，设(),,F x y z ，因为CF FP λ= 31x λ =−+）()()1122,,,x y N x y ，2241312y x m x y =−+ −= 可得22128x mx m −+1282123m m x x +，2121212m x x +=()2264412120m m −××+>，即【点睛】关键点睛：本题考查椭圆与双曲线性质的综合运用，其中涉及共焦点问题、三角形面积问题以及定值问题，难度较大.解答本题第三问定值问题的关键在于：利用联立思想得到的坐标的韦达定理形式去化简12k k +.。

珠海市斗门一中-学年度上学期 高二数学〔理〕10月月考试题本卷总分值150分，考试时间120分钟 选择题：本大题共8小题，每题5分，总分值40分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。

1、假设R c b a ∈,,，且b a >，那么以下不等式一定成立的是 〔 〕A ．c b c a -≥+B ．bc ac >C ．02>-ba c D ．0)(2≥-cb a 2．不等式2320x x -+<的解集是〔 〕A ．(,1)-∞B (2,)+∞C ． (,1)(2,)-∞⋃+∞D ．(1,2) 3．椭圆224936x y +=的焦点坐标是〔 〕.(0,3)A ±.(0,B .(3,0)C ±.(D4．假设实数a 、b 满足a +b =2，是3a +3b 的最小值是 〔 〕 A ．18 B ．6C ．23D ．243 5.假设132log <a，那么a的取值范围是( )A ．a >1B ．320<<aC ．132<<aD ．320<<a 或a >16.目标函数y x z +=2，变量y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥<+≤+-12553034x y x y x ，那么有〔 〕 A ．3,12min max ==z z B ．,12max =z z 无最小值C ．z z ,3min =无最大值D ．z 既无最大值，也无最小值7.以下各组方程中，表示相同曲线的一组方程是 〔 〕 Ay =与2y x = B y x =与1xy= C 220y x -=与y x = D2lg y x =与2lg y x =x 的不等式m x x ≥-42对任意]1,0[∈x 恒成立，那么 实数m 的取值范围是 〔 〕A ．3-≤mB ．3-≥mC ．03≤≤-mD ．03≥-≤m m 或一、 填空题：本大题共6小题，每题5分，总分值30分。

上学期高二数学1月月考试题01共150分。

时间l20分钟．第I卷(选择题共60分)一、选择题：(本大题共l2小题，每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1．若a〉b且c R，则下列不等式中一定成立的是A．a〉bc B．a2〉b2 C．a+c〉b+c D．ac2〉bc22．设数列则A．第6项 B．第7项 C．第8项 D．第9项3．在数列{a｝中,a1=1，a n+l=a n+2,则a1与a5的等比中项为nA．3 B．-3 C．±3 D．±94．若△ABC的三个内角A，B，C满足sinA：sinB:sinC=5：11:13，则△ABC是A．锐角三角形 B．钝角三角形C．直角三角形 D．可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形5．等差数列｛a}中，a1+a2+a3=-24，a18+a19+a20=78,则此数列前20项和等于nA．160 B．180 C．200 D．2206．已知圆的半径为4，a、b、c为该圆的内接三角形的三边，若,则三角形的面形的面积为A． B． C D．27．已知函数2f x ax ax在R上满足()()=+-1f x<0，则a的取值范围是A．a≤0 B．a〈-4 C．-4〈a<0 D．-4<a≤08．在△ABC中，A、B、C分别为a、b、c所对的角，若a、b、c成等差数列,则B的范围是A ．0〈B ≤4π B ．0<B ≤3π c ．o<B ≤2π D ．2π〈B<π9．已知正项等比数列｛n a }满足:a 7=a 6+2a 5，若存在两项a m 、a n ，使得m n a a =4a 1,则m+n 的值为A ．10B ．6C ．4D ．不存在10．设a ，b 满足2a+3b=6，a>0，b 〉0，则23+a b的最小值为A ．256 B ．83 C ．113 D ．411．若<1x ，则2-2+2=2-2x x y x 有A ．最小值lB ．最大值lC ．最小值-1D ．最大值—112．如图，为测得河对岸塔AB 的高，先在河岸上选一点C ，使C 在塔底B 的正东方向上,测得点A 的仰角为60°，再由点C 沿北偏东l50方向走l0米到位置D ，测得∠BDC=45°，则塔AB 的高是 A ．10米 B ．102米 C ．103米 D ．106米第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，满分l6分．) 13．在△ABC 中,a 、b 、c 分别为A 、B 、C 的对边，B=23π,b=13，a+c=4，则a= 。

上学期高二数学1月月考试题03满分150分，时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题，共60分)一、选择题(每小题5分，满分60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1．不等式2620x x +-≥的解集是（ ）A 。

1{|}2x x ≥B.23x x ⎧⎫≤-⎨⎬⎩⎭C.2132x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭D 。

2132x x x ⎧⎫≤-≥⎨⎬⎩⎭或2。

△ABC 中，若sin 2A =sin 2B +sin 2C ，则△ABC 为( )A ．直角三角形B ． 钝三角形C ．锐角三角形D ．锐角或直角三角形3。

在数列{}a n 中，*1+12,2=2+1, ,n n a a a n N =∈则101a 的值为（ ）A. 49B. 50C. 51D.52 4。

若1，1a ，2a ，3a ，4成等比数列，3，1b ，2b ，3b ,5成等差数列，则22a b =（ ） A ．12 B ．12- C ．2± D ．12±5．已知实数a 、b 满足“a ＞b ”,则下列不等式中正确的是（ ）A ．｜a|＞｜b |B ．a 2＞b 2C ．a 3＞b 3D ．ba ＞16．已知等差数列{}n a 的公差d≠0，且,,,931a a a 成等比数列，则1042931a a a a a a ++++的值是( ）A ．1415 B ． 1312 C ． 1613 D ． 16157．若0<<a b ，则下列不等式①ab b a <+;②|;|||b a >③b a 11<；④2>+baa b 中，正确的不等式有（ )．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．已知等差数列}{n a 和等比数列}{n b ，它们的首项是一个相等的正数，且第3项也是相等的正数，则2a 与2b 的大小关系为（ ）A ．22b a ≤B ．22b a ≥C ．22b a <D ．22b a >9．某船开始看见灯塔在南偏东30︒方向，后来船沿南偏东60︒的方向航行45km 后，看见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离是（ )A ．15kmB ．30kmC ．D ． km10．若 x ，x+1，x+2是钝角三角形的三边，则实数 x 的取值范围是（ ）.A ．0<x 〈3B ．1〈x<3C ．3〈x 〈4D ．4<x<611．在∆ABC 中,AB=3，AC=4，则边AC 上的高为( ）。

珠海市2020届第一学期期末普通高中学生学业质量监测数 学（文科）时间：120分钟 满分：150分一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）1．已知集合A={4<|2x x }，B={-1,0,1,2,3},则=B AA ．{0,1,2}B ．{0,1}C ．{-1,0,1}D ．{-2,-1,0,1,2}2．已知i 是虚数单位，复数z 满足i zi+=-121，则=||z A ．25B ．223C ．210D ．33．己知命题:p 任意4≥x ,都有2log 2≥x ;命题:q a >b ,则有以a 2>b 2，则下列命题为真命题的是 A ．q p ∧B ．)(q p -∧C ．)()(q p -∧-D ．qp ∨-)(4．某学校有800名新生，其中有500名男生，300名女生.为了了解学生的身体素质，现用分层抽样的方法从中抽取16人进行检查，则应从男生中抽取 A ．10名学生B ．11名学生C ．12名学生D ．无法确定5．已知的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b , c , B b A a sin sin = ,则ABC ∆—定为 A ．等腰三角形B ．钝角三角形C ．锐角三角形D ．等腰直角三角形6．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人走了 378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.”问此人第5天和第6天共走了 A ．24 里B ．6 里C ．18 里D ．12 里7．已知b a ,满足6,,3||,32||-===b a b a ,则a 在b 上的投影为 A ．-2B ．-1C ．-3D ．28．双曲线C: 0)>b 0,>(12222aby a x =-的两条渐近线与圆1)2(22=+-y x 相切，则C 的离心率为A ．332 B ．3C ．2D ．29．函数112)(2-+=xx f x在区间[-4,4]附近的图象大致形状是A B C D10．已知3.02.032.0,3.0,3.0log ===c b a ，则A ．a <b <cB ．a <c <bC ．c <a <bD ．b <c <a11．港珠澳大桥通车后，经常往来于珠港澳三地的刘先生采用自驾出行.由于燃油的价格有升也有降，现刘先生有两种加油方案，第一种方案：每次均加30升的燃油；第二种方案，每次加每次加200元的燃油，则下列说法正确的是 A ．采用第一种方案划算 B ．采用第二种方案划算C ．两种方案一样D ．无法确定12．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≤+=1,1211>,ln )(x x x x x f ,若)()(n f m f =，则||m n -的取值范围是A ．[e,3]B ．]3,2ln 24[-C ．]1,2ln 24[23--eD ．]3,2ln 22[-二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13．函数2ln )(x x x f +=的图象在点（1，)1(f )处切线方程为 . 14．若32)15sin(=︒+α，则=︒+)105cos(α .15．函数)32sin()(π+=x x f 在区间]4,0[π的最小值为 . 16．在半径为2的球内有一个内三棱锥P-ABC ，点P ，A,B,C 都在球面上，且ABC ∆是边长为3的等边三角形，那么三棱锥P-ABC 体积的最大值为 .三、解答题.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17〜21题为必考题，每个试 题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. (一）必考题17．(本小题满分12分）已知正项等差数列{n a }满足20,94352=⋅=+a a a a ,等比数列{n b }的前n 项和n S 满足c S n n -=2,其中c 是常数.(1)求c 以及数列{n a }、{n b }的通项公式； (2)设n n n b a c =，求数列{n c }的前n 项和n T ； 18．(本小题满分12分)为了调查一款手机的使用时间，研究人员对该款手机进行了相应的测试，将得到的数据统计如下图所示：并对不同年龄层的市民对这款手机的购买意愿作出调查，得到的数据如下表所示:(1)根据图中的数据，试估计该款手机的平均使用时间；(2)请将表格中的数据补充完整，并根据表中数据，判断是否有99.9%的把握认为“愿意购买该款手机”与“市民的年龄”有关.参考公式：))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-= ,其中d c b a n +++=.参考数据：19．(本小题满分12分）如图，四棱锥S—ABCD的底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB⊥ BC，为正三角形，点M为线段AB的中点.AB=2BC=2CD=2,SAD(1)证明：SM⊥ AD.(2)当时SM=1时，求点B到平面SAD的距离.20． (本小题满分12分）中心在坐标原点，对称轴为坐标轴的椭圆C 过A(0，-1)、1)2B 两点， (1)求椭圆C 的方程； (2)设直线)0(,21:≠+=m m x y l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，求当m 取何值时，OPQ ∆的面积最大.21．(本小题满分12分） 已知函数]2,0[,sin )(π∈-=x x ax x f ，其中a 为常数.(1)若函数)(x f 在]2,0[π上是单调函数，求a 的取值范围；(2)当1≤a 时，证明：361)(x x f ≤.(二）选考题请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22．(本小题满分10分）已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x 轴的非负半轴重合，直线l 的极坐标方程为：21)6sin(=-πθρ,曲线C 的参数方程为：ααα(sin 2cos 22⎩⎨⎧=+=y x 为参数）. (1)写出直线l 的直角坐标方程；(2)求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值.23．(本小题满分10分） 已知|3||1|)(-+-=x x x f .(1)解关于x 的不等式4)(≤x f ;(2)若m m x f +2＞)(恒成立，求实数m 的取值范围.数学（文科）参考答案时间：120分钟 满分：150分一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．）1．已知集合{}{}241,0,1,2,3A x x B =<=-，，则AB =A ．{}0,1,2B ．{}0,1C ．{}1,0,1-D ．{}2,1,0,1,2-- 【答案】C.解析： {}{}21,0,1,2,3A x x B =-<<=-，2.则A B ={}1,0,1-.2．已知i 是虚数单位，复数z 满足121ii z-=+，则z =A B C D 【答案】C.解析：()()1211213122i i i i z i -----===+，所以||z =. 3．已知命题p ：任意4x ≥，都有2log 2x ≥；命题q ：b a >，则有22b a >．则下列命题为真命题的是A ．q p ∧B ．)(q p ⌝∧C ．)()(q p ⌝∧⌝D ．q p ∨⌝)(【答案】B.解析：p 为真命题；命题q 是假命题，比如当b a >>0或者取=12a b =-，时，则22b a >不成立.4．某学校有800名新生，其中有500名男生，300名女生．为了了解学生的身体素质，现用分层抽样的方法从中抽取16人进行检查，则应从男生中抽取 A ．10名学生 B ．11名学生 C ．12名学生 D ．无法确定 【答案】A.解析：50016800n =男得10n =男.5．已知ABC ∆的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，sin sin a A b B =，则ABC ∆一定为A ．等腰三角形B ．钝角三角形C ．锐角三角形D ．等腰直角三角形【答案】A.解析：由sin sin B a A b =结合正弦定理得，22a b =,从而a b =.6．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”问此人第5天和第6天共走了A ．24里B ．6里C ．18里D ．12里【答案】C.解析：设第六天走了a 里，则第五天走了2a 里，…，依次下去，构成一个等比数列.所有路程之和为：6(12)37812a -=－，解得6a =，可知218a a +=.7．已知b a ，满足32=a，3=b ，6a b ⋅=-,则a 在b 上的投影为A ．2-B ．1-C ．3-D ．2【答案】A.解析：a 在b 上的投影为236cos -=-=⋅=bb a aθ. 8．双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线与圆22(2)1x y -+=相切，则C 的离心率为A B C ．2 D 【答案】A.分析：数形结合可得，3tan 303b a ==，2221231()13c a b b e a a +===+=+=，所以选A.9．函数22()11xf x x=-+在区间[4,4]-附近的图象大致形状是A B C D 【答案】B.解析：22()11xf x x =-+过点()10，，可排除选项A ，D .又()20f <，排除C .10．已知30.20.3log 0.3,0.3,0.2a b c ===，则 A ．a b c << B ．a c b << C ．c a b << D ．b c a <<【答案】B.解析：3log 0.30a =<，由幂函数0.2y x =为()0,+∞上的增函数可知0.20.200.2.3>又由指数函数0.2xy =为R 上的增函数可知0.30.200.2.20>>，所以a c b <<.11．港珠澳大桥通车后，经常往来于珠港澳三地的刘先生采用自驾出行．由于燃油的价格有升也有降，现刘先生有两种加油方案，第一种方案：每次均加30升的燃油；第二种方案，每次加200元的燃油，则下列说法正确的是A ．采用第一种方案划算B ．采用第二种方案划算C ．两种方案一样D ．无法确定 【答案】B.解析：任取其中两次加油，假设第一次的油价为m 元/升，第二次的油价为n 元/升．第一种方案的均价：mn nm n m ≥+=+2603030；第二种方案的均价：mn nm mnnm ≤+=+2200200400.所以无论油价如何变化，第二种都更划算．本题可以从以下角度思考：第一种方案是无论价格多少都加固定升数；而第二种相当于价格便宜时多加油，价格高时少加油.12．已知函数ln ,1()11,12x x f x x x >⎧⎪=⎨+≤⎪⎩，若()()f m f n =，则n m -的取值范围是A ．[],3eB ．[]42ln 2,3-C ．3242ln 2,1e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦－ D ．[]22ln 2,3- 【答案】C.解析：法一：不妨设()()f m f n t ==，由题意可知，函数()y f x =的图象与直线y t =有两个交点，其中302t <≤，由()f m t =，即112m t +=，解得22m t =-， 由()f n t =，即ln n t =，解得t n e =， 记()22t g t n m e t =-=-+，其中302t <≤，()2t g t e '=-，∴当0ln 2t <<时，()0g t '<，函数()g t 单调递减； 当3ln 22t <≤时，()0g t '>，函数()g t 单调递增. 所以函数()g t 的最小值为：ln 2(ln 2)e 2ln 2242ln 2g =-+=-；而0(0)e 23g =+=，323()e 132g =->，∴3242ln 2()e 1g t -≤≤-，即3242ln 2e 1n m -≤-≤-. 法二：数形结合，如图可将直线平移与曲线相切，利用导数求得切线，可得n m -最小值，而n m -最大值为0y =（取得到）或32y =（取不到）时.二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13．函数2ln )(x x x f +=的图象在点()1,(1)f 处切线方程为 ．【答案】32y x =-. 解析：x xx f 21)(+='，则3)1(='f ，又1)1(=f ，则切线方程为23-=x y 14．若32)15sin(=+ α，则=+)105cos( α___________． 【答案】23-.解析：32)15sin()9015cos()105cos(-=+-=++=+ ααα.15．函数π()sin(2)3f x x =+在区间[0,]4π的最小值为___________．【答案】12.解析：0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则52,336x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，1sin 2,132x π⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦（），可知()f x 的最小值 为5π1()sin 62f x ⎛⎫==⎪⎝⎭. 16．在半径为2的球内有一个内三棱锥P ABC -，点,,,P A B C 都在球面上，且ABC ∆是边长为3的等边三角形，那么三棱锥P ABC -体积的最大值为_________．【答案】934. 解析：如图：233332CD =⨯⨯=. 在OCD ∆中，221OD OC CD =-=.三棱锥P ABC -体积的最大时，最长的高为3OD OP +=.113933333224P ABC V -=⨯⨯⨯⨯⨯=.三、解答题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17〜21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题17．（本小题满分12分）已知正项等差数列{}n a 满足259a a +=，3420a a =，等比数列{}n b 的前n 项和n S 满足2n n S c =-，其中c 是常数．（1）求c 以及数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （2）设n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n T ． 解：（1）数列{}n a 为正项等差数列，∴公差0d >， 25349a a a a +=+=，又3420a a =，34a ∴=，45a =，可得1d =，即可得1n a n =+；2n n S c =-⋯①当1n =时，12b c =-， 当2n 时，112n n S c --=-⋯②①-②即可得12n n b -=，2n ，又{}n b 为等比数列，01212b c ∴===-，即可得1c =，12n n b -∴=，*n N ∈；（2）由题意得1(1)2n n c n -=+， 0112232(1)2n n T n -=++⋯++，⋯③ 112222(1)2n n n T n n -=+⋯+++，⋯④③-④可得：11212(12)2222(1)22(1)2212n n nn n n T n n n ----=+++⋯+-+=+-+=--．2n n T n ∴=．18．（本小题满分12分）为了调查一款手机的使用时间，研究人员对该款手机进行了相应的测试，将得到的数据统计如下图所示：并对不同年龄层的市民对这款手机的购买意愿作出调查，得到的数据如下表所示：（1）根据图中的数据，试估计该款手机的平均使用时间；（2）请将表格中的数据补充完整，并根据表中数据，判断是否有99．9％的把握认为“愿意购买该款手机”与“市民的年龄”有关．参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d-=++++，其中n a b c d =+++．参考数据： 0解：（1）40.05240.09640.071040.031440.01187.76⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯＝ 该款手机的平均使用时间为7.76年. （2）总计12008002000()222000400200600800333.310.828120080010001000K⨯-⨯==>⨯⨯⨯可知有99．9％的把握认为“愿意购买该款手机”与“市民的年龄”有关．19．（本小题满分12分）如图，四棱锥S ABCD-的底面ABCD为直角梯形，//AB CD，AB BC⊥，222AB BC CD===，SAD∆为正三角形，点M为线段AB的中点．（1）证明SM AD⊥；（2）当1SM=时，求点B到平面SAD的距离．解：（1）取AD的中点P，连接SP、MP，由题意可知：1AM DM==∴MP AD⊥.SAD∆为正三角形SP AD∴⊥.又SP MP P=，SP，MP⊂面SMP，AD∴⊥面SMP.SM∈面SMP，SM AD∴⊥.（2）由题意可知DM AB⊥，且1AM DM==，2AD∴=，且1AM=，2SA∴=.又1SM AM==，SM AM∴⊥.由（1）知SM AD ∴⊥，且AD AM A ＝，AD AM ∈，面ABCD ，SM ∴⊥面ABCD ，三棱锥S ABD －的体积为1133S ABD ABD V S SM ==－， 设点B 到平面SAD 的距离为h ，则1133B SAD SAD V S h ===－，得h =20．（本小题满分12分）中心在坐标原点，对称轴为坐标轴的椭圆C 过(0,1)A -、1)2B 两点， （1）求椭圆C 的方程； （2）设直线1:,(0)2l y x m m =+≠与椭圆C 交于P ，Q 两点，求当m 取何值时，OPQ ∆的面积最大．解：（1）由题意可设椭圆C 的方程为22221x y m n +=，代入()0,1A -、12B ⎫⎪⎭两点得()2222222101121m n m n ⎧-+=⎪⎪⎪⎨⎛⎫ ⎪⎝⎭+=⎪⎩ 解得21n =，24m =得椭圆:C 2214x y +=. （2）将直线1:,(0)2l y x m m =+>代入2214x y +=得：221442x x m ⎛⎫++= ⎪⎝⎭.整理得：222220x mx m ++-=.()()2222422840m m m ∆=--=->得m <<由韦达定理得122x x m +=-，21222x x m =－.12x x -===1212OPQ S m x x ∆=-== 由二次函数可知当21m=即1m =时，OPQ ∆的面积的最大．21．（本小题满分12分）已知函数()sin f x ax x =-，[0,]2x π∈，其中a 为常数．（1）若函数()f x 在[0,]2π上是单调函数，求a 的取值范围；（2）当1a ≤时，证明：31()6f x x ≤． 解：（1）求导得()cos f x a x '=-，[0,]2x π∈，①当()f x 在[0,]2π上为单调递减函数时，即()cos 0f x a x '=-恒成立，又cos [0x ∈，1]，(cos )0min a x ∴=．②当()f x 在[0,]2π上为单调递增函数时，即()cos 0f x a x '=-恒成立，又cos [0x ∈，1]，(cos )1max a x ∴=；综上所述：()f x 在[0,]2π上为单调递减函数时，0a ；()f x 在[0,]2π上为单调递增函数时，1a ．（2）证明：要证31()6f x x ，只需证31sin 06ax x x --恒成立， 令31()sin 6g x ax x x =--，[0,]2x π∈，则21()cos 2g x a x x '=--，令21()cos 2h x a x x =--，[0,]2x π∈，则()sin h x x x '=-.易证当[0,]2x π∈时，sin x x .()0h x '∴<，即()h x 在[0,]2π上递减，()(0)10h x h a ∴=-，即()0g x '，()g x ∴在[0,]2π上递减，()(0)0g x g ∴=即31sin 06ax x x --，命题得证．（二）选考题请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．（本小题满分10分）已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x 轴的非负半轴重合，直线l 的极坐标方程为：1sin()62πρθ-=，曲线C 的参数方程为：22cos (2sin x y ααα=+⎧⎨=⎩为参数）． （1）写出直线l 的直角坐标方程；（2）求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值．解：（1）直线l 的极坐标方程为：1sin()62πρθ-=，11cos )22ρθθ∴-=，∴1122y x -=，10x ∴-+=． （2）根据曲线C 的参数方程为：22cos (2sin x y ααα=+⎧⎨=⎩为参数）． 得：22(2)4x y -+=.它表示一个以(2,0)为圆心，以2为半径的圆， 圆心到直线的距离为：32d =， ∴曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值37222+=．23．（本小题满分10分） 已知()13f x x x =-+-．（1）解关于x 的不等式()4f x ≤；（2）若2()f x m m >+恒成立，求实数m 的取值范围．解：（1）当3x ≥时，不等式()4f x ≤化为244x -≤，得4x ≤即34x ≤≤ 当13x <<时，不等式()4f x ≤化为24≤，成立，即13x << 当1x ≤时，不等式()4f x ≤化为424x -≤，得0x ≥即01x ≤≤ 综上所述：所求不等式的解集为{}|04x x ≤≤. （2）()13132f x x x x x =-+-≥--+=若()2f x m m >+恒成立，则22m m >+. 解得21m -≤≤.{}|21m m -≤≤。