广东省珠海市2020-2021学年高二上学期期末考试数学试题Word版含答案

广东省潮州市2020-2021学年高二上学期数学期末考试试卷一、单选题1.命题“ ∀x ∈(0,1),x 2−x <0 ”的否定是（ ）A. ∃x 0∉(0,1),x 02−x 0≥0B. ∀x 0∉(0,1),x 02−x 0<0C. ∀x 0∈(0,1),x 02−x 0≥0D. ∃x 0∈(0,1),x 02−x 0≥02.在 △ABC 中，若 sinA a =cosB b，则角 B 为（ ） A. π6 B. π4 C. π3 D. π23.如果 a >b >0 ，那么下列不等式一定成立的是（ ）A. c −a >c −bB. 1a >1bC. (12)a >(12)b D. lna >lnb 4.过椭圆 C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0) 的上顶点与右顶点的直线方程为 x +2y −4=0 ，则椭圆 C 的标准方程为 （ ）A. x 216+y 24=1B. x 220+y 24=1C. x 224+y 28=1D. x 232+y 28=1 5.已知等差数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ，若 S 15=30 ， a 10=4 ，则 a 9 等于（ ）A. 2B. 3C. 4D. 86.若数列 {a n } 的通项公式为 a n =n n 2+196(n ∈N ∗) ，则这个数列中的最大项是（ ） A. 第12项 B. 第13项 C. 第14项 D. 第15项7.如图所示，为了测量A 、B 处岛屿的距离，小明在D 处观测，A 、B 分别在D 处的北偏西15º、北偏东45º方向，再往正东方向行驶10海里至C 处，观测B 在C 处的正北方向，A 在C 处的北偏西60º方向，则A 、B 两岛屿的距离为（ ）海里．A. 5√6B. 10√6C. 10√2D. 20√28.已知 x >0 ， y >0 ，且 2y +1x =1 ，则 x +2y 的最小值为（ ）A. 9B. 12C. 16D. 209.如图，空间四边形 ABCD 中， E ， F 分别是 BC ， CD 的中点， AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = （ ）A. AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗B. FA ⃗⃗⃗⃗⃗C. AF ⃗⃗⃗⃗⃗D. EF⃗⃗⃗⃗⃗ 10.已知双曲线 x 2a 2−y 2=1(a >0) 的左、右焦点分别为 F 1 ， F 2 ，离心率为 2√33，P 为双曲线右支上一点，且满足 |PF 1|2−|PF 2|2=4√15 ，则 △PF 1F 2 的周长为（ ）A. 2√5B. 2√5+2C. 2√5+4D. 2√3+411.已知a∈Z,关于x的一元二次不等式x2−6x+a≤0的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的a的值之和是（）A. 13B. 18C. 21D. 2612.已知A,B,C是双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)上的三个点，AB经过原点O，AC经过右焦点F，若BF⊥AC且2|AF|=|CF|，则该双曲线的离心率是（）A. 53 B.√173C. √172D.94二、填空题13.已知椭圆x 25+y2m=1的一个焦点为(0,1)，则m=．14.已知在等比数列{a n}中，a1a2a3=8，a4+a5=0，则a6=．15.已知空间直角坐标系中，点A(−1,1,2)，B(−3,0,4)，若|c|=6，c⃗//AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则c⃗=．16.下表数阵的特点是每行每列都成等差数列，记第i行第j列的数为a i j则（1）a n n=（n∈N∗）；（2）表中的数52共出现次.三、解答题17.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，等比数列{b n}的前n项和为T n，a1=−1，b1=1，a2+ b2=3 .（1）若a3+b3=7，求{b n}的通项公式；（2）若T3=13，求S n .18.在ΔABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且b2+c2−a2=4√23bc .（1）求sinA的值；（2）若ΔABC的面积为√2，且√2sinB=3sinC，求ΔABC的周长.19.已知命题p:2−a<t≤3+a，命题q:方程x24t+y2t2+3=1表示焦点在x轴上的椭圆．（1）.当a=1时，判断“命题p”是“命题q”成立的什么条件？（2）.若“命题p”是“命题q”成立的充分不必要条件，求实数a的取值范围．20.如图所示，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，且AA1= AB，D、E、F分别为B1A、C1C、BC的中点．（1）.求证：DE//平面ABC；（2）.求二面角B1−AE−F的余弦值．21.十九大以来，国家深入推进精准脱贫，加大资金投入，强化社会帮扶，为了更好的服务于人民，派调查组到某农村去考察和指导工作.该地区有200户农民，且都从事水果种植，据了解，平均每户的年收入为3万元.为了调整产业结构，调查组和当地政府决定动员部分农民从事水果加工，据估计，若能动员x(x>0)户农民从事水果加工，则剩下的继续从事水果种植的农民平均每户的年收入有望提高4x%，而)(a>0)万元.从事水果加工的农民平均每户收入将为3(a−3x50（1）若动员x户农民从事水果加工后，要使从事水果种植的农民的总年收入不低于动员前从事水果种植的农民的总年收入，求x的取值范围；（2）在（1）的条件下，要使这200户农民中从事水果加工的农民的总收入始终不高于从事水果种植的农民的总收入，求a的最大值.22.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F，点F到直线x−y+1=0的距离为√2 .（1）.求抛物线C的方程；（2）.点O为坐标原点，直线l1、l2经过点M(−1,0)，斜率为k1的直线l1与抛物线C交于A、B两点，斜率为k2的直线l2与抛物线C交于D、E两点，记λ=|MA|⋅|MB|⋅|MD|⋅|ME|，若k1k2=−12，求λ的最小值.答案解析部分一、单选题1.【答案】 D2.【答案】 B3.【答案】 D4.【答案】 A5.【答案】 B6.【答案】 C7.【答案】 A8.【答案】 A9.【答案】 C10.【答案】 C11.【答案】 C12.【答案】 B二、填空题13.【答案】 614.【答案】 215.【答案】 （-4，-2,4）或（-4，-2,4）16.【答案】 n 2+1；4三、解答题17.【答案】 （1）解：设等差数列 {a n } 的公差为d ，等比数列 {b n } 的公比为q ，则 a n =−1+(n −1)d ， b n =q n−1由题意可得： {a 2+b 2=3a 3+b 3=7 ，则 {−1+d +q =3−1+2d +q 2=7即 {d +q =42d +q 2=8，解得 {d =2q =2 或 {d =4q =0 （舍去） 因此 {b n } 的通项公式为 b n =2n−1 .（2）解：由题意可得： T 3=b 1+b 2+b 3 ，则 {T 3=b 1(1+q +q 2)=13−1+d +q =3 ，解得 {q =3d =1 或 {q =−4d =8， ∴ S n =12n 2−32n 或 S n =4n 2−5n .18.【答案】 （1）解：∵ b 2+c 2−a 2=4√23bc ，∴由余弦定理可得2bccosA ＝ 4√23 bc ，∴cosA ＝ 2√23 ， ∴在△ABC 中，sinA ＝ √1−cos 2A ＝ 13 ．（2）解：∵△ABC 的面积为 √2 ，即 12 bcsinA ＝ 16 bc ＝ √2 ，∴bc ＝6 √2 ，又∵ √2 sinB ＝3sinC ，由正弦定理可得 √2 b ＝3c ，∴b ＝3 √2 ，c ＝2，则a 2＝b 2+c 2﹣2bccosA ＝6， ∴a =√6 ，所以周长为 a +b +c =2+√6+3√2 .19.【答案】 （1）解：当 a =1 时，若命题 p 为真，则 1<t ≤4 ，若命题 q 为真，则 4t >t 2+3,∴1<t <3 ，由命题 q 能推出命题 p ，但命题 p 不能推出命题 q ，所以“命题 p ”是“命题 q ”成立的必要不充分条件．（2）解：因为命题 p 是命题 q 成立的充分不必要条件，所以 {2−a <3+a2−a ≥13+a <3，解得 −12<a <0 ． 20.【答案】 （1）证明：设 AB 的中点为 G ，连接 DG,CG ，则 DG//__12BB 1//__EC ， ∴四边形 DGCE 为平行四边形∴ DE//GC又 DE ⊄ 平面ABC ， GC ⊂ 平面ABC ∴ DE // 面 ABC ．（2）解：如图建立空间直角坐标系 O −xyz ，令 AB =AA 1=2 ，则 A(0,0,0) ， E(0,2,1) ， F(1,1,0) ， B(2,0,0) ， B 1(2,0,2) ， D(1,0,1) ，∵B 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1,−2) ， EF ⃗⃗⃗⃗⃗=(1,−1,−1) ， AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,0) ∴ B 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,B 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0∴ B 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ， B 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AF ⃗⃗⃗⃗⃗∵ AF ∩EF =F ∴ B 1F ⊥ 面 AEF∴平面 AEF 的一个法向量为 B1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1,−2) 设平面 B 1AE 的法向量为 n⃗ =(x,y,z) ， 则由 n ⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ⃗ ⋅AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0 ，即 {2y +z =0x +z =0． 令 x =2 ，则 z =−2,y =1 ∴n ⃗ =(2,1,−2) ∴cos <n ⃗ ,B 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=n ⃗⃗ ·B 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |n ⃗⃗ ||B 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√66 n ⃗⃗⃗ ⋅B 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |n ⃗⃗⃗ ||B 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√66 ∴二面角 B 1−AE −F 的余弦值为 √66. 21.【答案】 （1）解：动员 x 户农民从事水果加工后，要使从事水果种植的农民的总年收入不低于动员前从事水果种植的农民的总年收入，则 (200−x)×[3×(1+0.04x)]≥200×3 ，解得 0<x ≤175 . （2）解：由于从事水果加工的农民的总收入始终不高于从事水果种植的农民的总收入，则 3(a −3x 50)⋅x ≤(200−x)×[3×(1+0.04x)] ，（ 0<x ≤175 ），化简得 a ≤0.02x +200x +7 ，（ a >0 ）. 由于 0.02x +200x +7≥2√0.02x ⋅200x +7=11 ，当且仅当 0.02x =200x ⇒x =100 时等号成立，所以 0<a ≤11 ，所以 a 的最大值为 11 .22.【答案】 （1）解：抛物线的焦点 F 的坐标为 (p 2,0) ， 点 F 到直线 x −y +1=0 |p 2+1|√2=√2 ，因为 p >0 ，所以 p =2 . 所以抛物线 C 的方程为 y 2=4x ；（2）解：设点 A(x 1,y 1) 、 B(x 2,y 2) ，联立方程 {y 2=4xy =k 1(x +1) ，消去 y 后整理为 k 12x 2+(2k 12−4)x +k 12=0 ， 由题意得 {k 1≠0Δ=(2k 12−4)2−4k 14>0 ，所以 −1<k 1<0 或 0<k 1<1 ， 所以 {x 1+x 2=4−2k 12k 12x 1x 2=1 ， 又 |MA|=√1+k 12|x 1+1| ， |MB|=√1+k 12|x 2+1| ，所以， |MA|⋅|MB|=(1+k 12)|(x 1+1)(x 2+1)|=(1+k 12)|x 1x 2+(x 1+x 2)+1| =(1+k 12)|4−2k 12k 12+2|=4(1+k 12)k 12 . 同理， |MD|⋅|ME|=4(k 22+1)k 22 . 所以 λ=|MA|⋅|MB|⋅|MC|⋅|MD|=16(k 12+1)(k 22+1)k 12k 22=16(k 12k 22+k 12+k 22+1)k 12k 22 =16(54+k 12+k 22)14≥64(54+2|k 1k 2|)=64×94=144 .（当且仅当 {k 1=−√22k 2=√22 或 {k 1=√22k 2=−√22取等号）. 所以 λ 的最小值为144.。

深圳实验学校高中部2020-2021学年度第二学期第一阶段考试高二数学时间：120分钟 满分：150分 命题人：曾玉泉一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．用数字1,2,3组成允许有重复数字的两位数，其个数为( )A ．9B ．8C ．6D ．5 2．从3名男生与2名女生中选二人去参加同一个会议，要求至少有一名女生，选派的方法数为( )A ．6B ．7C ．8D ．14 3．右图是与杨辉三角有类似性质的三角形数垒，若,a b 是某行的前两个数，当7a =时，b =( )A. 20B. 21C. 22D. 234．有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若X 表示取得次品的个数，则()2P X < 等于( ) A ．115 B ．715 C ．815 D ．14155．如右图所示的几何体由三棱锥P ABC -与三棱柱111ABC A B C -组合而成，现用3种不同颜色对这个几何体的表面涂色(底面111A B C 不涂色)，要求相邻的面均不同色，则不同的涂色方案共有( ) A ．36种 B ．24种 C ．12种 D ．9种6．回文联是我国对联中的一种.用回文形式写成的对联，既可顺读，也可倒读.不仅意思 不变，而且颇具趣味.相传清代北京城里有一家饭馆叫“天然居”，曾有一副有名的回文联： “客上天然居，居然天上客；人过大佛寺，寺佛大过人.”在数学中也有这样一类顺读与倒 读都是同一个数的自然数，称之为“回文数”.如44,585,2662等；那么用数1,2,3,4,5,6可以组成4位“回文数”的个数为( )A ． 30B ．36C ．360D ．1296 7．在561819(1)(1)(1)(1)x x x x -+-++-+-…的展开式中，含3x 的项的系数是( ) A ．3871 B ．3871- C ．4840 D ．4840- 8．224x y +≤表示的平面区域内，以横坐标与纵坐标均为整数的点为顶点，可以构成的三角形个数为( )A ．256B ． 258C ．260D ．264二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

广东省深圳实验学校2020-2021学年高二上学期第二阶段考试化学试题一、单选题(★★★) 1. 下列说法中正确的是A．储热材料是一类重要的能量储存物质，单位质量的储热材料在发生熔融或结晶时会吸收或释放较大的热量B．反应热的单位kJ·mol-1表示1mol物质参加反应时的能量变化C．Mg在CO2中燃烧生成MgO和C，反应中化学能全部转化成热能D．在可逆反应中，正反应焓变与逆反应焓变相等(★★★) 2. 下列关于能源的说法不正确的是A．生物质能、地热能、氢能、风能、潮汐能、天然气等为清洁能源B．化石燃料在燃烧过程中能产生污染环境的一氧化碳、二氧化硫等有害气体C．化石燃料的燃烧一定是放热反应，但并不是所有的化学反应都一定伴随着能量变化D．直接燃烧煤不如将煤进行深加工后燃烧效果好(★★★) 3. 25℃、101 kPa时，强酸与强碱的稀溶液发生中和反应的中和热△ H=-57.3kJ∙mol -1，，石墨的燃烧热△ H=-393.5kJ∙mol -1，乙醇的燃烧热△ H=-1366.6kJ∙mol -1。

下列热化学方程式书写正确的是A．B．C．D．(★★) 4. 下列事实不能用勒夏特列原理解释的是A．黄绿色的氯水光照后颜色变浅B．CaCO 3(s)CaO(s)+CO2(g)，平衡时将容器的体积缩小至一半，新平衡的浓度与原平衡相同C．用浓氨水和氢氧化钠固体可快速制取氨气D．打开汽水瓶时，有大量气泡溢出(★★★★) 5. 对于在一个密闭容器中进行的反应C(s)+H 2O(g) CO(g)+H 2(g) ，下列条件的改变对反应速率几乎没有影响的是①增加C的量；②增加CO的量；③将容器的体积缩小一半；④保持体积不变，充入N 2以增大压强；⑤升高反应体系的温度；⑥保持压强不变，充入N 2以增大体积。

A．②③B．①④C．①⑥D．④⑥(★★★) 6. 在一定温度下，下列叙述不是可逆反应A(g)＋3B(g) 2C(g)达到平衡状态标志的是（）①C生成的速率与C分解的速率相等；②单位时间内生成a mol A，同时生成3a mol B；③A、B、C的浓度不再变化；④A、B、C的压强不再变化；⑤混合气体的总压强不再变化；⑥混合气体的物质的量不再变化；⑦单位时间内消耗a mol A，同时生成3a mol B；⑧A、B、C的分子数之比为1∶3∶2A．②⑧B．①⑥C．②④D．③⑧(★★★) 7. 下列有关平衡常数的说法正确的是A．改变条件，反应物的转化率增大，平衡常数也一定增大B．2NO 2(g)N2O4(g)，开始时充入1molN2O4，平衡常数表达式为C．对于给定的可逆反应，温度一定时，其正、逆反应的平衡常数相等D．，若改变温度使平衡常数增大，则该反应一定是往正反应方向移动(★★) 8. 下列过程一定不能自发进行的是( )A．2N2O5(g)=4NO2(g)＋O2(g) ΔH＞0B．2H2(g)＋O2(g)=2H2O(l) ΔH＜0C．(NH4)2CO3(s)=NH4HCO3(s)＋NH3(g) ΔH＞0D．2CO(g)=2C(s)＋O2(g) ΔH＞0(★★★) 9. 在一定温度下，冰醋酸加水稀释过程中，溶液导电能力如图所示，下列说法不正确的是A．用湿润的pH试纸测量a处溶液的pH，测量结果可能偏小B．a、b、c三点，a点时醋酸溶液中H＋浓度最小C．b点时，醋酸电离程度最大D．可通过微热的方法使c点溶液中c(CH3COO-)增大(★★★) 10. 氢碘酸(HI)可用“四室式电渗析法”制备，其工作原理如图所示(阳膜和阴膜分别只允许阳离子、阴离子通过)。

华南师大附中2022-2023学年第一学期期末考试高二数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分．考试用时120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考号等填写在答题卡上，并用铅笔在答题卡上的相应位置填涂.2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.3．回答第Ⅱ卷时，必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答卷各题目指定区域内，不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.第Ⅰ卷一、 单选题：本大题共8小题，每小题3分，满分24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1．过点()1,2-和点()0,3的直线在x 轴上的截距为（ ）A ．3B ．1C ．3-D ．1-2．设数列{}n a 的前n 项和21n S n =+，则6a 的值为（ ）A ．11B ．10C ．9D ．83．若直线l 的方向向量是()3,2,1a =，平面α的法向量是()1,2,1u =--，则l 与α的位置关系是（ ）A ．l α⊥B ．//l αC ．l 与α相交但不垂直D ．//l α或l α⊂4．若直线220x y +-=为圆22()1x a y -+=的一条对称轴，则=a （ ）A ．12B ．12-C ．1D ．1-5．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若232a a +=-，344a a +=，则8S =（ ）A ．80B ．85C ．90D ．956．已知正项等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若28793a a a --=，则158S a -的值为（ ） A ．3 B ．14 C ．28 D ．427．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点M 在抛物线C 的准线l 上，线段MF 与y 轴交于点A ，与抛物线C 交于点B ，若||1||3AB MA ==，，则p =（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．48．已知O 为坐标原点，P 是椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>上位于x 轴上方的点，F 为右焦点. 延长PO ，PF 交椭圆E 于Q ，R 两点，QF FR ⊥，3QF FR =，则椭圆E 的离心率为（ ）A ．3B ．2C ．3D ．4A 1二、多选题：本大题共4小题，每小题3分，满分12分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对得3分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.9．已知数列{}n a 的前n 项和29n S n n =-+，则下列结论正确的是（ ）A ．{}n a 是等差数列B ．460a a +=C ．910a a <D ．n S 有最大值81410．已知曲线22:1C mx ny +=，则( )A ．若4m n ==，则曲线C 是圆,其半径为2B ．若0m n >>，则曲线C 是椭圆，其焦点在y轴上 C ．若曲线C过点(，(，则C 是双曲线 D ．若0mn =，则曲线C 不表示任何图形11．意大利人斐波那契于1202年从兔子繁殖问题中发现了这样的一列数：1，1，2，3，5，8，13，…．即从第三项开始，每一项都是它前两项的和．后人为了纪念他，就把这列数称为斐波那契数列．下面关于斐波那契数列{}n a 说法正确的是（ ） A ．12144a = B ．2022a 是偶数C ．20221232020a a a a a =++++ D ．2020202420223a a a +=12．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经拋物线反射后，沿平行于拋物线对称轴的方向射出.反之，平行于拋物线对称轴的入射光线经拋物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线2:,C y x O =为坐标原点.一束平行于x 轴的光线1l 从点()(),11P m m >射入，经过C 上的点()11,A x y 反射后，再经C 上另一点()22,B x y 反射后，沿直线2l 射出，经过点Q ，则（ ）A ．121y y =-B ．延长AO 交直线14x =-于点D ，则,,D B Q 三点共线 C ．2516AB =D ．若PB 平分ABQ ∠，则4116m =第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题3分，满分12分．13．若双曲线221y x m-=的一条渐近线方程为3y x =，则实数m =___________．14．如图，直三棱柱111ABC A B C 中，90BCA ∠=︒，M N ，分别是11A B ，11A C 的中点，1BC CA CC ==，则BM 与AN 所成角的余弦值为______.全科试题免费下载公众号高中僧课堂15．已知正项数列{}n a 前n 项和n S 满足()()12n n n a a S m m +=+∈R ，，且3510a a +=，则m =__________. 16．如图，已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的右顶点和上顶点分别为,A B ，左焦点为F ，以原点O 为圆心的圆与直线BF 相切，且该圆与y 轴的正半轴交于点C ，过点C 的直线交椭圆于,M N 两点.若四边形FAMN 是平行四边形，且平行四边形面积为96，则椭圆的长轴长为___________.四、解答题：本大题共6小题，满分52分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算过程. 17．（本题满分8分）在ABC 中，7cos 8A =，3c =，sin 2sinB A =且b c ≠. （1）求b 的值； （2）求ABC 的面积．18．（本题满分8分）已知数列{}n a 满足194a =-且134n n a a +=. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 满足30n n b na +=，求{}n b 的前n 项和为n T .19．（本题满分8分）如图，正三棱柱111ABC A B C 的所有棱长都为2，D 为1CC 中点. （1）求证：1AB ⊥平面1A BD ；（2）求二面角1A A D B --的正弦值.C 1120．（本题满分8分）如图，已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，且经过点(2A p ，)(0)m m >，||5AF =． （1）求p 和m 的值；（2）若点M ，N 在C 上，且AM AN ⊥，证明：直线MN 过定点．21．（本题满分10分）某高科技企业研制出一种型号为A 的精密数控车床，A 型车床为企业创造的价值逐年减少（以投产一年的年初到下一年的年初为A 型车床所创造价值的第一年）.若第1年A 型车床创造的价值是250万元，且第1年至第6年，每年A 型车床创造的价值减少30万元；从第7年开始，每年A 型车床创造的价值是上一年价值的50%.现用n a （*N n ∈）表示A 型车床在第n 年创造的价值.（1）求数列{}(N )n a n *∈的通项公式n a ；（2）记n S 为数列{}n a 的前n 项的和，n T =nS n，企业经过成本核算，若100n T >万元，则继续使用A 型车床，否则更换A 型车床，试问该企业须在第几年年初更换A 型车床？22．（本题满分10分）已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12F F 、，右顶点A 在圆22:3O x y +=上，且121AF AF ⋅=-.（1）求双曲线C 的标准方程；（2）动直线l 与双曲线C 恰有1个公共点，且与双曲线C 的两条渐近线分别交于点M 、N ，设O 为坐标原点. ①求证：点M 与点N 的横坐标之积为定值； ②求MON ∆周长的最小值.，则2021122019a a a a =+++，同理2020122018a a a a =+++，2019122017a a a a =+++，依次类推，可得为原点，1,,CA CB CC 的方向为()1,0,2AN =-，()1,1,2BM =-，因为1430 cos,1056AN BMAN BMAN BM⋅-+<===⨯>，所成角的余弦值为30直线四边形FAMNS=椭圆长轴长故ABC 的面积34n ⎛⎫++⋅ ⎪⎝⎭()41n ⎫++-⎪434n ⎛⎫++- ⎪⎝⎭ABC 为正三角形正三棱柱, 又AO ⊂平面，1BB BC ⊥，1OO ⊂平面1(1,2,3),(2,1,0)AB BD ∴=-=-，1(1,2,3)BA =-. 1110,0AB BD AB BA ⋅=⋅=,1BD BA B ⋂=，且的一个法向量为(,,)n x y z =，(1,1,3)AD =--，1(0,2,0)AA =，则10n AD n AA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即，得(3,0,1)n =-.）得1(1,2,3)AB =-为平面易得2364|c |o ,28s ||n AB n AB n AB ⋅-===-⋅.B 的平面角为θ所以11(4,4)AM x y =--，22(4,4)AN x y =--，又）由题意知126,,,a a a 构成首项故()*280306,N n a n n n =-∈（万元）由题意知()*78,,,7,N n a a a n n ∈构成首顶(7*17,N 2n n n -⎫∈⎪⎭730,1n n n -≤≤⎫所以，当*12,N n n ∈时，恒有则()13,0AF c =--，()23,0AF c =-，因为121AF AF ⋅=-，所以的渐近线方程为33y x , 当直线的斜率不存在时，直线的方程为=3x ，所以3,2OD MN,所以132OM ON .此时OMN 的周长为6OM ON MN，此时3M Nx x . 当直线的斜率存在时，设其方程为(0)y kx m k ，则(,0)mD k，联立2213ykx m x y，得222(13)6330k xkmx m ，由于直线l 与双曲线所以2130k 且0m ，所以22222364(13)(33)130k m k m k，22310k m --=.则22310m k ,得33k或33k . ，由33ykx m yx ，解得3333(,),(,)33333333m mm m M N k k k k ，则222333()()333333m m mOM k k k ，222333()()333333m m m ON kk k ，22222331333()()1333333333m k m m m mMN k k k k k . 又22221331133M Nm k x x k k ，为定值，所以OMN 的周长为2221111333333k OM ON MNm k k k ，当33k时，周长为22222221112212123113333313333k k k kk m mkk k k k .当33k时，周长为 22222221112212123113333313333k k k k k m m kk kk k ,因为222222212122113113121111442kk k k kkkk k k，所以当33k 时，周长大于2336.当33k时，周长大于2336.综上所述，OMN 周长的最小值为。

广东省珠海市2020-2021学年高二上学期期末考试数学试题满分为150分，考试用时120分钟．考试内容：必修3、选修2-1一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上．）1．命题“00x ∃>，200230x x -+<”的否定是（ ） A ．00x ∃≤，200230x x -+< B ．0x ∀≤，2230x x -+< C ．00x ∃>，200230x x -+≥D ．0x ∀>，2230x x -+≥2．某公司将180个产品，按编号为001，002，003，…，180从小到大的顺序均匀的分成若干组，采用系统抽样方法抽取一个样本进行检测，若第一组抽取的编号是003，第二组抽取的编号是018，则样本中最大的编号应该是（ ） A ．168B ．167C ．153D ．1353．在空间直角坐标系中，点(4,1,9)A ---与点(10,1,6)B --的距离是（ ） A ．5B ．6C ．7D ．84．命题“[1,2]x ∀∈，2x a ≤”成立的一个充分不必要条件是（ ） A ．1a >B ．1a ≥C ．4a ≥D ．4a >5．方程1x -= ） A ．一个圆B ．一个椭圆C ．两个圆D ．半圆6．如图所示茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语甲组乙组听力测试中的成绩（单位：分），已知甲组数据的中位数为17，乙组数据的平均数为17.4，则x ，y 的值分别为（ ）90996166629x y甲组乙组A ．7，8B ．7，7C ．8，5D ．5，77．根据表格数据，得到的回归方程为ˆˆ9ybx =+，则ˆb =（ ）A ．2B ．1C ．0D ．1-8．若样本数据1x ，2x ，…，10x 的标准差为4，则数据112x -，212x -，…，1012x -的标准差为（ ） A ．4B ．8C ．16D ．8-9．从区间[0,2]中任取一个实数x ，从区间[0,3]中任取一个实数y ，则使224x y +≤成立的概率为（ ） A ．12B ．9π C ．6π D ．3π 10．过椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点F 的直线经过椭圆的上顶点B ，且与椭圆相交于点A ，若3BF FA =，则椭圆的离心率为（ ）A ．13B ．3C ．2D ．211．已知椭圆22:142x y C +=，过点(1,1)M 的直线与椭圆相交于A ，B 两点，且弦AB 被点M 平分，则直线AB 的方程为（ ） A ．230x y +-= B ．230x y +-=C ．20x y +-=D ．210x y -+=12．给出下列命题：①命题“若220a b +=，则a ，b 全为0”的否命题是“若220a b +≠，则a ，b 全不为0”； ②命题“已知,x y ∈R ，若3x y +≠，则2x ≠或1y ≠”的逆否命题是真命题； ③设,x y ∈R ，则“1x ≠或2y ≠”是“2xy ≠”的充分不必要条件；④已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线经过点(1,2)其中是真命题的有（ ） A ．①②B ．②④C ．①③D ．②③④二、填空题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．）13．某社会爱心组织面向全市征召义务宣传志愿者．现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组[20,25)，第2组[25,30)，第3组[30,35)，第4组[35,40)，第5组[40,45)，得到的频率分布直方图如图所示．若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参与广场的宣传活动，应从第3组抽取 名志愿者．14．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22x y =的焦点到准线的距离为 ．15．某学校羽毛球校队进行扩招，共2个名额，现有2名男生和3名女生报名，从报名学生中任选2名学生，则恰好选中2名女生的概率为 ．16．若双曲线的渐近线方程为3y x =±，它的一个焦点是，则双曲线的标准方程为 ． 17．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点M 和N 分别是11B D 和11B C 的中点，则异面直线AM 和CN 所成角的余弦值为 ．18．与圆221:(3)1C x y ++=外切，且与圆222:(3)81C x y -+=内切的动圆圆心的轨迹方程为 ．19．如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中11AD AA ==，3AB =，点E 是棱AB 的中点，则点E 到平面1ACD 的距离为 ．20．如图，在一个直二面角AB αβ--的棱上有两点A ，B ，AC ，BD 分别是这个二面角的两个面内垂直于AB 的线段，且4AB =，6AC =，8BD =，则CD = ．三、解答题（本大题共5小题，每小题10分，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．21．已知命题p ：“关于x 的方程220x x m -+=有实数根”，命题q ：“23m -<<”，命题r ：“1t m t <<+”． （1）若p q ∧是真命题，求m 的取值范围； （2）若r 是q 的充分不必要条件，求t 的取值范围．22．某校为了解学生对安全知识的重视程度，进行了一次安全知识答题比赛．随机抽取的100名学生的笔试成绩（满分200分），分成[160,165)，[165,170)，……，[180,185)共五组后，得到的频率分布表如下所示：（1）请先求出频率分布表中①、②位置的相应数据，再完成频率分布直方图（用阴影表示）；（2）为能更好了解学生的知识掌握情况，学校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面答，最终从6位学生中随机抽取2位参加市安全知识答题决赛，求抽到的2位学生不同组的概率．23．（1）已知等轴双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>的上顶点到一条渐近线的距离为1，求此双曲线的方程；（2）已知抛物线24y x =的焦点为F ，设过焦点F 且倾斜角为45︒的直线l 交抛物线于A ，B 两点，求线段AB 的长．24．如图①所示，在直角梯形EFCD 中，CF //DE ，EF DE ⊥，BA DE ⊥，224AE AD EF BC ====．现以AB 为折痕将四边形AEFB 折起，使点E 在平面ABCD 的投影恰好为点A ，如图②．图① 图②（1）求证：CD//平面ADE ；（2）求平面CDF 与平面AEFB 所成锐二面角的余弦值．25．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为13，右焦点为F ，右顶点为A ，以椭圆四个顶点为顶点的四边形面积为 （1）求椭圆C 的方程；（2）过点F 的直线l （不与x 轴重合）交椭圆C 于点M 、N ，直线MA 、NA 分别与直线9x =交于点P 、Q ，且P 、Q 中点为G ，求证：1||||2FG PQ =．珠海市2020～2021学年度第一学期期末学生学业质量监测高二数学试题参考答案一、选择题1-5 DACDD 6-10 BDBCD 11-12 AB 二、填空题 13．【答案】3 14．【答案】1 15．【答案】31016．【答案】2219y x -= 【解】因为双曲线的渐近线方程为3y x =±，则设双曲线的方程是229y x λ-=，又它的一个焦点是，故910λλ+=，1λ∴=，2219y x -= 故答案为2219y x -=． 17．【答案】3010【解】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系， 则(2,0,0)A ，(1,1,2)M ，(0,2,0)C ，(1,2,2)N ，(1,1,2)AM =-，(1,0,2)CN =，设异面直线AM 和CN 所成角为θ，则||cos ||||6AM CN AM CN θ⋅===⋅．∴异面直线AM 和CN 所成角的余弦值为10．故答案为：10．18．【答案】2212516x y += 【解】设动圆圆心为3C ，半径为r ，与圆221:(3)1C x y ++=外切，且与圆222:(3)81C x y -+=内切，则131C C r =+，329C C r =-，133212106C C C C C C +=>=， 故动圆圆心3C 的轨迹满足椭圆的定义，长轴长为10，焦距为6，可得动圆圆心的轨迹方程为：2212516x y +=，故答案为：2212516x y +=． 19．【解】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，31,,02E ⎫⎛ ⎪⎝⎭，(1,0,0)A ，(0,3,0)C ，1(0,0,1)D ， (1,3,0)AC =-，1(1,0,1)AD =-，30,,02AE ⎫⎛= ⎪⎝⎭，设平面1ACD 的法向量(,,)n x y z =，则1300n AC x y n AD x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取1y =，得(3,1,3)n =， ∴点E 到面1ACD 的距离：||319||38AE nd n ⋅==20．【答案】【解】由已知，可得AC AB ⊥，BD AB ⊥，AC BD ⊥，CD CA AB BD AB AC BD =++=-+，22()CD AB AC BD ∴=-+22222AB AC BD AB AC AB BD =++-⋅+⋅2163664116AC BD -⋅=++=，||229CD ∴=故答案为解法二：因为二面角为直二面角，且AC AB ⊥，BD AB ⊥，AC β∴⊥，BD α⊥，2226452BC ∴=+=，2225264116CD BC BD =+=+=，CD ∴==三、解答题21．【解】（1）若p 为真：440m ∆=-≥，解得1m ≤ 若“p q ∧”是真命题，则p ，q 均为真命题 即123m m ≤⎧⎨-<<⎩，解得21m -<≤．m ∴的取值范围21m -<≤（2）由r 是q 的充分不必要条件，可得(,1)(2,3)t t +-即213t t ≥-⎧⎨+≤⎩（等号不同时成立），解得22t -≤≤．t ∴的取值范围22t -≤≤22．【解】（1）第2组的频数为1000.30030⨯=人，所以①处应填的数为10人，②处应填的数为0.300， 频率分布直方图如图所示，（2）因为第3、4、5组共有60名选手，所以利用分层抽样在60名选手中抽取6名选手进入第二轮面试，每组抽取的人数分别为： 第3组：306360⨯=人，第4组：206260⨯=人，第5组：106160⨯=人，所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人进入第二轮面答．设第3组的3位学生为1A ，2A ，3A ，第4组的2位学生为1B ，2B ，第5组的1位学生为1C ，则从这6位学生中抽取2位学生有：()12,A A ，()13,A A ，()11,A B ，()12,A B ，()11,A C ，()23,A A ，()21,A B ，()22,A B ，()21,A C ，()31,A B ，()32,A B ，()31,A C ，()12,B B ，()11,B C ，()21,B C ，共15种情况．抽到的2位学生不同组的有：()11,A B ，()12,A B ，()11,A C ，()21,A B ，()22,A B ，()21,A C ，()31,A B ，()32,A B ，()31,A C ，()11,B C ，()21,B C ，共11种情况．所以抽到的2位学生不同组的概率为1115． 23．【解】（1）由等轴双曲线的一条渐近线方程为0y x +=，且顶点(0,)a 到渐近线的距离为1，可得1a b=⎧⎪=，解得a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩22122y x -= （2）抛物线24y x =的焦点为(1,0)F直线l 的方程为0tan45(1)y x -=︒⋅-，即1y x =-．与抛物线方程联立，得214y x y x=-⎧⎨=⎩， 消y ，整理得2610x x -+=，设其两根为1x ，2x ，且126x x +=． 由抛物线的定义可知，12||628AB x x p =++=+=． 所以，线段AB 的长是8．24．【解】（1）（解法一）取线段AD 的中点M ，连结CM ，EM 则//AM BC =∴四边形ABCM 为平行四边形，//AB MC ∴=四边形ABEF 为矩形//AB EF ∴=，//MC EF ∴=∴四边形CMEF 为平行四边形，//CF EM ∴=又CF ⊂/平面ADE ，ME ⊂平面ADECF //∴平面ADE（解法二）四边形ABEF 为矩形BF //AE ∴又BF ⊂/平面ADE ，AE ⊂平面ADEBF //∴平面ADE又BC//AD ，同理可得：BC//平面ADE又BF BC B ⋂=，,BF BC ⊂平面BCF∴平面BCF //平面ADE又CF ⊂平面BCFCF //∴平面ADE（2）点E 在平面ABCD 的投影恰好为点A ．EA ∴⊥平面ABCD如图，以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系A xyz -，则(2,2,0)C ，(0,4,0)D ，(2,0,4)F(0,4,0)AD ∴=，(2,2,0)CD =-，(0,2,4)CF =- 设(,,)n x y z =是平面CDF 的一个法向量，则 00n CD n CF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即020x y y z -=⎧⎨-=⎩，令2y =，解得21x z =⎧⎨=⎩(2,2,1)n ∴=又AD 是平面AEFB 的一个法向量， 2cos ,3||||n ADn AD n AD ⋅∴〈〉==⋅∴平面CDF 与平面AEFB 所成锐二面角的余弦值为23．25．【解】（1）由题意得132ca ab ⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得3a =，1c =，b = 所以椭圆C 的方程为22198x y +=；（2）设直线l 的方程为1x ty =+，设点()11,M x y 、()22,N x y ，联立221198x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 得()228916640t y ty ++-=，则0∆>恒成立， 由韦达定理得1221689ty y t +=-+，1226489y y t =-+，设点(9,)P m ，(3,0)A ，则()()11113,2,AM x y ty y =-=-，(6,)AP m =，由AM //AP ∣得()1162y m ty =-，可得1162y m ty =-，即点1169,2y P ty ⎫⎛⎪ -⎝⎭， 同理可得点2269,2y Q ty ⎫⎛⎪ -⎝⎭，1168,2y FP ty ⎫⎛∴=⎪ -⎝⎭，2268,2y FQ ty ⎫⎛=⎪ -⎝⎭，()()1212366422y y FP FQ ty ty ∴⋅=+--()1221212366424y yt y y t y y =+-++2222236648964643248989t t t t t ⨯+=+-++++()222366464646406432489t t t -⨯=+=-=-+++()1221212366424y y t y y t y y =+-++因此，FP FQ ⊥．又因为P 、Q 中点为G ，所以1||||2FG PQ =．。

2020-2021学年广东省珠海市高二上学期期末数学试题一、单选题1．命题“00x ∃>，200230x x -+<”的否定是（ ） A ．00x ∃≤，200230x x -+<B ．0x ∀≤，2230x x -+<C ．00x ∃>，200230-+≥x xD ．0x ∀>，2230x x -+≥【答案】D【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题求解即可.【详解】因为特称命题的否定是全称命题，否定特称命题时既要改变量词又要否定结论，所以命题“00x ∃>，200230x x -+<”的否定是0x ∀>，2230x x -+≥，故选：D.2．某公司将180个产品，按编号为001，002，003，…，180从小到大的顺序均匀的分成若干组，采用系统抽样方法抽取一个样本进行检测，若第一组抽取的编号是003，第二组抽取的编号是018，则样本中最大的编号应该是（ ） A ．168 B ．167C ．153D ．135【答案】A【分析】先求样本间隔，然后根据抽查样本容量，结合系统抽样的定义进行求解即可． 【详解】样本间隔为18﹣3＝15， 即抽取样本数为180÷15＝12， 则最大的样本编号为3+15×11＝168， 故选：A ．3．在空间直角坐标系中，点(4,1,9)A ---与点(10,1,6)B --的距离是（ ） A ．5 B ．6C ．7D ．8【答案】C【分析】由A ，B 的坐标求出AB 的坐标，求其模可得A 与B 的距离． 【详解】点(4,1,9)A ---，点(10,1,6)B --，∴(6,2,3)AB =-，则||||(7AB AB ==-=． 故选：C ．4．命题“[1,2]x ∀∈，2x a ≤”成立的一个充分不必要条件是（ ） A ．1a > B ．1a ≥C ．4a ≥D ．4a >【答案】D【分析】先找出命题为真命题的充要条件{}4a a ≥，从集合的角度充分不必要条件应为{}4a a ≥的真子集，由选项得出答案.【详解】[]1,2x ∀∈，214x ≤≤，∴要使2x a ≤恒成立，即4a ≥， 本题求的是充分不必要条件，结合选项，只有D 符合. 故选：D.【点睛】结论点睛：充分不必要条件一般可根据如下规则判断：（1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集； （2）p 是q 的充分不必要条件， 则p 对应集合是q 对应集合的真子集； （3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等； （4）p 是q 的既不充分又不必要条件，q 对的集合与p 对应集合互不包含．5．方程211(1)x y -=--表示的曲线是（ ） A ．一个圆 B ．一个椭圆C ．两个圆D ．半圆【答案】D【分析】原方程两边平方，等价于22(1)(1)1(1)x y x -+-=，从而可得出结论． 【详解】方程211(1)x y -=--等价于22(1)(1)1(1)x y x -+-=，∴表示的曲线是半个圆．故选：D ．6．如图所示茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分)，已知甲组数据的中位数为17，乙组数据的平均数为17.4，则x 、y 的值分别为A ．7、8B ．5、7C ．8、5D ．7、7【答案】D【分析】根据中位数和平均数的公式分别进行计算即可．【详解】组数据的中位数为17，x 7∴=，乙组数据的平均数为17.4，()19161610y 2917.45∴+++++=， 得80y 87+=， 则y 7=， 故选D ．【点睛】本题主要考查茎叶图的应用，根据中位数和平均数的公式是解决本题的关键．中位数即最中间的数据，平均数即将所有数据加到一起，除以数据个数. 7．根据如表数据，得到的回归方程为y b x 9=+，则b (= )A ．2B ．1C ．0D ．1-【答案】D【分析】由题意可得样本中心点，代入回归直线可得b 值，即可得答案． 【详解】由题意可得()14567865x =++++=，()15432135y =++++=， 回归方程为9y b x =+且回归直线过点()6,3，369b ∴=+，解得1b =-，故选D ．【点睛】本题考查线性回归方程，涉及平均值的计算和回归方程的性质，属基础题．在一组具有相关关系的变量的数据间，这样的直线可以画出许多条，而其中的一条能最好地反映x 与Y 之间的关系，这条直线过样本中心点．线性回归方程适用于具有相关关系的两个变量，对于具有确定关系的两个变量是不适用的, 线性回归方程得到的预测值是预测变量的估计值，不是准确值.8．若样本数据1x ，2x ，…，10x 的标准差为4，则数据112x -，212x -，…，1012x -的标准差为（ ） A ．4 B ．8C ．16D ．8-【答案】B【分析】首先设原数据的平均数为x ，则新数据的平均数为12x -，然后结合原数据的方差，利用方差的公式计算得出新数据的方差，再求出标准差即可． 【详解】设原数据的平均数为x ，则新数据的平均数为12x -， 则原数据的方差为22211021[()()()]1610x x x x x x -+-+⋯+-=， 则新数据的方差为：11[(121210x --+22)(1212x x +--+102)(1212x x +⋯+--+2)]x 222121014[()()()10]x x x x x x =⨯-+-+⋯+- 41664=⨯=．故数据112x -，212x -，…，1012x -的标准差为：8． 故选：B ．9．从[0]2，中任取一个数x ，从[0]3，中任取一个数y ，则使224x y ≤＋的概率为（ ）A ．12B ．π9C ．π3D ．π6【答案】D【分析】在平面直角坐标系中作出图形，则x ∈[0，2]，y ∈[0，3]的平面区域为矩形，符合条件x 2+y 2≤4的区域为以原点为圆心，2为半径的扇形内部，则扇形面积与矩形面积的比为概率【详解】在平面直角坐标系中作出图形，如图所示， 则x ∈[0，2]，y ∈[0，3]的平面区域为矩形OABC ， 符合条件x 2+y 2≤4的区域为以原点为圆心， 2为半径的扇形OAD 内部， ∴P （x 2+y 2≤4）2124236S S ππ⨯===⨯扇形矩形；故选D ．【点睛】本题考查了几何概型的概率计算，正确作出几何图形是解题的关键．10．过椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点F 的直线过C 的上端点B ，且与椭圆相交于点A ，若3BF FA =，则C 的离心率为（ ） A ．13B ．33C 3D ．22【答案】D【分析】首先设出点的坐标，然后利用点在椭圆上即可求得椭圆的离心率. 【详解】由题意可得()()0,,,0B b F c -，由3BF FA =， 得4,33b A c ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，点A 在椭圆上，则：22224331b c a b ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=，整理可得：2222216812,,9922c c e e a a ⋅=∴===. 故选D.【点睛】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a ，c ，代入公式ce a=； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝a 2－c 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．11．已知椭圆：22142x y +=，过点()1,1M 的直线与椭圆相交于,A B 两点，且弦AB 被点M 平分，则直线AB 的方程为（ ） A ．230x y +-= B ．230x y +-=C ．20x y +-=D ．210x y -+=【答案】B【详解】设()11A x y ，，()22B x y ，则22112222142142x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ ()()()()12121212042x x x x y y y y +-+-∴+=则()()121212122142x x y y x x y y -+-==--+ 即直线AB 的斜率为12-则直线AB 的方程为()1112y x -=-- 即230x y +-= 故选B12．给出下列命题：①命题“若220a b +=，则a ，b 全为0”的否命题是“若220a b +≠，则a ，b 全不为0”； ②命题“已知,x y ∈R ，若3x y +≠，则2x ≠或1y ≠”的逆否命题是真命题； ③设,x y ∈R ，则“1x ≠或2y ≠”是“2xy ≠”的充分不必要条件；④已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线经过点(1,2)，则该双曲线的离心率其中是真命题的有（ ） A ．①② B ．②④C ．①③D ．②③④【答案】B【分析】根据否命题的定义判断①；求出逆否命题判断②命；根据充分条件与必要条件的定义判断③；求出双曲线的离心率判断④.【详解】①命题“若220a b +=，则a ，b 全为0”的否命题应该是“若220a b +≠，则a ，b 不全为0”，故①错误；②命题“已知,x y ∈R ，若3x y +≠，则2x ≠或1y ≠”的逆否命题是“已知,x y ∈R ，若2x =且1y =，则3x y +=”，故②正确； ③取112x =≠，42y =≠，但是2xy =，即“1x ≠或2y ≠”不能推出“2xy ≠”，所以“1x ≠或2y ≠”不是“2xy ≠”的充分不必要条件，故③错误；④双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线经过点(1,2)，则有2b a=，则离心率2215c b e a a==+=，故④正确故选：B ．二、填空题13．某社会爱心组织面向全市征召义务宣传志愿者．现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组[20,25)，第2组[25,30)，第3组[30,35)，第4组[35,40)，第5组[40,45)，得到的频率分布直方图如图所示．若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参与广场的宣传活动，应从第3组抽取__________名志愿者．【答案】3【分析】先分别求出这3组的人数，再利用分层抽样的方法即可得出答案. 【详解】第3组的人数为10050.0630⨯⨯=， 第4组的人数为10050.0420⨯⨯=， 第5组的人数为1000.02510⨯⨯=， 所以这三组共有60名志愿者，所以利用分层抽样的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者，第三组应抽取306360⨯=名， 故答案为：3.【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关频率分布直方图的识别以及分层抽样某层抽取个数的问题，正确解题的关键是掌握在抽取过程中每个个题被抽到的机会均等. 14．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22x y =的焦点到准线的距离为__________． 【答案】1【分析】求出抛物线22x y =的焦点坐标与准线方程，从而可得答案. 【详解】由22x y =可得1p =，抛物线22x y =的焦点坐标为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，准线方程为12y， 所以抛物线22x y =的焦点到准线的距离为11122⎛⎫--= ⎪⎝⎭， 故答案为：1.15．某学校羽毛球校队进行扩招，共2个名额，现有2名男生和3名女生报名，从报名学生中任选2名学生，则恰好选中2名女生的概率为__________． 【答案】310【分析】从2名男同学和3名女同学中任选2人，共有2510C =种，其中全是女生的有233C =种，根据概率公式计算即可【详解】从2名男同学和3名女同学中任选2人，共有2510C =种，其中全是女生的有233C =种，故选中的2人都是女同学的概率310P =， 故答案为：310.16．若双曲线的渐近线方程为3y x =±，它的一个焦点的坐标为，则该双曲线的标准方程为____________________.【答案】2219y x -=.【解析】解：由双曲线渐近线方程可知b /a =3 ①因为它的一个的焦点为（10，0），所以c=10 ② 又c2=a 2+b 2③联立①②③，解得a 2=1，b 2=9， 所以双曲线的方程为x 2- y 2/9 =1． 故答案为为x 2- y 2/9 =1．17．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点M 和N 分别是11B D 和11B C 的中点，则异面直线AM 和CN 所成角的余弦值为__________．【答案】3010【分析】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，求出(1,1,2)AM =-，(1,0,2)CN =，利用空间向量夹角余弦公式可得答案.【详解】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系， 则(2,0,0)A ，(1,1,2)M ，(0,2,0)C ，(1,2,2)N ，(1,1,2)AM =-，(1,0,2)CN =，设异面直线AM 和CN 所成角为θ， 则||30cos ||||65AM CN AM CN θ⋅===⋅⨯．∴异面直线AM 和CN 30．30．18．一个动圆与圆221():31Q x y ++=外切，与圆222:()381Q x y +=-内切，则这个动圆圆心的轨迹方程为：______.【答案】2212516x y += 【分析】设动圆的圆心为(),Q x y ，半径为R ，根据动圆与圆221():31Q x y ++=外切，与圆222:()381Q x y +=-内切，得到121,9QQ R QQ R =+=-，两式相加得到1212106QQ QQ QQ +=>=，再根据椭圆的定义求解.【详解】设动圆的圆心为(),Q x y ，半径为R ，因为动圆与圆221():31Q x y ++=外切，与圆222:()381Q x y +=-内切，所以121,9QQ R QQ R =+=-， 所以1212106QQ QQ QQ +=>=，所以动圆圆心的轨迹为以12,Q Q 为焦点的椭圆， 所以2210,5,3,16a a c b ====，所以动圆圆心的轨迹方程为2212516x y +=， 故答案为：2212516x y += 【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系以及椭圆的定义，还考查了运算求解的能力，属于中档题.19．如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中11AD AA ==，3AB =，点E 是棱AB 的中点，则点E 到平面1ACD 的距离为__________．【答案】319【分析】以D为坐标原点，直线DA ，DC ，1DD 分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，求出平面1ACD 的法向量，利用向量法能求出点E 到平面1ACD 的距离． 【详解】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，31,,02E ⎛⎫⎪⎝⎭，(1,0,0)A ，(0,3,0)C ，1(0,0,1)D ， (1,3,0)AC =-，1(1,0,1)AD =-，30,,02AE ⎫⎛= ⎪⎝⎭，设平面1ACD 的法向量(,,)n x y z =，则1300n AC x y n AD x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取1y =，得(3,1,3)n =， ∴点E 到面1ACD 的距离：||319||38AE n d n ⋅==， 故答案为:31938．【点睛】方法点睛：利用法向量求解空间角与距离的关键在于“四破”： 第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系； 第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标； 第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量； 第四，破“应用公式关”.20．如图，在一个直二面角AB αβ--的棱上有两点A ，B ，AC ，BD 分别是这个二面角的两个面内垂直于AB 的线段，且4AB =，6AC =，8BD =，则CD =__________．【答案】229【分析】求CD 的长转为求||CD ，而CD CA AB BD =++，按照向量的模长求法，即可求解.【详解】由已知，可得AC AB ⊥，BD AB ⊥，AC BD ⊥，CD CA AB BD AB AC BD =++=-+，22()CD AB AC BD ∴=-+22222AB AC BD AB AC AB BD =++-⋅+⋅2163664116AC BD -⋅=++=， ||229CD ∴=．故答案为229．三、解答题21．已知命题p ：“关于x 的方程2x 2x m 0-+=有实数根”，命题q ：“23m -<<”，命题r ：“1t m t <<+”．（1）若p q ∧是真命题，求m 的取值范围； （2）若r 是q 的充分不必要条件，求t 的取值范围． 【答案】（1）21m -<≤；（2）22t -≤≤. 【分析】（1）由p 为真可得1m ，从而123m m ≤⎧⎨-<<⎩，进而可得答案；（2）由r 是q 的充分不必要条件，可得213t t ≥-⎧⎨+≤⎩（等号不同时成立），进而可得答案.【详解】（1）若p 为真：440m ∆=-≥，解得1m 若“p q ∧”是真命题，则p ，q 均为真命题即123m m ≤⎧⎨-<<⎩，解得21m -<≤．m ∴的取值范围21m -<≤（2）由r 是q 的充分不必要条件， 可得(,1)t t +是(2,3)-的真子集，即213t t ≥-⎧⎨+≤⎩（等号不同时成立），解得22t -≤≤． t ∴的取值范围22t -≤≤22．某校为了解学生对安全知识的重视程度，进行了一次安全知识答题比赛．随机抽取的100名学生的笔试成绩（满分200分），分成[160,165)，[165,170)，……，[180,185)共五组后，得到的频率分布表如下所示：（1）请先求出频率分布表中①、②位置的相应数据，再完成频率分布直方图（用阴影表示）；（2）为能更好了解学生的知识掌握情况，学校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面答，最终从6位学生中随机抽取2位参加市安全知识答题决赛，求抽到的2位学生不同组的概率．【答案】（1）答案见解析；（2）11 15.【分析】（1）依据频数与频率公式求得相应数据，再根据数据完成频率分布直方图；（2）利用分层抽样求得第3、4、5组中的人数，再用列举法求得相应概率.【详解】（1）第2组的频数为1000.30030⨯=人，所以①处应填的数为10人，②处应填的数为0.300，频率分布直方图如图所示，（2）因为第3、4、5组共有60名选手，所以利用分层抽样在60名选手中抽取6名选手进入第二轮面试，每组抽取的人数分别为：第3组：306360⨯=人，第4组：206260⨯=人，第5组：106160⨯=人，所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人进入第二轮面答．设第3组的3位学生为1A，2A，3A，第4组的2位学生为1B，2B，第5组的1位学生为1C，则从这6位学生中抽取2位学生有：()12,A A ，()13,A A ，()11,A B ，()12,AB ，()11,AC ，()23,A A ，()21,A B ，()22,A B ，()21,A C ，()31,A B ，()32,A B ，()31,A C ，()12,B B ，()11,B C ，()21,B C ，共15种情况．抽到的2位学生不同组的有：()11,A B ，()12,A B ，()11,A C ，()21,A B ，()22,A B ，()21,A C ，()31,A B ，()32,A B ，()31,A C ，()11,B C ，()21,B C ，共11种情况．所以抽到的2位学生不同组的概率为1115． 【点睛】有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数，基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏.23．（1）已知等轴双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>的上顶点到一条渐近线的距离为1，求此双曲线的方程；（2）已知抛物线24y x =的焦点为F ，设过焦点F 且倾斜角为45︒的直线l 交抛物线于A ，B 两点，求线段AB 的长．【答案】（1）22122y x -=；（2）8. 【分析】（1）由等轴双曲线的一条渐近线方程为0y x +=，再由点到直线距离公式求解即可；（2）求得直线方程代入抛物线，结合焦点弦长求解即可.【详解】（1）由等轴双曲线的一条渐近线方程为0y x +=，且顶点(0,)a 到渐近线的距离为1，可得1a b=⎧=，解得a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩22122y x -=（2）抛物线24y x =的焦点为(1,0)F直线l 的方程为0tan 45(1)y x -=︒⋅-，即1y x =-．与抛物线方程联立，得214y x y x=-⎧⎨=⎩，消y ，整理得2610x x -+=，设其两根为1x ，2x ，且126x x +=． 由抛物线的定义可知，12||628AB x x p =++=+=． 所以，线段AB 的长是8．【点睛】(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式． 24．如图①所示，在直角梯形EFCD 中，//CF DE ，EF DE ⊥，BA DE ⊥，224AE AD EF BC ====．现以AB 为折痕将四边形AEFB 折起，使点E 在平面ABCD 的投影恰好为点A ，如图②．（1）求证：//CF 平面ADE ；（2）求平面CDF 与平面AEFB 所成锐二面角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2）23. 【分析】（1）取线段AD 的中点M ，连结CM ，EM ，由平面几何证得四边形CMEF 为平行四边形，再由线面平行的判定可得证；（2）由已知以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系A xyz -，运用二面角的向量求解方法可求得平面CDF 与平面AEFB 所成锐二面角的余弦值． 【详解】（1）取线段AD 的中点M ，连结CM ，EM ，则//AM BC=，∴四边形ABCM 为平行四边形，//AB MC∴=，四边形ABEF 为矩形//AB EF ∴=，//MC EF∴=， ∴四边形CMEF 为平行四边形，//CF EM∴=， 又CF ⊂/平面ADE ，ME ⊂平面ADE ，//CF ∴平面ADE ；（2）点E 在平面ABCD 的投影恰好为点A ．EA ∴⊥平面ABCD ，如图，以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系A xyz -，则(2,2,0)C ，(0,4,0)D ，(2,0,4)F ，(0,4,0)AD ∴=，(2,2,0)CD =-，(0,2,4)CF =-设(,,)n x y z =是平面CDF 的一个法向量，则00n CD n CF ⎧⋅=⎨⋅=⎩即020x y y z -=⎧⎨-=⎩，令2y =，解得21x z =⎧⎨=⎩，(2,2,1)n ∴=， 又AD 是平面AEFB 的一个法向量，2cos ,3||||n AD n AD n AD ⋅∴〈〉==⋅，∴平面CDF 与平面AEFB 所成锐二面角的余弦值为23．【点睛】方法点睛：向量法求二面角的步骤：建、设、求、算、取.1、建：建立空间直角坐标系.以三条互相垂直的垂线的交点为原点，没有三垂线时需做辅助线；建立右手直角坐标系，让尽量多的点落在坐标轴上.2、设：设所需点的坐标，并得出所需向量的坐标.3、求：求出两个面的法向量.4、算：运用向量的数量积运算，求两个法向量的夹角的余弦值；5、取：根据二面角的范围()0π，和图示得出的二面角是锐角还是钝角，再取值.25．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为13，右焦点为F ，右顶点为A ，以椭圆四个顶点为顶点的四边形面积为122．（1）求椭圆C的方程；（2）过点F的直线l（不与x轴重合）交椭圆C于点M、N，直线MA、NA分别与直线9x=交于点P、Q，且P、Q中点为G，求证：1||||2FG PQ=．【答案】（1）22198x y；（2）证明见解析.【分析】（1）根据离心率及菱形的面积联立方程求出,a b，即可求解；（2）设直线方程为1x ty=+，表示出,P Q点的坐标，利用向量可证明FP FQ⊥，根据直角三角形斜边中线的性质得证.【详解】（1）由题意得132122caab⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得3a=，1c=，22b =，所以椭圆C 的方程为22198x y；（2）如图，设直线l的方程为1x ty=+，设点()11,M x y、()22,N x y，联立221198x tyx y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x得()228916640t y ty++-=，则0∆>恒成立，由韦达定理得1221689ty yt+=-+，1226489y yt=-+，设点(9,)P m，(3,0)A，则()()11113,2,AM x y ty y=-=-，(6,)AP m=，由AM//AP→得()1162y m ty=-，可得1162y m ty =-，即点1169,2y P ty ⎫⎛⎪ -⎝⎭，同理可得点2269,2y Q ty ⎫⎛⎪ -⎝⎭，1168,2y FP ty ⎫⎛∴=⎪ -⎝⎭，2268,2y FQ ty ⎫⎛=⎪ -⎝⎭， ()()1212366422y y FP FQ ty ty ∴⋅=+--()1221212366424y y t y y t y y =+-++2222236648964643248989t t t t t ⨯+=+-++++()222366464646406432489t t t -⨯=+=-=-+++ 因此，FP FQ ⊥．又因为P 、Q 中点为G ，所以1||||2FG PQ =． 【点睛】关键点点睛：设点()11,M x y 、()22,N x y ，点(9,)P m ，根据向量AM //AP →，转化出点1169,2y P ty ⎫⎛⎪ -⎝⎭，2269,2y Q ty ⎫⎛⎪-⎝⎭，利用向量0FP FQ ⋅=，证明FP FQ ⊥是证明结论的关键所在，属于中档题.。

（第3题图）珠海市2013-2014学年度第二学期期末学生学业质量监测高二理科数学试题（B 卷）参考答案与评分标准考试用时：120分钟 总分：150分参考公式：如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率()(1)(01,2)k k n kn nP k C p p k n -=-=，，， 临界值表:线性回归直线方程：x b y aˆˆ-=，∑∑==---=ni ini iix x y yx x b121)())((ˆ))()()(()(22d b d c c a b a bc ad n K ++++-=一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

答案： CBCDA BDCBA BC1.在复数范围内，方程12-=x 的解是A.1±B.-1C.i± D.i2. 人都会犯错，老王是人，所以老王也会犯错．这个推理属于 A ．合情推理 B ．演绎推理 C ．类比推理 D ．归纳推理3．如右图所示，图中有5组数据（用字母代表），现准备去掉其中一组，使剩下的组数据的线性相关性最高，那么应该去掉的一组是 A ．E B ．F C ．G D ．H4．等于则)(,ln )(2x f x x x f '+= A.1+x B.12+x C.x x 1+5. 函数()f x 的导函数()f x '的图像如图所示，则试卷类型：B（第5题图）B ．2x =-为()f x 的极大值点C ．2x =为()f x 的极大值点D ．0x =为()f x 的极小值点6. 从5名同学中选3人参加某项会议，则选法种数为 A ．15B ．10C ．20D ．607．若5名学生排成一列，则其中学生甲站在最左边的排法种数为 A ．10B ．48C ．120D ．248.从1,2，3，...，9这9个数中，取出2个数，其和为奇数的取法有 A ．10种B ．18种C ．20种D ．36种9.离散型随机变量的分布列为：则x 的值为A ．61 C ．21 D ．41 10. 若随机变量X 服从正态分布2~(1,)X N σ，且4.0)3(=<X P ,则)11(<<-X P = A ．0.1B ．0.2C ．0.3D ． 0.411．用数学归纳法证明)12(5312)()3)(2)(1(-⋅⋅⋅=++++n n n n n n n (n ∈N *)，当1+=k n 时，在假设k n =时成立的等式左端需要增加的代数式为A ．2k ＋1B ．2(2k ＋1)C ．211k k ++D ．231k k ++12．已知11=a ，1211a a +-=，2311a a +-=，…，nn a a +-=+111，…．那么=2014a A ．-2 B ．21-C ．1D ． 2 二、填空题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，请将正确答案填在答题卡上． 13．)2)(1(i i -+＝__________．i +3 14．=⎰2123dx x（用数字作答）．715．在5)1(xx +展开式中，含x 项的系数为 ．10 16．函数xe xf =)(在0=x 处的切线方程为 ．01=+-y x （或1+=x y ）17．设随机变量ξ的概率分布为ka k P 2)(==ξ，a 为常数，4,3,2,1=k ，则=a ．18．为了考察某种药物预防疾病的效果，进行动物实验，得到如下列联表：经计算得1.6≈χ，则在犯错概率不超过________的前提下认为药物有效．2.5_％ 19． 从1，2，3，4，5，6，7中选出三个互不相邻的数，选法有_______种．（填数字）10 20．等差数列{}n a 中，有11221)12(+++=+++n n a n a a a ，类比以上性质，在等比数列{}n b 中，有等式____________________________________________________成立．1211221+++=n n n b b b b三、解答题：本大题共5小题，每小题10分，共50分.请将详细解答过程写在答题卡上. 21．某研究性学习小组有6名同学． （1）这6名同学排成一排，有多少种排法？（2）若6名同学站成一排，其中甲乙两人站在最中间，有多少种排法？解：（1）六个元素的全排列=P 66A ＝720…5分（2）第一步：先确定中间甲乙两人的顺序，有22A 种排法；第二步：剩下的4名同学进行全排列，有44A 种排法，根据分步计数原理：.=P 4422A A ⋅＝242⨯＝48（种）……10分22．已知x x x x f ++=232)(，R x ∈．（1）求函数)(x f 的单调减区间；（2）当]1,1[-∈x 时，求)(x f 的值域． 解：（1）143)(2++='x x x f ……1分 令得0)(='x f 31,121-=-=x x ……2分 当)31,1(--∈x 时,0)(<'x f ……4分 所以函数f(x)的单调减区间是)31,1(--……5分（2）由（1）易得, f(x)在(-1,-31)单调递减,在(-31,1)单调递增, ……6分 4)1(,274)31(,0)1(=-=-=-f f f …8分 所以f(x)的值域为[4,274-]……10分23．某人身高176 cm ，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173 cm 、170 cm 和182 cm.根据统计学的有关研究，儿子的身高与父亲的身高有关。

2020-2021学年高二上学期期末考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若3324A 10A n n =，则n =（ ）A ．1B ．8C ．9D ．102．期末考试结束后，某班要安排6节课进行试卷讲评，要求课程表中要排入语文、数学、英语、物理、化学、生物共六节课，如果第一节课只能排语文或数学，最后一节不能排语文，则不同的排法共有（ ） A ．192种B ．216种C ．240种D ．288种3．一台X 型号自动机床在一小时内不需要工人照看的概率为0.8，有4台这种型号的自动机床各自独立工作，则在一小时内至多2台机床需要工人照看的概率是（ ） A ．0.1536B ．0.1808C ．0.5632D ．0.97284．某市气象部门根据2021年各月的每天最高气温平均值与最低气温平均值（单位：℃）数据，绘制如下折线图：那么，下列叙述错误的是（ ）A ．各月最高气温平均值与最低气温平均值总体呈正相关B ．全年中，2月份的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大C ．全年中各月最低气温平均值不高于10℃的月份有5个D ．从2021年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值都呈下降趋势5．若()2N 1,X σ~，则()0.6827P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9545P X μσμσ-<≤+=，已知()21,3X N ~，则(47)P X <≤=（ ）A ．0.4077B ．0.2718C ．0.1359D ．0.04536．为了评价某个电视栏目的改革效果，在改革前后分别从居民点抽取了100位居民进行调查，经过计算()200.01P K k ≥=，根据这一数据分析，下列说法正确的是（ ）A ．有1%的人认为该栏目优秀；B ．有1%的把握认为该栏目是否优秀与改革有关系；C ．有99%的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系；D ．没有理由认为电视栏目是否优秀与改革有关系.7．若1021001210)x a a x a x a x =++++，则012310a a a a a -+-++的值为．A 1B 1C ．101)D ．101)8．关于()72x +的二项展开式，下列说法正确的是（ ） A ．()72x +的二项展开式的各项系数和为73B ．()72x +的二项展开式的第五项与()72x +的二项展开式的第五项相同C ．()72x +的二项展开式的第三项系数为4372CD ．()72x +的二项展开式第二项的二项式系数为712C9．如图，某建筑工地搭建的脚手架局部类似于一个3×2×3的长方体框架，一个建筑工人欲从A 处沿脚手架攀登至B 处，则其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为（ ）A ．528B ．514C ．29D ．1210．三棱锥P ABC -中P A ､PB ､PC 两两互相垂直，4PA PB +=，3PC =，则其体积（ ） A ．有最大值4B ．有最大值2C ．有最小值2D ．有最小值4二、填空题11．最小二乘法得到一组数据(),(1,2,3,4,5)i i x y i =的线性回归方程为ˆ23yx =+，若5125ii x==∑，则51i i y ==∑___________.12．某班举行的联欢会由5个节目组成,节目演出顺序要求如下: 节目甲不能排在第一个,并且节目甲必须和节目乙相邻.则该班联欢会节目演出顺序的编排方案共有____种. 13．若随机变量X 的概率分布如表，则表中a 的值为______.14．设随机变量ξ~B (2，p )，若P (ξ≥1)=59，则D (ξ)的值为_________.15．已知等差数列{}n a 中，33a =，则1a 和5a 乘积的最大值是______.16．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮的概率为___________.17．经统计，在银行一个营业窗口每天上午9点钟排队等候的人数及相应概率如下：则该营业窗口上午9点钟时，至少有2人排队的概率是_____．18．点A ，B ，C 在球O 表面上，2AB =，BC =90ABC ∠=︒，若球心O 到截面ABC的距离为___________.19．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11AAC C 是边长为4的正方形，平面ABC ⊥平面11AAC C ，3AB =，5BC =.（℃）求证：1AA ⊥平面；（℃）若点E 是线段的中点，请问在线段是否存在点E ，使得面11AAC C ？若存在，请说明点E 的位置，若不存在，请说明理由； （℃）求二面角的大小.20．四根绳子上共挂有10只气球,绳子上的球数依次为1,2,3,4，每枪只能打破一只球,而且规定只有打破下面的球才能打上面的球,则将这些气球都打破的不同打法数是________.三、解答题21．已知集合(){}()12,,,|,1,2,,1nn i R x x x x R i n n =∈=≥，定义n R 上两点()12,,,n A a a a ，()12,,,n B b b b 的距离()1,ni i i d A B a b ==-∑.（1）当2n =时，以下命题正确的有__________（不需证明）： ℃若()1,2A ，()4,6B ，则(),7d A B =；℃在ABC 中，若90C =∠，则()()()222,,,d A C d C B d A B ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=⎣⎦⎣⎦⎣⎦； ℃在ABC 中，若()(),,d A B d A C =，则B C ∠=∠;（2）当2n =时，证明2R 中任意三点A B C ，，满足关系()()(),,,d A B d A C d C B ≤+；（3）当3n =时，设()0,0,0A ，()4,4,4B ，(),,P x y z ，其中x y z Z ∈，，，()()(),,,d A P d P B d A B +=.求满足P 点的个数n ，并证明从这n 个点中任取11个点，其中必存在4个点，它们共面或者以它们为顶点的三棱锥体积不大于83.22．今年4月，教育部办公厅印发了《关于加强义务教育学校作业管理的通知》，规定初中学生书面作业平均完成时长不超过90分钟．某市为了更好地贯彻落实“双减”工作要求，作教育决策，该市教育科学研究院就当前全市初三学生每天完成书面作业时长抽样调查，结果是学生书面作业时长（单位：分钟）都在区间[]50,100内，书面作业时长的频率分布直方图如下：(1)若决策要求：在国家政策范围内，若当前初三学生书面作业时长的中位数估计值大于或等于平均数（计算平均数时，同一组中的数据用该区间的中点值代表）估计值，则减少作业时长；若中位数估计值小于平均数，则维持现状．请问：根据这次调查，该市应该如何决策？(2)调查统计时约定：书面作业时长在区间[]90,100内的为A 层次学生，在区间[)80,90内的为B 层次学生，在区间[70,80)内的为C 层次学生，在其它区间内的为D 层次学生．现对书面作业时长在70分钟以上（含70分钟）的初三学生，按作业时长出现的频率用分层抽样的方法随机抽取8人，再从这8人中随机抽取3人作进一步调查，设这3人来自X 个不同层次，求随机变量X 的分布列及数学期望．23．国家文明城市评审委员会对甲､乙两个城市是否能入围“国家文明城市”进行走访调查.派出10人的调查组.先后到甲､乙两个城市的街道､社区进行问卷调查，然后打分（满分100分）.他们给出甲､乙两个城市分数的茎叶图如图所示：(1)请你用统计学的知识分析哪个城市更应该入围“国家文明城市”，请说明理由；(2)从甲､乙两个城市的打分中各抽取2个，在已知有大于80分的条件下，求抽到乙城市的分数都小于80分的概率；(3)从对乙城市的打分中任取2个，设这2个分数中不小于80分的个数为X，求X的分布列和期望.参考答案：1．B【分析】根据排列数的运算求解即可.【详解】由332A 10A n n =得，2(21)(22)10(1)(2)n n n n n n --=--，又3,n n *≥∈N ，所以2(21)5(2)n n -=-，解得8n =， 所以正整数n 为8． 故选：B. 2．B【分析】对第一节课的安排进行分类讨论，结合分步乘法计数原理和分类加法计数原理可得结果.【详解】分以下两种情况讨论：℃若第一节课安排语文，则后面五节课的安排无限制，此时共有55A 种；℃若第一节课安排数学，则语文可安排在中间四节课中的任何一节，此时共有444A 种.综上所述，不同的排法共有54544216A A +=种.故选：B. 3．D【详解】设在一个小时内有ξ台机床需要工人照看，则ξ～B (4,0.2)，所以P (ξ≤2)＝04C (0.8)4＋14C (0.8)3×0.2＋24C (0.8)2×(0.2)2＝0.972 8. 故选D 4．D【分析】利用折线图可以判断选项ABC 正确，从2021年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值，先上升后下降，所以选项D 错误.【详解】解：由2021年各月的每天最高气温平均值和最低气温平均值（单位：C)︒数据，绘制出的折线图，知：在A 中，各月最高气温平均值与最低气温平均值为正相关，故A 正确；在B 中，全年中，2月的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大，故B 正确； 在C 中，全年中各月最低气温平均值不高于10C ︒的月份有1月，2月，3月，11月，12月，共5个，故C 正确；在D 中，从2021年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值，先上升后下降，故D 错误. 故选：D ． 5．C【分析】由题意，得(47)(2)P X P X μσμσ<≤=+<≤+，再利用3σ原则代入计算即可.【详解】℃()21,3X N ~，由()0.6827P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9545P X μσμσ-<≤+=，℃1(47)(2)(0.95450.6827)0.13592P X P X μσμσ<≤=+<≤+=-=.故选：C 6．C【分析】利用独立性检验的基本原理即可求出答案．【详解】解：℃()200.01P K k ≥=表示“电视栏目是否优秀与改革没有关系”的概率，℃有99%的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系， 故选：C ．【点睛】本题主要考查独立性检验的基本应用，准确的理解判断方法是解决本题的关键，属于基础题． 7．D【详解】分析：令1021001210())f x x a a x a x a x ==++++，再求f(-1)的值得解.详解：令1021001210())f x x a a x a x a x ==++++，1001210(1)1)f a a a a -==-+++．故答案为D ．点睛：（1）本题主要考查二项式定理中的系数求法问题，意在考查学生对这些基础知识 的掌握水平.(2) 二项展开式的系数0123,,,,n a a a a a ⋅⋅⋅的性质：对于2012()?··n n f x a a x a x a x =++++，0123(1)n a a a a a f ++++⋅⋅⋅+=， 0123(1)(1)n n a a a a a f -+-+⋅⋅⋅+-=-.8．A【分析】利用赋值法求出展开式各项系数和，即可判断A ，根据二项式展开式的通项，即可判断B 、C 、D ；【详解】解：()72x +展开式的通项为7172rrr r T C x -+=⋅⋅，故第二项的二项式系数为177C =，故D 错误； 第三项的系数为2572C ⋅，故C 错误；()72x +的展开式的第五项为43472C x ⋅⋅，()72x +的展开式的第五项为44372C x ⋅⋅，故B 错误； 令1x =则()7723x +=，即()72x +的二项展开式的各项系数和为73，故A 正确； 故选：A 9．B【解析】将问题抽象成“向左三次，向前两次，向上三次”，计算出总的方法数，然后利用插空法计算出最近的行走路线中不连续向上攀登的事件数，最后根据古典概型概率计算公式，计算出所求概率.【详解】从A 的方向看，行走方向有三个：左、前、上. 从A 到B 的最近的行走线路，需要向左三次，向前两次，向上三次，共8次.所以从A 到B 的最近的行走线路，总的方法数有88332332560A A A A =⋅⋅种. 不连续向上攀登的安排方法是：先将向左、向前的安排好，再对向上的方法进行插空.故方法数有：53563232200A C A A ⨯=⋅.所以最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为200556014=. 故选：B【点睛】本小题主要考查古典概型的计算，考查有重复的排列组合问题，考查插空法，属于中档题. 10．B【分析】依题意可得1113332P ABC PABV PC SPA PB -=⋅=⨯⨯⋅再利用基本不等式计算可得； 【详解】解：依题意21111132332222P ABCPABPA PB V PC S PA PB PA PB -+⎛⎫=⋅=⨯⨯⋅=⋅≤= ⎪⎝⎭，当且仅当2PA PB ==时取等号，所以()max 2P ABC V -=， 故选：B11．65【分析】由最小二乘法得到的线性回归方程过点(),x y ，代入即可解决 【详解】由5125i i x ==∑可知，数据的平均数2555x ==， 又线性回归方程ˆ23yx =+过点(),x y ， 所以25313y =⨯+=，故51551365i i y y ===⨯=∑故答案为：65 12．42【分析】由题意可知，甲可排在第二、三、四、五个，再根据甲、乙相邻，分别计算. 【详解】由题意可知，甲可排在第二、三、四、五个，当甲排在第二、三、四个时，甲乙相邻，有22A 种排法，将甲乙当做一个整体，剩下三个节目全排列，共3×22A ×33A =36种当甲排在第五个时，甲乙相邻，只有一种排法，剩下三个节目全排列，共33A =6种 综上，编排方案共36+6=42种【点睛】本题考查了分类计数原理，分类时要注意不重不漏；解决排列问题时，相邻问题常用捆绑法，特殊位置要优先考虑. 13．0.2【解析】利用概率和为1可求出答案. 【详解】由随机变量X 的概率分布表得： 0.20.30.31a +++=，解得0.2a =. 故答案为：0.2【点睛】本题考查的是分布列的性质，较简单. 14．49【分析】由二项分布的特征，先求出13p =，套公式即可求出D (ξ). 【详解】因为随机变量ξ~B (2，p )，且P (ξ≥1)=59，所以P (ξ≥1)=()11P ξ-<= ()10P ξ-==()25119p --=. 解得：13p =. 所以D (ξ)()12412339np p =-=⨯⨯=.故答案为：4915．9【分析】设出公差，根据等差数列的性质，表示出15,a a ，再列式即可求得结果. 【详解】因为{}n a 是等差数列，设公差为d ，可得13532,2a a d a a d =-=+，于是得()()2153322949a a a d a d d =-+=-≤，当且仅当d =0，即153a a ==时，取得最大值. 故答案为：9.【点睛】本题考查等差数列的下标和性质，属基础题. 16．1443125##0.04608 【分析】认真分析该选手所有可能的答题情况，是本题的关键【详解】由该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮，说明他第4、第5两个问题是连续答对的，第3个问题没有答对，第1和第2两个问题也没有全部答对，即他答题结果可能有三种情况：⨯⨯⨯√√或⨯√⨯√√或√⨯⨯√√，根据独立事件同时发生的概率公式，可得该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮的概率为0.20.20.20.80.8+0.20.80.20.80.8+0.80.20.20.80.8=0.04608⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯故答案为：0.04608 17．0.74【详解】试题分析：x 表示人数，(2)(2)(3)(4)(5)P x P x P x P x P x ≥==+=+=+≥0.30.30.10.040.74=+++=.考点：互斥事件的概率.18．【分析】根据截面圆性质，先求出截面圆半径，然后由求得球半径，从而求得体积．【详解】因为2AB =，BC =90ABC ∠=︒，所以4AC ==，所以三角形外接圆半径22ACr ==，又球心O 到截面ABC 的距离为R =球体积为(334433V R ππ==⨯=．故答案为：．19．（℃）（℃）（℃）见解析【详解】试题分析：（℃）由正方形的性质得1AC AA ⊥，然后由面面垂直的性质定理可证得结果；（℃）当点E 是线段1AB 的中点时，利用中位线定理可得1DE AC ，进而得出DE 面11AAC C ；（℃）利用二面角的定义先确定11C AC ∠是二面角111C A B C --的平面角，易求得11tan C A C ∠，从而求得二面角的平面角为的度数．试题解析：（℃）因为四边形11AAC C 为正方形，所以1AC AA ⊥． 因为平面ABC ⊥平面11AAC C ，且平面ABC ⋂平面11AAC C AC =， 所以1AA ⊥平面ABC ．（℃）当点E 是线段1AB 的中点时，有DE 面11AAC C ， 连结1AB 交1AB 于点E ，连结BC ，因为点E 是1AB 中点，点⊄是线段DE 的中点，所以1DE AC ． 又因为BC ⊂面11AAC C ，11A C 面11AAC C ，所以DE 面11AAC C .（℃）因为1AA ⊥平面ABC ，所以.又因为，所以面11AAC C ，所以11A B ⊥面11AAC C ，所以11A B ⊥1A C ，11A B ⊥11A C ，所以11C AC ∠是二面角111C A B C --的平面角， 易得，所以二面角111C A B C --的平面角为45°.考点：1、线面垂直的判定；2、线面平行的判定；2、二面角．【方法点睛】立体几何中的探索性问题主要是对平行、垂直关系的探究，对条件和结论不完备的开放性问题的探究．解决这类问题时一般根据探索性问题的设问，假设其存在并探索出结论，然后在假设下进行推理，若得到合乎情理的结论就肯定假设，若得到矛盾就否定假设． 20．12600【详解】问题等价于编号为1,2,3,10的10个小球排列，其中2,3号，4,5,6号，7,8,9,10号的排列顺序是固定的，据此可得：将这些气球都打破的不同打法数是101023423412600A A A A =⨯⨯. 21．（1）℃；（2）证明见解析；（3）125n =，证明见解析．【解析】（1）℃根据新定义直接计算．℃根据新定义，写出等式两边的表达式，观察它们是否相同，即可判断；℃由新定义写出等式()(),,d A B d A C =的表达式，观察有无AB AC =； （2）由新定义，写出不等式两边的表达式，根据绝对值的性质证明；（3）根据新定义，及绝对值的性质得P 点是以AB 为对角线的正方体的表面和内部的整数点，共125个，把它们分布在五个平面(0,1,2,3,4)z =上，这五个面一个面取3个点，相邻面上取一个点，以它们为顶点构成三棱锥（能构成时），棱锥的体积不超过83，然后任取11点中如果没有4点共面，但至少有一个平面内有3个点．根据这3点所在平面分类讨论可得． 【详解】（1）当2n =时，℃若()1,2A ，()4,6B ，则(),41627d A B =-+-=，℃正确；℃在ABC 中，若90C =∠，则222AC BC AB +=，设112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，所以222222131323231212()()()()()()x x y y x x y y x x y y -+-+-+-=-+-而()2221212121221212()()()2)),((x x y y x x y y d A x B x y y =⎡⎤⎣-+-+⎦=--+--， ()()22,,d A C d C B ⎡⎤⎡⎤+=⎣⎦⎣⎦22221313232313132323()()()()2()()2()()x x y y x x y y x x y y x x y y -+-+-+-+--+--，但1313232312122()()2()()2()()x x y y x x y y x x y y --+--=--不一定成立，℃错误； ℃在ABC 中，若()(),,d A B d A C =，在℃中的点坐标，有12121313x x y y x x y y -+-=-+-，但1212131322x x y y x x y y -⋅-=-⋅-不一定成立，因此AB AC =不一定成立，从而B C ∠=∠不一定成立，℃错误．空格处填℃（2）证明：设112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，根据绝对值的性质有132312x x x x x x -+-≥-，132312y y y y y y -+-≥-，所以(,)(,)(,)d A C d B C d A B +≥．,（3）(,)12d A B =，44,44,44x x y y z z +-≥+-≥+-≥，所以(,)(,)12d A P d B P +≥，当且仅当以上三个等号同时成立，(,)(,)12d A P d B P +=又由已知()()(),,,d A P d P B d A B +=，℃04,04,04x y z ≤≤≤≤≤≤， 又,,x y z Z ∈，℃,,0,1,2,3,4x y z =，555125⨯⨯=，点P 是以AB 为对角线的正方体内部（含面上）的整数点，共125个，125n =． 这125个点在0,1,2,3,4z z z z z =====这五面内．这三个平面内，一个面上取不共线的3点，相邻面上再取一点构成一个三棱锥．则这个三棱锥的体积最大为118441323V =⨯⨯⨯⨯=，现在任取11个点，若有四点共面，则命题已成立，若其中无4点共面，但11个点分在5个平面上至少有一个平面内有3个点（显然不共线），若这三点在1,2,3z z z ===这三个平面中的一个上，与这个面相邻的两个面上如果有一点，那么这一点与平面上的三点这四点可构成三棱锥的四个顶点，其体积不超过83，否则还有8个点在平面0z =和4z =上，不合题意，若这三个点在平面0z =或5z =上，不妨设在平面0z =，若在平面1z =在一个点，则同样四点构成的三棱锥体积不超过83，否则剩下的8个点在2,3,4z z z ===三个平面上，只能是3，3，2分布，不管哪一种分布都有四点构成的三棱锥体积不超过83，综上，任取11个点，其中必存在4个点，它们共面或者以它们为顶点的三棱锥体积不大于83.【点睛】关键点点睛：本题新定义距离(,)d A B ，解题关键是利用新定义转化为绝对值，利用绝对值的性质解决一些问题．本题还考查了抽屉原理，11个放在5个平面上，至少有一个平面内至少有3点，由此分类讨论可证明结论成立． 22．(1)该市应该作出减少作业时长的决策； (2)分布列见解析；期望为167.【分析】（1）根据题意，结合频率分布直方图，分别求出中位数和平均数，即可求解； （2）根据题意，结合分层抽样以及离散型随机变量的分布列与期望求法，即可求解. (1)作业时长中位数的估计值为直方图中等分面积的线对立的值，设为x ．0.01100.01100.02100.5⨯+⨯+⨯<． 0.01100.01100.02100.03100.5⨯+⨯+⨯+⨯>，()0.01100.01100.02100.03800.5x ∴⨯+⨯+⨯+⨯-=．解得2503x =，即中位数的故计值2503分钟．又作业时长平均数估计值为0.0110550.0110650.021075⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ 2500.0310850.031095813+⨯⨯+⨯⨯=<． 因为中位数的估计值2503分钟大于平均数估计值81分钟， 所以，根据这次调查，该市应该作出减少作业时长的决策. (2)由题，作业时长在70分钟以上（含70分钟）为[90.100]，[80,90)，[70,80)三个区间，其频率比为3：3：2，分别对应A ，B ，C 三个层次．根据分层抽样的方法，易知各层次抽取的人数分别为3，3，2， 因此X 的所有可能值为1，2，3．因为333821(1)28C P X C ⨯===，111233389(3)28C C C P X C ⋅⋅===， 121221333232382229(2)14C C C C C C P X C ⨯⋅+⨯⋅+⨯⋅===， 所以X 的分在列为：故数学期望19916()1232814287E X =⨯+⨯+⨯=. 23．(1)乙城市更应该入围“国家文明城市”．理由见解析． (2)425； (3)分布列见解析，期望为1．【分析】（1）根据得分的平均值与方差说明，极差最值也可用来说明；（2）记抽到的数据中有大于80分为事件A ，甲城市抽到的分数有大于80分为事件B ，乙城市抽到的分数有大于80分为事件C ，由()()(|)()()P AC P C P C A P A P A ==计算； （2）X 的可能值是0,1,2，分别求得概率得概率分布列，由期望公式计算出期望． (1)乙城市更应该入围“国家文明城市”． 理由如下：由茎叶图，计算两个城市的得分的均值为 甲：6365987910x +++==，乙：6568927910y +++==，均值相等，方差为甲：222211[(16)(14)19]13610s =-+-++=， 乙：222221[(14)(11)13]59.810s =-+-++=，甲的方差远大于乙的方差，说明乙的得分较稳定，甲极其不稳定，因此乙城市更应该入围“国家文明城市”． (2)记抽到的数据中有大于80分为事件A ，甲城市抽到的分数有大于80分为事件B ，乙城市抽到的分数有大于80分为事件C ，262102()13C P B C =-=，252107()19C P C C =-=，2725()1(1)(1)3927P A =--⨯-=，7()()9P AC P C ==， 所以()()()()749(|)1(|)111252527P AC P C P C A P C A P A P A =-=-=-=-=；(3)乙城市10个人中5个大于80分，5个小于80，X 的可能是0,1,2，252102(0)9C P X C ===，11552105(1)9C C P X C ===，252102(2)9C P X C ===，所以X 的分布列为：52()12199E X =⨯+⨯=．。