19-20学年广东省珠海市高二上学期期末数学试卷 (含答案解析)

2022-2023学年广东省珠海市高二上册期末数学质量检测试题一、单选题1．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23a =，525S =，则7a =（）A ．16B ．15C ．14D ．13【正确答案】D【分析】先求得等差数列{}n a 的公差，从而求得7a .【详解】15353325552225,5a S a aa a +=⨯=⨯===，设等差数列{}n a 的公差为d ，则322d a a =-=，所以72535213a a d =+=+⨯=.故选：D2．已知空间向量()()1,2,,,2,3n a m a == ，且n m ⊥，则n m -= （）A ．B C ．20D ．【正确答案】D【分析】根据向量垂直列方程，求得a ，进而求得n m -.【详解】由于n m ⊥，所以43440,1n m a a a a ⋅=++=+==- ，所以()()()1,2,11,2,32,0,4n m -=---=-== 故选：D3．古代《九章算术》记载：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何”其意思为：“今有5人分5钱，各人所得钱数依次成等差数列，其中前2人所得之和与后3人所得之和相等，问各得多少钱”.由此可知第一人分得的钱数是（）A ．43B ．1C ．23D ．13【正确答案】A【分析】设第()15,N n n n *≤≤∈分到n a 钱，由题意可得出关于1a 、d 的方程组，解出1a 的值即可.【详解】设第()15,N n n n *≤≤∈分到n a 钱，设数列{}()15,N n a n n *≤≤∈的公差为d ，由题意可得1234512345++++=5+=++a a a a a a a a a a ⎧⎨⎩，所以，121315+=2+=2=+2=1a a a d a a d ⎧⎪⎨⎪⎩，解得143a =.故选：A.4．已知圆1C ：22(5)(3)9x y -+-=，圆2C ：224290x y x y +-+-=，则两圆的位置关系为（）A ．外离B ．外切C ．相交D ．内切【正确答案】C【分析】求出两圆的圆心和半径，根据圆心距与半径和与差的关系，判断圆与圆的位置关系．【详解】圆1C ：22(5)(3)9x y -+-=的圆心为1(5,3)C ，半径13r =，圆2C ：224290x y x y +-+-=，即22(2)(1)14x y -++=，圆心1(2,1)C -，半径2r =，两圆的圆心距125C C =，353-<<+，即211221r r C C r r -<<+，所以圆1C 与圆2C 相交.故选：C5．设{}n a 是等比数列，且1231a a a ++=，234+2a a a +=，则678a a a ++=（）A ．12B ．24C ．30D ．32【正确答案】D【分析】根据已知条件求得q 的值，再由()5678123a a a q a a a ++=++可求得结果.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则()2123111a a a a q q ++=++=，()232234111112a a a a q a q a q a q q q q ++=++=++==，因此，()5675256781111132a a a a q a q a q a q q q q ++=++=++==.故选：D.本题主要考查等比数列基本量的计算，属于基础题．6．过点()21P ，作圆221：+=O x y 的切线l ，则切线l 的方程为（）A ．3450x y --=B ．4350x y --=C ．1y =或4350x y --=D ．1y =或3450x y --=【正确答案】C【分析】设切线l 为1(2)y k x -=-，即120kx y k -+-=，由l 与圆221：+=O x y 相切，得1d =，即可解决.【详解】由题知，圆221：+=O x y ，圆心为(0,0)，半径为1，因为()21P ，在圆外，所以设切线l 为1(2)y k x -=-，即120kx y k -+-=，因为l 与圆221：+=O x y 相切，所以1d ==，解得0k =或43k =，所以切线l 的方程为1y =，或4350x y --=，故选：C7．已知直线1l ：20x ay -+=与直线2l ：()()240a x a y a ++-+=平行，则a 的值是（）A ．4-B ．1C ．4-或1D ．4或1-【正确答案】B【分析】根据给定条件列出关于a 的等式，求解并验证即可作答.【详解】因直线1l ：20x ay -+=与直线2l ：()()240a x a y a ++-+=平行，则有(2)40a a a ++-=，解得1a =或4a =-，当1a =时，直线1l ：20x y -+=与直线2l ：3310x y -+=平行，当4a =-时，直线1l ：420x y ++=与直线2l ：2840x y ---=，即420x y ++=重合，所以a 的值是1.故选：B8．已知2F 是椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点，点P 在椭圆上，()220OP OF PF +⋅= ，且22OP OF b +=，则椭圆的离心率为（）A B C D ．5【正确答案】A【分析】设2PF 的中点为Q ，根据向量的线性运算法则及数量积的定义可得2OQ PF ⊥，从而得到12PF PF ⊥，根据22OP OF b +=得到1||2PF b =，再根据椭圆的定义得到2||PF ，在直角三角形中利用勾股定理得到23b a =，最后根据离心率公式计算可得；【详解】解：设2PF 的中点为Q ，则22OP OF OQ +=由22()0OP OF PF +⋅= ，即220OQ PF ⋅= 所以2OQ PF ⊥，连接1PF 可得1//OQ PF ，所以12PF PF ⊥，因为22OP OF b += ，即22OQ b = ，即1||2PF b =所以21||2||22PF a PF a b =-=-，在12R t PF F 中，2221212||||||PF PF F F +=，即()()2222224c b a b -+=，又222c a b =-，所以222222b a b ab a b +=+--，所以232b ab =，即23b a =解得c e a =故选：A 二、多选题9．下列说法正确的是（）A ．过点()1,2P 且在x ､y 轴截距相等的直线方程为30x y +-=B ．直线32y x =-在y 轴上的截距为2-C 10y ++=的倾斜角为60︒D ．过点()1,2-且垂直于直线230x y -+=的直线方程为20x y +=【正确答案】BD【分析】A 选项忽略了过原点的情况，错误，B 选项计算截距得到正确，直线斜率为k =倾斜角为120︒，C 错误，根据垂直关系计算直线方程得到D 正确，得到答案.【详解】过点()1,2P 且在x ､y 轴截距相等的直线方程为30x y +-=和2y x =，A 错误；取0x =，=2y -，则直线32y x =-在y 轴上的截距为2-，B 正确；10y ++=的斜率为k =120︒，C 错误；垂直于直线230x y -+=的直线方程斜率为2k =-，过点()1,2-的直线方程为()2122y x x =-++=-，即20x y +=，D 正确.故选：BD.10．已知无穷等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，20182019S S <且20192020S S >，则（）A ．在数列{}n a 中，1a 最大；B ．在数列{}n a 中，2019a 最大C ．20200a >D ．当2020n ≥时，0n a <【正确答案】AD【分析】由题得201920200,0a a ><，即可解决.【详解】由题知，无穷等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，20182019S S <且20192020S S >，所以201920200,0a a ><，所以等差数列{}n a 为递减数列，所以在数列{}n a 中，1a 最大；当2020n ≥时，0n a <；故选：AD11．已知空间中三点()0,1,0A ，()2,2,0B ，()1,3,1C -，则下列命题正确的是（）A ．AB方向的单位向量是55⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭B ．AB 与BC 夹角的余弦值是C ．ABC的面积为2D ．若3AP AB AC =+ ，则点P 到直线AC【正确答案】BCD【分析】根据单位向量、向量夹角、三角形面积、点线距等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A 选项，()2,1,0AB = ，所以AB方向的单位向量是2,1,0,055AB AB ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭，A 选项错误.B 选项，()3,1,1BC =- ，设AB与BC 夹角为θ，则cos AB BC AB BCθ⋅==-⋅，B选项正确.C 选项，由于cos 11θ=-，所以cos 11B =，则B 是锐角，所以sin B =所以12ABC S =C 选项正确.D 选项，()1,2,1AC =-，()111,3,1,,31,33AP AB AC AP ⎛⎫===+ ⎪⎝⎭，所以点P 到直线ACD 选项正确.故选：BCD12．如图，P 是椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>与双曲线22222:1(0,0)x y C m n m n -=>>在第一象限的交点，且12,C C 共焦点121212,,,,F F F PF C C ∠θ=的离心率分别为12,e e ，则下列结论正确的是（）A ．12,PF a m PF a m=+=-B ．若60θ=︒，则2221314e e +=C ．若90θ=︒，则2212e e +的最小值为2D ．tan2n bθ=【正确答案】ABD【分析】根据给定条件结合椭圆、双曲线定义计算判断A ；借助余弦定理、离心率公式、均值不等式计算判断B ，C ，D 作答.【详解】由椭圆和双曲线的定义得：121222PF PF aPF PF m ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，解得1PF a m =+，2PF a m =-，A 正确；在12F PF △中，由余弦定理得：()()()()()2222cos 2a m a m a m a m c θ-++--+=，整理得()()2221cos 1cos 2a m c θθ-++=，()()22221cos 1cos 2a m c c θθ-++=，即22121cos 1cos 2e e θθ-++=，当60θ=︒时，222132122e e +=，即2221314e e +=，B 正确；当90θ=︒时，2212112e e +=，2222222112122222121211)11()()1(22e e e e e e e e e e ++++==+2221221212e e e e ≥+⋅，当且仅当121e e ==时取“=”，而1201,1e e <<>，C 不正确；在椭圆中，22222121212122||||cos ||||||442||||PF PF PF PF F F a c PF PF θ=+-=--，即2122||||1cos b PF PF θ=+，在双曲线中，22222121212122||||cos ||||||442||||PF PF PF PF F F m c PF PF θ=+-=-+，即2122||||1cos n PF PF θ=-，于是得22222222sin 221cos 2tan 1cos 1cos 1cos 22cos 2n b n b θθθθθθθ-=⇔===-++，而022θπ<<，则tan 2n b θ=，D 正确.故选：ABD方法点睛：双曲线上一点与两焦点构成的三角形，称为双曲线的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、双曲线定义，得到a ，c 的关系.三、填空题13．双曲线221916x y -=的渐近线方程是___________.【正确答案】43y x=±【分析】直接由双曲线的方程求解即可【详解】因为双曲线方程为221916x y -=，所以双曲线的渐近线方程为220916x y -=，即43y x =±，故43y x=±14．以点(1,1),(3,3)A B -为直径的圆的一般式方程为______________．【正确答案】22240x y x y +--=【分析】根据AB 为直径，得到直径和圆心坐标，然后写方程即可.【详解】因为()1,1A -，()3,3，所以AB =AB 中点坐标为()1,2，所以以AB 为直径的圆的标准方程为()()22125x y -+-=，展开得一般式方程为22240x y x y +--=.故答案为.22240x y x y +--=15C ：y 2=4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则AB =________．【正确答案】163【分析】先根据抛物线的方程求得抛物线焦点坐标，利用点斜式得直线方程，与抛物线方程联立消去y 并整理得到关于x 的二次方程，接下来可以利用弦长公式或者利用抛物线定义将焦点弦长转化求得结果.【详解】∵抛物线的方程为24y x =，∴抛物线的焦点F 坐标为(1,0)F ，又∵直线AB 过焦点F AB 的方程为：1)y x -代入抛物线方程消去y 并化简得231030x x -+=，解法一：解得121,33x x ==所以212116||1||13|3|33AB k x x =+-=+⋅-=解法二：10036640∆=-=>设1122(,),(,)A x y B x y ，则12103x x +=,过,A B 分别作准线=1x -的垂线，设垂足分别为,C D 如图所示.12||||||||||11AB AF BF AC BD x x =+=+=+++1216+2=3x x =+故163本题考查抛物线焦点弦长，涉及利用抛物线的定义进行转化，弦长公式，属基础题.16．如图，二面角AB αβ--的大小为60 ，线段PM 与NQ 分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB .若2,3,4PM MN NQ ===，则PQ =__________.21【分析】利用空间向量的线性运算可得PQ PM MN NQ =++，再根据向量所成角，结合数量积公式平方即可得解.【详解】根据题意，PQ PM MN NQ =++，由二面角l αβ--大小为120︒，可得,120PM NQ =，22()PQ PM MN NQ =++ 222222PM MN NQ PM MN NQ MN PM NQ=+++⋅+⋅+⋅ 14916224212⎛⎫=+++⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，所以PQ =四、解答题17．已知公差不为0的等差数列{an }满足a 3＝9，a 2是a 1，a 7的等比中项．（1）求{an }的通项公式；（2）设数列{bn }满足()17n n b n a =+，求{bn }的前n 项和Sn ．【正确答案】（1）an ＝4n ﹣3．（2）Sn 44nn =+．（1）设等差数列{an }的公差为d （d ≠0），根据a 3＝9，a 2是a 1，a 7的等比中项．利用“1,a q ”法求解.（2）由（1）知()1111741n n b n a n n ⎛⎫==⎪++⎝⎭，再用裂项相消法求解.【详解】（1）设等差数列{an }的公差为d （d ≠0），则()()12111296a d a d a a d +=⎧⎪⎨+=⋅+⎪⎩解得d ＝4或d ＝0（舍去），a 1＝1，∴an ＝1+4（n ﹣1）＝4n ﹣3．（2）∵()1111741n n b n a n n ⎛⎫==⎪++⎝⎭，∴1231111111412231n n S b b b b n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++=-+-++- ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 1114144nn n ⎛⎫=-=⎪++⎝⎭．本题主要考查等差数列的基本运算和裂项相消法求和，还考查了运算求解的能力，属于中档题.18．已知圆22:240C x y y +--=，直线:10l mx y m -+-=.(1)判断直线l 与圆C 的位置关系；(2)若直线l 与圆C 交于不同的两点,A B，且AB =.【正确答案】(1)直线l 与圆C 相交；(2)直线的方程为0x y -=或20x y +-=【分析】（1）先求出直线l 过的定点坐标，判断定点在圆内，则直线l 必与圆相交；（2）由圆的半径和弦长求得圆心到直线l 的距离，以此列方程求解m 的值，即可求出直线l 的方程.【详解】（1）直线:10l mx y m -+-=，整理得(1)1m x y -=-，令1010x y -=⎧⎨-=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩即直线l 过定点(1,1)P .将P 点坐标代入圆C 方程得112440+--=-<，故P 点在圆C 内，直线l 与圆C 相交.（2）圆22:240C x y y +--=，整理得22(1)5x y +-=即(0,1)C ，r =.因为AB =，所以圆心C 到直线l 的距离为2d ==.又2d =，所以1m =±故直线的方程为0x y -=或20x y +-=.19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，M 是PA 的中点，PD ⊥平面ABCD ，且4PD CD ==，2AD =．（1）求证：PA CD ⊥；（2）求AP 与平面CMB 所成角的正弦值；（3）求二面角M CB P --的余弦值．【正确答案】（1）证明见解析；（2）45；（331010（1）根据线面垂直的判定定理证明CD ⊥平面PAD ，即证PA CD ⊥；（2）以D 为原点，分别以,,DA DC DP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，求平面CMB的法向量，用向量的方法求直线AP 与平面CMB 所成角的正弦值；（3）求平面CBP 的法向量，用向量的方法求二面角M CB P --的余弦值．【详解】（1）PD ⊥ 平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，PD CD ∴⊥.底面ABCD 是矩形，AD CD ∴⊥，又AD PD D =I ，CD \^平面PAD ，PA ⊂平面PAD ，CD PA ∴⊥.（2）以D 为原点，分别以,,DA DC DP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示则()()()()()()0,0,0,2,0,0,0,4,0,0,0,4,1,0,2,2,4,0D A C P M B ，()()()2,0,4,2,0,0,1,4,2,25AP CB BM AP ∴=-==--= 设平面CMB 的法向量(),,n x y z = ，则·0·0n CB n BM ⎧=⎨=⎩，即0420x x y z =⎧⎨--+=⎩，令1y =，则2z =，()0,1,2,5n n ∴== .设直线AP 与平面CMB 所成的角为θ，则4sin cos ,5255AP n AP n AP n θ=〈〉==⨯ .所以AP 与平面CMB 所成角的正弦值为45.（3）()()2,0,0,2,4,4CB BP ==-- .设平面CBP 的法向量(),,m x y z = ，则·0·0m CB m BP ⎧=⎨=⎩，即02440x x y z =⎧⎨--+=⎩，令1y =，则1z =.()0,1,1,2m m == 又平面CMB 的法向量()0,1,2,5n n == 设二面角M CB P --的大小为α，则α为锐角，310cos cos ,1025m n m n m nα∴=〈〉===⨯ ，所以二面角M CB P --的余弦值为31010．本题考查线线垂直，考查用向量的方法求线面角和面面角，考查学生的运算能力，属于较难的题目.20．如图，焦点为F 的抛物线2y 2px(p 0)=>过点()Q 1,m (m 0)>，且QF 2=．(Ⅰ)求p 的值；(Ⅱ)过点Q 作两条直线1l ，2l 分别交抛物线于()11A x ,y ，()22B x ,y 两点，直线1l ，2l 分别交x 轴于C ，D 两点，若QCD QDC ∠∠=，证明：12y y +为定值．【正确答案】（Ⅰ）p 2=；（Ⅱ）见解析.【分析】（Ⅰ）由抛物线的定义可得出p 的值；（Ⅱ）先写出抛物线的方程，由条件∠QCD ＝∠QDC ，得出直线AQ 和直线BQ 的斜率之和为零，利用两点的斜率公式以及等式2114y x =，2224y x =可计算出y 1+y 2＝-4，进而证明结论成立．【详解】(Ⅰ)抛物线的准线方程为p x 2=-，由抛物线的定义得p QF 122=+=，得p 2=；(Ⅱ)由(Ⅰ)可知，抛物线的方程为2y 4x =，将点Q 的坐标代入抛物线的方程得2m 414=⨯=，m 0> ，得m 2=，所以，点Q 的坐标为()1,2．QCD QDC ∠∠= ，所以，直线AQ 和BQ 的斜率互为相反数．则()()121212AQ BQ 2222121212124y 24y 2y 2y 2y 2y 244k k 0y y x 1x 1y 4y 4y 2y 21144------+=+=+=+=+=----++--．所以，12y 2y 20+++=，因此，12y y 4(+=-定值)．本题考查直线与抛物线的综合，考查抛物线的定义，同时考查抛物线性质的应用，考查计算能力，属于中等题．21．已知数列{}n a 中，12a =且*122(2,)n n a a n n n N -=-+≥∈.（1）求2a ，3a ，并证明{}n a n -是等比数列；（2）设12n n n a b -=，求数列{}n b 的前n 项和n S .【正确答案】（1）24a =，37a =，证明见解析；（2）1242n n n S n -+=+-.（1）在已知的数列递推公式中分别取2,3n =，结合已知的首项即可求得23,a a 的值，再把递推式两边同时减n 即可证明{}n a n -是等比数列；（2）由{}n a n -是等比数列求出数列{}n a 的通项公式，代入12n n n a b -=，分组后利用错位相减法求数列{}n b 的前n 项和n S .【详解】（1）由已知()*1222,n n a a n n n N -=-+≥∈+24a =，37a =，1222n n a n a n --=-+，即()121n n a n a n -⎡⎤-=--⎣⎦，因为()()*122,1n n a n n n N a n --=≥∈--，所以{}n a n -是以2为公比的等比数列.（2）由（1）得()1112n n a n a --=-⋅，即12n n a n -=+，所以11122n n n n a n b --==+，设12n n n C -=，且前n 项和为n T ，所以01231123422222n n n T -=+++++ ，①123112322222n n n T =++++ ，②①－②得231111111222222-⎛⎫=+++++- ⎪⎝⎭ n n n n T ，11112212122212--+=+-=--n n nn n ，所以1242n n n T -+=-，1242n n n S n -+=+-.该题主要考查的是等比数列的定义，数列的递推公式，错位相减法求和，还考查了运算求解的能力，属于中档题.22．已知定点()1,0M -，圆N ：()22116x y -+=，点Q 为圆N 上动点，线段MQ 的垂直平分线交NQ 于点P ，记P 的轨迹为曲线C ．(1)求曲线C 的方程；(2)过点M 与N 作平行直线1l 和2l ，分别交曲线C 于点A ，B 和点D ，E ，求四边形ABDE 面积的最大值．【正确答案】(1)22143x y +=(2)6【分析】（1）由椭圆的定义求解（2）设直线方程后与椭圆方程联立，由韦达定理表示弦长，将面积转化为函数后求求解【详解】（1）由题意可得42MP NP PQ NP MN +=+=>=，所以动点P 的轨迹是以M ，N 为焦点，长轴长为4的椭圆，即曲线C 的方程为：22143x y +=；（2）由题意可设2l 的方程为1x ty =+，联立方程得()2222134690431x y t y ty x ty ⎧+=⎪⇒++-=⎨⎪=+⎩，设()11,D x y ，()22,E x y ，则由根与系数关系有122122634934t y y t y y t ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪⋅=-⎪+⎩，所以DE =()2212134t t +=+，根据椭圆的对称性可得()2212134t DE AB t +==+，1l 与2l 的距离即为点M 到直线2l的距离，为d所以四边形ABDE 面积为24S =()1u u =≥得224241313u S u u u==++，由对勾函数性质可知：当且仅当1u =，即0=t 时，四边形ABDE 面积取得最大值为6．。

2023-2024学年广东省珠海一中高三（上）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A={x|1<2x≤16}，则A∩N的元素个数为( )A. 3B. 4C. 5D. 62.已知复数z=(1−i)3，则−z在复平面对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列推断正确的是( )A. 若m⊂α，n与α相交，则m与n异面B. 若α//β，m⊂α，n⊂β，则m//nC. 若α⊥β，m⊥α，则m//βD. 若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β4.设等比数列{a n}的前n项积为T n，设甲：{T n}为递增数列，乙：{a n}为递增数列，则( )A. 甲是乙的充要条件B. 甲是乙的充分条件但不是必要条件C. 甲是乙的必要条件但不是充分条件D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件5.已知sinα−cosα=23,0<α<π,则sin3α+cos3α=( )A. 131454B. −131454C. 131427D. −1314276.已知直角三角形ABC的面积为S，AB=2BC，AB⊥BC，D、E分别在边AB、AC上，满足DE=λBC(0<λ<1)，若BE⋅CD=139S，则λ=( )A. 13B. 23C. 14D. 347.若整数a，b，c，d满足a+b+c+d=2024，则满足条件“a≥2，b≥0，c≥2，d≥4”的数组(a,b,c,d)的个数为( )A. C42019B. C32019C. C42020D. C320208.若动直线2x+y+m=0交曲线y=e x于点A，交直线y=x于点B，则|AB|的最小值为( )A. 13B. 23C. 53D. 253二、多选题：本题共3小题，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

珠海市第一中学2022-2023学年度上学期阶段考试高三年级 数学试卷卷面总分：150考试时长：120分钟 命题人：张国应 审题人：杨军一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1.设集合{}02,{13}M x Rx N x N x =∈≤≤=∈-<<∣∣，则M N ⋂=（ ） A.{}1,2 B.{}0,1,2C.{}02x x ≤≤∣ D.{13}x x -<<∣2.下面说法正确的是（ ） A.{}0∅∈B.{}{2xx y y ≥==∣∣C.集合(){},1x y x =∣䒾示曲线的长度为2πD.若,A U B U ⊆⊆，则()()()UU U A B A B ⋂=⋂3.已知实数,x y ，则“x y >”是>的（ ）A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 4.若a b ､为实数，则“1ab >”是“1b a>”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.已知奇函数()f x 在R 上单调递增，且()11f =，则关于x 的不等式()()ln ln 2f x f x <-+的解集为（ ）A.()0,1B.()1,∞+C.()0,eD.(),e ∞+6.函数()()22(0),2g x ax a f x x x =+>=-，对[][]101,2,1,2x x ∀∈-∃∈-，使()()10g x f x =成立，则a的取值范围是（ ）A.10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦B.[)1,2 C.10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦ D.1,3∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭7.已知关于x 的不等式2240ax bx ++<的解集为4,m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，其中0m <，则44b a b +的最小值为（ ）A.2-B.1C.2D.88.已知函数()()0xf x e x x =+≠的导函数为()f x '：若0ab ≠，且a b >，则（ ）A.()()f a f b >B.()()f a f b ->-C.()()2f a f b ''+->D.()()2f a f b ''-+>二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.下列说法正确的是（ ） A.若,0a b c ><，则22a c b c < B.若,0a b c ><，则33a c b c < C.若0a b <<，则22a ab b >> D.函数y =的最小值是210.已知关于x 的方程()230x m x m +-+=，则下列说法正确的是（ ） A.当3m =时，方程的两个实数根之和为0 B.方程无实数根的一个必要条件是1m > C.方程有两个正根的充要条件是01m << D.方程有一个正根和一个负根的充要条件是0m < 11.下列说法正确的有（ ） A.1x y x+=的最小值为2 B.已知x >1，则4211y x x =+--的最小值为1 C.若正数x ､y 满足x +2y =3xy ，则2x +y 的最小值为3 D.设x ､y 为实数，若9x 2+y 2+xy =1，则3x +y12.已知函数()f x 的定义域为[)0,∞+，且满足()[)()[)221,0,1log 3,1,2xx f x x x ⎧-∈⎪=⎨-∈⎪⎩，当2x ≥时，()()2f x f x λ=-，λ为非零常数，则（ ）A.当1λ=时，()2log 804f =B.当1λ=-时，()f x 在区间[)10,11内单调递减C.当2λ=时，()f x 在区间130,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦内的最大值为1)-D.当2λ=时，若函数()1x g x -=的图像与()f x 的图像在区间[]0,a 内的m 个交点记为()(),1,2,3,,i i x y i m =⋅⋅⋅，且116mii x==∑，则a 的取值范围为[)7,9三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若正数,a b 满足1a b +=，则1aa b+的最小值为__________.14.设集合{}260,M xx mx x R =-+=∈∣，且{}2,3M M ⋂=，则实数m 的取值范围是__________. 15.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x =-，则()()22log 48log 3f f -=__________. 16.已知,a b R ∈，若对任意0x ≤，不等式()()22210ax x bx ++-恒成立，则a b +的最小值为__________.四､解答题：本题共6小题，第17题10分，第18~22题各12分，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.解下列不等式：（1）21x x->；（212x≥+18.定义一种新的集合运算∆：Δ{A B xx A =∈，且}x B ∉.若集合{}24920A x x x =++<，311B x x ⎧⎫=>⎨⎬+⎩⎭，M B A =∆.（1）求集合M ；（2）设不等式()()220x a x a -+-<的解集为P ，若x P ∈是x M ∈的必要条件，求实数a 的取值范围. 19.已知函数()f x 对一切实数,x y 都有()()f x y f y +-=(21)x x y ++成立，且(1)0f =. （1）求(0)f 的值，及()f x 的解析式；（2）当21x -≤≤时，不等式()(1)5f x a a x -≥--恒成立，求a 的取值范围. 20.已知()1f x x x=+. （1）求不等式()13f x x+<的解集；（2）若()f x 的最小值为M ，1,2a b M +=(),a b R +∈，求()()22f a f b +的最小值. 21.对于函数()f x ，若其定义域内存在实数x 满足()()f x f x -=-，则称()f x 为“准奇函数”. （1）已知函数()21x f x x -=+，试问()f x 是否为“准奇函数”？说明理由； （2）若()2xg x m =+为定义在[]1,1-上的“准奇函数”，试求实数m 的取值范围； 22.已知函数()()21f x x x a x R =--+∈. （1）当1a =时，求函数()y f x =的零点.（2）当30,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求函数()y f x =在[]1,2x ∈上的最大值； （3）对于给定的正数a ，有一个最大的正数()T a ，使()0,x T a ∈⎡⎤⎣⎦时，都有()1f x ≤，试求出这个正数()T a 的表达式.珠海市第一中学2022-2023学年度上学期阶段考试高三年级数学试卷 数学答案一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1.B 【详解】由题得{}0,1,2N =，所以{}0,1,2M N ⋂=.2.C 【详解】选项A.易知{}0∅⊆，故A 不正确.选项B.集合{{}{}02yy y y x x ==≥≠≥∣∣∣，故B 不正确.选项C.集合(){},1x y x =∣中，所表示的曲线方程为()22(1)41x y x -+=≥表示以()1,0为圆心，以2为半径的圆的右半部分，则曲线长度为1422ππ⨯=，故C 正确.选项D.()()()UU U A B A B ⋂=⋃，故D 不正确.3.A >1x y >≥，当x y >时，推不出1x y >≥；反之，成立，所以“x y >”是>的必要不充分条件.4.D 【详解】若1ab >成立，取1,2a b =-=-，而121-<-，即命题“若1ab >，则1b a>”是假命题，若1b a >成立，取1,2a b =-=，而()120-⋅<，即命题“若1b a >，时1ab >”是假命题，所以“1ab >”是“1b a >”的既不充分也不必要条件.5.C 【详解】因为()f x 为奇函数，所以()()ln ln f x f x -=-， 所以原不等式可化为()2ln 2f x <，即()ln 1f x <，因为()f x 单调递增，且()11f =， 所以ln 1x <，解得()0,x e ∈.6.C 【详解】解：若对[][]101,2,1,2x x ∀∈-∃∈-，使()()10g x f x =成立， 只需函数()y g x =的值域为函数()y f x =的值域的子集即可. 函数()[]222(1)1,1,2f x x x x x =-=--∈-，的值域为[]1,3-.当0a >时，()2g x ax =+递增，可得其值域为[]2,22a a -+， 要使][2,221,3a a ⎡⎤-+⊆-⎣⎦，需212230a a a -≥-⎧⎪+≤⎨⎪>⎩解得102a <≤，综上，a 的取值范围为10,2⎛⎤⎥⎝⎦. 7.C 【详解】2240ax bx ++<的解集为4,m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则2240ax bx ++=的两根为4,m m，444,1,2m a m b m a m ∴⋅=∴=+=-，则424b m m =-+≥-，即2b ≥， 44244b b a b b+=+≥，当且仅当4b =时取“=”， 8.C 【详解】因为(),0,0x xx e x x f x e x e x x -⎧+>=+=⎨+<⎩，所以()1,01,0x x e x f x e x -⎧+>=⎨-+<'⎩，所以()f x 在区间(),0∞-上单调递減，在区间()0,∞+上单调递增， 故选项A ，B 错误.又()f x '在区间()(),0,0,∞∞-+上单调递增， 所以()()()(),f a f b f a f b '''<'>--，所以()()()()()()()()2,2f a f b f a f a f a f b f a f a '''''+->+-=-+<-'+'='， 故选项C 正确，选项D 错误.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.BC 【详解】解：由23,1a b c =>=-=-时，得2249a c b c =->=-，选项A 错误； 由a b >，得33a b >，又0c <，所以33a c b c <，选项B 正确； 若0a b <<，则2222,,a ab ab b a ab b >>>>，选项C 正确；y ===，令t =[)2,t ∞∈+，因为1y t t =+在[)2,∞+上单调递增，则115222t t +≥+=252≥，选项D 错误. 10.BD 【详解】对于选项A ，方程为230x +=，方程没有实数根，所以选项A 错误；对于选项B ，如果方程没有实数根，则22Δ(3)41090m m m m =--=-+<，所以19,1m m <<>是19m <<的必要条件，所以选项B 正确；对于选项C ，如果方程有两个正根，则()3Δ1090300m m m m ⎧=-+≥⎪-->⎨⎪>⎩，所以01m <≤，所以方程有两个正根的充要条件是01m <≤，所以选项C 错误；对于选项D ，如果方程有一个正根和一个负根，则2Δ1090m m m ⎧=-+>⎨<⎩，所以0m <，所以方程有一个正根和一个负根的充要条件是0m <，所以选项D 正确. 11.BCD 【详解】解：对于A 选项，当x=-1时，10x y x+==，故A 选项错误， 对于B 选项，当x >1时，x ﹣1>0，则44212(1)11111y x x x x =+-=-++≥=--，当且仅当1x =时，等号成立，故B 选项正确，对于C 选项，若正数x ､y 满足x +2y =3xy ， 则2213x y xy x y+==+，12112212(2)()(5)(53333x y x y x y x y y x +=++=++≥+=，当且仅当x =y =1时，等号成立，故C 选项正确， 对于D 选项，()()()()222222235519965333334x y x y xy x xy y xy x y x y x y +=++=++-=+-⋅⋅≥+-⋅，所以()21237x y +≤，可得3x y ≤+≤当且仅当y =3x 时，等号成立，故3x +y ，D 选项正确. 12.BD 【详解】对于A ，当1λ=时，()()2f x f x =-，则()()222()f x f x f x +=+-=，当2x ≥时，()2()f x f x +=，所以()()2225log 80log 806log 4f f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭25log 45121144=-=-=，故A 错误； 对于B ，当1λ=-时，()()2f x f x =--，则()()42()f x f x f x +=-+=，当2x ≥时，()4()f x f x +=，所以()f x 在区间[)10,11内单调性与在区间[)2,3内的单调性相同，当[)2,3x ∈时，[)20,1x -∈，所以()f x 在区间[)2,3内单调性与在区间[)0,1内的单调性相反，故B 正确；对于C ，当2λ=时，当2x ≥，()()22f x f x =-， 即当0x ≥，()()122f x f x =+，当[0,2]x ∈时，()[0,1]f x ∈， 当[2,4]x ∈时，()[0,2]f x ∈，当[4,6]x ∈时，()[0,4]f x ∈，当136,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()8]f x ∈，所以()f x 在区间130,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦内的最大值 为4.故C 错误；对于D ，当2λ=时，当2x ≥，()()22f x f x =-， 即当0x ≥，()()122f x f x =+，由图像有：若函数()1x g x -=的图像与()f x 的图像在区间[]0,a 内的m 个交点记为()(),1,2,3,,i i x y i m =⋅⋅⋅，且116mi i x ==∑，则a 的取值范围为[)7,9，故D 正确.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.3 【详解】1113a a b a b a a b a b a b ++=+=++≥+=（当12a b ==时取等号）14.({}5m ∈-⋃ 【详解】由题意{}2,3M M ⋂=，可得M 是集合{}2,3的子集，又{}260,M x x mx x R =-+=∈∣，当M 是空集时，即方程260x mx -+=无解，则满足2Δ()460m =--⨯<，解得m -<(m ∈-，此时显然符合题意；当M 中只有一个元素时，即方程260x mx -+=只有一个实数根，此时2Δ()460m =--⨯=，解得m =±x =x ={}2,3的子集中的元素，不符合题意，舍去；当M 中有两个元素时，则{}2,3M =，此时方程260x mx -+=的解为122,3x x ==，由根与系数之间的关系，可得两根之和为5，故235m =+=；当5m =时，可解得{}2,3M =，符合题意.综上m 的取值范围为({}5.m ∈-⋃15.0 【详解】根据题意，f （x ）为奇函数，则有f （﹣x ）=﹣f （x ）， 又由f （x ）=f （2﹣x ），则有f （2﹣x ）=﹣f （﹣x ），即f （x +2）=﹣f （x ）， 变形可得：f （x +4）=﹣f （x +2）=f （x ），即函数f （x ）是周期为4的周期函数， 则()222log 48(4log 3)(log 3)f f f =+=，故()()22log 48log 3f f -==0.【详解】设()2g x ax =+，2()21f x x bx =+-，()f x 图象是开口向上的抛物线，因此由0x ≤时，()()0f x g x ≤恒成立得0a >，()0g x =时，2x a =-，2x a <-时，()0g x <，20x a-<≤时，()0>g x ， 因此2x a <-时，()0f x >，20x a -<≤时，()0f x <，2()0f a -=，所以24410b a a --=①，2b a->-①， 由①得14a b a =-，代入①得124a a a ->-，因为0a >，此式显然成立.134a a b a +=+≥=134a a =，即3a = 所以ab +或者a b b +=≥四、解答题：本题共6小题，第17题10分，第18-22题各12分，共70分。

广东省部分学校2024-2025学年高二上学期第一次联考数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知()()2,1,3,1,1,1a b =-=- ，若()a a b λ⊥-，则实数λ的值为（）A ．2-B ．143-C ．73D ．22．P 是被长为1的正方体1111ABCD A B C D -的底面1111D C B A 上一点，则1PA PC ⋅的取值范围是（）A ．11,4⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B ．1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．1,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．11,42⎡⎤--⎢⎥⎣⎦3．已知向量()4,3,2a =- ，()2,1,1b = ，则a 在向量b上的投影向量为（）A ．333,,22⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．333,,244⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．333,,422⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()4,2,24．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱1AA ，1BB 的中点，G 为棱11A B 上的一点，且()102A G λλ=<<，则点G 到平面1D EF 的距离为（）AB C ．3D 5．已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为平行四边形，,M N 分别为棱,BC PD 上的点，13CM CB =，PN ND =，设AB a =，AD b =，AP c = ，则向量MN 用{},,a b c 为基底表示为（）A ．1132a b c++B ．1162a b c-++C ．1132a b c -+D ．1162a b c--+ 6．在四面体OABC 中，空间的一点M 满足1146OM OA OC λ=++ ．若,,MA MB MC共面，则λ=（）A ．12B ．13C ．512D ．7127．已知向量()()1,21,0,2,,a t t b t t =--=，则b a - 的最小值为（）AB C D8．“长太息掩涕兮，哀民生之多艰”，端阳初夏，粽叶飘香，端午是一大中华传统节日.小玮同学在当天包了一个具有艺术感的肉粽作纪念，将粽子整体视为一个三棱锥，肉馅可近似看作它的内切球（与其四个面均相切的球，图中作为球O ）.如图：已知粽子三棱锥P ABC -中，PA PB AB AC BC ====，H 、I 、J 分别为所在棱中点，D 、E 分别为所在棱靠近P 端的三等分点，小玮同学切开后发现，沿平面CDE 或平面HIJ 切开后，截面中均恰好看不见肉馅.则肉馅与整个粽子体积的比为（）.A ．π9B ．π18C ．π27D ．π54二、多选题9．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1BB 的中点，F 为11A D 的中点，如图所示建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是（）A ．13DB =B ．向量AE 与1AC uuu r 所成角的余弦值为5C ．平面AEF 的一个法向量是()4,1,2-D ．点D 到平面AEF 10．在正三棱柱111ABC A B C -中，1AB AA =，点P 满足][1([0,1,0,])1BP BC BB λμλμ=+∈∈，则下列说法正确的是（）A ．当1λ=时，点P 在棱1BB 上B ．当1μ=时，点P 到平面ABC 的距离为定值C ．当12λ=时，点P 在以11,BC B C 的中点为端点的线段上D ．当11,2λμ==时，1A B ⊥平面1AB P 11．布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达・芬奇方砖在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，如图1，把三片这样的达・芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的几何体.若图3中每个正方体的棱长为1，则（）A ．122CG AB AA =+ B ．直线CQ 与平面1111D C B A 所成角的正弦值为23C ．点1C 到直线CQ 的距离是3D ．异面直线CQ 与BD 三、填空题12．正三棱柱111ABC A B C -的侧棱长为2，底面边长为1，M 是BC 的中点．在直线1CC 上求一点N ，当CN 的长为时，使1⊥MN AB ．13．四棱锥P ABCD -中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是正方形，且1PD =，3AB =，G 是ABC V 的重心，则PG 与平面PAD 所成角θ的正弦值为.14．坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素.安装灯带可以勾勒出建筑轮那，展现造型之美.如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形.若25m AB =，10m BC =，且等腰梯形所在平面、等腰三角形所在平面与平面ABCD 的夹角的正切值均为5，则该五面体的所有棱长之和为.四、解答题15．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，11,2AD AA AB ===，点E 在棱AB 上移动.(1)当点E 在棱AB 的中点时，求平面1D EC 与平面1DCD 所成的夹角的余弦值；(2)当AE 为何值时，直线1A D 与平面1D EC 所成角的正弦值最小，并求出最小值.16．如图所示，直三棱柱11ABC A B C -中，11,92,0,,CA CB BCA AA M N ︒==∠==分别是111,A B A A 的中点．(1)求BN 的长；(2)求11cos ,BA CB的值．(3)求证：BN ⊥平面1C MN ．17．如图，在四棱维P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD ⊥，PA PD =，AB AD ⊥，1AB =，2AD =，AC CD ==(1)求直线PB 与平面PCD 所成角的正切值；(2)在PA 上是否存在点M ，使得//BM 平面PCD ？若存在，求AMAP的值；若不存在，说明理由．18．如图1，在边长为4的菱形ABCD 中，60DAB ∠=︒，点M ，N 分别是边BC ，CD 的中点，1AC BD O ⋂=，AC MN G ⋂=．沿MN 将CMN 翻折到PMN 的位置，连接PA ，PB ，PD ，得到如图2所示的五棱锥P ABMND -．(1)在翻折过程中是否总有平面PBD ⊥平面PAG ？证明你的结论；(2)若平面PMN ⊥平面MNDB ，线段PA 上是否存在一点Q ，使得平面QDN 与平面PMN 所成Q 的位置；若不存在，请说明理由．19．如图，四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是菱形，PA ⊥平面,60ABCD ABC ∠= ，11,,2PA AB E F ==分别是线段BD 和PC 上的动点，且()01BE PFBD PC λλ==<≤．(1)求证：//EF 平面PAB ；(2)求直线DF 与平面PBC 所成角的正弦值的最大值；(3)若直线AE与线段BC交于M点，AH PM于点H，求线段CH长的最小值．参考答案：题号12345678910答案C BADDDCBBCDBCD题号11答案BC1．C【分析】利用两个向量垂直的性质，数量积公式即求得λ的值．【详解】 向量()()2,1,3,1,1,1a b =-=-若()a a b λ⊥-，则2()(419)(213)0a a b a a b λλλ⋅-=-⋅=++-++=，73λ∴=．故选：C ．2．B【分析】建立空间直角坐标系，写出各点坐标，同时设点P 的坐标为(),,x y z ，用坐标运算计算出1PA PC ⋅，配方后可得其最大值和最小值，即得其取值范围．【详解】如图，以点D 为坐标原点，1,,DA DC DD 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，则1,0,0，()10,1,1C ，设(),,P x y z ，01x ≤≤，01y ≤≤，1z =，()1,,1PA x y ∴=--- ，()1,1,0PC x y =--，()()2222111111222PA PC x x y y x x y y x y ⎛⎫⎛⎫∴⋅=----=-+-=-+--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当12x y ==时，1PA PC ⋅ 取得最小值12-，当0x =或1，0y =或1时，1PA PC ⋅取得最大值0，所以1PA PC ⋅ 的取值范围是1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故选：B.3．A【分析】根据投影向量公式计算可得答案.【详解】向量a 在向量b上的投影向量为()()()2242312333cos ,2,1,12,1,13,,222b a b a a b b b b ⋅⨯+⨯-⎛⎫⋅⋅=⋅=⋅== ⎪⎝⎭r r rr r r r r r .故选：A.4．D【分析】建立空间直角坐标系，由点到平面的距离公式计算即可．【详解】以D 为坐标原点，DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，1DD 所在直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()2,,2G λ，()10,0,2D ，()2,0,1E ，()2,2,1F ，所以()12,0,1ED =- ，()0,2,0= EF ，()0,,1EG λ=．设平面1D EF 的法向量为(),,n x y z = ，则12020n ED x z n EF y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩，取1x =，得()1,0,2n =r，所以点G 到平面1D EF的距离为EG n d n ⋅== ，故选：D ．5．D【分析】利用空间向量的线性运算结合图形计算即可.【详解】由条件易知()11113232MN MC CD DN BC BA DP AD BA AP AD =++=++=++-()11113262b ac b a b c =-+-=--+.故选：D 6．D【分析】根据给定条件，利用空间向量的共面向量定理的推论列式计算即得.【详解】在四面体OABC 中，,,OA OB OC不共面，而1146OM OA OB OC λ=++ ，则由,,MA MB MC ，得11146λ++=，所以712λ=.故选：D 7．C【分析】计算出b a -=≥ .【详解】因为()()1,21,0,2,,a t t b t t =--=，所以b a -=当0t =时，等号成立，故ba -.故选：C.8．B【分析】设1PFCF ==，易知PA PB AB AC BC =====，且23FG =，设肉馅球半径为r ，CG x =，根据中点可知P 到CF 的距离4d r =，sin 4dPFC r PF∠==，根据三角形面积公式及内切圆半径公式可得1x =，结合余弦定理可得1cos 3PFC ∠=，进而可得3PC =，sin 3PFC ∠=，可得内切球半径且可知三棱锥为正三棱锥，再根据球的体积公式及三棱锥公式分别求体积及比值.【详解】如图所示，取AB 中点为F ，PF DE G ⋂=，为方便计算，不妨设1PF CF ==，由PA PB AB AC BC ====，可知3PA PB AB AC BC =====，又D 、E 分别为所在棱靠近P 端的三等分点，则2233FG PF ==，且AB PF ⊥，AB CF ⊥、PF CF F = ，PF ，CF ⊂平面PCF ，即AB ⊥平面PCF ，又AB ⊂平面ABC ，则平面PCF ⊥平面ABC ，设肉馅球半径为r ，CG x =，由于H 、I 、J 分别为所在棱中点，且沿平面HIJ 切开后，截面中均恰好看不见肉馅，则P 到CF 的距离4d r =，sin 4d PFC r PF∠==，12414233GFC r S r =⋅⋅⋅=△，又2132GFC rS x ⎛⎫=++⋅ ⎪⎝⎭ ，解得：1x =，故22241119cos 223213CF FG CG PFC CF FG +-+-∠===⋅⋅⋅⋅，又2222111cos 21132P PF CF PC PC F F C P F C +-+⋅-∠=⋅=⋅⋅，解得PC =，sin 3PFC ∠=，所以：4sin 31rPFC ∠==，解得6r =，343V r =π=球，由以上计算可知：P ABC -为正三棱锥，故111sin 4332ABC V S d AB AC BAC r =⋅⋅=⋅⋅⋅∠⋅粽11432332627=⋅⋅⋅⋅⋅⋅=，=.故选：B.9．BCD【分析】先写出需要的点的坐标，然后利用空间向量分别计算每个选项即可.【详解】由题可知，2,0,0,()0,0,0D,()2,2,1E,()1,0,2F,()12,2,2B,()10,2,2C，所以1DB==A错误；()0,2,1AE=,()12,2,2AC=-，所以111·cos,AE ACAE ACAE AC=B正确；()0,2,1AE=,()1,0,2AF=-，记()4,1,2n=-，则0,0AE AFn n==，故,AE AFn n⊥⊥，因为AE AF A⋂=,,AE AF⊂平面AEF，所以()4,1,2n=-垂直于平面AEF，故选项C正确；B =2,0,0，所以点D到平面AEF的距离·21DA ndn===，故选项D正确；故选：BCD10．BCD【分析】对于A，由1CP BP BC BBμ==-即可判断；对于B，由[]11,0,1B P BP BB BCλλ=-=∈和11//B C平面ABC即可判断；对于C，分别取BC和11B C的中点D和E，由BP BD=+1BBμ即1DP BBμ=即可判断；对于D，先求证1A E⊥平面11BB C C，接着即可求证1B P⊥平面1A EB，进而即可求证1A B⊥平面1AB P.【详解】对于A，当1λ=时，[]1,0,1CP BP BC BBμμ=-=∈，又11CC BB=，所以1CP CCμ=即1//CP CC，又1CP CC C=，所以1C C P、、三点共线，故点P在1CC上，故A错误；对于B ，当1μ=时，[]11,0,1B P BP BB BC λλ=-=∈，又11B C BC =，所以111B P B C λ= 即111//B P B C ，又1111B B C P B = ，所以11B C P 、、三点共线，故点P 在棱11B C 上，由三棱柱性质可得11//B C 平面ABC ，所以点P 到平面ABC 的距离为定值，故B 正确；对于C ，当12λ=时，取BC 的中点11,D B C 的中点E ，所以1//DE BB 且1DE BB =，BP BD =+[]1,0,1BB μμ∈ ，即1DP BB μ= ，所以DP E D μ= 即//DP DE，又DP DE D ⋂=，所以D E P 、、三点共线，故P 在线段DE 上，故C 正确；对于D ，当11,2λμ==时，点P 为1CC 的中点，连接1,A E BE ，由题111A B C △为正三角形，所以111A E B C ⊥，又由正三棱柱性质可知11A E BB ⊥，因为1111BB B C B = ，111BB B C ⊂、平面11BB C C ，所以1A E ⊥平面11BB C C ，又1B P ⊂平面11BB C C ，所以11A E B P ⊥，因为1111B C BB CC ==，所以11B E C P =，又111π2BB E B C P ∠=∠=，所以111BB E B C P ≌，所以111B EB C PB ∠=∠，所以1111111π2PB C B EB PB C C PB ∠+∠=∠+∠=，设BE 与1B P 相交于点O ，则1π2B OE ∠=，即1BE B P ⊥，又1A E BE E = ，1A E BE ⊂、平面1A EB ，所以1B P ⊥平面1A EB ，因为1A B ⊂平面1A EB ，所以11B P A B ⊥，由正方形性质可知11A B AB ⊥，又111AB B P B = ，11B P AB ⊂、平面1AB P ，所以1A B ⊥平面1AB P ，故D 正确.故选：BCD.【点睛】思路点睛：对于求证1A B ⊥平面1AB P ，可先由111A E B C ⊥和11A E BB ⊥得1A E ⊥平面11BB C C ，从而得11A E B P ⊥，接着求证1BE B P ⊥得1B P ⊥平面1A EB ，进而11B P A B ⊥，再结合11A B AB ⊥即可得证1A B ⊥平面1AB P .11．BC【分析】A 选项，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，得到122AB AA CG +≠ ；B 选项，求出平面的法向量，利用线面角的夹角公式求出答案；C 选项，利用空间向量点到直线距离公式进行求解；D 选项，利用异面直线夹角公式进行求解.【详解】A 选项，以A 为坐标原点，1,,DA AB AA所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，则()()()()()()10,0,0,0,1,0,0,0,1,1,1,2,0,1,2,1,1,0A B A G Q C ----，()()()110,1,1,1,1,1,1,0,0B C D --，()()()10,2,2,0,1,0,0,0,1CG AB AA =-==，则()()()1220,2,00,0,20,2,2AB AA CG +=+=≠，A 错误；B 选项，平面1111D C B A 的法向量为()0,0,1m =，()()()0,1,21,1,01,2,2CQ =---=-，设直线CQ 与平面1111D C B A 所成角的大小为θ，则2sin cos ,3CQ m CQ m CQ m θ⋅===⋅，B 正确；C 选项，()10,0,1CC =，点1C 到直线CQ 的距离为3d ==，C 正确；D 选项，()()()1,0,00,1,01,1,0BD =--=--，设异面直线CQ 与BD 所成角大小为α，则cos cos ,6CQ BD CQ BD CQ BDα⋅=====⋅，D 错误.故选：BC 12．18/0.125【分析】根据正三柱性质建立空间直角坐标系，利用向量垂直的坐标表示可得结果.【详解】取11B C 的中点为1M ，连接1,MM AM ，由正三棱柱性质可得11,,AM MM BM MM AM BM ⊥⊥⊥，因此以M 为坐标原点，以1,,AMBM MM 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如下图所示：易知()11,0,0,0,,2,0,0,022A B M ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设CN 的长为a ，且0a >，可得10,,2N a ⎛⎫- ⎪⎝⎭；易知1110,,,,,2222MN a AB ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭若1⊥MN AB ,则1112022MN AB a ⋅=-⨯+= ,解得18a =，所以当CN 的长为18时，使1⊥MN AB .故答案为：1813．23【分析】建立空间直角坐标系，求出平面PAD 的一个法向量m 及PG，由PG 与平面PAD 所成角θ，根据sin cos ,m PG m PG m PGθ⋅==⋅即可求解.【详解】因为PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是正方形，所以,,DA DC DP 两两垂直，以D 为坐标原点，,,DA DC DP的方向分别为,,x y z 轴的正方向，建立如图所示空间直角坐标系，则()0,0,0D ，()0,0,1P ，()3,0,0A ，()3,3,0B ，()0,3,0C ，则重心()2,2,0G ，因而()2,2,1PG =- ，()3,0,0DA = ，()0,0,1DP =，设平面PAD 的一个法向量为(),,m x y z =，则300m DA x m DP z ⎧⋅==⎪⎨⋅==⎪⎩ ，令1y =则()0,1,0m = ，则22sin cos ,133m PG m PG m PG θ⋅====⨯⋅，故答案为：23.14．117m【分析】先根据线面角的定义求得5tan tan EMO EGO ∠=∠，从而依次求EO ，EG ，EB ，EF ，再把所有棱长相加即可得解．【详解】如图，过E 做EO ⊥平面ABCD ，垂足为O ，过E 分别做EG BC ⊥，EM AB ⊥，垂足分别为G ，M ，连接OG ，OM ，由题意得等腰梯形所在的面、等腰三角形所在的面与底面夹角分别为EMO ∠和EGO ∠，所以5tan tan EMO EGO ∠=∠．因为EO ⊥平面ABCD ，⊂BC 平面ABCD ，所以EO BC ⊥，因为EG BC ⊥，EO ，EG ⊂平面EOG ，EO EG E = ，所以⊥BC 平面EOG ，因为OG ⊂平面EOG ，所以BC OG ⊥，同理，OM BM ⊥，又BM BG ⊥，故四边形OMBG 是矩形，所以由10BC =得5OM =，所以EO 5OG =，所以在直角三角形EOG 中，EG =在直角三角形EBG 中，5BG OM ==，8EB ==，又因为55255515EF AB =--=--=，所有棱长之和为2252101548117⨯+⨯++⨯=．故答案为：117m15．(2)当2AE =时，直线1A D 与平面1D EC 【分析】（1）以D 为坐标原点，1,,DA DC DD 所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，求得平面1D EC 的一个法向量，平面1DCD 的一个法向量，利用向量法可求平面1D EC 与平面1DCD 所成的夹角的余弦值；（2）设AE m =，可求得平面1D EC 的一个法向量，直线的方向向量1DA，利用向量法可得sin θ=.【详解】（1）以D 为坐标原点，1,,DA DC DD 所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，当点E 在棱AB 的中点时，则1(0,0,1),(1,1,0),(0,2,0),(0,0,0),(1,0,0)E C D A D ，则1(1,1,1),(1,1,0),(1,0,0)ED EC DA =--=-=，设平面1D EC 的一个法向量为(,,)n x y z =，则1·0·0n ED x y z n EC x y ⎧=--+=⎪⎨=-+=⎪⎩ ，令1x =，则1,2y z ==，所以平面1D EC 的一个法向量为(1,1,2)n =，又平面1DCD 的一个法向量为(1,0,0)DA =，所以·cos ,·DA n DA n DA n=== 所以平面1D EC 与平面1DCD（2）设AE m =，则11(0,0,1),(1,,0),(0,2,0),(0,0,0),(1,0,1)E m C D A D ，则11(1,,1),(1,2,0),(02),(1,0,1)ED m EC m m DA =--=--≤≤=，设平面1D EC 的一个法向量为(,,)n x y z =，则1·0·(2)0n ED x my z n EC x m y ⎧=--+=⎪⎨=-+-=⎪⎩ ，令1y =，则2,2x m z =-=，所以平面1D EC 的一个法向量为(2,1,2)n m =-，设直线1A D 与平面1D EC 所成的角为θ，则11||sin ||||n DA n DA θ===令4[2,4]m t -=∈，则sin θ=当2t =时，sin θ取得最小值，最小值为5.16．(2)10(3)证明见解析【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，根据空间两点间距离公式，即得答案；（2）根据空间向量的夹角公式，即可求得答案；（3）求出1C M ，1C N，BN 的坐标，根据空间位置关系的向量证明方法，结合线面垂直的判定定理，即可证明结论.【详解】（1）如图，建立以点O 为坐标原点，CA 、CB 、1CC 所在直线分别为x 轴、y 轴、z轴的空间直角坐标系．依题意得(0,1,0),(1,0,1)B N ，∴BN == （2）依题意得，()()()()111,0,2,0,1,0,0,0,0,0,1,2A B C B ，∴1(1,1,2)BA =- ，1(0,1,2)CB =，113BA CB =⋅，1BA1CB所以11111cos ,BA CB BA CB BA CB ⋅=⋅（3）证明：()()()10,0,2,0,1,0,1,0,1C B N ，11,,222M ⎛⎫⎪⎝⎭．∴111,,022C M ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，()11,0,1C N =- ，()1,1,1BN =-，∴1111(1)10022C M BN ⋅=⨯+⨯-+⨯= ，1110(1)(1)10C N BN ⋅=⨯+⨯-+-⨯=，∴1C M BN ⊥ ，1C N BN ⊥，即11,C M BN C N BN ⊥⊥，又1C M ⊂平面1C MN ，1C N ⊂平面1C MN ，111= C M C N C ，∴BN ⊥平面1C MN ．17．(2)存在点M ，使得//BM 平面PCD ，14AM AP =.【分析】（1）取AD 的中点为O ，连接,PO CO ，由面面垂直的性质定理证明⊥PO 平面ABCD ，建立空间直角坐标系求解直线PB 与平面PCD 所成角的正切值即可；（2）假设在PA 上存在点M ，使得()01PM PA λλ=≤≤，由线面平行，转化为平面的法向量与直线的方向向量垂直，求解参数即可.【详解】（1）取AD 的中点为O ，连接,PO CO ，因为PA PD =，所以PO AD ⊥，又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =，PO ⊂平面PAD ，所以⊥PO 平面ABCD ，又AC CD =，所以CO AD ⊥，PA PD ⊥，2AD =，所以1PO =，AC CD ==2CO =，所以以O 为坐标原点，分别以,,OC OA OP 所在的直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，0,0,1，()2,0,0C ，()0,1,0A ，()1,1,0B ，()0,1,0D -，所以()2,0,1PC =- ，()0,1,1PD =--，()1,1,1PB =- ，设平面PCD 的一个法向量为 =s s ，则00PC m PD m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，200x z y z -=⎧⎨--=⎩，令1,x =则2,2z y ==-，所以()1,2,2m =-，设直线PB 与平面PCD 所成角为θ，sin cos ,m PB m PB m PB θ⋅====，所以cos 3θ==，所以tan θ所以直线PB 与平面PCD所成角的正切值2.（2）在PA 上存在点M ，使得()01PM PA λλ=≤≤，所以()0,1,1PA =- ，所以()0,,PM PA λλλ==-，所以()0,,1M λλ-，所以()1,1,1BM λλ=---，因为//BM 平面PCD ，所以BM m ⊥ ，即()()121210λλ---+-=，解得34λ=，所以存在点M ，使得//BM 平面PCD ，此时14AM AP =.18．(1)总有平面PBD ⊥平面PAG ，证明详见解析(2)存在，Q 是PA 的靠近P 的三等分点，理由见解析.【分析】（1）通过证明BD ⊥平面PAG 来证得平面PBD ⊥平面PAG .（2）建立空间直角坐标系，利用平面QDN 与平面PMN 所成角的余弦值来列方程，从而求得Q 点的位置.【详解】（1）折叠前，因为四边形ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥，由于,M N 分别是边BC ，CD 的中点，所以//MN BD ，所以MN AC ⊥，折叠过程中，,,,,MN GP MN GA GP GA G GP GA ⊥⊥⋂=⊂平面PAG ，所以MN ⊥平面PAG ，所以BD ⊥平面PAG ，由于BD ⊂平面PBD ，所以平面PBD ⊥平面PAG .（2）存在，理由如下：当平面PMN ⊥平面MNDB 时，由于平面PMN 平面MNDB MN =，GP ⊂平面PMN ，GP MN ⊥，所以GP ⊥平面MNDB ，由于AG ⊂平面MNDB ，所以GP AG ⊥，由此以G 为空间坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，依题意可知())(),2,0,,0,1,0,P D B N PB --=- ()A，(PA = ，设()01PQ PA λλ=≤≤ ，则(()(),0,3,0,GQ GP PQ GP PA λ=+=+=+-= ，平面PMN 的法向量为()11,0,0n = ，()(),DQ DN ==，设平面QDN 的法向量为()2222,,n x y z = ，则()2222222200n DQ x y z n DN y ⎧⋅=-++=⎪⎨⎪⋅=+=⎩ ，故可设()21n λλ=--+ ，设平面QDN 与平面PMN 所成角为θ，由于平面QDN 与平面PMN所成角的余弦值为13，所以1212cos n n n n θ⋅==⋅解得13λ=,所以当Q 是PA 的靠近P 的三等分点时，平面QDN 与平面PMN 所成角的余弦值为13.19．(1)证明见解析(2)8(3)5【分析】（1）根据条件建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量证明线面关系即可；（2）利用空间向量研究线面夹角，结合二次函数的性质计算最大值即可；（3）设BM tBC = ，利用空间向量基本定理及三点共线的充要条件得出AH ，利用向量模长公式及导数研究函数的单调性计算最值即可.【详解】（1）由于四边形ABCD 是菱形，且60ABC ∠= ，取CD 中点G ，则AG CD ⊥，又PA ⊥平面ABCD ，可以A 为中心建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()()2,0,0,,,0,0,1,B C D P G -，所以()()()1,,2,0,1PC BD BP =-=-=- ，由()01BE PF BD PCλλ==<≤，可知,,BE BD PF PC EF EB BP PF BD BP PC λλλλ==∴=++=-++ ()42,0,1λλ=--，易知()AG = 是平面PAB 的一个法向量，显然0EF AG ⋅= ，且EF ⊄平面PAB ，即//EF 平面PAB；（2）由上可知()()()1,,DP PF DF λλλλ+==+-=+- ，设平面PBC 的一个法向量为(),,n x y z =r，则200n BP x z n PC x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩，令1x =，则2,3z y ==，2n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，设直线DF 与平面PBC 所成角为α，则sin cos ,n DF n DF n DF α⋅==⋅ ，易知35λ=时，()2min 165655λλ-+=，即此时sin α取得最大值8；（3）设()(](),0,0,12,0BM t BC t t AM AB BM t ==-∈⇒=+=- ，由于,,H M P 共线，不妨设()1AH xAM x AP =+- ，易知AM AP ⊥，则有()()22010AH PM AH AM AP x AM x AP ⋅=⋅-=⇒--= ，所以22114451x t t AM ==-++ ，则()()2CH CA AH t x x =+=--- ，即()()2222454454655445t CH t t x t x t t --=-+-++=+-+ 记()(]()2450,1445t f t t t t --=∈-+，则()()()2228255445t t f t t t --+'=-+，易知22550t t -+>恒成立，所以()0f t '<，即()f t 单调递减，所以()()min 9155f t f CH ≥=-⇒==.。

2023-2024学年广东省珠海市香洲区九年级（上）期末数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.下列各数是一元二次方程的根的是( )A. B. 4 C. D. 32.在下列图形中，中心对称图形是( )A. 等边三角形B. 平行四边形C. 等腰梯形D. 正五边形3.下列成语中，表示必然事件的是( )A. 水中捞月B. 守株待兔C. 水涨船高D. 刻舟求剑4.如图是关于x的二次函数的图象，则下列结论正确的是( )A.B.C.D.5.如图，点A在图象上，轴于点B，且的面积为4，则k的值为( )A. 2B. 4C. 8D. 126.如图所示，在中，，，AD，OB相交于点C，那么的度数是( )A.B.C.D.7.近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动.某款燃油汽车今年2月份售价为25万元，4月份售价为万元，设该款汽车这两月售价的月平均降价率是x，则所列方程正确的是( )A. B.C. D.8.如图，AE是直径，半径OD与弦AB垂直于点C，连接若，，则CE的长为( )A. 8B.C.D.9.如图，等腰直角三角形ABC，斜边，D是AB中点，点E为边BC上一动点，直线DE绕点D 逆时针旋转交AC于点F，则的值为( )A. 2B.C.D.10.下列命题：①关于x的方程是一元二次方程，则；②二次函数的顶点在x轴上，则；③如果，那么反比例函数与的图象肯定没有交点；④不透明的盒中放有除颜色外无其他差别的x枚黑棋和y枚白棋，从盒中随机取一枚棋子取到黑棋的概率为若盒中的黑棋增加一倍，白棋数量不变，则从盒中随机取一枚棋子取到黑棋的概率为其中正确命题的序号为( )A. ①④B. ②③C. ②③④D. ①②③④二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。

11.外观相同的10件产品中有两件不合格，现从中随机抽取一件进行检测，抽到不合格产品的概率为______.12.如图，菱形ABCD的对角线交点是坐标原点O，已知点，则点C的坐标为______.13.已知二次函数的对称轴是直线，则常数______.14.若点和都在反比例函数的图象上，则______.15.二次函数的图象与x轴交于点A，B，，则常数m的值为______.16.如图，点C是半圆ACB上一动点，直径，分别以AC，BC为直径向外作半圆，若阴影面积总和为，则AC的值为______.三、解答题：本题共8小题，共72分。

广东省揭阳市普宁市2022-2023学年高二上学期期末教学质量测试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．直线2310x y ++=在y 轴上的截距为（）A ．12B ．12-C ．13D ．13-2．已知空间向量()0,1,4a = ，()1,1,0b =-，则a b += （）AB ．19C ．17D 3．已知数列{}n a 是等差数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，11a =，318S =，则6S =（）A ．54B ．71C ．81D ．804．若椭圆22:1(0)9+=>x y C m m 上一点到C 的两个焦点的距离之和为2m ，则m =（）A ．1B ．3C ．6D ．1或35．双曲线的一个焦点与抛物线224x y =的焦点重合，它的一条渐近线的倾斜角为60°，则该双曲线的标准方程为（）A ．2215418y x -=B ．2215418x y -=C ．221279y x -=D ．221927x y -=6．在空间四边形ABCD 中，AB CD AC BD AD BC ++等于（）A ．1-B ．0C ．1D ．不确定7．古希腊数学家阿波罗尼奥斯(约公元前262~公元前190年)的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k (k >0且k ≠1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知O (0，0)，A (3，0)，动点P (x ，y )满2PAPO=，则动点P 轨迹与圆22(2)2x y -+=的位置关系是（）A ．相交B ．相离C ．内切D ．外切8．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，当n N *∈时，n a ，1n 2+，1n a +成等差数列，若2020n S =，且23a <，则n 的最大值为（）A ．63B ．64C ．65D ．66二、多选题9．已知数列{}n a 中，13a =，且111n n a a +=-+，则能使3n a =的n 可以是（）A ．4B ．14C ．21D ．2810．设椭圆22:12x C y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，则下列说法中正确的有（）A ．离心率2e =B ．过点1F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，则2ABF △的周长为C ．若P 是椭圆C 上的一点，则12PF F △面积的最大值为1D ．若P 是椭圆C 上的一点，且1260F PF ∠=︒，则12PF F △11．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，下列四个结论中正确的是（）A ．直线1BC 与直线1AD 所成的角为90︒B ．1B D ⊥平面1ACDC ．点1B 到平面1ACD 的距离为2D ．直线1B C 与平面1ACD 所成角的余弦值为312．已知圆22:(1)(1)4M x y -+-=，直线:20l x y ++=，P 为直线l 上的动点，过点P 作圆M 的切线PA 、PB ，切点为A 、B ，则下列结论正确的是（）A ．四边形MAPB 面积的最小值为4B ．四边形MAPB 面积的最大值为8C ．当APB ∠最大时，PA =D ．当APB ∠最大时，直线AB 的方程为x y +=三、填空题13．直线:10l x y +-=被圆22:6430C x y x y ++--=截得的弦长为___________.14．在空间直角坐标系O xyz -中，向量()1,3,2v =-为平面ABC 的一个法向量，其中()1,1,A t -，()3,1,4B ，则向量AB的坐标为______．15．将数列{n }按“第n 组有n 个数”的规则分组如下：（1），(2，3)，(4，5，6)，…，则第22组中的第一个数是_________16．已知点F 是抛物线24x y =的焦点，点()1,2M ，点P 为抛物线上的任意一点，则PM PF +的最小值为_________.四、解答题17．已知直线()123:10,:20(0,0),:l a x y a l ax by a b l y x -+-=+-=>>=，直线1l 与3l 相交于点P ；(1)求点P 的坐标；(2)若2l 经过点P 且与两坐标轴围成的三角形的面积为2，求实数,a b 的值.18．如图，一抛物线型拱桥的拱顶O 离水面高4米，水面宽度10AB =米．现有一船只运送一堆由小货箱码成的长方体形的货物欲从桥下中央经过，已知长方体形货物总宽6米，高1.5米，货箱最底面与水面持平．(1)问船只能否顺利通过该桥？(2)已知每增加一层货箱，船体连货物高度整体上升4cm ；每减少一层货箱，船体连货物高度整体下降4cm ．且货物顶部与桥壁在竖直方向需留2cm 间隙方可通过，问船只最多增加或减少几层货箱可恰好能从桥下中央通过？19．已知圆C 的方程为：2224690()x y mx y m m R +--+-=∈.(1)求m 的值，使圆C 的周长最小；(2)过(1,2)P -作直线l ，使l 与满足（1）中条件的圆C 相切，求l 的方程，并求切线段的长.20．如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 满足AB AD ⊥，AB BC ⊥，SA ⊥底面ABCD ，且1SA AB BC ===，0.5=AD .(1)证明AD ∥平面SBC ；(2)求平面SBC 与平面SAD 的夹角.21．已知数列{}n a 的前n 项和为n S .()*22n n S a n N =-∈.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）从下面两个条件中选择一个填在横线上，并完成下面的问题.①24b =，48b =；②2b 是1b 和4b 的等比中项，872T =.若公差不为0的等差数列{}n b 的前n 项和为n T ，且______，求数列n n T na ⎧⎫⎨⎩⎭的前n 项和n A .22．已知ABC的两个顶点坐标分别为(B C ，该三角形的内切圆与边,,AB BC CA 分别相切于P ，Q ，S三点，且||2=AS ABC 的顶点A 的轨迹为曲线E ．(1)求E 的方程；(2)直线11:2l y x =-交E 于R ，V 两点．在线段VR 上任取一点T ，过T 作直线2l 与E 交于M ，N 两点，并使得T 是线段MN 的中点，试比较||||TM TN ⋅与||||⋅TV TR 的大小并加以证明．参考答案：1．D【分析】将0x =代入直线方程求y 值即可.【详解】令0x =，则20310y ⨯++=，得13y =-.所以直线在y 轴上的截距为13-.故选：D 2．D【分析】先求出a b +的坐标，再求出其模【详解】因为()0,1,4a = ，()1,1,0b =-，所以()1,0,4a b +=，故a b += 故选：D.3．C【分析】利用等差数列的前n 项和公式求解.【详解】∵{}n a 是等差数列，11a =，∴31333318S a d d =+=+=，得5d =，∴61656675812S a d ⨯=+=+=.故选：C.4．B【分析】讨论焦点的位置利用椭圆定义可得答案.【详解】若9m >，则由2=m 得1m =（舍去）；若09m <<，则由26m =得3m =．故选：B.5．C【分析】求出抛物线的焦点坐标，利用双曲线的渐近线方程得到a ，b 关系，求解即可．【详解】解：抛物线224x y =的焦点：(0,6)，可得6c =，且双曲线的焦点坐标在y 轴上，因为双曲线的渐近线的倾斜角为60︒，所以ab=223a b =，又22236c a b =+=，所以227a =，29b =，所求双曲线方程为：221279y x -=．故选：C ．6．B【分析】令,,AB a AC b AD c ===，利用空间向量的数量积运算律求解.【详解】令,,AB a AC b AD c ===，则AB CD AC DB AD BC ++ ，()()()a cb b ac c b a =-+-+- ，0a c a b b a b c c b c a =-+-+-=.故选：B 7．A【分析】首先求得点P 的轨迹，再利用圆心距与半径的关系，即可判断两圆的位置关系.2=，化简为：()2214x y ++=，动点P 的轨迹是以()1,0-为圆心，2为半径的圆，圆22(2)2x y -+=是以()2,0为半径的圆，两圆圆心间的距离32d =<所以两圆相交.故选：A 8．A【分析】根据等差中项写出式子，由递推式及求和公式写出62S 和64S ，进而得出结果.【详解】解：由n a ，1n 2+，1n a +成等差数列，可得121++=+n n a a n ，n N *∈则123a a +=，347a a +=，5611a a +=，L可得数列{}n a 中，每隔两项求和是首项为3，公差为4的等差数列.则6231303314195320202S ⨯=⨯+⨯=<，6432313324208020202S ⨯=⨯+⨯=>，则n 的最大值可能为63.由121++=+n n a a n ，n N *∈，可得1223+++=+n n a a n .()()()63123456263S a a a a a a a =+++++++ 159125a =++++ 113130315420152a a ⨯=+⨯+⨯=+因为123a a +=，123a a =-，23a <，即23a ->-，所以10a >，则63120152015S a =+>，当且仅当15a =时，632020S =，符合题意，故n 的最大值为63.故选：A.【点睛】本题考查等差数列的性质和递推式的应用，考查分析问题能力，属于难题.9．AD【分析】由已知条件计算可得数列{}n a 是以3为周期的周期数列，从而可求得答案【详解】因为13a =，且111n n a a +=-+，所以211114a a =-=-+，3211411314a a =-=-=-+-+，431134113a a =-=-=+-+，所以数列{}n a 是以3为周期的周期数列，所以313,k a k N +=∈，所以n 可以是1，4，7，10，13，16，19，22，25，28，31，……故选：AD 10．BCD【分析】根据给定条件结合各选项中的问题，逐一分析计算即可判断作答.【详解】由椭圆22:12x C y +=得：长半轴长a =1b =，半焦距1c =，对于A，椭圆的离心率e =A 错误；对于B ，因弦AB 过焦点F 1，则2ABF △的周长为1212||||||||44AF AF BF BF a +++==，B 正确；对于C ，令点P 的纵坐标为P y ，于是得△12PF F 面积1211||||2||122P P S F F y c y b =⋅=⋅⋅≤=，当且仅当点P 为短轴端点时取“=”，C 正确；对于D ，由余弦定理得：222212121212||||||2||||cos60(||||)F F PF PF PF PF PF PF =+-︒=+123||||PF PF -，即()()2212223c a PF PF =-，解得124||||3PF PF =，因此，△12PF F面积为12114||||sin 2323S PF PF π==⨯D 正确.故选：BCD 11．BD【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，利用坐标得到11BC AD =，即可判断选项A ；利用向量法证明111,B D AD B D AC ⊥⊥，即可判断选项B ；利用向量法求出点1B 到平面1ACD 的距离即可判断选项C ；利用向量法求出直线B 1C 与平面1ACD 所成角的余弦值即可判断选项D.【详解】建立如图所示的空间直角坐标系：111(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0),(1,1,1),(0,1,1),(0,0,1)A B C B C D .A ：11(1,0,1),(1,0,1)BC AD =-=-，因为11BC AD =，所以11//BC AD ，因此该选项不正确；B ：11(1,1,1),(1,0,1),(1,1,0)B D AD AC =---=-=-，因为111(1,1,1)(1,0,1)0,(1,1,1)(1,1,0)0B D AD B D AC ⋅=---⋅-=⋅=---⋅-=，所以111,B D AD B D AC ⊥⊥，而11,,AC AD A AC AD =⊂ 平面ACD 1，因此1B D ⊥平面ACD 1，所以该选项正确；C ：因为1BD ⊥平面ACD 1，所以1B D 是平面ACD 1的法向量，1(1,0,1)B C =--，所以点B 1到平面ACD 1的距离为1113B C B DB D⋅=，因此该选项不正确；D ：设直线B 1C 与平面1ACD 所成角为θ，则111111sin cos 3B C B D B C B D B C B Dθ⋅=⋅=⋅，所以直线B 1C 与平面1ACD因此该选项正确.故选：BD.12．AD【分析】分析可知当MP l ⊥时，四边形MAPB 面积最小，且APB∠最大，利用三角形的面积公式可判断A 、B 选项，分析出四边形MAPB 为正方形，利用正方形的几何性质可判断C 、D 选项.【详解】如下图所示：由圆的几何性质可得MA PA ⊥，MB PB ⊥，圆()1,1M ，半径为2，对于A ，由切线长定理可得PA PB =，又因为MA MB =，MP MP =，所以，PAM PBM ≅ ，所以四边形MAPB 的面积22PAM S S PA AM PA ==⋅=△，因为PA ==MP l ⊥时，MP 取最小值，且min MP ==，所以，四边形MAPB 的面积的最小值为24S =，故A 正确；对于B ，因为MP 无最大值，即PA 无最大值，故四边形MAPB 面积无最大值，故B 错误；对于C ，因为APM ∠为锐角，2APB APM ∠=∠，且2sin AM APM MPMP∠==，故当MP 最小时，APM ∠最大，此时APB ∠最大，此时2PA =，故C 错误；对于D ，由上可知，当APB ∠最大时，2PA PB MA MB ====且90PAM ∠= ，故四边形MAPB 为正方形，且有MP l ⊥，直线:20l x y ++=，()1,1M ，则MP 的方程为y x =，联立20y x x y =⎧⎨++=⎩，可得11x y =-⎧⎨=-⎩，即点()1,1P --，由正方形的几何性质可知，直线AB 过线段MP 的中点()0,0O ，此时直线AB 的方程为y x =-，故D 正确．故选：AD ．13．【分析】利用勾股定理求得弦长.【详解】因为圆C 的圆心为(3,2)-，半径r 4=，圆心到直线l 的距离d =故直线l 被圆C 截得的弦长为=.故答案为：14．()2,2,4【分析】根据向量()1,3,2v =-为平面ABC 的一个法向量，由0AB v ⋅=求解.【详解】因为()1,1,A t -，()3,1,4B ，所以()2,2,4AB t =- ，又因为向量()1,3,2v =-为平面ABC 的一个法向量，所以()1232240AB v t ⋅=⨯+⨯-⨯-= ，解得0=t ，所以()2,2,4AB = ，故答案为：()2,2,415．232【分析】由已知，第n 组中最后一个数即为前n 组数的个数和，由此可求得第21组的最后一个数，从而就可得第22组的第一个数.【详解】由条件可知，第21组的最后一个数为21(121)1234521=2312⨯+++++++= ，所以第22组的第1个数为232.故答案为：23216．3【分析】根据抛物线的定义可求最小值.【详解】如图，过P 作抛物线准线1y =-的垂线，垂足为Q ，连接MQ ，则213PM PF PM PQ MQ +=+≥≥+=，当且仅当,,M P Q 共线时等号成立，故PM PF +的最小值为3，故答案为：3.17．(1)()1,1P (2)1a b ==【分析】（1）通过联立1l 和3l 的方程来求得P 点的坐标.（2）先求得直线2l 的横纵截距，利用2l 与两坐标轴围成的三角形的面积列方程来求得,a b .【详解】（1）依题意0,0a b >>，由()10a x y a y x⎧-+-=⎨=⎩解得1x y ==，所以()1,1P .（2）依题意0,0a b >>，由于2l 经过点P ，所以20,2a b a b +-=+=①，由20ax by +-=令0x =得2y b=，令0y =得2x a =，所以12222,12ab b a ab⨯⨯===②，由①②解得1a b ==.18．(1)货箱能顺利通过该桥；(2)增加26层.【分析】（1）以O 为原点，过O 垂直于AB 的直线为y 轴，建立如图所示平面直角坐标系．求出抛物线的方程为2254x y =-，可设C (3,4)-，过C 作AB 的垂线，交抛物线于D ，求出||CD 即得解；（2）求出货物超出高度即得解.【详解】（1）以O 为原点，过O 垂直于AB 的直线为y 轴，建立如图所示平面直角坐标系．设抛物线方程为2x my ＝，根据题意知点B 在抛物线上；∴25＝—4m ，∴254m =-，∴2254x y =-；可设C (3,4)-，过C 作AB 的垂线，交抛物线于D ，则02594y =-，∴03625y =-．∵3664(4) 1.52525CD =---=>．∴货箱能顺利通过该桥．（2）由题知，货物超出高度为64(1.5)100106()25cm -⨯=，因为每增加一层船体连货物高度整体上升4cm ，且货物与桥壁需留下2cm 间隙．所以需要增加层数为1062264-=层，因此，船只能顺利通过该桥，可以增加26层可恰好能从中央通过．19．(1)3m =(2)直线方程为1x =或34110x y --=，切线段长度为4【分析】（1）先求圆的标准方程222()(2)(3)4x m y m -+-=-+，由半径最小则周长最小；（2）由3m =，则圆的方程为：22(3)(2)4x y -+-=，直线和圆相切则圆心到直线的距离等于半径，分直线与x 轴垂直和直线与x 轴不垂直两种情况进行讨论即可得解.进一步，利用圆的几何性质可求解切线的长度.【详解】（1）2224690x y mx y m +--+-=，配方得：222()(2)(3)4x m y m -+-=-+，当3m =时，圆C 的半径有最小值2，此时圆的周长最小.（2）由（1）得，3m =，圆的方程为：22(3)(2)4x y -+-=.当直线与x 轴垂直时，1x =，此时直线与圆相切，符合条件；当直线与x 轴不垂直时，设为(1)2y k x =--，2=，解得34k =，所以切线方程为31144y x =-，即34110x y --=.综上，直线方程为1x =或34110x y --=.圆心与点P 的距离d ==，4=.20．(1)证明见解析(2)4π【分析】（1）由已知结合线面平行判定定理可得；（2）建立空间直角坐标系，由向量法可解.【详解】（1）∵AB AD ⊥，AB BC ⊥，∴AD BC ∥，又AD ⊂平面SBC ，BC ⊄平面SBC ，∴BC ∥平面SAD ；（2）∵SA ⊥平面ABCD 且AB 、ADC ⊂平面ABCD ，∴SA AB ⊥，SA AD ⊥，又∵AB AD ⊥，故分别以,,AD AB AS 所在直线为x 轴，y 轴、z 轴，建立如图空间直角坐标系，如图所示：由1SA AB BC ===，12AD =，可得：(0,0,0)A ，(0,1,0)B ，(1,1,0)C ，1(,0,0)2D ，(0,0,1)S ，由已知SA ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，SA AB ⊥，AB AD ⊥，SA AD A = ，SA ，AD ⊂平面SAD ，所以AB ⊥平面SAD ，AB∴ 为平面SAD 的一个法向量，且(0,1,0)AB = ；设(,,)n x y z = 为平面SBC 的一个法向量，则n BC ⊥ ，n SB ⊥ ，n BC ∴⋅= ，0n SB ⋅= ，(1,0,0)BC = ，(0,1,1)SB =- ，00x y z =⎧∴⎨-=⎩，令1z =，则0x =，1y =，(0,1,1)n ∴= ，设平面SAD 与平面SBC 的夹角大小为θ，12cos |cos ,|212AB n θ∴=<>==⨯ ，由(0,]2πθ∈得：平面SCD 与平面SAB 的夹角大小为.4π21．（1）2n n a =；（2）选择①：332n n +-；选择②：332nn +-.【解析】（1）由数列n a 与n S 的关系转化条件为()122n n a a n -=≥，结合等比数列的性质即可得解；（2）设数列{}n b 的公差为d ，若选择①，由等差数列的通项公式列方程可得12b d ==，进而可得2n Tn n =+，再结合错位相减法即可得解；若选择②，由等比中项的性质结合等差数列的通项公式、前n 项和公式可得12b d ==，再结合错位相减法即可得解.【详解】（1）当1n =时，11122a S a ==-，可得12a =；当2n ≥时，1122n n S a --=-，所以1122n n n n n a S S a a --=-=-，即()122n n a a n -=≥，因为120a =≠，所以数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，所以1222n n n a -=⋅=；（2）设数列{}n b 的公差为d ，若选择①，由题意11438b d b d +=⎧⎨+=⎩，解得12b d ==；所以()21222n n n T n n n -=⨯+⨯=+，由（1）得，2n n a =，所以()2111222n n n nn T n n n n na n ++===+⨯⋅，所以()12111112312222n n nA n n -=⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯++⨯，()231111123122222n n n A n n +=⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯++⨯，两式相减得()23411111111222222n n n A n +⎛⎫=++++⋅⋅⋅+-+⨯ ⎪⎝⎭()1111114213311122212n n n n n -++⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭+⎢⎥⎣⎦=+-+⨯=--，所以332n n n A +=-；若选择②，有2214b b b =⋅，即()()21113b d b b d +=⋅+，即21b d d =，因为0d ≠，所以1b d =，所以8187728362T b d d ⨯==+=，解得12b d ==，所以()21222n n n T n n n -=⨯+⨯=+，由（1）得，2nn a =，所以()2111222n n n n n T n n n n na n ++===+⨯⋅，所以()12111112312222n n nA n n -=⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯++⨯，()231111123122222n n n A n n +=⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯++⨯.两式相减，得()23411111111222222n n n A n +⎛⎫=++++⋅⋅⋅+-+⨯ ⎪⎝⎭()1111114213311122212n n n n n -++⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭+⎢⎥⎣⎦=+-+⨯=--，所以332n n n A +=-.【点睛】关键点点睛：（1）当条件中同时出现n a 与n S ，要注意n a 与n S 关系的应用；（2）要明确错位相减法的适用条件和使用方法，细心运算.22．(1)221(0)4x y y +=≠(2)大小关系不确定；证明见解析【分析】（1）由题可得||||4AB AC +=，可得轨迹为椭圆，即可求出方程；（2）设()()1122,,,M x y N x y ，代入椭圆，相减可得斜率关系，利用弦长公式求出21||||||4TM TN MN ⋅=，再求出||||⋅TV TR 可比较.【详解】（1）由内切圆的性质得||||2||||4||+=+=>AB AC AS BC BC ，所以曲线E 是以B ，C 为焦点，4为长轴长的椭圆，且A ，B ，C 不共线，则2,a c ==2221b a c =-=，故E 的方程为221(0)4x y y +=≠．（2）当T 不为坐标原点时，设()()1122,,,M x y N x y ，则221122221,41,4x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩两式相减得()()()()1212121214+-=-+-y y y y x x x x ，即1214=-l l k k ，所以212l k =，设21:2=+l y x m ，联立方程组221,2440,y x m x y ⎧=+⎪⎨⎪+-=⎩整理得222220x mx m ++-=，221212840,2,22∆=->+=-=-m x x m x x m ．因为T 是线段MN 的中点，所以()()222121211||||||44⎡⎤⋅==-+-⎣⎦TM TN MN x x y y ()()2212125542164⎡⎤=+-=-⎣⎦x x x x m ．联立方程组221,2440,y x x y ⎧=-⎪⎨⎪+-=⎩解得,⎛ ⎭⎝⎭V R ．联立方程组1,21,2y x y x m ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩解得,2⎛⎫- ⎪⎝⎭m T m ，所以()25||||))24⋅==-TV TR m m m ，故||||||||⋅=⋅TM TN TV TR ．当T 为坐标原点时，由对称性知，5||||[1,4),||||,||||2⋅∈⋅=⋅TM TN TV TR TM TN 与||||⋅TV TR 的大小关系不确定．。

2019-2020年高二下学期期末数学试卷（文科）含解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设全集U=R，A={x|x（x﹣2）＜0}，B={x|x﹣1＞0}，则A∩B=（）A．（﹣2，1）B．[1，2）C．（﹣2，1] D．（1，2）2．已知数列…，则2是这个数列的（）A．第6项B．第7项C．第11项D．第19项3．下列四个命题中的真命题为（）A．∃x0∈Z，1＜4x0＜3 B．∃x0∈Z，5x0+1=0C．∀x∈R，x2﹣1=0 D．∀x∈R，x2+x+2＞04．函数y=在x=1处的导数等于（）A．1 B．2 C．3 D．45．“a=﹣2”是“复数z=（a2﹣4）+（a+1）i（a，b∈R）为纯虚数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件6．已知a=30.2，b=log64，c=log32，则a，b，c的大小关系为（）A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a7．设函数f（x）（x∈R）为奇函数，f（1）=，f（x+2）=f（x）+f（2），则f（5）=（）A．0 B．1 C．D．58．高二第二学期期中考试，按照甲、乙两个班级学生数学考试成绩优秀和不优秀统计后，得到如表：A．0.600 B．0.828 C．2.712 D．6.0049．已知函数f（x）=x|x|﹣2x，则下列结论正确的是（）A．f（x）是偶函数，递增区间是（0，+∞）B．f（x）是偶函数，递减区间是（﹣∞，1）C．f（x）是奇函数，递减区间是（﹣1，1）D．f（x）是奇函数，递增区间是（﹣∞，0）10．为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为a0a1a2，a i∈{0，1}（i=0，1，2），传输信息为h0a0a1a2h1，其中h0=a0⊕a1，h1=h0⊕a2，⊕运算规则为：0⊕0=0，0⊕1=1，1⊕0=1，1⊕1=0，例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是（）A．11010 B．01100 C．10111 D．00011二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．设复数z满足（1﹣i）z=2i，则z=_______．12．函数y=的值域为_______．13．若P=﹣1，Q=﹣，则P与Q的大小关系是_______．14．已知变量x，y具有线性相关关系，测得（x，y）的一组数据如下：（0，1），（1，2），（2，4），（3，5），其回归方程为=1.4x+a，则a的值等于_______．15．已知函数则的值为_______．16．按程序框图运算：若x=5，则运算进行_______次才停止；若运算进行3次才停止，则x的取值范围是_______．三、解答题（本大题共5小题，共52分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知函数f（x）=log a（x+1）﹣log a（1﹣x），a＞0且a≠1．（1）求f（x）的定义域；（2）判断f（x）的奇偶性并予以证明．18．命题p方程：x2+mx+1=0有两个不等的实根，命题q：方程4x2+4（m+2）x+1=0无实根．若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求m的取值范围．19．在边长为60cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起（如图），做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？20．已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R）．（Ⅰ）若a=2，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）设g（x）=x2﹣2x+2，若对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），求a的取值范围．21．在无穷数列{a n}中，a1=1，对于任意n∈N*，都有a n∈N*，且a n＜a n+1．设集合A m={n|a n ≤m，m∈N*}，将集合A m中的元素的最大值记为b m，即b m是数列{a n}中满足不等式a n≤m的所有项的项数的最大值，我们称数列{b n}为数列{a n}的伴随数列．例如：数列{a n}是1，3，4，…，它的伴随数列{b n}是1，1，2，3，…．（I）设数列{a n}是1，4，5，…，请写出{a n}的伴随数列{b n}的前5项；（II）设a n=3n﹣1（n∈N*），求数列{a n}的伴随数列{b n}的前20项和．2015-2016学年北京市东城区高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设全集U=R，A={x|x（x﹣2）＜0}，B={x|x﹣1＞0}，则A∩B=（）A．（﹣2，1）B．[1，2）C．（﹣2，1] D．（1，2）【考点】交集及其运算．【分析】先求出不等式x（x﹣2）＜0的解集，即求出A，再由交集的运算求出A∩B．【解答】解：由x（x﹣2）＜0得，0＜x＜2，则A={x|0＜x＜2}，B={x|x﹣1＞0}={x|x＞1}，∴A∩B═{x|1＜x＜2}=（1，2），故选D．2．已知数列…，则2是这个数列的（）A．第6项B．第7项C．第11项D．第19项【考点】数列的概念及简单表示法．【分析】本题通过观察可知：原数列每一项的平方组成等差数列，且公差为3，即a n2﹣a n﹣12=3从而利用等差数列通项公式an2=2+（n﹣1）×3=3n﹣1=20，得解，n=7【解答】解：数列…，各项的平方为：2，5，8，11，…则a n2﹣a n﹣12=3，又∵a12=2，∴a n2=2+（n﹣1）×3=3n﹣1，令3n﹣1=20，则n=7．故选B．3．下列四个命题中的真命题为（）A．∃x0∈Z，1＜4x0＜3 B．∃x0∈Z，5x0+1=0 C．∀x∈R，x2﹣1=0 D．∀x∈R，x2+x+2＞0【考点】四种命题的真假关系．【分析】注意判断区分∃和∀．【解答】解：A错误，因为，不存在x0∉ZB错误，因为C错误，x=3时不满足；D中，△＜0，正确，故选D答案：D4．函数y=在x=1处的导数等于（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】导数的运算．【分析】先求原函数的导函数，再把x=1的值代入即可．【解答】解：∵y′=，∴y′|x=1==1．故选：A．5．“a=﹣2”是“复数z=（a2﹣4）+（a+1）i（a，b∈R）为纯虚数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；复数的基本概念．【分析】把a=﹣2代入复数，可以得到复数是纯虚数，当复数是纯虚数时，得到的不仅是a=﹣2这个条件，所以得到结论，前者是后者的充分不必要条件．【解答】解：a=﹣2时，Z=（22﹣4）+（﹣2+1）i=﹣i是纯虚数；Z为纯虚数时a2﹣4=0，且a+1≠0∴a=±2．∴“a=2”可以推出“Z为纯虚数”，反之不成立，故选A．6．已知a=30.2，b=log64，c=log32，则a，b，c的大小关系为（）A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a【考点】对数值大小的比较．【分析】a=30.2＞1，利用换底公式可得：b=log64=，c=log32=，由于1＜log26＜log29，即可得出大小关系．【解答】解：∵a=30.2＞1，b=log64=，c=log32==，∵1＜log26＜log29，∴1＞b＞c，则a＞b＞c，故选：B．7．设函数f（x）（x∈R）为奇函数，f（1）=，f（x+2）=f（x）+f（2），则f（5）=（）A．0 B．1 C．D．5【考点】函数奇偶性的性质；函数的值．【分析】利用奇函数的定义、函数满足的性质转化求解函数在特定自变量处的函数值是解决本题的关键．利用函数的性质寻找并建立所求的函数值与已知函数值之间的关系，用到赋值法．【解答】解：由f（1）=，对f（x+2）=f（x）+f（2），令x=﹣1，得f（1）=f（﹣1）+f（2）．又∵f（x）为奇函数，∴f（﹣1）=﹣f（1）．于是f（2）=2f（1）=1；令x=1，得f（3）=f（1）+f（2）=，于是f（5）=f（3）+f（2）=．故选：C．8．高二第二学期期中考试，按照甲、乙两个班级学生数学考试成绩优秀和不优秀统计后，得到如表：A．0.600 B．0.828 C．2.712 D．6.004【考点】独立性检验的应用．【分析】本题考查的知识点是独立性检验公式，我们由列联表易得：a=11，b=34，c=8，d=37，代入K2的计算公式：K2=即可得到结果．【解答】解：由列联表我们易得：a=11，b=34，c=8，d=37则K2===0.6004≈0.60故选A9．已知函数f（x）=x|x|﹣2x，则下列结论正确的是（）A．f（x）是偶函数，递增区间是（0，+∞）B．f（x）是偶函数，递减区间是（﹣∞，1）C．f（x）是奇函数，递减区间是（﹣1，1）D．f（x）是奇函数，递增区间是（﹣∞，0）【考点】函数奇偶性的判断．【分析】根据奇函数的定义判断函数的奇偶性，化简函数解析式，画出函数的图象，结合图象求出函数的递减区间．【解答】解：由函数f（x）=x|x|﹣2x 可得，函数的定义域为R，且f（﹣x）=﹣x|﹣x|﹣2（﹣x ）=﹣x|x|+2x=﹣f（x），故函数为奇函数．函数f（x）=x|x|﹣2x=，如图所示：故函数的递减区间为（﹣1，1），故选C．10．为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为a0a1a2，a i∈{0，1}（i=0，1，2），传输信息为h0a0a1a2h1，其中h0=a0⊕a1，h1=h0⊕a2，⊕运算规则为：0⊕0=0，0⊕1=1，1⊕0=1，1⊕1=0，例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是（）A．11010 B．01100 C．10111 D．00011【考点】抽象函数及其应用．【分析】首先理解⊕的运算规则，然后各选项依次分析即可．【解答】解：A选项原信息为101，则h0=a0⊕a1=1⊕0=1，h1=h0⊕a2=1⊕1=0，所以传输信息为11010，A选项正确；B选项原信息为110，则h0=a0⊕a1=1⊕1=0，h1=h0⊕a2=0⊕0=0，所以传输信息为01100，B 选项正确；C选项原信息为011，则h0=a0⊕a1=0⊕1=1，h1=h0⊕a2=1⊕1=0，所以传输信息为10110，C 选项错误；D选项原信息为001，则h0=a0⊕a1=0⊕0=0，h1=h0⊕a2=0⊕1=1，所以传输信息为00011，D 选项正确；故选C．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．设复数z满足（1﹣i）z=2i，则z=﹣1+i．【考点】复数相等的充要条件；复数代数形式的乘除运算．【分析】由条件利用两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，计算求得结果．【解答】解：∵复数z满足（1﹣i）z=2i，则z====﹣1+i，故答案为：﹣1+i．12．函数y=的值域为{y|y≠2} ．【考点】函数的值域．【分析】函数y===2+，利用反比例函数的单调性即可得出．【解答】解：函数y===2+，当x＞1时，＞0，∴y＞2．当x＜1时，＜0，∴y＜2．综上可得：函数y=的值域为{y|y≠2}．故答案为：{y|y≠2}．13．若P=﹣1，Q=﹣，则P与Q的大小关系是P＞Q．【考点】不等式比较大小．【分析】利用作差法，和平方法即可比较大小．【解答】解：∵P=﹣1，Q=﹣，∴P﹣Q=﹣1﹣+=（+）﹣（+1）∵（+）2=12+2，（ +1）2=12+2∴+＞+1，∴P﹣Q＞0，故答案为：P＞Q14．已知变量x，y具有线性相关关系，测得（x，y）的一组数据如下：（0，1），（1，2），（2，4），（3，5），其回归方程为=1.4x+a，则a的值等于0.9．【考点】线性回归方程．【分析】求出横标和纵标的平均数，写出样本中心点，把样本中心点代入线性回归方程，得到关于a的方程，解方程即可．【解答】解：∵==1.5，==3，∴这组数据的样本中心点是（1.5，3）把样本中心点代入回归直线方程，∴3=1.4×1.5+a，∴a=0.9．故答案为：0.9．15．已知函数则的值为﹣．【考点】函数的值；函数迭代．【分析】由题意可得=f（﹣）=3×（﹣），运算求得结果．【解答】解：∵函数，则=f（﹣）=3×（﹣）=﹣，故答案为﹣．16．按程序框图运算：若x=5，则运算进行4次才停止；若运算进行3次才停止，则x 的取值范围是（10，28] ．【考点】循环结构．【分析】本题的考查点是计算循环的次数，及变量初值的设定，在算法中属于难度较高的题型，处理的办法为：模拟程序的运行过程，用表格将程序运行过程中各变量的值进行管理，并分析变量的变化情况，最终得到答案．【解答】解：（1）程序在运行过程中各变量的值如下表示：x x 是否继续循环循环前5∥第一圈15 13 是第二圈39 37 是第三圈111 109 是第四圈327 325 否故循环共进行了4次；（2）由（1）中数据不难发现第n圈循环结束时，经x=（x0﹣1）×3n+1：x 是否继续循环循环前x0/第一圈（x0﹣1）×3+1 是第二圈（x0﹣1）×32+1 是第三圈（x0﹣1）×33+1 否则可得（x0﹣1）×32+1≤244且（x0﹣1）×33+1＞244解得：10＜x0≤28故答案为：4，（10，28]三、解答题（本大题共5小题，共52分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知函数f（x）=log a（x+1）﹣log a（1﹣x），a＞0且a≠1．（1）求f（x）的定义域；（2）判断f（x）的奇偶性并予以证明．【考点】函数奇偶性的判断；函数的定义域及其求法．【分析】（1）使函数各部分都有意义的自变量的范围，即列出不等式组，解此不等式组求出x范围就是函数的定义域；（2）根据函数奇偶性的定义进行证明即可．【解答】解：（1）由题得，使解析式有意义的x范围是使不等式组成立的x范围，解得﹣1＜x＜1，所以函数f（x）的定义域为{x|﹣1＜x＜1}．（2）函数f（x）为奇函数，证明：由（1）知函数f（x）的定义域关于原点对称，且f（﹣x）=log a（﹣x+1）﹣log a（1+x）=﹣log a（1+x）+log a（1﹣x）=﹣[log a（1+x）﹣log a （1﹣x）]=﹣f（x）所以函数f（x）为奇函数．18．命题p方程：x2+mx+1=0有两个不等的实根，命题q：方程4x2+4（m+2）x+1=0无实根．若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求m的取值范围．【考点】复合命题的真假．【分析】先将命题p，q分别化简，然后根据若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，判断出p，q一真一假，分类讨论即可．【解答】解：由题意命题P：x2+mx+1=0有两个不等的实根，则△=m2﹣4＞0，解得m＞2或m＜﹣2，命题Q：方程4x2+4（m+2）x+1=0无实根，则△＜0，解得﹣3＜m＜﹣1，若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，则p，q一真一假，（1）当P真q假时：，解得m≤﹣3，或m＞2，（2）当P假q真时：，解得﹣2≤m＜﹣1，综上所述：m的取值范围为m≤﹣3，或m＞2，或﹣2≤m＜﹣1．19．在边长为60cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起（如图），做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？【考点】函数模型的选择与应用；基本不等式在最值问题中的应用．【分析】先设箱底边长为xcm，则箱高cm，得箱子容积，再利用导数的方法解决，应注意函数的定义域．【解答】解：设箱底边长为xcm，则箱高cm，得箱子容积（0＜x＜60）．（0＜x＜60）令=0，解得x=0（舍去），x=40，并求得V（40）=16 000由题意可知，当x过小（接近0）或过大（接近60）时，箱子容积很小，因此，16 000是最大值答：当x=40cm时，箱子容积最大，最大容积是16 000cm320．已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R）．（Ⅰ）若a=2，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）设g（x）=x2﹣2x+2，若对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），求a的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）把a的值代入f（x）中，求出f（x）的导函数，把x=1代入导函数中求出的导函数值即为切线的斜率，可得曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）求出f（x）的导函数，分a大于等于0和a小于0两种情况讨论导函数的正负，进而得到函数的单调区间；（Ⅲ）对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），等价于f（x）max＜g（x）max，分别求出相应的最大值，即可求得实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由已知，f'（1）=2+1=3，所以斜率k=3，又切点（1，2），所以切线方程为y﹣2=3（x﹣1）），即3x﹣y﹣1=0故曲线y=f（x）在x=1处切线的切线方程为3x﹣y﹣1=0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）①当a≥0时，由于x＞0，故ax+1＞0，f'（x）＞0，所以f（x）的单调递增区间为（0，+∞）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣②当a＜0时，由f'（x）=0，得．在区间上，f'（x）＞0，在区间上，f'（x）＜0，所以，函数f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅲ）由已知，转化为f（x）max＜g（x）max．g（x）=（x﹣1）2+1，x∈[0，1]，所以g （x）max=2由（Ⅱ）知，当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，值域为R，故不符合题意．（或者举出反例：存在f（e3）=ae3+3＞2，故不符合题意．）当a＜0时，f（x）在上单调递增，在上单调递减，故f（x）的极大值即为最大值，，所以2＞﹣1﹣ln（﹣a），解得．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣21．在无穷数列{a n}中，a1=1，对于任意n∈N*，都有a n∈N*，且a n＜a n+1．设集合A m={n|a n ≤m，m∈N*}，将集合A m中的元素的最大值记为b m，即b m是数列{a n}中满足不等式a n≤m的所有项的项数的最大值，我们称数列{b n}为数列{a n}的伴随数列．例如：数列{a n}是1，3，4，…，它的伴随数列{b n}是1，1，2，3，…．（I）设数列{a n}是1，4，5，…，请写出{a n}的伴随数列{b n}的前5项；（II）设a n=3n﹣1（n∈N*），求数列{a n}的伴随数列{b n}的前20项和．【考点】数列的求和；数列的应用．【分析】（I）由{a n}伴随数列{b n}的定义可得前5项为1，1，1，2，3．（II）由a n=3n﹣1≤m，可得n≤1+log3m，m∈N*，分类讨论：当1≤m≤2时，m∈N*，b1=b2=1；当3≤m≤8时，m∈N*，b3=b4=…=b8=2；当9≤m≤20时，m∈N*，b9=b10=…=3；即可得出数列{a n}的伴随数列{b n}的前20项和．【解答】解：（Ⅰ）数列1，4，5，…的伴随数列{b n}的前5项1，1，1，2，3；（Ⅱ）由，得n≤1+log3m（m∈N*）．∴当1≤m≤2，m∈N*时，b1=b2=1；当3≤m≤8，m∈N*时，b3=b4=…=b8=2；当9≤m≤20，m∈N*时，b9=b10=…=b20=3．∴b1+b2+…+b20=1×2+2×6+3×12=50．2016年9月9日。

广东省珠海市中考数学试卷一、选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1．（3分）（•珠海）的倒数是（）A．B．C．2 D．﹣2考点：倒数．分析：根据倒数的定义求解．解答：解：∵×2=1，∴的倒数是2．故选C．点评：倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数2．（3分）（•珠海）计算﹣3a2×a3的结果为（）A．﹣3a5 B．3a6 C．﹣3a6 D．3a5考点：单项式乘单项式．分析：利用单项式相乘的运算性质计算即可得到答案．解答：解：﹣3a2×a3=﹣3a2+3=﹣3a5，故选A．点评：本题考查了单项式的乘法，属于基础题，比较简单，熟记单项式的乘法的法则是解题的关键．3．（3分）（•珠海）一元二次方程x2+x+=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．无实数根 D．无法确定根的情况考点：根的判别式．分析：求出△的值即可判断．解答：解：一元二次方程x2+x+=0中，∵△=1﹣4×1×=0，∴原方程由两个相等的实数根．故选B．点评：本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．4．（3分）（•珠海）一次掷两枚质地均匀的硬币，出现两枚硬币都正面朝上的概率是（）A．B． C． D．考点：列表法与树状图法．分析：先列举出同时掷两枚质地均匀的硬币一次所有四种等可能的结果，然后根据概率的概念即可得到两枚硬币都是正面朝上的概率．解答：解：同时掷两枚质地均匀的硬币一次，共有正正、反反、正反、反正四种等可能的结果，两枚硬币都是正面朝上的占一种，所以两枚硬币都是正面朝上的概率=．故选D．点评：本题考查了用列表法与树状图法求概率的方法：先利用列表法与树状图法表示所有等可能的结果n，然后找出某事件出现的结果数m，最后计算P=．5．（3分）（•珠海）如图，在⊙O中，直径CD垂直于弦AB，若∠C=25°，则∠BOD的度数是（）A．25° B．30° C．40° D．50考点：圆周角定理；垂径定理．分析：由“等弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半”推知∠DOB=2∠C，得到答案．解答：解：∵在⊙O中，直径CD垂直于弦AB，∴=，∴∠DOB=2∠C=50°．故选：D．点评：本题考查了圆周角定理、垂径定理．圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）6．（4分）（•珠海）若分式有意义，则x应满足x≠5．考点：分式有意义的条件．分析：根据分式的分母不为零分式有意义，可得答案．解答：解：要使分式有意义，得x﹣5≠0，解得x≠5，故答案为：x≠5．点评：本题考查了分式有意义的条件，分式的分母不为零分式有意义7．（4分）（•珠海）不等式组的解集是﹣2≤x＜3．考点：解一元一次不等式组．分析：首先分别计算出两个不等式的解集，再根据大小小大中间找确定不等式组的解集．解答：解：，由①得：x≥﹣2，由②得：x＜3，不等式组的解集为：﹣2≤x＜3，故答案为：﹣2≤x＜3．点评：此题主要考查了解一元一次不等式组，关键是掌握解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．8．（4分）（•珠海）填空：x2+10x+25=（x+5）2．考点：完全平方式．分析：完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2，从公式上可知．解答：解：∵10x=2×5x，∴x2+10x+52=（x+5）2．故答案是：25；5．点评：本题考查了完全平方公式，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．要求熟悉完全平方公式，并利用其特点解题9．（4分）（•珠海）用半径为12cm，圆心角为90°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则该圆锥底面圆的半径为3cm．考点：圆锥的计算．分析：根据扇形的弧长等于圆锥的底面周长，利用扇形的弧长公式即可求得圆锥的底面周长，然后根据圆的周长公式即可求解．解答：解：圆锥的底面周长是：=6π．设圆锥底面圆的半径是r，则2πr=6π．解得：r=3．故答案是：3．点评：本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．10．（4分）（•珠海）如图，在△A1B1C1中，已知A1B1=7，B1C1=4，A1C1=5，依次连接△A1B1C1三边中点，得△A2B2C2，再依次连接△A2B2C2的三边中点得△A3B3C3，…，则△A5B5C5的周长为1．考点：三角形中位线定理．专题：规律型．分析：由三角形的中位线定理得：A2B2、B2C2、C2A2分别等于A1B1、B1C1、C1A1的一半，所以△A2B2C2的周长等于△A1B1C1的周长的一半，以此类推可求出△A5B5C5的周长为△A1B1C1的周长的．解答：解：∵A2B2、B2C2、C2A2分别等于A1B1、B1C1、C1A1的一半，∴以此类推：△A5B5C5的周长为△A1B1C1的周长的，∴则△A5B5C5的周长为（7+4+5）÷16=1．故答案为：1点评：本题主要考查了三角形的中位线定理，关键是根据三角形的中位线定理得：A2B2、B2C2、C2A2分别等于A1B1、B1C1、C1A1的一半，所以△A2B2C2的周长等于△A1B1C1的周长的一半．三、解答题（一）（共5小题，每小题6分，共30分）11．（6分）（•珠海）计算：﹣12﹣2+50+|﹣3|．考点：实数的运算；零指数幂．专题：计算题．分析：原式第一项利用乘方的意义化简，第二项利用算术平方根定义计算，第三项利用零指数幂法则计算，最后一项利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果．解答：解：原式=﹣1﹣2×3+1+3=﹣1﹣6+1+3=﹣3．点评：此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．12．（6分）（•珠海）先化简，再求值：（﹣）÷，其中x=．考点：分式的化简求值．分析：先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可．解答：解：原式=÷=•（x+1）（x﹣1）=x2+1，当x=时，原式=（）2+1=3．点评：本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键13．（6分）（•珠海）如图，在平行四边形ABCD中，AB＜BC．（1）利用尺规作图，在BC边上确定点E，使点E到边AB，AD的距离相等（不写作法，保留作图痕迹）；（2）若BC=8，CD=5，则CE=3．考点：作图—复杂作图；平行四边形的性质．分析：（1）根据角平分线上的点到角的两边距离相等知作出∠A的平分线即可；（2）根据平行四边形的性质可知AB=CD=5，AD∥BC，再根据角平分线的性质和平行线的性质得到∠BAE=∠BEA，再根据等腰三角形的性质和线段的和差关系即可求解．解答：解：（1）如图所示：E点即为所求．（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD=5，AD∥BC，∴∠DAE=∠AEB，∵AE是∠A的平分线，∴∠DAE=∠BAE，∴∠BAE=∠BEA，∴BE=BA=5，∴CE=BC﹣BE=3．故答案为：3．点评：考查了作图﹣复杂作图，关键是作一个角的角平分线，同时考查了平行四边形的性质，角平分线的性质，平行线的性质和等腰三角形的性质的知识点．14．（6分）（•珠海）某校体育社团在校内开展“最喜欢的体育项目（四项选一项）”调查，对九年级学生随机抽样，并将收集的数据绘制成如图两幅不完整的统计图，请结合统计图解答下列问题：（1）求本次抽样人数有多少人？（2）补全条形统计图；（3）该校九年级共有600名学生，估计九年级最喜欢跳绳项目的学生有多少人？考点：条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．分析：（1）根据喜欢跑步的人数是5，所占的百分比是10%，即可求得总人数；（2）根据百分比的意义喜欢篮球的人数，作图即可；（3）利用总人数乘以对应的百分比即可求解．解答：解：（1）本次抽样的人数：5÷10%=50（人）；（2）喜欢篮球的人数：50×40%=20（人），如图所示：；（3）九年级最喜欢跳绳项目的学生有600×=180（人）．点评：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．15．（6分）（•珠海）白溪镇有绿地面积57.5公顷，该镇近几年不断增加绿地面积，达到82.8公顷．（1）求该镇至绿地面积的年平均增长率；（2）若年增长率保持不变，该镇绿地面积能否达到100公顷？考点：一元二次方程的应用．专题：增长率问题．分析：（1）设每绿地面积的年平均增长率为x，就可以表示出的绿地面积，根据的绿地面积达到82.8公顷建立方程求出x的值即可；（2）根据（1）求出的年增长率就可以求出结论．解答：解：（1）设绿地面积的年平均增长率为x，根据意，得57.5（1+x）2=82.8解得：x1=0.2，x2=﹣2.2（不合题意，舍去）答：增长率为20%；（2）由题意，得82.8（1+0.2）=99.36万元答：该镇绿地面积不能达到100公顷．点评：本题考查了增长率问题的数量关系的运用，运用增长率的数量关系建立一元二次方程的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时求出平均增长率是关键．四、解答题（二）（本大题共4小题，每小题7分，共28分）16．（7分）（•珠海）如图，某塔观光层的最外沿点E为蹦极项目的起跳点．已知点E离塔的中轴线AB的距离OE为10米，塔高AB为123米（AB垂直地面BC），在地面C处测得点E的仰角α=45°，从点C沿CB方向前行40米到达D点，在D处测得塔尖A的仰角β=60°，求点E离地面的高度EF．（结果精确到1米，参考数据≈1.4，≈1.7）考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．分析：在直角△ABD中，利用三角函数求得BD的长，则CF的长即可求得，然后在直角△CEF 中，利用三角函数求得EF的长．解答：解：在直角△ABD中，BD===41（米），则DF=BD﹣OE=41﹣10（米），CF=DF+CD=41﹣10+40=41+30（米），则在直角△CEF中，EF=CF•tanα=41+30≈41×1.7+30≈99.7≈100（米）．答：点E离地面的高度EF是100米．点评：本题考查仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．17．（7分）（•珠海）已知抛物线y=ax2+bx+3的对称轴是直线x=1．（1）求证：2a+b=0；（2）若关于x的方程ax2+bx﹣8=0的一个根为4，求方程的另一个根．考点：二次函数的性质；二次函数图象与系数的关系；抛物线与x轴的交点．分析：（1）直接利用对称轴公式代入求出即可；（2）根据（1）中所求，再将x=4代入方程求出a，b的值，进而解方程得出即可．解答：（1）证明：∵对称轴是直线x=1=﹣，∴2a+b=0；（2）解：∵ax2+bx﹣8=0的一个根为4，∴16a+4b﹣8=0，∵2a+b=0，∴b=﹣2a，∴16a﹣8a﹣8=0，解得：a=1，则b=﹣2，∴ax2+bx﹣8=0为：x2﹣2x﹣8=0，则（x﹣4）（x+2）=0，解得：x1=4，x2=﹣2，故方程的另一个根为：﹣2．点评：此题主要考查了二次函数的性质以及一元二次方程的解法等知识，得出a，b的值是解题关键．18．（7分）（•珠海）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C分别在x 轴，y轴上，函数y=的图象过点P（4，3）和矩形的顶点B（m，n）（0＜m＜4）．（1）求k的值；（2）连接PA，PB，若△ABP的面积为6，求直线BP的解析式．考点：反比例函数与一次函数的交点问题．分析：（1）把P（4，3）代入y=，即可求出k的值；（2）由函数y=的图象过点B（m，n），得出mn=12．根据△ABP的面积为6列出方程n（4﹣m）=6，将mn=12代入，化简得4n﹣12=12，解方程求出n=6，再求出m=2，那么点B（2，6）．设直线BP的解析式为y=ax+b，将B（2，6），P（4，3）代入，利用待定系数法即可求出直线BP的解析式．解答：解：（1）∵函数y=的图象过点P（4，3），∴k=4×3=12；（2）∵函数y=的图象过点B（m，n），∴mn=12．∵△ABP的面积为6，P（4，3），0＜m＜4，∴n（4﹣m）=6，∴4n﹣12=12，解得n=6，∴m=2，∴点B（2，6）．设直线BP的解析式为y=ax+b，∵B（2，6），P（4，3），∴，解得，∴直线BP的解析式为y=﹣x+9．点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数与反比例函数的解析式，三角形的面积，正确求出B点坐标是解题的关键．19．（7分）（•珠海）已知△ABC，AB=AC，将△ABC沿BC方向平移得到△DEF．（1）如图1，连接BD，AF，则BD=AF（填“＞”、“＜”或“=”）；（2）如图2，M为AB边上一点，过M作BC的平行线MN分别交边AC，DE，DF于点G，H，N，连接BH，GF，求证：BH=GF．考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；平移的性质．分析：（1）根据等腰三角形的性质，可得∠ABC与∠ACB的关系，根据平移的性质，可得AC 与DF的关系，根据全等三角形的判定与性质，可得答案；（2）根据相似三角形的判定与性质，可得GM与HN的关系，BM与FN的关系，根据全等三角形的判定与性质，可得答案．解答：（1）解：由AB=AC，得∠ABC=ACB．由△ABC沿BC方向平移得到△DEF，得DF=AC，∠DFE=∠ACB．在△ABF和△DBF中，，△ABF≌△DBF（SAS），BD=AF，故答案为：BD=AF；（2）证明：如图：，MN∥BF，△AMG∽△ABC，△DHN∽△DEF，=，，∴MG=HN，MB=NF．在△BMH和△FNG中，，△BMH≌△FNG（SAS），∴BH=FG．点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了平移的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质．五、解答题(三）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）20．（9分）（•珠海）阅读材料：善于思考的小在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法：解：将方程②变形：4x+10y+y=5 即2（2x+5y）+y=5③把方程①带入③得：2×3+y=5，∴y=﹣1把y=﹣1代入①得x=4，∴方程组的解为．请你解决以下问题：（1）模仿小的“整体代换”法解方程组（2）已知x，y满足方程组．（i）求x2+4y2的值；（ii）求+的值．考点：解二元一次方程组．专题：阅读型；整体思想．分析：（1）模仿小的“整体代换”法，求出方程组的解即可；（2）方程组整理后，模仿小的“整体代换”法，求出所求式子的值即可．解答：解：（1）把方程②变形：3（3x﹣2y）+2y=19③，把①代入③得：15+2y=19，即y=2，把y=2代入①得：x=3，则方程组的解为；（2）（i）由①得：3（x2+4y2）=47+2xy，即x2+4y2=③，把③代入②得：2×=36﹣xy，解得：xy=2，则x2+4y2=17；（ii）∵x2+4y2=17，∴（x+2y）2=x2+4y2+4xy=17+8=25，∴x+2y=5或x+2y=﹣5，则+==±．点评：此题考查了解二元一次方程组，弄清阅读材料中的“整体代入”方法是解本题的关键．21．（9分）（•珠海）五边形ABCDE中，∠EAB=∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC，且满足以点B为圆心，AB长为半径的圆弧AC与边DE相切于点F，连接BE，BD．（1）如图1，求∠EBD的度数；（2）如图2，连接AC，分别与BE，BD相交于点G，H，若AB=1，∠DBC=15°，求AG•HC的值．考点：切线的性质；相似三角形的判定与性质．分析：（1）如图1，连接BF，由DE与⊙B相切于点F，得到BF⊥DE，通过R t△BAE≌R t△BEF，得到∠1=∠2，同理∠3=∠4，于是结论可得；（2）如图2，连接BF并延长交CD的延长线于P，由△ABE≌△PBC，得到PB=BE=，求出PF=，通过△AEG∽△CHD，列比例式即可得到结果．解答：解：（1）如图1，连接BF，∵DE与⊙B相切于点F，∴BF⊥DE，在R t△BAE与R t△BEF中，，∴R t△BAE≌R t△BEF，∴∠1=∠2，同理∠3=∠4，∵∠ABC=90°，∴∠2+∠3=45°，即∠EBD=45°；（2）如图2，连接BF并延长交CD的延长线于P，∵∠4=15°，由（1）知，∠3=∠4=15°，∴∠1=∠2=30°，∠PBC=30°，∵∠EAB=∠PCB=90°，AB=1，∴AE=，BE=，在△ABE与△PBC中，，∴△ABE≌△PBC，∴PB=BE=，∴PF=，∵∠P=60°，∴DF=2﹣，∴CD=DF=2﹣，∵∠EAG=∠DCH=45°，∠AGE=∠BDC=75°，∴△AEG∽△CHD，∴，∴AG•CH=CD•AE，∴AG•CH=CD•AE=（2﹣）•=．点评：本题考查了切线的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，画出辅助线构造全等三角形是解题的关键．22．（9分）（•珠海）如图，折叠矩形OABC的一边BC，使点C落在OA边的点D处，已知折痕BE=5，且=，以O为原点，OA所在的直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，抛物线l：y=﹣x2+x+c经过点E，且与AB边相交于点F．（1）求证：△ABD∽△ODE；（2）若M是BE的中点，连接MF，求证：MF⊥BD；（3）P是线段BC上一点，点Q在抛物线l上，且始终满足PD⊥DQ，在点P运动过程中，能否使得PD=DQ？若能，求出所有符合条件的Q点坐标；若不能，请说明理由．考点：二次函数综合题．分析：（1）由折叠和矩形的性质可知∠EDB=∠BCE=90°，可证得∠EDO=∠DBA，可证明△ABD∽△ODE；（2）由条件可求得OD、OE的长，可求得抛物线解析式，结合（1）由相似三角形的性质可求得DA、AB，可求得F点坐标，可得到BF=DF，又由直角三角形的性质可得MD=MB，可证得MF为线段BD的垂直平分线，可证得结论；（3）过D作x轴的垂线交BC于点G，设抛物线与x轴的两个交点分别为M、N，可求得DM=DN=DG，可知点M、N为满足条件的点Q，可求得Q点坐标．解答：（1）证明：∵四边形ABCO为矩形，且由折叠的性质可知△BCE≌△BDE，∴∠BDE=∠BCE=90°，∵∠BAD=90°，∴∠EDO+∠BDA=∠BDA+∠DAB=90°，∴∠EDO=∠DBA，且∠EOD=∠BAD=90°，∴△ABD∽△ODE；（2）证明：∵=，∴设OD=4x，OE=3x，则DE=5x，∴CE=DE=5x，∴AB=OC=CE+OE=8x，又∵△ABD∽△ODE，∴==，∴DA=6x，∴BC=OA=10x，在Rt△BCE中，由勾股定理可得BE2=BC2+CE2，即（5）2=（10x）2+（5x）2，解得x=1，∴OE=3，OD=4，DA=6，AB=8，OA=10，∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+3，当x=10时，代入可得y=，∴AF=，BF=AB﹣AF=8﹣=，在Rt△AFD中，由勾股定理可得DF===，∴BF=DF，又M为Rt△BDE斜边上的中点，∴MD=MB，∴MF为线段BD的垂直平分线，∴MF⊥BD；（3）解：由（2）可知抛物线解析式为y=﹣x2+x+3，设抛物线与x轴的两个交点为M、N，令y=0，可得0=﹣x2+x+3，解得x=﹣4或x=12，∴M（﹣4，0），N（12，0），过D作DG⊥BC于点G，如图所示，则DG=DM=DN=8，∴点M、N即为满足条件的Q点，∴存在满足条件的Q点，其坐标为（﹣4，0）或（12，0）．点评：本题主要考查二次函数的综合应用，涉及矩形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定和性质、垂直平分线的判定和抛物线与坐标轴的交点等知识．在（1）中利用折叠的性质得到∠EDB=90°是解题的关键，在（2）中，求得E、F的坐标，求得相应线段的长是解题的关键，在（3）中确定出Q点的位置是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性很强，难度适中．。

2022-2023学年广东省珠海市珠海东方外语实验学校高二（下）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设函数f （x ）＝x 2+3x ，则lim Δx→0f(1+Δx)−f(1)Δx =（ ） A ．5B ．﹣5C ．2D ．﹣22．函数y ＝e x cos x 的导数为（ ） A ．e x cos xB ．﹣e x cos xC ．e x （sin x +cos x ）D ．e x （cos x ﹣sin x ）3．sin 3π8cos π8=（ ） A ．2+√22B ．2+√24C ．2−√22D ．2−√244．已知甲盒中有2个白球，2个红球，1个黑球，乙盒中有4个白球，3个红球，2个黑球，现从甲盒中随机取出一个球放入乙盒，再从乙盒中随机取出一个球，记事件A ＝“甲盒中取出的球与乙盒中取出的球颜色不同”，则P （A ）＝（ ） A ．712B ．2945C ．2150D ．29505．一个盒子里装有大小，材质均相同的黑球10个，红球12个，白球3个，从中任取3个，其中白球的个数记为X ，则等于C 31C 222+C 223C 253的是（ ）A ．P （X ＞2）B ．P （＜X ＜2）C ．P （X ≤1）D ．P （X ＞1）6．若(3x −1√x)n(n ∈N ∗)的展开式中各项系数和为64，则其展开式中的常数项为（ ） A ．540 B ．﹣540 C ．135 D ．﹣1357．若α∈(π，3π2)，tan2α=−cosα2+sinα，则tan α＝（ ） A ．√1515B ．√15C ．√53D ．√1538．设a =4−ln4e 2，b =ln22，c =1e ，则（ ）A ．a ＜c ＜bB ．a ＜b ＜cC ．b ＜a ＜cD ．b ＜c ＜a二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知(x −2)8=a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a 8x 8，则下列结论正确的是（ ） A ．a 0=28B ．a 8＝1C ．a 1+a 2+⋯+a 8＝1D ．a 0−a 1+a 2−⋯+a 8=3810．如图是函数y ＝f （x ）的导函数f ′（x ）的图象，则下面判断正确的是（ ）A ．f （x ）在（﹣3，1）上是增函数B ．f （x ）在（3，4）上是减函数C ．当x ＝3时，f （x ）取得极小值D ．当x ＝2时，f （x ）取得极大值11．已知∠A =π4，M ，N 分别是∠A 两边上的动点，若MN ＝2，则△AMN 面积的可能取值是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．412．已知直线l ：x ＝my +t 与椭圆C ：x 24+y 23=1交于A 、B 两点，点F 1，F 2为椭圆C 的左、右焦点，则下列说法正确的有（ ） A ．椭圆C 的离心率为12B ．椭圆C 上存在点P ，使得∠F 1PF 2＝90°C ．当t ＝1时，∃m ∈R ，使得|F 1A →|+|F 1B →|=3 D ．当m ＝1，∀t ∈R ，|F 1A →+F 1B →|≥65三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．在等比数列{a n }中，a 1+a 2＝2，a 5+a 6＝4，则a 9+a 10＝ ． 14．曲线y ＝（1+x ）lnx 在点x ＝1处的切线方程为 ．15．已知tan α，tan β是方程x 2+5x ﹣6＝0的两根，则cos2（α+β）＝ ．16．已知数列{a n }满足a 1＝a ，a n +1={a n +2，n =2k −112a n ，n =2k（k ∈N *），当a ＝1时，a 10＝ ；若数列{a n }的所有项仅取有限个不同的值，则满足题意的所有实数a 的值为 ． 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知对于任意n ∈N *，函数f （x ）＝x 2+2x 在点（n ，f （n ））处切线斜率为a n ，{b n }是公比大于0的等比数列，b 1＝3，b 3﹣b 2＝18． （1）求数列{a n }和{b n }的通项公式； （2）设c n =log 3b n +2(n+2)a n，求数列{c n }的前20项和T 20．18．（12分）已知m ，n ，a ∈R ，函数f(x)=13x 3−x 2−3x +2的单调递减区间为A ＝[m ，n ]，区间B ＝[2a ﹣3，a +3]．（1）求函数f （x ）的单调递减区间A ＝[m ，n ]； （2）“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，求a 的取值范围．19．（12分）第25届冬季奥林匹克运动会将于2026年举办．某国运动队拟派出甲、乙、丙三人参加自由式滑雪比赛，比赛分为初赛和决赛，其中初赛有两轮，只有两轮都获胜才能进入决赛．已知甲在每轮比赛中获胜的概率均为34；乙在第一轮和第二轮比赛中获胜的概率分别为45和58；丙在第一轮和第二轮比赛中获胜的概率分别为p 和32−p ，其中12＜p ＜34．（1）求甲、乙、丙三人中，谁进入决赛的可能性大？ （2）若甲、乙、丙三人都进入决赛的概率为532，求三人中进入决赛的人数ξ的分布列和期望．20．（12分）如图，已知SA 垂直于梯形ABCD 所在的平面，矩形SADE 的对角线交于点F ，G 为SB 的中点，∠ABC ＝∠BAD =π2，SA ＝AB ＝BC =12AD ＝1． （1）求证：BD ∥平面AEG ；（2）求平面SCD 与平面ESD 夹角的余弦值；（3）在线段EG 上是否存在一点H ，使得BH 与平面SCD 所成角的大小为π6？若存在，求出GH 的长；若不存在，说明理由．21．（12分）如图，已知椭圆C ：x 2a2+y 2=1(a ＞1)，其左、右焦点分别为F 1，F 2，过右焦点F 2且垂直于x 轴的直线交椭圆于第一象限的点P ，且sin ∠PF 1F 2=13． （1）求椭圆C 的方程；（2）过点S(0，−13)且斜率为k的动直线l交椭圆于A，B两点，在y轴上是否存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．22．（12分）已知函数f（x）＝x2+alnx．（Ⅰ）当a＝﹣2时，求函数f（x）的极值；（Ⅱ）若g（x）＝f（x）+2x在[1，+∞）上是单调增函数，求实数a的取值范围．2022-2023学年广东省珠海市珠海东方外语实验学校高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设函数f （x ）＝x 2+3x ，则lim Δx→0f(1+Δx)−f(1)Δx =（ ）A ．5B ．﹣5C ．2D ．﹣2解：f （x ）＝x 2+3x ， f '（x ）＝2x +3， 则limΔx→0f(1+Δx)−f(1)Δx =f '（1）＝5． 故选：A ．2．函数y ＝e x cos x 的导数为（ ） A ．e x cos xB ．﹣e x cos xC ．e x （sin x +cos x ）D ．e x （cos x ﹣sin x ）解：∵函数y ＝e x cos x ，∴y '＝e x cos x ﹣e x sin x ＝e x （cos x ﹣sin x ）． 故选：D ． 3．sin 3π8cos π8=（ ） A ．2+√22B ．2+√24C ．2−√22D ．2−√24解：sin 3π8cos π8=cos 2π8=1+cos π42=2+√24． 故选：B ．4．已知甲盒中有2个白球，2个红球，1个黑球，乙盒中有4个白球，3个红球，2个黑球，现从甲盒中随机取出一个球放入乙盒，再从乙盒中随机取出一个球，记事件A ＝“甲盒中取出的球与乙盒中取出的球颜色不同”，则P （A ）＝（ ） A ．712B ．2945C ．2150D ．2950解：从甲盒中随机取出一个白球放入乙盒，再从乙盒中随机取出一个红球或黑球的概率为P 1=25×510=15， 从甲盒中随机取出一个红球放入乙盒，再从乙盒中随机取出一个白球或黑球的概率为P 2=25×610=625， 从甲盒中随机取出一个黑球放入乙盒，再从乙盒中随机取出一个白球或红球的概率为P 3=15×710=750， 则P （A ）＝P 1+P 2+P 3=15+625+750=2950， 故选：D ．5．一个盒子里装有大小，材质均相同的黑球10个，红球12个，白球3个，从中任取3个，其中白球的个数记为X ，则等于C 31C 222+C 223C 253的是（ ）A ．P （X ＞2）B ．P （＜X ＜2）C ．P （X ≤1）D ．P （X ＞1）解：由题设，取出的3个球中没有白球的概率为C 223C 253，取出的3个球中有一个白球的概率C 31C 222C 253，所以目标式表示P （X ≤1）． 故选：C ．6．若(3x −1√x )n (n ∈N ∗)的展开式中各项系数和为64，则其展开式中的常数项为（ ）A ．540B ．﹣540C ．135D ．﹣135解：由题意令x ＝1，则2n ＝64，解得n ＝6．∴(3x −1√x )6的通项公式为：T r +1=∁6r（3x 6﹣r ）1√x )r =（﹣1）r ∁6336﹣r x 6−3r 2，令6−3r2=0，解得r ＝4．∴常数项=∁64×32＝135．故选：C ．7．若α∈(π，3π2)，tan2α=−cosα2+sinα，则tan α＝（ ） A ．√1515B ．√15C ．√53 D ．√153解：∵α∈(π，3π2)，∴cos α＜0，且tan2α=−cosα2+sinα， ∴sin2αcos2α=2sinαcosα1−2sin 2α=−cosα2+sinα，∴2（2+sin α）sin α＝2sin 2α﹣1，即sin α=−14，cos α=−√154，∴tanα=sinαcosα=√1515． 故选：A ．8．设a=4−ln4e2，b=ln22，c=1e，则（）A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．b＜c＜a解：由题意可知，a=4−ln4e2=2−ln2e22=ln e22e22，b=ln22=ln44，c=1e=lnee，设f（x）=lnxx（x＞0），则f'（x）=1−lnx x2，当x∈（0，e）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈（e，+∞）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，又因为4＞e22＞e，所以f（4）＜f（e22）＜f（e），所以b＜a＜c，故选：C．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知(x−2)8=a0+a1x+a2x2+⋯+a8x8，则下列结论正确的是（）A．a0=28B．a8＝1C．a1+a2+⋯+a8＝1D．a0−a1+a2−⋯+a8=38解：令x＝0得，a0=28，故A正确；因为（x﹣2）8的通项为T r+1=C8r x8−r(−2)r，所以a8=C80(−2)0=1，故B正确；令x＝1，则a0+a1+a2+⋯+a8=(1−2)8=1，又a0=28，所以a1+a2+⋯+a8=1−28，故C错误；令x＝﹣1，则a0−a1+a2−⋯+a8=(−1−2)8=38，故D正确．故选：ABD．10．如图是函数y＝f（x）的导函数f′（x）的图象，则下面判断正确的是（）A．f（x）在（﹣3，1）上是增函数B．f（x）在（3，4）上是减函数C．当x＝3时，f（x）取得极小值D．当x＝2时，f（x）取得极大值解：观察f ′（x ）的图象可知，当x ∈（﹣3，1）时，函数先递减，后递增，故A 错误； 当x ∈（3，4）时，f ′（x ）＜0，函数单调递减，故B 正确； 因为f ′（3）＜0，所以x ＝3不是f （x ）的极值点，故C 错误； 当x ∈（1，2）时，f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增， 当x ∈（2，3）时，f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减， 所以当x ＝2时，f （x ）取得极大值，故D 正确． 故选：BD ．11．已知∠A =π4，M ，N 分别是∠A 两边上的动点，若MN ＝2，则△AMN 面积的可能取值是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4解：根据题意，根据余弦定理：4=AM 2+AN 2−2AM ⋅AN ⋅cos π4=AM 2+AN 2−√2AM ⋅AN ， ∴4≥(2−√2)AM ⋅AN ，即AM ⋅AN ≤4+2√2，当且仅当AM ＝AN 时取等号， ∴S △AMN =12AM ⋅AN ⋅sinπ4≤√2+1，当且仅当AM ＝AN 时取等号， ∴△AMN 的面积可能是1或2． 故选：AB ．12．已知直线l ：x ＝my +t 与椭圆C ：x 24+y 23=1交于A 、B 两点，点F 1，F 2为椭圆C 的左、右焦点，则下列说法正确的有（ ） A ．椭圆C 的离心率为12B ．椭圆C 上存在点P ，使得∠F 1PF 2＝90°C ．当t ＝1时，∃m ∈R ，使得|F 1A →|+|F 1B →|=3 D ．当m ＝1，∀t ∈R ，|F 1A →+F 1B →|≥65 解：由题意得a =2，b =√3，则c ＝1， 对于选项A ，e =ca =12，故A 正确； 对于选项B ，|PF 1|+|PF 2|＝4，|F 1F 2|＝2c ＝2，在△PF 1F 2中，由余弦定理得cos ∠F 1PF 2=|PF 1|2+|PF 2|2−|F 1F 2|22|PF 1|⋅|PF 2| =(|PF 1|+|PF 2|)2−2|PF 1|⋅|PF 2|−|F 1F 2|22|PF 1|⋅|PF 2|=12−2|PF 1|⋅|PF 2|2|PF 1|⋅|PF 2|=6|PF 1|⋅|PF 2|−1≥6(|PF 1|+|PF 2|2)2−1=12， 当且仅当|PF 1|＝|PF 2|＝2时，cos ∠F 1PF 2最小值为12，∵∠F 1PF 2∈（0，π），函数y ＝cos x 在（0，π）上单调递减，即∠F 1PF 2最大为∠F 1PF 2=π3，故B 错误； 对于选项C ，t ＝1时，l ：x ＝my +1，直线过右焦点F 2，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立{x =my +1x 24+y 23=1消去x 整理得（3m 2+4）y 2+6my ﹣9＝0，Δ＝36m 2+36（3m 2+4）＞0恒成立，∴y 1+y 2=−6m 3m 2+4，y 1y 2=−93m 2+4，又|F 1A |+|F 2A |＝4，|F 1B |+|F 2B |＝4，∴|F 1A →|+|F 1B →|=|F 1A |+|F 1B |＝8﹣|F 2A |﹣|F 2B |＝8﹣|AB |， ∵|AB|=√1+m 2|y 1−y 2|=√1+m 2√(y 1+y 2)2−4y 1y 2 =12(1+m 2)3m 2+4=4−43m 2+4∈[3，4)，∴|F 1A →|+|F 1B →|=8−|AB|∈(4，5]，故C 错误；对于选项D ，m ＝1时，l ：x ＝y +t ，设A （x 3，y 3），B （x 4，y 4）， 则{x =y +t x 24+y 23=1⇒7x 2﹣8tx +4t 2﹣12＝0，由Δ＝64t 2﹣4×7×（4t 2﹣12）＞0，解得−√7＜t ＜√7； ∴x 3+x 4=8t 7，x 3x 4=4t 2−127，∴|F 1A →+F 1B →|=√(x 3+x 4+2)2+(y 3+y 4)2 =√(x 3+x 4+2)2+(x 3+x 4−2t)2=107√t 2+5625t +4925，当t =−2825时，|F 1A →+F 1B →|取到最小值为65，故|F 1A →+F 1B →|≥65，故D 正确．故选：AD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．在等比数列{a n }中，a 1+a 2＝2，a 5+a 6＝4，则a 9+a 10＝ 8 ． 解：设等比数列{a n }的公比为q ， 则a 5+a 6=(a 1+a 2)q 4， 即4＝2q 4， 解得q 4＝2，故a 9+a 10=(a 5+a 6)q 4=4×2=8． 故答案为：8．14．曲线y ＝（1+x ）lnx 在点x ＝1处的切线方程为 y ＝2x ﹣2 ． 解：由y ＝（1+x ）lnx ，得y ′＝lnx +1x+1， ∴y ′|x ＝1＝2， 又x ＝1时，y ＝0，∴曲线y ＝（1+x ）lnx 在点x ＝1处的切线方程为y ＝2（x ﹣1）， 即y ＝2x ﹣2． 故答案为：y ＝2x ﹣2．15．已知tan α，tan β是方程x 2+5x ﹣6＝0的两根，则cos2（α+β）＝ 1237．解：依题意，tan α+tan β＝﹣5，tan αtan β＝﹣6， 则tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanαtanβ=−51−(−6)=−57， 则cos2（α+β）＝2cos 2（α+β）﹣1=2tan 2(α+β)+1−1=22549+1−1=1237． 故答案为：1237．16．已知数列{a n }满足a 1＝a ，a n +1={a n +2，n =2k −112a n，n =2k（k ∈N *），当a ＝1时，a 10＝ 6316 ；若数列{a n }的所有项仅取有限个不同的值，则满足题意的所有实数a 的值为 2 ． 解：∵a n +1={a n +2，n =2k −112a n ，n =2k（k ∈N *），∴a 2n +2＝a 2n +1+2=12a n +2， 则a 2n +2﹣4=12（a 2n ﹣4 ） ∵a 1＝a ，∴a 2＝a 1+2＝a +2，故数列{a 2n ﹣4}是以a 2﹣4＝a ﹣2为首项，12为公比的等比数列，∴a 2n ﹣4＝（a ﹣2）(12)n−1，即a 2n ＝（a ﹣2）(12)n−1+4 ∴当a ＝1时，a 10＝（1﹣2）(12)4+4=6316． 因为a 2n ＝a 2n ﹣1+2，所以a 2n ﹣1＝（a ﹣2）(12)n−1+2， 要使{a n }的所有项仅取有限个不同的值，则a ＝2， 此时a 2n ＝4，a 2n ﹣1＝2，否则a ≠2时，{a n }的取值有无穷多个． 故答案为：6316；2．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知对于任意n ∈N *，函数f （x ）＝x 2+2x 在点（n ，f （n ））处切线斜率为a n ，{b n }是公比大于0的等比数列，b 1＝3，b 3﹣b 2＝18． （1）求数列{a n }和{b n }的通项公式；（2）设c n =log 3b n +2(n+2)a n，求数列{c n }的前20项和T 20．解：（1）已知函数f （x ）＝x 2+2x ， ∴f '（x ）＝2x +2， ∴a n ＝2n +2，又因为b 1＝3，b 3﹣b 2＝18， 所以q 2﹣q ﹣6＝0， 又q ＞0， 解得q ＝3，所以b n =3×3n−1=3n ；（2）已知c n =log 3b n +2(n+2)a n，则c n =n +1(n+1)(n+2)=n +1n+1−1n+2，所以T 20=(1+2+3+⋯⋯+20)+(12−13+13−14+⋯⋯+121−122) =20(1+20)2+(12−122) =231511．18．（12分）已知m ，n ，a ∈R ，函数f(x)=13x 3−x 2−3x +2的单调递减区间为A ＝[m ，n ]，区间B ＝[2a ﹣3，a +3]．（1）求函数f （x ）的单调递减区间A ＝[m ，n ]； （2）“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，求a 的取值范围． 解：（1）f ′（x ）＝x 2﹣2x ﹣3，由f ′（x ）≤0，有x 2﹣2x ﹣3≤0，得﹣1≤x ≤3， 所以f （x ）＝x 3﹣3x 2的单调递减区间为A ＝[﹣1，3]； （2）∵B ＝[2a ﹣3，a +3]，∴有2a ﹣3＜a +3得a ＜6， 又x ∈A 是x ∈B 的充分条件，可知A ⊆B ， 有{a ＜6a +3≥32a −3≤−1，得0≤a ≤1，故实数a 的取值范围为[0，1]．19．（12分）第25届冬季奥林匹克运动会将于2026年举办．某国运动队拟派出甲、乙、丙三人参加自由式滑雪比赛，比赛分为初赛和决赛，其中初赛有两轮，只有两轮都获胜才能进入决赛．已知甲在每轮比赛中获胜的概率均为34；乙在第一轮和第二轮比赛中获胜的概率分别为45和58；丙在第一轮和第二轮比赛中获胜的概率分别为p 和32−p ，其中12＜p ＜34．（1）求甲、乙、丙三人中，谁进入决赛的可能性大？ （2）若甲、乙、丙三人都进入决赛的概率为532，求三人中进入决赛的人数ξ的分布列和期望．解：（1）甲在初赛的两轮中均获胜的概率为P 1=34×34=916； 乙在初赛的两轮中均获胜的概率为：P 2=45×58=12；丙在初赛的两轮中均获胜的概率为：P 3=p(32−p)=−p 2+32p ；因为12＜p ＜34，所以12＜P 3=−(p −34)2+916＜916，所以P 1＞P 3＞P 2，即甲进入决赛的可能性最大； （2）设甲、乙、丙都进入决赛的概率为P 4， 则P 4=P 1P 2P 3=916×12×(−p 2+32p)=532， 整理得18p 2﹣27p +10＝0，解得p =23或p =56， 由12＜p ＜34，所以p =23，所以丙在初赛的第一轮和第二轮获胜的概率分别为23、56，两轮中均获胜的概率为：P 3=23×56=59， 进入决赛的人数ξ的可能取值为：0、1、2、3， 所以P(ξ=0)=(1−916)×(1−12)×(1−59)=772， P(ξ=1)=716×12×59+916×12×49+716×12×49=1132， P(ξ=2)=916×12×49+916×12×59+716×12×59=2972， P(ξ=3)=916×12×59=532， 所以ξ的分布列为：所以E(ξ)=0×772+1×1132+2×2972+3×532=233144．20．（12分）如图，已知SA 垂直于梯形ABCD 所在的平面，矩形SADE 的对角线交于点F ，G 为SB 的中点，∠ABC ＝∠BAD =π2，SA ＝AB ＝BC =12AD ＝1． （1）求证：BD ∥平面AEG ；（2）求平面SCD 与平面ESD 夹角的余弦值；（3）在线段EG 上是否存在一点H ，使得BH 与平面SCD 所成角的大小为π6？若存在，求出GH 的长；若不存在，说明理由．解：（1）证明：连接FG ，如图所示：在△SBD 中，F 、G 分别为SD ，SB 的中点，∴FG ∥BD ， 又∵FG ⊂平面AEG ，BD ⊄平面AEG ， ∴BD ∥平面AEG ；（2）由题意得SA ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ， ∴SA ⊥AB ，SA ⊥AD ， 又∠BAD =π2，∴AB ⊥AD ，则建立以A 为原点，以AB 、AD 、AS 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴的空间直角坐标系A ﹣xyz ，如图所示：SA ＝AB ＝BC =12AD ＝1，则A （0，0，0），B （1，0，0），C （1，1，0），D （0，2，0），S （0，0，1），E （0，2，1），G （12，0，12），∴CD →=(−1，1，0)，SC →=(1，1，−1)， 设平面SCD 的一个法向量为m →=(x ，y ，z)，则{m →⋅CD →=−x +y =0m →⋅SC →=x +y −z =0，取x ＝1，则y ＝1，z ＝2， ∴平面SCD 的一个法向量为m →=(1，1，2)， 又平面ESD 的一个法向量为AB →=(1，0，0)，设平面SCD 与平面ESD 夹角为α，由图形可知，二面角C ﹣SD ﹣E 为钝角， ∴cos α＝﹣|cos ＜m →，AB →＞|=|m →⋅AB →||m →|⋅|AB →|=6×1=−√66，故二面角C ﹣SD ﹣E 的余弦值为−√66；（3）假设在线段EG 上存在一点H ，设GH →=λGE →=(−12λ，2λ，12λ)，则BH →=BG →+λGE →=(−12−12λ，2λ，12+12λ)， 由（2）得平面SCD 的一个法向量为m →=(1，1，2)， ∵BH 与平面SCD 所成角的大小为π6，∴sin π6=|cos〈m →，BH →〉|=|−12−12λ+2λ+1+λ|√6×√4λ2+12(1+λ)2=12，即（λ﹣1）2＝0，解得λ＝1，故存在满足题意的点H ，此时GH =|GE →|=3√22． 21．（12分）如图，已知椭圆C ：x 2a2+y 2=1(a ＞1)，其左、右焦点分别为F 1，F 2，过右焦点F 2且垂直于x 轴的直线交椭圆于第一象限的点P ，且sin ∠PF 1F 2=13． （1）求椭圆C 的方程；（2）过点S(0，−13)且斜率为k 的动直线l 交椭圆于A ，B 两点，在y 轴上是否存在定点M ，使以AB 为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．解：（1）∵sin ∠PF 1F 2=|PF 2||PF 1|=13，|PF 1|+|PF 2|=2a ，∴|PF 1|=32a ，|PF 2|=a 2，∵|PF 2|2+|F 1F 2|2=|PF 1|2，|F 1F 2|=2c ， ∴a =√2c ，∵a 2＝c 2+1，∴c =1，a =√2， ∴椭圆方程为：x 22+y 2=1．（2）动直线l 的方程为：y =kx −13， 由 {y =kx −13x 22+y 2=1得(2k 2+1)x 2−4k 3x −169=0， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 则x 1+x 2=4k 3(2k 2+1)，x 1x 2=−169(2k 2+1).Δ=169k 2+649(1+2k 2)=16k 2+649＞0． 由对称性可设存在定点M （0，m ）满足题设，则MA →=(x 1，y 1−m)，MB →=(x 2，y 2−m)，MA →⋅MB →=0⇒x 1x 2+(y 1−m)(y 2−m)=0 ⇒(1+k 2)x 1x 2−k(13+m)(x 1+x 2)+(13+m)2=0 ⇒6（m 2﹣1）k 2+（3m 2+2m ﹣5）＝0，由题意知上式对∀k ∈R 成立，∴m 2﹣1＝0且3m 2+2m ﹣5＝0，解得m ＝1． ∴存在定点M ，使得以AB 为直径的适恒过这个点，且点M 的坐标为（0，1）． 22．（12分）已知函数f （x ）＝x 2+alnx ． （Ⅰ）当a ＝﹣2时，求函数f （x ）的极值；（Ⅱ）若g （x ）＝f （x ）+2x在[1，+∞）上是单调增函数，求实数a 的取值范围． 解：（ I ）函数f （x ）的定义域为（0，+∞） 当a ＝﹣2时，f ′(x)=2x −2x =2(x+1)(x−1)x 当x 变化时，f ′（x ），f （x ）的值变化情况如下表由上表可知，函数f （x ）单调递减区间是（0，1），单调递增区间是（1，+∞） 极小值是f （1）＝1，没有极大值（2）由g(x)=x2+alnx+2x得g′(x)=2x+ax−2x2因为g（x）在[1，+∞）上是单调增函数所以g′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立即不等式2x+ax−2x2≥0在[1，+∞）上恒成立即a≥2x−2x2在[1，+∞）上恒成立令∅(x)=2x−2x2则∅′(x)=−2x2−4x当x∈[1，+∞）时，∅′(x)=−2x2−4x＜0∴∅(x)=2x−2x2在[1，+∞）上为减函数∅（x）的最大值为∅（1）＝0∴a≥0故a的取值范围为[0，+∞）。