2020-2021学年广东省珠海市高二上学期期末考试数学试题

2021～2022学年度第一学期期末考试高二数学参考答案一、选择题：本大题共9小题，每小题4分，共36分．题号123456789答案BDADBBCCA二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.试题中包含两个空的，每个空2分.10．111．1812．2214x y -=13．848(,,999-14．(],1-∞；0,,42πππ⎡⎤⎛⎫⎪⎢⎣⎦⎝⎭15．2214x y +=三、解答题：本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（本小题满分12分）解：依题意，设圆的方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F ＝0，则代入圆的一般方程，193016442014970D E F D E F D E F ++++=⎧⎪++++=⎨⎪++-+=⎩………………………3分∴D ＝2-………………………4分E ＝4，………………………5分F ＝20-，………………………6分∴x 2+y 22x -4y +20-＝0，………………………8分令x ＝0，可得24200y y +-=，………………………9分∴y ＝2-±……………………10分∴PQ ＝．……………………12分17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设等比数列}{n a 的公比为q ，则41(1)151a q q -=-………………………2分4211134a q a q a =+………………………3分因为各项均为正数，所以2q =………………………4分解得11a =………………………5分故}{n a 的通项公式为12n n a -=………………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知12n n a -=，………………………7分*22()n n n b n a n n =⋅=⋅∈N ………………………8分所以1212222nn S n =⨯+⨯++⨯ ③231212222n n S n +=⨯+⨯++⨯ ④………………………9分③-④得1212222n n n S n +-=+++-⨯ ……………………10分11222n n n ++=--⨯1(1)22n n +=-⨯-……………………11分所以1(1)22n n S n +=-⨯+……………………12分18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）证明：连接1CD ，因为O ，P 分别是AC ，1AD 的中点，………………………2分所以1∥OP CD ．………………………3分又因为OP ⊄平面11CC D D ，………………………4分1CD ⊂平面11CC D D ，………………………5分所以OP ∥平面11CC D D ．………………………6分（Ⅱ）依题意，以D 为原点，分别以DA ，DC ，1DD 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，可得)0,0,2(A ,)2,0,0(1D ,)1,0,1(P ,)0,2,2(B ,)0,2,0(C ，)2,2,0(1C .………7分依题意)2,0,2(1-=BC ………………………8分设),,(z y x n =为平面BPC 的法向量………………………9分则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0PC n PB n 得)2,1,0(=n ……………………10分因此510==BC n ……………………11分所以，直线1BC 与平面BPC 所成角的正弦值为510.………………12分解：（Ⅰ）由题意知：c ……………………1分根据椭圆的定义得：122a =+，即2a =．……………………2分2431b =-=．……………………3分所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=．……………………4分（Ⅱ）由题:①当直线l 的斜率不存在时，l的方程是x =．……………………5分此时||1AB =，||OP =，所以24=||=1||OP AB λ--．…………6分②当直线l 的斜率存在时，设直线l的方程为=(y k x ，…………7分11(,)A x y ，22(,)B x y ．由⎪⎩⎪⎨⎧-==+3(1422x k y y x可得2222(41)1240k x x k +-+-=．显然0∆>，则212241x x k +=+，212212441k x x k -=+，...............8分因为11=(y k x，22=(y k x ，所以||AB ==221441k k +=+．....................9分所以22223||1k OP k ==+，……………………10分此时2222341==111k k k k λ+--++．……………………11分综上所述，λ为定值1-．……………………12分解：（Ⅰ）设{}n a 的公比为(0)q q >，由题意得324113541114242a q a q a q a q a q⎧=⎨=+⎩，………1分解得11212q a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，………………………2分所以12nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，………………………3分当2n ≥时，11122n n n n n nb n b S S b --+=-=-,………………………4分即11n n b b n n -=-，………………………5分∴{}nb n是首项为1的常数列，………………………6分所以1nb n=∴n b n =………………………7分（Ⅱ）设()()()212121(3)241112222n n n n n n b a n c b b n n +++++==-++，n *∈N ，……………8分()111212n n n n +=-⋅+………………………9分所以2231111111122222322(1)2n n n A n n +=-+-++-⨯⨯⨯⨯⨯+⨯ …………10分1112(1)2n n A n +=-+⨯……………………11分因为*n N ∈，所以12n A <.……………………12分。

2022-2023学年广东省珠海市高二上册期末数学质量检测试题一、单选题1．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23a =，525S =，则7a =（）A ．16B ．15C ．14D ．13【正确答案】D【分析】先求得等差数列{}n a 的公差，从而求得7a .【详解】15353325552225,5a S a aa a +=⨯=⨯===，设等差数列{}n a 的公差为d ，则322d a a =-=，所以72535213a a d =+=+⨯=.故选：D2．已知空间向量()()1,2,,,2,3n a m a == ，且n m ⊥，则n m -= （）A ．B C ．20D ．【正确答案】D【分析】根据向量垂直列方程，求得a ，进而求得n m -.【详解】由于n m ⊥，所以43440,1n m a a a a ⋅=++=+==- ，所以()()()1,2,11,2,32,0,4n m -=---=-== 故选：D3．古代《九章算术》记载：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何”其意思为：“今有5人分5钱，各人所得钱数依次成等差数列，其中前2人所得之和与后3人所得之和相等，问各得多少钱”.由此可知第一人分得的钱数是（）A ．43B ．1C ．23D ．13【正确答案】A【分析】设第()15,N n n n *≤≤∈分到n a 钱，由题意可得出关于1a 、d 的方程组，解出1a 的值即可.【详解】设第()15,N n n n *≤≤∈分到n a 钱，设数列{}()15,N n a n n *≤≤∈的公差为d ，由题意可得1234512345++++=5+=++a a a a a a a a a a ⎧⎨⎩，所以，121315+=2+=2=+2=1a a a d a a d ⎧⎪⎨⎪⎩，解得143a =.故选：A.4．已知圆1C ：22(5)(3)9x y -+-=，圆2C ：224290x y x y +-+-=，则两圆的位置关系为（）A ．外离B ．外切C ．相交D ．内切【正确答案】C【分析】求出两圆的圆心和半径，根据圆心距与半径和与差的关系，判断圆与圆的位置关系．【详解】圆1C ：22(5)(3)9x y -+-=的圆心为1(5,3)C ，半径13r =，圆2C ：224290x y x y +-+-=，即22(2)(1)14x y -++=，圆心1(2,1)C -，半径2r =，两圆的圆心距125C C =，353-<<+，即211221r r C C r r -<<+，所以圆1C 与圆2C 相交.故选：C5．设{}n a 是等比数列，且1231a a a ++=，234+2a a a +=，则678a a a ++=（）A ．12B ．24C ．30D ．32【正确答案】D【分析】根据已知条件求得q 的值，再由()5678123a a a q a a a ++=++可求得结果.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则()2123111a a a a q q ++=++=，()232234111112a a a a q a q a q a q q q q ++=++=++==，因此，()5675256781111132a a a a q a q a q a q q q q ++=++=++==.故选：D.本题主要考查等比数列基本量的计算，属于基础题．6．过点()21P ，作圆221：+=O x y 的切线l ，则切线l 的方程为（）A ．3450x y --=B ．4350x y --=C ．1y =或4350x y --=D ．1y =或3450x y --=【正确答案】C【分析】设切线l 为1(2)y k x -=-，即120kx y k -+-=，由l 与圆221：+=O x y 相切，得1d =，即可解决.【详解】由题知，圆221：+=O x y ，圆心为(0,0)，半径为1，因为()21P ，在圆外，所以设切线l 为1(2)y k x -=-，即120kx y k -+-=，因为l 与圆221：+=O x y 相切，所以1d ==，解得0k =或43k =，所以切线l 的方程为1y =，或4350x y --=，故选：C7．已知直线1l ：20x ay -+=与直线2l ：()()240a x a y a ++-+=平行，则a 的值是（）A ．4-B ．1C ．4-或1D ．4或1-【正确答案】B【分析】根据给定条件列出关于a 的等式，求解并验证即可作答.【详解】因直线1l ：20x ay -+=与直线2l ：()()240a x a y a ++-+=平行，则有(2)40a a a ++-=，解得1a =或4a =-，当1a =时，直线1l ：20x y -+=与直线2l ：3310x y -+=平行，当4a =-时，直线1l ：420x y ++=与直线2l ：2840x y ---=，即420x y ++=重合，所以a 的值是1.故选：B8．已知2F 是椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点，点P 在椭圆上，()220OP OF PF +⋅= ，且22OP OF b +=，则椭圆的离心率为（）A B C D ．5【正确答案】A【分析】设2PF 的中点为Q ，根据向量的线性运算法则及数量积的定义可得2OQ PF ⊥，从而得到12PF PF ⊥，根据22OP OF b +=得到1||2PF b =，再根据椭圆的定义得到2||PF ，在直角三角形中利用勾股定理得到23b a =，最后根据离心率公式计算可得；【详解】解：设2PF 的中点为Q ，则22OP OF OQ +=由22()0OP OF PF +⋅= ，即220OQ PF ⋅= 所以2OQ PF ⊥，连接1PF 可得1//OQ PF ，所以12PF PF ⊥，因为22OP OF b += ，即22OQ b = ，即1||2PF b =所以21||2||22PF a PF a b =-=-，在12R t PF F 中，2221212||||||PF PF F F +=，即()()2222224c b a b -+=，又222c a b =-，所以222222b a b ab a b +=+--，所以232b ab =，即23b a =解得c e a =故选：A 二、多选题9．下列说法正确的是（）A ．过点()1,2P 且在x ､y 轴截距相等的直线方程为30x y +-=B ．直线32y x =-在y 轴上的截距为2-C 10y ++=的倾斜角为60︒D ．过点()1,2-且垂直于直线230x y -+=的直线方程为20x y +=【正确答案】BD【分析】A 选项忽略了过原点的情况，错误，B 选项计算截距得到正确，直线斜率为k =倾斜角为120︒，C 错误，根据垂直关系计算直线方程得到D 正确，得到答案.【详解】过点()1,2P 且在x ､y 轴截距相等的直线方程为30x y +-=和2y x =，A 错误；取0x =，=2y -，则直线32y x =-在y 轴上的截距为2-，B 正确；10y ++=的斜率为k =120︒，C 错误；垂直于直线230x y -+=的直线方程斜率为2k =-，过点()1,2-的直线方程为()2122y x x =-++=-，即20x y +=，D 正确.故选：BD.10．已知无穷等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，20182019S S <且20192020S S >，则（）A ．在数列{}n a 中，1a 最大；B ．在数列{}n a 中，2019a 最大C ．20200a >D ．当2020n ≥时，0n a <【正确答案】AD【分析】由题得201920200,0a a ><，即可解决.【详解】由题知，无穷等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，20182019S S <且20192020S S >，所以201920200,0a a ><，所以等差数列{}n a 为递减数列，所以在数列{}n a 中，1a 最大；当2020n ≥时，0n a <；故选：AD11．已知空间中三点()0,1,0A ，()2,2,0B ，()1,3,1C -，则下列命题正确的是（）A ．AB方向的单位向量是55⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭B ．AB 与BC 夹角的余弦值是C ．ABC的面积为2D ．若3AP AB AC =+ ，则点P 到直线AC【正确答案】BCD【分析】根据单位向量、向量夹角、三角形面积、点线距等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A 选项，()2,1,0AB = ，所以AB方向的单位向量是2,1,0,055AB AB ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭，A 选项错误.B 选项，()3,1,1BC =- ，设AB与BC 夹角为θ，则cos AB BC AB BCθ⋅==-⋅，B选项正确.C 选项，由于cos 11θ=-，所以cos 11B =，则B 是锐角，所以sin B =所以12ABC S =C 选项正确.D 选项，()1,2,1AC =-，()111,3,1,,31,33AP AB AC AP ⎛⎫===+ ⎪⎝⎭，所以点P 到直线ACD 选项正确.故选：BCD12．如图，P 是椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>与双曲线22222:1(0,0)x y C m n m n -=>>在第一象限的交点，且12,C C 共焦点121212,,,,F F F PF C C ∠θ=的离心率分别为12,e e ，则下列结论正确的是（）A ．12,PF a m PF a m=+=-B ．若60θ=︒，则2221314e e +=C ．若90θ=︒，则2212e e +的最小值为2D ．tan2n bθ=【正确答案】ABD【分析】根据给定条件结合椭圆、双曲线定义计算判断A ；借助余弦定理、离心率公式、均值不等式计算判断B ，C ，D 作答.【详解】由椭圆和双曲线的定义得：121222PF PF aPF PF m ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，解得1PF a m =+，2PF a m =-，A 正确；在12F PF △中，由余弦定理得：()()()()()2222cos 2a m a m a m a m c θ-++--+=，整理得()()2221cos 1cos 2a m c θθ-++=，()()22221cos 1cos 2a m c c θθ-++=，即22121cos 1cos 2e e θθ-++=，当60θ=︒时，222132122e e +=，即2221314e e +=，B 正确；当90θ=︒时，2212112e e +=，2222222112122222121211)11()()1(22e e e e e e e e e e ++++==+2221221212e e e e ≥+⋅，当且仅当121e e ==时取“=”，而1201,1e e <<>，C 不正确；在椭圆中，22222121212122||||cos ||||||442||||PF PF PF PF F F a c PF PF θ=+-=--，即2122||||1cos b PF PF θ=+，在双曲线中，22222121212122||||cos ||||||442||||PF PF PF PF F F m c PF PF θ=+-=-+，即2122||||1cos n PF PF θ=-，于是得22222222sin 221cos 2tan 1cos 1cos 1cos 22cos 2n b n b θθθθθθθ-=⇔===-++，而022θπ<<，则tan 2n b θ=，D 正确.故选：ABD方法点睛：双曲线上一点与两焦点构成的三角形，称为双曲线的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、双曲线定义，得到a ，c 的关系.三、填空题13．双曲线221916x y -=的渐近线方程是___________.【正确答案】43y x=±【分析】直接由双曲线的方程求解即可【详解】因为双曲线方程为221916x y -=，所以双曲线的渐近线方程为220916x y -=，即43y x =±，故43y x=±14．以点(1,1),(3,3)A B -为直径的圆的一般式方程为______________．【正确答案】22240x y x y +--=【分析】根据AB 为直径，得到直径和圆心坐标，然后写方程即可.【详解】因为()1,1A -，()3,3，所以AB =AB 中点坐标为()1,2，所以以AB 为直径的圆的标准方程为()()22125x y -+-=，展开得一般式方程为22240x y x y +--=.故答案为.22240x y x y +--=15C ：y 2=4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则AB =________．【正确答案】163【分析】先根据抛物线的方程求得抛物线焦点坐标，利用点斜式得直线方程，与抛物线方程联立消去y 并整理得到关于x 的二次方程，接下来可以利用弦长公式或者利用抛物线定义将焦点弦长转化求得结果.【详解】∵抛物线的方程为24y x =，∴抛物线的焦点F 坐标为(1,0)F ，又∵直线AB 过焦点F AB 的方程为：1)y x -代入抛物线方程消去y 并化简得231030x x -+=，解法一：解得121,33x x ==所以212116||1||13|3|33AB k x x =+-=+⋅-=解法二：10036640∆=-=>设1122(,),(,)A x y B x y ，则12103x x +=,过,A B 分别作准线=1x -的垂线，设垂足分别为,C D 如图所示.12||||||||||11AB AF BF AC BD x x =+=+=+++1216+2=3x x =+故163本题考查抛物线焦点弦长，涉及利用抛物线的定义进行转化，弦长公式，属基础题.16．如图，二面角AB αβ--的大小为60 ，线段PM 与NQ 分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB .若2,3,4PM MN NQ ===，则PQ =__________.21【分析】利用空间向量的线性运算可得PQ PM MN NQ =++，再根据向量所成角，结合数量积公式平方即可得解.【详解】根据题意，PQ PM MN NQ =++，由二面角l αβ--大小为120︒，可得,120PM NQ =，22()PQ PM MN NQ =++ 222222PM MN NQ PM MN NQ MN PM NQ=+++⋅+⋅+⋅ 14916224212⎛⎫=+++⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，所以PQ =四、解答题17．已知公差不为0的等差数列{an }满足a 3＝9，a 2是a 1，a 7的等比中项．（1）求{an }的通项公式；（2）设数列{bn }满足()17n n b n a =+，求{bn }的前n 项和Sn ．【正确答案】（1）an ＝4n ﹣3．（2）Sn 44nn =+．（1）设等差数列{an }的公差为d （d ≠0），根据a 3＝9，a 2是a 1，a 7的等比中项．利用“1,a q ”法求解.（2）由（1）知()1111741n n b n a n n ⎛⎫==⎪++⎝⎭，再用裂项相消法求解.【详解】（1）设等差数列{an }的公差为d （d ≠0），则()()12111296a d a d a a d +=⎧⎪⎨+=⋅+⎪⎩解得d ＝4或d ＝0（舍去），a 1＝1，∴an ＝1+4（n ﹣1）＝4n ﹣3．（2）∵()1111741n n b n a n n ⎛⎫==⎪++⎝⎭，∴1231111111412231n n S b b b b n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++=-+-++- ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 1114144nn n ⎛⎫=-=⎪++⎝⎭．本题主要考查等差数列的基本运算和裂项相消法求和，还考查了运算求解的能力，属于中档题.18．已知圆22:240C x y y +--=，直线:10l mx y m -+-=.(1)判断直线l 与圆C 的位置关系；(2)若直线l 与圆C 交于不同的两点,A B，且AB =.【正确答案】(1)直线l 与圆C 相交；(2)直线的方程为0x y -=或20x y +-=【分析】（1）先求出直线l 过的定点坐标，判断定点在圆内，则直线l 必与圆相交；（2）由圆的半径和弦长求得圆心到直线l 的距离，以此列方程求解m 的值，即可求出直线l 的方程.【详解】（1）直线:10l mx y m -+-=，整理得(1)1m x y -=-，令1010x y -=⎧⎨-=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩即直线l 过定点(1,1)P .将P 点坐标代入圆C 方程得112440+--=-<，故P 点在圆C 内，直线l 与圆C 相交.（2）圆22:240C x y y +--=，整理得22(1)5x y +-=即(0,1)C ，r =.因为AB =，所以圆心C 到直线l 的距离为2d ==.又2d =，所以1m =±故直线的方程为0x y -=或20x y +-=.19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，M 是PA 的中点，PD ⊥平面ABCD ，且4PD CD ==，2AD =．（1）求证：PA CD ⊥；（2）求AP 与平面CMB 所成角的正弦值；（3）求二面角M CB P --的余弦值．【正确答案】（1）证明见解析；（2）45；（331010（1）根据线面垂直的判定定理证明CD ⊥平面PAD ，即证PA CD ⊥；（2）以D 为原点，分别以,,DA DC DP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，求平面CMB的法向量，用向量的方法求直线AP 与平面CMB 所成角的正弦值；（3）求平面CBP 的法向量，用向量的方法求二面角M CB P --的余弦值．【详解】（1）PD ⊥ 平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，PD CD ∴⊥.底面ABCD 是矩形，AD CD ∴⊥，又AD PD D =I ，CD \^平面PAD ，PA ⊂平面PAD ，CD PA ∴⊥.（2）以D 为原点，分别以,,DA DC DP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示则()()()()()()0,0,0,2,0,0,0,4,0,0,0,4,1,0,2,2,4,0D A C P M B ，()()()2,0,4,2,0,0,1,4,2,25AP CB BM AP ∴=-==--= 设平面CMB 的法向量(),,n x y z = ，则·0·0n CB n BM ⎧=⎨=⎩，即0420x x y z =⎧⎨--+=⎩，令1y =，则2z =，()0,1,2,5n n ∴== .设直线AP 与平面CMB 所成的角为θ，则4sin cos ,5255AP n AP n AP n θ=〈〉==⨯ .所以AP 与平面CMB 所成角的正弦值为45.（3）()()2,0,0,2,4,4CB BP ==-- .设平面CBP 的法向量(),,m x y z = ，则·0·0m CB m BP ⎧=⎨=⎩，即02440x x y z =⎧⎨--+=⎩，令1y =，则1z =.()0,1,1,2m m == 又平面CMB 的法向量()0,1,2,5n n == 设二面角M CB P --的大小为α，则α为锐角，310cos cos ,1025m n m n m nα∴=〈〉===⨯ ，所以二面角M CB P --的余弦值为31010．本题考查线线垂直，考查用向量的方法求线面角和面面角，考查学生的运算能力，属于较难的题目.20．如图，焦点为F 的抛物线2y 2px(p 0)=>过点()Q 1,m (m 0)>，且QF 2=．(Ⅰ)求p 的值；(Ⅱ)过点Q 作两条直线1l ，2l 分别交抛物线于()11A x ,y ，()22B x ,y 两点，直线1l ，2l 分别交x 轴于C ，D 两点，若QCD QDC ∠∠=，证明：12y y +为定值．【正确答案】（Ⅰ）p 2=；（Ⅱ）见解析.【分析】（Ⅰ）由抛物线的定义可得出p 的值；（Ⅱ）先写出抛物线的方程，由条件∠QCD ＝∠QDC ，得出直线AQ 和直线BQ 的斜率之和为零，利用两点的斜率公式以及等式2114y x =，2224y x =可计算出y 1+y 2＝-4，进而证明结论成立．【详解】(Ⅰ)抛物线的准线方程为p x 2=-，由抛物线的定义得p QF 122=+=，得p 2=；(Ⅱ)由(Ⅰ)可知，抛物线的方程为2y 4x =，将点Q 的坐标代入抛物线的方程得2m 414=⨯=，m 0> ，得m 2=，所以，点Q 的坐标为()1,2．QCD QDC ∠∠= ，所以，直线AQ 和BQ 的斜率互为相反数．则()()121212AQ BQ 2222121212124y 24y 2y 2y 2y 2y 244k k 0y y x 1x 1y 4y 4y 2y 21144------+=+=+=+=+=----++--．所以，12y 2y 20+++=，因此，12y y 4(+=-定值)．本题考查直线与抛物线的综合，考查抛物线的定义，同时考查抛物线性质的应用，考查计算能力，属于中等题．21．已知数列{}n a 中，12a =且*122(2,)n n a a n n n N -=-+≥∈.（1）求2a ，3a ，并证明{}n a n -是等比数列；（2）设12n n n a b -=，求数列{}n b 的前n 项和n S .【正确答案】（1）24a =，37a =，证明见解析；（2）1242n n n S n -+=+-.（1）在已知的数列递推公式中分别取2,3n =，结合已知的首项即可求得23,a a 的值，再把递推式两边同时减n 即可证明{}n a n -是等比数列；（2）由{}n a n -是等比数列求出数列{}n a 的通项公式，代入12n n n a b -=，分组后利用错位相减法求数列{}n b 的前n 项和n S .【详解】（1）由已知()*1222,n n a a n n n N -=-+≥∈+24a =，37a =，1222n n a n a n --=-+，即()121n n a n a n -⎡⎤-=--⎣⎦，因为()()*122,1n n a n n n N a n --=≥∈--，所以{}n a n -是以2为公比的等比数列.（2）由（1）得()1112n n a n a --=-⋅，即12n n a n -=+，所以11122n n n n a n b --==+，设12n n n C -=，且前n 项和为n T ，所以01231123422222n n n T -=+++++ ，①123112322222n n n T =++++ ，②①－②得231111111222222-⎛⎫=+++++- ⎪⎝⎭ n n n n T ，11112212122212--+=+-=--n n nn n ，所以1242n n n T -+=-，1242n n n S n -+=+-.该题主要考查的是等比数列的定义，数列的递推公式，错位相减法求和，还考查了运算求解的能力，属于中档题.22．已知定点()1,0M -，圆N ：()22116x y -+=，点Q 为圆N 上动点，线段MQ 的垂直平分线交NQ 于点P ，记P 的轨迹为曲线C ．(1)求曲线C 的方程；(2)过点M 与N 作平行直线1l 和2l ，分别交曲线C 于点A ，B 和点D ，E ，求四边形ABDE 面积的最大值．【正确答案】(1)22143x y +=(2)6【分析】（1）由椭圆的定义求解（2）设直线方程后与椭圆方程联立，由韦达定理表示弦长，将面积转化为函数后求求解【详解】（1）由题意可得42MP NP PQ NP MN +=+=>=，所以动点P 的轨迹是以M ，N 为焦点，长轴长为4的椭圆，即曲线C 的方程为：22143x y +=；（2）由题意可设2l 的方程为1x ty =+，联立方程得()2222134690431x y t y ty x ty ⎧+=⎪⇒++-=⎨⎪=+⎩，设()11,D x y ，()22,E x y ，则由根与系数关系有122122634934t y y t y y t ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪⋅=-⎪+⎩，所以DE =()2212134t t +=+，根据椭圆的对称性可得()2212134t DE AB t +==+，1l 与2l 的距离即为点M 到直线2l的距离，为d所以四边形ABDE 面积为24S =()1u u =≥得224241313u S u u u==++，由对勾函数性质可知：当且仅当1u =，即0=t 时，四边形ABDE 面积取得最大值为6．。

华南师大附中2022-2023学年第一学期期末考试高二数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分．考试用时120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考号等填写在答题卡上，并用铅笔在答题卡上的相应位置填涂.2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.3．回答第Ⅱ卷时，必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答卷各题目指定区域内，不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.第Ⅰ卷一、 单选题：本大题共8小题，每小题3分，满分24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1．过点()1,2-和点()0,3的直线在x 轴上的截距为（ ）A ．3B ．1C ．3-D ．1-2．设数列{}n a 的前n 项和21n S n =+，则6a 的值为（ ）A ．11B ．10C ．9D ．83．若直线l 的方向向量是()3,2,1a =，平面α的法向量是()1,2,1u =--，则l 与α的位置关系是（ ）A ．l α⊥B ．//l αC ．l 与α相交但不垂直D ．//l α或l α⊂4．若直线220x y +-=为圆22()1x a y -+=的一条对称轴，则=a （ ）A ．12B ．12-C ．1D ．1-5．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若232a a +=-，344a a +=，则8S =（ ）A ．80B ．85C ．90D ．956．已知正项等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若28793a a a --=，则158S a -的值为（ ） A ．3 B ．14 C ．28 D ．427．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点M 在抛物线C 的准线l 上，线段MF 与y 轴交于点A ，与抛物线C 交于点B ，若||1||3AB MA ==，，则p =（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．48．已知O 为坐标原点，P 是椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>上位于x 轴上方的点，F 为右焦点. 延长PO ，PF 交椭圆E 于Q ，R 两点，QF FR ⊥，3QF FR =，则椭圆E 的离心率为（ ）A ．3B ．2C ．3D ．4A 1二、多选题：本大题共4小题，每小题3分，满分12分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对得3分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.9．已知数列{}n a 的前n 项和29n S n n =-+，则下列结论正确的是（ ）A ．{}n a 是等差数列B ．460a a +=C ．910a a <D ．n S 有最大值81410．已知曲线22:1C mx ny +=，则( )A ．若4m n ==，则曲线C 是圆,其半径为2B ．若0m n >>，则曲线C 是椭圆，其焦点在y轴上 C ．若曲线C过点(，(，则C 是双曲线 D ．若0mn =，则曲线C 不表示任何图形11．意大利人斐波那契于1202年从兔子繁殖问题中发现了这样的一列数：1，1，2，3，5，8，13，…．即从第三项开始，每一项都是它前两项的和．后人为了纪念他，就把这列数称为斐波那契数列．下面关于斐波那契数列{}n a 说法正确的是（ ） A ．12144a = B ．2022a 是偶数C ．20221232020a a a a a =++++ D ．2020202420223a a a +=12．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经拋物线反射后，沿平行于拋物线对称轴的方向射出.反之，平行于拋物线对称轴的入射光线经拋物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线2:,C y x O =为坐标原点.一束平行于x 轴的光线1l 从点()(),11P m m >射入，经过C 上的点()11,A x y 反射后，再经C 上另一点()22,B x y 反射后，沿直线2l 射出，经过点Q ，则（ ）A ．121y y =-B ．延长AO 交直线14x =-于点D ，则,,D B Q 三点共线 C ．2516AB =D ．若PB 平分ABQ ∠，则4116m =第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题3分，满分12分．13．若双曲线221y x m-=的一条渐近线方程为3y x =，则实数m =___________．14．如图，直三棱柱111ABC A B C 中，90BCA ∠=︒，M N ，分别是11A B ，11A C 的中点，1BC CA CC ==，则BM 与AN 所成角的余弦值为______.全科试题免费下载公众号高中僧课堂15．已知正项数列{}n a 前n 项和n S 满足()()12n n n a a S m m +=+∈R ，，且3510a a +=，则m =__________. 16．如图，已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的右顶点和上顶点分别为,A B ，左焦点为F ，以原点O 为圆心的圆与直线BF 相切，且该圆与y 轴的正半轴交于点C ，过点C 的直线交椭圆于,M N 两点.若四边形FAMN 是平行四边形，且平行四边形面积为96，则椭圆的长轴长为___________.四、解答题：本大题共6小题，满分52分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算过程. 17．（本题满分8分）在ABC 中，7cos 8A =，3c =，sin 2sinB A =且b c ≠. （1）求b 的值； （2）求ABC 的面积．18．（本题满分8分）已知数列{}n a 满足194a =-且134n n a a +=. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 满足30n n b na +=，求{}n b 的前n 项和为n T .19．（本题满分8分）如图，正三棱柱111ABC A B C 的所有棱长都为2，D 为1CC 中点. （1）求证：1AB ⊥平面1A BD ；（2）求二面角1A A D B --的正弦值.C 1120．（本题满分8分）如图，已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，且经过点(2A p ，)(0)m m >，||5AF =． （1）求p 和m 的值；（2）若点M ，N 在C 上，且AM AN ⊥，证明：直线MN 过定点．21．（本题满分10分）某高科技企业研制出一种型号为A 的精密数控车床，A 型车床为企业创造的价值逐年减少（以投产一年的年初到下一年的年初为A 型车床所创造价值的第一年）.若第1年A 型车床创造的价值是250万元，且第1年至第6年，每年A 型车床创造的价值减少30万元；从第7年开始，每年A 型车床创造的价值是上一年价值的50%.现用n a （*N n ∈）表示A 型车床在第n 年创造的价值.（1）求数列{}(N )n a n *∈的通项公式n a ；（2）记n S 为数列{}n a 的前n 项的和，n T =nS n，企业经过成本核算，若100n T >万元，则继续使用A 型车床，否则更换A 型车床，试问该企业须在第几年年初更换A 型车床？22．（本题满分10分）已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12F F 、，右顶点A 在圆22:3O x y +=上，且121AF AF ⋅=-.（1）求双曲线C 的标准方程；（2）动直线l 与双曲线C 恰有1个公共点，且与双曲线C 的两条渐近线分别交于点M 、N ，设O 为坐标原点. ①求证：点M 与点N 的横坐标之积为定值； ②求MON ∆周长的最小值.，则2021122019a a a a =+++，同理2020122018a a a a =+++，2019122017a a a a =+++，依次类推，可得为原点，1,,CA CB CC 的方向为()1,0,2AN =-，()1,1,2BM =-，因为1430 cos,1056AN BMAN BMAN BM⋅-+<===⨯>，所成角的余弦值为30直线四边形FAMNS=椭圆长轴长故ABC 的面积34n ⎛⎫++⋅ ⎪⎝⎭()41n ⎫++-⎪434n ⎛⎫++- ⎪⎝⎭ABC 为正三角形正三棱柱, 又AO ⊂平面，1BB BC ⊥，1OO ⊂平面1(1,2,3),(2,1,0)AB BD ∴=-=-，1(1,2,3)BA =-. 1110,0AB BD AB BA ⋅=⋅=,1BD BA B ⋂=，且的一个法向量为(,,)n x y z =，(1,1,3)AD =--，1(0,2,0)AA =，则10n AD n AA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即，得(3,0,1)n =-.）得1(1,2,3)AB =-为平面易得2364|c |o ,28s ||n AB n AB n AB ⋅-===-⋅.B 的平面角为θ所以11(4,4)AM x y =--，22(4,4)AN x y =--，又）由题意知126,,,a a a 构成首项故()*280306,N n a n n n =-∈（万元）由题意知()*78,,,7,N n a a a n n ∈构成首顶(7*17,N 2n n n -⎫∈⎪⎭730,1n n n -≤≤⎫所以，当*12,N n n ∈时，恒有则()13,0AF c =--，()23,0AF c =-，因为121AF AF ⋅=-，所以的渐近线方程为33y x , 当直线的斜率不存在时，直线的方程为=3x ，所以3,2OD MN,所以132OM ON .此时OMN 的周长为6OM ON MN，此时3M Nx x . 当直线的斜率存在时，设其方程为(0)y kx m k ，则(,0)mD k，联立2213ykx m x y，得222(13)6330k xkmx m ，由于直线l 与双曲线所以2130k 且0m ，所以22222364(13)(33)130k m k m k，22310k m --=.则22310m k ,得33k或33k . ，由33ykx m yx ，解得3333(,),(,)33333333m mm m M N k k k k ，则222333()()333333m m mOM k k k ，222333()()333333m m m ON kk k ，22222331333()()1333333333m k m m m mMN k k k k k . 又22221331133M Nm k x x k k ，为定值，所以OMN 的周长为2221111333333k OM ON MNm k k k ，当33k时，周长为22222221112212123113333313333k k k kk m mkk k k k .当33k时，周长为 22222221112212123113333313333k k k k k m m kk kk k ,因为222222212122113113121111442kk k k kkkk k k，所以当33k 时，周长大于2336.当33k时，周长大于2336.综上所述，OMN 周长的最小值为。

广东省珠海市其次中学2024-2025学年高二数学12月月考试题一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1.抛物线24x y =-的焦点到准线的距离为 （ ） A.4 B.2 C.1 D ．122.已知R x ∈，设p ：1-<x ，q ⌝：022>--x x ，则下列命题为真的是 （ ） A ．若p 则q B ．若q ⌝则p C ．若q 则p ⌝ D ．若p ⌝则q3.已知100件产品中有5件次品,从这100件产品中随意取出3件,设E 表示事务“3件产品 全不是次品”,F 表示事务“3件产品全是次品”,G 表示事务“3件产品中至少有1件是 次品”,则下列结论正确的是 ( )A ．F 与G 互斥B ．E 与G 互斥但不对立 C.,,E F G 随意两个事务均互斥 D ．E 与G 对立4.已知(2,1,4),(1,1,2),(7,5,)a b c m =-=--=，若,,a b c 共面，则实数m 的值为（ ） A.607 B.627C.12D.14 5.某创业公司共有36名职工,为了了解该公司职工的年龄构成状况,随机采访了9位代表, 得到的数据分别为36,36,37,37,40,43,43,44,44,若用样本估计总体,则年龄在 (),x s x s -+内的人数占公司人数的百分比是 ( ) (其中x 是平均数,s 为标准差,结果精确到1%) A .14% B .25% C .56% D .67% 6.如图所示,已知1111ABCD A B C D -是平行六面体.设ACBD M =, N 是1BC 上靠近 点1C 的四等分点,若1MN xAB yAD zAA =++,则,,x y z 的值为( )A.113,,244x y z === B.113,,424x y z ===C.131,,244x y z === D.311,,424x y z === 7.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，实轴的两个端点分 别为1A 、2A ，虚轴的两个端点分别为1B 、2B .以坐标原点O 为圆心，12||B B 为直径的 圆()O b a >与双曲线交于点M （位于其次象限），若过点M 作圆的切线恰过左焦点1F ，则双曲线的离心率是（ ）A.3B.2C.62 D.728.抛物线28y x =的焦点为F ,设1122(,),(,)A x y B x y 是抛物线上的两个动点,若122343x x AB ++=, 则AFB ∠的最大值为（ ） A.3π B.23π C.34π D.56π 二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得3分,有选错的得0分） 9.给出下列命题,正确的是 ( )A.命题“R x ∈∃，使得1<x ”的否定是“∀x R ∈，都有1-≤x 或1≥x ”；B.对于命题p 和命题q ，“q p ∧为真命题”的必要不充分条件是“q p ∨为真命题”；C.若{}n a 为等差数列，,,,p q m n N *∈，则“m n p q +=+”是“m n p q a a a a +=+” 的充要条件；D.若0,0a b >>且21a b +=，则115.8a b+>； 10.统计某校n 名学生的某次数学同步练习成果(满分150分),依据成果依次分成六组:[)[)[)[)[)[]90,100,100,110,110,120,120,130,130,140,140,150,得到频率分布直方图如图所示,若不低于140分的人数为110,则以下说法正确的是( )A.0.031m =B.800n =C.100分以下的人数为60D.分数在区间[)120,140的人数占大半.11.在三棱锥P ABC -中,(0,1,0),(3,1,0),(0,3,0),(0,1,2)A B C P ,则( ) A.(3,0,0)AB =- B.2tan ,3BP AB <>=-C.两异面直线AC 与PB 所成角为060 D.2P ABC V -=12.已知双曲线22:14x y C m m+=+,给出下列四个结论, 正确的是 ( ) A.m 的取值范围是()4,0- B.C 的焦距与m 的取值无关C.当C 的离心率不小于2时, m 的最小值为3-D.存在实数m ,使得点()2,m m 在C 上三、填空题（本题共6个小题，每小题5分，共30分）13.某公司生产,,A B C 三种不同型号的轿车,产量之比依次为2:3:4,为检验公司的产品质量, 用 分层抽样的方法抽取一个容量为n 的样本,若样本中A 种型号的轿车比B 种型号的轿车少8辆, 则n = .14.已知双曲线222:1(0)5x y C a a -=>的焦距为10， 则双曲线C 的渐近线方程为 . 15.已知[]0:0,1p x ∃∈,使得00x a e-≥成立；:q 对x R ∀∈,240x x a ++>恒成立. 若p q ∧⌝是真命题,则实数a 的取值范围是 ．16.阳马,中国古代算数中的一种几何形体,是底面为长方形,一侧棱垂直于底面的四棱锥.在 阳马P ABCD -中,PC 为阳马P ABCD -中最长的棱,1,2,3AB AD PC ===,若在阳马P ABCD -的外接球内部随机取一点,则该点位于阳马内的概率为 ．17.已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 内的射影为ABC ∆的中心，则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值等于 ．18.已知椭圆22:197x y C +=,F 为其左焦点,过原点O 的直线l 交椭圆于,A B 两点,点A 在其次象限,且FAB BFO ∠=∠,则直线l 的斜率为 ．四、解答题（本题共5个小题，共60分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19.(本小题12分)有3名男同学,,A B C 和3名女同学,,X Y Z 参与某夏令营,其年级状况如下表:现从这6 (1)用表中字母列举出全部可能的结果;(2)设M 为事务“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”,求事务M 发生的概率.20.(本小题12分)已知动圆M 过点(2,0)，被y 轴截得的弦长为4. （1）求圆心M 的轨迹C 的方程；(2) 若P 为x 轴的负半轴上随意一点，点F 的坐标为()1,0,Q 为轨迹C 上随意一点，且QF PF =,求证：直线PQ 与抛物线C 有且只有一个公共点．21.(本小题12分)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣扬费，需了解年宣扬费对年销售量（单位：t ）的影响.该公司对近5年的年宣扬费和年销售量数据进行了探讨，发觉年宣扬费x （万元）和年销售量y （单位：t ）具有线性相关关系，并对数据作了初步处理，得到下面的一些统计量的值.x （万元）2 4 53 6 y （单位：t ） 2.544.536（1）依据表中数据建立年销售量y 关于年宣扬费x 的回来方程；（2）已知这种产品的年利润z 与x ，y 的关系为20.05 1.85z y x =--，依据（1）中的结果回答下列问题：① 当年宣扬费为10万元时，年销售量及年利润的预报值是多少？② 估算该公司应当投入多少宣扬费，才能使得年利润与年宣扬费的比值最大.附：回来方程ˆˆˆy bx a =+中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为()()()1111112221111ˆnni i n ni i x ynx yx x yybx nxx x====---==--∑∑∑∑，ˆˆay bx =-. 参考数据：11188.5S i x y==∑，21190Si x ==∑.22.(本小题12分)如图,在三棱柱111ABC A B C -中,AB ⊥平面11BB C C ,E 是1CC 的中点1,BC =12BB =,0160BCC ∠=.(1)证明:1B E AE ⊥； (2)若2AB =,求二面角11A B E A --的余弦值.23.(本小题12分)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>经过点3(1,)2P ,且离心率12e =.（1）求椭圆C 的方程；（2）若,M N 是椭圆C 上异于P 的两点,直线,PM PN 的斜率分别为12,k k 且121,,k k PD MN +=-⊥D 为垂足.是否存在定点Q ,使得DQ 为定值? 若存在,恳求出Q 点坐标及定值;若不存在,请说明理由.珠海二中高二月考数学试题参考答案BCDD CAAB 9. ABD 10. AC 11. BD 12. ABD 13. 72 14.12y x =±15.[]1,4 16.827π 17.23 18.73- 19.(1)从这6名同学中随机选出2人参与学问竞赛的全部可能结果为(A ,B ),(A ,C ),(A ,X ),(A ,Y ),(A ,Z ),(B ,C ),(B ,X ),(B ,Y ),(B ,Z ),(C ,X ),(C ,Y ),(C ,Z ),(X ,Y ),(X ,Z ),(Y ,Z ),共15种.(2)选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学的全部可能结果为 (A ,Y ),(A ,Z ),(B ,X ),(B ,Z ),(C ,X ),(C ,Y ),共6种. 因此,事务M 发生的概率P (M )==.20.（1）设动圆圆心(,)M x y ，由题意可得：22222(2)+=-+x x y 24y x =， 所以，动圆圆心M 的轨迹C 的方程：24=y x .（2）设点Q 的坐标为(),m n ，有24n m =，设点P 的坐标为()(),00t t <．又||1QF m =+，||1PF t =-，||||QF PF =， 所以11,m t +=-得(0)t m m =-> 直线PQ 的斜率22()224n nn k n m m mn ====--⨯， 所以直线PQ 的方程为2()y x m n =+，即直线PQ 的方程为22n y x n =+． 解2422y x n y x n ⎧=⎪⎨=+⎪⎩得24n x y n =⎧⎪⎨⎪⎩=即方程组仅有一组解， 所以直线PQ 与抛物线C 有且只有一个公共点． 21.解:（1）由题意2453645x ++++==， 2.5 4.543645y ++++==，21222188.554ˆ0.859054ni ii nii x y nx ybxnx ==--⨯∴===-⨯-∑∑， ˆˆ40.8540.6ay bx =-=-⨯=， 0.80.ˆ56yx ∴=+. （2）①由（1）得220.05 1.850.050.85 1.25z y x x x =+--=--，当10x =时，0.85100.ˆ69.1y∴=⨯+=，20.05100.8510 1.25 2.25z =-⨯⨯-=+. 即当年宣扬费为10万元时，年销售量为9.1，年利润的预报值为 2.25. ②令年利润与年宣扬费的比值为w ，则()1.250.050.850w x x x=--+>，1.25 1.250.050.850.050.85w x x x x ⎛⎫=--+=-++≤- ⎪⎝⎭1.2520.050.850.35x x ⋅+=. 当且仅当 1.250.05x x=即5x =时取最大值.故该公司应当投入5万元宣扬费，才能使得年利润与年宣扬费的比值最大.22.解:(1)证明:连接BC 1,BE ,因为在△BCC 1中,BC=1,CC 1=BB 1=2,∠BCC 1=60°,所以BC ⊥BC 1,所以BE=CC 1=1. 因为在△EC 1B 1中,B 1E==,所以BE 2+B 1E 2=B,即B 1E ⊥BE ,又AB ⊥平面BB 1C 1C ,且B 1E ⊂平面BB 1C 1C , 所以B 1E ⊥AB ,AB ∩BE=B ,所以B 1E ⊥平面ABE , 因为AE ⊂平面ABE ,所以B 1E ⊥AE.(2)以B 为原点建立如图所示的空间直角坐标系,则A (0,0,),B 1(-1,,0),E ,,0,A 1(-1,,),所以=,-,0,=(-1,,-),=,-,-,设平面AB 1E 的法向量为n=(x ,y ,z ),平面A 1B 1E 的法向量为m=(a ,b ,c ),由得取x=1,则n=(1,,),由得取a=1,则m=(1,,0).所以cos m ,n ===,由图可知二面角A-B 1E-A 1为锐角,所以二面角A-B 1E-A 1的余弦值为. 23.(1)由12c e a ==，得2222222,4,3a c a c b a c c ===-=.2222223311221,143a b c c ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=∴+= 解得2221,3, 4.c b a ===所以椭圆C 的方程为22143x y +=（2）设1122(,),(,)M x y N x y ，由题意得直线MN 的斜率肯定存在，直线MN 的方程为y kx m =+，联立22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y ，得()2224384120k x kmx m +++-= 2222644(43)(412)0k m k m ∆=-+->，得22430k m -+>21212228412,4343km m x x x x k k -+=-=++ 1212211212123333()(1)()(1)222211(1)(1)y y y x y x k k x x x x ----+--+=+=---- 12211233()(1)()(1)22(1)(1)kx m x kx m x x x +--++--=-- 121212121232()()()(23)2()1kx x m x x k x x m x x x x +-+-+--=-++22222224123882()()()()(23)43243434128()14343m km km k m k m k k k m kmk k -+------+++=---+++22224126129412843k km m k m km k -+-++=-+++ 由121k k +=-，得2281023120k km m m k ++--=， 即()()22340k m k m +-+=当2230k m +-=时，直线33()(1)22y kx k k x =+-=-+过定点3(1,)2P ，舍去. 当40k m +=，直线4(4)y kx k k x =-=-过定点(4,0)T 此时，222433120k m k -+=->，得1122k -<<，存在直线过定点(4,0)T . 当Q 为,P T 的中点，即53(,)24Q，此时124DQ PT ===.。

2022-2023学年广东省珠海市珠海东方外语实验学校高二（下）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设函数f （x ）＝x 2+3x ，则lim Δx→0f(1+Δx)−f(1)Δx =（ ） A ．5B ．﹣5C ．2D ．﹣22．函数y ＝e x cos x 的导数为（ ） A ．e x cos xB ．﹣e x cos xC ．e x （sin x +cos x ）D ．e x （cos x ﹣sin x ）3．sin 3π8cos π8=（ ） A ．2+√22B ．2+√24C ．2−√22D ．2−√244．已知甲盒中有2个白球，2个红球，1个黑球，乙盒中有4个白球，3个红球，2个黑球，现从甲盒中随机取出一个球放入乙盒，再从乙盒中随机取出一个球，记事件A ＝“甲盒中取出的球与乙盒中取出的球颜色不同”，则P （A ）＝（ ） A ．712B ．2945C ．2150D ．29505．一个盒子里装有大小，材质均相同的黑球10个，红球12个，白球3个，从中任取3个，其中白球的个数记为X ，则等于C 31C 222+C 223C 253的是（ ）A ．P （X ＞2）B ．P （＜X ＜2）C ．P （X ≤1）D ．P （X ＞1）6．若(3x −1√x)n(n ∈N ∗)的展开式中各项系数和为64，则其展开式中的常数项为（ ） A ．540 B ．﹣540 C ．135 D ．﹣1357．若α∈(π，3π2)，tan2α=−cosα2+sinα，则tan α＝（ ） A ．√1515B ．√15C ．√53D ．√1538．设a =4−ln4e 2，b =ln22，c =1e ，则（ ）A ．a ＜c ＜bB ．a ＜b ＜cC ．b ＜a ＜cD ．b ＜c ＜a二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知(x −2)8=a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a 8x 8，则下列结论正确的是（ ） A ．a 0=28B ．a 8＝1C ．a 1+a 2+⋯+a 8＝1D ．a 0−a 1+a 2−⋯+a 8=3810．如图是函数y ＝f （x ）的导函数f ′（x ）的图象，则下面判断正确的是（ ）A ．f （x ）在（﹣3，1）上是增函数B ．f （x ）在（3，4）上是减函数C ．当x ＝3时，f （x ）取得极小值D ．当x ＝2时，f （x ）取得极大值11．已知∠A =π4，M ，N 分别是∠A 两边上的动点，若MN ＝2，则△AMN 面积的可能取值是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．412．已知直线l ：x ＝my +t 与椭圆C ：x 24+y 23=1交于A 、B 两点，点F 1，F 2为椭圆C 的左、右焦点，则下列说法正确的有（ ） A ．椭圆C 的离心率为12B ．椭圆C 上存在点P ，使得∠F 1PF 2＝90°C ．当t ＝1时，∃m ∈R ，使得|F 1A →|+|F 1B →|=3 D ．当m ＝1，∀t ∈R ，|F 1A →+F 1B →|≥65三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．在等比数列{a n }中，a 1+a 2＝2，a 5+a 6＝4，则a 9+a 10＝ ． 14．曲线y ＝（1+x ）lnx 在点x ＝1处的切线方程为 ．15．已知tan α，tan β是方程x 2+5x ﹣6＝0的两根，则cos2（α+β）＝ ．16．已知数列{a n }满足a 1＝a ，a n +1={a n +2，n =2k −112a n ，n =2k（k ∈N *），当a ＝1时，a 10＝ ；若数列{a n }的所有项仅取有限个不同的值，则满足题意的所有实数a 的值为 ． 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知对于任意n ∈N *，函数f （x ）＝x 2+2x 在点（n ，f （n ））处切线斜率为a n ，{b n }是公比大于0的等比数列，b 1＝3，b 3﹣b 2＝18． （1）求数列{a n }和{b n }的通项公式； （2）设c n =log 3b n +2(n+2)a n，求数列{c n }的前20项和T 20．18．（12分）已知m ，n ，a ∈R ，函数f(x)=13x 3−x 2−3x +2的单调递减区间为A ＝[m ，n ]，区间B ＝[2a ﹣3，a +3]．（1）求函数f （x ）的单调递减区间A ＝[m ，n ]； （2）“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，求a 的取值范围．19．（12分）第25届冬季奥林匹克运动会将于2026年举办．某国运动队拟派出甲、乙、丙三人参加自由式滑雪比赛，比赛分为初赛和决赛，其中初赛有两轮，只有两轮都获胜才能进入决赛．已知甲在每轮比赛中获胜的概率均为34；乙在第一轮和第二轮比赛中获胜的概率分别为45和58；丙在第一轮和第二轮比赛中获胜的概率分别为p 和32−p ，其中12＜p ＜34．（1）求甲、乙、丙三人中，谁进入决赛的可能性大？ （2）若甲、乙、丙三人都进入决赛的概率为532，求三人中进入决赛的人数ξ的分布列和期望．20．（12分）如图，已知SA 垂直于梯形ABCD 所在的平面，矩形SADE 的对角线交于点F ，G 为SB 的中点，∠ABC ＝∠BAD =π2，SA ＝AB ＝BC =12AD ＝1． （1）求证：BD ∥平面AEG ；（2）求平面SCD 与平面ESD 夹角的余弦值；（3）在线段EG 上是否存在一点H ，使得BH 与平面SCD 所成角的大小为π6？若存在，求出GH 的长；若不存在，说明理由．21．（12分）如图，已知椭圆C ：x 2a2+y 2=1(a ＞1)，其左、右焦点分别为F 1，F 2，过右焦点F 2且垂直于x 轴的直线交椭圆于第一象限的点P ，且sin ∠PF 1F 2=13． （1）求椭圆C 的方程；（2）过点S(0，−13)且斜率为k的动直线l交椭圆于A，B两点，在y轴上是否存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．22．（12分）已知函数f（x）＝x2+alnx．（Ⅰ）当a＝﹣2时，求函数f（x）的极值；（Ⅱ）若g（x）＝f（x）+2x在[1，+∞）上是单调增函数，求实数a的取值范围．2022-2023学年广东省珠海市珠海东方外语实验学校高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设函数f （x ）＝x 2+3x ，则lim Δx→0f(1+Δx)−f(1)Δx =（ ）A ．5B ．﹣5C ．2D ．﹣2解：f （x ）＝x 2+3x ， f '（x ）＝2x +3， 则limΔx→0f(1+Δx)−f(1)Δx =f '（1）＝5． 故选：A ．2．函数y ＝e x cos x 的导数为（ ） A ．e x cos xB ．﹣e x cos xC ．e x （sin x +cos x ）D ．e x （cos x ﹣sin x ）解：∵函数y ＝e x cos x ，∴y '＝e x cos x ﹣e x sin x ＝e x （cos x ﹣sin x ）． 故选：D ． 3．sin 3π8cos π8=（ ） A ．2+√22B ．2+√24C ．2−√22D ．2−√24解：sin 3π8cos π8=cos 2π8=1+cos π42=2+√24． 故选：B ．4．已知甲盒中有2个白球，2个红球，1个黑球，乙盒中有4个白球，3个红球，2个黑球，现从甲盒中随机取出一个球放入乙盒，再从乙盒中随机取出一个球，记事件A ＝“甲盒中取出的球与乙盒中取出的球颜色不同”，则P （A ）＝（ ） A ．712B ．2945C ．2150D ．2950解：从甲盒中随机取出一个白球放入乙盒，再从乙盒中随机取出一个红球或黑球的概率为P 1=25×510=15， 从甲盒中随机取出一个红球放入乙盒，再从乙盒中随机取出一个白球或黑球的概率为P 2=25×610=625， 从甲盒中随机取出一个黑球放入乙盒，再从乙盒中随机取出一个白球或红球的概率为P 3=15×710=750， 则P （A ）＝P 1+P 2+P 3=15+625+750=2950， 故选：D ．5．一个盒子里装有大小，材质均相同的黑球10个，红球12个，白球3个，从中任取3个，其中白球的个数记为X ，则等于C 31C 222+C 223C 253的是（ ）A ．P （X ＞2）B ．P （＜X ＜2）C ．P （X ≤1）D ．P （X ＞1）解：由题设，取出的3个球中没有白球的概率为C 223C 253，取出的3个球中有一个白球的概率C 31C 222C 253，所以目标式表示P （X ≤1）． 故选：C ．6．若(3x −1√x )n (n ∈N ∗)的展开式中各项系数和为64，则其展开式中的常数项为（ ）A ．540B ．﹣540C ．135D ．﹣135解：由题意令x ＝1，则2n ＝64，解得n ＝6．∴(3x −1√x )6的通项公式为：T r +1=∁6r（3x 6﹣r ）1√x )r =（﹣1）r ∁6336﹣r x 6−3r 2，令6−3r2=0，解得r ＝4．∴常数项=∁64×32＝135．故选：C ．7．若α∈(π，3π2)，tan2α=−cosα2+sinα，则tan α＝（ ） A ．√1515B ．√15C ．√53 D ．√153解：∵α∈(π，3π2)，∴cos α＜0，且tan2α=−cosα2+sinα， ∴sin2αcos2α=2sinαcosα1−2sin 2α=−cosα2+sinα，∴2（2+sin α）sin α＝2sin 2α﹣1，即sin α=−14，cos α=−√154，∴tanα=sinαcosα=√1515． 故选：A ．8．设a=4−ln4e2，b=ln22，c=1e，则（）A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．b＜c＜a解：由题意可知，a=4−ln4e2=2−ln2e22=ln e22e22，b=ln22=ln44，c=1e=lnee，设f（x）=lnxx（x＞0），则f'（x）=1−lnx x2，当x∈（0，e）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈（e，+∞）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，又因为4＞e22＞e，所以f（4）＜f（e22）＜f（e），所以b＜a＜c，故选：C．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知(x−2)8=a0+a1x+a2x2+⋯+a8x8，则下列结论正确的是（）A．a0=28B．a8＝1C．a1+a2+⋯+a8＝1D．a0−a1+a2−⋯+a8=38解：令x＝0得，a0=28，故A正确；因为（x﹣2）8的通项为T r+1=C8r x8−r(−2)r，所以a8=C80(−2)0=1，故B正确；令x＝1，则a0+a1+a2+⋯+a8=(1−2)8=1，又a0=28，所以a1+a2+⋯+a8=1−28，故C错误；令x＝﹣1，则a0−a1+a2−⋯+a8=(−1−2)8=38，故D正确．故选：ABD．10．如图是函数y＝f（x）的导函数f′（x）的图象，则下面判断正确的是（）A．f（x）在（﹣3，1）上是增函数B．f（x）在（3，4）上是减函数C．当x＝3时，f（x）取得极小值D．当x＝2时，f（x）取得极大值解：观察f ′（x ）的图象可知，当x ∈（﹣3，1）时，函数先递减，后递增，故A 错误； 当x ∈（3，4）时，f ′（x ）＜0，函数单调递减，故B 正确； 因为f ′（3）＜0，所以x ＝3不是f （x ）的极值点，故C 错误； 当x ∈（1，2）时，f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增， 当x ∈（2，3）时，f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减， 所以当x ＝2时，f （x ）取得极大值，故D 正确． 故选：BD ．11．已知∠A =π4，M ，N 分别是∠A 两边上的动点，若MN ＝2，则△AMN 面积的可能取值是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4解：根据题意，根据余弦定理：4=AM 2+AN 2−2AM ⋅AN ⋅cos π4=AM 2+AN 2−√2AM ⋅AN ， ∴4≥(2−√2)AM ⋅AN ，即AM ⋅AN ≤4+2√2，当且仅当AM ＝AN 时取等号， ∴S △AMN =12AM ⋅AN ⋅sinπ4≤√2+1，当且仅当AM ＝AN 时取等号， ∴△AMN 的面积可能是1或2． 故选：AB ．12．已知直线l ：x ＝my +t 与椭圆C ：x 24+y 23=1交于A 、B 两点，点F 1，F 2为椭圆C 的左、右焦点，则下列说法正确的有（ ） A ．椭圆C 的离心率为12B ．椭圆C 上存在点P ，使得∠F 1PF 2＝90°C ．当t ＝1时，∃m ∈R ，使得|F 1A →|+|F 1B →|=3 D ．当m ＝1，∀t ∈R ，|F 1A →+F 1B →|≥65 解：由题意得a =2，b =√3，则c ＝1， 对于选项A ，e =ca =12，故A 正确； 对于选项B ，|PF 1|+|PF 2|＝4，|F 1F 2|＝2c ＝2，在△PF 1F 2中，由余弦定理得cos ∠F 1PF 2=|PF 1|2+|PF 2|2−|F 1F 2|22|PF 1|⋅|PF 2| =(|PF 1|+|PF 2|)2−2|PF 1|⋅|PF 2|−|F 1F 2|22|PF 1|⋅|PF 2|=12−2|PF 1|⋅|PF 2|2|PF 1|⋅|PF 2|=6|PF 1|⋅|PF 2|−1≥6(|PF 1|+|PF 2|2)2−1=12， 当且仅当|PF 1|＝|PF 2|＝2时，cos ∠F 1PF 2最小值为12，∵∠F 1PF 2∈（0，π），函数y ＝cos x 在（0，π）上单调递减，即∠F 1PF 2最大为∠F 1PF 2=π3，故B 错误； 对于选项C ，t ＝1时，l ：x ＝my +1，直线过右焦点F 2，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立{x =my +1x 24+y 23=1消去x 整理得（3m 2+4）y 2+6my ﹣9＝0，Δ＝36m 2+36（3m 2+4）＞0恒成立，∴y 1+y 2=−6m 3m 2+4，y 1y 2=−93m 2+4，又|F 1A |+|F 2A |＝4，|F 1B |+|F 2B |＝4，∴|F 1A →|+|F 1B →|=|F 1A |+|F 1B |＝8﹣|F 2A |﹣|F 2B |＝8﹣|AB |， ∵|AB|=√1+m 2|y 1−y 2|=√1+m 2√(y 1+y 2)2−4y 1y 2 =12(1+m 2)3m 2+4=4−43m 2+4∈[3，4)，∴|F 1A →|+|F 1B →|=8−|AB|∈(4，5]，故C 错误；对于选项D ，m ＝1时，l ：x ＝y +t ，设A （x 3，y 3），B （x 4，y 4）， 则{x =y +t x 24+y 23=1⇒7x 2﹣8tx +4t 2﹣12＝0，由Δ＝64t 2﹣4×7×（4t 2﹣12）＞0，解得−√7＜t ＜√7； ∴x 3+x 4=8t 7，x 3x 4=4t 2−127，∴|F 1A →+F 1B →|=√(x 3+x 4+2)2+(y 3+y 4)2 =√(x 3+x 4+2)2+(x 3+x 4−2t)2=107√t 2+5625t +4925，当t =−2825时，|F 1A →+F 1B →|取到最小值为65，故|F 1A →+F 1B →|≥65，故D 正确．故选：AD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．在等比数列{a n }中，a 1+a 2＝2，a 5+a 6＝4，则a 9+a 10＝ 8 ． 解：设等比数列{a n }的公比为q ， 则a 5+a 6=(a 1+a 2)q 4， 即4＝2q 4， 解得q 4＝2，故a 9+a 10=(a 5+a 6)q 4=4×2=8． 故答案为：8．14．曲线y ＝（1+x ）lnx 在点x ＝1处的切线方程为 y ＝2x ﹣2 ． 解：由y ＝（1+x ）lnx ，得y ′＝lnx +1x+1， ∴y ′|x ＝1＝2， 又x ＝1时，y ＝0，∴曲线y ＝（1+x ）lnx 在点x ＝1处的切线方程为y ＝2（x ﹣1）， 即y ＝2x ﹣2． 故答案为：y ＝2x ﹣2．15．已知tan α，tan β是方程x 2+5x ﹣6＝0的两根，则cos2（α+β）＝ 1237．解：依题意，tan α+tan β＝﹣5，tan αtan β＝﹣6， 则tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanαtanβ=−51−(−6)=−57， 则cos2（α+β）＝2cos 2（α+β）﹣1=2tan 2(α+β)+1−1=22549+1−1=1237． 故答案为：1237．16．已知数列{a n }满足a 1＝a ，a n +1={a n +2，n =2k −112a n，n =2k（k ∈N *），当a ＝1时，a 10＝ 6316 ；若数列{a n }的所有项仅取有限个不同的值，则满足题意的所有实数a 的值为 2 ． 解：∵a n +1={a n +2，n =2k −112a n ，n =2k（k ∈N *），∴a 2n +2＝a 2n +1+2=12a n +2， 则a 2n +2﹣4=12（a 2n ﹣4 ） ∵a 1＝a ，∴a 2＝a 1+2＝a +2，故数列{a 2n ﹣4}是以a 2﹣4＝a ﹣2为首项，12为公比的等比数列，∴a 2n ﹣4＝（a ﹣2）(12)n−1，即a 2n ＝（a ﹣2）(12)n−1+4 ∴当a ＝1时，a 10＝（1﹣2）(12)4+4=6316． 因为a 2n ＝a 2n ﹣1+2，所以a 2n ﹣1＝（a ﹣2）(12)n−1+2， 要使{a n }的所有项仅取有限个不同的值，则a ＝2， 此时a 2n ＝4，a 2n ﹣1＝2，否则a ≠2时，{a n }的取值有无穷多个． 故答案为：6316；2．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知对于任意n ∈N *，函数f （x ）＝x 2+2x 在点（n ，f （n ））处切线斜率为a n ，{b n }是公比大于0的等比数列，b 1＝3，b 3﹣b 2＝18． （1）求数列{a n }和{b n }的通项公式；（2）设c n =log 3b n +2(n+2)a n，求数列{c n }的前20项和T 20．解：（1）已知函数f （x ）＝x 2+2x ， ∴f '（x ）＝2x +2， ∴a n ＝2n +2，又因为b 1＝3，b 3﹣b 2＝18， 所以q 2﹣q ﹣6＝0， 又q ＞0， 解得q ＝3，所以b n =3×3n−1=3n ；（2）已知c n =log 3b n +2(n+2)a n，则c n =n +1(n+1)(n+2)=n +1n+1−1n+2，所以T 20=(1+2+3+⋯⋯+20)+(12−13+13−14+⋯⋯+121−122) =20(1+20)2+(12−122) =231511．18．（12分）已知m ，n ，a ∈R ，函数f(x)=13x 3−x 2−3x +2的单调递减区间为A ＝[m ，n ]，区间B ＝[2a ﹣3，a +3]．（1）求函数f （x ）的单调递减区间A ＝[m ，n ]； （2）“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，求a 的取值范围． 解：（1）f ′（x ）＝x 2﹣2x ﹣3，由f ′（x ）≤0，有x 2﹣2x ﹣3≤0，得﹣1≤x ≤3， 所以f （x ）＝x 3﹣3x 2的单调递减区间为A ＝[﹣1，3]； （2）∵B ＝[2a ﹣3，a +3]，∴有2a ﹣3＜a +3得a ＜6， 又x ∈A 是x ∈B 的充分条件，可知A ⊆B ， 有{a ＜6a +3≥32a −3≤−1，得0≤a ≤1，故实数a 的取值范围为[0，1]．19．（12分）第25届冬季奥林匹克运动会将于2026年举办．某国运动队拟派出甲、乙、丙三人参加自由式滑雪比赛，比赛分为初赛和决赛，其中初赛有两轮，只有两轮都获胜才能进入决赛．已知甲在每轮比赛中获胜的概率均为34；乙在第一轮和第二轮比赛中获胜的概率分别为45和58；丙在第一轮和第二轮比赛中获胜的概率分别为p 和32−p ，其中12＜p ＜34．（1）求甲、乙、丙三人中，谁进入决赛的可能性大？ （2）若甲、乙、丙三人都进入决赛的概率为532，求三人中进入决赛的人数ξ的分布列和期望．解：（1）甲在初赛的两轮中均获胜的概率为P 1=34×34=916； 乙在初赛的两轮中均获胜的概率为：P 2=45×58=12；丙在初赛的两轮中均获胜的概率为：P 3=p(32−p)=−p 2+32p ；因为12＜p ＜34，所以12＜P 3=−(p −34)2+916＜916，所以P 1＞P 3＞P 2，即甲进入决赛的可能性最大； （2）设甲、乙、丙都进入决赛的概率为P 4， 则P 4=P 1P 2P 3=916×12×(−p 2+32p)=532， 整理得18p 2﹣27p +10＝0，解得p =23或p =56， 由12＜p ＜34，所以p =23，所以丙在初赛的第一轮和第二轮获胜的概率分别为23、56，两轮中均获胜的概率为：P 3=23×56=59， 进入决赛的人数ξ的可能取值为：0、1、2、3， 所以P(ξ=0)=(1−916)×(1−12)×(1−59)=772， P(ξ=1)=716×12×59+916×12×49+716×12×49=1132， P(ξ=2)=916×12×49+916×12×59+716×12×59=2972， P(ξ=3)=916×12×59=532， 所以ξ的分布列为：所以E(ξ)=0×772+1×1132+2×2972+3×532=233144．20．（12分）如图，已知SA 垂直于梯形ABCD 所在的平面，矩形SADE 的对角线交于点F ，G 为SB 的中点，∠ABC ＝∠BAD =π2，SA ＝AB ＝BC =12AD ＝1． （1）求证：BD ∥平面AEG ；（2）求平面SCD 与平面ESD 夹角的余弦值；（3）在线段EG 上是否存在一点H ，使得BH 与平面SCD 所成角的大小为π6？若存在，求出GH 的长；若不存在，说明理由．解：（1）证明：连接FG ，如图所示：在△SBD 中，F 、G 分别为SD ，SB 的中点，∴FG ∥BD ， 又∵FG ⊂平面AEG ，BD ⊄平面AEG ， ∴BD ∥平面AEG ；（2）由题意得SA ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ， ∴SA ⊥AB ，SA ⊥AD ， 又∠BAD =π2，∴AB ⊥AD ，则建立以A 为原点，以AB 、AD 、AS 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴的空间直角坐标系A ﹣xyz ，如图所示：SA ＝AB ＝BC =12AD ＝1，则A （0，0，0），B （1，0，0），C （1，1，0），D （0，2，0），S （0，0，1），E （0，2，1），G （12，0，12），∴CD →=(−1，1，0)，SC →=(1，1，−1)， 设平面SCD 的一个法向量为m →=(x ，y ，z)，则{m →⋅CD →=−x +y =0m →⋅SC →=x +y −z =0，取x ＝1，则y ＝1，z ＝2， ∴平面SCD 的一个法向量为m →=(1，1，2)， 又平面ESD 的一个法向量为AB →=(1，0，0)，设平面SCD 与平面ESD 夹角为α，由图形可知，二面角C ﹣SD ﹣E 为钝角， ∴cos α＝﹣|cos ＜m →，AB →＞|=|m →⋅AB →||m →|⋅|AB →|=6×1=−√66，故二面角C ﹣SD ﹣E 的余弦值为−√66；（3）假设在线段EG 上存在一点H ，设GH →=λGE →=(−12λ，2λ，12λ)，则BH →=BG →+λGE →=(−12−12λ，2λ，12+12λ)， 由（2）得平面SCD 的一个法向量为m →=(1，1，2)， ∵BH 与平面SCD 所成角的大小为π6，∴sin π6=|cos〈m →，BH →〉|=|−12−12λ+2λ+1+λ|√6×√4λ2+12(1+λ)2=12，即（λ﹣1）2＝0，解得λ＝1，故存在满足题意的点H ，此时GH =|GE →|=3√22． 21．（12分）如图，已知椭圆C ：x 2a2+y 2=1(a ＞1)，其左、右焦点分别为F 1，F 2，过右焦点F 2且垂直于x 轴的直线交椭圆于第一象限的点P ，且sin ∠PF 1F 2=13． （1）求椭圆C 的方程；（2）过点S(0，−13)且斜率为k 的动直线l 交椭圆于A ，B 两点，在y 轴上是否存在定点M ，使以AB 为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．解：（1）∵sin ∠PF 1F 2=|PF 2||PF 1|=13，|PF 1|+|PF 2|=2a ，∴|PF 1|=32a ，|PF 2|=a 2，∵|PF 2|2+|F 1F 2|2=|PF 1|2，|F 1F 2|=2c ， ∴a =√2c ，∵a 2＝c 2+1，∴c =1，a =√2， ∴椭圆方程为：x 22+y 2=1．（2）动直线l 的方程为：y =kx −13， 由 {y =kx −13x 22+y 2=1得(2k 2+1)x 2−4k 3x −169=0， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 则x 1+x 2=4k 3(2k 2+1)，x 1x 2=−169(2k 2+1).Δ=169k 2+649(1+2k 2)=16k 2+649＞0． 由对称性可设存在定点M （0，m ）满足题设，则MA →=(x 1，y 1−m)，MB →=(x 2，y 2−m)，MA →⋅MB →=0⇒x 1x 2+(y 1−m)(y 2−m)=0 ⇒(1+k 2)x 1x 2−k(13+m)(x 1+x 2)+(13+m)2=0 ⇒6（m 2﹣1）k 2+（3m 2+2m ﹣5）＝0，由题意知上式对∀k ∈R 成立，∴m 2﹣1＝0且3m 2+2m ﹣5＝0，解得m ＝1． ∴存在定点M ，使得以AB 为直径的适恒过这个点，且点M 的坐标为（0，1）． 22．（12分）已知函数f （x ）＝x 2+alnx ． （Ⅰ）当a ＝﹣2时，求函数f （x ）的极值；（Ⅱ）若g （x ）＝f （x ）+2x在[1，+∞）上是单调增函数，求实数a 的取值范围． 解：（ I ）函数f （x ）的定义域为（0，+∞） 当a ＝﹣2时，f ′(x)=2x −2x =2(x+1)(x−1)x 当x 变化时，f ′（x ），f （x ）的值变化情况如下表由上表可知，函数f （x ）单调递减区间是（0，1），单调递增区间是（1，+∞） 极小值是f （1）＝1，没有极大值（2）由g(x)=x2+alnx+2x得g′(x)=2x+ax−2x2因为g（x）在[1，+∞）上是单调增函数所以g′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立即不等式2x+ax−2x2≥0在[1，+∞）上恒成立即a≥2x−2x2在[1，+∞）上恒成立令∅(x)=2x−2x2则∅′(x)=−2x2−4x当x∈[1，+∞）时，∅′(x)=−2x2−4x＜0∴∅(x)=2x−2x2在[1，+∞）上为减函数∅（x）的最大值为∅（1）＝0∴a≥0故a的取值范围为[0，+∞）。

2020-2021学年高二上学期期末考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若3324A 10A n n =，则n =（ ）A ．1B ．8C ．9D ．102．期末考试结束后，某班要安排6节课进行试卷讲评，要求课程表中要排入语文、数学、英语、物理、化学、生物共六节课，如果第一节课只能排语文或数学，最后一节不能排语文，则不同的排法共有（ ） A ．192种B ．216种C ．240种D ．288种3．一台X 型号自动机床在一小时内不需要工人照看的概率为0.8，有4台这种型号的自动机床各自独立工作，则在一小时内至多2台机床需要工人照看的概率是（ ） A ．0.1536B ．0.1808C ．0.5632D ．0.97284．某市气象部门根据2021年各月的每天最高气温平均值与最低气温平均值（单位：℃）数据，绘制如下折线图：那么，下列叙述错误的是（ ）A ．各月最高气温平均值与最低气温平均值总体呈正相关B ．全年中，2月份的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大C ．全年中各月最低气温平均值不高于10℃的月份有5个D ．从2021年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值都呈下降趋势5．若()2N 1,X σ~，则()0.6827P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9545P X μσμσ-<≤+=，已知()21,3X N ~，则(47)P X <≤=（ ）A ．0.4077B ．0.2718C ．0.1359D ．0.04536．为了评价某个电视栏目的改革效果，在改革前后分别从居民点抽取了100位居民进行调查，经过计算()200.01P K k ≥=，根据这一数据分析，下列说法正确的是（ ）A ．有1%的人认为该栏目优秀；B ．有1%的把握认为该栏目是否优秀与改革有关系；C ．有99%的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系；D ．没有理由认为电视栏目是否优秀与改革有关系.7．若1021001210)x a a x a x a x =++++，则012310a a a a a -+-++的值为．A 1B 1C ．101)D ．101)8．关于()72x +的二项展开式，下列说法正确的是（ ） A ．()72x +的二项展开式的各项系数和为73B ．()72x +的二项展开式的第五项与()72x +的二项展开式的第五项相同C ．()72x +的二项展开式的第三项系数为4372CD ．()72x +的二项展开式第二项的二项式系数为712C9．如图，某建筑工地搭建的脚手架局部类似于一个3×2×3的长方体框架，一个建筑工人欲从A 处沿脚手架攀登至B 处，则其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为（ ）A ．528B ．514C ．29D ．1210．三棱锥P ABC -中P A ､PB ､PC 两两互相垂直，4PA PB +=，3PC =，则其体积（ ） A ．有最大值4B ．有最大值2C ．有最小值2D ．有最小值4二、填空题11．最小二乘法得到一组数据(),(1,2,3,4,5)i i x y i =的线性回归方程为ˆ23yx =+，若5125ii x==∑，则51i i y ==∑___________.12．某班举行的联欢会由5个节目组成,节目演出顺序要求如下: 节目甲不能排在第一个,并且节目甲必须和节目乙相邻.则该班联欢会节目演出顺序的编排方案共有____种. 13．若随机变量X 的概率分布如表，则表中a 的值为______.14．设随机变量ξ~B (2，p )，若P (ξ≥1)=59，则D (ξ)的值为_________.15．已知等差数列{}n a 中，33a =，则1a 和5a 乘积的最大值是______.16．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮的概率为___________.17．经统计，在银行一个营业窗口每天上午9点钟排队等候的人数及相应概率如下：则该营业窗口上午9点钟时，至少有2人排队的概率是_____．18．点A ，B ，C 在球O 表面上，2AB =，BC =90ABC ∠=︒，若球心O 到截面ABC的距离为___________.19．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11AAC C 是边长为4的正方形，平面ABC ⊥平面11AAC C ，3AB =，5BC =.（℃）求证：1AA ⊥平面；（℃）若点E 是线段的中点，请问在线段是否存在点E ，使得面11AAC C ？若存在，请说明点E 的位置，若不存在，请说明理由； （℃）求二面角的大小.20．四根绳子上共挂有10只气球,绳子上的球数依次为1,2,3,4，每枪只能打破一只球,而且规定只有打破下面的球才能打上面的球,则将这些气球都打破的不同打法数是________.三、解答题21．已知集合(){}()12,,,|,1,2,,1nn i R x x x x R i n n =∈=≥，定义n R 上两点()12,,,n A a a a ，()12,,,n B b b b 的距离()1,ni i i d A B a b ==-∑.（1）当2n =时，以下命题正确的有__________（不需证明）： ℃若()1,2A ，()4,6B ，则(),7d A B =；℃在ABC 中，若90C =∠，则()()()222,,,d A C d C B d A B ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=⎣⎦⎣⎦⎣⎦； ℃在ABC 中，若()(),,d A B d A C =，则B C ∠=∠;（2）当2n =时，证明2R 中任意三点A B C ，，满足关系()()(),,,d A B d A C d C B ≤+；（3）当3n =时，设()0,0,0A ，()4,4,4B ，(),,P x y z ，其中x y z Z ∈，，，()()(),,,d A P d P B d A B +=.求满足P 点的个数n ，并证明从这n 个点中任取11个点，其中必存在4个点，它们共面或者以它们为顶点的三棱锥体积不大于83.22．今年4月，教育部办公厅印发了《关于加强义务教育学校作业管理的通知》，规定初中学生书面作业平均完成时长不超过90分钟．某市为了更好地贯彻落实“双减”工作要求，作教育决策，该市教育科学研究院就当前全市初三学生每天完成书面作业时长抽样调查，结果是学生书面作业时长（单位：分钟）都在区间[]50,100内，书面作业时长的频率分布直方图如下：(1)若决策要求：在国家政策范围内，若当前初三学生书面作业时长的中位数估计值大于或等于平均数（计算平均数时，同一组中的数据用该区间的中点值代表）估计值，则减少作业时长；若中位数估计值小于平均数，则维持现状．请问：根据这次调查，该市应该如何决策？(2)调查统计时约定：书面作业时长在区间[]90,100内的为A 层次学生，在区间[)80,90内的为B 层次学生，在区间[70,80)内的为C 层次学生，在其它区间内的为D 层次学生．现对书面作业时长在70分钟以上（含70分钟）的初三学生，按作业时长出现的频率用分层抽样的方法随机抽取8人，再从这8人中随机抽取3人作进一步调查，设这3人来自X 个不同层次，求随机变量X 的分布列及数学期望．23．国家文明城市评审委员会对甲､乙两个城市是否能入围“国家文明城市”进行走访调查.派出10人的调查组.先后到甲､乙两个城市的街道､社区进行问卷调查，然后打分（满分100分）.他们给出甲､乙两个城市分数的茎叶图如图所示：(1)请你用统计学的知识分析哪个城市更应该入围“国家文明城市”，请说明理由；(2)从甲､乙两个城市的打分中各抽取2个，在已知有大于80分的条件下，求抽到乙城市的分数都小于80分的概率；(3)从对乙城市的打分中任取2个，设这2个分数中不小于80分的个数为X，求X的分布列和期望.参考答案：1．B【分析】根据排列数的运算求解即可.【详解】由332A 10A n n =得，2(21)(22)10(1)(2)n n n n n n --=--，又3,n n *≥∈N ，所以2(21)5(2)n n -=-，解得8n =， 所以正整数n 为8． 故选：B. 2．B【分析】对第一节课的安排进行分类讨论，结合分步乘法计数原理和分类加法计数原理可得结果.【详解】分以下两种情况讨论：℃若第一节课安排语文，则后面五节课的安排无限制，此时共有55A 种；℃若第一节课安排数学，则语文可安排在中间四节课中的任何一节，此时共有444A 种.综上所述，不同的排法共有54544216A A +=种.故选：B. 3．D【详解】设在一个小时内有ξ台机床需要工人照看，则ξ～B (4,0.2)，所以P (ξ≤2)＝04C (0.8)4＋14C (0.8)3×0.2＋24C (0.8)2×(0.2)2＝0.972 8. 故选D 4．D【分析】利用折线图可以判断选项ABC 正确，从2021年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值，先上升后下降，所以选项D 错误.【详解】解：由2021年各月的每天最高气温平均值和最低气温平均值（单位：C)︒数据，绘制出的折线图，知：在A 中，各月最高气温平均值与最低气温平均值为正相关，故A 正确；在B 中，全年中，2月的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大，故B 正确； 在C 中，全年中各月最低气温平均值不高于10C ︒的月份有1月，2月，3月，11月，12月，共5个，故C 正确；在D 中，从2021年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值，先上升后下降，故D 错误. 故选：D ． 5．C【分析】由题意，得(47)(2)P X P X μσμσ<≤=+<≤+，再利用3σ原则代入计算即可.【详解】℃()21,3X N ~，由()0.6827P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9545P X μσμσ-<≤+=，℃1(47)(2)(0.95450.6827)0.13592P X P X μσμσ<≤=+<≤+=-=.故选：C 6．C【分析】利用独立性检验的基本原理即可求出答案．【详解】解：℃()200.01P K k ≥=表示“电视栏目是否优秀与改革没有关系”的概率，℃有99%的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系， 故选：C ．【点睛】本题主要考查独立性检验的基本应用，准确的理解判断方法是解决本题的关键，属于基础题． 7．D【详解】分析：令1021001210())f x x a a x a x a x ==++++，再求f(-1)的值得解.详解：令1021001210())f x x a a x a x a x ==++++，1001210(1)1)f a a a a -==-+++．故答案为D ．点睛：（1）本题主要考查二项式定理中的系数求法问题，意在考查学生对这些基础知识 的掌握水平.(2) 二项展开式的系数0123,,,,n a a a a a ⋅⋅⋅的性质：对于2012()?··n n f x a a x a x a x =++++，0123(1)n a a a a a f ++++⋅⋅⋅+=， 0123(1)(1)n n a a a a a f -+-+⋅⋅⋅+-=-.8．A【分析】利用赋值法求出展开式各项系数和，即可判断A ，根据二项式展开式的通项，即可判断B 、C 、D ；【详解】解：()72x +展开式的通项为7172rrr r T C x -+=⋅⋅，故第二项的二项式系数为177C =，故D 错误； 第三项的系数为2572C ⋅，故C 错误；()72x +的展开式的第五项为43472C x ⋅⋅，()72x +的展开式的第五项为44372C x ⋅⋅，故B 错误； 令1x =则()7723x +=，即()72x +的二项展开式的各项系数和为73，故A 正确； 故选：A 9．B【解析】将问题抽象成“向左三次，向前两次，向上三次”，计算出总的方法数，然后利用插空法计算出最近的行走路线中不连续向上攀登的事件数，最后根据古典概型概率计算公式，计算出所求概率.【详解】从A 的方向看，行走方向有三个：左、前、上. 从A 到B 的最近的行走线路，需要向左三次，向前两次，向上三次，共8次.所以从A 到B 的最近的行走线路，总的方法数有88332332560A A A A =⋅⋅种. 不连续向上攀登的安排方法是：先将向左、向前的安排好，再对向上的方法进行插空.故方法数有：53563232200A C A A ⨯=⋅.所以最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为200556014=. 故选：B【点睛】本小题主要考查古典概型的计算，考查有重复的排列组合问题，考查插空法，属于中档题. 10．B【分析】依题意可得1113332P ABC PABV PC SPA PB -=⋅=⨯⨯⋅再利用基本不等式计算可得； 【详解】解：依题意21111132332222P ABCPABPA PB V PC S PA PB PA PB -+⎛⎫=⋅=⨯⨯⋅=⋅≤= ⎪⎝⎭，当且仅当2PA PB ==时取等号，所以()max 2P ABC V -=， 故选：B11．65【分析】由最小二乘法得到的线性回归方程过点(),x y ，代入即可解决 【详解】由5125i i x ==∑可知，数据的平均数2555x ==， 又线性回归方程ˆ23yx =+过点(),x y ， 所以25313y =⨯+=，故51551365i i y y ===⨯=∑故答案为：65 12．42【分析】由题意可知，甲可排在第二、三、四、五个，再根据甲、乙相邻，分别计算. 【详解】由题意可知，甲可排在第二、三、四、五个，当甲排在第二、三、四个时，甲乙相邻，有22A 种排法，将甲乙当做一个整体，剩下三个节目全排列，共3×22A ×33A =36种当甲排在第五个时，甲乙相邻，只有一种排法，剩下三个节目全排列，共33A =6种 综上，编排方案共36+6=42种【点睛】本题考查了分类计数原理，分类时要注意不重不漏；解决排列问题时，相邻问题常用捆绑法，特殊位置要优先考虑. 13．0.2【解析】利用概率和为1可求出答案. 【详解】由随机变量X 的概率分布表得： 0.20.30.31a +++=，解得0.2a =. 故答案为：0.2【点睛】本题考查的是分布列的性质，较简单. 14．49【分析】由二项分布的特征，先求出13p =，套公式即可求出D (ξ). 【详解】因为随机变量ξ~B (2，p )，且P (ξ≥1)=59，所以P (ξ≥1)=()11P ξ-<= ()10P ξ-==()25119p --=. 解得：13p =. 所以D (ξ)()12412339np p =-=⨯⨯=.故答案为：4915．9【分析】设出公差，根据等差数列的性质，表示出15,a a ，再列式即可求得结果. 【详解】因为{}n a 是等差数列，设公差为d ，可得13532,2a a d a a d =-=+，于是得()()2153322949a a a d a d d =-+=-≤，当且仅当d =0，即153a a ==时，取得最大值. 故答案为：9.【点睛】本题考查等差数列的下标和性质，属基础题. 16．1443125##0.04608 【分析】认真分析该选手所有可能的答题情况，是本题的关键【详解】由该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮，说明他第4、第5两个问题是连续答对的，第3个问题没有答对，第1和第2两个问题也没有全部答对，即他答题结果可能有三种情况：⨯⨯⨯√√或⨯√⨯√√或√⨯⨯√√，根据独立事件同时发生的概率公式，可得该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮的概率为0.20.20.20.80.8+0.20.80.20.80.8+0.80.20.20.80.8=0.04608⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯故答案为：0.04608 17．0.74【详解】试题分析：x 表示人数，(2)(2)(3)(4)(5)P x P x P x P x P x ≥==+=+=+≥0.30.30.10.040.74=+++=.考点：互斥事件的概率.18．【分析】根据截面圆性质，先求出截面圆半径，然后由求得球半径，从而求得体积．【详解】因为2AB =，BC =90ABC ∠=︒，所以4AC ==，所以三角形外接圆半径22ACr ==，又球心O 到截面ABC 的距离为R =球体积为(334433V R ππ==⨯=．故答案为：．19．（℃）（℃）（℃）见解析【详解】试题分析：（℃）由正方形的性质得1AC AA ⊥，然后由面面垂直的性质定理可证得结果；（℃）当点E 是线段1AB 的中点时，利用中位线定理可得1DE AC ，进而得出DE 面11AAC C ；（℃）利用二面角的定义先确定11C AC ∠是二面角111C A B C --的平面角，易求得11tan C A C ∠，从而求得二面角的平面角为的度数．试题解析：（℃）因为四边形11AAC C 为正方形，所以1AC AA ⊥． 因为平面ABC ⊥平面11AAC C ，且平面ABC ⋂平面11AAC C AC =， 所以1AA ⊥平面ABC ．（℃）当点E 是线段1AB 的中点时，有DE 面11AAC C ， 连结1AB 交1AB 于点E ，连结BC ，因为点E 是1AB 中点，点⊄是线段DE 的中点，所以1DE AC ． 又因为BC ⊂面11AAC C ，11A C 面11AAC C ，所以DE 面11AAC C .（℃）因为1AA ⊥平面ABC ，所以.又因为，所以面11AAC C ，所以11A B ⊥面11AAC C ，所以11A B ⊥1A C ，11A B ⊥11A C ，所以11C AC ∠是二面角111C A B C --的平面角， 易得，所以二面角111C A B C --的平面角为45°.考点：1、线面垂直的判定；2、线面平行的判定；2、二面角．【方法点睛】立体几何中的探索性问题主要是对平行、垂直关系的探究，对条件和结论不完备的开放性问题的探究．解决这类问题时一般根据探索性问题的设问，假设其存在并探索出结论，然后在假设下进行推理，若得到合乎情理的结论就肯定假设，若得到矛盾就否定假设． 20．12600【详解】问题等价于编号为1,2,3,10的10个小球排列，其中2,3号，4,5,6号，7,8,9,10号的排列顺序是固定的，据此可得：将这些气球都打破的不同打法数是101023423412600A A A A =⨯⨯. 21．（1）℃；（2）证明见解析；（3）125n =，证明见解析．【解析】（1）℃根据新定义直接计算．℃根据新定义，写出等式两边的表达式，观察它们是否相同，即可判断；℃由新定义写出等式()(),,d A B d A C =的表达式，观察有无AB AC =； （2）由新定义，写出不等式两边的表达式，根据绝对值的性质证明；（3）根据新定义，及绝对值的性质得P 点是以AB 为对角线的正方体的表面和内部的整数点，共125个，把它们分布在五个平面(0,1,2,3,4)z =上，这五个面一个面取3个点，相邻面上取一个点，以它们为顶点构成三棱锥（能构成时），棱锥的体积不超过83，然后任取11点中如果没有4点共面，但至少有一个平面内有3个点．根据这3点所在平面分类讨论可得． 【详解】（1）当2n =时，℃若()1,2A ，()4,6B ，则(),41627d A B =-+-=，℃正确；℃在ABC 中，若90C =∠，则222AC BC AB +=，设112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，所以222222131323231212()()()()()()x x y y x x y y x x y y -+-+-+-=-+-而()2221212121221212()()()2)),((x x y y x x y y d A x B x y y =⎡⎤⎣-+-+⎦=--+--， ()()22,,d A C d C B ⎡⎤⎡⎤+=⎣⎦⎣⎦22221313232313132323()()()()2()()2()()x x y y x x y y x x y y x x y y -+-+-+-+--+--，但1313232312122()()2()()2()()x x y y x x y y x x y y --+--=--不一定成立，℃错误； ℃在ABC 中，若()(),,d A B d A C =，在℃中的点坐标，有12121313x x y y x x y y -+-=-+-，但1212131322x x y y x x y y -⋅-=-⋅-不一定成立，因此AB AC =不一定成立，从而B C ∠=∠不一定成立，℃错误．空格处填℃（2）证明：设112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，根据绝对值的性质有132312x x x x x x -+-≥-，132312y y y y y y -+-≥-，所以(,)(,)(,)d A C d B C d A B +≥．,（3）(,)12d A B =，44,44,44x x y y z z +-≥+-≥+-≥，所以(,)(,)12d A P d B P +≥，当且仅当以上三个等号同时成立，(,)(,)12d A P d B P +=又由已知()()(),,,d A P d P B d A B +=，℃04,04,04x y z ≤≤≤≤≤≤， 又,,x y z Z ∈，℃,,0,1,2,3,4x y z =，555125⨯⨯=，点P 是以AB 为对角线的正方体内部（含面上）的整数点，共125个，125n =． 这125个点在0,1,2,3,4z z z z z =====这五面内．这三个平面内，一个面上取不共线的3点，相邻面上再取一点构成一个三棱锥．则这个三棱锥的体积最大为118441323V =⨯⨯⨯⨯=，现在任取11个点，若有四点共面，则命题已成立，若其中无4点共面，但11个点分在5个平面上至少有一个平面内有3个点（显然不共线），若这三点在1,2,3z z z ===这三个平面中的一个上，与这个面相邻的两个面上如果有一点，那么这一点与平面上的三点这四点可构成三棱锥的四个顶点，其体积不超过83，否则还有8个点在平面0z =和4z =上，不合题意，若这三个点在平面0z =或5z =上，不妨设在平面0z =，若在平面1z =在一个点，则同样四点构成的三棱锥体积不超过83，否则剩下的8个点在2,3,4z z z ===三个平面上，只能是3，3，2分布，不管哪一种分布都有四点构成的三棱锥体积不超过83，综上，任取11个点，其中必存在4个点，它们共面或者以它们为顶点的三棱锥体积不大于83.【点睛】关键点点睛：本题新定义距离(,)d A B ，解题关键是利用新定义转化为绝对值，利用绝对值的性质解决一些问题．本题还考查了抽屉原理，11个放在5个平面上，至少有一个平面内至少有3点，由此分类讨论可证明结论成立． 22．(1)该市应该作出减少作业时长的决策； (2)分布列见解析；期望为167.【分析】（1）根据题意，结合频率分布直方图，分别求出中位数和平均数，即可求解； （2）根据题意，结合分层抽样以及离散型随机变量的分布列与期望求法，即可求解. (1)作业时长中位数的估计值为直方图中等分面积的线对立的值，设为x ．0.01100.01100.02100.5⨯+⨯+⨯<． 0.01100.01100.02100.03100.5⨯+⨯+⨯+⨯>，()0.01100.01100.02100.03800.5x ∴⨯+⨯+⨯+⨯-=．解得2503x =，即中位数的故计值2503分钟．又作业时长平均数估计值为0.0110550.0110650.021075⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ 2500.0310850.031095813+⨯⨯+⨯⨯=<． 因为中位数的估计值2503分钟大于平均数估计值81分钟， 所以，根据这次调查，该市应该作出减少作业时长的决策. (2)由题，作业时长在70分钟以上（含70分钟）为[90.100]，[80,90)，[70,80)三个区间，其频率比为3：3：2，分别对应A ，B ，C 三个层次．根据分层抽样的方法，易知各层次抽取的人数分别为3，3，2， 因此X 的所有可能值为1，2，3．因为333821(1)28C P X C ⨯===，111233389(3)28C C C P X C ⋅⋅===， 121221333232382229(2)14C C C C C C P X C ⨯⋅+⨯⋅+⨯⋅===， 所以X 的分在列为：故数学期望19916()1232814287E X =⨯+⨯+⨯=. 23．(1)乙城市更应该入围“国家文明城市”．理由见解析． (2)425； (3)分布列见解析，期望为1．【分析】（1）根据得分的平均值与方差说明，极差最值也可用来说明；（2）记抽到的数据中有大于80分为事件A ，甲城市抽到的分数有大于80分为事件B ，乙城市抽到的分数有大于80分为事件C ，由()()(|)()()P AC P C P C A P A P A ==计算； （2）X 的可能值是0,1,2，分别求得概率得概率分布列，由期望公式计算出期望． (1)乙城市更应该入围“国家文明城市”． 理由如下：由茎叶图，计算两个城市的得分的均值为 甲：6365987910x +++==，乙：6568927910y +++==，均值相等，方差为甲：222211[(16)(14)19]13610s =-+-++=， 乙：222221[(14)(11)13]59.810s =-+-++=，甲的方差远大于乙的方差，说明乙的得分较稳定，甲极其不稳定，因此乙城市更应该入围“国家文明城市”． (2)记抽到的数据中有大于80分为事件A ，甲城市抽到的分数有大于80分为事件B ，乙城市抽到的分数有大于80分为事件C ，262102()13C P B C =-=，252107()19C P C C =-=，2725()1(1)(1)3927P A =--⨯-=，7()()9P AC P C ==， 所以()()()()749(|)1(|)111252527P AC P C P C A P C A P A P A =-=-=-=-=；(3)乙城市10个人中5个大于80分，5个小于80，X 的可能是0,1,2，252102(0)9C P X C ===，11552105(1)9C C P X C ===，252102(2)9C P X C ===，所以X 的分布列为：52()12199E X =⨯+⨯=．。

2021-2022学年广东省深圳第二高级中学、第七高级中学高二（上）期末数学试卷试题数：22，总分：1501.（单选题，5分）在空间直角坐标系下，点M（-3，6，2）关于y轴对称的点的坐标为（）A.（3，-6，2）B.（-3，-6，-2）C.（3，6，-2）D.（3，-6，-2）2.（单选题，5分）若椭圆x2p +y24=1的一个焦点为（0，-1），则p的值为（）A.5B.4C.3D.23.（单选题，5分）双曲线x2m2+12−y24−m2=1的焦距是（）A.4B. 2√2C.8D.与m有关4.（单选题，5分）在数列{a n}中，a1=- 14，a n=1−1a n−1（n＞1），则a2020的值为（）A. −14B.5C. 45D.以上都不对5.（单选题，5分）若抛物线y2=4x上一点P到x轴的距离为2 √3，则点P到抛物线的焦点F的距离为（）A.4B.5C.6D.76.（单选题，5分）中国明代商人程大位对文学和数学也颇感兴趣，他于60岁时完成杰作《直指算法统宗》，这是一本风行东亚的数学名著，该书第五卷有问题云：“今有白米一百八十石，令三人从上及和减率分之，只云甲多丙米三十六石，问：各该若干？”翻译成现代文就是：“今有百米一百八十石，甲乙丙三个人来分，他们分得的米数构成等差数列，只知道甲比丙多分三十六石，那么三人各分得多少米？”请你计算甲应该分得（）A.78石B.76石C.75石D.74石7.（单选题，5分）数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点A（2，0），B（1，2），且AC=BC，则△ABC的欧拉线的方程为（）A.x-2y-4=0B.2x+y-4=0C.4x+2y+1=0D.2x-4y+1=08.（单选题，5分）已知椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，点A是椭圆短轴的一个顶点，且cos∠F1AF2= 34，则椭圆的离心率e=（）A. 12B. √22C. 14D. √249.（多选题，5分）已知递减的等差数列{a n}的前n项和为S n，若S7=S11，则（）A.a10＞0B.当n=9时，S n最大C.S17＞0D.S19＞010.（多选题，5分）已知双曲线C过点(3，√2)且渐近线方程为y=±√3x，则下列结论正3确的是（）A.C的方程为x2−y2=13B.C的离心率为√3C.曲线y=e x-2-1经过C的一个焦点D.直线x−√3y−1=0与C有两个公共点11.（多选题，5分）已知直线l：（a+1）x+ay+a=0（a∈R）与圆C：x2+y2-4x-5=0，则下列结论正确的是（）A.存在a，使得l的倾斜角为90°B.存在a，使得l的倾斜角为135°C.存在a，使直线l与圆C相离D.对任意的a直线l与圆C相交，且a=1时相交弦最短12.（多选题，5分）如图，点E是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱DD1的中点，点M在线段BD1上运动，则下列结论正确的是（）A.直线AD与直线C1M始终是异面直线B.存在点M，使得B1M⊥AEC.四面体EMAC的体积为定值D.当D1M=2MB时，平面EAC⊥平面MAC13.（填空题，5分）等轴双曲线的离心率为___ ．14.（填空题，5分）若a n=（-1）n•（2n-1），则数列{a n}的前21项和S21=___ ．15.（填空题，5分）将数列{n}按“第n组有n个数”的规则分组如下：（1），（2，3），（4，5，6），⋯，则第22组中的第一个数是 ___ ．16.（填空题，5分）数列{a n}中，a1=1，a n+a n+1=（1）n，S n=a1+4a2+42a3+…+4n-1a n，类比4课本中推导等比数列前n项和公式的方法，可求得5S n-4n a n=___ ．17.（问答题，10分）已知各项均为正数的等差数列{a n}中，a1+a2+a3=15，且a1+2，a2+5，a3+13构成等比数列{b n}的前三项．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）求数列{a n+b n}的前n项和T n．18.（问答题，12分）如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AC⊥BC，AC=BC=2，CC1=3，点D，E分别在棱AA1和棱CC1上，且AD=1，CE=2，点M为棱A1B1的中点．（1）求证：C1M || 平面DB1E；（2）求直线AB与平面DB1E所成角的正弦值．19.（问答题，12分）已知点P（1，m）是抛物线C：y2=2px上的点，F为抛物线的焦点，且|PF|=2，直线l：y=k（x-1）与抛物线C相交于不同的两点A，B．（1）求抛物线C的方程；（2）若|AB|=8，求k的值．20.（问答题，12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，已知a2=3a1=3，且当n≥2，n∈N*时，a n+1+2a n-1+3S n-1=3S n．（1）证明：数列{a n+1-a n}是等比数列；，求数列{b n}的前n项和T n．（2）设b n=a n+1a n+1a n21.（问答题，12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD || BC，AD⊥CD，且AD=CD=1，BC=2，PA=1．（1）求证：AB⊥PC；，求三棱锥M-ACP体积．（2）点M在线段PD上，二面角M-AC-D的余弦值为√3322.（问答题，12分）已知椭圆C：9x2+y2=m2（m＞0），直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．（1）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；，m），延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？（2）若l过点（m3若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由．2021-2022学年广东省深圳第二高级中学、第七高级中学高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析试题数：22，总分：1501.（单选题，5分）在空间直角坐标系下，点M（-3，6，2）关于y轴对称的点的坐标为（）A.（3，-6，2）B.（-3，-6，-2）C.（3，6，-2）D.（3，-6，-2）【正确答案】：C【解析】：直接利用点的对称的应用求出结果．【解答】：解：点M（-3，6，2）关于y轴对称的点的坐标为N（3，6，-2）；故选：C．【点评】：本题考查的知识要点：点的对称，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．2.（单选题，5分）若椭圆x2p +y24=1的一个焦点为（0，-1），则p的值为（）A.5B.4C.3D.2【正确答案】：C【解析】：由题意得到关于p的方程，解方程即可确定p的值．【解答】：解：由题意可知椭圆的焦点在y轴上，则a2=4，b2=p，c2=1，从而4=p+1，p=3．故选：C．【点评】：本题主要考查椭圆的标准方程，椭圆的简单性质的应用，属于基础题．3.（单选题，5分）双曲线x2m2+12−y24−m2=1的焦距是（）A.4B. 2√2C.8D.与m有关【正确答案】：C【解析】：由双曲线的方程可先根据公式c2=a2+b2求出c的值，进而可求焦距2c【解答】：解：由题意可得，c2=a2+b2=m2+12+4-m2=16∴c=4 焦距2c=8故选：C．【点评】：本题主要考查了双曲线的定义的应用，解题的关键熟练掌握基本结论：c2=a2+b2，属于基础试题4.（单选题，5分）在数列{a n}中，a1=- 14，a n=1−1a n−1（n＞1），则a2020的值为（）A. −14B.5C. 45D.以上都不对【正确答案】：A【解析】：求出数列的前几项，得到数列的周期，然后求解即可．【解答】：解：数列{a n}中，a1=- 14，a n=1−1a n−1（n＞1），a2=1+4=5，a3=1- 15 = 45，a4=1- 54=- 14，•••，所以数列的周期为3，a2020=a673×3+1=a1= −14．故选：A．【点评】：本题考查数列的递推关系式的应用，数列项的求法，是基础题．5.（单选题，5分）若抛物线y2=4x上一点P到x轴的距离为2 √3，则点P到抛物线的焦点F的距离为（）A.4B.5C.6D.7【正确答案】：A【解析】：求得抛物线的准线方程，利用抛物线的定义，可得点P到抛物线的焦点F的距离．【解答】：解：抛物线y2=4x的准线方程为x=-1∵抛物线y2=4x上一点P到x轴的距离为2 √3，则P（3，±2√3），∴P到抛物线的准线的距离为：4，∴点P到抛物线的焦点F的距离为4．故选：A．【点评】：本题考查抛物线的性质，考查抛物线的定义，属于基础题．6.（单选题，5分）中国明代商人程大位对文学和数学也颇感兴趣，他于60岁时完成杰作《直指算法统宗》，这是一本风行东亚的数学名著，该书第五卷有问题云：“今有白米一百八十石，令三人从上及和减率分之，只云甲多丙米三十六石，问：各该若干？”翻译成现代文就是：“今有百米一百八十石，甲乙丙三个人来分，他们分得的米数构成等差数列，只知道甲比丙多分三十六石，那么三人各分得多少米？”请你计算甲应该分得（）A.78石B.76石C.75石D.74石【正确答案】：A【解析】：由只知道甲比丙多分三十六石，求出公差d=a3−a13−1 = −362=-18，再由S3=3a1+3×22×(−18) =180，能求出甲应该分得78石．【解答】：解：今有百米一百八十石，甲乙丙三个人来分，他们分得的米数构成等差数列，只知道甲比丙多分三十六石，∴ d=a3−a13−1 = −362=-18，S3=3a1+3×22×(−18) =180，解得a1=78（石）．∴甲应该分得78石．故选：A．【点评】：本题考查等差数列的首项的求法，考等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7.（单选题，5分）数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点A（2，0），B（1，2），且AC=BC，则△ABC的欧拉线的方程为（）A.x-2y-4=0B.2x+y-4=0C.4x+2y+1=0D.2x-4y+1=0【正确答案】：D【解析】：由三角形的重心、垂心和外心的定义与性质，推出△ABC的欧拉线就是线段AB的中垂线，再求得中垂线的斜率和线段AB的中点，即可得解．【解答】：解：因为AC=BC，所以点C在线段AB的中垂线上，设该中垂线为直线l，取BC的中点D，连接AD，则AD与直线l的交点在直线l上，该交点即为△ABC的重心，过点A作AE⊥BC于E，则AE与直线l的交点在直线l上，该交点即为△ABC的垂心，因为外心到△ABC的三个顶点的距离相等，所以外心也在直线l上，故△ABC的欧拉线就是直线l，由A（2，0），B（1，2），知AB的中点坐标为（32，1），直线AB的斜率为2−01−2=-2，所以直线l的斜率为12，其方程为y-1= 12（x- 32），即2x-4y+1=0．故选：D．【点评】：本题考查直线方程的求法，两条直线的垂直关系，理解三角形的重心、垂心和外心的定义与性质是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．8.（单选题，5分）已知椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，点A是椭圆短轴的一个顶点，且cos∠F1AF2= 34，则椭圆的离心率e=（）A. 12B. √22C. 14D. √24【正确答案】：D【解析】：由题意可得|AF1|=|AF2|=a，|F1F2|=2c，在三角形中由余弦定理可得a，c之间的关系，进而求出离心率．【解答】：解：由题意可得|AF1|=|AF2|=a，|F1F2|=2c，在△PF1F2中，由余弦定理可得：cos∠F1AF2= |PF1|2+|PF2|2−|F1F2|22|PF1|•|PF2| = a2+a2−4c22a2= 34，可得a2=8c2，即离心率e= ca = √24（0＜e＜1），故选：D．【点评】：本题考查椭圆的几何性质，考查余弦定理的应用，是基础题．9.（多选题，5分）已知递减的等差数列{a n}的前n项和为S n，若S7=S11，则（）A.a10＞0B.当n=9时，S n最大C.S17＞0D.S19＞0【正确答案】：BC【解析】：由递减的等差数列{a n}的前n项和为S n，S7=S11，列出方程，求出a1=−172d＞0，再逐一判断各选项．【解答】：解：∵递减的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 7=S 11，∴ {d ＜07a 1+7×62d =11a 1+11×102d，解得 a 1=−172d ＞0， ∴a 10=a 1+9d=- 172d +9d = 12d ＜0，故A 错误；S n =na 1+ n (n−1)2d =- 17d 2n + d 2n 2 - d 2n = d 2 （n-9）2- 812d ． ∴当n=9时，S n 最大，故B 正确；S 17=17a 1+17×162d =17×（- 172 d ）+136d=-8.5d ＞0，故C 正确； S 19=19a 1+ 19×182 d=19×（- 172d ）+171d=9.5d ＜0，故D 错误．故选：BC ．【点评】：本题考查命题真假的判断，等差数列的性质，考查运算求解能力，是基础题．10.（多选题，5分）已知双曲线C 过点 (3，√2) 且渐近线方程为 y =±√33x ，则下列结论正确的是（ ）A.C 的方程为 x 23−y 2=1B.C 的离心率为 √3C.曲线y=e x-2-1经过C 的一个焦点D.直线 x −√3y −1=0 与C 有两个公共点【正确答案】：AC【解析】：由双曲线的渐近线为 y =±√33x ，设出双曲线方程，代入已知点的坐标，求出双曲线方程判断A ；再求出双曲线的焦点坐标判断B ，C ；直线与双曲线的渐近线的关系判断D ．【解答】：解：由双曲线的渐近线方程为 y =±√33x ，可设双曲线方程为 x 23−y 2=λ ， 把点 (3，√2) 代入，得 93 -2=λ，即λ=1．∴双曲线C 的方程为 x 23−y 2=1 ，故A 正确；由a 2=3，b 2=1，得c= √a 2+b 2 =2，∴双曲线C √3 = 2√33 ，故B 错误；取x-2=0，得x=2，y=0，曲线y=e x-2-1过定点（2，0），故C 正确； 双曲线的渐近线 x ±√3y =0，直线 x −√3y −1=0 与双曲线的渐近线平行，直线 x −√3y −1=0 与C 有1个公共点故D 不正确．故选：AC．【点评】：本题考查命题的真假判断与应用，考查双曲线方程的求法，考查双曲线的简单性质，是中档题11.（多选题，5分）已知直线l：（a+1）x+ay+a=0（a∈R）与圆C：x2+y2-4x-5=0，则下列结论正确的是（）A.存在a，使得l的倾斜角为90°B.存在a，使得l的倾斜角为135°C.存在a，使直线l与圆C相离D.对任意的a直线l与圆C相交，且a=1时相交弦最短【正确答案】：AD【解析】：对于AB选项，根据倾斜角可判断直线的位置以及斜率，进而可以求出a的值，而C选项根据直线与圆相离满足的条件可求出a的值是否存在，而D选项，先求出直线过的定点，可判断直线与圆的位置，且定点与圆心连线与直线垂直时弦长最短可求出a的值．【解答】：解：选项A：当a=0时，直线方程为x=0，此时倾斜角为90°，A正确，选项B：当倾斜角为135°时，直线斜率为-1，即- a+1a=-1，解得a为空集，B错误，选项C：圆C的圆心为C（2，0），半径r=3，若直线与圆相离，则圆心到直线的距离为|(a+1)×2+a|√(a+1)2+a2＞3，整理得：9a2+6a+5＜0，不等式无解，C错误，选项D：经分析直线过定点M（0，-1），此点在圆内，所以直线与圆恒相交，当直线CM与直线l垂直时，直线CM和直线l的斜率之积等于-1，即：−a+1a ×0−(−1)2−0=-1解得a=1，此时弦长最短，D正确，故选：AD．【点评】：本题考查了直线与圆的位置关系以及直线倾斜角和直线过定点的问题，考查了学生的运算能力，推理能力，属于基础题．12.（多选题，5分）如图，点E是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱DD1的中点，点M在线段BD1上运动，则下列结论正确的是（）A.直线AD与直线C1M始终是异面直线B.存在点M，使得B1M⊥AEC.四面体EMAC 的体积为定值D.当D 1M=2MB 时，平面EAC⊥平面MAC【正确答案】：BCD【解析】：当M 为BD 1的中点时可知A 错误，证明BD 1 || 平面EAC 可知C 正确；建立空间坐标系，利用向量判断BD 即可．【解答】：解：（1）当M 为BD 1的中点时，直线AD 与直线C 1M 是相交直线，交点为A ，故A 错误；（2）以D 为原点，以DA ，DC ，DD 1为坐标轴建立空间坐标系D-xyz ，设正方体棱长为1，则A （1，0，0），E （0，0， 12 ），B （1，1，0），D 1（0，0，1），B 1（1，1，1），∴ AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =（-1，0， 12）， B 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（0，0，-1）， BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（-1，-1，1）． BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ （0≤λ≤1），则 B 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = B 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（-λ，-λ，λ-1），若B 1M⊥AE ，则 B 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即λ+ 12 （λ-1）=0，解得λ= 13， ∴当M 为线段BD 1的靠近B 的三等分点时，B 1M⊥AE ，故B 正确；（3）连接BD ，取BD 的中点O ，连接EO ，则O 也是AC 的中点，由中位线定理可知BD 1 || EO ，∴BD 1 || 平面ACE ，故V E-MAC =V M-ACE =V B-ACE ，故C 正确；（4）∵AC⊥BD ，AC⊥DD 1，BD∩DD 1=D ，∴AC⊥平面BDD 1，∴AC⊥OE ，AC⊥OM ，故∠EOM 为二面角E-AC-M 的平面角，当D 1M=2BM 时，M （ 23 ， 23 ， 13 ），又O （ 12 ， 12 ，0），∴ OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（ 16 ， 16 ， 13 ）， OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =（- 12 ，- 12 ， 12）， ∴ OE ⃗⃗⃗⃗⃗ •OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =- 112 - 112 + 16 =0，∴OE⊥MO ， 故平面EAC⊥平面MAC ，故D 正确．故选：BCD ．【点评】：本题考查了空间线面位置关系的判断与性质，可适当选用平面向量法解决几何问题，属于中档题．13.（填空题，5分）等轴双曲线的离心率为___ ．【正确答案】：[1] √2【解析】：根据等轴双曲线的定义，可得a=b，从而可得离心率．【解答】：解：∵等轴双曲线中a=b∴c= √a2+b2 = √2 a= √2∴e= ca故答案为：√2【点评】：本题考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．14.（填空题，5分）若a n=（-1）n•（2n-1），则数列{a n}的前21项和S21=___ ．【正确答案】：[1]-21【解析】：直接利用数列的通项公式和组合法的应用求出结果．【解答】：解：由于a n=（-1）n•（2n-1），则S21=（-1+3）+（-5+7）+（-9+11）+…+（-41）=2×10-4=-21．故答案为：-21．【点评】：本题考查的知识要点：数列的通项公式，组合法的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．15.（填空题，5分）将数列{n}按“第n组有n个数”的规则分组如下：（1），（2，3），（4，5，6），⋯，则第22组中的第一个数是 ___ ．【正确答案】：[1]232【解析】：根据已知可得，第n组中最后一个数即为前n组数的个数和，由此可求得第21组的最后一个数，进而求得第22组中的第3个数【解答】：解：由条件，可得第21组的最后一个数为1+2+3+4+5+6+⋯⋯+21= 21(1+21)2=231，所以第22组的第1个数为232．【点评】：本题考查了归纳推理，等差数列前n项和公式的应用，找到数字的规律是解题的关键，属于中档题．16.（填空题，5分）数列{a n}中，a1=1，a n+a n+1=（14）n，S n=a1+4a2+42a3+…+4n-1a n，类比课本中推导等比数列前n项和公式的方法，可求得5S n-4n a n=___ ．【正确答案】：[1]n【解析】：先对S n=a1+a2•4+a3•42+…+a n•4n-1两边同乘以4，再相加，求出其和的表达式，整理即可求出5S n-4n a n的表达式．【解答】：解：由S n=a1+a2•4+a3•42+…+a n•4n-1①得4•s n=4•a1+a2•42+a3•43+…+a n-1•4n-1+a n•4n②① + ② 得：5s n=a1+4（a1+a2）+42•（a2+a3）+…+4n-1•（a n-1+a n）+a n•4n=a1+4× 14 +42•（14）2+…+4n-1•（14）n-1+4n•a n=1+1+1+…+1+4n•a n=n+4n•a n．所以5s n-4n•a n=n，故答案为：n．【点评】：本题主要考查数列的求和，用到了类比法，关键点在于对课本中推导等比数列前n 项和公式的方法的理解和掌握．17.（问答题，10分）已知各项均为正数的等差数列{a n}中，a1+a2+a3=15，且a1+2，a2+5，a3+13构成等比数列{b n}的前三项．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）求数列{a n+b n}的前n项和T n．【正确答案】：【解析】：（1）通过等数列中项的性质求出a2=5，等比数列中项性质求出d=2，然后分别求出数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）分组求和即可．【解答】：解：（1）设等差数列的公差为d，则由已知得，a1+a2+a3=3a2=15，即a2=5，又（5-d+2）（5+d+13）=（a 2+5）2=100，解得d=2或d=-13（舍去），所以a 1=a 2-d=3，∴a n =a 1+（n-1）×d=2n+1，又b 1=a 1+2=5，b 2=a 2+5=10，∴q=2，∴ b n =5⋅2n−1 ．（2）由（1）知，a n +b n =2n+1+5×2n-1，所以T n = n (3+2n+1)2 + 5−5×2n 1−2=5×2n +n 2+2n-5．【点评】：本题考查了等差数列等比数列的综合，分组求和，属于基础题．18.（问答题，12分）如图所示，在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，CC 1⊥平面ABC ，AC⊥BC ，AC=BC=2，CC 1=3，点D ，E 分别在棱AA 1和棱CC 1上，且AD=1，CE=2，点M 为棱A 1B 1的中点．（1）求证：C 1M || 平面DB 1E ；（2）求直线AB 与平面DB 1E 所成角的正弦值．【正确答案】：【解析】：（1）只要证明C 1M 与平面DB 1E 的法向量数量积为零即可；（2）用向量数量积计算直线与平面成角正弦值．【解答】：（1）证明：建系如图，C （0，0，0），A （2，0，0），B （0，2，0），C 1（0，0，3），A 1（2，0，3），B 1（0，2，3），D （2，0，1），E （0，0，2），M （1，1，3），C 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1，1，0)，B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2，−2，−2) ， ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =（2，0，-1），令 n ⃗ =(1，−1，2) ，因为 B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •n⃗ =0， ED ⃗⃗⃗⃗⃗ •n ⃗ =0 ， 所以 n ⃗ =(1，−1，2) 为平面DB 1E 的法向量，因为 C 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •n ⃗ =0，C 1M⊄平面DB 1E ，所以C 1M || 平面DB 1E ．（2）解：由（1）知 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2，2，0) ， n ⃗ =(1，−1，2) 为平面DB 1E 的一个法向量， 设AB 与平面DB 1E 所成角为θ，所以 sinθ=|cos ＜AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，n ⃗ ＞|=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ •n ⃗ ||AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |•|n ⃗ |=√33， 所以直线AB 与平面DB 1E 所成角的正弦值为 √33 ．【点评】：本题考查了直线与平面的位置关系，考查了直线与平面成角问题，属于中档题．19.（问答题，12分）已知点P （1，m ）是抛物线C ：y 2=2px 上的点，F 为抛物线的焦点，且|PF|=2，直线l ：y=k （x-1）与抛物线C 相交于不同的两点A ，B ．（1）求抛物线C 的方程；（2）若|AB|=8，求k 的值．【正确答案】：【解析】：（1）利用已知条件求出p，即可得到抛物线方程．（2）设出AB坐标，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理以及弦长公式求解即可．【解答】：解：（1）抛物线C：y2=2px的准线为x=p2，由|PF|=2得：1+p2=2，得p=2．所以抛物线的方程为y2=4x．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），由{y=k(x−1)y2=4x，可得k2x2-（2k2+4）x+k2=0，Δ=16k2+16＞0，∴ x1+x2=2k2+4k2，∵直线l经过抛物线C的焦点F，∴ |AB|=x1+x2+p=2k2+4k2+2=8，解得：k=±1，所以k的值为1或-1．【点评】：本题考查抛物线的简单性质的应用，直线与抛物线的位置关系的应用，是基本知识的考查，中档题．20.（问答题，12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，已知a2=3a1=3，且当n≥2，n∈N*时，a n+1+2a n-1+3S n-1=3S n．（1）证明：数列{a n+1-a n}是等比数列；（2）设b n=a n+1a n+1a n，求数列{b n}的前n项和T n．【正确答案】：【解析】：（1）将条件中的递推式整理为a n+1-a n=2a n-2a n-1=2（a n-a n-1），从而可证数列{a n+1-a n}是等比数列；（2）化简数列{b n}的通项公式，利用裂项相消法求和．【解答】：（1）证明：因为当n≥2，n∈N*时，a n+1+2a n-1+3S n-1=3S n，所以a n+1+2a n-1=3S n-3S n-1=3a n，所以a n+1-a n=2a n-2a n-1=2（a n-a n-1），即a n+1−a na n−a n−1=2，（n≥2，n∈N*），又a2-a1=3-1=2，所以数列{a n+1-a n}是首项为2，公比为2的等比数列；解：（2）由（1）知，a n+1−a n=2⋅2n−1=2n，则a1=1，a2−a1=21，a3−a2=22，…… a n−a n−1=2n−1，各项相加，可得a n=1+21+22+⋯+2n−1=1−2n1−2=2n-1，所以b n=a n+1a n+1a n =2n(2n+1−1)(2n−1)= 12n−1−12n+1−1，故 T n=b1+b2+…+b n= 121−1−122−1+122−1−123−1+…+12n−1−12n+1−1= 121−1−12n+1−1= 1−12n+1−1．【点评】：本题考查了等比数列的证明以及数列的求和问题，属于中档题．21.（问答题，12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD || BC，AD⊥CD，且AD=CD=1，BC=2，PA=1．（1）求证：AB⊥PC；（2）点M在线段PD上，二面角M-AC-D的余弦值为√33，求三棱锥M-ACP体积．【正确答案】：【解析】：（1）可证△ABC是等腰直角三角形，即AB⊥AC，可得PA⊥AB，进而AB⊥平面PAC，可证结论；（2）过点M作MN⊥AD于N，则MN || PA，过点M作MG⊥AC于G，连接NG，则AC⊥NG，cos∠MGN= √33，则√2 NG=MN，又AN= √2 NG=MN，设MN=x，△MND是等腰直角三角形，可解得x，从而可求体积．【解答】：（1）证明：∵四边形ABCD是直角梯形，AD=CD=1，BC=2，∴AC= √2，AB= √(BC−AD)2+CD2 = √2，∴△ABC是等腰直角三角形，即AB⊥AC，∵PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴PA⊥AB，又PA∩AC=A，∴AB⊥平面PAC，又PC⊂平面PAC，∴AB⊥PC，（2）解：过点M作MN⊥AD于N，则MN || PA，∴MN⊥平面ABCD，∴MN⊥AC，过点M作MG⊥AC于G，连接NG，则AC⊥NG，∴∠MGN是二面角M-AC-D的平面角，若cos∠MGN= √33，则√2 NG=MN，又AN= √2 NG=MN，设MN=x，则AN=x，ND=1-x，∵△MND是等腰直角三角形，解得x=1-x，所以MN= 12，所以M是PD的中点，所以V P-ACM= 12 V P-ACD= 12× 13× 12×1×1×1= 112．【点评】：本题考查线线垂直的证明，以及空间几何体的体积，属中档题．22.（问答题，12分）已知椭圆C：9x2+y2=m2（m＞0），直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．（1）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；（2）若l过点（m3，m），延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）联立直线方程和椭圆方程，求出对应的直线斜率即可得到结论．（2）四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即x P=2x M，建立方程关系即可得到结论．【解答】：解：（1）设直线l：y=kx+b，（k≠0，b≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），M （x M，y M），将y=kx+b代入9x2+y2=m2（m＞0），得（k2+9）x2+2kbx+b2-m2=0，则判别式△=4k2b2-4（k2+9）（b2-m2）＞0，则x1+x2= −2kb9+k2，则x M= x1+x22= −kb9+k2，y M=kx M+b= 9b9+k2，于是直线OM的斜率k OM= y Mx M = −9k，即k OM•k=-9，∴直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．（2）四边形OAPB能为平行四边形．∵直线l过点（m3，m），∴由判别式△=4k2b2-4（k2+9）（b2-m2）＞0，即k2m2＞9b2-9m2，∵b=m- k3m，∴k2m2＞9（m- k3m）2-9m2，即k2＞k2-6k，即6k＞0，则k＞0，∴l不过原点且与C有两个交点的充要条件是k＞0，k≠3，由（1）知OM的方程为y= −9kx，设P的横坐标为x P，由{y=−9kx9x2+y2=m2得x P2=k2m29k2+81，即x P=3√9+k2，将点（m3，m）的坐标代入l的方程得b= m(3−k)3，即l的方程为y=kx+ m(3−k)3，将y= −9k x，代入y=kx+ m(3−k)3，得kx+ m (3−k )3 = −9kx 解得x M =k (k−3)m 3(9+k 2) ， 四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分，即x P =2x M ，于是 3√9+k 2 =2× k (k−3)m 3(9+k 2) ， 解得k 1=4- √7 或k 2=4+ √7 ，∵k i ＞0，k i ≠3，i=1，2，∴当l 的斜率为4- √7 或4+ √7 时，四边形OAPB 能为平行四边形．【点评】：本题主要考查直线和圆锥曲线的相交问题，联立方程组转化为一元二次方程，利用根与系数之间的关系是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．。