直角投影定理

示） 。 ２ ． 定 理 推 论 的证 明 如 图 ２所 示 ：
证 毕
已知 ：Ａ Ｂ∥日面 ，／ ＿ Ａ Ｂ Ｃ是 直角 。
求证 ： ａ ｂ ｃ 仍是直角 。 证 明 ：Ａ Ｂ／ ／Ｈ 面 ，舶 上Ｈ 面 ，． ・ ．
ＡＢ 上 Ｂｂ 。
三 、结束语
直 角投 影 定 理 虽 然 只是 “ 机 械 制
ｌ
Ｌ
直 角投 影定理及 推广 的证 明
卢 元
（ 广 西 纺 织 工 业 学 校 ，广 西 南 宁 ５ ３ ０ ０ ０ ７ ）
直 角投 影 定 理 在 “ 机械 制 图 ” 中
的点 、线 、面 的 内 容是 一个 很 重 要 的 定
面 ，则此夹角必 为直 角 （ 如 图 １所示 ） 。
空 间 交 叉 两 直 线 在 投 影 面 上 的投 影
相互垂直 ，且其 中有一条平行 于该投影 面时 ，则两直线在空间呈交 叉垂直状 态
（ 如 图 ２所 示 ） 。 ４ ． 定 理 推 论 之 逆 的 证 明 已知 ：两交 叉 直 线 Ａ Ｂ、Ｃ Ｄ 在 面
由 已知 ｏ ６ 上６ ｃ ，又 由 于 正 投 影 而 知
－
． ．
已知 ：空间交叉垂直的两直线 Ａ Ｂ上 Ｃ Ｄ， Ａ Ｂ ７ Ｈ面
求 证 ：０ ６ 上ｃ ｄ 。
这样对于解题才能达到纲举 目张 、举一 反三 、得心应手 的熟练程 度。学生在 学 习过程 中不断得到这种 多方面 、多角 度 去理解 问题 的训练 ，对 于他 们养成全 面 看 问题 的思维 习惯是 大有 帮助 的 ，这有 助 于学生 目后 的学习或工作。
射面 Ｂ Ｃ ｃ ｂ 。
‘ ．
’
Ａ Ｂ ／ ／ Ｈ 面 ，ａ ｂ ／ Ｉ Ａ Ｂ 。

关于“直角投影定理”的综述与证明作者：余敏来源：《教师·下》2015年第12期摘要：直角投影定理是“机械制图”中点、线、面投影内容的一个重要理论基础，对解决点、线、面的投影以及在空间中的相对位置、度量等问题起着非常重要的作用。

本文通过例题讲解对直角投影定理进行一个总体论述。

关键词：直角投影定理；垂直；交错“直角投影定理”在解决“机械制图”中的点、线、面的投影以及在空间中的相对位置、度量等问题方面，起到了关键作用。

因此，直角投影定理是“机械制图”中的点、线、面投影内容的一个重要理论基础。

理解和把握直角投影定理，有利于实现“实物表象—模型表象—图形表象”之间的转换，对于培养学员组合体三视图、零件图、装配图的读图和绘图能力起着重要作用。

一、直角投影定理及其逆定理各版本《机械制图》或《画法几何》教材对“直角投影定理”的叙述大体相同。

定理：垂直相交的两直线，若其中一直线平行于某投影面，则两直线在该投影面上的投影仍然垂直。

逆定理：若相交两直线在某一投影面上的投影垂直，且其中一条直线平行于该投影面，则该两直线在空间必相互垂直。

1. 直角投影定理的证明已知：BC⊥AB，BC∥H面，ab、bc分别是AB、BC在H面上的投影，如图1所示。

求证：bc⊥ab。

证明：因为BC∥H面，Bb⊥H面，所以BC⊥Bb；又BC⊥AB，所以BC⊥投射面BAab；又因BC∥H面，bc∥BC，所以bc⊥投射面BAab。

根据立体几何定理可知bc垂直于平面BAab上的所有直线，故bc⊥ab。

2.直角投影定理逆定理的证明已知：ab、bc 分别是AB、BC在H面上的投影，bc⊥ab，BC∥H面，如图1所示。

求证：BC⊥AB。

证明：因为 bc⊥ab，bc⊥Bb，所以 bc⊥投射面BAab；又题知 BC∥bc，所以BC⊥投射面BAab，故BC⊥AB。

二、直角投影定理及其逆定理的分析直角投影定理（综述）：两条垂直（相交或交错）直线，若其中一直线平行于某投影面，则两直线在该投影面上的投影仍然垂直。

直角的投影
问题：在什么情况下，直角的投影仍然是直角？
三种情况： 1、两直角边均平行于同一投影面 ——在该投影面上的投影仍然是直角 2、两直角边均不平行于同一投影面 ——在该投影面上的投影一定不是直角 3、两直角边之一平行于同一投影面 ——
？
空间分析： 已知：AB ⊥BC, BC∥P ap与bp 之间的关系？ 证明： 因为 BC⊥AB, 且 BC⊥BbP, 故 BC ⊥ ABbpcp 平面 故 BC ⊥ apbp
故 apbp ⊥ Cpbp
直角投影定理： 如果空间两直线垂直（相交或交叉）； ——条件1 且其中有一条平行于某投影面； ——条件2 则，两直线在该投影面上的投影垂直。 ——结论
直角投影定理主要解决如何过点作直线的垂线 ——即从空间到投影面的垂直作图问题。
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直角投影逆定理： 如果两直线在某投影面上的投影垂直； ——条件1 且，其中有一条平行于该投影面； ——条件2 则，两直线在空间垂直（相交或交叉） ——结论
直角投影逆定理主要解决如何根据投影判 断两直线在空间是否垂直 ——即从投影到空间的垂直判断问题。

几何证明射影就是正投影，从一点到过顶点垂线垂线的垂足，叫做这点在这条直线上的正投影。

一条线段的两个端点在一条直线上的正投影之间的线段，叫做这条线段在这直线上的正投影，即射影定理。

直角三角形射影定理直角三角形射影定理）：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。

每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。

公式如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：（1）（AD）2=BD·DC，（2）（AB）2=BD·BC ，（3）（AC）2=CD·BC 。

证明：在△BAD与△ACD中，∠B+∠C=90°，∠DAC+∠C=90°，∴∠B=∠D AC，又∵∠BDA=∠ADC=90°，∴△BAD∽△ACD相似，∴AD/BD＝CD/AD，即（A D）^2=BD·DC。

其余类似可证。

注：由上述射影定理还可以证明勾股定理。

由公式（2）+（3）得：（AB）2+（AC）2=BD·BC+CD·BC =（BD+CD)·BC=（BC）2即（AB）2+（AC）2=（BC）2。

任意三角形射影定理任意三角形射影定理又称“第一余弦定理”：设⊿ABC的三边是a、b、c，它们所对的角分别是A、B、C，则有a＝b·cosC＋c·cosB，b＝c·cosA＋a·cosC，c＝a·cosB＋b·cosA。

注：以“a＝b·cosC＋c·cosB”为例，b、c在a上的射影分别为b·cosC、c·cosB，故名射影定理。

证明1：设点A在直线BC上的射影为点D，则AB、AC在直线BC上的射影分别为BD、CD，且BD=c·cosB，CD=b·cosC，∴a=BD+CD=b·cosC＋c·cosB. 同理可证其余。