平面运动刚体上各点的速度

的位置决定于 xA, yA, 三个
独立的参变量。
2021/7/17
.
13
xAxA(t) yAyA(t) φφ(t)
称为刚体平面运动方程
对于每一瞬时 t ，都可以求出对应的 xA, yA, ,
平面图形S 在该瞬时的位置也就确定了。
2021/7/17
.
14
3.平面运动分解为平移和转动
当平面图形Ｓ上的点Ａ不动时，则刚体作定轴转动， 当平面图形Ｓ上 的角 不变时，则刚体作平移。
思考: 下列运动是否可能?
V
V
v
V
V
v
V
v
2021/7/17
.
55
2) 加 速 度 投 影 形 式
aBaAaB n A aBA
当 0时aB n A 0
a
BA
a
n B
A
aA
[aB]AB[aA]AB
当 0 时 a B n A 0a B AB.A A a A
有[aB]A B[aA]A B
2021/7/17
车轮相对定系（Oxy）的平面运动（绝对运动）
车厢（动系 A x y ) 相对定系的平移（牵连运动） 车轮相对车厢（动系 A x y )的转动（相对运动）
2021/7/17
.
18
2021/7/17
.
19
转动部分的角度、角速度、角加速度与基点的选择无关。
φ1 φ2
ω1 ω2 1 2
平移部分的轨迹、速度与加速度都与基点的选择有关。
称点A为基点 平面图形的平面运动（绝对运动）可以看成是平面图形 一方面随基点A的平移（牵连运动），另一方面图形又绕 基点的转动（相对运动）的合成运动。
2021/7/17

7.2 求平面图形内各点速度的基点法 例题
例7-1 在图所示的曲柄连杆机构中，曲柄OA长r，连
杆AB长l，曲柄以匀角速度转动，当OA与铅垂线的 夹角 = 45时，OA正好与AB垂直，试求此瞬时AB杆
的角速度、AB杆中点C的速度及滑块B的速度。
返回首页
7.2 求平面图形内各点速度的基点法
选速度已知的点A为基点
而vDA ＝II·r2。
O
vDA
I
所以
II

vDA r2
0 (r1 r2 )
r2
以A为基点, 分析点B的速度。 vB vA vBA
II

vDA r2

0 (r1 r2 )
r2
vBA II BA 0 (r1 r2 ) vA
vBA与vA垂直且相等, 点B的速度
返回首页
7.3 求平面图形内各点速度的瞬心法 7.3.2 速度瞬心法
几点讨论
每瞬时平面图形上都存在唯一的速度瞬心。它可 位于平面图形之内，也可位于图形的延伸部分。 瞬心只是瞬时不动。在不同的瞬时，图形具有不 同的速度瞬心。即速度瞬心的速度等于零，加速度 并不等于零。 平面图形在其自身平面内的运动，也可以看成是 绕一系列的速度瞬心的转动。
返回首页
8.1 刚体平面运动的运动方程 绕基点转动的特点
基点不同转角相同
B
1 2
A
ω1 ω2
B
B

A
A
1 2
结论：任意瞬时，平面图形绕其平面内任意基 点转动的角速度与角加速度都相同。
返回首页
7.1 刚体平面运动的运动方程
讨论
选择不同的基点，平面图形随同基点平移的速度和 加速度不相同。 相对基点转动的角速度、角加速度与基点的选择无 关。于是可以直接称为平面运动的角速度和角加速度 今后标注平面图形的角速度和角加速度时，只需注 明它是哪个刚体的，不必注明它是相对于哪个基点。

DE C
D B DB
大小 ？ l ? 方向
vD vDB vB l
v v 5 rad s DE l v v 5 rad s BD l
D B DE
DB
B
BD
22
[例3]曲柄连杆机构如图所示，OA =r, AB= 匀角速度ω转动。
变．也就是说，刚体上任一点都在与某固定平面平行的平面内运 动．这种运动称为刚体的平面运动．
1
刚体平面运动动画一：行星齿轮
2
刚体平面运动动画二：车轮运动情况
3
二、刚体的平面运动可以简化为平面图形S在其自身平面内的 运动 A1A2作平动 A点代表A1A2的运动 S代表刚体的运动
因此，在研究平面运动时， 不需考虑刚体的形状和尺寸，只
。如曲柄OA以 3r
求：当 60 ， 0， 90 时点B的速度。

23
已知：OA r , AB
3
r , OA , 求：vB。
解：1 AB作平面运动,基点：A
2
vB v A vBA 大小 ？ r ?
方向 60
vB v A cos 30 2 3r 3 0
vB v A / sin l / sin 45 不能求出 AB 2l ()
③速度瞬心法 研究AB，已知 v A , v B的方向，因此 可确定出I点为速度瞬心
v A l , AI l AB v A / AI l / l （ vB BI AB 2l ()
aa aB ; ae a A ; ar aBA aBA aBAn
由动系作平动时的加速度合成定理 aa ae ar 可得：

(a)
(b)
25
⑤已知某瞬时图形上A,B两点的速度方向相 同，且不与AB连线 垂直。 此时, 图形的瞬心在无穷远处,图形的角 速度 =0, 图形上各点速度相等, 这种情况称 为瞬时平动。 (此时各点的加速度不相等)
对④(a)的情况，若vA＝vB，
也是瞬时平动．
26
例如: 曲柄连杆机构在图示位置时，连杆BC作瞬时平动。 此时连杆BC的图形角速度
车轮绕基点的转动(相对运动)
15
16
2.平面运动的分解与基点选择的关系
①平面图形随基点的平动与基点的选择有关。
②平面图形绕基点的转动与基点的选择无关。 证明： 在平面图形上取任意两直线O'P、O'' P' ， 二者夹角为a， 则a =常量。 以O'为基点，作平动坐标系O'x'y'， 设O'P与x'的夹角为，则图形绕O'点转 动的角速度和角加速度分别为：
o
取长度 OI
vO / 则： vIO OI vO 方位⊥IO，指向与vO 相反。所以
vI=0
22
即在某一瞬时必唯一存在一点速度等于零，该点称为平 面图形在该瞬时的瞬时速度中心，简称速度瞬心（I）． ３．速度瞬心又称为瞬时转动中心 设某瞬时平面图形的角速度为， 速度瞬心在I点。以I点为基点，有：
vC 3 0 vB sin 60 r 0 2
()
34
§6-4 平面图形内各点的加速度
一. 基点法 (合成法) 已知：图形S 内一点A 的加速度 a A 和图形 的 , （某一瞬时）。 求： 该瞬时图形上任一点B的加速度。
取A为基点，将平动坐标系铰接于A点， 取B动点，则B点的运动分解为相对运动 为圆周运动和牵连运动为平动．