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第二十三章旋转知识点总结，经典例题，单元测试：1.旋转：把一个平面图形绕着平面内某一点0转动一个角度，就叫做图形的旋转。
点0叫做旋转中心，旋动的角叫做旋转角。
旋转方向：顺时针和逆时针。
2.旋转的特征：（旋转不改变图形的大小和方向）（1）对应点到旋转中心的距离相等。
（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角都等于旋转角。
（3）旋转前、后的图形全等。
3.旋转对称图形：一个图形绕着某一动点转动一定的角度后能与自身完全重合，这种图形称为旋转对称图形，绕着转动的这一点，称为旋转中心。
注：结合旋转对称图形的定义知：正三角形绕其中心旋转1200后能与自身完全重合，故正三角形是旋转对称图形；正方形绕其对角线的交点（旋转中心）旋转900后能与自身完全重合，故正方形是旋转对称图形。
一般的正n（n≥3）变形是旋转对称图形，那么最少旋转时，能与自身完全重合。
4.设计旋转对称图形：（1）确定旋转中心、旋转角度和旋转方向；这是旋转的三要素。
（2）确定图形中的关键点；（3）将这些关键点绕旋转中心绕指定方向旋转指定的角度。
（4）顺次连接新关键点，得到所求图形。
旋转的定义：【例1】如图，如果把钟表的指针看做三角形OAB，它绕O点按顺时针方向旋转得到△OEF，在这个旋转过程中：1.旋转中心是什么？旋转角是什么？2.经过旋转，点A、B分别移动到什么位置？【例2】如图所示，⊿ABC 和⊿ADE 都是等腰直角三角形，∠ACB 和∠AED 都是直角，点C 在AD 上，如果⊿ABC 经旋转后能与⊿ADE 重合，那么哪一点是旋转中心？旋转角度是多少？并指出对应点。
CBDEAM DBC EAN练一练：如图所示，⊿ABC 是等腰三角形，∠ACB=900，D 是AB 边上一点，⊿CBD 经逆时针旋转后到达⊿CAE 的位置，则旋转中心是 ，旋转角度是 ，点B 的对应点是 ，点D 的对应点是 ，线段CB 的对应线段是 ，线段CD 的对应线段是 ，∠CBD 的对应角是 ，如果点M 是线段BC 的中点，点N 是线段AC 的中点，那么经过上述旋转之后，点M 旋转到了 。
8.3 平面图形的旋转学习目标：1.经历对生活中与旋转现象有关的图形进行观察、分析，以及动手操作、画图等过程，掌握画图的操作技能.2. 理解旋转前后两个图形对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线所成的角彼此相等的性质.3.能进行钟表旋转中的简单的旋转角度角度计算.学习过程：一、自主学习1．旋转：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个 ,这样的图形运动称为旋转.这个定点叫，转动的角度叫 .2.旋转的性质：（1）旋转角，（2）对应点到旋转中心的距离，（3）旋转不改变图形的和 .二、探究学习探究1 旋转的概念1.你知道香港特别行政区的区徽吗？它是由五个同样的花瓣组成的，它可以看做是一片花瓣通过怎样的旋转得到的？2.如图，如果把钟表的指针看做四边形AOBC，它绕O点旋转得到四边形DOEF．在这个旋转过程中：(1)旋转中心是什么?(2)经过旋转，点A、B分别移动到什么位置？(3)旋转角是什么？（用三个字母表示）(4)AO与DO的长有什么关系？BO与EO呢？(5)∠AOD与∠BOE有什么大小关系？探究2 旋转的性质1. 如图，矩形ABCD 中，AC 为对角线，O 为AC 的中点，△ADC 是否可由△CBA 旋转而得到？若不能，说明理由；若能，请指出旋转中心和旋转角。
2.如图，四边形ABCD 绕点O 点旋转得到四边形EFGH ，在这个旋转过程中：（1）旋转中心是什么？旋转角是什么？（2）经过旋转，点A 、B 分别移到什么位置？三、达标测试1.下列现象属于旋转的是（ ）A.摩托车在急刹车时向前滑动B.空中飞舞的雪花C.拧开自来水龙头的过程D.飞机起飞后冲向空中的过程2.如右图，在俄罗斯方块游戏中，已拼好的图案如图所示， 现又出现一小方格体正向下运动，为了使所有 图案消失，你必须进行以下哪项操作，才能拼成一个完整图案，使其自动消失（ ）A.顺时针旋转90°，向右平移B.逆时针旋转90°，向右平移C.顺时针旋转90°，向下平移D.逆时针旋转90°，向下平移3.在下图右侧的四个三角形中，不能由△ABC 经过旋转或平移得到的是（ ）4.正三角形ABC 绕顶点C 旋转 度后与原图形重合.5.钟表走了18分钟，则分针旋转了 度.6.如右图，点B ，C ，D 在同一条直线上，△ABC 和△ECD都是等边三角形，△EBC 可以看作是△ 绕点 逆时针旋转 度得到．7. 如图，若△AEF 是由△ABC 旋转得到的，则旋转中心是_______，旋转角度为______或______（用三个字母表示），△AEF _____△ABC ．8. 标出下图的“基本图案”，它可以看做是“基本图案”通过几次旋转得到的？每次旋转了多少度？9.如图把Rt △ABD 绕点A 逆时针旋转90°至△ACF 的位置，BD 的延长线交于CF 于点E ，连结BC ，若∠FBE=∠CBE ，试确定CE 与BD 的关系。
图形旋转的概念性质及应用图形旋转是指在平面内围绕一个中心点旋转一定角度，使图形相对于原来的位置发生改变的运动过程。
它是几何学中的一个重要概念，具有以下几个性质和应用。
1. 基本性质：(1) 保持图形内部每个点到中心点的距离不变；(2) 保持图形内部每条线段的长度不变；(3) 保持图形内部每个角的度数不变。
图形旋转的基本性质决定了旋转后的图形与原图形之间存在着密切的联系，可以通过观察原图形和旋转后的图形之间的关系来进行旋转的分析。
2. 旋转的类型：(1) 顺时针旋转：指图形相对于中心点逆时针方向旋转。
顺时针旋转的角度为负数。
(2) 逆时针旋转：指图形相对于中心点顺时针方向旋转。
逆时针旋转的角度为正数。
旋转的类型可以根据指定的旋转方向来确定，顺时针旋转和逆时针旋转分别具有不同的性质和应用。
3. 应用：(1) 建筑设计：在建筑设计中，图形旋转可以用来设计建筑物的立面、平面布局等，通过旋转不同的图形来实现建筑物的各种形状和风格。
(2) 工程制图：在工程制图中，图形旋转可以用来绘制机械零件、建筑结构等，通过旋转图形可以实现不同角度的绘制，以便于制定具体的制造方案。
(3) 游戏开发：在游戏开发中，图形旋转可以用来实现人物、道具、场景的动画效果，使游戏更加生动和有趣。
(4) 图像处理：在图像处理中，图形旋转可以用来实现图像的旋转、镜像等操作，方便进行图像处理和编辑。
图形旋转在实际应用中具有广泛的用途，不仅可以用于艺术设计、工程制图等领域，还可以用于计算机图形学、计算机视觉等领域，为实现各种功能和效果提供了基础操作和方法。
总之，图形旋转是指在平面内围绕一个中心点旋转一定角度的运动过程，具有保持距离、保持长度和保持角度的基本性质。
它在建筑设计、工程制图、游戏开发、图像处理等领域有着广泛的应用，为实现各种功能和效果提供了基础操作和方法。
平面形的旋转和平移平面形的旋转和平移是几何学中重要的概念和操作。
旋转是指将平面上的图形绕着一个固定点进行旋转，而平移则是指保持图形形状不变，将其沿着平行于原来位置的路径平移到新的位置。
这两种操作在几何学、计算机图形学以及日常生活中都有广泛的应用。
本文将详细探讨平面形的旋转和平移以及其相关的数学原理和应用。
1. 平面形的旋转旋转是指将平面图形绕着一个固定点旋转一定角度的操作。
在平面几何中，旋转可以通过旋转矩阵来表达。
旋转矩阵的元素根据旋转的角度而确定。
图形绕着原点旋转的旋转矩阵为：[R] = |cosθ -sinθ||sinθ cosθ|其中θ为旋转的角度。
通过旋转矩阵，我们可以将平面上的任意图形进行旋转。
旋转后的图形与原图形形状相同，只是在平面上发生了位置的变化。
2. 平面形的平移平移是指将平面上的图形沿着平行于原来位置的路径平移一定距离的操作。
平移可以通过平移向量来表示。
平移向量由平移的水平和垂直位移确定。
对于一个平移向量(Tx, Ty)，我们可以将平面上的任意点(x, y)进行平移得到新的点(x+Tx, y+Ty)。
通过平移操作，图形在平面上整体向某个方向进行了位置的移动。
3. 旋转和平移的组合操作在实际应用中，常常需要对平面上的图形进行旋转和平移的组合操作。
通过组合旋转和平移，可以使图形在平面上发生旋转和移动，从而实现更加复杂的变换。
例如，将一个图形先旋转一定角度，再将其平移到指定的位置。
这种组合操作可以通过先进行平移后进行旋转的顺序来实现。
4. 旋转和平移的应用旋转和平移作为几何学的基本操作，在很多领域中都有重要的应用。
在计算机图形学中，通过旋转和平移可以实现三维物体的平面投影和视角转换。
在建筑设计、工程制图和艺术设计等领域中，旋转和平移是进行布局、样式调整和空间变换的常用手段。
此外，旋转和平移也在日常生活中广泛存在，例如地球的自转和公转、钟表的指针转动等。
总结：平面形的旋转和平移是几何学中重要的概念和操作，通过旋转和平移可以实现平面上图形的变换和移动。
初二数学图形旋转的知识点1. 图形的旋转：在平面内，将一个图形绕一个定点转动必然的角度，如此的图形运动称为图形的旋转。
那个定点称为旋转中心，旋转的角度称为旋转角。
注意：图形旋转后一对对应点与旋转中心的连线确实是旋转角。
图形的旋转不改变图形的形状、大小，只改变图形的位置.2. 旋转的大体性质旋转前、后的图形全等对应点到旋转中心的距离相等每一对对应点与旋转中心的连线所成的角彼此相等.图形的旋转是由旋转中心和旋转的角度决定.3. 旋转的要素：旋转中心，旋转方向，旋转角度；4. 明白顺时针旋转和逆时针旋转5. 中心对阵中心对称概念：把一个图形绕着某一点旋转180度,若是它能与另一个图形重合,就说这两个图形关于那个点成中心对称. 所有的中心对称图形都是旋转对称图形。
中心对称的性质:中心对称的两个图形是全等图形关于中心对称的两个图形,对称点连线都通过对称中心且被对称中心平分关于中心对称的两个图形,对称线段平行且相等中心对称与中心对称图形是两个既有联系又有区别的概念区别: 中心对称指两个全等图形的彼此位置关系；中心对称图形指一个图形本身成中心对称。
联系: 若是将中心对称图形的两个图形看成一个整体,那么它们是中心对称图形若是将中心对称图形,把对称的部份看成两个图形,那么它们是关于中心对称。
6. 轴对称概念：若是一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部份能够相互重合，如此的图形叫做轴对称图形对称轴是一条直线。
垂直而且平分一条线段的直线称为这条线段的垂直平分线，或中垂线。
线段垂直平分线上的点到线段两头的距离相等。
在轴对称图形中，对称轴双侧的对应点到对称轴双侧的距离相等。
在轴对称图形中，沿对称轴将它对折，左右两边完全重合。
若是两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线图形对称。
轴对称图形必然要沿某直线折叠后直线两旁的部份相互重合，关键抓两点：一是沿某直线折叠，二是两部份相互重合；中心对称图形是图形绕某一点旋转180°后与原先的图形重合，关键也是抓两点：一是绕某一点旋转，二是与原图形重合．实际区别时轴对称图形要像折纸一样折叠能重合的是轴对称图形；中心对称图形只需把图形倒置，观看有无转变，没变的是中心对称图形。
平面图形的旋转与位移平面图形的旋转和位移是几何学中重要的概念和操作。
通过对图形进行旋转和位移，可以帮助我们更好地理解和分析各种几何问题。
在本文中，将介绍平面图形的旋转和位移的基本原理、方法和应用。
一、旋转旋转是指将一个平面图形绕着一个中心点进行旋转的操作。
旋转可以使图形相对于原来的位置产生一定的角度变化。
旋转的角度可以为正数、负数或零，分别表示逆时针旋转、顺时针旋转和不发生旋转。
旋转操作可以通过以下几个步骤实现：1. 确定旋转中心：选择一个中心点作为旋转的参考点。
2. 确定旋转角度：确定旋转的角度，可以根据需要选择逆时针或顺时针旋转。
3. 进行旋转变换：根据选择的旋转中心和角度，对图形上的每个点进行坐标变换，计算出旋转后的新坐标。
旋转可以应用于各种几何问题，如求解图形的对称性、计算旋转图形的面积等。
在计算机图形学中，旋转也是实现三维模型旋转的基本操作。
二、位移位移是指将一个平面图形沿着平移方向进行平移的操作。
平移不改变图形的形状和大小，只改变图形在平面上的位置。
位移可以为正数、负数或零，分别表示向右、向左或不进行平移。
位移操作可以通过以下几个步骤实现：1. 确定平移方向：选择一个平移方向，可以是水平方向或垂直方向。
2. 确定平移距离：确定图形在选择的方向上的平移距离。
3. 进行平移变换：根据选择的平移方向和距离，对图形上的每个点进行坐标变换，计算出平移后的新坐标。
位移可以应用于各种几何问题，如图形的拼接、图形的连接等。
在计算机图形学中，位移也是实现图形平移的基本操作。
三、旋转与位移的组合旋转和位移可以组合使用，可以实现更复杂的操作和效果。
在组合使用旋转和位移时，需要先进行旋转操作，然后再进行位移操作。
通过灵活地组合旋转和位移，可以实现各种图形的转动、摆放和组合。
旋转与位移在现实生活和工程领域中有广泛应用。
例如，在建筑设计中，通过旋转和位移可以改变建筑物的外观和造型；在机械工程中，通过旋转和位移可以实现机械零件的装配和运动。
平面图形旋转问题的计算旋转图形：一个平面图形绕着一个固定的点旋转一定的角度，这个过程叫做旋转。
点旋转的轨迹是一段弧线；线段旋转的轨迹是一个圆环或扇形的一部分。
关于旋转图形的计算主要有：（1）点旋转的路线长度的计算；（2）图形扫过的面积的计算；（3）旋转的图形绕自身中心旋转圈数的计算，圈数等于圆心经过的路线长除以圆的周长的商（其中包括公转的1圈）；（4）旋转后图形的有关角度的计算等；1、 如图，长方形ABCD 是一个长为4cm ，宽为3cm ，它绕着C 点按顺时针方向旋转900。
那么A 、B 、D 点旋转时经过的路线长分别为_________、_________、_________cm ；线段AB 、BC 、CD 、DA 扫过的面积分别为_________、_________、_________、_________cm 2。
2、 如图，一个长为8厘米，宽为6厘米，对角线长为10厘米的长方形ABCD ，在直线l 上滚动，弧线是顶点A 经过的路线。
那么顶点A 经过的路线长是_________厘米，这条曲线合直线l 围成的图形面积是_________平方厘米；3、 草场上有个长20米、宽10米的关闭着的羊圈，在羊圈的一角用长30米的绳子拴着一只羊（如图），那么这只羊能够活动的范围是_________平方米；4、 一只狗被拴在底座为边长3m 的等边三角形建筑物的墙角上（如图），绳长4m ，那么狗所能到的地方的总面积为_________m 2；5、 如图，ABC 是一个直角等腰三角形, 直角边的长度是1米，现在以C 为圆心，把三角形ABC 顺时针旋转900。
那么AB 边在旋转时所扫过的面积是__________平方米。
6、 当汽车在雨中行驶时，为了看清楚路面，司机要启动前方挡风玻璃上的雨刷器。
如图是某汽车的一个雨刷器的示意图，雨刷器杆AB 与雨刷器CD 在B 处固定连接（不能转动），当杆AB 绕点A 转动90°时，雨刷CD 扫过的面积是多少呢？小明仔细观察了雨刷器的转动情况量得CD =80cm ，∠DBA =20°，端点C 、D 与点A 的距离分别是115cm 、35cm 。
平面图形的旋转
教学目标：
知识目标：经历对生活中与旋转现象的有关图形进行欣赏、观察、分析，认识旋转，理解旋转的基本性质。
能力目标：了解观察探究的方法，学会解决问题的策略。
情感目标：体验和感受数学活动的探索性，拉近数学与生活的距离，从而培养学生的合作意识和审美情趣。
教学重点、难点：
教学重点：1、区别平移与旋转的异同，理解旋转的基本涵义。
2、初步学会分析图形中的旋转现象，确定旋转中心和旋转角。
教学难点：1、旋转不改变图形形状、大小等几何性质.
2、找旋转中心，旋转角.
3、揭示旋转的性质.
教学准备：
教师准备：多媒体课件，
学生准备：两个全等的菱形纸片
教学方法与措施：
1、遵循学生是学习的主人的原则，在为学生创设实际情境的基础上，引导学生自主思
考、交流、讨论、归纳、学习，通过“问题情景——自主探究——拓展应用”的模
式展开.
2、采用多媒体课件辅助教学。
教学过程：
（一）创设问题情景，引入新知概念
1、图形在做什么运动？学生回答：平移
（多媒体展示）
生活中有许多平移（演示一组运动图片），其中有我们刚刚认识的平移运动，还有一种不同的运动，你能找出来吗？这种运动在我们的生活中常见吗？它和平移运动相比有什么不同之处？引导学生列举出一些具有旋转现象的生活实例。
2、具体展示生活中几种常见的转动现象，它们有什么共同特征？
通过学生描述、总结、归纳出旋转的定义，关键是指明绕中心做旋转运动.投影给出定义：
在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转. 这个定点称为旋转中心.转动的角称为旋转角.
3、这些物体在转动过程中，其形状、大小、位置是否发生改变？
学生交流感知并形成共识：旋转不改变图形的大小和形状.
设计意图：借助图片复习有关平移的知识要点，区别引出旋转现象，引导学生发现生活中的旋转，并总结旋转的定义，加深印象；连续几个问题的逐层深入，激发学生探询新知的欲望，引导学生自己用数学语言描述、概括新知识。
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（二）自学课本议一议，亲身感受新知，探索旋转的基本规律
1、建立新知模型（学生准备的模具结合多媒体图片展示）
如图，如果把钟表的指针看作四边形AOBC ，
它绕O 点按顺时针方向旋转得到四边形DOEF 。
让学生通过实际操作和观察再次体会旋转的概念。
2、实践探究旋转的性质
引问：四边形AOBC 在旋转过程中，四个顶点哪个顶点位置不变，其他点转动到了哪里？四条边分别转动到了哪里？有哪些线段相等，角相等？旋转究竟有些怎样的规律呢？让我们带着疑惑，围绕着以下四个问题一起去寻找答案吧！
【问题1】旋转中心是什么？旋转角是什么？
【问题2】经过旋转，点A 、B 分别移动到什么位置？
【问题3】AO 与DO 的长有什么关系？BO 与EO 呢？
【问题4】∠AOD 与∠BOE 有什么大小关系？
让学生带着问题观察，围绕中心问题进行交流，合作，讨论。
教师演示旋转的过程（根据学生的认知能力可多次演示，方便学生解决问题），分组讨论揭示规律：
（１） 旋转不改变图形的大小和形状．
（２） 图形上的每一点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度
（３） 任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角．
（４） 对应点到旋转中心的距离相等．
设计意图：“议一议”应该是本节课的目的所在，通过动手操作、观看动画，帮助学生观察，再次体会旋转的概念；围绕议一议的四个问题，让学生带着疑问进行讨论。
由形到点，由点到线，由线到角，通过引导学生合作交流，进一步归纳“旋转”的基本规律。
（三）拓展应用，巩固提高。
F
1、试试你的判断能力：一个图形经过旋转
①图形上的每一个点到旋转中心的距离相等. ( )
②图形上可能存在不动点. ( )
③图形上任意两点的连线与其对应点的连线相等. ( )
设计意图：让学生进一步理解“旋转”中的旋转角及其角度,同时发现旋转中的特殊点。
2、钟表上的分针匀速旋转一周需要60分钟
①指出它的旋转中心；
②经过20分，分针旋转多少度？
解：① 它的旋转中心是钟表的轴心；
②分针匀速旋转一周需要60分，因此旋转20分，分针旋转的角度为3600÷60×20=1200
设计意图：通过从钟表分针旋转时间来计算分针所旋转的角度，让学生学以至用。
问题③扩展逆向思维，根据课堂实际效果提升学生的认知水平。
3、你能用今天所学的知识来描述一下图中可以看作是一个菱形通过几次旋转得到的？每次旋转了多少度？
解答：该图案可看做是以一个菱形为基本图案依次顺时针旋转60°、120°、180°、240°、300°而得到的.
4、做一做：观察下面的图案，它可以看作是什么基本图案通过旋转而得到的？旋转中心，旋转角分别是什么？（学生动手画图分析，然后展示不同的解法）
设计意图：例3是为了加深学生对旋转角的正确理解，应当是所选择的基本图案每一次旋转的角度，而不是两个菱形之间的夹角。
在端正认识后，通过例4“做一做”让学生进
H
（例3） （例4）
一步了解“旋转”中的“基本图案”，理解“基本图案”的多样性和相对应的旋转角度的多样性。
（四）自我评价
谈一谈本节课你有哪些收获？（学生回答后，投影给出）
（1）旋转的概念
（2）旋转的性质
（3）学习中要培养一题多解的思维习惯
设计意图：通过学生的归纳，教师的总结体现教学的互动性和学生的主体地位，培养学生概括知识的能力，有助于学生主动的反思学习过程，理清学习思路，便于课后有条理地消化当天所学的新知识。
（五）课后练习，巩固新知：
课本13页随堂练习1、2
习题8.5
应用实践题：应用目前我们学习过的轴对称、平移、旋转的知识，为自己设计一个喜欢的图案，并简单介绍图案的意义。
（一周后交）。
