第28讲 图形的平移与旋转

玩一玩，做一做教学内容:二年级上册第28—29页教学目标：1.知识目标：会向前后或左右移动物品，能制作一些会旋转的玩具。

2.能力目标：通过操作、制作玩具等一系列活动，初步渗透平移与旋转的思想与方法。

3.情感目标：在数学学习活动中，体验获得成功的喜悦。

教学重点：按要求移动物品及制作能旋转的玩具。

教学难点：结合生活实际，解决物体的平移或旋转的运动问题。

教学方法：启发式教学；小组合作交流法、主动探究法、讲练结合法。

[来源:]教学用具：多媒体，华容道游戏板，正方形、圆、三角形硬纸板教学过程：一、创设情境1.创设情境师：今天，我做一个华容道的游戏，这是一款非常有趣的游戏。

游戏取材自著名的三国故事，曹操在赤壁大战中被刘备和孙权的“苦肉计”、“火烧连营”打败，被迫退逃到华容道，又遇上诸葛亮的伏兵，关羽为了报答曹操对他的恩情，明逼实让，终于帮助曹操逃出了华容道。

（课件出示游戏的介绍）2.揭示课题师：这节课就让我们利用玩一玩、做一做来玩一玩这个游戏好吗？（板书课题：玩一玩、做一做）二、探究新知1.华容道游戏（课件出示游戏图）师：怎样移动图中的人物，才能让曹操从华容道出来？[来源:Z|xx|][来源:学科网]出示游戏规则：4个人物只能横向或纵向移动。

（1）分组合作探讨，共同完成任务。

（2）找学生到实物投影仪上演示。

方法1：曹操先向下走两格，然后再把赵云向上移动2格，兵向左移动1格，关羽向左移动2格，曹操再向左移动1格，然后向下移动到出口。

方法2：赵云向上移动1格，兵向上移动1格，关羽向左移动2格，曹操向下走3格，再向左移动1格，然后向下移动到出口。

……师：看来方法有很多种，在玩一玩的同时，发现了物体可以上、下、左、右，前进、后退这样运动，这就是数学中的平移。

2.制作陀螺师：这是我们小时候经常玩的一种玩具，它不仅好玩，而且里面还藏着许多有趣的数学知识，在我们的国家少数名族运动会上还是一种体育运动项目，在台湾还有人专门为它建造了博物馆。

第28讲图形的相似与位似1．比例线段(1)比例线段：已知四条线段a，b，c，d，若ab＝cd或a∶b＝c∶d，那么a，b，c，d叫做成比例线段，a，d叫做比例外，b，c叫做比例内项；若有ab＝bc，则b叫做a，c的比例中项．(2)比例的基本性质及定理①ab＝cd⇒ad＝bc；②ab＝cd⇒a±bb＝c±dd；③ab＝cd＝…＝mn(b＋d＋…＋n≠0)⇒a＋c＋…＋mb＋d＋…＋n＝ab.4．相似三角形的性质及判定(1)相似三角形的性质相似三角形的对应角相等，对应边成比例，对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．(2)相似三角形的判定①平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所截得的三角形与原三角形相似；②两角对应相等，两三角形相似；③两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；④三边对应成比例，两三角形相似；⑤两个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似；⑥直角三角形中被斜边上的高分成的两个三角形都与原三角形相似．5．射影定理如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，则有下列结论．(1)AC2＝AD·AB；(2)BC2＝BD·AB；(3)CD2＝AD·BD；(4)AC2∶BC2＝AD∶BD；(5)AB·CD＝AC·BC.6．相似三角形的实际应用(1)运用三角形相似的判定条件和性质解决实际问题的方法步骤： ①将实际问题所求线段长放在三角形中； ②根据已知条件找出一对可能相似的三角形； ③证明所找两三角形相似；④根据相似三角形的性质，表示出相应的量；并求解．(2)运用相似三角形的有关概念和性质解决现实生活中的实际问题．如利用光的反射定律求物体的高度，利用影子计算建筑物的高度．同一时刻，物高与影长成正比，即身高影长＝建筑物的高度建筑物的影长.7．相似多边形的性质(1)相似多边形对应角相等，对应边成比例．(2)相似多边形周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方． 8．图形的位似(1)概念：如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，这样的图形叫做位似图形．这个点叫做位似中心．(2)性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比．(3)在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标比等于k 或－k.(4)利用位似变换将一个图形放大或缩小，其步骤为：①确定位似中心；②确定原图形中各顶点关于位似中心的对应点；③依次连接各对应点描出新图形考点1： 相似三角形的性质【例题1】（2019湖南常德3分）如图，在等腰三角形△ABC 中，AB ＝AC ，图中所有三角形均相似，其中最小的三角形面积为1，△ABC 的面积为42，则四边形DBCE 的面积是（ ）A．20 B．22 C．24 D．26【答案】D利用△AFH∽△ADE得到，所以S△AFH＝9x，S△ADE＝16x，则16x﹣9x＝7，解得x＝1，从而得到S△ADE＝16，然后计算两个三角形的面积差得到四边形DBCE的面积．【解答】解：如图，根据题意得△AFH∽△ADE，设S△AFH＝9x，则S△ADE＝16x，∴16x﹣9x＝7，解得x＝1，∴S△ADE＝16，∴四边形DBCE的面积＝42﹣16＝26．故选：D．归纳：1.在三角形问题中计算线段的长度时，若题中已知两角对应相等或给出的边之间存在比例关系，则考虑证明三角形相似，通过相似三角形对应边成比例列关于所求边的比例式求解.2．判定三角形相似的五种基本思路：(1)若已知平行线，可采用相似三角形的基本定理；(2)若已知一对等角，可再找一对等角或再找该角的两边对应成比例；(3)若已知两边对应成比例，可找夹角相等；(4)若已知一对直角，可考虑再找一对等角或证明斜边、直角边对应成比例；(5)若已知等腰三角形，可找顶角相等，或找一对底角相等，或找底和腰对应成比例．考点2：相似三角形的判定【例题2】在正方形ABCD中，AB＝4，点P，Q分别在直线CB与射线DC上(点P不与点C，点B重合)，且保持∠APQ＝90°，CQ＝1，求线段BP的长．解：分三种情况：设BP＝x.①当P在线段BC上时，如图1，∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠C＝90°.∴∠BAP＋∠APB＝90°.∵∠APQ＝90°，∴∠APB＋∠CPQ＝90°.∴∠BAP＝∠CPQ，∴△ABP∽△PCQ.∴ABBP＝PCCQ，∴4x＝4－x1，∴x1＝x2＝2.∴BP＝2；②当P在CB的延长线上时，如图2，同理，得BP＝22－2；③当P在BC的延长线上时，如图3，同理，得BP＝2＋2 2. 归纳：基本图形(1)斜边高图形有以下基本结论：①∠BAD＝∠C，∠B＝∠DAC；②△ADB∽△CDA∽△CAB.(2)一线三等角有以下基本结论：①∠B＝∠C，∠BDE＝∠DFC；②△BDE∽△CFD.特殊地：若点D为BC中点，则有△BDE∽△CFD∽△DFE.考点3：相似三角形的综合应用【例题3】(2017·河北模拟)修建某高速公路，需要通过一座山，指挥部决定从E，D两点开挖一个涵洞．工程师从地面选取三个点A，B，C，且A，B，D三点在一条直线上，A，C，E也在同一条直线上，若已知AB＝27米，AD＝500米，AC＝15米，AE＝900米，且测得BC＝22.5米．(1)求DE的长；(2)现有甲、乙两个工程队都具备打通能力，且质量相当，指挥部派出相关人员分别到这两个工程队了解情况，获得如下信息：信息一：甲工程队打通这个涵洞比乙工程队打通这个涵洞多用25天；信息二：乙工程队每天开挖的米数是甲工程队每天开挖的米数的1.5倍；信息三：甲工程队每天需要收费3 500元，乙工程队每天需要收费4 000元．若仅从费用角度考虑问题，试判断选用甲、乙哪个工程队比较合算．【解析】：(1)连接DE.∵AB＝27米，AD＝500米，AC＝15米，AE＝900米，∴ABAE＝ACAD＝3100.又∵∠A＝∠A，∴△ABC∽△AED.∴BCDE＝22.5DE＝3100，即DE＝750米．(2)设甲工程队每天开挖涵洞x 米，则乙工程队每天开挖涵洞1.5x 米，依据题意，得 750x －7501.5x ＝25，解得x ＝10. 经检验，x ＝10是原方程的解． 则1.5x ＝15.∴甲工程队打通这个涵洞的时间为75010＝75(天)，甲工程队打通这个涵洞所需的费用为 75×3 500＝262 500(元)； 乙工程队打通这个涵洞的时间为 7501.5x ＝75015＝50(天)， 乙工程队打通这个涵洞所需的费用为 50×4 000＝200 000. ∵200 000＜262 500， ∴选用乙工程队较合算．一、选择题：1. （2018•玉林）两三角形的相似比是2：3，则其面积之比是（ ） A ．：B ．2：3C ．4：9D ．8：27【答案】C【解答】解：∵两三角形的相似比是2：3， ∴其面积之比是4：9， 故选：C ．2. （2018•临沂）如图．利用标杆BE 测量建筑物的高度．已知标杆BE 高1.2m ，测得AB=1.6m ．BC=12.4m ．则建筑物CD 的高是（ ）A ．9.3mB ．10.5mC ．12.4mD ．14m【答案】B【解答】解：∵EB∥CD，∴△ABE∽△ACD，∴=，即=，∴CD=10.5（米）．故选：B．3. （2019，四川巴中，4分）如图▱ABCD，F为BC中点，延长AD至E，使DE：AD＝1：3，连结EF交DC于点G，则S△DEG：S△CFG＝（）A．2：3 B．3：2 C．9：4 D．4：9【答案】D【解答】解：设DE＝x，∵DE：AD＝1：3，∴AD＝3x，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，BC＝AD＝3x，∵点F是BC的中点，∴CF＝BC＝x，∵AD∥BC，∴△DEG∽△CFG，∴＝（）2＝（）2＝，故选：D．4. （2019▪贵州毕节▪3分）如图，在一块斜边长30cm的直角三角形木板（Rt△ACB）上截取一个正方形CDEF，点D在边BC上，点E在斜边AB上，点F在边AC上，若AF：AC＝1：3，则这块木板截取正方形CDEF 后，剩余部分的面积为（）A．100cm2B．150cm2C．170cm2D．200cm2【答案】A【解答】解：设AF＝x，则AC＝3x，∵四边形CDEF为正方形，∴EF＝CF＝2x，EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴EFBC＝AFAC＝13，∴BC＝6x，在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2，即302＝（3x）2+（6x）2，解得，x＝25，∴AC＝65，BC＝125，∴剩余部分的面积＝×125×65﹣45×45＝100（cm2），故选：A．5. （2018•泸州）如图，正方形ABCD中，E，F分别在边AD，CD上，AF，BE相交于点G，若AE=3ED，DF=CF，则的值是（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：如图作，FN∥AD，交AB于N，交BE于M．∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，∵FN∥AD，∴四边形ANFD是平行四边形，∵∠D=90°，∴四边形ANFD是解析式，∵AE=3DE，设DE=a，则AE=3a，AD=AB=CD=FN=4a，AN=DF=2a，∵AN=BN，MN∥AE，∴BM=ME，∴MN=a，∴FM=a，∵AE∥FM，∴===，故选：C．二、填空题：6.如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1：2，∠OCD=90°，CO=CD，若B （1，0），则点C的坐标为．【答案】（1，-1）【解答】：连接BC，∵△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1：2，且B（1，0），即OB=1，∴OD=2，即B为OD中点，∵OC=DC，∴CB⊥OD，在Rt△OCD中，CB为斜边上的中线，∴CB=OB=BD=1，则C坐标为（1，-1），故答案为：（1，-1）7. （2019•山东省滨州市•5分）在平面直角坐标系中，△ABO三个顶点的坐标分别为A（﹣2，4），B（﹣4，0），O（0，0）．以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，得到△CDO，则点A的对应点C的坐标是（﹣1，2）或（1，﹣2）．【答案】（﹣1，2）或（1，﹣2）【解答】解：以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，点A的坐标为（﹣2，4），∴点C的坐标为（﹣2×，4×）或（2×，﹣4×），即（﹣1，2）或（1，﹣2），故答案为：（﹣1，2）或（1，﹣2）．8. （2018•江西）如图，在△ABC中，AB=8，BC=4，CA=6，CD∥AB，BD是∠ABC的平分线，BD交AC于点E，则AE的长为．【答案】4【解答】解：∵BD为∠ABC的平分线，∴∠ABD=∠CBD，∵AB∥CD，∴∠D=∠ABD，∴∠D=∠CBD，∴BC=CD，∵BC=4，∴CD=4，∵AB∥CD，∴△ABE∽△CDE，∴=，∴=，∴AE=2CE，∵AC=6=AE+CE，∴AE=4．9. （2018•遵义）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=5，BC=10，连接AC、BD，以BD 为直径的圆交AC于点E．若DE=3，则AD的长为.【答案】2，【解答】解：如图，在Rt△ABC中，AB=5，BC=10，∴AC=5过点D作DF⊥AC于F，∴∠AFD=∠CBA，∵AD∥BC，∴∠DAF=∠ACB，∴△ADF∽△CAB，∴，∴，设DF=x，则AD=x，在Rt△ABD中，BD==，∵∠DEF=∠DBA，∠DFE=∠DAB=90°，∴△DEF∽△DBA，∴，∴，∴x=2，∴AD=x=2，三、解答题：10. (2018·江西)如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝4，CA＝6，CD∥AB，BD是∠ABC的平分线，BD交AC于点E，求AE的长．【解析】：∵BD为∠ABC的平分线，∴∠ABD＝∠CBD.∵AB∥CD，∴∠D＝∠ABD.∴∠D＝∠CBD.∴BC＝CD.∵BC＝4，∴CD＝4.∵AB∥CD，∴△ABE∽△CDE.∴ABCD＝AECE.∴84＝AECE.∴AE＝2CE.∵AC＝AE＋CE＝6，∴AE＝4.11. (2019湖北荆门)（10分）如图，为了测量一栋楼的高度OE，小明同学先在操场上A处放一面镜子，向后退到B处，恰好在镜子中看到楼的顶部E；再将镜子放到C处，然后后退到D处，恰好再次在镜子中看到楼的顶部E（O，A，B，C，D在同一条直线上），测得AC＝2m，BD＝2.1m，如果小明眼睛距地面髙度BF，DG为1.6m，试确定楼的高度OE．【分析】设E关于O的对称点为M，由光的反射定律知，延长GC、FA相交于点M，连接GF并延长交OE于点H，根据GF∥AC得到△MAC∽△MFG，利用相似三角形的对应边的比相等列式计算即可．【解答】解：设E关于O的对称点为M，由光的反射定律知，延长GC、FA相交于点M，连接GF并延长交OE于点H，∵GF∥AC，∴△MAC∽△MFG，∴，，即：，∴，∴OE＝32，答：楼的高度OE为32米．12. (2018·福建)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8.线段AD由线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°得到，△EFG由△ABC沿CB方向平移得到，且直线EF过点D.(1)求∠BDF的大小；(2)求CG的长．【解析】：(1)∵线段AD是由线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°得到，∴∠DAB＝90°，AD＝AB＝10.∴∠ABD＝45°.∵△EFG是△ABC沿CB方向平移得到，∴AB∥EF.∴∠BDF＝∠ABD＝45°.(2)由平移的性质，得AE∥CG，AB∥EF，∴∠DEA＝∠DFC＝∠ABC，∠ADE＋∠DAB＝180°. ∵∠DAB＝90°，∴∠ADE＝90°.∵∠ACB＝90°，∴∠ADE＝∠ACB.∴△ADE∽△ACB.∴ADAC＝AEAB.∵AC＝8，AB＝AD＝10，∴AE＝12.5，由平移的性质，得CG＝AE＝12.5.13.△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，以D为顶点作∠MDN＝∠B.(1)如图1，当射线DN经过点A时，DM交边AC于点E，不添加辅助线，写出图中所有与△ADE相似的三角形；(2)如图2，将∠MDN绕点D沿逆时针方向旋转，DM，DN分别交线段AC，AB于点E，F(点E与点A不重合)，不添加辅助线，写出图中所有的相似三角形，并证明你的结论；(3)在图2中，若AB＝AC＝10，BC＝12，当S△DEF＝14S△ABC时，求线段EF的长．【点拨】(1)由题意得AD⊥BD，DE⊥AC，可考虑从两角对应相等的两个三角形相似来探究；(2)依据三角形内角和定理及平角定义，结合等式的性质，得∠BFD＝∠CDE，又由∠B＝∠C，可得△BDF∽△CED；由相似三角形的性质得BDCE＝DFED，进而有CDCE＝DFED，从而△CED∽△DEF；(3)首先利用△DEF的面积等于△ABC 的面积的14，求出点D 到AB 的距离，进而利用S △DEF 的值求出EF 即可．【解答】解：(1)图1中与△ADE 相似的有△ABD ，△ACD ，△DCE. (2)△BDF ∽△CED ∽△DEF.证明：∵∠B ＋∠BDF ＋∠BFD ＝180°，∠EDF ＋∠BDF ＋∠CDE ＝180°， 又∵∠EDF ＝∠B ，∴∠BFD ＝∠CDE.由AB ＝AC ，得∠B ＝∠C ，∴△BDF ∽△CED.∴BD CE ＝DF ED .∵BD ＝CD ，∴CD CE ＝DFED.又∵∠C ＝∠EDF ，∴△BDF ∽△CED ∽△DEF.(3)连接AD ，过点D 作DG ⊥EF ，DH ⊥BF ，垂足分别为G ，H.∵AB ＝AC ，D 是BC 的中点，∴AD ⊥BC ，BD ＝12BC ＝6.在Rt △ABD 中，AD 2＝AB 2－BD 2，∴AD ＝8. ∴S △ABC ＝12BC·AD ＝48.S △DEF ＝14S △ABC ＝12.又∵12AD·BD ＝12AB·DH ，∴DH ＝4.8.∵△BDF ∽△DEF ，∴∠DFB ＝∠EFD. ∵DG ⊥EF ，DH ⊥BF ，∴DH ＝DG ＝4.8. ∵S △DEF ＝12EF·DG ＝12，∴EF ＝5.14. (2019•湖南常德•10分)在等腰三角形△ABC 中，AB ＝AC ，作CM ⊥AB 交AB 于点M ，BN ⊥AC 交AC 于点N ．(1)在图1中，求证：△BMC ≌△CNB ；(2)在图2中的线段CB 上取一动点P ，过P 作PE ∥AB 交CM 于点E ，作PF ∥AC 交BN 于点F ，求证：PE+PF ＝BM ；(3)在图3中动点P 在线段CB 的延长线上，类似(2)过P 作PE ∥AB 交CM 的延长线于点E ，作PF ∥AC 交NB 的延长线于点F ，求证：AM•PF+OM•BN ＝AM•PE ．【分析】(1)根据等腰三角形的性质得到∠ABC＝∠ACB，利用AAS定理证明；(2)根据全等三角形的性质得到BM＝NC，证明△CEP∽△CMB、△BFP∽△BNC，根据相似三角形的性质列出比例式，证明结论；(3)根据△BMC≌△CNB，得到MC＝BN，证明△AMC∽△OMB，得到＝，根据比例的性质证明即可．【解答】证明：(1)∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵CM⊥AB，BN⊥AC，∴∠BMC＝∠CNB＝90°，在△BMC和△CNB中，，∴△BMC≌△CNB(AAS)；(2)∵△BMC≌△CNB，∴BM＝NC，∵PE∥AB，∴△CEP∽△CMB，∴，∵PF∥AC，∴△BFP∽△BNC，∴，∴，∴PE+PF＝BM；(3)同(2)的方法得到，PE﹣PF＝BM，∵△BMC≌△CNB，∴MC＝BN，∵∠ANB＝90°，∴∠MAC+∠ABN＝90°，∵∠OMB＝90°，∴∠MOB+∠ABN＝90°，∴∠MAC＝∠MOB，又∠AMC＝∠OMB＝90°，∴△AMC∽△OMB，∴∴AM•MB＝OM•MC，∴AM×(PE﹣PF)＝OM•BN，∴AM•PF+OM•BN＝AM•PE．。

小学数学公开课自评：平移和旋转的教学反思上完了《平移和旋转》，说实话，我太紧张了，语言都讲不清楚了，我觉得自己有几个方面做的还不错，可是也有不足的地方。

一、引导学生从生活事件出发，感受生活中的数学现象。

新课标指出在教学空间与图形时应注重所学知识与日常生活的密切关系，应注重使学生在观察、操作获得对简单几何和平面图形的直观经验。

让学生都能举出生活中许多有关平移、旋转的现象。

如：国旗冉冉升起时做上下平移运动；汽车在公路上行驶时做平移运动车轮却在做旋转运动；路上行驶的火车是在做平移运动……让学生在数学活动中体会生活中处处有数学。

二、让学生不仅仅只动手，还运用了其他肢体语言平移、旋转的现象在生活中虽随处可见，但平移旋转的特点要让学生用语言表述很难。

于是，我用动作的准确性（用手势比划、肢体演示）弥补语言表达的不足。

解决了数学知识的高度抽象性和儿童思维发展具体形象性的矛盾，而且使学生主动参与，积极探究，对平移、旋转现象有了深刻的理解。

三、让学生自己去解决问题学习知识的最佳途径是让学生自己去发现。

墙面在方格中向哪个方向平移了几格是本节课的教学难点。

为了突破这一难点，教师给学生提供了自主探究、自主思考的机会，并让学生想办法验证得到正确的结果，先让每个学生通过数一数、移一移，研究墙面平移的距离；再让学生数一数、小组交流讨论，得出确定图形平移的距离以及确定的方法，教师适时结合多媒体课件随机移动墙面的每一个特征点，在多次数墙面任意一点的平移结果后，学生感悟出平移的本质，我们以后数一个图形平移了几格，只要在这个图形上找到一个点，看这个点平移了几格，它所在的图形就平移了几格。

本节课的教学也存在不足的地方：突发事情上，教学机智还不够；许多教学环节设计的比较好，但是没有更好的落实。

评价语言有些单调，教学语言还不是很精练、准确等。

在小鱼的平移上，我们的小朋友都是把鱼转了一个头，我觉得这里我还解释的不够。

本人将在以后的教学中尽量克服以上缺点，还要克服口头禅，使我的数学课的教学能够尽善尽美。

三年级《平移和旋转》教学设计三年级《平移和旋转》教学设计教学设计是一门运用系统方法科学解决教学问题的学问，它以教学效果最优化为目的，以解决教学问题为宗旨。

下面是应届毕业生店铺为大家搜索整理的三年级《平移和旋转》教学设计，希望对大家有所帮助。

三年级《平移和旋转》教学设计篇1教学目标：1、通过观察初步认识物体的平移和旋转的运动特点;能正确判断简单图形在方格纸上平移的方向和距离，并能在方格纸上将图形按指定的方向和距离平移。

2.通过观察、操作等活动，使学生能在方格纸上画出一个简单图形平移后的图形。

3.使学生体会到生活中处处有数学，运用数学知识可以解决生活中的简单数学问题。

教学重点：准确地画出在方格纸上平移后的图形教学难点：正确判断平移的距离教具准备：多媒体课件、投影仪、方格练习纸教学过程：课前谈话：同学们，老师今天带了智慧星，想得到吗?注意只有认真思考，积极发言，表现好的同学才能得到，老师希望内为同学都能得到一、欣赏图片，引入课题。

1、导入新课。

(1)激趣谈话。

师：同学们，你们去过游乐园吗?老师今天带来些游乐园的图片，我们一起来看一看。

(2)播放课件，演示缆车、滑梯、小火车、旋转木马、秋千、螺旋桨、钟摆的图片。

学生看着图片表演，[设计意图：通过游乐场的画面激发学生学习的兴趣，调动学生学习的积极性，使学生自然进入学习状态。

2、组织讨论。

师：它们的运动相同吗?(不同)你能根据它们的运动方式把它们分类吗?先同桌交流。

3、汇报讨论结果。

师：你是怎么分的?你为什么要这样分?指名说。

生：有些是直直的，有些在转圈，(相机奖励智慧星)4、揭示课题。

师：像缆车、滑梯、小火车等是沿着直线运动的，我们把这样的运动方式称为平移(板书：平移);师：而像旋转木马、秋千、螺旋桨、钟摆等都是绕着一个固定的点或轴转动的，这样的运动方式我们就称为旋转(板书：旋转)做一做：要求学生做一个平移和旋转的动作。

也可以由教师发出口令，学生做(如：向上平移、向左平移、向左上平移等)今天我们就一起来研究“平移和旋转”。

2023苏教版三年级上册平移和旋转的教学设计（精选5篇）2023苏教版三年级上册平移和旋转的教学设计（精选5篇）1 教学内容：三年级数学第27页内容及第28页“练一练”1、2题。

教材分析：《平移和旋转》是三年级数学第二单元的内容，平移和旋转这两种现象是生活中出现得比较多的几何现象，因此，通过生活中的实例，让学生充分感知平移和旋转的两种现象。

让学生能在方格纸上画出平移后的图形，培养学生动手操作的能力。

学情分析：平移与旋转现象是学生第一次接触，是结合实例初步感知平移和旋转的特点，学生在第二课时还将进一步学习图形的平移和旋转。

平移和旋转是物体或图形在空间变化的位置方式，认识平移和旋转对发展学生的空间观念有重要作用。

让学生在具体的情景中，在观察生活现象中，从运动变化的角度来感受平移与旋转，为后面的学习做准备。

这部分内容单靠教师讲解和学生的记忆是学不好的，最好的方式是创设大量的活动情景，充分调动学生学习的积极性，引导他们参与到现实生活中来，让学生在观察、想象、描述、表达和和交流中体验。

让学生在直观操作中，感受平移和旋转现象，直观操作对于发展学生的空间观念非常的重要，可借助学生身边丰富、有趣的实例，借助多媒体课件的操作演示，用自己的语言和动作来描述，让学生初步感受平移和旋转，让学生体验到数学与生活的紧密联系。

教学目标：1、结合生活经验和分类活动，初步感受平移和旋转现象，直观体会它们的特点。

2、在学习的过程中培养学生善于观察的习惯及动手实践、发挥想象的`能力。

3、在解决实际问题中使学生体验学习数学的乐趣和应用价值。

教学重点：正确区分平移和旋转现象。

教学难点：结合实际体会平移和旋转的特点。

教学准备：多媒体课件教学过程设计：第一课时一、情境导入：1、同学们去过游乐场吗？谁能说说游乐场里都有哪些游乐项目？2、符老师这里也收集了游乐场一些游乐项目的照片，我们一起去看一看好吗？（好）在这些游乐项目里有许多数学知识呢！今天这节课我们一起来研究图形的运动。

冀教版数学七年级上册2.8《平面图形的旋转》教学设计一. 教材分析冀教版数学七年级上册2.8《平面图形的旋转》是学生在学习了平面图形的性质、图形的轴对称、平移等知识的基础上，进一步研究图形的旋转性质。

本节内容通过实例让学生经历探索平面图形旋转特征的过程，体会图形旋转的性质，能正确运用旋转变换的性质解决一些简单问题。

教材通过丰富的情境和实例，激发学生的学习兴趣，培养学生的空间想象能力和思维能力。

二. 学情分析学生在小学阶段已经接触过图形的旋转，对旋转有一定的认识，但主要是从直观的角度去感受旋转现象。

因此，在教学过程中，需要将学生的已有知识与新知识进行衔接，引导学生从具体到抽象，从直观到理性的认识图形旋转的性质。

同时，学生对于图形的变换和运动还没有形成系统化的认识，需要通过本节课的学习，使学生对图形的变换有一个全面的认识，提高学生的空间想象能力。

三. 教学目标1.知识与技能目标：理解平面图形的旋转性质，学会用旋转变换的性质解决一些简单问题。

2.过程与方法目标：通过观察、操作、思考、交流等活动，培养学生的空间想象能力和思维能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，感受数学与生活的联系。

四. 教学重难点1.教学重点：平面图形的旋转性质。

2.教学难点：如何引导学生从具体实例中抽象出旋转性质，以及旋转变换在实际问题中的应用。

五. 教学方法1.情境教学法：通过丰富的情境和实例，激发学生的学习兴趣，引导学生主动参与学习。

2.启发式教学法：在教学过程中，教师引导学生观察、思考、交流，激发学生的思维，培养学生解决问题的能力。

3.小组合作学习：学生分组讨论，共同探索问题，培养学生的团队协作能力。

六. 教学准备1.教学课件：制作精美的课件，展示图形旋转的实例和性质。

2.教学素材：准备一些实际的例子，让学生观察和操作。

3.学具：为学生准备一些图形，如正方形、三角形等，以便进行操作和观察。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示一些生活中的旋转现象，如车轮转动、风扇旋转等，引导学生关注旋转现象，激发学生的学习兴趣。

第一单元平移、旋转和轴对称（知识清单）（思维导图+知识盘点+易错攻略+典例精讲+巩固培优）知识点一：图形的平移1、平移的特点和方法。

在平面内，将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，叫图形的平移。

平移的距离是物体某个点到移动后相应的点的距离，而不是两个物体间的距离。

图形平移的距离可以通过平移点或线段来确定平移了几格。

2、图形平移的两个关键要素。

平移的方向和平移距离。

3、在方格纸上画简单图形平移后的图形的方法。

（1）找出原图形中具有代表性的点（或线段）。

（2）将原图形各点（或线段）按要求平移。

（3）把平移后的点（或线段）顺次连接。

知识点二：图形的旋转1、旋转方向。

与时针旋转方向相同的是顺时针旋转，相反的是逆时针旋转。

2、旋转的三要素。

旋转中心、旋转方向和旋转角度。

注意旋转中心在选举逆转过程中是保持不动的。

3、在方格纸上画简单图形旋转90°后的图形的方法。

（1）确定旋转中心和关键线段。

（2）绕着旋转中心，根据旋转方向和旋转角度，画出旋转后的对应线段，注意与原线段长度相等。

（3）顺次连接所画线段的端点。

知识点三：轴对称图形1、把一个图形对折，折痕两边完全重合的图形是轴对称图形，折痕所在的直线就是这个图形的对称轴。

2、要画轴对称图形的另一半，先要找到对称轴，想一想图形沿对称轴对折时的另一半的形状，然后找到几个关键点的对称点，如图形的顶点，相交点等对称点，最后顺次连接。

3、对称图形不管是水平方向的对称，还是竖直方向的对称，对称轴两侧相对的点到对称轴的距离都相等。

4、补全一个简单的轴对称图形的方法：（1）确定已知图形的几个关键点，如图形的顶点，相交点，端点等。

（2）数除或量出图形关键点到对称轴的距离。

（3）在对称轴的另一侧找出关键点的对应点。

（4）顺次连接对应点，画出轴对称图形的另一半。

1、图形平移时，形状、大小和自身方向均不发生变化。

2、图形平移的距离是指对应点或对应线段之间的距离，而不是指两个图形之间的距离。

第七章图形的变化第28讲图形的轴对称1．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做__轴对称图形__，这条直线就是它的__对称轴__．把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做__对称轴__，折叠后重合的点是对应点．2．图形轴对称的性质如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任意一对对应点所连线段的__垂直平分线__．轴对称图形的对称轴，是任意一对对应点所连线段的__垂直平分线__．对应线段、对应角__相等__．3．由一个平面图形可以得到它关于一条直线l对称的图形，这个图形与原图形的形状、大小完全一样；新图形上的每一点，都是原图形上的某一点关于直线l的对称点；连接任意一对对应点的线段被对称轴__垂直平分__．这样，由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做__轴对称变换__．一个轴对称图形可以看作以它的一部分为基础，经轴对称变换而成．4．几何图形都可以看作由点组成，只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些对应点，就可以得到原图形的轴对称图形；对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点(如线段的端点)，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形．轴对称与轴对称图形轴对称图形和图形的轴对称之间的的区别是：轴对称图形是一个具有特殊性质的图形，而图形的轴对称是说两个图形之间的位置关系．镜面对称原理(1)镜中的像与原来的物体成轴对称．(2)镜子中的像改变了原来物体的左右位置，即像与物体左右位置互换．建立轴对称模型在解决实际问题时，首先把实际问题转化为数学模型，再根据实际以某直线为对称轴，把不是轴对称的图形通过轴对称变换补添为轴对称图形．有关几条线段之和最短的问题，都是把它们转化到同一条直线上，然后利用“两点之间线段最短”来解决．1．(·龙东)下列交通标志图案是轴对称图形的是( B )2．(·成都)下列图形中，不是轴对称图形的是( A )3．(·牡丹江)下列对称图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的有( B )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．(·安徽)如图，Rt △ABC 中，AB ＝9，BC ＝6，∠B ＝90°，将△ABC 折叠，使A 点与BC 的中点D 重合，折痕为MN ，则线段BN 的长为( C )A .53B .52C ．4D ．55．(·聊城)如图，点P 是∠AOB 外的一点，点M ，N 分别是∠AOB 两边上的点，点P 关于OA 的对称点Q 恰好落在线段MN 上，点P 关于OB 的对称点R 落在MN 的延长线上．若PM ＝2.5 cm ，PN ＝3 cm ，MN ＝4 cm ，则线段QR 的长为( A )A ． 4.5 cmB ． 5.5 cmC ． 6.5 cmD ．7 cm识别轴对称图形【例1】 (·蚌埠模拟)下列图案中，不是轴对称图形的是( A )【点评】判断图形是否是轴对称图形，关键是理解、应用轴对称图形的定义，看是否能找到至少1条合适的直线，使该图形沿着这条直线对折后，两旁能够完全重合．若能找到，则是轴对称图形；若找不到，则不是轴对称图形．,第七章图形与变换)(这是边文，请据需要手工删加)1．(1)(·永州)永州的文化底蕴深厚，永州人民的生活健康向上，如瑶族长鼓舞，东安武术，宁远举重等，下面的四幅简笔画是从永州的文化活动中抽象出来的，其中是轴对称图形的是( C )(2)(·芜湖模拟)下列图形中是轴对称图形但不是中心对称图形的是( B )作已知图形的轴对称图形【例2】(·厦门)在平面直角坐标系中，已知点A(－3，1)，B(－1，0)，C(－2，－1)，请在图中画出△ABC，并画出与△ABC关于y轴对称的图形．解：如图所示：△DEF即与△ABC关于y轴对称的图形【点评】画轴对称图形，关键是先作出一条对称轴，对于直线、线段、多边形等特殊图形，一般只要作出直线上的任意两点、线段端点、多边形的顶点等的对称点，就能准确作出图形．2．如图，在4×3的网格上，由个数相同的白色方块与黑色方块组成一幅图案，请仿照此图案，在下列网格中分别设计出符合要求的图案．(注：①不得与原图案相同；②黑、白方块的个数要相同)(1)是轴对称图形，又是中心对称图形；(2)是轴对称图形，但不是中心对称图形；(3)是中心对称图形，但不是轴对称图形．解：设计方案有多种，在设计时注意每一种图案的具体要求．(1)既是轴对称图形，还应关于中心点对称，有一定的对称及审美要求即可：(2)可不受中心对称的限制，只要是轴对称图形，且黑白数量相等即可：(3)只关于中心对称即可：轴对称性质的应用【例3】(·龙东)如图，菱形ABCD中，对角线AC＝6，BD＝8，M，N分别是BC，CD的中点，P是线段BD上的一个动点，则PM＋PN的最小值是__5__．【点评】求两条线段之和为最小，可以利用轴对称变换，使之变为求两点之间的线段，因为线段间的距离最短．3．(·成都)如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C长度的最小值是__7－1__．折叠问题【例4】(1)(·)如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，E为AB上一点，分别以ED，EC为折痕将两个角(∠A，∠B)向内折起，点A，B恰好落在CD边的点F处．若AD＝3，BC＝5，则EF的值是( A )A.15B．215C.17D．217(2)(·黔西南州)如图，将矩形纸片ABCD折叠，使边AB，CD均落在对角线BD上，得折痕BE，BF，则∠EBF＝__45__°.【点评】折叠的过程实际上就是一个轴对称变换的过程，轴对称变换前后的图形是全等图形，对应边相等，对应角相等．4．(·黔东南州)如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝16，将矩形ABCD沿EF折叠，使点C与点A重合，则折痕EF的长为( D )A．6 B．12 C．2 5 D．4 5第29讲图形的平移～安徽中考命题分析安徽中考命题预测本部分内容在近几年中考中都有涉及，题目以作图题为主，把几何图形放进网格中进行考察，不但考察了考生对这部分知识的掌握程度，还考察了考生动手操作的能力，图案设计的能力，题目难度中等，预计安徽中考对本节内容的考察依然是平移变换的作图题．年份考察内容题型题号分值图形的平移变换作图题17(1) 4图形的平移变换作图题17(2) 4图形的平移变换作图题18(1) 41．把一个图形整体沿某一方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后所得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段__平行且相等__．图形的这种移动叫做平移变换，简称__平移__．2．确定一个平移运动的条件是__平移的方向和距离__．3．平移的规则：图形上的每一个点都沿同一个方向移动相同的距离．4．平移的性质：(1)平移不改变图形的形状与大小；(2)连接各组对应点的线段平行且相等；(3)__对应线段平行(或在同一直线上)且相等__；(4)__对应角相等__．5．画平移图形，必须找出平移方向和距离，其依据是平移的性质．一个防范线段、角、三角形的平移是最简单的平移问题之一，其中关键的条件是平移的方向和平移的距离．图形平移的要领是抓住关键点进行平移．一个作图以局部带整体，先找出图形的关键点，将原图中的关键点与移动后的对应点连接起来，确定平移距离和平移方向，过其他关键点分别作线段与前面所连接的线段平行且相等，得到关键点的对应点，将对应点连接，所得的图形就是平移后的新图形．一个联系图形经过两次轴对称(两对称轴相互平行)得到的图形，可以看作是由原图形经过平移得到的，也就是说两次翻折相当于一次平移．1．(·朝阳)下列图形中，由如图经过一次平移得到的图形是( C )2．(·钦州)如图，△A′B′C′是△ABC经过某种变换后得到的图形，如果△ABC中有一点P的坐标为(a，2)，那么变换后它的对应点Q的坐标为__(a＋5，－2)__．,第2题图),第3题图) 3．(·江西)如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝6，∠B＝60°，将三角形ABC沿着射线BC的方向平移2个单位后，得到三角形△A′B′C′，连接A′C，则△A′B′C的周长为__12__．4．(·济南)如图，将边长为12的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到△A′B′C′，当两个三角形重叠部分的面积为32时，它移动的距离AA′等于__4或8__．判断图形的平移【例1】(·淮南模拟)在6×6方格中，将图①中的图形N平移后位置如图②所示，则图形N的平移方法中，正确的是( D )A．向下移动1格B．向上移动1格C．向上移动2格D．向下移动2格【点评】平移前后图形的形状、大小都不变，平移得到的对应线段与原线段平行且相等，对应角相等，平移时以局部带整体，考虑某一特殊点的平移情况即可．1．(·安庆模拟)如图，在方格纸中，△ABC经过变换得到△DEF，正确的变换是( B ) A．把△ABC绕点C逆时针方向旋转90°，再向下平移2格B．把△ABC绕点C顺时针方向旋转90°，再向下平移5格C．把△ABC向下平移5格，再绕点C逆时针方向旋转180°D．把△ABC向下平移5格，再绕点C顺时针方向旋转180°作已知图形的平移图形【例2】(·阜阳模拟)在图示的方格纸中．(1)作出△ABC关于MN对称的图形△A1B1C1；(2)说明△A2B2C2是由△A1B1C1经过怎样的平移得到的？解：(1)△A1B1C1如图所示：(2)向右平移6个单位，再向下平移2个单位(或向下平移2个单位，再向右平移6个单位)【点评】对于直线、线段、多边形等特殊图形，将原图中的关键点与移动后的对应点连接起来，就能准确作出图形．2．(·安徽)如图，已知A(－3，－3)，B(－2，－1)，C(－1，－2)是直角坐标平面上三点．(1)请画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1；(2)请写出点B关于y轴对称的点B2的坐标．若将点B2向上平移h个单位，使其落在△A1B1C1内部，指出h的取值范围．解：(1)略(2)B2点的坐标为(2，－1)；h的取值范围为2＜h＜3.5第30讲图形的旋转～安徽中考命题分析安徽中考命题预测本部分内容在近几年中考中都有涉及，题目以作图题为主，把几何图形放到网格中进行考察，不但考察了考生对这部分知识的掌握程度，还考察了考生动手操作的能力，图案设计的能力，题目难度中等，预计安徽中考对本节内容的考察依然以网格中图形的变换作图来考查旋转变换，题目难度中等．年份考察内容题型题号分值－－－－图形的旋转变换作图题17(1) 4图形的旋转变换作图题18(2) 41．把一个图形绕着某一个点O转动一定角度的图形变换叫做__旋转__，如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做这个旋转的对应点．2．旋转变换的性质(1)对应点到旋转中心的距离__相等__；(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于__旋转角__；(3)旋转前、后的图形全等．3．把一个图形绕着某一个点旋转__180°__，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点成中心对称，这个点叫做__对称中心__，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心平分．关于中心对称的两个图形是__全等图形__．4．把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做__中心对称图形__，这个点就是它的__对称中心__．5．确定一个旋转运动的条件是要确定__旋转中心、旋转方向和旋转角度__．中心对称与中心对称图形中心对称与中心对称图形的区别：中心对称是两个图形的位置关系，必须涉及两个图形，中心对称图形是指一个图形．旋转作图(1)旋转作图的依据是旋转的特征．(2)旋转作图的步骤如下：①确定旋转中心、旋转方向和旋转角度；②确定图形的关键点(如三角形的三个顶点)，并标上相应字母；③将这些关键点沿旋转方向转动一定的角度；④按照原图形的连接方式，顺次连接这些对应点，得到旋转后的图形，写出结论．1．(·遵义)观察下列图形，是中心对称图形的是( C )2．(·济南)下列图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是( D )3．(·随州)在等边△ABC中，D是边AC上一点，连接BD，将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，连接ED，若BC＝5，BD＝4.则下列结论错误的是( B ) A．AE∥BC B．∠ADE＝∠BDCC．△BDE是等边三角形D．△ADE的周长是94．(·哈尔滨)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝2，△A′B′C 可以由△ABC绕点C顺时针旋转得到，其中点A′与点A是对应点，点B′与点B是对应点，连接AB′，且A，B′，A′在同一条直线上，则AA′的长为( A )A．6B．43C．33D．35．(·绵阳)如图，在正方形ABCD中，E，F分别是边BC，CD上的点，∠EAF＝45°，△ECF的周长为4，则正方形ABCD的边长为__2__.识别中心对称图形【例1】(·绵阳)下列四个图案中，属于中心对称图形的是( D )【点评】把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，这样的图形才是中心对称图形．1．(·安顺)下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( B )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个根据旋转的性质解决问题【例2】 (1)(·兰州)如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝30°，AB ＝2.将△ABC 绕直角顶点C 逆时针旋转60°得△A′B′C ，则点B 转过的路径长为( B )A .π3B .3π3C .2π3D ．π (2)如图，在△ABC 和△CDE 中，AB ＝AC ＝CE ，BC ＝DC ＝DE ，AB ＞BC ，∠BAC ＝∠DCE ＝∠α，点B ，C ，D 在直线l 上，按下列要求画图：(保留画图痕迹)①画出点E 关于直线l 的对称点E′，连接CE′，DE ′；②以点C 为旋转中心，将(1)中所得△CDE′按逆时针方向旋转，使得CE″与CA 重合，得到△CD′E″(A)，画出△CD′E″(A)，解决下面问题：线段AB 和线段CD′的位置关系是__AB ∥CD ′__，并说明理由．解：(2)解 1)画对称点E′.2)画△CD′E″(A)．平行．理由如下：∵∠DCE ＝∠DCE′＝∠D′CA ＝∠α，∴∠BAC ＝∠D′CA ＝∠α，∴AB ∥CD ′【点评】 (1)抓住旋转中的“变”与“不变”；(2)找准旋转前后的对应点和对应线段、旋转角等；(3)充分利用旋转过程中线段、角之间的关系．2．(1)(·海南)如图，△COD 是△AOB 绕点O 顺时针旋转40°后得到的图形，若点C 恰好落在AB 上，且∠AOD 的度数为90°，则∠B 的度数是__60°__．(2)(·池州模拟)如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为(－2，0)，等边三角形AOC 经过平移或轴对称或旋转都可以得到△OBD.①△AOC 沿x 轴向右平移得到△OBD ，则平移的距离是__2__个单位长度；△AOC 与△BOD 关于直线对称，则对称轴是__y 轴__；△AOC 绕原点O 顺时针旋转得到△DOB ，则旋转角度可以是__120__度；②连接AD ，交OC 于点E ，求∠AEO 的度数．解：(1)(1)60°解析：∵△COD是△AOB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形，∴∠AOC＝∠BOD＝40°，AO＝CO，∵∠AOD＝90°，∴∠BOC＝90°－40°×2＝10°，∠ACO＝∠A＝12(180°－∠AOC)＝12(180°－40°)＝70°，由三角形的外角性质得，∠B＝∠ACO－∠BOC＝70°－10°＝60°.故答案为60°(2)2；y轴；120解析：①∵点A的坐标为(－2，0)，∴△AOC沿x轴向右平移2个单位得到△OBD；∴△AOC与△BOD关于y轴对称；∵△AOC为等边三角形，∴∠AOC ＝∠BOD＝60°，∴∠AOD＝120°，∴△AOC绕原点O顺时针旋转120°得到△DOB②如图，∵等边△AOC绕原点O顺时针旋转120°得到△DOB，∴OA＝OD，∵∠AOC＝∠BOD＝60°，∴∠DOC＝60°，即OE为等腰△AOD的顶角的平分线，∴OE垂直平分AD，∴∠AEO＝90°与旋转有关的作图【例3】(·宁夏)在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(－2，1)，B(－4，5)，C(－5，2)．(1)画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；(2)画出△ABC关于原点O成中心对称的△A2B2C2.解：(1)△A1B1C1如图所示(2)△A2B2C2如图所示【点评】本题考查了利用旋转变换作图，利用轴对称变换作图，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．3．(·眉山)如图，在11×11的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点△ABC(即三角形的顶点都在格点上)．(1)在图中作出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1；(要求A与A1，B与B1，C与C1相对应)(2)作出△ABC绕点C顺时针方向旋转90°后得到的△A2B2C；(3)在(2)的条件下直接写出点B旋转到B2所经过的路径的长．(结果保留π)解：(1)△A1B1C1如图所示(2)△A2B2C如图所示(3)根据勾股定理，BC＝12＋42＝17，所以，点B旋转到B2所经过的路径的长＝90π×17180＝17 2π第31讲图形的相似～安徽中考命题分析安徽中考命题预测本部分内容是中学几何中的重点知识，是安徽历年中考的热点，对本部分的考查主要有成比例线段的性质、相似图形的性质、判定与应用，考查时常与其他知识相结合，考查考生的综合能力．题型有选择题、填空题、作图题和解答题，解答题以计算和证明为主，难度中等偏上，预计安徽中考对本节内容的考查有：相似与勾股定理相结合求线段的长，利用相似三角形的性质和判定与四边形相结合进行有关证明，作位似图形等.年份考察内容题型题号分值通过图形的相作图题17(2) 4似变化作图相似三角形的性质解答题19(1) 5相似三角形解答题23(1) 5的判定与性质相似三角形的性质解答题22(3) 5 1．比和比例的有关概念(1)表示两个比相等的式子叫做__比例式__，简称比例．(2)第四比例项：若ab＝cd或a∶b＝c∶d，那么d叫做a，b，c的__第四比例项__．(3)比例中项：若ab＝bc或a∶b＝b∶c，那么b叫做a，c的__比例中项__．(4)黄金分割：把一条线段(AB)分成两条线段，使其中较长线段(AC)是原线段(AB)与较短线段(BC)的比例中项，就叫做把这条线段__黄金分割__．即AC2＝__AB·BC__，AC＝__5－12__AB≈__0.618__AB.一条线段的黄金分割点有__两__个．2．比例的基本性质及定理(1)ab＝cd⇒ad＝bc；(2)ab＝cd⇒a±bb＝c±dd；(3)ab＝cd＝…＝mn(b＋d＋…＋n≠0)⇒a＋c＋…＋mb＋d＋…＋n＝ab.3．平行线分线段成比例定理(1)三条平行线截两条直线，所得的对应线段成__比例__；(2)平行于三角形一边截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成__比例__；(3)如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成__比例__，那么这条直线平行于三角形的第三边；(4)平行于三角形的一边，并且和其他两边(或两边的延长线)相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例．4．相似三角形的定义：对应角相等、对应边成比例的三角形叫做__相似三角形__．相似比：相似三角形的对应边的比，叫做两个相似三角形的__相似比__．5．相似三角形的判定(1)平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所截得的三角形与原三角形相似；(2)两角对应相等，两三角形相似；(3)两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；(4)三边对应成比例，两三角形相似；(5)两个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似；(6)直角三角形中被斜边上的高分成的两个三角形都与原三角形相似．6．相似三角形性质相似三角形的对应角相等，对应边成比例，对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．7．射影定理：如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，则有下列结论．(1)AC2＝AD·AB；(2)BC2＝BD·AB；(3)CD 2＝AD·BD ；(4)AC 2∶BC 2＝AD ∶BD ； (5)AB·CD ＝AC·BC. 8．相似多边形的性质(1)相似多边形对应角__相等__，对应边__成比例__．(2)相似多边形周长之比等于__相似比__，面积之比等于__相似比的平方__． 9．位似图形(1)概念：如果两个多边形不仅__相似__，而且对应顶点的连线相交于__一点__，这样的图形叫做位似图形．这个点叫做__位似中心__．(2)性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于__位似比__．五种基本思路(1)条件中若有平行线，可采用相似三角形的基本 定理；(2)条件中若有一对等角，可再找一对等角(用判定定理1)或再找夹边成比例(用判定定理2)；(3)条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等；(4)条件中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证明斜边、直角边对应成比例； (5)条件中若有等腰三角形，可找顶角相等，或找一对底角相等，或找底和腰对应成比例．1．(·厦门)如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，若DE ∥BC ，DE ＝2，BC ＝3，则AE AC ＝__23__．,第1题图) ,第2题图)2．(·长沙)如图，△ABC 中，DE ∥BC ，DE BC ＝23，△ADE 的面积为8，则△ABC 的面积为__18__．3．(·凉山)如果两个相似多边形面积的比为1∶5，则它们的相似比为( D )A ．1∶25B ．1∶5C ．1∶2.5D ．1∶ 5 4．(·玉林)△ABC 与△A ′B′C′是位似图形，且△ABC 与△A′B′C′的位似比是1∶2，已知△ABC 的面积是3，则△A′B′C′的面积是( D )A ．3B ．6C ．9D ．125．(·莱芜)如图，在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，BC 上的点，且DE ∥AC ，若S △BDE ∶S △CDE ＝1∶4，则S △BDE ∶S △ACD ＝( C )A ．1∶16B ．1∶18C ．1∶20D ．1∶24比例的基本性质、黄金分割【例1】 (·宿州模拟)已知b a ＝513，则a －b a ＋b 的值是( D )A .23B .32C .94D .49【点评】 此题考查了比例的性质．此题比较简单，解题的关键是注意掌握比例的性质与比例变形．1．(1)若a 2a －b ＝23，则b a ＝__12__．(2)已知a 2＝b 5＝c7，且a ＋b ＋c ≠0，则2a ＋3b －2c a ＋b ＋c 的值为( A )A .514B .511C .145D .1617三角形相似的性质及判定 【例2】 (·宜昌)已知：如图，四边形ABCD 为平行四边形，以CD 为直径作⊙O ，⊙O 与边BC 相交于点F ，⊙O 的切线DE 与边AB 相交于点E ，且AE ＝3EB.(1)求证：△ADE ∽△CDF ；(2)当CF ∶FB ＝1∶2时，求⊙O 与▱ABCD 的面积之比．解：(1)证明：∵CD 是⊙O 的直径，∴∠DFC ＝90°，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠A ＝∠C ，AD ∥BC ，∴∠ADF ＝∠DFC ＝90°，∵DE 为⊙O 的切线，∴DE ⊥DC ，∴∠EDC ＝90°，∴∠ADF ＝∠EDC ＝90°，∴∠ADE ＝∠CDF ，∵∠A ＝∠C ，∴△ADE ∽△CDF (2)解：∵CF ∶FB ＝1∶2，∴设CF ＝x ，FB ＝2x ，则BC ＝3x ，∵AE ＝3EB ，∴设EB ＝y ，则AE ＝3y ，AB ＝4y ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ＝BC ＝3x ，AB ＝DC ＝4y ，∵△ADE ∽△CDF ，∴AE AD ＝CF CD ，∴3y 3x ＝x4y ，∵x ，y 均为正数，∴x ＝2y ，∴BC ＝6y ，CF ＝2y ，在Rt △DFC 中，∠DFC ＝90°，由勾股定理得DF ＝DC 2－FC 2＝（4y ）2－（2y ）2＝23y ，∴⊙O 的面积为π·(12DC)2＝14π·DC 2＝14π(4y)2＝4πy 2，四边形ABCD 的面积为BC·DF ＝6y·23y ＝123y 2，∴⊙O 与四边形ABCD 的面积之比为4πy 2：123y 2＝π∶3 3【点评】 本题考查了相似三角形的性质和判定、平行四边形的性质、勾股定理的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力．2．(·玉林)如图，在正方形ABCD 中，点M 是BC 边上的任一点，连接AM 并将线段AM 绕点M 顺时针旋转90°得到线段MN ，在CD 边上取点P 使CP ＝BM ，连接NP ，BP.(1)求证：四边形BMNP 是平行四边形；(2)线段MN 与CD 交于点Q ，连接AQ ，若△MCQ ∽△AMQ ，则BM 与MC 存在怎样的数量关系？请说明理由．解：(1)证明：在正方形ABCD 中，AB ＝BC ，∠ABC ＝∠C ，在△ABM 和△BCP 中，⎩⎨⎧AB ＝BC ，∠ABC ＝∠C ，CP ＝BM ，∴△ABM ≌△BCP(SAS )，∴AM ＝BP ，∠BAM ＝∠CBP ，∵∠BAM ＋∠AMB ＝90°，∴∠CBP ＋∠AMB ＝90°，∴AM ⊥BP ，∵线段AM 绕M 顺时针旋转90°得到线段MN ，∴AM ⊥MN ，且AM ＝MN ，∴MN ∥BP ，∴四边形BMNP 是平行四边形 (2)解：BM ＝MC.理由如下：∵∠BAM ＋∠AMB ＝90°，∠AMB ＋∠CMQ ＝90°，∴∠BAM ＝∠CMQ ，又∵∠ABM ＝∠C ＝90°，∴△ABM ∽△MCQ ，∴ABMC＝AM MQ ，∵△MCQ ∽△AMQ ，∴△AMQ ∽△ABM ，∴AB BM ＝AM MQ ，∴AB MC ＝ABBM，∴BM ＝MC相似三角形综合问题【例3】 (·安顺)如图，已知AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的弦，弦ED ⊥AB 于点F ，交BC 于点G ，过点C 的直线与ED 的延长线交于点P ，PC ＝PG.(1)求证：PC 是⊙O 的切线；(2)当点C 在劣弧AD 上运动时，其他条件不变，若BG 2＝BF ·BO.求证：点G 是BC 的中点；(3)在满足(2)的条件下，AB ＝10，ED ＝46，求BG 的长．解：(1)证明：连接OC，如图，∵ED⊥AB，∴∠FBG＋∠FGB＝90°，又∵PC＝PG，∴∠1＝∠2，而∠2＝∠FGB，∠4＝∠FBG，∴∠1＋∠4＝90°，即OC⊥PC，∴PC是⊙O的切线(2)证明：连OG，如图，∵BG2＝BF·BO，即BG∶BO＝BF∶BG，而∠FBG＝∠GBO，∴△BGO∽△BFG，∴∠OGB＝∠BFG＝90°，即OG⊥BG，∵OB＝OC，∴BG ＝CG，即点G是BC的中点(3)解：连OE，如图，∵ED⊥AB，∴FE＝FD，而AB＝10，ED＝46，∴EF＝26，OE＝5，在Rt△OEF中，OF＝OE2－EF2＝52－（26）2＝1，∴BF＝5－1＝4，∵BG2＝BF·BO，∴BG2＝BF·BO＝4×5，∴BG＝2 5【点评】本题考查了切线的判定、垂径定理、勾股定理以及三角形相似的判定与性质等知识的综合运用．3．(·绍兴)课本中有一道作业题：有一块三角形余料ABC，它的边BC＝120 mm，高AD＝80 mm.要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．问加工成的正方形零件的边长是多少毫米？小颖解得此题的答案为48 mm，小颖善于反思，她又提出了如下的问题．(1)如果原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如图①，此时，这个矩形零件的两条边长又分别为多少毫米？请你计算．(2)如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图②，这样，此矩形零件的两条边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长．解：(1)设矩形的边长PN ＝2y mm ，则PQ ＝y mm ，由条件可得△APN ∽△ABC ，∴PNBC ＝AE AD ，即2y 120＝80－y 80，解得y ＝2407，∴PN ＝2407×2＝4807(mm )，答：这个矩形零件的两条边长分别为2407 mm ，4807 mm (2)设PN ＝x mm ，由条件可得△APN ∽△ABC ，∴PNBC＝AE AD ，即x 120＝80－PQ 80，解得PQ ＝80－23x.∴S ＝PN·PQ ＝x(80－23x)＝－23x 2＋80x ＝－23(x －60)2＋2400，∴S 的最大值为2400 mm 2，此时PN ＝60 mm ，PQ ＝80－23×60＝40(mm )相似多边形与位似图形【例4】 (·安徽)如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，按要求画出△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2；(1)将△ABC 先向右平移4个单位，再向上平移1个单位，得到△A 1B 1C 1；(2)以图中的点O 为位似中心，将△A 1B 1C 1作位似变换且放大到原来的两倍，得到△A 2B 2C 2.解：如图：【点评】 本题考查了平移、位似的作图，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键．4．(·南通)如图，点E 是菱形ABCD 对角线CA 的延长线上任意一点，以线段AE 为边作一个菱形AEFG ，且菱形AEFG ∽菱形ABCD ，连接EB ，GD.(1)求证：EB＝GD；(2)若∠DAB＝60°，AB＝2，AG＝3，求GD的长．解：(1)证明：∵菱形AEFG∽菱形ABCD，∴∠EAG＝∠BAD，∴∠EAG＋∠GAB＝∠BAD＋∠GAB，∴∠EAB＝∠GAD，∵AE＝AG，AB＝AD，∴△AEB≌△AGD，∴EB ＝GD(2)解：连接BD交AC于点P，则BP⊥AC，∵∠DAB＝60°，∴∠PAB＝30°，∴BP＝12AB＝1，AP＝AB2－BP2＝3，∵AE＝AG＝3，∴EP＝23，∴EB＝EP2＋BP2＝12＋1＝13，∴GD＝13第32讲用坐标表示图形变换1．平面直角坐标系在平面内具有__公共原点__而且__互相垂直__的两条数轴，就构成了平面直角坐标系，简称坐标系．建立了直角坐标系的平面叫坐标平面，x轴与y轴把坐标平面分成四个部分，称为四个象限，按逆时针顺序依次叫第一象限、第二象限、第三象限、第四象限．各象限内和坐标轴上的点的坐标规律第一象限：(＋，＋)；第二象限：(－，＋)；。

平移和旋转优秀教学设计平移和旋转优秀教学设计1教学目标：1、结合生活实例，通过判断、举例等感知平移与旋转现象，体会平移和旋转的特点，并会直观地区分这两种现象。

2、能在方格纸上画出一个简单图形沿水平方向、垂直方向平移后的图形，感受平移的几何特征3、在学习的过程中培养同学善于观察的习惯和动手实践、发挥想象的能力，在解决实际问题中使同学体验学习数学的乐趣和应用价值。

教学重、难点：正确区分平移和旋转现象正确判断平移的方向和距离，初步感悟平移的实质。

教学准备：教学课件，学具教学过程：一、导入新课（玩儿华容道的游戏和欣赏陀螺旋转的视频）师：华容道通过三国时期故事演变而来的一种益智类游戏，你还记得怎么玩吗？谁愿意来试试看？（上下移动，左右移动）——————平移板书师：请大家回顾欣赏一段视频，玩华容时我们所看到的是平移现象，陀螺的运动方式就是旋转、（板书）二、讲授新课1、分一分师：（出示六幅图）老师把生活中这样的场景录了下来，大家一起来看看，可以用手动作比划一下、师：接下来，请6名小朋友到黑板前，选择一个你喜欢的，先用动作进行表演再将它把所选项目的图片贴在黑板上、师：为什么会把升国旗、推窗户、推箱子分到平移，到底什么才是平移？小结；物体沿直线运动的现象称为平移。

2我说你做师：（贴图）请生移动，老师说口令向上平移……生接着说指令：向左平移。

向右平移。

向左上怎么移？移动的时候注意什么？（在平移过程中，老师有意识地引导同学们观察图片自身的方向，学生欣喜地发现了原来在平移过程中，图片自身的方向始终没有发生变化。

完成表格）总结：通过我们的感受、体验、观察、发现平移是物体沿直线运动的现象称为平移。

在平移的过程中物体形状、大小、方向不变。

只有位置发生变化。

3、做一做做一个平移的动作：生自己做并展示4、说一说生活中你还见到过那些平移现象？（请生走过来这就是平移运动，回座位）平移现象在生活中随处可见，就拿回座位这么简单平常的事儿，没有这两种运动方式的，连回座位都成了难事儿。