25.1(1)锐角三角比的意义

上海市杨泰实验学校教学设计表

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锐角的三角比知识讲解

锐角的三角比－知识讲解

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锐角的三角比 知识讲解 【学习目标】 1.结合图形理解记忆锐角三角函数的定义；? 2.会推算30°、45°、６０°角的三角函数值，并熟练准确的记住特殊角的三角函数值; ３．理解并能熟练运用“同角三角函数的关系”及“锐角三角函数值随角度变化的规律”. 【要点梳理】 要点一、锐角三角函数的概念 如图所示,在Rt △ABC 中,∠C=90°，∠A 所对的边BC 记为a,叫做∠A 的对边,也叫做∠B 的邻边，∠B 所对的边AC 记为b,叫做∠B 的对边，也是∠A 的邻边，直角C 所对的边ＡＢ记为c,叫做斜边.? 锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA,即 sin A a A c ∠= =的对边斜边; 锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦,记作cos Ａ,即cos A b A c ∠= =的邻边斜边; 锐角Ａ的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tanA ，即tan A a A A b ∠= =∠的对边的邻边； 锐角A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记作c ｏtA,即cot A b A A a ∠= =∠的邻边的对边. 同理sin B b B c ∠= =的对边斜边;cos B a B c ∠==的邻边斜边;tan B b B B a ∠==∠的对边的邻边; cot B a B B b ∠== ∠的邻边的对边?要点诠释: (1）正弦、余弦、正切、余切函数是在直角三角形中定义的,反映了直角三角形边与角的关系,是两条线段的比值．角的度数确定时,其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化．? (２)sinA,c ｏｓA,tanA,ｃotA 分别是一个完整的数学符号,是一个整体，不能写成 A B C a b c

用锐角三角函数概念解题的常见方法(含答案11页)

用锐角三角函数概念解题的常见方法 1．锐角三角函数 （1）锐角三角函数的定义 我们规定： sinA=a c ，cosA= b c ，tanA= a b ，cotA= b a ． 锐角的正弦、余弦、正切、余切统称为锐角的三角 函数． （2）用计算器由已知角求三角函数值或由已知三 角函数值求角度 对于特殊角的三角函数值我们很容易计算，甚至可 以背诵下来，但是对于一般的锐角又怎样求它的三角函数值呢？用计算器可以帮我们解决大问题． ①已知角求三角函数值； ②已知三角函数值求锐角． 2 直角三角形中，30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半． 3．锐角三角函数的性质 （1）0

（2）tan α·cot α=1或tan α=1 cot α ； （3）tan α= sin cos αα，cot α=cos sin α α ． （4）sin α=cos （90°-α），tan α=cot （90°-α）． 有关锐角三角函数的问题，常用下面几种方法： 一、设参数 例1. 在ABC ?中，?=∠90C ，如果125 tan = A ，那么sin B 的值等于（ ） 5 12.12 5. 13 12. 13 5. D C B A 解析：如图1，要求sinB 的值，就是求 AB AC 的值，而已知的12 5 tan =A ，也就是12 5 =AC BC 可设k AC k BC 125==， 则k k k AB 13)12()5(22=+= 13 12 1312sin == ∴k k B ，选B 二、巧代换 例2. 已知3tan =α，求 α αα αcos sin 5cos 2sin +-的值。 解析：已知是正切值，而所求的是有关正弦、余弦的值，我们可以利用关系式 3cos sin tan == α α α，作代换ααcos 3sin =，代入即可达到约分的目的，也可以把所求的分式的分子、分母都除以αcos 。 图1

《锐角三角函数》题型分析

《锐角三角函数》题型分析 【经典范例引路】 例1（考察基本的三角函数关系）在Rt △ABC 中，∠C ＝900，AC ＝12，BC ＝15。 （1）求AB 的长；（2）求sinA 、cosA 的值；（3）求A A 22cos sin +的值；（4）求tanA ?tanB 的值。 变式：（1）在Rt △ABC 中，∠C ＝900，5=a ，2=b ，则sinA ＝ 。 （2）在Rt △ABC 中，∠A ＝900 ，如果BC ＝10，sinB ＝0.6，那么AC ＝ 。 解题关键：熟记锐角三角函数的基本概念及公式： 特别要熟记的内容：当∠A+∠B ＝900时，（1）sinA ＝cosB ＝cos （900-A ）； （2）sin 2A+ sin 2B ＝1或sin 2A+ cos 2A ＝1；cos 2 A+ cos 2B ＝1 （3）tanA ?tanB=1 例2（考察特殊角的计算）计算：020045sin 30cot 60sin +? 解题关键：扎实的实数计算能力是关键，尤其是分数及含有根号的无理数计算化简 例3（考察锐角三角函数值的转换）已知，在Rt △ABC 中，∠C ＝900，2 5 tan = B ，那么cosA （ ） A 、 25 B 、35 C 、5 5 2 D 、32 变式：已知α为锐角，且5 4 cos = α，则ααtan sin +＝ 。 解题关键：已知任意一个锐角三角函数值都可以转换出其它两个锐角三角函数值 例4（考察锐角三角函数的增减性及二次根式、绝对值的化简问题） 已知009030<<<βα，则αβαβcos 12 3 cos )cos (cos 2-+- --＝ 。 解题关键：（1）理解锐角三角函数的增减性:sinA 和tanA 的值随∠A 的增大而增大，即角度越大，sinA 和tanA 的值就越大，而cosA 的值随∠A 的增大而减小（反之也成立）。 （2）记得公式==a a 2

锐角的三角比专题复习一(教案)

课题：锐角的三角比（专题复习一） 一、复习目标 1.进一步掌握锐角三角比的意义；熟练掌握特殊锐角的三角比的值；灵活地解直角三角形. 2.经历运用锐角三角比、解直角三角形的知识解决问题的过程，渗透数形结合、化归与转化的数学思想方法． 3.通过积极参与数学学习的活动，提高学生分析问题和解决问题的能力，获得运用知识，领悟提高的成就感. 二、复习重点、难点 1.复习重点：锐角三角比的意义、特殊锐角的三角比值、解直角三角形. 2.复习难点：灵活运用锐角三角比、解直角三角形的知识解决问题. 三、复习思路 四、复习进程 （一）题组引入 1.锐角的三角比的定义 （1）在Rt △ ABC 中，?=∠90C ， a 、 b 、c 分别是A ∠、B ∠、C ∠ 的对边，下列等式中正确的是（ ） A.c a A = cos ； B.b c B =sin ； C.b a B =tan ； D.a b A =cot ． （2）在Rt △ABC 中，∠AC B ＝90°，B C ＝1，AC ＝2，则下列结论正确的是（ ） A ．sin A ； B ．tan A ＝1 2 ； C ．cos B ； D ．tan B （3）在以O 为坐标原点的直角坐标平面内有一点A （2，4），如果AO 与x 轴 正半轴的夹角为，那么= ． 小结：锐角的三角比的定义: 如图，在RtΔABC 中，∠C ＝ B C

tan A A A ∠= ∠的对边的邻边；cot A A A ∠=∠的邻边 的对边 ；sin A A ∠=的对边斜边；cos A A ∠=的邻边斜边. 2.特殊锐角的三角比的值 （1）计算：2sin60°＋tan45°＝ ． （2）若α为锐角，已知cos α=2 1 ，那么tan α= . （3）计算：． 小结：特殊锐角的三角比的值： 3.解直角三角形 知识梳理： ① 在直角三角形中，由已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形. ② 在Rt △ABC 中，如果∠C =90°，那么它的三条边和两个锐角这五个元素之间有以下的关系： 三边之间的关系：222a b c +=. 锐角之间的关系：90A B ∠+∠=?. 边角之间的关系：tan A A A ∠= ∠的对边的邻边，cot A A A ∠=∠的邻边 的对边， sin A A ∠= 的对边斜边，cos A A ∠=的邻边 斜边

沪教版(上海)初中数学九年级第一学期 25.1(1) 锐角三角比的意义(1) 教案

§25.1(1) 锐角三角比的意义(1) 教学目标：知道直角三角形的两条直角边的比值是一个定值，由此理解锐角的正切和余切的几何意义；会根据直角三角形的两条直角边的长度求锐角的正切、余切值；经历锐角三角比的概念的形成过程，获得从实际问题中抽象出数学概念的体会，体会数学与生活的联系. 教学重点：理解直角三角形中锐角的正切、余切的意义，会建立直角三角形这一模型. 教学难点：体会锐角与边的比值的联系. 教学设计：

教学设计说明： 《锐角的三角比》是初三第一学期的几何教学内容，它在解决实际问题中有着重要的作用。在测量、建筑、物理学中，人们常常遇到距离、角度、高度的计算，这些都归结到直角三角形中边角的关系问题。而锐角三角比则是后续学习解直角三角形及其应用的根本，在本章的教学中起着非常关键的作用。 学生在九年级已经学习了相似三角形，知道相似三角形的对应线段是成比例的。学生也在八年级的时候学习了直角三角形中30o所对的直角边与斜边的关系，也对30o的直角三角形以及等腰直角三角形的三边关系有了一定的认识。因此，我们把任意的一个直角三角形的 边角关系通过锐角的三角比来进行描述。体现特殊到一版的研究方法。 在本课的教学中，我着重从以下几方面开展教学工作： 一、关注数学与实际生活的联系 课题的引入是一个测高的问题，学习本章知识最终也是要解决跟锐角三角比有关的实际问题，而将实际问题数学化是学生的一个薄弱点，通过从实际问题引出新授的内容，再次让学生认识“数学来源于生活，服务于生活”这一宗旨。 二、培养学生的作图以及合作学习的能力 本节课的小组探究活动，无论是画图、测量还是论证，都要求小组合作完成，基础较差的学生可以通过测量计算等实验过程体会直角三角形的两条直角边之比是一个定值，基础较好的学生则可以直接通过论证几何的方法获取这一结论。 三、学会建立直角三角形的模型 初中阶段的锐角三角比的问题的解决都将借助直角三角形这一模型，通过添加辅助线构造直角三角形是常规方法之一，课后作业的选做题可以帮助学生达到这一效果。

求锐角三角函数值的经典题型+方法归纳(超级经典好用)

求锐角三角函数值的经典题型+方法归纳(超级经典好用)

求锐角三角函数值的几种常用方法 一、定义法 当已知直角三角形的两条边，可直接运用锐角三角函数的定义求锐角三角函数的值． 例1 如图1，在△ABC 中，∠C =90°，AB =13，BC =5，则sin A 的值是( ) (A )513 (B )1213 (C )512 (D )13 5 对应训练： 1．在Rt △ABC 中，∠ C ＝90°，若BC ＝1，AB 5，则tan A 的值为 ( ) A ． 5 B 25 C ．1 2 D ．2 二、参数（方程思想）法 锐角三角函数值实质是直角三角形两边的比值，所以解题中有时需将三角函数转化为线 段比，通过设定一个参数，并用含该参数的代数式表示出直角三角形各边的长，然后结合相关条件解决问题． 例2 在△ABC 中，∠C =90°，如果tan A =5 12，那么sin B 的值是 ． 对应训练： 1．在△ABC 中，∠C =90°，sin A=5 3，那么tan A 的值等于（ ）. A ．35 B . 45 C . 34 D . 43 2．已知△ ABC 中， ο 90=∠C ，3cosB=2， AC=5 2 ，则 AB= ． 3．已知Rt △ABC 中，,12,4 3 tan ,90==?=∠BC A C 求AC 、AB 和cos B ．

4．已知：如图，⊙O 的半径OA ＝16cm ，OC ⊥AB 于C 点，?=∠4 3sin AOC 求：AB 及OC 的长． 三、等角代换法 当一个锐角的三角函数不能直接求解或锐角不在直角三角形中时，可将此角通过等 角转换到能够求出三角函数值的直角三角形中，利用“两锐角相等，则三角函数值也相等” 来解决． 例3 在Rt △ABC 中，∠BCA =90°，CD 是AB 边上的中线，BC =5，CD =4，则cos ∠ACD 的值为 ． 对应训练 1.如图，O ⊙是ABC △的外接圆，AD 是O ⊙的直径， 若O ⊙的半径为32，2AC =，则sin B 的值是（ ）A ．2 3

省优秀课一等奖：锐角三角函数全章教案

【锐角三角函数全章教案】 锐角三角函数（第一课时） 教学三维目标： 一.知识目标：初步了解正弦、余弦、正切概念；能较正确地用siaA 、cosA 、tanA 表示直角三角形中两边的比；熟记功30°、45°、60°角的三角函数，并能根据这些值说出对应的锐角度数。 二.能力目标：逐步培养学生观察、比较、分析，概括的思维能力。 三.情感目标：提高学生对几何图形美的认识。 教材分析： 1．教学重点: 正弦，余弦，正切概念 2．教学难点:用含有几个字母的符号组siaA 、cosA 、tanA 表示正弦，余弦，正切 教学程序： 一．探究活动 1．课本引入问题，再结合特殊角30°、45°、60°的直角三角形探究直角三角形的边角关系。 2．归纳三角函数定义。 siaA= 斜边的对边A ∠,cosA=斜边的邻边A ∠,tanA=的邻边 的对边 A A ∠∠ 3例1.求如图所示的Rt ⊿ABC 中的siaA,cosA,tanA 的值。 4.学生练习P21练习1，2，3 二．探究活动二 1.让学生画30°45°60°的直角三角形,分别求sia 30°cos45° tan60°

2. 求下列各式的值 （1）sia 30°+cos30°（2）2sia 45°-21cos30°(3)0 4530cos sia +ta60°-tan30° 三．拓展提高P82例4.（略） 1. 如图在⊿ABC 中,∠A=30°,tanB=2 3 ,AC=23,求AB 四．小结 五．作业课本p85－86 2,3,6,7,8,10

解直角三角形应用（一） 一．教学三维目标 (一)知识目标 使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形． (二)能力训练点 通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力． (三)情感目标 渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯． 二、教学重点、难点和疑点 1．重点：直角三角形的解法． 2．难点：三角函数在解直角三角形中的灵活运用． 3．疑点：学生可能不理解在已知的两个元素中，为什么至少有一个是边． 三、教学过程 (一)知识回顾 1．在三角形中共有几个元素？ 2．直角三角形ABC 中，∠C=90°，a 、b 、c 、∠A 、∠B 这五个元素间有哪些等量关系呢？ (1)边角之间关系 sinA=c a cosA=c b tanA=b a (2)三边之间关系 a 2 + b 2 = c 2 (勾股定理) (3)锐角之间关系∠A+∠B=90°． 以上三点正是解直角三角形的依据，通过复习，使学生便于应用． （二） 探究活动 1．我们已掌握Rt △ABC 的边角关系、三边关系、角角关系，利用这些关系，在知道其中的两个元素(至少有一个是边)后，就可求出其余的元素．这样的导语既可以使学生大概了解解直角三角形的概念，同时又陷入思考，为什么两个已知元素中必有一条边呢？激发了学生的学习热情． 2．教师在学生思考后，继续引导“为什么两个已知元素中至少有一条边？”让全体学生的思维目标一致，在作出准确回答后，教师请学生概括什么是解直角三角形？(由直角三角形中除直角外的两个已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形)． 3．例题评析

求锐角三角函数值常用方法

求锐角三角函数值常用方法 求锐角三角函数值，是“锐角三角函数”一节中重要内容，也是中考中常见的题型.现将求锐角三角函数值的常用方法总结如下，供同学们在学习时参考. 一、直接用锐角三角函数的定义 例1 在△ABC 中，∠C = 900，AC =6，BC =8.则sinA = （ ）. A 、 54 B 、5 3 C 、 43 D 、 3 4 分析 由定义知锐角A 的正弦等于角A 的对边比斜边，只要求出斜边AB 即可. 解：由勾股定理知，AB = 22BC AC + = 10, ∴sinA = 5 4 故选A. 二、用同角三角函数间的关系 例2 若∠A 为锐角，且sinA = 2 3 ，则cosA = ( ) A 、1 B 、 23 C 、2 2 D 、21 分析 本题可由sin 2A + cos 2A = 1直接求得. cosA = A 2sin 1- = 2)23( 1-= 2 1 故选D.(注：本题也可用三角函数的定义求解) 例3 已知 tanA = 3 2 , 则cotA = 析解：由tanA ×cotA = 1.得 cotA = 即cotA = 32 . 三、用等角来替换 例4如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB = 900,CD ⊥AB 于D,BC=3,AC = 4,设∠BCD = a,求sina.

析解 ：由题意可知，∠BCD = ∠A ，sin a =sinA = AB BC ,只要求出AB 即可.在Rt △ ABC 中，BC = 3,AC = 4,∴AB = 5. ∴sinA = 53 ∴sina = 5 3 四、构造直角三角形 例5 如图2，已知 △ABC 中，D 是AB 的中点，DC ⊥AC,且cotA = 2 3 ,求∠BCD 的四个三角函数值. 分析 为了求出∠BCD 的三角函数值，必须构造一个以∠BCD 为锐角的直角三角形，可作DE ⊥CD,接下来的关键是求出Rt △CDE 的三边长或三边之比.在Rt △CDE 中，由cotA = 23，可设AC = 3a, CD = 2a,而DE= 21AC = 2 3 a .在Rt △CDE 中，利用勾股定理可求出CE,故∠BCD 的四个三角函数值可求出. 解：过D 点作DE ⊥CD 交BC 于点E. ∵∠ACD = ∠CDE = 900 ∴AC ∥DE 又∵D 为AB 的中点，∴DE 为△ABC 的中位线. 在Rt △ACD 中，由cotA = 23，可设AC = 3a ,CD = 2a , ∴ DE = 2 3a . 在Rt △CDE 中，由勾股定理CE = 22DE CD += 2 2)2 3( )2(a a += 2 5a , ∴sin ∠BCD = CE DE = 53,cos ∠BCD =CE CD =5 4

锐角三角函数专题训练

锐角三角函数与特殊角专题训练 【基础知识精讲】 一、 正弦与余弦： 1、 在ABC ?中，C ∠为直角，我们把锐角A 的对边与斜边的比叫做A ∠的正弦，记作A sin ， 锐角A 的邻边与斜边的比叫做A ∠的余弦，记作A cos . 斜边的邻边斜边的对边A A A A ∠=?∠=cos sin . 若把A ∠的对边BC 记作a ，邻边AC 记作b ，斜边AB 记作c ， 则c a A =sin ，c b A =cos 。 2、当A ∠为锐角时， 1sin 0<

)90sin(cos ),90cos(sin A A A A -?=-?=． 七、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。 即 ()A A -=ο90cot tan ， ()A A -=ο90tan cot ． 八、同角三角函数之间的关系： ⑴、平方关系：1cos sin 22=+A A ⑵商的关系A A A cos sin tan = A A A sin cos cot = ⑶倒数关系tana ·cota=1 【典型例题】 【1】 已知a 为锐角①若sina=3/5，求cosa 、tana 的值。②若tana=3/4，求 sina 、cosa 的值。③若tana=2，求（3sina+cosa ）/（4cosa-5sina ） 【2】 在△ABC 中，角A, 角B,角C 的对边分别为a 、b 、c ，且a ：b ：c=9:40:41， 求tanA,1/tanA 的值. 【3】 求下列各式的锐角。 ①2sina=1，②,2tana ·cosa=根号3，③ tan 2 a+（1+根号3）tana+根号3=0 【4】 在△ABC 中AB=15，BC=14，S △ABC=84.求tanc ，sina 的值。 【5】 等腰三角形的面积为2，腰长为根号5，底角为a ，求tana 。 【6】 锐角a 满足cosa=3/4，则∠a 较确切的取值范围（） A.0°＜a ＜45° B. 45°＜a ＜90° C. 45°＜a ＜60° D. C. 30°＜a ＜45° 【7】计算：020*********sin 88sin 3sin 2sin 1sin +++++Λ 【基础练习】 一、填空题：

锐角的三角比 知识讲解

锐角的三角比 知识讲解 【学习目标】 1．结合图形理解记忆锐角三角函数的定义； 2．会推算30°、45°、60°角的三角函数值，并熟练准确的记住特殊角的三角函数值； 3．理解并能熟练运用“同角三角函数的关系”及“锐角三角函数值随角度变化的规律”. 【要点梳理】 要点一、锐角三角函数的概念 如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 所对的边BC 记为a ，叫做∠A 的对边，也叫做∠B 的邻边，∠B 所对的边AC 记为b ，叫做∠B 的对边，也是∠A 的邻边，直角C 所对的边AB 记为c ，叫做斜边． 锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即sin A a A c ∠= =的对边斜边； 锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即cos A b A c ∠= =的邻边斜边； 锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tanA ，即tan A a A A b ∠= =∠的对边的邻边； 锐角A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记作cotA ，即cot A b A A a ∠= =∠的邻边的对边. 同理sin B b B c ∠= =的对边斜边；cos B a B c ∠==的邻边斜边；tan B b B B a ∠= =∠的对边的邻边； cot B a B B b ∠== ∠的邻边的对边 要点诠释： (1)正弦、余弦、正切、余切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化． (2)sinA ，cosA ，tanA ，cotA 分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成 ， ， ，cot A ?不能理解成sin 与∠A ，cos 与∠A ，tan 与∠A ，cot 与∠A 的乘积．书写时习惯上省略 ∠A 的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠AEF)，其正切应写成“tan ∠AEF ”，不能写成“tanAEF ”；另外， 、 、 、2cot A （） 常写成、、 、2cot A ． C a b

中考一模备考---锐角三角比

第二十五章 锐角三角比（P59-P82） 1． 内容目录 第一节：锐角的三角比（Ⅱ） 25.1 锐角的三角比的意义； 25.2 求锐角的三角比的值。 第二节：解直角三角形（Ⅲ） 25.3 解直角三角形； 25.4 解直角三角形的应用。 2．中考考纲要求 （1）理解锐角三角比的概念。 （2）会求特殊锐角（30°、45°、60°）的三角比的值。 （3）会用计算器求锐角的三角比的值；能根据锐角三角比的值，利用计算器求锐角的大小。 （4）会解直角三角形。 （5）理解仰角、俯角、坡度、坡角等概念，并能解决有关的实际问题。 3．重点和难点 重点是应用锐角三角比的意义及运用解直角三角形的方法进行有关几何计算。 难点是解直角三角形的应用。 4．知识结构框架图表 5. 知识点 1、 锐角的三角比 （1） 定义：在直角三角形ABC 中，A 为一锐角，则 ∠A 的正弦=A a sin A=c ∠的对边，即斜边 ∠A 的余弦=A b cos A=c ∠的邻边，即斜边 , ∠A 的正切=A a tanA=A b ∠的对边，即∠的邻边 ∠A 的余切=A a =A b ∠的邻边，即cotA ∠的对边 注：三角函数值是一个比值． 定义的前提是有一个角为直角，故如果题目中无直角条件时，应设法构造一个直角。

若A ∠为一锐角，则sinA,cosA,tanA,cotA 的取值范分别是： 0sinA<1,00,cotA>0<。 同一个锐角的正切和余切值互为倒数，即：1tanA cotA=1tanA=cot A 或 2、 特殊锐角的三角比的值 （1） 特殊锐角（30°，45°，60°）的三角比的值 （2） 同角，互余的两角多的三角比之间的关系： 倒数关系：1 tanA=cot A 平方关系：2 2 sin A+cos A=1 积商关系：sin cos tanA= ,cot cos sin A A A A A = 余角和余函数的关系： 如果090A B ∠+∠=，那么sinA=cosB, tanA=cotB （正弦和余弦，正切和余切被称为余函数关系）。 注意：求锐角三角比的值问题 （1） 在直角三角形中，给定两边求锐角的三角比，关键是搞清某锐角的“对边”“邻 边”，掌握三角比的定义。 （2） 给出锐角的度数，求这个锐角的三角比 特殊锐角，一般情况下，使用精确值；在实际应用中，根据问题要求处理。 求非特殊锐角的三角比的值，使用计算器或查表求值。 （3） 当锐角不是直角三角形的内角，首先观察有否相等的锐角可代换，而且可代换 的锐角含在某直角三角形中，如果没有可代换的相等的锐角，可作适当的垂线构建含有这个锐角的直角三角形。

锐角三角函数的题型及解题技巧

锐角三角函数的题型及解题技巧 锐角三角函数是三角函数的基础，它应用广泛，解题技巧性强，下面归纳 出 锐角三角函数的常见题型，并结合例题介绍一些解题技巧。 、 化简或求值 例1 (1) 已知tan 2cot 1，且 是锐角，求乙tan 2 cot 2 2的值。 (2) 化简 a sin bcos ? acos bsin ?。 分析 （1）由已知可以求出tan 的值，化简?、tan 2 cot 2 2可用 1 tan cot ； （2）先把平方展开，再利用sin 2 cos 2 1化简 解（1）由tan 2cot 1得tan 2 2 tan ，解关于tan 的方程得 tan 2或 tan 1。又是锐角，二 tan 2。二、tan 2 cot 2 2 = 1 2 2 2，「 tan cot 2 = tan cot (2) a sin bcos ? acos bsin 2 -2 ? 2 2 cos b sin cos = a 、已知三角函数值，求角 求C 的度数。 分析 几个非负数的和为0，则这几个数均为0。由此可得cosA 和sin B 的 值，进而求出 代B 的值，然后就可求出 C 的值。 \ tan 2 2tan cot cot 2 = ： (tan cot )2 tan cot 由tan 得cot a 2 sin 2 2ab sin cos b 2 cos 2 + a 2 cos 2 2ab cos sin b 2s in 2 2 2 a sin 2 b 2 tan 说明 在化简或求值问题中，经常用到 cot 1 等。 “ 1” 的代换, 即 sin 2 2 cos J 2 例2在厶ABC 中，若cosA — 2 .3 2 sin B 0 A, B 均为锐角，

《锐角三角函数》教案

《锐角三角函数》教案 教学目标 1．知识与技能： （1）经历探索直角三角形中边角关系的过程，理解正切正弦、余弦的意义和与现实生活的联系． （2）能够用tan A表示直角三角形中两直角边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度（坡比）等． （3）能够根据直角三角形的边角关系，用正切、正弦、余弦进行简单的计算． 2．过程与方法： 体验数形之间的联系，逐步学习利用数形结合的思想分析问题和解决问题． 3．情感态度与价值观： 进一步锻炼学生用数学的观点来解释身边的事物，形成良好的数学思维习惯和思维品质． 教学重点 理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学与生活的联系． 教学难点 理解正切、正弦、余弦的意义，并用它来表示两边的比． 教学过程 第一环节创设问题情境 活动内容：观察梯子的倾斜程度 梯子是我们日常生活中常见的物体．我们经常听人们说这个梯子放的“陡”，那个梯子放的“平缓”，人们是如何判断的？“陡”或“平缓”是用来描述梯子什么的？为了描述梯子的这种倾斜程度，先给大家介绍三个简单的概念：倾斜角，铅垂高，水平宽．1．图1—1和图1—2中，这里摆放的两个梯子，你能辨别出那一个比较陡一些吗？你是如何判断的？

2．图1—3中，这里摆放的两个梯子，你能辨别出那一个比较陡一些吗？你又是如何判断的？ 对于图1—3，学生可能难于下手，这时老师可以借助几何画板的动态演示，引导学生比较对边与邻边的比值，即比较表一中的1t 与2t 大小，当12t t >、12t t <、12t t 时，借助几何画板直观的验证梯子的倾斜程度，以突破学生认识上的障碍．（为了方便研究，表格中的数据精确到十分位）． 活动目的：先让学生从图1-1和图1-2中直观感受梯子的倾斜程度，再让学生理性思考该如何寻找方法判断图1-3中梯子的倾斜程度．这样学生会感到知识上的匮乏，从而对数学产生好奇心和求知欲．让他们从实例中体会不同情况下比较梯子的倾斜程度只靠直观感受是不够的，还需要其他方法——用边的比进行比较． 第二环节 探求新知 活动内容1：在小明家的墙角处放有一架较长的梯子，墙很高，又没有足够长的尺来测量，你有什么巧妙的方法得到梯子的倾斜程度呢？ 图1— 1 图1—2 图1— 3 表 1

锐角三角比的概念

D B C 25.1（1）锐角三角比的意义 一、教学内容分析 通过探究使学生知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与邻边的比值都不变. 二、教学目标设计 1、通过探究使学生知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与邻边的比值都不变. 2、能根据正切、余切概念正确进行计算. 3、发展形象思维，初步形成由特殊到一般的演绎推理能力. 三、教学重点及难点 理解认识正切概念，引导学生比较、分析并得出：对任意锐角，它的对边与邻边的比值是不变的. 四、教学过程设计 一、 情景引入 操场里有一旗杆，老师让小明去测量旗杆的高度.（演示学校操场上的国旗图片） 小明站在离旗杆底部10米远处，目测旗杆的顶部，视线与水平线的夹角为34度，并已知目高为1米．然后他很快就算出旗杆的高度了.你想知道小明怎样算出的吗？ 1.观察 (1)在Rt△ABC 中，∠C=90o ，∠A=30o ，BC=35m,求CB . (2) Rt △ABC ，使∠C=90o ，∠A=45o ，计算∠A 的对边与邻边比. 2.思考 通过上面的计算，你能得到什么结论？ [说明] 在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30o ，那么不管三角形的大小如何， 这个角的对边与邻边的比值都等于33 ；在一个直角三角形中，如果一个锐角等于45o ，那 么不管三角形的大小如何，这个角的对边与邻边的比值都等于1. 3．讨论 一般地，当∠A 取其他一定度数的锐角时，它的对边与邻边的比是否也是一个定值？ 二、学习新课 1．概念辨析 如图：Rt △ABC 与Rt △A’B’C’，∠C=∠D C’A =90°，∠A=α，那么CA BC 与A C DC ''有什么关系? 结论：在直角三角形中，当锐角A 的度数一定时， 不管三角形的大小如何，∠A 的对边与邻边的比是一个固定值. 如图，在Rt △ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别记为 a 、 b 、c. 在Rt △ABC 中，∠C=90°，我们把锐角A 的对边与邻边 的比叫做∠A 的正切.记作tanA. 板书：tanA ＝b a =∠∠的邻边的对边A A 在Rt △ABC 中，∠C=90°，我们把锐角A 的邻边与对边 的比叫做∠A 的余切.记作cotA.

特殊三角函数值的求法

日期：2016年11月 在网格中求锐角三角函数的特殊方法 单位：迁安市第三初级中学 编者：张俊萍 审核领导:

1、直角三角形在正方形纸中的位置如图，= sina= cosa= tan 熟记锐角三角函数定义。2.直接根据定义求三角函数值，首先求出相应边的长度，然后代入三角函数公式计算即可。 2题图1题图1 a 则温馨提示：1. 【自学案】 认真读题，理解题意，分析图形。学法指导】：1.【独立思考，解决问题。 2. 与对子进 行交流。 3. 4.学习成果展示。仁 、如图所示，正方形中，tan / 2\2 1 4X 4的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点, 2、（2016 ?湖北荆州） Vs 1 2

AOB= /的位置如图所示，则cos3、在正方形中，/ AOBB= /的位置如图所示，则cos4、在正方形中, △ ABC

题图3题图4 5、如图所示，△ ABC 的顶点是正方形网格的格点，贝U sinA 的值为 、 4 * ①I I 1 I k J * * 1 V / ? / ? * B / ? A 8 ? f ? 甲 ■ / f! ■ P | * A L / i G a ? V - ---------- . - r 丄..h * _ ABC 如图放置，则sinB 的值为6、在中，△

5题图题图6 已知福州（2016）如图，6个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点.7、ABC 都在格点上，则，O菱形的一个角（/）为60°，AB C tan / O 题图7 的值是

【探究案】：首先要独立思考，试着解答问题，然后与对子交流，讨论后回答。学法指导】 【sinB的值为问题：在正方形网格中，△ ABC如图放置，则

锐角三角函数拓展训练

锐角三角函数拓展训练（一） 一、选择题： 1．已知α为锐角，则m=sinα+cosα的值（ ） A ．m ＞1 B ．m=1 C ．m ＜1 D ．m≥1 2．在直角三角形中，各边的长度都扩大3倍，则锐角A 的三角函数值（ ） A ．也扩大3倍 B ．缩小为原来的3 1 C ．都不变 D ．有的扩大，有的缩小 3．以直角坐标系的原点O 为圆心，以1为半径作圆.若点P 是该圆上第一象限内的一点， 且OP 与x 轴正方向组成的角为α，则点P 的坐标为（ ） A ．(cosα,1) B ．(1,sinα) C．(sinα,cosα) D．(cosα,sinα) 4．如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=8cm ， AB 的垂直平分线MN 交AC 于D ，连结BD ， 若cos ∠BDC=5 3，则BC 的长是（ ） A ．4cm B ．6cm C ．8cm D ．10cm 5．已知a 为锐角，sina=cos500则a 等于（ ） A ． 20° B ． 30° C ． 40° D ． 50° 6．如果α、β都是锐角，下面式子中正确的是（ ） A ．sin(α+β)=sin α+sin β B ．cos(α+β)= 21时，α+β=60° C ．若α≥β时，则cos α≥cos β D ．若cos α>sin β,则α+β>90° 7．小明遇到了这样一道题：3tan(α+20°)=1，你猜想锐角α的度数应是（ ） A.40° B.30° C.20° D.10° 8．在△ABC 中，若|sinA －2 3|+(1－tanB)2=0，则∠C 的度数是（ ） A. 45° B. 60° C. 75° D. 105° 9．若等腰三角形腰长为4，面积是4，则这个等腰三角形顶角的度数为（ ） A.30° B.30°或150° C.60° D.60°或120° 10．在Rt △ABC 中， 90=∠C ，如果AB=2，BC=1，那么sinB 的值是（ ） A ． 2 1 B ．23 C ．33 D ．3 二、填空题： 11．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC=2，BC=3，则cosA ＝ . 12．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a b c ，，分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，若2b a =， 则tan A = . 13．直角三角形ABC 的面积为24cm 2，直角边AB 为6cm ，∠A 是锐角，则sinA ＝ . 14．计算：cos 2(50°＋α)＋cos 2(40°－α)－tan(30°－α)tan(60°＋α)＝ . 15．等腰三角形底边长10cm ，周长为36cm ，则一底角的正切值为 . 16．在△ABC 中，∠ACB ＝90°， AB ＝8cm ，则△ABC 的面积为 .

锐角三角比的意义(一)

锐角三角比的意义（一） 古松学校顾卫标教学设计说明 一、教材的地位与作用 本节课是学生在学习了直角三角形和相似三角形有关性质后，通过研究直角三角形中的边、角关系建立锐角三角比的概念。锐角三角比是初三数学中的重要数学槪念，概念的形成不仅为研究直角三角形提供了有用的工具，而且在数学学习与生活生产实际中都有广泛应用。 二、教学内容的编排 1.概念的形成 由于本课时是锐角三角比概念形成的第一节课，主要教学目标是掌握锐角的正切、余切的槪念及相互关系，因此我把锐角正切、余切的概念形成作为本节课的重点及难点。在问题解决过程中不断反馈和分析信息，做到适时点拨，引导学生自己从问题解决过程中提炼岀超越问题情景的思想，并在前一章“相似形”所学知识的基础上寻找岀新知识的生长点，即直角三角形一个锐角大小确泄后，其直角边的比值也确疋，从而建立起新的数学概念一角的正切、余切的概念，并让学生感知学习这两个概念的实际意义。这样既能突出重点、难点，又能符合学生的普遍接受能力。 2.概念的应用 为了加强学生对锐角正、余切概念及相互关系的应用，本节课设计不同层次的例题和习题，并通过归纳和总结，帮助学生从知识到能力的迁移，进一步优化知识结构。此外，从总体上这两组题目的内容是由注入深、循序渐进的。 三、教学方法 本节课的课堂教学主要采用问题解决教学的方法。在槪念学习时并没有把知识宜接传授给学生，而是让学生从问题解决过程中去发现、去探求，并通过教师适当、必要的引导对结论进行归纳。在教学过程中还运用各种手段，从各个方而来帮助学生理解，使形象思维与抽象思维充分地、有机地结合起来，旨在学生对新概念的现解更深入、更准确、更有效。

锐角三角函数的解题技巧

锐角三角函数的解题技巧 一、知识点回忆 (一)锐角的三角函数的意义 1、正切 在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与邻边的比，叫做∠A的正切，记作tanA． 2、正弦和余弦 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即 3、三角函数：在直角三角形中，锐角A的正切(tanA)、正弦(sinA)、余弦(cosA)，都叫做∠A的三角函数． (二)同角的三角函数之间的关系 (1)平方关系：sin2α＋cos2α=1 (2)商数关系： （三）两角的关系 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值，任意锐角的正切值与它的余角的正切值的积等于1．即若A+B=90°，则sinA=cosB，cosA=sinB，tanA·tanB=1．

(四)特殊锐角的三角函数值 (五)锐角三角函数值解法 1、用计算器 求整数度数的锐角三角函数值． 在计算器的面板上涉及三角函数的键有和键，当我们计算整数度数的某三角函数值时，可先按这三个键之一，然后再从高位向低位按出表示度数的整数，然后按，则屏幕上就会显示出结果． 例如：计算sin44°． 解： 按键，再依次按键． 则屏幕上显示结果为0.69465837． 求非整数度数的锐角三角函数值． 若度数的单位是用度、分、秒表示的，在用计算器计算三角函数值时，同样先按 和三个键之一，然后再依次按度分秒键，然后按键，则屏幕上就会显示出结果． 2、已知三角函数值，用计算器求角度

已知三角函数值求角度，要用到、键的第二功能“sin－1，cos－1，tan－1”和键．具体操作步骤是：先按键，再按键之一，再依次按三角函数值，最后按键，则屏幕上就会显示出结果． 值得注意的是：型号不同的计算器的用法可能不同。 （六）直角三角形的解法 解直角三角形既是初中几何的重要内容，又是今后学习解斜三角形，三角函数等知识的基础，同时，解直角三角形的知识又广泛应用于测量、工程技术和物理之中，解直角三角形的应用题还有利于培养学生空间想象的能力。因此，通过复习应注意领会以下几个方面的问题： 解直角三角形的重点是锐角三角函数的概念和直角三角形的解法。前者又是复习解直角三角形的难点，更是复习本部分内容的关键。 掌握锐角三角函数和解直角三角形是进行三角运算解决应用问题和进一步研究任意角三角函数的重要基础。因此，解直角三角形既是各地中考的必考内容，更是热点内容。题量一般在4%~10%。分值约在8%~12%题型多以中、低档的填空题和选择题为主。个别省市也有小型综合题和创新题。几乎每份试卷都有一道实际应用题出现。 二、重点难点疑点突破 1、（1）sinA和cosA都是一个整体符号，不能看成sin·A或cos·A． (2)是一个比值，没有单位，只与角的大小有关，而与三角形的大小无关． (3)sinA＋sinB≠sin(A＋B)sinA·sinB≠sin(AB) (4)sin2A表示(sinA)2，cos2A=(cosA)2 (5)0＜sinA＜1，0＜cosA＜1 2、同名三角函数值的变化规律 当角α在0°～90°间变化时，它的正切和正弦三角函数值随着角度的增大而增大； 余弦三角函数值随着角度的增大而减少． 三、解题方法技巧点拨 1、求锐角三角函数的值 例1、(1)在Rt△ABC中，∠C=90°，若，求cosB，tanB的值．

初三锐角三角函数提高讲义

第1 讲锐角三角函数提高讲义 本次课课堂教学内容 一、知识点梳理 要点一、解直角三角形 在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形.在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角. 设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有： ①三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理). ②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°. ③边角之间的关系： ，，，，，. 要点诠释： (1)直角三角形中有一个元素为定值(直角为90°)，是已知值. (2)这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包括其他关系(如不等关系). (3)对这些式子的理解和记忆要结合图形，可以更加清楚、直观地理解. 已知条件解法步骤 Rt△ABC 两 边 两直角边(a，b) 由求∠A， ∠B=90°－∠A， 斜边，一直角边(如c，a) 由求∠A， ∠B=90°－∠A， 一 边 一 角 一直角边 和一锐角 锐角、邻边 (如∠A，b) ∠B=90°－∠A， ， 锐角、对边 (如∠A，a) ∠B=90°－∠A， No. 1 Date Time Name 数学

， 斜边、锐角(如c，∠A)∠B=90°－∠A， ， 1．在遇到解直角三角形的实际问题时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的顺序进行计算. 2．若题中无特殊说明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知条件中至少有一个条件为边. 要点三、解直角三角形的应用 解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键. 解这类问题的一般过程是： (1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型. (2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题. (3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形. (4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解. 拓展：在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念： (1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示. 坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平距离的比叫做坡度，用字母表示，则，如图，坡度通常写成=∶的形式. (2)仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图. (3)方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°.