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锐角三角比的意义

儒洋教育学科教师辅导讲义

课题锐角三角比的意义

教学目标

1、理解锐角的正切、余切、正弦、余弦的概念；

2、能正确使用锐角的正切、余切、正弦、余弦的符号语言；

3、培养观察、归纳、总结数学问题的能力。

教学内容

一、新课讲解：

1、操作：

（1）任作锐角∠。

（2）在上任取B 1、B 2、B 3，分别过B 1、B 2、B 3作的垂线。垂足为C 1、C 2、C 3。

（3）量出B 1C 1和1，B 2C 2和2，B 3C 3和3的长度，并计算出111B C AC ，222B C

AC ，333

B C AC 的值。

2、探究：

由以上操作可得到：△1C 1、△2C 2、△3C 3。显然有1C 12C 23C 3，

于是可得：331122123

B C B C B C

AC AC AC ==

3、结论：

在放大和缩小时，当锐角A 的大小固定不变后，无论△的边长怎么变化，两条直角边的比值总是不变的。大写字母C 表示△的直角，小写字母a 表示∠A 的对边，b 表示∠B 的对边，c 表示斜边。（如上图）同理，通过分析可知在放大和缩小时，当锐角A 的大小固定不变后，无论△的边长怎么变化，直角边与斜边的比值总是不变的。

二、知识要点：

锐角A 的对边（）与邻边（）的比叫做锐角A 的正切，记作。如图△中，∠900

，b

AC BC A A A ===

的邻边锐角的对边锐角tan

锐角A 的邻边（）与对边（）的比叫做锐角A 的余切，记作。如图△中，∠900

，a

BC AC A A A ===

的对边锐角的邻边锐角cot

锐角A 的对边（）与斜边（）的比叫做锐角A 的正弦，记作。如图△中，∠900

，c

AB BC A A A ===

的斜边锐角的对边锐角sin

C 1B 3

B 2

B 1

C 3C 2A

锐角A 的对边（）与斜边（）的比叫做锐角A 的余弦，记作。

如图△中，∠900

，c

AB AC A A A ===的斜边锐角的邻边锐角cos

在直角三角形中，锐角A 的正切（）、余切（）、正弦（）、余弦（）统称为锐角A 的三角比，简称三角比。

注意：定义中应该注意的几个问题:

1、, 是在直角三角形中定义的，∠A 是锐角(注意数形结合,构造直角三角形).

2、, 是一个完整的符号,表示∠A 的正切，习惯省去“∠”号.

3、,是一个比值.注意比的顺序,且,均>0，无单位.

4、, 的大小只与∠A 的大小有关,而与直角三角形的边长无关.

5、角相等,则其三角函数值相等；两锐角的三角函数值相等,则这两个锐角相等.

三、例题讲解：

例1、（1）在△中，∠90°，178，求、、、？

（2）在△中，∠90°，6，4

sin =A ，求①的长；②、、？（3）若α为锐角，且2

tan =α，求α、α、α？

锐角的三角比知识讲解

锐角的三角比－知识讲解

————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期:

锐角的三角比知识讲解【学习目标】 1.结合图形理解记忆锐角三角函数的定义；? 2.会推算30°、45°、６０°角的三角函数值，并熟练准确的记住特殊角的三角函数值; ３．理解并能熟练运用“同角三角函数的关系”及“锐角三角函数值随角度变化的规律”. 【要点梳理】要点一、锐角三角函数的概念如图所示,在Rt △ABC 中,∠C=90°，∠A 所对的边BC 记为a,叫做∠A 的对边,也叫做∠B 的邻边，∠B 所对的边AC 记为b,叫做∠B 的对边，也是∠A 的邻边，直角C 所对的边ＡＢ记为c,叫做斜边.? 锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA,即 sin A a A c ∠= =的对边斜边; 锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦,记作cos Ａ,即cos A b A c ∠= =的邻边斜边; 锐角Ａ的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tanA ，即tan A a A A b ∠= =∠的对边的邻边；锐角A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记作c ｏtA,即cot A b A A a ∠= =∠的邻边的对边. 同理sin B b B c ∠= =的对边斜边;cos B a B c ∠==的邻边斜边;tan B b B B a ∠==∠的对边的邻边; cot B a B B b ∠== ∠的邻边的对边?要点诠释: (1）正弦、余弦、正切、余切函数是在直角三角形中定义的,反映了直角三角形边与角的关系,是两条线段的比值．角的度数确定时,其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化．? (２)sinA,c ｏｓA,tanA,ｃotA 分别是一个完整的数学符号,是一个整体，不能写成 A B C a b c

用锐角三角函数概念解题的常见方法(含答案11页)

用锐角三角函数概念解题的常见方法 1．锐角三角函数（1）锐角三角函数的定义我们规定： sinA=a c ，cosA= b c ，tanA= a b ，cotA= b a ．锐角的正弦、余弦、正切、余切统称为锐角的三角函数．（2）用计算器由已知角求三角函数值或由已知三角函数值求角度对于特殊角的三角函数值我们很容易计算，甚至可以背诵下来，但是对于一般的锐角又怎样求它的三角函数值呢？用计算器可以帮我们解决大问题． ①已知角求三角函数值； ②已知三角函数值求锐角． 2 直角三角形中，30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半． 3．锐角三角函数的性质（1）0

（2）tan α·cot α=1或tan α=1 cot α ；（3）tan α= sin cos αα，cot α=cos sin α α ．（4）sin α=cos （90°-α），tan α=cot （90°-α）．有关锐角三角函数的问题，常用下面几种方法：一、设参数例1. 在ABC ?中，?=∠90C ，如果125 tan = A ，那么sin B 的值等于（） 5 12.12 5. 13 12. 13 5. D C B A 解析：如图1，要求sinB 的值，就是求 AB AC 的值，而已知的12 5 tan =A ，也就是12 5 =AC BC 可设k AC k BC 125==，则k k k AB 13)12()5(22=+= 13 12 1312sin == ∴k k B ，选B 二、巧代换例2. 已知3tan =α，求 α αα αcos sin 5cos 2sin +-的值。解析：已知是正切值，而所求的是有关正弦、余弦的值，我们可以利用关系式 3cos sin tan == α α α，作代换ααcos 3sin =，代入即可达到约分的目的，也可以把所求的分式的分子、分母都除以αcos 。图1

锐角的三角比专题复习一(教案)

课题：锐角的三角比（专题复习一）一、复习目标 1.进一步掌握锐角三角比的意义；熟练掌握特殊锐角的三角比的值；灵活地解直角三角形. 2.经历运用锐角三角比、解直角三角形的知识解决问题的过程，渗透数形结合、化归与转化的数学思想方法． 3.通过积极参与数学学习的活动，提高学生分析问题和解决问题的能力，获得运用知识，领悟提高的成就感. 二、复习重点、难点 1.复习重点：锐角三角比的意义、特殊锐角的三角比值、解直角三角形. 2.复习难点：灵活运用锐角三角比、解直角三角形的知识解决问题. 三、复习思路四、复习进程（一）题组引入 1.锐角的三角比的定义（1）在Rt △ ABC 中，?=∠90C ， a 、 b 、c 分别是A ∠、B ∠、C ∠ 的对边，下列等式中正确的是（） A.c a A = cos ； B.b c B =sin ； C.b a B =tan ； D.a b A =cot ．（2）在Rt △ABC 中，∠AC B ＝90°，B C ＝1，AC ＝2，则下列结论正确的是（） A ．sin A ； B ．tan A ＝1 2 ； C ．cos B ； D ．tan B （3）在以O 为坐标原点的直角坐标平面内有一点A （2，4），如果AO 与x 轴正半轴的夹角为，那么= ．小结：锐角的三角比的定义: 如图，在RtΔABC 中，∠C ＝ B C

tan A A A ∠= ∠的对边的邻边；cot A A A ∠=∠的邻边的对边；sin A A ∠=的对边斜边；cos A A ∠=的邻边斜边. 2.特殊锐角的三角比的值（1）计算：2sin60°＋tan45°＝．（2）若α为锐角，已知cos α=2 1 ，那么tan α= . （3）计算：．小结：特殊锐角的三角比的值： 3.解直角三角形知识梳理： ① 在直角三角形中，由已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形. ② 在Rt △ABC 中，如果∠C =90°，那么它的三条边和两个锐角这五个元素之间有以下的关系：三边之间的关系：222a b c +=. 锐角之间的关系：90A B ∠+∠=?. 边角之间的关系：tan A A A ∠= ∠的对边的邻边，cot A A A ∠=∠的邻边的对边， sin A A ∠= 的对边斜边，cos A A ∠=的邻边斜边

沪教版(上海)初中数学九年级第一学期 25.1(1) 锐角三角比的意义(1) 教案

§25.1(1) 锐角三角比的意义(1) 教学目标：知道直角三角形的两条直角边的比值是一个定值，由此理解锐角的正切和余切的几何意义；会根据直角三角形的两条直角边的长度求锐角的正切、余切值；经历锐角三角比的概念的形成过程，获得从实际问题中抽象出数学概念的体会，体会数学与生活的联系. 教学重点：理解直角三角形中锐角的正切、余切的意义，会建立直角三角形这一模型. 教学难点：体会锐角与边的比值的联系. 教学设计：

教学设计说明：《锐角的三角比》是初三第一学期的几何教学内容，它在解决实际问题中有着重要的作用。在测量、建筑、物理学中，人们常常遇到距离、角度、高度的计算，这些都归结到直角三角形中边角的关系问题。而锐角三角比则是后续学习解直角三角形及其应用的根本，在本章的教学中起着非常关键的作用。学生在九年级已经学习了相似三角形，知道相似三角形的对应线段是成比例的。学生也在八年级的时候学习了直角三角形中30o所对的直角边与斜边的关系，也对30o的直角三角形以及等腰直角三角形的三边关系有了一定的认识。因此，我们把任意的一个直角三角形的边角关系通过锐角的三角比来进行描述。体现特殊到一版的研究方法。在本课的教学中，我着重从以下几方面开展教学工作：一、关注数学与实际生活的联系课题的引入是一个测高的问题，学习本章知识最终也是要解决跟锐角三角比有关的实际问题，而将实际问题数学化是学生的一个薄弱点，通过从实际问题引出新授的内容，再次让学生认识“数学来源于生活，服务于生活”这一宗旨。二、培养学生的作图以及合作学习的能力本节课的小组探究活动，无论是画图、测量还是论证，都要求小组合作完成，基础较差的学生可以通过测量计算等实验过程体会直角三角形的两条直角边之比是一个定值，基础较好的学生则可以直接通过论证几何的方法获取这一结论。三、学会建立直角三角形的模型初中阶段的锐角三角比的问题的解决都将借助直角三角形这一模型，通过添加辅助线构造直角三角形是常规方法之一，课后作业的选做题可以帮助学生达到这一效果。

求锐角三角函数值的经典题型+方法归纳(超级经典好用)

求锐角三角函数值的几种常用方法一、定义法当已知直角三角形的两条边，可直接运用锐角三角函数的定义求锐角三角函数的值．例1 如图1，在△ABC 中，∠C =90°，AB =13，BC =5，则sin A 的值是( ) (A )513 (B )1213 (C )512 (D )13 5 对应训练： 1．在Rt △ABC 中，∠ C ＝90°，若BC ＝1，AB 5，则tan A 的值为 ( ) A ． 5 B 25 C ．1 2 D ．2 二、参数（方程思想）法锐角三角函数值实质是直角三角形两边的比值，所以解题中有时需将三角函数转化为线段比，通过设定一个参数，并用含该参数的代数式表示出直角三角形各边的长，然后结合相关条件解决问题．例2 在△ABC 中，∠C =90°，如果tan A =5 12，那么sin B 的值是．对应训练： 1．在△ABC 中，∠C =90°，sin A=5 3，那么tan A 的值等于（）. A ．35 B . 45 C . 34 D . 43 2．已知△ ABC 中， ο 90=∠C ，3cosB=2， AC=5 2 ，则 AB= ． 3．已知Rt △ABC 中，,12,4 3 tan ,90==?=∠BC A C 求AC 、AB 和cos B ．

4．已知：如图，⊙O 的半径OA ＝16cm ，OC ⊥AB 于C 点，?=∠4 3sin AOC 求：AB 及OC 的长．三、等角代换法当一个锐角的三角函数不能直接求解或锐角不在直角三角形中时，可将此角通过等角转换到能够求出三角函数值的直角三角形中，利用“两锐角相等，则三角函数值也相等” 来解决．例3 在Rt △ABC 中，∠BCA =90°，CD 是AB 边上的中线，BC =5，CD =4，则cos ∠ACD 的值为．对应训练 1.如图，O ⊙是ABC △的外接圆，AD 是O ⊙的直径，若O ⊙的半径为32，2AC =，则sin B 的值是（）A ．2 3

求锐角三角函数值常用方法

求锐角三角函数值常用方法求锐角三角函数值，是“锐角三角函数”一节中重要内容，也是中考中常见的题型.现将求锐角三角函数值的常用方法总结如下，供同学们在学习时参考. 一、直接用锐角三角函数的定义例1 在△ABC 中，∠C = 900，AC =6，BC =8.则sinA = （）. A 、 54 B 、5 3 C 、 43 D 、 3 4 分析由定义知锐角A 的正弦等于角A 的对边比斜边，只要求出斜边AB 即可. 解：由勾股定理知，AB = 22BC AC + = 10, ∴sinA = 5 4 故选A. 二、用同角三角函数间的关系例2 若∠A 为锐角，且sinA = 2 3 ，则cosA = ( ) A 、1 B 、 23 C 、2 2 D 、21 分析本题可由sin 2A + cos 2A = 1直接求得. cosA = A 2sin 1- = 2)23( 1-= 2 1 故选D.(注：本题也可用三角函数的定义求解) 例3 已知 tanA = 3 2 , 则cotA = 析解：由tanA ×cotA = 1.得 cotA = 即cotA = 32 . 三、用等角来替换例4如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB = 900,CD ⊥AB 于D,BC=3,AC = 4,设∠BCD = a,求sina.

析解：由题意可知，∠BCD = ∠A ，sin a =sinA = AB BC ,只要求出AB 即可.在Rt △ ABC 中，BC = 3,AC = 4,∴AB = 5. ∴sinA = 53 ∴sina = 5 3 四、构造直角三角形例5 如图2，已知 △ABC 中，D 是AB 的中点，DC ⊥AC,且cotA = 2 3 ,求∠BCD 的四个三角函数值. 分析为了求出∠BCD 的三角函数值，必须构造一个以∠BCD 为锐角的直角三角形，可作DE ⊥CD,接下来的关键是求出Rt △CDE 的三边长或三边之比.在Rt △CDE 中，由cotA = 23，可设AC = 3a, CD = 2a,而DE= 21AC = 2 3 a .在Rt △CDE 中，利用勾股定理可求出CE,故∠BCD 的四个三角函数值可求出. 解：过D 点作DE ⊥CD 交BC 于点E. ∵∠ACD = ∠CDE = 900 ∴AC ∥DE 又∵D 为AB 的中点，∴DE 为△ABC 的中位线. 在Rt △ACD 中，由cotA = 23，可设AC = 3a ,CD = 2a , ∴ DE = 2 3a . 在Rt △CDE 中，由勾股定理CE = 22DE CD += 2 2)2 3( )2(a a += 2 5a , ∴sin ∠BCD = CE DE = 53,cos ∠BCD =CE CD =5 4

特殊角的三角函数值

特殊角的三角函数值 (第3课时) 复习引入教师提问：一个直角三角形中，一个锐角正弦、余弦、正切值是怎么定义的？在学生回答了这个问题后，教师再复述一遍，提出新问题：两块三角尺中有几个不同的锐角？是多少度？分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值．提醒学生：求时可以设每个三角尺较短的边长为1，?利用勾股定理和三角函数的定义可以求出这些三角函数值．探究新知（一）特殊值的三角函数学生在求完这些角的正弦值、余弦值和正切值后教师加以总结． 30°、45°、60°的正弦值、余弦值和正切值如下表：

教师讲解上表中数学变化的规律：对于正弦值，分母都是2， 2，分子按角度增加分别为．对于正切，60?度的正切，即是下一个角的正切值．要求学生记住上述特殊角的三角函数值．教师强调：（sin60°）2用sin 260°表示，即为（sin60°）·（sin60°）．（二）特殊角三角函数的应用 1．师生共同完成课本第79页例3：求下列各式的值．（1）cos 260°+sin 260°．（2）cos 45sin 45?? -tan45°．教师以提问方式一步一步解上面两题．学生回答，教师板书．解：（1）cos 260°+sin 260°=（12 ）2+2=1 （2）cos 45sin 45?? -tan45° 2．师生共同完成课本第80页例4：教师解答题意：（1）如课本图28．1-9（1），在Rt △ABC 中，∠C=90，，，求∠A 的度数．（2）如课本图28．1-9（2），已知圆锥的高AO 等于圆锥的底面半径OB a ．

教师分析解题方法：要求一个直角三角形中一个锐角的度数，可以先求它的某一个三角函数的值，如果这个值是一个特殊解，那么我们就可以求出这个角的度数．解：（1）在课本图28．1-9（1）中， ∵sinA=3 6 BC AB = 2， ∴∠A=45°．（2）在课本图28．1-9（2）中， ∵tana=3 AO OB OB =3 ∴a=60°．教师提醒学生：当A、B为锐角时，若A≠B，则 sinA≠sinB，cosA≠cosB，tanA≠tanB．随堂练习学生做课本第80页练习第1、2题．课时总结 1、学生要牢记下表： 30 ° 45 ° 60 ° sinα1 2 2 2 3 2

中考一模备考---锐角三角比

第二十五章锐角三角比（P59-P82） 1．内容目录第一节：锐角的三角比（Ⅱ） 25.1 锐角的三角比的意义； 25.2 求锐角的三角比的值。第二节：解直角三角形（Ⅲ） 25.3 解直角三角形； 25.4 解直角三角形的应用。 2．中考考纲要求（1）理解锐角三角比的概念。（2）会求特殊锐角（30°、45°、60°）的三角比的值。（3）会用计算器求锐角的三角比的值；能根据锐角三角比的值，利用计算器求锐角的大小。（4）会解直角三角形。（5）理解仰角、俯角、坡度、坡角等概念，并能解决有关的实际问题。 3．重点和难点重点是应用锐角三角比的意义及运用解直角三角形的方法进行有关几何计算。难点是解直角三角形的应用。 4．知识结构框架图表 5. 知识点 1、锐角的三角比（1）定义：在直角三角形ABC 中，A 为一锐角，则 ∠A 的正弦=A a sin A=c ∠的对边，即斜边 ∠A 的余弦=A b cos A=c ∠的邻边，即斜边 , ∠A 的正切=A a tanA=A b ∠的对边，即∠的邻边 ∠A 的余切=A a =A b ∠的邻边，即cotA ∠的对边注：三角函数值是一个比值．定义的前提是有一个角为直角，故如果题目中无直角条件时，应设法构造一个直角。

若A ∠为一锐角，则sinA,cosA,tanA,cotA 的取值范分别是： 0sinA<1,00,cotA>0<。同一个锐角的正切和余切值互为倒数，即：1tanA cotA=1tanA=cot A 或 2、特殊锐角的三角比的值（1）特殊锐角（30°，45°，60°）的三角比的值（2）同角，互余的两角多的三角比之间的关系：倒数关系：1 tanA=cot A 平方关系：2 2 sin A+cos A=1 积商关系：sin cos tanA= ,cot cos sin A A A A A = 余角和余函数的关系：如果090A B ∠+∠=，那么sinA=cosB, tanA=cotB （正弦和余弦，正切和余切被称为余函数关系）。注意：求锐角三角比的值问题（1）在直角三角形中，给定两边求锐角的三角比，关键是搞清某锐角的“对边”“邻边”，掌握三角比的定义。（2）给出锐角的度数，求这个锐角的三角比特殊锐角，一般情况下，使用精确值；在实际应用中，根据问题要求处理。求非特殊锐角的三角比的值，使用计算器或查表求值。（3）当锐角不是直角三角形的内角，首先观察有否相等的锐角可代换，而且可代换的锐角含在某直角三角形中，如果没有可代换的相等的锐角，可作适当的垂线构建含有这个锐角的直角三角形。

锐角三角函数的题型及解题技巧

锐角三角函数的题型及解题技巧锐角三角函数是三角函数的基础，它应用广泛，解题技巧性强，下面归纳出锐角三角函数的常见题型，并结合例题介绍一些解题技巧。、化简或求值例1 (1) 已知tan 2cot 1，且是锐角，求乙tan 2 cot 2 2的值。 (2) 化简 a sin bcos ? acos bsin ?。分析（1）由已知可以求出tan 的值，化简?、tan 2 cot 2 2可用 1 tan cot ；（2）先把平方展开，再利用sin 2 cos 2 1化简解（1）由tan 2cot 1得tan 2 2 tan ，解关于tan 的方程得 tan 2或 tan 1。又是锐角，二 tan 2。二、tan 2 cot 2 2 = 1 2 2 2，「 tan cot 2 = tan cot (2) a sin bcos ? acos bsin 2 -2 ? 2 2 cos b sin cos = a 、已知三角函数值，求角求C 的度数。分析几个非负数的和为0，则这几个数均为0。由此可得cosA 和sin B 的值，进而求出代B 的值，然后就可求出 C 的值。 \ tan 2 2tan cot cot 2 = ： (tan cot )2 tan cot 由tan 得cot a 2 sin 2 2ab sin cos b 2 cos 2 + a 2 cos 2 2ab cos sin b 2s in 2 2 2 a sin 2 b 2 tan 说明在化简或求值问题中，经常用到 cot 1 等。 “ 1” 的代换, 即 sin 2 2 cos J 2 例2在厶ABC 中，若cosA — 2 .3 2 sin B 0 A, B 均为锐角，

锐角三角函数--特殊角的函数值

25.2锐角三角函数（2）教学目标：1.经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，能够进行有关的推理. 进一步体会三角函数的意义. 2.能够进行30°、45°、60°角的三角函数值的计算. 3.能够根据30°、45°、60°的三角函数值说明相应的锐角的大小. 教学重点： 1.探索30°、45°、60°角的三角函数值. 2.能够进行含30°、45°、60°角的三角函数值的计算. 教学难点：进一步体会三角函数的意义. 教学方法：自主探索法。教学准备：一副三角尺、多媒体演示。教学过程：一：.创设问题情境，引入新课 [问题]为了测量一棵大树的高度，准备了如下测量工具：①含30°和60°两个锐角的三角尺；②皮尺.请你设计一个测量方案，能测出一棵大树的高度.(用多媒体演示上面的问题，并让学生交流各自的想法 ) 提示：让一位同学拿着三角尺站在一个适当的位置B 处，使这位同学拿起三角尺，她的视线恰好和斜边重合且过树梢C 点，30°的邻边和水平方向平行，用卷尺测出AB 的长度，BE 的长度，因为DE=AB ，所以只需在Rt △CDA 中求出CD 的长度即可. 问题1：我们前面学习了三角函数的定义，如果一个角的大小确定，那么它的正切、正弦、余弦值也随之确定，你能求出30°角的三个三角函数值吗? 二.新知学习 1.探索30°、45°、60°角的三角函数值. [师]观察一副三角尺，其中有几个锐角?它们分别等于多少度? [师]sin30°等于多少呢?你是怎样得到的?与同伴交流. [生]sin30°＝ 2 1. sin30°表示在直角三角形中，30°角的对边与斜边的比值，与直角三角形的大小无关.我们不妨设30°角所对的边为a(如图所示)，根据“直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半”的性质，则斜边等于2a.根据勾股定理，可知30°角的邻边为a ，所以sin30°＝ 2 12=a a . [师]cos30°等于多少?tan30°呢? [生]cos30°＝ 2 323=a a . tan30°= 333 13==a a

锐角的三角比知识讲解

锐角的三角比知识讲解【学习目标】 1．结合图形理解记忆锐角三角函数的定义； 2．会推算30°、45°、60°角的三角函数值，并熟练准确的记住特殊角的三角函数值； 3．理解并能熟练运用“同角三角函数的关系”及“锐角三角函数值随角度变化的规律”. 【要点梳理】要点一、锐角三角函数的概念如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 所对的边BC 记为a ，叫做∠A 的对边，也叫做∠B 的邻边，∠B 所对的边AC 记为b ，叫做∠B 的对边，也是∠A 的邻边，直角C 所对的边AB 记为c ，叫做斜边．锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即 s i n A a A c ∠==的对边斜边；锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即 c o s A b A c ∠= =的邻边斜边；锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tanA ，即tan A a A A b ∠= =∠的对边的邻边；锐角A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记作cotA ，即cot A b A A a ∠= =∠的邻边的对边. 同理sin B b B c ∠= =的对边斜边；cos B a B c ∠==的邻边斜边；tan B b B B a ∠==∠的对边的邻边； cot B a B B b ∠== ∠的邻边的对边要点诠释： (1)正弦、余弦、正切、余切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化． (2)sinA ，cosA ，tanA ，cotA 分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成，，，cot A ?不能理解成sin 与∠A ，cos 与∠A ，tan 与∠A ，cot 与∠A 的乘积．书写时习惯上省略∠A 的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠AEF)，其正切应写成“tan ∠AEF ”，不能写成“tanAEF ”；另外，、、、2cot A （）常写成、、、 C a b

特殊三角函数值的求法

日期：2016年11月在网格中求锐角三角函数的特殊方法单位：迁安市第三初级中学编者：张俊萍审核领导:

1、直角三角形在正方形纸中的位置如图，= sina= cosa= tan 熟记锐角三角函数定义。2.直接根据定义求三角函数值，首先求出相应边的长度，然后代入三角函数公式计算即可。 2题图1题图1 a 则温馨提示：1. 【自学案】认真读题，理解题意，分析图形。学法指导】：1.【独立思考，解决问题。 2. 与对子进行交流。 3. 4.学习成果展示。仁、如图所示，正方形中，tan / 2\2 1 4X 4的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点, 2、（2016 ?湖北荆州） Vs 1 2

AOB= /的位置如图所示，则cos3、在正方形中，/ AOBB= /的位置如图所示，则cos4、在正方形中, △ ABC

题图3题图4 5、如图所示，△ ABC 的顶点是正方形网格的格点，贝U sinA 的值为、 4 * ①I I 1 I k J * * 1 V / ? / ? * B / ? A 8 ? f ? 甲 ■ / f! ■ P | * A L / i G a ? V - ---------- . - r 丄..h * _ ABC 如图放置，则sinB 的值为6、在中，△

5题图题图6 已知福州（2016）如图，6个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点.7、ABC 都在格点上，则，O菱形的一个角（/）为60°，AB C tan / O 题图7 的值是

【探究案】：首先要独立思考，试着解答问题，然后与对子交流，讨论后回答。学法指导】【sinB的值为问题：在正方形网格中，△ ABC如图放置，则

特殊角的三角函数值的巧记

特殊角的三角函数值的巧记特殊角的三角函数值在计算，求值，解直角三角形和今后的学习中，常常会用到，所以一定要熟记．要在理解的基础上，采用巧妙的方法加强记忆．这里关键的问题还是要明白和掌握这些三角函数值是怎样求出的，既便遗忘了，自己也能推算出来，切莫死记硬背．那么怎样才能更好地记熟它们呢？下面介绍几种方法，供同学们借鉴。 1、“三角板”记法根据含有特殊角的直角三角形的知识，利用你手里的一套三角板，就可以帮助你记住30°、45°、60°角的三角函数值．我们不妨称这种方法为“三角板”记法．首先，如图所标明的那样，先把手中一套三角板的构造特点弄明白，记清它们的边角是什么关系．对左边第一块三角板，要抓住在直角三角形中，30°角的对边是斜边的一半的特点，再应用勾股定理．可以知道在这个直角三角形中30°角的对边、邻边、斜边的比是掌握了这个比例关系，就可以依定义求出30°、60°角的任意一个锐角三角函数值，如：001sin 30,cos302== 求60°角的三角函数值，还应抓住60°角是30°角的余角这一特点．在右边那块三角板中，应注意在直角三角形中，若有一锐角为45°，则此三角形是等腰直角三角形，且两直角边与斜边的比是1∶1 住：00sin 45cos 452 == ，00tan 45cot 451==。这种方法形象、直观、简单、易记，同时巩固了三角函数的定义．二、列表法：

说明：正弦值随角度变化，即0? →30?→45? →60? →90?变化；值从 0→2 1 →22→23→1变化，其余类似记忆．三、口诀记忆法口诀是：“一、二、三，三、二、一，三、九、二十七，弦是二，切是三，分子根号不能删．”前三句中的1，2，3；3，2，1；3，9，27，分别是30°，45°，60°角的正弦、余弦、正切值中分子根号内的值．弦是二、切是三是指正弦、余弦的分母为2，正切的分母为3．最后一句，讲的是各函数值中分子都加上根号，不能丢掉．如tan60°= =tan45°1=．这种方法有趣、简单、易记．四、规律记忆法：观察表中的数值特征，可总结为下列记忆规律： ①有界性：（锐角三角函数值都是正值）即当0°＜α＜90°时，则0＜sin α＜1； 0＜cos α＜1 ； tan α＞0 ； cot α＞0。 ②增减性：（锐角的正弦、正切值随角度的增大而增大；余弦、余切值随角度的增大而减小），即当0＜A ＜B ＜90°时，则sinA ＜sinB ；tanA ＜tanB ；cosA ＞cosB ；cotA ＞cotB ；特别地：若0°＜α＜45°，则sinA ＜cosA ；tanA ＜cotA ；若45°＜A ＜90°，则sinA ＞cosA ；tanA ＞cotA ．例1.tan30°的值等于（）

锐角三角函数的解题技巧

锐角三角函数的解题技巧一、知识点回忆 (一)锐角的三角函数的意义 1、正切在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与邻边的比，叫做∠A的正切，记作tanA． 2、正弦和余弦如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即 3、三角函数：在直角三角形中，锐角A的正切(tanA)、正弦(sinA)、余弦(cosA)，都叫做∠A的三角函数． (二)同角的三角函数之间的关系 (1)平方关系：sin2α＋cos2α=1 (2)商数关系：（三）两角的关系任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值，任意锐角的正切值与它的余角的正切值的积等于1．即若A+B=90°，则sinA=cosB，cosA=sinB，tanA·tanB=1．

(四)特殊锐角的三角函数值 (五)锐角三角函数值解法 1、用计算器求整数度数的锐角三角函数值．在计算器的面板上涉及三角函数的键有和键，当我们计算整数度数的某三角函数值时，可先按这三个键之一，然后再从高位向低位按出表示度数的整数，然后按，则屏幕上就会显示出结果．例如：计算sin44°．解：按键，再依次按键．则屏幕上显示结果为0.69465837．求非整数度数的锐角三角函数值．若度数的单位是用度、分、秒表示的，在用计算器计算三角函数值时，同样先按和三个键之一，然后再依次按度分秒键，然后按键，则屏幕上就会显示出结果． 2、已知三角函数值，用计算器求角度

已知三角函数值求角度，要用到、键的第二功能“sin－1，cos－1，tan－1”和键．具体操作步骤是：先按键，再按键之一，再依次按三角函数值，最后按键，则屏幕上就会显示出结果．值得注意的是：型号不同的计算器的用法可能不同。（六）直角三角形的解法解直角三角形既是初中几何的重要内容，又是今后学习解斜三角形，三角函数等知识的基础，同时，解直角三角形的知识又广泛应用于测量、工程技术和物理之中，解直角三角形的应用题还有利于培养学生空间想象的能力。因此，通过复习应注意领会以下几个方面的问题：解直角三角形的重点是锐角三角函数的概念和直角三角形的解法。前者又是复习解直角三角形的难点，更是复习本部分内容的关键。掌握锐角三角函数和解直角三角形是进行三角运算解决应用问题和进一步研究任意角三角函数的重要基础。因此，解直角三角形既是各地中考的必考内容，更是热点内容。题量一般在4%~10%。分值约在8%~12%题型多以中、低档的填空题和选择题为主。个别省市也有小型综合题和创新题。几乎每份试卷都有一道实际应用题出现。二、重点难点疑点突破 1、（1）sinA和cosA都是一个整体符号，不能看成sin·A或cos·A． (2)是一个比值，没有单位，只与角的大小有关，而与三角形的大小无关． (3)sinA＋sinB≠sin(A＋B)sinA·sinB≠sin(AB) (4)sin2A表示(sinA)2，cos2A=(cosA)2 (5)0＜sinA＜1，0＜cosA＜1 2、同名三角函数值的变化规律当角α在0°～90°间变化时，它的正切和正弦三角函数值随着角度的增大而增大；余弦三角函数值随着角度的增大而减少．三、解题方法技巧点拨 1、求锐角三角函数的值例1、(1)在Rt△ABC中，∠C=90°，若，求cosB，tanB的值．

锐角三角比的意义(一)

锐角三角比的意义（一）古松学校顾卫标教学设计说明一、教材的地位与作用本节课是学生在学习了直角三角形和相似三角形有关性质后，通过研究直角三角形中的边、角关系建立锐角三角比的概念。锐角三角比是初三数学中的重要数学槪念，概念的形成不仅为研究直角三角形提供了有用的工具，而且在数学学习与生活生产实际中都有广泛应用。二、教学内容的编排 1.概念的形成由于本课时是锐角三角比概念形成的第一节课，主要教学目标是掌握锐角的正切、余切的槪念及相互关系，因此我把锐角正切、余切的概念形成作为本节课的重点及难点。在问题解决过程中不断反馈和分析信息，做到适时点拨，引导学生自己从问题解决过程中提炼岀超越问题情景的思想，并在前一章“相似形”所学知识的基础上寻找岀新知识的生长点，即直角三角形一个锐角大小确泄后，其直角边的比值也确疋，从而建立起新的数学概念一角的正切、余切的概念，并让学生感知学习这两个概念的实际意义。这样既能突出重点、难点，又能符合学生的普遍接受能力。 2.概念的应用为了加强学生对锐角正、余切概念及相互关系的应用，本节课设计不同层次的例题和习题，并通过归纳和总结，帮助学生从知识到能力的迁移，进一步优化知识结构。此外，从总体上这两组题目的内容是由注入深、循序渐进的。三、教学方法本节课的课堂教学主要采用问题解决教学的方法。在槪念学习时并没有把知识宜接传授给学生，而是让学生从问题解决过程中去发现、去探求，并通过教师适当、必要的引导对结论进行归纳。在教学过程中还运用各种手段，从各个方而来帮助学生理解，使形象思维与抽象思维充分地、有机地结合起来，旨在学生对新概念的现解更深入、更准确、更有效。

特殊角的三角函数值及计算

特殊角及计算归纳结果 0° 3０° 45° 60° 90° si ｎＡ cosA ta ｎA c ｏtA 当锐角越来越大时，的正弦值越来______＿____,的余弦值越来_＿___＿_____。当锐角α越来越大时， α的正切值越来__＿__＿＿___＿，α的余切值越来___________。 1：求下列各式的值. (1）cos 2 6０°+sin 2 60°．（2)cos 45sin 45? ? -t ａn45°． 2:（１)如图（１),在Rt △ＡBC 中，∠Ｃ=90，6,B Ｃ3,求∠A 的度数．（2）如图（2），已知圆锥的高AO 等于圆锥的底面半径OB 3,求a. 一、应用新知: 1。（1）(ｓi ｎ60°－tan30°)cos45°= 。（2)若0sin 23=-α，则锐角α＝． 2。在△ＡB Ｃ中，∠Ａ=７5°，2c ｏsB=2,则ta ｎC= 。

３。求下列各式的值．（１）o 45cos 230sin 2-? （2）ta ｎ３０°-si ｎ 60°·ｓｉｎ３0° （3)c ｏｓ45°+3t ａn30°+c ｏs30°＋2sin ６0°—2ｔａn4 ５° （4)?+?+? +?- ?45sin 30cos 30tan 1 30sin 145cos 222 4。求适合下列条件的锐角. （１）2 1 cos =α??（2)33tan =α (3)2 2 2sin = α? （４）33)16cos(6=- α (5）（6）６。如图,在△ABC 中，已知ＢC ＝１+ ,∠Ｂ=60°,∠C=４5°，求AB 的长。７．在△ABC 中，∠A 、∠B 为锐角，且有 ,则△ABC 的形状是_＿____＿＿________. |tanB-3|+(2sinA-3)2=002sin 2=-α01tan 3=-α 3

锐角三角比的概念

D B C 25.1（1）锐角三角比的意义一、教学内容分析通过探究使学生知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与邻边的比值都不变. 二、教学目标设计 1、通过探究使学生知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与邻边的比值都不变. 2、能根据正切、余切概念正确进行计算. 3、发展形象思维，初步形成由特殊到一般的演绎推理能力. 三、教学重点及难点理解认识正切概念，引导学生比较、分析并得出：对任意锐角，它的对边与邻边的比值是不变的. 四、教学过程设计一、情景引入操场里有一旗杆，老师让小明去测量旗杆的高度.（演示学校操场上的国旗图片）小明站在离旗杆底部10米远处，目测旗杆的顶部，视线与水平线的夹角为34度，并已知目高为1米．然后他很快就算出旗杆的高度了.你想知道小明怎样算出的吗？ 1.观察 (1)在Rt△ABC 中，∠C=90o ，∠A=30o ，BC=35m,求CB . (2) Rt △ABC ，使∠C=90o ，∠A=45o ，计算∠A 的对边与邻边比. 2.思考通过上面的计算，你能得到什么结论？ [说明] 在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30o ，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与邻边的比值都等于33 ；在一个直角三角形中，如果一个锐角等于45o ，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与邻边的比值都等于1. 3．讨论一般地，当∠A 取其他一定度数的锐角时，它的对边与邻边的比是否也是一个定值？二、学习新课 1．概念辨析如图：Rt △ABC 与Rt △A’B’C’，∠C=∠D C’A =90°，∠A=α，那么CA BC 与A C DC ''有什么关系? 结论：在直角三角形中，当锐角A 的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A 的对边与邻边的比是一个固定值. 如图，在Rt △ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别记为 a 、 b 、c. 在Rt △ABC 中，∠C=90°，我们把锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切.记作tanA. 板书：tanA ＝b a =∠∠的邻边的对边A A 在Rt △ABC 中，∠C=90°，我们把锐角A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切.记作cotA.

锐角三角函数的题型及解题技巧

锐角三角函数的题型及解题技巧锐角三角函数是三角函数的基础，它应用广泛，解题技巧性强，下面归纳出锐角三角函数的常见题型，并结合例题介绍一些解题技巧。一、化简或求值例1 （1）已知tan 2cot 1αα-=，且α是锐角，的值。（2）化简()()22 sin cos cos sin a b a b αααα++-。分析（1）由已知可以求出tan α1tan cot αα=?；（2）先把平方展开，再利用22sin cos 1αα+=化简。解（1）由tan 2cot 1αα-=得2tan 2tan αα-=，解关于tan α的方程得 tan 2α=或tan 1α=-。又α是锐角，∴tan 2α=＝ tan cot αα-。由tan 2α=，得1cot 2α=＝tan cot αα-＝13222 -=。（2）()()22sin cos cos sin a b a b αααα++-＝ 2222sin 2sin cos cos a ab b αααα+??+＋2222cos 2cos sin sin a ab b αααα-??+＝()()222222sin cos sin cos a b αααα+++＝22a b +。说明在化简或求值问题中，经常用到“1”的代换，即22sin cos 1αα+=，tan cot 1αα?=等。二、已知三角函数值，求角例2 在△ABC 中，若2 cos sin 02A B ?-+= ??(),A B ∠∠均为锐角，求C ∠的度数。分析几个非负数的和为0，则这几个数均为0。由此可得cos A 和sin B 的值，进而求出,A B ∠∠的值，然后就可求出C ∠的值。

锐角三角函数之间的关系和特殊角Word版

课题：锐角三角函数之间的关系和特殊角学习目标： 1、熟练掌握正弦和余弦、正切的关系和互化. 2、了解同一锐角三角函数间的平方关系、商数关系 3、掌握30度、45度、60度的三角函数值，能够用它们进行计算。自主学习一.正弦和余弦的关系 1.任意锐角的正弦值都等于它的余角的值.cos sin =α 2.任意锐角的余弦值都等于它的余角的值.sin cos =α 二..平方关系：1.推导：=+αα22cos sin 1 2、已知α为锐角，且5 3sin = α，则αcos = . 3、已知α为锐角，且13 12cos =α，则=αsin . 三.商数关系：1.推导：αα αtan cos sin = 2、已知α为锐角，且5 3sin =α，那么=αtan . 3、已知α为锐角，且13 5cos =α，那么=αtan . 4、已知α为锐角，且2tan =α，则ααααcos sin cos sin -+= . 四、特殊角：根据直角三角形边角关系把108页表格填写完整。合作再探一、填空（正弦和余弦、正切和余切互化） ①sin48°= . ②cos63°= .sin54°= . ○ 4cos72°= . 2. 已知α为锐角，且sin α= 5 4,那么cos α= . 3. 已知α为锐角，且cos α=13 12,则tan α= . 4. 已知α为锐角，且tan α=3,则ααααcos sin cos sin +-= . 5、若sinA=cos 245°,则∠A= 。 6、 △ABC 中，有01sin 22 3cos =-+-B A ,那么∠C= 。 7、若∠A=60°，则化简=-2)sin 1(A . 8、Rt ?ABC 中，∠C=?90，∠A ∶∠B=1∶2，则sinA 的值

求锐角三角函数值的经典题型+方法归纳(超级经典好用)

求锐角三角函数值的几种常用方法一、定义法当已知直角三角形的两条边，可直接运用锐角三角函数的定义求锐角三角函数的值．例1 如图1，在△ABC 中，∠C =90°，AB =13，BC =5，则sin A 的值是( ) (A ) 513 (B )1213 (C )512 (D )13 5 对应训练： 1．在Rt △ABC 中，∠ C ＝90°，若BC ＝1，AB tan A 的值为( ) A B C ．1 2 D ．2 二、参数（方程思想）法锐角三角函数值实质是直角三角形两边的比值，所以解题中有时需将三角函数转化为线段比，通过设定一个参数，并用含该参数的代数式表示出直角三角形各边的长，然后结合相关条件解决问题．例2 在△ABC 中，∠C =90°，如果tan A = 5 12 ，那么sin B 的值是．对应训练： 1．在△ABC 中，∠C =90°，sin A= 5 3 ，那么tan A 的值等于（）. A ．35 B . 45 C . 34 D . 43 2．已知△ABC 中， 90=∠C ，3cosB=2， AC=52 ，则AB= ． 3．已知Rt △ABC 中，,12,4 3tan ,90==?=∠BC A C 求AC 、AB 和cos B ． 4．已知：如图，⊙O 的半径OA ＝16cm ，OC ⊥AB 于C 点，?=∠4 3sin AOC 求：AB 及OC 的长．

第8题图 A D E C B F 三、等角代换法当一个锐角的三角函数不能直接求解或锐角不在直角三角形中时，可将此角通过等角转换到能够求出三角函数值的直角三角形中，利用“两锐角相等，则三角函数值也相等” 来解决．例3 在Rt △ABC 中，∠BCA =90°，CD 是AB 边上的中线，BC =5，CD =4，则c o s ∠ACD 的值为．对应训练 1.如图，O ⊙是ABC △的外接圆，AD 是O ⊙的直径，若O ⊙的半径为 3 2 ，2AC =，则s in B 的值是（）A ．23 B ．32 C ．34 D ．4 3 2. 如图4，沿AE 折叠矩形纸片ABCD ，使点D 落在BC 边的点F 处．已知8AB =，10BC =， AB=8,则tan EFC ∠的值为 ( )Ａ．34 Ｂ．43 Ｃ．35 Ｄ．45 3. 如图6，在等腰直角三角形ABC ?中，90C ∠=?，6AC =，D 为AC 上一点，若 1tan 5 DBA ∠ = ，则AD 的长为( ) A ．2 C ．1 D ．4．如图，直径为10的⊙A 经过点(05)C ，和点(00)O ，，与x 轴的正半轴交于点D ，B 是y 轴右侧圆弧上一点，则cos ∠OBC 的值为（）A ． 12 B ．2 C ．35 D ．45 5.如图，角α的顶点为O ，它的一边在x 轴的正半轴上，另一边OA 上有一点P （3，4），则 sin α= ． 6.（庆阳中考）如图，菱形ABCD 的边长为10cm ，DE ⊥AB ，3sin 5 A =，则这个菱形的面积= cm 2 ． 7. 如图6，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =8，∠A AD = 3 3 16求 ∠B 的度数及边BC 、AB 的长. D A B C