沪教版(上海)初中数学九年级第一学期 25.1(1) 锐角三角比的意义(1) 教案

25.1 锐角的三角比的意义一、填空题：1. 在Rt△ABC中，∠A=90°,AC=4,BC=5,则tanC= ,cotB= , cotC= 。

2. 在Rt△ABC中，∠C=90°, tanA=23, 则cotA= 。

3．在平面直角坐标平面内有一点P(1,2),则OP与x轴的夹角的余切值= 。

4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，3BC＝2AC，则tan A＝.5. 若cotα·tan50°=1，则锐角α= _____度6. 如图，将矩形ABCD翻折，点A、C重合，EF是折痕，若AB＝2，BC＝5，则tan∠OFC ＝________.(第6题图)二、选择题：7. 如果Rt△ABC各边的长度都扩大到原来的3倍，那么锐角A的正切、余切的值（）A．都扩大到原来的3倍 B．都缩小到原来的1 3C．不能确定 D．没有变化8. 已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D,则比值BC CD BD ACAC AD CD AB、、、中等于tanA的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个三、简答题：9. 已知△ABC是直角三角形，∠C＝90°，AB＝4，BC＝3，求：tan A和tan B的值.10. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4AC，求tan A的值．11. 矩形ABCD中，AB＝AE＝5，AD＝3，求tan∠AEB.四、拓展题:12．如图，在△ABC中，∠A＝30°，AB＝5，AC＝23，求tan B的值．25.1 锐角的三角比的意义(1)1.334443；；2.32 3.12 4.3 5. 50° 6.52 7. D 8. B 9.tan 7A =；tan 3B = 3。

25.1（1）锐角的三角比的意义一、教学目标1.理解锐角三角比的正切和余切的概念,会用定义求锐角三角比的正切和余切的值,知道锐角三角比的正切和余切之间的关系.2.经历用几何方法探索锐角三角比的正切和余切的概念,获得从数学问题中抽象出数学概念的体验.3.通过概念的形成，初步营造乐于探索和相互合作的学习氛围,体会数形结合,由特殊到一般的数学思想方法.二、教学重点会利用定义求锐角三角比的正切和余切值三、教学难点锐角三角比的正切和余切的概念的形成四、教学用具多媒体PPT、几何画板、展台五、教学过程(一)情景引入1．思考：如图，已知小明同学的身高DF为1.5米，经太阳光照射，在地面的影长EF为2米，在同一时刻，测得某塔AC在同一地面的影长BC为60米，则塔高AC为多少米？2.连线课外：古希腊数学家测量埃及大金字塔的高.(二)概念形成1.问题1：对于一个直角三角形,如果给定了它的一个锐角的大小,那么它的两条直角边的比值是否是一个确定的值？问题2：当直角三角形中一个锐角的大小变化时，这个锐角所对的直角边和它相邻的直角边的长度的比值随着变化吗?2.演示论证3.几何论证(三)学习新知1．锐角的正切——把直角三角形中一个锐角的对边和邻边的比叫做这个锐角的正切(tangent).锐角的余切——把直角三角形中一个锐角的邻边和对边的比叫做这个锐角的余切(cotangent).2.符号语言(四)初步运用练一练如图，已知在Rt△ABC中, ∠ACB=90°,CD⊥AB于点D.(1)在Rt△ABC中,∠A 的邻边是 ,∠A 的对边是 ,∠B的邻边是 ,∠B的对边是 .(2)在Rt△ACD中,∠A 的邻边是 ,∠A 的对边是 .(五)例题讲解例题1如图,已知Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=2,求tanA和tanB的值.（六）反馈巩固1．试一试已知Rt△ABC中,∠C=90°,BC=4,AB=5,求cotA和cotB的值.2．比一比（1）在Rt△ABC中,∠C=90°.①如图（1）那么tanA= ,tanB= ,cotA= ,cotB= .②如图（2）如果AC=1,BC=2,那么tanA= ,tanB= ,cotA= ,cotB= .③如图（3）如果BC=8,AB=10,那么tanA= ,cotB= .⑵如图（4）在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为点D,则:（用正切或余切表示）C（七）归纳小结本节课由实例引出课题 ,概念两个,其中重点是要理解正切和余切的定义,此定义关键是要正确的找到对边和邻边.（八）布置作业25.1锐角三角比的意义（1）课后练习单七、PPT和板书设计PPT设计见附件正切余切规律例题1 辅助PPT上的练习讲解八、教学设计说明本节课设计了七步骤,充分调动数学教学手段,让学生经历由特殊到一般的探索过程,从中提高探索问题的能力,从而达到教学目标.在设计上,将教材引入部分做了调整,让学生能够充分的发现结论,从而论证结论,给出定义,最后运用定义.九、教学反思锐角三角比的概念是初三数学中的重要数学概念，它在数学学习与生活生产实际中都有广泛应用。

沪教版(上海)九年级上册数学-25.1-25.2-锐角的三角比的意义-求锐角的三角比的值-教学案-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN25.1-25.2 锐角的三角比的意义 求锐角的三角比的值 教案【学习目标】1．结合图形理解记忆锐角三角函数的定义；2．会推算30°、45°、60°角的三角函数值，并熟练准确的记住特殊角的三角函数值； 3．理解并能熟练运用“同角三角函数的关系”及“锐角三角函数值随角度变化的规律”.【要点梳理】要点一、锐角三角函数的概念如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 所对的边BC 记为a ，叫做∠A 的对边，也叫做∠B 的邻边，∠B 所对的边AC 记为b ，叫做∠B 的对边，也是∠A 的邻边，直角C 所对的边AB 记为c ，叫做斜边．锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即sin A aA c ∠==的对边斜边；锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即cos A bA c ∠==的邻边斜边；锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tanA ，即tan A aA A b∠==∠的对边的邻边；锐角A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记作cotA ，即cot A bA A a∠==∠的邻边的对边.同理sin B b B c ∠==的对边斜边；cos B aB c∠==的邻边斜边；tan B b B B a ∠==∠的对边的邻边；cot B a B B b∠==∠的邻边的对边要点诠释：(1)正弦、余弦、正切、余切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化．(2)sinA ，cosA ，tanA ，cotA 分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成，BCa bc，，cot A•不能理解成sin与∠A，cos与∠A，tan与∠A，cot与∠A的乘积．书写时习惯上省略∠A的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠AEF)，其正切应写成“tan∠AEF”，不能写成“tanAEF”；另外，、、、2（）常写成、cot A、、2cot A．(3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在．(4)由锐角三角函数的定义知：当角度在0°＜∠A＜90°间变化时，，，tanA＞0 cotA＞0.要点二、特殊角的三角函数值利用三角函数的定义，可求出30°、45°、60°角的各三角函数值，归纳如下：锐角cotα30°45° 1160°要点诠释：(1)通过该表可以方便地知道30°、45°、60°角的各三角函数值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若，则锐角．(2)仔细研究表中数值的规律会发现：、、的值依次为、、，而、、的值的顺序正好相反，、、的值依次增大，其变化规律可以总结为：①正弦、正切值随锐角度数的增大(或减小)而增大(或减小)②余弦、余切值随锐角度数的增大(或减小)而减小(或增大)．要点三、锐角三角函数之间的关系如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°．(1)互余关系：，；tanA=cot(90°-∠A)=cotB , tanB=cot(90°-∠B)=cotA.(2)平方关系：；(3)倒数关系：或；(4)商的关系：sin cos tan,cotcos sinA AA AA A==要点诠释：锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角函数的计算中，计算时巧用这些关系式可使运算简便．【典型例题】类型一、锐角三角函数值的求解策略例题1．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是（）A．2 B．C．D．【答案】D．【解析】解：如图：，由勾股定理，得AC=，AB=2，BC=，∴△ABC为直角三角形，∴tan∠B==，故选：D．举一反三：【变式】在Rt△ABC中，∠C=90°，若a=3，b=4，则c=，sinA=，cosA=，sinB=，cosB=．【答案】c= 5 ，sinA=35，cosA=45，sinB=45，cosB=35．类型二、特殊角的三角函数值的计算例题2．求下列各式的值：(1)6tan230°﹣sin60°﹣2sin45°；(2)sin60°﹣4cos 230°+sin45°•tan60°；(3)+cot30°﹣．【答案与解析】解：（1）原式==﹣．(2)原式=×﹣4×（）2+×=﹣3+=；(3)原式=+﹣=2+﹣=3﹣2+2=+2．举一反三：C ab c【变式】在Rt△ABC中，∠C=90°，若∠A=45°，则∠B=，sinA=，cosA=，sinB=，cosB=．【答案】∠B=45°，sinA=22，cosA=22，sinB=22，cosB=22．类型三、锐角三角函数之间的关系例题3．已知△ABC中的∠A与∠B满足（1﹣tanA）2+|sinB﹣|=0（1）试判断△ABC的形状．（2）求（1+sinA）2﹣2﹣（3+tanC）0的值．【答案与解析】解：（1）∵|1﹣tanA）2+|sinB﹣|=0，∴tanA=1，sinB=，∴∠A=45°，∠B=60°，∠C=180°﹣45°﹣60°=75°，∴△ABC是锐角三角形；（2）∵∠A=45°，∠B=60°，∠C=180°﹣45°﹣60°=75°，∴原式=（1+）2﹣2﹣1=．类型四、锐角三角函数的拓展探究与应用例题4．如图所示，AB是⊙O的直径，且AB＝10，CD是⊙O的弦，AD与BC相交于点P，若弦CD＝6，试求cos∠APC的值．【答案与解析】连结AC ，∵ AB 是⊙O 的直径， ∴ ∠ACP ＝90°，又∵ ∠B ＝∠D ，∠PAB ＝∠PCD ， ∴ △PCD ∽△PAB ， ∴PC CDPA AB=． 又∵ CD ＝6，AB ＝10， ∴在Rt △PAC 中，63cos 105PC CD APC PA AB ∠====．例题5．通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对(sad)．如图1①，在△ABC 中，AB ＝AC ，顶角A 的正对记作sadA ，这时sadA BCAB==底边腰．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：(1)sad60°＝________．(2)对于0＜A ＜180°，∠A 的正对值sadA 的取值范围是_______．(3)如图1②，已知sinA ＝35，其中∠A 为锐角，试求sadA 的值．【答案与解析】(1)1； (2)0＜sadA ＜2；(3)如图2所示，延长AC 到D ，使AD ＝AB ，连接BD ． 设AD ＝AB ＝5a ，由3sin 5BC A AB ==得BC ＝3a ， ∴ 22(5)(3)4AC a a a =-=，∴ CD ＝5a-4a ＝a ，22(3)10BD a a a =+=， ∴ 10sadA 5BD AD ==． 【总结】(1)将60°角放在等腰三角形中，底边和腰相等，故sadA ＝1；(2)在图①中设想AB ＝AC 的长固定，并固定AB 让AC 绕点A 旋转，当∠A 接近0°时，BC 接近0，则sadA 接近0但永远不会等于0，故sadA ＞0，当∠A 接近180°时，BC 接近2AB ，则sadA 接近2但小于2，故sadA ＜2；(3)将∠A 放到等腰三角形中，如图2所示，根据定义可求解．。

25.1 (1)锐角三角比的意义一、教学内容分析通过探究使学生知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与邻边的比值都不变.二、教学目标设计1、通过探究使学生知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与邻边的比值都不变2、能根据正切、余切概念正确进行计算.3、发展形象思维，初步形成由特殊到一般的演绎推理能力.三、教学重点及点理解认识正吩概念;引导学生比较、分析并得出：对任意锐角，它的对边与邻边的比值是不变的.四、教学用具准备课件.ppt五、教学流程设计引入新课A新课讲授巩固练习》课堂小结》回家作业六、教学过程设计操场里有一旗杆，老师让小明去测量旗杆的高度.(演示学校操场上的国旗图片小明站在离旗杆底部10米远处，冃测旗杆的顶部，视线与水平线的夹角为34度，并已知目高为1米.然后他很快就算出旗杆的高度了•你想知道小明怎样算出的吗？1 •观察(1)在RtZSABC 中,ZC=90°, 求CB・(2) RtAABC,使ZC=90°,的对边与邻边比.2 •思考通过上面的计算，你能得到什么结论?［说明］在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30役那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与邻边的比值都等于3 ；在一个直角三角形中，如果一个锐角等于45。

，那么不管三角形的大小如何, 这个角的对边与邻边的比值都等于3.讨论一般地，当ZA取其他一定度数的锐角时，它的对边与邻边的比是否也是一个定值？1.概念辨析如图:RtAABC 与RtZSA' L L , ZC=ZDC?A =90° , ZA 二ci,那么竺CA与竽有什么关系？0 /I结论：在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，ZA的对边与邻边的比是一个固定值. »如图，在RtAABC 中，ZA、ZB、ZC 所<对的边分别记为b、c "过劄边在RtAABC中，ZC=90°,我们把锐角人(的对边与邻边的比叫做ZA的正切•记作' ”' tanA.板书：tanA= 在RtAABC中,ZC=90°,我们把锐角A的邻边与对边的比叫做ZA的余切•记作cotA.板书：2躺2.例题分析例题 1.在RtZlABC 中，ZC=90°, AC二3, BC二2,求tanA 和tanB 的值.解：在Rt/ABC屮，R1.如图，在直角ZSABC 中，ZC=90°,TAC 二3, BC 二2 ・・・tanA 二竺 ACAC 3 tanB= -----=— BC 2例题 2•在 RtZABC 中，ZC=90°, BC 二4, AB=5,求 cotA 和 cotB 的值. 解：在RtzlABC 中，由勾股定理得AB 2=AC 2+BC 2VBC=4, AB=5, AC=7A B 2-BC 2= 752 -42 = 3 ・ •I cotA=—=- BC 4m BC 4cotB=——二一・ AC 33. 问题拓展在上题中，在同一个直角三角形中，ZA 的止切和余切有怎样的 数量关系？ 是ZA 的余角，那么它们的正切、余切值之间有怎样 的数量关系？［说明］在 RtZlABC 中，ZA+ZB 二90。

沪教版（上海）九年级上学期25.1 第1课时锐角的三角比的意义（1）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题1 . 在平面直角坐标系中，按如图方式放置（直角顶点为A），已知A（2，0），B（0，4），点C在双曲线（x＞0）上，且AC=，将沿x轴正方向向右平移，当点B落在该双曲线上时，点A的横坐标变成（）A．3B．4C．5D．62 . 如图，把矩形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA、OC分别落在x轴，y轴上，连OB，将纸片OABC 沿OB折叠，使点A落在A′的位置，若OB=，tan∠BOC=，则点A′的坐标（）A．（，）B．（﹣，）C．（﹣，）D．（﹣，）3 . 如图，在中，，，，于D，设，则的值为（）A．B．C．D．4 . 如图，在矩形中，，是上的一点，将沿直线折得，若平分，则折痕的长为（）A．6B．C．D．3二、填空题5 . 如图，已知中，，是边的中点，，垂足为点，若，则________．6 . 如果m≤0，那么一元二次方程3x2﹣2x+m＝0的根的情况应该是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．有两个正的实数根7 . 如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝9，点E，F分别在BC，CD上．若BE＝3，∠EAF＝45°，则DF的长是_____．8 . 如图，边长为1的正方形网格中，AB__3．（填“＞”，“＝”或“＜”）9 . 某建筑物的走廊墙壁上搭了-个长4m的梯子，梯子底端正好与地面成45°角，影响了人们的正常行走．为了拓宽行路通道，将梯子挪动位置，使其与地面的倾斜角恰为60°，则行路通道被拓宽了________m(结果保留根号)．10 . 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的中线，过点A作AE⊥CD交BC于点E，如果AC＝2，BC＝4，那么cot∠CAE＝_____．11 . 如图所示的网格是正方形网格，点E在线段BC 上，_____. (填“＞”，“＝”或“＜”)12 . （2018•南长区一模）如图，每个小正方形边长为1，则△ABC边AC上的高BD的长为__________．三、解答题13 . 如图，在一个坡角为20°的斜坡上有一棵树，高为AB，当太阳光线与水平线成52°角时，测得该树斜坡上的树影BC的长为10m，求树高AB(精确到0.1m) (已知：sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，tan20°≈0.364，sin52°≈0.788，cos52°≈0.616，tan52°≈1.280．供选用)14 . 如图，请在三个6×6的网格中各画一个有一个内角的正切值等于3的直角三角形．（要求：所画的这三个直角三角形大小不等）15 . 轮船沿着正北方向航行，在处看到某目标岛屿在北偏西方向，继续向南航行海里到处测得这个岛屿方向变成了北偏西，若轮船保持航行的方向，则它与目标岛屿最近距离是多少？（结果精确到海里，参考数据：）16 . 在平面直角坐标系中，已知点，试分别根据下列条件，求出点的坐标。

§25.1(1) 锐角三角比的意义(1)教学目标：知道直角三角形的两条直角边的比值是一个定值，由此理解锐角的正切和余切的几何意义；会根据直角三角形的两条直角边的长度求锐角的正切、余切值；经历锐角三角比的概念的形成过程，获得从实际问题中抽象出数学概念的体会，体会数学与生活的联系.教学重点：理解直角三角形中锐角的正切、余切的意义，会建立直角三角形这一模型.教学难点：体会锐角与边的比值的联系. 教学设计： 教学过程 设计意图 一、情景引入问题1 (1) 学校的操场有一个旗杆垂直于地面，现有一根皮尺，你能设计一个方案，测量旗杆的高度AB 吗？ (学生言之有理即可)(2)一名学生这样测量：某日的下午，让同伴测量他的身高和影长，当他的影长等于身高时，马上让同伴测出旗杆的影长，此时的影长就是旗杆的高度，你认为他的方法确切吗？为什么？(3) 思考：我们能不能在任意时刻用上述方法测出旗杆的高度？为什么？如图，阳光AC 与DF 可以看成AC//DF ，则∠C=∠F. ∴△ABC ∽△DEF ，得EFBC DEAB ，只要测得DE 、EF 、BC 的长，就可以求出AB 的长.(4) 从固定时刻到任意时刻，哪些量发生了变化，哪些量没有发生变化？(5) 古希腊著名数学家泰勒斯曾用这个方法测得了埃及金字塔的高度. 二、探索新知小组合作探究1：（1）在学习单上取定一个锐角∠MAN利用实际问题引入一个直角三角形的两条边的比值与锐角之间的联系，体验数学与生活的联系.通过小组探究活动，获得直角三角形的两条直角边之比是一个定ABCDEF（2）在射线AM 上取一点B ，过点B 向射线AN 引垂线，垂足为C ，（3）问：ACBC的值是确定的吗？为什么？ 要求：1、小组合作探究； 2、汇报数据，交流、展示；3、师生共同简述理由.4、∠A 不变，虽然两条直角边长发生了变化，但它们的比值不变探究2：如果改变∠A 的大小，这个角的 对边与邻边的比会改变吗？为什么？ 要求：1、运用几何画板直观感受； 2、举反例说明； 3、归纳：在Rt △ABC 中，∠C=90°一个定值的邻边锐角的对边锐角=A A .规定∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c定义：(1) 直角三角形中，锐角A 的对边与邻边的比叫做锐角A 的正切，记为tanA..tan baAC BC A A A ===的邻边锐角的对边锐角说明：tanA 的值与∠A 的度数或直角边的比值有关. 思考：当∠A 确定时，的对边锐角的邻边锐角A A 是否是定值？为什么？(2) 直角三角形中，锐角A 的邻边与对边的比叫做锐角A 的余切，记为cotA. .cot abBC AC A A A ===的对边锐角的邻边锐角(AA cot 1tan =或1cot tan =⋅A A )三、课堂练习例1 在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=2，求tanA 、tanB 、cotA 、cotB 的值.要求：1、要求学生画草图，教师规范格式求tanA ； 2、学生独立完成tanB 、cotA 、cotB ；3、归纳、小结：当∠A+∠B=90°时，tanA=cotB.值这一事实.理解直角三角形的两条直角边的比值是一个定值，并引入正切、余切的概念.同一个锐角的正切值与余切值是一对倒数，让学生掌握.让学生知道互余的两个角，一个角的正切值等于另一个角的余切值.aC A B c bB 3B 1B 2C 3C 1 A C 2 MN CED AMNP例 2 在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=4，AB=5，求tanA 、cotA 的值.要求：1、学生独立完成；2、归纳、小结：求锐角的三角比时， 常会用到勾股定理.书本P63—练习25.1(1)四、课堂小结(1) 通过今天的学习，你有什么收获和体会？ (2) 一个锐角的正切或余切的值与这个锐角的大小有确定的依赖关系；(3) 初中阶段锐角的三角比是在直角三角形里研究的，如果没有适当的直角三角形，可以构造直角三角形解决. 五、作业必做题 练习册 习题25.1(1) 选做题 已知：如图，在△ABC 中， tanB=1，cotC=2，BC=6，求△ABC 的 面积. 课堂小结，对本节课内容作简要回顾.作业分层，满足不同层次的学生；并渗透构造直角三角形的方法.教学设计说明：《锐角的三角比》是初三第一学期的几何教学内容，它在解决实际问题中有着重要的作用。

25.1（1）锐角三角比的意义一、教学内容分析通过探究使学生知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与邻边的比值都不变.二、教学目标设计1、通过探究使学生知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与邻边的比值，对边与斜边的比值，邻边与斜边的比值都不变.2、发展形象思维，初步形成由特殊到一般的演绎推理能力.三、教学重点及难点引导学生比较、分析并得出：对任意锐角，它的对边与邻边的比值，对边（或邻边）与斜边的比值都是不变的.四、教学过程设计一、 情景引入将一把梯子的下端放在地面上，它的上端靠着墙面，把墙面和地面所成的角画成一个直角，梯子画成线段AB ，得到一个直角三角形AOB 。

问题1：如果将梯子AB 的两端分别沿着墙面和地面滑动，思考要体现梯子的倾斜程度与哪些量有关？1)梯子与地面的夹角越大，则梯子越陡直。

2）梯子与墙面的夹角越大，则梯子越平缓。

问题2：如果没有度量角的工具，怎么来判断梯子与地面的夹角或梯子与墙面的夹角的大小呢？（观察发现梯子滑动过程中变化的量和不变的量）（1）两条直角边的比值2211OB OA OB OA <，O B A O B A 2211∠<∠ （2）斜边不变，可用直角边(对边)与斜边的比值来刻画梯子与地面夹角的大小。

结论：由此可见，直角三角形的锐角的大小，与两直角边长度的比值有关二、新课学习问题3：对于一个直角三角形，如果给定了它的一个锐角的大小，那么它的两条直角边的比值是否是一个确定的值？任意画一个锐角A ，在∠A 的一边上任意取点B 1、B 2、B 3，再分别过这三个点向另一边作垂线，垂足依次为点C 1、C 2、C 3，得到三个直角三角形。

（这也是一般在用线段比值刻画角的大小时，常用的构造直角三角形的方法。

） （由学生给出证明，得到333222111AC C B AC C B AC C B ==） 由此可见，如果给定直角三角形的一个锐角，那么这个锐角的对边与邻边的长度的比值就是一个确定的数。

[课题]：锐角三角比的意义（一）[知识目标]：1、了解放缩变换中的不变量；2、理解并记住锐角的正切和余切的意义及其表示法和读法；3、了解同角的正切和余切之间的关系及互余两角的正切和余切之间的关系；4、能由直角三角形中任意两边的值求出锐角的正切和余切值。

[能力目标]：在探研锐角正切、余切的概念中，培养学生发散性思维，培养学生综合运用知识的能力。

[情感目标]：培养学生学习兴趣和学生思维互助，勇于探索的精神。

[教学重点]：锐角的正切和余切的意义。

[教学难点]：锐角的正切和余切表示法的理解与运用。

在各种位置下直角三角形中的锐角三角比。

[教学方法]：“引导、讨论、探索”教学法。

[教学用具]：三角尺、多媒体课件等。

[课的类型]：新授课。

[教学过程]：（一）复习提问1、任意两个等腰三角形是否一定相似？2、任意两个直角三角形是否一定相似？3、任意两个等腰直角三角形是否一定相似？4、等腰直角三角形中两直角边之比为多少？这与等腰直角三角形的大小有关系吗？两块大小不同，但同含45°角的三角尺中，45°角所对的直角边与其相邻的直角边的比值。

5、任意两个有一个锐角为30°的直角三角形是否一定相似？30°角所对的直角边与另一直角边（即30°角的邻边）之比为多少？、学生初步形成概念：直角三角形中，一个锐角所对的直角边、所邻的直角边和斜边中任两条线段长度之比值与直角三角形的大小无关。

讲课进程：（1）、讨论：锐角是450的那块三角尺的边长之间的关系。

类似地可得锐角是300的那块三角尺的边长之间的关系。

（2）、操作：1、任作锐角∠A （分两大组进行），画Rt ΔABC ，其中∠C=900，要求每位同学量出所画的RtΔABC 的各边长，并计算出两条直角边的比值。

2、延长AB 到P ，延长AC 到Q ，在AP 上任取B 1、B 2、B 3，分别过B 1、B 2、B 3作AQ 的垂线，垂足为C 1、C 2、C 3。

25.1（1）锐角三角比的意义
一、填空题：
1、在Rt △ABC 中,∠C=90°,AB=3,BC=1,则tanA= _______.cotA=
2、在△ABC 中,AB=10,AC=8,BC=6,则tanA=_______.cotA= cotB=
3、在△ABC 中,AB=AC=3,BC=4,则tanC=______.cotA 和cotB
二简答题：
4、在Rt △ABC 中,∠C 是直角,∠A、∠B、∠C 的对边分别是a 、b 、c,且a=24,c= 25,求tanA 、tanB 的值.
5、若三角形三边的比是25:24:7,求最小角的正切值，余切值.
6、如图,在菱形ABCD 中,AE⊥BC 于E,EC=1,tanB=
125, 求菱形的边长和四边形AECD 的周长.
E D B A C
7、已知:如图,斜坡AB的倾斜角a,且tanα=3
4
,现有一小球从坡底A处以20cm/s 的速度向
坡顶B处移动,则小球以多大的速度向上升高?
8、在△ABC中，∠C = 90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，已知b - a = 7cm，c = 13cm，求∠A的正切值和余切值
课外拓展
如图1-3，已知：△ABC中，D是AB的中点，CD⊥AC，
且tan∠BCD = 1
3，求tan A的值.
.
B
图1-3
C
A
D
B。

25.1-25.2锐角三角比的意义及求值【学习目标】1、通过实验、观察、探究、交流、猜测等数学活动，探索锐角三角比的意义。

2、理解锐角三角比的意义，记住三角比的符号，会进行三角比的文字语言与符号语言的转化。

3、会求直角三角形中指定锐角的三角比。

4、应用锐角三角比的意义及运用特殊锐角三角比值进行计算。

【主要概念】【一】锐角的三角函数的意义【1】正切的概念在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与邻边的比，叫做∠A的正切，记作tanA．【2】正弦和余弦的概念如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即【3】三角函数的概念：在直角三角形中，锐角A 的正切(tanA)、正弦(sinA)、余弦(cosA)，都叫做∠A 的三角函数．【二】同角的三角函数之间的关系 【1】平方关系：sin 2α＋cos 2α=1【2】商数关系：【三】互余的两角的关系任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值，任意锐角的正切值与它的余角的正切值的积等于1．即若A+B=90°，则sinA=cosB ，cosA=sinB ，tanA·tanB=1．【四】特殊锐角的三角函数值0° 30°45°60°90° sinA1cosA 1tanA1—典型例题：例1、在Rt ⊿ABC 中，∠C=900，AC=3,BC=2,求tanA 和tanB 的值. 解：在Rt ⊿ABC 中，∵AC=3,BC=2∴tanA=32=AC BCtanB=23=BC AC .分析：(1)要求sinα与cosα的关系的值，而已知tanα的值，故可通过来求值．A B C(2)已知tanα的值，也可通过，把要求的式子的分子，分母同时除以cos 2α转化成关于tanα的关系，这样便可求出结论．点评：在进行三角函数有关计算时，常利用有关公式进行变换．例3、在Rt ⊿ABC 中，∠C=900，BC=4，AB=5，求cotA 和cotB 的值. 解：在Rt ⊿ABC 中，由勾股定理得 AB 2=AC 2+BC 2 ∵BC=4,AB=5, ∴AC=3452222=-=-BC AB .∴cotA=43=BC AC cotB=34=AC BC . 例4、在Rt △ABC 中，∠C=90°，若，求cosB ，tanB 的值．分析：本题主要考查锐角三角函数的定义，结合图形求解可化繁为简，迅速得解． 解：如图，设BC=3m ，则AB=5m ，AB C例5、如图所示，已知AB是⊙O的直径，CD是弦，且CD⊥AB，BC=6，AC=8，则sin∠ABD的值是（）分析：因为AB是⊙O的直径，所以∠ACB=90°．因为BC=6，AC=8，所以AB=10．因为∠ABD=∠ACD=∠ABC，所以在Rt△ACB中，故正确答案为D．答案：D例6、计算分析：这是一组有关特殊角三角函数值的计算题，计算中最关键是将它们先化成具体的数值，同时还要应用其它一些知识帮助求值，如(1)注意分母有理化，(2)应掌握整数指数幂的意义．解：点评：学过锐角三角函数后，特殊角的三角函数的计算是常考不衰的内容，做这类题主要分两步：(一)代入；(二)计算．因此，特殊角的三角函数值必须牢记．例7、若α为锐角且sinα＞sinβ，那么（）A．tanα＞tanβB．tanα＜tanβC．tanα=tanβ D．tanα、tanβ大小关系不确定例8、求适合下列各式的锐角α．点拨：所有锐角三角函数值都是正数，而且正弦和余弦值都不大于1，不符合条件的三角函数值应舍去．例9、如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=4，求BC的长．分析：题中有30°，45°特殊角，想把它们放到直角三角形中，利用三角函数来解题．点评：（1）在作高线构造直角三角形时，一般不过特殊角的顶点作垂线，这样便于利用特殊角解题．（2）有些简单的几何图形可分解为几个直角三角形的组合，从而利用三角函数的定义求解．例10、如图所示．在四边形ABCD中，AB=2，CD=1，∠A=60°，∠D=∠B=90°，求此四边形ABCD的面积．分析：由已知∠B=90°，∠A=60°这两个条件想到延长BC，AD，使它们相交，构成直角三角形．例11、在矩形ABCD中DE⊥AC于E，设∠ADE=α，且，AB=4，求AD．分析：在矩形中AB=DC=4，可证∠α=∠1，于是条件转移到△DCE中来了，求出DE．解：在矩形中AB=DC=4，∠2＋∠α=90°又DE⊥AC，∠1＋∠2=90°∴∠1=∠α点评：注意把条件集中到一起．例12 、如图Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4.求：sin A ，cos A ，tanB ，cotB 的值。

沪教版数学九年级上册25.1《锐角三角比的意义》教学设计一. 教材分析《锐角三角比的意义》是沪教版数学九年级上册第25.1节的内容。

本节主要介绍锐角三角比的定义和性质，以及它的应用。

通过学习本节内容，学生能够理解锐角三角比的概念，掌握锐角三角比的计算方法，并能运用锐角三角比解决实际问题。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了三角函数的基本概念和性质，对三角函数有一定的理解。

但是，对于锐角三角比的概念和性质，学生可能还不够熟悉。

因此，在教学过程中，需要通过具体的例子和实际问题，帮助学生理解和掌握锐角三角比的概念和性质。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生理解锐角三角比的概念，掌握锐角三角比的计算方法，能够运用锐角三角比解决实际问题。

2.过程与方法：通过观察、操作、思考、交流等活动，培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和勇于探索的精神。

四. 教学重难点1.重点：锐角三角比的定义和性质。

2.难点：锐角三角比的计算方法和应用。

五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法。

通过提出问题，引导学生思考和探索；通过具体的案例，让学生理解和掌握锐角三角比的性质；通过小组合作学习，培养学生的团队合作意识和交流能力。

六. 教学准备1.教具准备：多媒体课件、黑板、粉笔。

2.学具准备：笔记本、尺子、三角板。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体课件，展示一些实际问题，如测量 flag 的倾斜角度，引导学生思考如何解决这个问题。

通过这个问题，引入锐角三角比的概念。

2.呈现（15分钟）通过具体的案例，介绍锐角三角比的定义和性质。

例如，通过测量三角板上的角度，引导学生发现锐角三角比的规律。

3.操练（15分钟）让学生利用三角板和尺子，自己动手测量锐角三角比。

学生可以分组进行，互相交流和讨论，培养团队合作意识。

4.巩固（10分钟）通过一些练习题，让学生巩固锐角三角比的计算方法。

并举例借用“相似三角形”的相关性质定理解决“现实问题”.根据泰勒斯巧测金字塔的故事，泰勒斯是借用了两个相似的等腰直角三角形的性质测量了金字塔的高度，此时光线与影长所在线的夹角为45°，那么45°的对边和邻边长的比值是1:1.教师借此提出问题：对于一个直角三角形，如果给定了锐角的大小，那么它的两条直角边的长度的比值是否是一个确定的值？学生小组讨论学习注入一点数学史的文化信息，向学生展示现实生活中的“真问题”，从而体会“发现问题、提出问题、分析问题、解决问题”这一探究过程的乐趣.小组讨论的过程中，让学生再次体验“温故而知新”的探究之乐趣。

（一）探索新知问题一对于一个直角三角形，如果给定了它的一个锐角大小，那么它的两条直角边的比值是否是个确定的值？问题二当直角三角形中一个锐角的大小发生变化时，这个锐角的对边比邻边的长度的比值随着变化吗？数形结合，加深理解锐角三角比的知识及图形的意义。

理解锐角三角比的知识，数形结合加深理解概念。

3min教师讲解，引导学生回答，整理思路整理过程板书示范。

培养学生数形结合的策略及思想，和向量分解的画法。

2min想一想：课堂练习让学生自主探究独立完成，培养学生独立思考解决问题的能力。

教师对正答案，强调重难点。

培养学生的逻辑思维，加深对知识概念的理解，对基础知识的应用。

2min。

如果别人思考数学的真理像我一样深入持久，他也会找到我的发现。

——高斯25.1（1）锐角三角比的意义教学目标：通过探究使学生理解在直角三角形中，当一个锐角的大小确定后，对边与邻边的比值都不变；能根据正切、余切概念正确进行计算；通过“阅读”、探究等教学活动，发展形象思维，初步形成由特殊到一般的演绎推理能力。

教学重点：理解认识在直角三角形中，锐角正切、余切的概念并会利用。

教学难点：理解直角三角形中，锐角的大小与两边的长度的比值的关系。

教学过程：情景引入操场里有一旗杆，老师让小明去测量旗杆的高度.小明站在离旗杆底部10米远处，目测旗杆的顶部，视线与水平线的夹角为35度，并已知目高为1米．然后他很快就算出旗杆的高度了.你想知道小明怎样算出的吗？ 1.尝试：(1)在Rt △ABC 中，∠C=90o，∠A=30o，BC=3m,求CA.如果BC 长为10m ，那么AC 长呢？(2)在Rt △ABC 中，∠C=90o，∠A=45o，计算∠A 的对边与邻边比值. 2.思考：通过上面的计算，你能得到什么结论？要求：读懂引入题目中的图形，完成基本分析； 完成“尝试”练习，读出题目深层含义，猜测结论。

新知探究 1.探究1：如图：Rt △ABC 与Rt △ADC ’，∠C=∠B ＇C ＇A =90°，∠A=α，那么CA BC 与AC C '''B 有什么关系?结论：在直角三角形中，当锐角A 的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A 的对边与邻边的比是一个固定值. 探究2：教学设计意图：通过具体实例引入本节课研究内容，初步引入直角三角形中锐角与其对边、邻边间的关系问题。

引导学生由特殊角的计算猜测直角三角形中一般锐角与其对边、邻边间关系。

利用已学知识解决现有问题。

在直角三角形中，当锐角A 的度数大小变化时，它的对边邻边的长度比值变化吗？ 结论：在直角三角形中，锐角∠A 的对边与邻边的比值会随着锐角A 的度数变化而发生改变。

25．1锐角三角比的意义（1）教材分析：本章我们主要从定量方面研究直角三角形，直角三角形中的边角间的数量关系主要通过三角形内角和定理、勾股定理和锐角的三角比来表述。

因此锐角的三角比是本章后续学习解直角三角形的重要基础，同时锐角的三角比的概念是三角函数概念的准备。

经过第24章《相似三角形》的学习，本节课可以通过探究使学生知道当直角三角形的锐角确定时，它的对边与邻边的比值都不变，从而明确锐角的正切和余切的定义，经历锐角的三角比的概念的形成过程。

教学目标设计1、通过探究知道当直角三角形的锐角确定时，它的对边与邻边的比值都不变；2、掌握锐角的正切和余切的定义，并能正确的描述和表示；3、能根据正切、余切概念正确进行计算。

教学重点及难点理解认识正切和余切概念，引导学生比较、分析并得出：对任意锐角，它的对边与邻边的比值是不变的。

教学过程设计一、复习引入1、直角三角形中的边与边、角与角的关系？2、学习单预习部分交流。

二、探究新知1、探究：（1）当∠A取确定度数的锐角时，它的对边与邻边的比是否也是一个定值？（2）当锐角∠A的度数发生变化时，它的对边与邻边的比值是否也发生变化？2、概念形成如图，在Rt△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别记为a、b、c.在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA.在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作cotA.3、巩固新知例题1、在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=2，求、、和的值.练习：学习单课堂练习部分ABCABC4、概念引申根据定义，在同一个直角三角形中，∠A 的正切和余切有怎样的数量关系？如果∠B 是∠A 的余角，那么它们的正切、余切值之间有怎样的数量关系？三、拓展提高练习：学习单拓展练习部分（第4、5题机动） 四、课堂小结（1）锐角A 的正切和余切的定义； （2）求锐角A 的正切和余切的方法； 五、作业布置练习册：P34 习题25.1（1）附：25．1锐角三角比的意义（1）学习单25．1锐角三角比的意义（1）学习单一、课前预习1．在Rt △ABC 中，∠C=90°，用式子表示直角三角形中的边与边、角与角的关系：ABC2．在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=45° （1）若BC=2，则AC= ，；（2）若AC=，则BC= ， ；3．在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30° （1）若BC=2，则AC= ，；（2）若AC=，则BC= ， ；4．由第2、第3题你有什么发现？二、课堂练习1．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=7，BC=5，则，2．如图，在Rt △PQR 中，∠R=90°，PQ=13，PR=12，则，ABC75RP 12 13三、拓展练习1．若为锐角，且，则=2．在Rt △ABC 中，∠C =90°，若各边长都增加一倍，则锐角B 的正切值………（ ） （A ）都增加一倍 （B ） 都减少一半 （C ）没有变化 （D ） 不能确定3．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=8，BC=6，点D 在AC 上，AD=5，过点D 作DE ⊥AB ，求的值．4．已知，在Rt △ABC 中，∠C=90°，如果，AC=6，那么BC= 5．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB ，下列各式正确的是……（ ）（A ）（B ）ABCD EACBD（C）（D）四、课外练习如图，在中，∠C=90°，点D在BC上，DA=DB，，求的值．ABCD。

25.1锐角三角比的意义（第1课时）教学目标：1、掌握锐角的正切和余切的概念及相互关系。

2、初步应用锐角的正切和余切概念求出锐角的正切和余切的值。

3、学生在探究锐角正切和余切的概念屮，经历“实验一观察一猜想一论证”的白我体验过程，从而感受数学发现、创造的历稈。

4、通过积极参与数学学习和解决问题的活动，发展主体意识、评价意识，初步养成积极探究的态度、独立思考的习惯和团队合作精神。

教学重点和难点：教学重点：锐角的正切和余切的意义。

教学难点：锐角的正切和余切表示法的理解和正确运用。

教学过程：一、复习提问1.脑筋急转弯：世界上有什么东西永远也放大不了也缩小不了呢?2.这道题蕴含了我们前一阶段所学的什么数学知识？师：在放缩变换屮，除了角是不变的量以外，还有没有其他不变的量呢?3.已知，（如图）在RtAABC ZC二90° , ZA二25° , ZB= _________ °为什么？4.已知，（如图）在RtAABC 屮，ZC二90° , BC二3, AC二4, AB= __为什么？师：我们可以看到在直角三角形屮，角与角Z间、边与边之间都存在着相互的联系，那么直角三角形的边与角Z间是占也存在着某种关系呢?5. 已知,（如图）在RtAABC ZC=90° , BC=1, AC』，ZA二6.已知，（如图）在RtAABC 屮，ZC=90° , BC=1, AB=V2 , ZA二___________师：通过以上两小题的解答，你能得出什么结论吗？7.已知，（如图）在RtAABC 屮，ZC二90° , BC=3, AC二4, ZA二 _____ ° ?师：虽然这个问题我们暂时解决不了，但是，只要我们把頁•角三角形屮的锐角与边Z间的关系学好了，这个问题就可以迎刃而解了。

设计童图：木环节是为了了解学生的认知基础，带领学生做好学习新课的知识准备。