中考一模备考---锐角三角比

锐角的三角比》全章复习与巩固(提高)知识讲解学习目标】1. 了解锐角三角函数的概念，能够正确应用 sinA 、cos A 、 tanA 、 cotA 表示直角三角形中两边的比；记忆 30°、 45°、 60°的正弦、余弦、正切和余切的函数值，并会由一个特殊角的三角函数值说出这个 角的度数 .2．能够正确地使用计算器，由已知锐角求出它的三角函数值，由已知三角函数值求出相应的锐角； 3．理解直角三角形中边与边的关系，角与角的关系和边与角的关系，会运用勾股定理、直角三角形的两 个锐角互余、以及锐角三角函数解直角三角形，并会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题4．通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，通过解直角三角形的学习，体会数学在解决实际问题中的作用，并结合实际问题对微积分的思想有所感受 . 知识网络】【要点梳理】 要点一、锐角三角函数1.正弦、余弦、正切、余切的定义要点诠释：(1) 正弦、余弦、正切、余切是在一个直角三角形中定义的，其本质是两条线段的比值，它只是一个 数值，其大小只与锐角的大小有关，而与所在直角三角形的大小无关 .(2) sinA 、 cosA 、 tanA 、cotA 是一个整体符号，即表示∠ A 四个三角函数值，书写时习惯上省略符号“∠”，但不能写成 sin ·A ，对于用三个大写字母表示一个角时，其三角函数中符号“∠”不能省略，应 写成sin ∠BAC ，而不能写出 sinBAC.如右图，在 Rt △ ABC 中，∠ C=900，如果锐角 A 确定 ∠ A 的对边与斜边的比值是∠ A 的正弦，记作 sinA ＝ ∠ A 的邻边与斜边的比值是∠ A 的余弦，记作 cosA ＝ ∠ A 的对边与邻边的比值是∠A 的正切，记作 tanA ＝ ∠ A 的邻边与对边的比值是∠A 的余切，记作 cotA ＝ ∠A 的对边 (1) (2)(3) (4) 斜边 ∠A的邻边 斜边 ∠A 的对边 ∠A 的邻边 ∠A 的邻(3) sin 2A 表示 (sinA) 2，而不能写成 sinA 2.(4) 三角函数有时还可以表示成 等 . 2. 锐角三角函数的定义锐角 A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠ A 的锐角三角函数 . 要点诠释：1. 函数值的取值范围对于锐角 A 的每一个确定的值， sinA 有唯一确定的值与它对应，所以 sinA 是∠ A 的函数 .同样， cosA 、tanA 、 cotA 也是∠ A 的函数，其中∠ A 是自变量， sinA 、 cosA 、 tanA 、 cotA 分别是对应的函数 . 其中自变 量∠ A 的取值范围是 0°<∠ A <90°，函数值的取值范围是 0<sinA <1，0<cosA <1，tanA >0， cotA>0.2．锐角三角函数之间的关系： 余角三角函数关系：“正余互化公式”那么： sinA=cosB ； cosA=sinB ；tanA=cotB, cotA=tanB.30°、 45°、 60°角的三角函数值和解 30°、 60°直角三角形和解 45°直角三角形为本章重中之重， 是几何计算题的基本工具，三边的比借助锐角三角函数值记熟练 .要点二、解直角三角形 在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形． 解直角三角形的依据是直角三角形中各元素之间的一些相等关系，如图：角角关系：两锐角互余，即∠ A+∠ B=90°；如∠ A+∠ B=90°，同角三角函数关系： sin 2A ＋ cos 2A=1；sin A tanA= ,cot AcosAcosA,tanA sinA1 cot A∠A30°45°60°sinAcosAtanA1cotA1边边关系：勾股定理，即；边角关系：锐角三角函数，即a sinA ,cosA b,tanAa,cot Abc c b ab sinB ,cosB a,tanB b,cot B ac c a b要点诠释：解直角三角形，可能出现的情况归纳起来只有下列两种情形：(1) 已知两条边( 一直角边和一斜边；两直角边) ；(2) 已知一条边和一个锐角( 一直角边和一锐角；斜边和一锐角) ．这两种情形的共同之处：有一条边．因此，直角三角形可解的条件是：至少已知一条边．要点三、解直角三角形的应用解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键.1. 解这类问题的一般过程(1) 弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型.(2) 将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题.(3) 根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形(4) 得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解.2. 常见的应用问题(1) 坡度：；坡角: .(3) 仰角与俯角：要点诠释：12把实际问题抽象成数学问题（解直角三角形），就是要舍去实际事物的具体内容，把事物及它们的联系转化为图形（点、线、角等）以及图形之间的大小或位置关系．借助生活常识以及课本中一些概念（如俯角、仰角、倾斜角、坡度、坡角等）的意义，也有助于把实际问题抽象为数学问题．当需要求解的三角形不是直角三角形时，应恰当地作高，化斜三角形为直角三角形再求解．3．锐角三角函数的应用 用相似三角形边的比的计算具有一般性，适用于所有形状的三角形，而三角函数的计算是在直角三角 形中解决问题，所以在直角三角形中先考虑三角函数，可以使过程简洁。

初三数学专题复习（锐角三角比）一、解题指导初中数学中，与锐角三角比有关的综合题主要涉及以下几个方面：1、锐角三角比知识范围内的综合应用；2、锐角三角比知识和解直角三角形知识在生产、生活实际中的应用；3、锐角三角比知识与代数知识的综合应用；4、锐角三角比知识与几何知识的综合应用。

在解这类综合题时，我们可采取以下解题策略：1、要熟练应用直角三角形的一切性质，特别要善于运用勾股定理；2、要熟练应用直角三角形中边角关系，要善于利用特殊角的三角比，可设一条边长用x表示，将其它线段用x的代数式来表示；3、要熟练应用相似形的性质、三角形面积的计算等；4、遇到不规格图表，将其补成直角三角形，尤其要注意仅可能保留特殊角。

二、例题精选：例1、 如图，在高于游泳池水面1米的池边椅子A 上观测，测得跳板边缘B 得仰角为150，测得跳板边缘B 在水中倒影B ˊ的俯角为200。

求跳板离水面DE的高度BE ，（备用数据：tg750≈3.732，tg700≈2.747，答案精确到0.01米）。

BA CD EB ˊ例2、 如图，山脚下有一棵树AB ，小强从点B 沿山坡向上走50米到达点D ，用高为1.5米的测角仪CD 测的数顶的仰角为100，已知山坡的的坡角为150。

求树AB 的高（精确到0.1米，已知道Sin100≈0.17，Cos100≈0.98，tg100≈0.18，Sin150≈0.26，Cos150≈0.97，tg150≈0.27）例3、 如图，在梯形ABCD 中，AD//BC ，DC ⊥BC ，AD ∶BC=2∶5，E 是CD 上的一点，如果沿折痕BE 将ΔBCE 翻折，点C 恰好与点A 重合，求∠ABE的正切值。

A DEB C例4 、如图， ΔABC 中，∠C=900，AB 上的中线长是1，ΔABC 的周长是3+ ，求（1）ΔABC 的中内切圆的半径的值，（2） 的值。

例5、已知Rt ΔABC 中，∠C ＝900（1）若AB=C, ∠A=θ，用C 和θ表示BC 、AC （2）若AB=5,Sin= ,P 是AB 边上一动点（不与点A 、B 重合），过点P 分别作PM 152000322B tg A tg ..54⊥AC 于点M ，PN ⊥BC 于点N ，设S ΔAMP =S 1，S ΔPNB =S 2，S 四边形ΔCMPN =S 3,AP=x分别求出1S 、2S 、3S 关于x 的函数解析式 （3）试比较1S ＋2S 与3S 的大小，并说明理由。

17．如果从灯塔A 处观察到船B 在它的北偏东35°方向上，那么从船B 观察灯塔A 的方向是 ▲ ．23．（本题满分12分，其中第（1）小题5分，第（2）小题7分）已知：如图，斜坡AP 的坡度为1∶2.4，坡长AP 为26米，在坡顶A 处的同一水平面上有一座古塔BC ，在斜坡底P 处测得该塔的塔顶B 的仰角为45°，在坡顶A 处测得该塔的塔顶B 的仰角为76°．求：（1）坡顶A 到地面PQ 的距离；（2）古塔BC 的高度（结果精确到1米）．（参考数据：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01）24．据新华社12月13日电，参加湄公河联合巡逻执法的中国巡逻船顺利返航．已知在巡逻过程中，某一天上午，我巡逻船正在由西向东匀速行驶，10:00巡逻船在A 处发现北偏东53.1°方向，相距10海里的C 处有一个不明物体正在向正东方向移动，10:15巡逻船在B 处又测得该物体位于北偏东18.4°方向的D 处．若巡逻船的速度是每小时36海里， (1) 试在图8中画出点D 的大致位置，并求不明物体移动的速度；(2) 假设该不明物体移动的方向和速度保持不变，巡逻船航行的方向和速度也不变， 试问什么时间该物体与我巡逻船之间的距离最近？【 备用数据：8.01.53sin =︒， 6.01.53cos =︒， 75.01.53cot =︒；32.04.18sin =︒， 95.04.18cos =︒， 34.18cot =︒；】2011学年第一学期期末考试九年级数学试卷（共4页，第3页）A PBCQ（第23题图）北东ACB(图8)21．（本题满分10分）如图9，为了测量某建筑物AB 的高度，小亮在教学楼DE 的三楼找到一个观测点C ，利用三角板测得建筑物AB 顶端A 点的仰角为30°，底部B 点的俯角为45°.若CD 9=米，求建筑物AB 的高度．（结果精确到0.1米，参考数据73.13=）．14．如图，当小明沿坡度3:1=i 的坡面由A 到B 行走了100米，那么小明行走的水平距离=AC 米． （结果可以用根号表示）小明在电视塔上高度为450米的A 处，测得大楼CD 楼顶D 的俯角为032。

一、锐角的三角比（一）知识梳理 （二）例题 例1．填空 （1）在Rt ΔABC 中，∠C ＝900，若AC=3,BC=4，则sinA ＝ ， cosA= ，tanA ＝ ，cotA=（2）已知Rt △ABC 中，∠A=900，AC ：BC=3：2，则tanB=（3）已知Rt △ABC 中，∠C=900，sinA=31，则cosA=（4）已知Rt △ABC 中， AC=1，AB=3，则sinB=（5）已知△ABC 的三边长分别为7、24、25，那么这个三角形最小角的余切值为（6）在直角坐标系中，点P 的坐标是（2，3）则OP 与 x 轴的正半轴所成角的余弦值是（7）求值：tan270·cot270=（8）若cosA=0．4321，则sin （900－A ）=（9）等腰三角形的一边长为5，另一边长为9，则底角的正弦值为 （10）等腰三角形的腰长为5，一条中线长为3，则底角的正弦值为（10）∠A 、∠B 分别为△ABC 的两个锐角，且∣tanA －3∣+（2sinB －1）2=0，则∠C= 度（11） △ABC 中，∠C=90°，∠ABC=30°，D 是AC 中点，则cot ∠DBC= （10）等腰三角形底边上的高为4，腰上的高为2，则底角的正切值为例2．已知Rt △ABC 中，∠ACB=900，CD ⊥AB ，D 为垂足，AC=4，BC=3，求∠ACD 的四个三角比的值。

例3．正方形ABCD 的边长为1，将线段BD 绕着点B 旋转后，点D 落在BC延长线上的点D 1处，求ta n ∠BAD 1的值例4．求值：020002045cos 60sin 45tan 30cos )160(sin --+- （三）作业 1．必做题（1）Rt △ABC 中，∠C=900，AB=6，AC=4，则co sA= （2）在△ABC 中，∠A ：∠B ：∠C=1：2：3，则sinB=（3）已知α是锐角，419sin =α，则=αcot （4）求值：000045tan 30cot 160cos 60sin +-- （5）如图，点E 是矩形A BCD 的边AD 上一点，且BE=AD ，AB=6，BC=10，求co s ∠EBC 的值（6）如图，在△ABC 中，∠ACB=900，∠BAC=300，AB=AD ，求tanD 的值2．选做题A B D C E B C DABP如图，点P 是线段AB 的黄金分割点（AP ＞PB ）（1）过点P 作AB 的垂线PE ，P 是垂足，再以B 为圆心，AP 长为半径作弧，与PE 交于点C ，连结AC （2）求BAC ∠的正弦值二、解直角三角形（一）知识梳理 （二）例题选讲例1．填空（1）在Rt △ABC 中，∠C=900，若a=1，b=2，则c= （2）在Rt △ABC 中，∠C=900，若c=22，a=2，则∠A= （3）在Rt △ABC 中，∠C=900，若a=3，b=33，则∠B= （4）在Rt △ABC 中，∠C=900，若∠A=300，b=5，则a= （5）在Rt △ABC 中，∠C=900，若a=n ，∠B=β，则b=（6）在Rt △ABC 中，∠A=900，若125sin =B ，b=5，则c=例2．如图，在Rt △ABC 中，∠C=900，CD 是斜边上的高，已知CD=2，BD=32，解直角三角形ABC例3．如图，在△ABC 中，CD 是AB 上的中线，CD ⊥BC ，∠ACB=135°， 求∠CDB 的正弦值。

上海市2024届初三一模数学分类汇编—填选题（锐角的三角比）【2024届·宝山区·初三一模·第3题】（本题满分4分）1.许多大型商场购物中心为了引导人流前往目标楼层，会考虑使用“飞梯”（可以跨楼层抵达的超高超长的自动扶梯）．上海大悦城的“飞梯”从3层直达7层，“飞梯”的截面如图1，AB 的长为50米，AB 与AC 的夹角为24 ，则高BC 是（）.A 50sin24 米；.B 50cos 24 米；.C 50sin 24米；.D 50cos 24米．2.3.如果坡比1:3i ，那么这个斜坡的长度AB【2024届·宝山区·初三一模·第14题】（本题满分4分）4.在ABC 中，如果BC AB ，3AC ，那么cos A．图4（本题满分4分）5.在直角坐标平面内有一点 5,12A ，点A 与原点O 的连线与x 轴正半轴的夹角为 ，那么tan 的值为（）.A 513；.B 1213；.C 512；.D 125．【2024 6.在Rt 【20247.处，它沿正北方向航行到达位于灯【2024届·奉贤区·初三一模·第3题】（本题满分4分）8.在Rt ABC 中，90C ，5AC ，A ，那么BC 的长是（）.A 5tan ；.B 5cot ；.C 5sin ；.D 5cos ．第15题图（本题满分4分）9.某人顺着坡度为的斜坡滑雪，下滑了120米，那么高度下降了米．【2024届·奉贤区·初三一模·第15题】（本题满分4分）10.如图5，已知ABC 在边长为1个单位的方格纸中，三角形的顶点在小正方形顶点位置，那么ABC的正11.在 12.如图6度AC 为2.6米，遮阳篷与房屋墙壁的夹角 的余弦值为13．当太阳光与地面的夹角为60 时，遮阳篷在地面上的阴影宽度BD 为米．图6图1图2第6题图（本题满分4分）13.如图1，在Rt ABC 中，已知90C ，3cos 4A，3AC ，那么BC 的长为（）.A ；.B ；.C 4；.D 5．【2024届·虹口区·初三一模·第4题】（本题满分4分）14.如图2，一条细绳系着一个小球在平面内摆动．已知细绳从悬挂点O 到球心的长度为50厘米，小球在左、右两个最高位置时，细绳相应所成的角AOB 为40 ，那么小球在最高位置和最低位置时的高度差为（）.A 5050sin 40 厘米；.B 5050cos 40 厘米；.C 5050sin 20 厘米；.D 5050cos 20 厘米．【2024届·黄浦区·初三一模·第6题】（本题满分4分）15.如图，过矩形ABCD 的顶点分别作对角线的垂线，垂足分别为E 、F 、G 、H ，依次联结四个垂足，可得到矩形EFGH ．设对角线AC 与BD 的夹角为 （090 ），那么矩形EFGH 与矩形ABCD 面积的比值为（）.A 2sin ；.B 2cos ；.C 2tan ；.D 2cot ．（本题满分4分）16.已知点 1,4A 、 2,0B ，那么直线AB 与x 轴夹角的正弦值是．【2024届·黄浦区·初三一模·第13题】（本题满分4分）17.【202418.已知在.A sin 35．【202419.一架飞机在离地面6000米的上空测得某一建筑物底部的俯角为30 ，此时这架飞机与这一建筑物底部之间的距离是（）.A 6000米；.B 12000米；.C 米；.D图4（本题满分4分）20.如图3，在ABC 中，90ACB ，DA AB ，联结BD ，AC，1BC ，2AD ，那么cos D ．21.在船的正南方向，那么小岛B 与C 处的距离BC22.轴正半轴的夹角为 ，那么下列各式正确的是【2024届·金山区·初三一模·第13题】（本题满分4分）23.如果 是直角三角形的一个锐角，4sin 5，那么tan ．第14题图（本题满分4分）24.如图，在山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）是4米，斜坡的坡度1:2i ，那么相邻两树间的坡面距离为米．【2024届·金山区·初三一模·第16题】25.45 方海里．【202426..A sin 【2024届·静安区·初三一模·第14题】（本题满分4分）27.如图，小红沿坡度1:2.4i 的坡面由A 到B 行走了26米，那么小红行走的水平距离AC米．第15题图第16题图（本题满分4分）28.在Rt ABC 中，90C ，3AB ，2AC ，那么cos A 的值是（）.A 13；.B 23；.C 3；.D 2．【202429.在Rt 【202430.【202431.“二鸟饮泉”问题中记载：“两塔高分别为30步和20步．两塔之间有喷泉，两鸟从两塔顶同时出发，以相同速度沿直线飞往喷泉中心，同时抵达．喷泉与两塔在同一平面内，求两塔之间的距离．”如图，已知AC AB ，BD AB ，M 是AB 上一点，CM DM ，在C 处测得点M 的俯角为60 ，30AC ，20BD ，那么AB．（本题满分4分）32.已知在Rt ABC 中，90C ，3AC ，4BC ，那么下列等式正确的是（）.A 3sin 5A；.B 3cos 4A；.C 3tan 5A；.D 3cot 4A．【202433.已知在【202434.【2024（本题满分4分）35.在Rt ABC 中，已知90ACB ，1tan 3B，3BC ，那么AC 的长等于（）.A 1；.B 9；.C .D ．第13题图（本题满分4分）36.如图2，ABC 和DCB 都是直角三角形，90BAC BCD ，AB AC ，AC 、BD 相交于点O ，如果30DBC ，那么:OC AC 的值是（）.A 3；.B 2；.C 12；.D 31 ．【202437.如图6、CD的值等于．【202438.在Rt .A 512【2024届·青浦区·初三一模·第13题】（本题满分4分）39.如图，某人沿着斜坡AB 方向往上前进了30米，他的垂直高度上升了15米，那么斜坡AB 的坡比i．（本题满分4分）40.如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A 、B 、C 、D 都在这些小正方形的顶点上，AB 、CD相交于点O ，那么sin BOD 的值为．【2024届·松江区·初三一模·第2题】41.在.A .cos a ．42.【2024届·松江区·初三一模·第17题】（本题满分4分）43.在ABC 中，AB AC ，点D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，BE 与CD 相交于点O ，如果OBC 是等边三角形，那么tan ABC ．第16题图第13题图（本题满分4分）44.如图，在直角坐标系xOy 中，已知点 4,3A ，直线OA 与x 轴正半轴的夹角为 ，那么sin 的值是（）.A 35；.B 34；.C 45；.D 43．45.A 与.A 46.【2024届·徐汇区·初三一模·第13题】（本题满分4分）47.如图，一段东西向的限速公路MN 长500米，在此公路的南面有一监测点P ，从监测点P 观察，限速公路MN 的端点M 在监测点P 的北偏西60 方向，端点N 在监测点P 的东北方向，那么监测点P 到限速公路MN 的距离是米（结果保留根号）．第15题图第5题图（本题满分4分）48.如图，在ABC 中，AD 和BE 是ABC 的高，且交于点F ，已知13AB ，15BC ，14AC ，那么AFE 的正切值是．【202449..A 【202450.测得教（）.A 1.4 ．【2024届·杨浦区·初三一模·第12题】（本题满分4分）51.在Rt ABC 中，90ABC ，BD AC ，垂足为点D ，如果5AB ，2BD ，那么cos C ．第16题图（本题满分4分）52.小华沿着坡度1:3i的斜坡向上行走了米，那么他距离地面的垂直高度上升了米．【2024届·长宁区·初三一模·第1题】（本题满分4分）53.在Rt ABC 中，90C ，如果A ，BC a ，那么AC 等于（）.Aa 【202454.计算：【202455.【2024届·长宁区·初三一模·第16题】（本题满分4分）56.如图，在ABC 中，90BAC ，点G 是ABC 的重心，联结GA 、GC ，如果3AC ，53AG ，那么GCA 的余切值为．。

初三月考卷（相似三角形及锐角三角比）一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．把a d b c =写成比例式（其中,,,a b c d 均不为0），下列选项中错误．．的是……………………………………………………………………（ ） A ．a cb d =； B ．b d ac =； C ．c a bd =； D ．a bc d=． 2．如果一个三角形保持形状不变，但周长扩大为原来的4倍，那么这个三角形的边长扩大为原来的…………………………………………（ ） A ．2倍； B ．4倍； C ．8倍； D ．16倍．3．下列命题中正确的是……………………………………………… （ ） A ．所有的菱形都相似； B ．所有的矩形都相似； C ．所有的等腰三角形都相似； D ．所有的等边三角形都相似．4．在Rt△ABC 中，∠B =90º，若AC =a ，∠A =θ，则AB 的长为…………（ ） A ．sin a θ； B ．cos a θ； C ．tan a θ； D ．cot a θ．5．点C 在线段AB 上，如果AB =3AC ， AB a =，那么BC 等于…………（ ） A ．13a ； B ．23a ； C ．13a -； D ．23a -． 6．已知△ABC 的三边长分别为6 cm ，7.5 cm ，9 cm ，△DEF 的一边长为5cm ，若这两个三角形相似，则△DEF 的另两边长可能是下列各组中的…（ ） A ．2 cm ，3 cm ；B ．4 cm ，6 cm ；C ．6 cm ，7 cm ；D ．7 cm ，9 cm ．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．若35a c b d ==（其中0b d +≠），则a cb d+=+__________． 8．若线段AB 长为2cm ，P 是AB 的黄金分割点，则较长线段PA = cm ． 9．如图，点G 为△ABC 重心，若AG =1，则AD 的长度为_________． 10．求值:cot30ºsin60-º=_________． 11．在Rt△ABC 中，∠C =90º，若1tan 3A =，则cot A 的值为_________．12．如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 边上，DE ∥BC ，若13AD BD =，DE ＝2，则BC 的长为_______．13．如图，1l ∥2l ∥3l ，AB =2，AC =5，DF =7.5，则DE =_________．14．如图，在平行四边形ABCD 中，点E 、F 是边CD 、BC 边的中点，若AD a =，AB b =，则EF =___________．（结果用a 、b 表示）15．如图，已知AB ∥CD ，AD 与BC 交于点O ，若AD ∶BC = 5∶4，BO =1，DO =2.5，则AD =___________．16．如图，在△ABC 的边BC 上，若DAC B ∠=∠，且BD =5，AC = 6，则CD 的长为___________．17．在△ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 边上，若2AD =，4BD =，4AC =，且△ADE 与ABC 相似，则AE 的长为___________．(第13题图)B(第9题图)B(第12题图)A(第14题图)A C(第18题图)BDB ’A ’(第16题图)CC(第15题图)18．在答题纸的方格图中画出与矩形ABCD 相似的图形''''A B C D （其中AB 的对应边''A B 已在图中给出）．三、简答题（本大题共4题，每题10分，满分40分）19．已知两个不平行的向量, a b ，求作向量： 32()()2a b a b ---．20．如图，已知点D 、F 在△ABC 的边AB 上，点E 在边AC 上， 且DE ∥BC ，AF AD ADAB=．求证：EF ∥DC ．21．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90º，AC = 3，1tan 2B =． (1) 求BC 的长； (2) 求cos A 的值．CAB(第21题图)B(第20题图)ab(第19题图)22．如图，竖立在点B 处的标杆AB 长2.1米，某测量工作人员站在D 点处，此时人眼睛C 与标杆顶端A 、树顶端E 在同一直线上(点D 、B 、F 也在同一直线上，已知此人眼睛与地面的距离CD 长1.6米，且BD = 1米，BF = 5米，求所测量树的高度．四、解答题（本大题共2题，每题12分，满分24分）23．如图，BE 、CF 分别是△ABC 的边AC 、AB 上的高，BE 与CF 相交于点D ． (1) 求证：△ABE ∽△ACF ； (2) 求证：△ABC ∽△AEF ；(3) 若4ABC AEFSS=，求cos BAC ∠的值．24．如图所示，在△ABC 中，已知6BC =，BC 边上中线5AD =。

上海市2024届初三一模数学分类汇编—解答题（相似三角形、锐角三角比）【2024届·宝山区·初三一模·第19题】1.（本题满分10分，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分5分）如图6，在ABC中，90C ，4sin 5B ，10AB ，点D 是AB 边上一点，且BC BD ．（1）求BD 的长；（2）求ACD 的余切值．【20242.如图113a ，在射线ON （1）（2）图11①图11②图11③图73.（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）如图7，在平行四边形ABCD 中，点H 是边AB 上一点，且2BH AH ，直线DH 与AC 相交于点G ．（1）求AGAC的值；（2）如果DH AB ，1cos 3BCD，9AD ，求四边形ABCD 的面积．【2024届·静安区·初三一模·第21题】4.（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）如图，已知AC 是矩形ABCD 的对角线，//DE AC ，DE 交BC 延长线于E ，AE 交DC 于F ，BF 交AC 于G ．（1）求证：点G 是ABE 的重心；（2）如果2BG BC ，求AEB 的正弦值．第21题图5.（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）如图，已知在四边形ABCD 中，//AD BC ，90ABC ，对角线AC 、BD 相交于点O ，2AD ，3AB ，4BC ．（1）求BOC 的面积；（2）求ACD 的正弦值．【20246.E 在边AC 上，且EC （1）（2）第22题图1第22题图37.（本题满分10分）上海教育出版社九年级第一学期《练习部分》第48页复习题B 组第2题及参考答案．的代数式表示，以下同），2BD t ；某数学兴趣小组在完成了以上解答后，决定对该问题进一步探究：如图1然后延长（1）（2）的代数式表示，以下同），BD；（3）如图2然后延长【拓展应用】如图3，在Rt ABC 中，90C ，18AC ，25BC ，点D 、E 分别在边AC 、BC 上，且5DC ，12EC ，联结AE 、BD 交于点P ．求证：tan 1BPE ．第21题图8.（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）如图，在ABC 中，点D 、E 、F 分别在边AB 、AC 、BC 上，联结DE 、EF ．已知//ED BC ，//EF AB ，3AD ，9DB ．（1）求BFFC的值；（2）若ABC 的面积为16，求四边形BFED 的面积．【20249.（1）（2）10.（本题满分10分，第（1）小题4分，第（2）小题6分）如图，已知ABC 中，点D 、E 、F 分别在边AB 、AC 、BC 上，//DE BC ，15AB ，23AE EC ．（1）求AD 的长；（2）如果4BF ，6CF ，求四边形BDEF 的周长．【202411.AC 于点F ，交BC （1）（2）第21题图12.（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）如图，在四边形ABCD 中，90BAD ，AC BC ，DE AC ，垂足为点E ，4AC ，3DE ．（1）求:AD AB 的值；（2）联结BD 交AC 于点F ，如果1tan 2BAC，求CF 的长．第21题图。

第03讲锐角三角比（3种题型）1锐角的三角比定义：一个锐角的正切、余切、正弦、余弦统称为这个锐角的三角比. 正切：把直角三角形中一个锐角的对边与邻边的比叫这个锐角的正切.BPtanA=余切：把直角三角形中一个锐角的邻边与对边的比叫这个锐角的余切.即COtA=Y?鬻;N 加勺对边正弦：把直角三角形中一个锐角的对边与斜边的比叫这个锐角的正弦.即SinA=斜边2.性质①当锐角增大时，这个锐角的正切与正弦值都增大，这个锐角的余切与余弦值都减小; ②若ZA+ZB=90°,贝IJtan A=cotB;sin A=cos B ；③tanA∙cotA=1.3.特殊角的三角比4.锐角的三角比一.锐角三角函数的定义（共6小题）1. （2023春•浦东新区校级期中）在RtZkABC 中，ZC=90o ,AB=5,AC=4.下列四个选项，正确的是（）A.tanB=-B.cotB=AC.sinB=AD.cosB=A4355余弦：把直角三角形中一个锐角的邻边与斜边的比叫这个锐角的余弦.即COSA=乙船勺邻边NAfi 勺对边 '已知锐角，求三角比；已知锐角的三角比，求锐角.2. （2023秋•浦东新区校级期末）已知在Rt4A5C 中，NC=90°,AB=5,AC=4,那么下列式子中正确 的是（ ） λ.λ4A.SinA=-5B.cosA=-⅛-5C.tanA=A D. 5CotA=A53.（2023秋•崇明区期末）在RtZkABC 中， ZC=90o , AB=2,AC=I,那么CosB 的值是（A.√ΣB.近c.1D. 22224. （2023秋•青浦区期末）在4A5C 中，ZC=90o ,如果tan∕A=2,AC=3,那么5C=5. （2023秋•宝山区期末）在RtZkABC 中，ZC=90o ,如果空那么SinA 的值是.BC46. （2023秋•浦东新区期末）如果在平面直角坐标系Xoy 中，点尸的坐标为（3,4）,射线。

2023年上海市15区中考数学一模汇编专题05锐角三角比相关概念（46题）一．选择题（共17小题）1．（2022秋•徐汇区校级期末）如图，下列角中为俯角的是（）A．∠1B．∠2C．∠3D．∠42．（2022秋•浦东新区校级期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝1，AB＝2，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．3．（2022秋•徐汇区校级期末）Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，AB＝10，则AC的长为（）A．6B．8C．10D．124．（2022秋•闵行区期末）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝β，CD⊥AB，垂足为点D，那么下列线段的比值不一定等于sinβ的是（）A．B．C．D．5．（2022秋•黄浦区期末）在直角坐标平面内，如果点P（4，1），点P与原点O的连线与x轴正半轴的夹角是α，那么cotα的值是（）A．4B．C．D．6．（2022秋•徐汇区期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果∠A＝40°，AC＝b，那么BC等于（）A．b sin40°B．b cos40°C．b tan40°D．b cot40°7．（2022秋•黄浦区校级期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝α，BC＝2，那么AC的长为（）A．2sinαB．2cosαC．2tanαD．2cotα8．（2022秋•黄浦区校级期末）已知海面上一艘货轮A在灯塔B的北偏东30°方向，海监船C在灯塔B的正东方向5海里处，此时海监船C发现货轮A在它的正北方向，那么海监船C与货轮A的距离是（）A．10海里B．5海里C．5海里D．海里9．（2022秋•杨浦区校级期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，∠A＝α，那么BC的长是（）A．3sinαB．3cosαC．3cotαD．3tanα10．（2022秋•青浦区校级期末）在△ABC中，∠C＝90°，如果AC＝8，BC＝6，那么∠A的正弦值为（）A．B．C．D．11．（2022秋•金山区校级期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AB＝3，下列各式中，正确的是（）A．sin A＝B．cos A＝C．tan A＝D．cot A＝12．（2022秋•徐汇区期末）如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东50°方向，距离灯塔2海里的点A处．若海轮沿正南方向航行到灯塔的正东位置B处，则海轮航行的距离AB的长是（）A．2sin50°海里B．2cos50°海里C．2tan40°海里D．2tan50°海里13．（2022秋•青浦区校级期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，AB＝3，则下列结论正确的是（）A．sin B＝B．cos B＝C．tan B＝D．cot B＝14．（2022秋•嘉定区校级期末）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，那么AB的长为（）A．5sin A B．5cos A C．D．15．（2022秋•浦东新区期末）在Rt△ABC中，∠B＝90°，如果∠A＝α，BC＝a，那么AC的长是（）A．a•tanαB．a•cotαC．D．16．（2022秋•浦东新区期末）小杰在一个高为h的建筑物顶端，测得一根高出此建筑物的旗杆顶端的仰角为30°，旗杆与地面接触点的俯角为60°，那么该旗杆的高度是（）A．B．C．D．17．（2022秋•杨浦区期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果AC＝8，BC＝6，那么∠B的余切值为（）A．B．C．D．二．填空题（共29小题）18．（2022秋•黄浦区期末）如图，某幢楼的楼梯每一级台阶的高度为20厘米，宽度为30厘米，那么斜面AB的坡度为．19．（2022秋•杨浦区期末）小杰沿坡比为1：2.4的山坡向上走了130米．那么他沿着垂直方向升高了米．20．（2022秋•黄浦区校级期末）一辆汽车沿着坡度i＝1：的斜坡向下行驶50米，那么它距离地面的垂直高度下降了米．21．（2022秋•徐汇区校级期末）某人在斜坡走了10m，垂直高度上升8m，则坡比i＝．22．（2022秋•浦东新区校级期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果AC＝4，sin B＝，那么AB＝．23．（2022秋•浦东新区期末）已知一条斜坡的长度为10米，高为6米，那么坡角的度数约为（备用数据：tan31°＝cot59°≈0.6，sin37°＝cos53°≈0.6）24．（2022秋•金山区校级期末）平面直角坐标系内有一点P（1，2），那么OP与x轴正半轴的夹角为α，tanα＝．25．（2022秋•闵行区期末）如果一个斜坡面的坡角为30°，那么它的坡度i＝．26．（2022秋•闵行区期末）如图，一艘船从A处向北偏西30°的方向行驶5海里到B处，再从B处向正东方向行驶8海里到C处，此时这艘船与出发点A处相距海里．27．（2022秋•徐汇区期末）如图，长4m的楼梯AB的倾斜角∠ABD为60°，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD为45°，则调整后楼梯AC长为米．28．（2022秋•青浦区校级期末）如果α是锐角，且sinα＝cos20°，那么α＝度．29．（2022秋•青浦区校级期末）小明沿着坡度i＝1：2.4的斜坡行走了13米，那么他上升的高度是米．30．（2022秋•青浦区校级期末）如图，△ABC在边长为1个单位的方格纸中，△ABC的顶点在小正方形顶点位置，那么∠ABC的正切值为．31．（2022秋•杨浦区期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC，sin B＝，BC＝13，AD＝12，则tan C的值．32．（2022秋•静安区期末）一水库的大坝横断面是梯形，坝顶、坝底分别记作BC、AD，且迎水坡AB的坡度为1：2.5，背水坡CD的坡度为1：3，则迎水坡AB的坡角背水坡CD的坡角．（填“大于”或“小于”）33．（2022秋•嘉定区校级期末）小芳在楼下点D处看到楼上点E处的小红的仰角是34度，那么点E处的小红看点D处的小芳的俯角等于度．34．（2022秋•杨浦区校级期末）如果一段斜坡的铅垂高度为2米，水平宽度为3米，那么这段斜坡的坡比i＝．35．（2022秋•青浦区校级期末）如果小明沿着坡度为1：2.4的山坡向上走了26米，那么他的高度上升了米．36．（2022秋•青浦区校级期末）如图，△ABC在边长为1个单位的方格纸中，△ABC的顶点在小正方形顶点位置，那么∠ABC的余弦值为．37．（2022秋•金山区校级期末）如图，在△ABC中，sin B＝，tan C＝，AB＝4，则AC的长为．38．（2022秋•闵行区期末）在直角坐标平面内有一点A（5，12），点A与原点O的连线与x轴的正半轴的夹角为θ，那么sinθ的值为．39．（2022秋•黄浦区期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知∠A的正弦值是，那么∠B的正弦值是．40．（2022秋•徐汇区期末）如图，传送带和地面所成斜坡的坡度i＝1：3，如果它把某物体从地面送到离地面10米高的地方，那么该物体所经过的路程是米．41．（2022秋•徐汇区校级期末）如图所示，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，联结D、E，F 为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B．若AB＝5，AD＝8，sin B＝，则AF的长为．42．（2022秋•浦东新区校级期末）如果sinα＝，那么锐角α＝°．43．（2022秋•浦东新区校级期末）在一个斜坡上前进5米，水平高度升高了1米，则该斜坡坡度i＝．44．（2022秋•青浦区校级期末）已知点P位于第一象限内，OP＝2，且OP与x轴正半轴夹角的正切值为2，则点P的坐标是．45．（2022秋•浦东新区期末）在Rt△ABC中，∠A＝90°，已知AB＝1，AC＝2，AD是∠BAC的平分线，那么AD的长是．46．（2022秋•徐汇区期末）已知一斜坡的坡比为1：2，坡角为α，那么sinα＝．2023年上海市15区中考数学一模汇编专题05锐角三角比相关概念（46题）一．选择题（共17小题）1．（2022秋•徐汇区校级期末）如图，下列角中为俯角的是（）A．∠1B．∠2C．∠3D．∠4【分析】利用仰角与俯角的定义，直接判断得出答案．【解答】解：根据俯角的定义，首先确定水平线，水平线以下与视线的夹角，即是俯角．故选：C．【点评】此题主要考查了俯角的定义，题目比较简单．2．（2022秋•浦东新区校级期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝1，AB＝2，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．【分析】首先利用勾股定理求得AC的长，然后利用三角函数的定义求解，即可作出判断．【解答】解：在直角△ABC中，AC＝＝＝．则sin A＝＝，故A错误；cos A＝＝，故B正确；tan A＝＝＝，故C错误；cot A＝＝＝，故D错误．故选：B．【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．3．（2022秋•徐汇区校级期末）Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，AB＝10，则AC的长为（）A．6B．8C．10D．12【分析】根据题意，利用锐角三角函数可以求得BC的长，然后根据勾股定理即可求得AC的长．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，∴sin A＝，∵AB＝10，∴BC＝6，∴AC＝＝8，故选：B．【点评】本题考查解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数和勾股定理解答．4．（2022秋•闵行区期末）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝β，CD⊥AB，垂足为点D，那么下列线段的比值不一定等于sinβ的是（）A．B．C．D．【分析】由锐角的正弦定义，即可判断．【解答】解：A、不一定等于sinβ，故A符合题意；B、△ABC是直角三角形，sinβ＝，正确，故B不符合题意；C、CD⊥AB，∠ACD+∠A＝∠B+∠A＝90°，∠ACD＝∠B，sinβ＝，正确，故C不符合题意；D、△BCD是直角三角形，sinβ＝，正确，故D不符合题意．故选：A．【点评】本题考查解直角三角形，关键是掌握锐角的正弦定义．5．（2022秋•黄浦区期末）在直角坐标平面内，如果点P（4，1），点P与原点O的连线与x轴正半轴的夹角是α，那么cotα的值是（）A．4B．C．D．【分析】由锐角的正切定义，即可求解．【解答】解：如图：cotα＝＝4．故选：A．【点评】本题考查解直角三角形，坐标与图形的性质，关键是掌握锐角的三角函数定义．6．（2022秋•徐汇区期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果∠A＝40°，AC＝b，那么BC等于（）A．b sin40°B．b cos40°C．b tan40°D．b cot40°【分析】由锐角的正切定义，即可得到答案．【解答】解：∵tan A＝，∴BC＝AC•tan A＝b tan40°．故选：C．【点评】本题考查解直角三角形，关键是掌握锐角的正切定义．7．（2022秋•黄浦区校级期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝α，BC＝2，那么AC的长为（）A．2sinαB．2cosαC．2tanαD．2cotα【分析】根据锐角三角函数的意义求解后，再做出判断即可．【解答】解：∵cot A＝，BC＝2，∴AC＝BC•cotα＝2cotα，故选：D．【点评】本题考查锐角三角函数，掌握锐角三角函数的意义是解决问题的关键．8．（2022秋•黄浦区校级期末）已知海面上一艘货轮A在灯塔B的北偏东30°方向，海监船C在灯塔B的正东方向5海里处，此时海监船C发现货轮A在它的正北方向，那么海监船C与货轮A的距离是（）A．10海里B．5海里C．5海里D．海里【分析】如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°﹣30°＝60°，BC＝5海里，根据三角函数的定义即可得到结论．【解答】解：如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°﹣30°＝60°，BC＝5海里，∴AC＝BC•tan60°＝5（海里），即海监船C与货轮A的距离是5海里，故选：B．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出直角三角形并求解．9．（2022秋•杨浦区校级期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，∠A＝α，那么BC的长是（）A．3sinαB．3cosαC．3cotαD．3tanα【分析】画出图形，利用三角函数的定义即可完成．【解答】解：如图所示，由正弦函数定义有：，∴BC＝3sin A＝3sinα．故选：A．【点评】本题考查了正弦三角函数的定义，已知一个角及斜边，求此角的对边，则利用正弦函数可以解决．10．（2022秋•青浦区校级期末）在△ABC中，∠C＝90°，如果AC＝8，BC＝6，那么∠A的正弦值为（）A．B．C．D．【分析】由勾股定理求出斜边，再根据锐角三角函数的定义求出答案．【解答】解：在△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB＝＝＝10，∴sin A＝＝＝，故选：A．【点评】本题考查锐角三角函数的定义，勾股定理，理解锐角三角函数的意义和勾股定理是解决问题的关键．11．（2022秋•金山区校级期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AB＝3，下列各式中，正确的是（）A．sin A＝B．cos A＝C．tan A＝D．cot A＝【分析】先利用勾股定理计算出AC，然后根据正弦、余弦、正切和余切的定义对各选项进行判断．【解答】解：∵∠C＝90°，BC＝1，AB＝3，∴AC＝＝＝2，∴sin A＝＝，cos A＝＝，tan A＝＝＝，cot A＝＝2．故选：A．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义：正确理解正弦、余弦、正切和余切的定义是解决问题的关键．12．（2022秋•徐汇区期末）如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东50°方向，距离灯塔2海里的点A处．若海轮沿正南方向航行到灯塔的正东位置B处，则海轮航行的距离AB的长是（）A．2sin50°海里B．2cos50°海里C．2tan40°海里D．2tan50°海里【分析】首先由方向角的定义及已知条件得出∠NPA＝50°，PA＝2海里，∠ABP＝90°，再由AB∥NP，根据平行线的性质得出∠A＝∠NPA＝50°．然后解Rt△ABP，得出AB＝AP•cos∠A＝2cos50°海里．【解答】解：由题意可知∠NPA＝50°，PA＝6海里，∠ABP＝90°．∵AB∥NP，∴∠A＝∠NPA＝50°．在Rt△ABP中，∵∠ABP＝90°，∠A＝50°，PA＝2海里，∴AB＝AP•cos∠A＝2cos50°海里．故选：B．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，平行线的性质，三角函数的定义，正确理解方向角的定义是解题的关键．13．（2022秋•青浦区校级期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，AB＝3，则下列结论正确的是（）A．sin B＝B．cos B＝C．tan B＝D．cot B＝【分析】先根据勾股定理求出BC，再根据锐角三角函数的定义解答．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，AB＝3，∴BC＝2，∴sin B＝，cos B＝，tan B＝＝，cot B＝2．故选：C．【点评】本题考查锐角三角函数的定义，即：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．14．（2022秋•嘉定区校级期末）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，那么AB的长为（）A．5sin A B．5cos A C．D．【分析】依据Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，可得cos A＝，即可得到AB的长的表达式．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，∴cos A＝＝，∴AB＝，故选：D．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义的应用，正确记忆锐角A的邻边a与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cos A是解题关键．15．（2022秋•浦东新区期末）在Rt△ABC中，∠B＝90°，如果∠A＝α，BC＝a，那么AC的长是（）A．a•tanαB．a•cotαC．D．【分析】画出图形，根据锐角三角函数的定义求出即可．【解答】解：如图：在Rt△ABC中，AC＝＝．故选：D．【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练掌握直角三角形边角之间的关系，属于中考常考题型．16．（2022秋•浦东新区期末）小杰在一个高为h的建筑物顶端，测得一根高出此建筑物的旗杆顶端的仰角为30°，旗杆与地面接触点的俯角为60°，那么该旗杆的高度是（）A．B．C．D．【分析】过A作AE⊥BC于E，在Rt△ACE中，已知了CE的长，可利用俯角∠CAE的正切函数求出AE的值；进而在Rt△ABE中，利用仰角∠BAE的正切函数求出BE的长；BC＝BE+CE．【解答】解：如图，过A作AE⊥BC于E，则四边形ADCE是矩形，CE＝AD＝h．∵在Rt△ACE中，CE＝h，∠CAE＝60°，∴AE＝＝h．∵在Rt△AEB中，AE＝h，∠BAE＝30°，∴BE＝AE•tan30°＝h•＝h，∴BC＝BE+CE＝h+h＝h．即旗杆的高度为h．故选：C．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣﹣仰角俯角问题，首先构造直角三角形，再运用三角函数的定义解题，是中考常见题型，解题的关键是作出高线构造直角三角形．17．（2022秋•杨浦区期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果AC＝8，BC＝6，那么∠B的余切值为（）A．B．C．D．【分析】根据余切函数的定义解答即可．【解答】解：如图，在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，∴cot B＝＝＝，故选：A．【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．二．填空题（共29小题）18．（2022秋•黄浦区期末）如图，某幢楼的楼梯每一级台阶的高度为20厘米，宽度为30厘米，那么斜面AB的坡度为1：1.5．【分析】根据坡度的概念计算，得到答案．【解答】解：斜面AB的坡度为20：30＝1：1.5，故答案为：1：1.5．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键．19．（2022秋•杨浦区期末）小杰沿坡比为1：2.4的山坡向上走了130米．那么他沿着垂直方向升高了50米．【分析】设他沿着垂直方向升高了x米，根据坡度的概念用x表示出他行走的水平宽度，根据勾股定理计算即可．【解答】解：设他沿着垂直方向升高了x米，∵坡比为1：2.4，∴他行走的水平宽度为2.4x米，由勾股定理得，x2+（2.4x）2＝1302，解得，x＝50，即他沿着垂直方向升高了50米，故答案为：50．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键．20．（2022秋•黄浦区校级期末）一辆汽车沿着坡度i＝1：的斜坡向下行驶50米，那么它距离地面的垂直高度下降了25米．【分析】设出垂直高度，表示出水平距离，利用勾股定理求解即可．【解答】解：∵坡度i＝1：，∴设垂直高度下降了x米，则水平前进了x米．根据勾股定理可得：x2+（x）2＝502．解得x＝25（负值舍去），即它距离地面的垂直高度下降了25米．故答案为：25．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解决本题的关键是掌握坡度坡角定义．21．（2022秋•徐汇区校级期末）某人在斜坡走了10m，垂直高度上升8m，则坡比i＝4：3．【分析】根据勾股定理求出行走的水平距离，再根据坡比的概念计算即可．【解答】解：∵在斜坡走了10m，垂直高度上升8m，∴行走的水平距离为：＝6（m），则坡比i＝8：6＝4：3，故答案为：4：3．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比是解题的关键．22．（2022秋•浦东新区校级期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果AC＝4，sin B＝，那么AB＝6．【分析】根据正弦函数的定义即可直接求解．【解答】解：∵sin B＝，∴AB＝＝＝6．故答案是：6．【点评】本题考查了正弦函数的定义，是所对的直角边与斜边的比，理解定义是关键．23．（2022秋•浦东新区期末）已知一条斜坡的长度为10米，高为6米，那么坡角的度数约为37°（备用数据：tan31°＝cot59°≈0.6，sin37°＝cos53°≈0.6）【分析】做出图形，设坡角为α，根据＝sinα，可求得α的度数．【解答】解：由题意得，＝sinα，即sinα＝0.6，则α＝37°．故答案为：37°．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，解直角三角形．24．（2022秋•金山区校级期末）平面直角坐标系内有一点P（1，2），那么OP与x轴正半轴的夹角为α，tanα＝2．【分析】过点P作PA⊥x轴于点A，由P点的坐标得PA、OA的长，根据正切函数的定义得结论．【解答】解：过点P作PA⊥x轴于点A，如图：∵点P（1，2），∴PA＝2，OA＝1，∴tanα＝．故答案为：2．【点评】本题考查了点在平面直角坐标系里的意义及解直角三角形．解决本题的关键是构造直角三角形．25．（2022秋•闵行区期末）如果一个斜坡面的坡角为30°，那么它的坡度i＝1：．【分析】由于一个斜坡面的坡角为30°，而坡度i等于坡角的正切值，由此即可求解．【解答】解：∵斜坡面的坡角为30°，∴它的坡度i＝tan30°＝1：．故答案为：1：．【点评】此题主要考查了解直角三角形应用﹣坡度的问题，解题的关键是根据题意正确画出图形，然后利用三角函数即可解决问题．26．（2022秋•闵行区期末）如图，一艘船从A处向北偏西30°的方向行驶5海里到B处，再从B处向正东方向行驶8海里到C处，此时这艘船与出发点A处相距7海里．【分析】根据直角三角形的三角函数得出AE，BE，进而得出CE，利用勾股定理得出AC即可．【解答】解：如图：∵BC⊥AE，∴∠AEB＝90°，∵∠EAB＝30°，AB＝5海里，∴BE＝海里，AE＝海里，∴CE＝BC﹣BE＝8﹣＝（海里），∴AC＝＝＝7（海里），故答案为：7．【点评】此题考查了方向角、解直角三角形的应用，解题的关键是根据直角三角形的三角函数得出AE，BE解答．27．（2022秋•徐汇区期末）如图，长4m的楼梯AB的倾斜角∠ABD为60°，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD为45°，则调整后楼梯AC长为2米．【分析】先在Rt△ABD中利用正弦的定义计算出AD，然后在Rt△ACD中利用正弦的定义计算AC即可．【解答】解：在Rt△ABD中，∵sin∠ABD＝，∴AD＝4sin60°＝2（m），在Rt△ACD中，∵sin∠ACD＝，∴AC＝＝2（m）．故答案是：2．【点评】本题考查了解直角三角形的实际应用中的坡度坡角问题，难度不大，注意细心运算即可．28．（2022秋•青浦区校级期末）如果α是锐角，且sinα＝cos20°，那么α＝70度．【分析】直接利用sin A＝cos（90°﹣∠A），进而得出答案．【解答】解：∵sinα＝cos20°，∴α＝90°﹣20°＝70°．故答案为：70．【点评】此题主要考查了互余两角三角函数的关系，正确把握相关性质是解题关键．29．（2022秋•青浦区校级期末）小明沿着坡度i＝1：2.4的斜坡行走了13米，那么他上升的高度是5米．【分析】设他上升的高度是x米，根据坡度的概念用x表示出他行走的水平距离，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案．【解答】解：设他上升的高度是x米，∵斜坡的坡度i＝1：2.4，∴他行走的水平距离为2.4x米，由勾股定理得：x2+（2.4x）2＝132，解得：x＝5（负值舍去），则他上升的高度是5米，故答案为：5．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡度问题，熟记坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键．30．（2022秋•青浦区校级期末）如图，△ABC在边长为1个单位的方格纸中，△ABC的顶点在小正方形顶点位置，那么∠ABC的正切值为．【分析】根据题意和图形，可以求得AC、BC和AB的长，然后根据勾股定理的逆定理可以判断△ACB的形状，然后即可求得∠ABC的正弦值．【解答】解：由图可得，AC＝＝，AB＝＝，BC＝＝2，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ACB是直角三角形，∴tan∠ABC＝＝＝，故答案为：．【点评】本题考查勾股定理的逆定理、解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．31．（2022秋•杨浦区期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC，sin B＝，BC＝13，AD＝12，则tan C的值3．【分析】先在Rt△ABD中利用三角函数求出AB，再根据勾股定理求出BD，进而可得出DC的值，即可求出tan ∠C的值．【解答】解：∵AD⊥BC，AD＝12，sin B＝，∴，解得AB＝15，∴BD＝＝＝9．∵BC＝13，∴DC＝BC﹣BD＝4，∴tan C＝．故答案为：3．【点评】本题主要考查了解直角三角形，解题的关键是利用勾股定理求出BD的值．32．（2022秋•静安区期末）一水库的大坝横断面是梯形，坝顶、坝底分别记作BC、AD，且迎水坡AB的坡度为1：2.5，背水坡CD的坡度为1：3，则迎水坡AB的坡角大于背水坡CD的坡角．（填“大于”或“小于”）【分析】根据坡度坡角的定义和三角函数的增减性即可得到结论．【解答】解：∵迎水坡AB的坡度为1：2.5，背水坡CD的坡度为1：3，∴tan A＝，tan D＝，∵＞，∴∠A＞∠D，即迎水坡AB的坡角大于背水坡CD的坡角，故答案为：大于．【点评】本题考查了直角三角形的应用﹣坡度坡角，熟练掌握三角函数的增减性是解题的关键．33．（2022秋•嘉定区校级期末）小芳在楼下点D处看到楼上点E处的小红的仰角是34度，那么点E处的小红看点D处的小芳的俯角等于34度．【分析】两点之间的仰角与俯角正好是两条水平线夹角的内错角，应相等．【解答】解：从点A看点B的仰角与从点B看点A的俯角互为内错角，大小相等．点B处的小明看点A处的小李的俯角是34度．故答案为：34．【点评】此题考查的知识点是解直角三角形的应用，主要考查仰角、俯角的概念，以及仰角与俯角的关系．34．（2022秋•杨浦区校级期末）如果一段斜坡的铅垂高度为2米，水平宽度为3米，那么这段斜坡的坡比i＝1：1.5．【分析】坡比＝斜坡的垂直高度与水平宽度的比，把相关数值代入整理为1：n的形式即可．【解答】解：∵一段斜坡的铅垂高度为2米，水平宽度为3米，∴坡比i＝2：3＝1：1.5．故答案为1：1.5．【点评】本题考查了坡比的求法；坡比＝斜坡的垂直高度与水平宽度的比，熟练掌握坡比的公式并最终化成1：n的形式是解题关键．35．（2022秋•青浦区校级期末）如果小明沿着坡度为1：2.4的山坡向上走了26米，那么他的高度上升了10米．【分析】设高度上升了h米，则水平前进了2.4h米，然后根据勾股定理解答即可．【解答】解：设高度上升了h米，则水平前进了2.4h米，由勾股定理得：，解得h＝10（负值舍去）．故答案为：10．【点评】本题主要考查了坡度比与勾股定理得应用，根据坡度比和勾股定理列出关于h的方程成为解答本题的关键．36．（2022秋•青浦区校级期末）如图，△ABC在边长为1个单位的方格纸中，△ABC的顶点在小正方形顶点位置，那么∠ABC的余弦值为．【分析】利用勾股定理可求出AC、BC、AB的值，利用勾股定理的逆定理可得∠ACB＝90°，根据余弦的定义即可得答案．【解答】解：∵△ABC在边长为1个单位的方格纸中，△ABC的顶点在小正方形顶点位置，∴，，，∵，∴AC2+BC2＝AB2，∴∠ACB＝90°，∴cos∠ABC＝＝＝．故答案为：．【点评】本题考查网格的特征、勾股定理及余弦的定义，在直角三角形中，锐角的余弦是角的邻边与斜边的比；熟练掌握三角函数的定义是解题关键．37．（2022秋•金山区校级期末）如图，在△ABC中，sin B＝，tan C＝，AB＝4，则AC的长为．【分析】过点A作AD⊥BC，垂足为D，先在Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义求出AD的长，再在Rt△ADC中，利用锐角三角函数的定义求出CD的长，然后根据勾股定理求出AC的长即可解答．【解答】解：过点A作AD⊥BC，垂足为D，在Rt△ABD中，sin B＝，AB＝4，∴AD＝AB•sin B＝4×＝1，在Rt△ADC中，tan C＝，∴DC＝＝＝2，∴AC＝＝＝，故答案为：．【点评】本题考查了解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．38．（2022秋•闵行区期末）在直角坐标平面内有一点A（5，12），点A与原点O的连线与x轴的正半轴的夹角为θ，那么sinθ的值为．【分析】由勾股定理求出OA的长，由锐角的正弦定义，即可解决问题．【解答】解：如图，过A作AH⊥x轴于H，∴AH＝12，OH＝5，∴OA＝＝＝13，∴sinθ＝＝．故答案为：．【点评】本题考查解直角三角形，关键是掌握三角函数定义．39．（2022秋•黄浦区期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知∠A的正弦值是，那么∠B的正弦值是．【分析】根据锐角三角函数的定义以及勾股定理进行计算即可．【解答】解：Rt△ABC中，∠C＝90°，由于∠A的正弦值是，即＝，可设BC＝2k，则AB＝3k，由勾股定理得，AC＝＝k，∴sin B＝＝，故答案为：．【点评】本题考查锐角三角函数、勾股定理，掌握锐角三角函数的定义以及勾股定理是正确解答的前提．40．（2022秋•徐汇区期末）如图，传送带和地面所成斜坡的坡度i＝1：3，如果它把某物体从地面送到离地面10米高的地方，那么该物体所经过的路程是10米．【分析】根据坡度的概念求出水平距离，根据勾股定理计算，得到答案．【解答】解：∵传送带与地面所成斜坡的坡度i＝1：3，它把物体从地面送到离地面10米高，∴水平距离为：3×10＝30（米），∴物体所经过的路程为：＝10（米），故答案为：10．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡度的概念是解题的关键．41．（2022秋•徐汇区校级期末）如图所示，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，联结D、E，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B．若AB＝5，AD＝8，sin B＝，则AF的长为2．【分析】如图，证明AE⊥AD，求出AE，DE的长度；证明△ADF∽△DEC，得到；运用AD＝8，DE＝4，CD＝AB＝5，求出AF的长度，即可解决问题．【解答】解：如图，在Rt△ABE中，∠AEB＝90°，AB＝5，∴sin B＝＝，∵AB＝5，∴AE＝4，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∠B＝∠ADC；而AE⊥BC，∴AE⊥AD，∠ADF＝∠DEC；∴DE2＝AE2+AD2＝16+64＝80，∴DE＝4，而∠AFE＝∠B，∴∠AFE＝∠ADC，即∠ADF+∠DAF＝∠ADF+∠EDC，∴∠DAF＝∠EDC；∴△ADF∽△DEC，∴；而AD＝8，DE＝4，CD＝AB＝5，∴AF＝2．故答案为：2．【点评】本题考查平行四边形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是掌握基本知识，属于中考常考题型．42．（2022秋•浦东新区校级期末）如果sinα＝，那么锐角α＝60°．【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．【解答】解：由sinα＝，得锐角α＝60°，故答案为：60．【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．43．（2022秋•浦东新区校级期末）在一个斜坡上前进5米，水平高度升高了1米，则该斜坡坡度i＝1：2．【分析】根据在一个斜坡上前进5米，水平高度升高了1米，可以计算出此时的水平距离，水平高度与水平距离的比值即为坡度，从而可以解答本题．【解答】解：设在一个斜坡上前进5米，水平高度升高了1米，此时水平距离为x米，根据勾股定理，得x2+12＝52，解得，（舍去），故该斜坡坡度i＝1：2．故答案为：1：2．【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解题的关键是明确什么是坡度．44．（2022秋•青浦区校级期末）已知点P位于第一象限内，OP＝2，且OP与x轴正半轴夹角的正切值为2，则点P的坐标是（2，4）．【分析】根据题意，画出图形，过点P作PA⊥x轴于A，根据正切值可知，设设OA＝x，则PA＝2x，利用勾股定理列出方程即可求出x，从而求出OA、PA，即可求出结论．【解答】解：如下图所示，过点P作PA⊥x轴于A，由题意可知：tan∠POA＝2，∴，设OA＝x，则PA＝2x，∵OA2+PA2＝OP2，∴，解得：x＝2（负值舍去），∴OA＝2，PA＝4，。

一、 锐角三角比的意义 1、正切直角三角形中一个锐角的对边与邻边的比叫做这个锐角的正切（tangent ）．锐角A 的正切记作tan A ．tan A BC aA A AC b ===锐角的对边锐角的邻边． 2、余切直角三角形中一个锐角的邻边与对边的比叫做这个锐角的余切（cotangent ）．锐角A的余切记作cot A ．cot A AC bA A BC a ===锐角的邻边锐角的对边． 3、正弦直角三角形中一个锐角的对边与斜边的比叫做这个锐角的正弦（sine ）．锐角A 的正弦记作sin A ．sin A BC aA AB c ===锐角的对边斜边． 4、余弦直角三角形中一个锐角的邻边与斜边的比叫做这个锐角的余弦（cosine ）．锐角A 的余弦记作cos A ．cos A AC bA AB c===锐角的邻边斜边．5、锐角的三角比一个锐角的正切、余切、正弦、余弦统称为这个锐角的三角比．锐角的三角比一：锐角的三角比ACBD二、 特殊锐角的三角比的值αtan αcot αsin αcos α30°33312 32 45° 1 1 22 2260° 3333212【例1】 已知Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，那么ba是角A 的（ ） A ．正弦B ．余弦C ．正切D ．余切【例2】 已知Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，AC = 3，BC = 4，那么sin A =______．【例3】 已知α为锐角，且5sin 13α=，求α的余弦值．【例4】 求值：sin60tan30cot30︒-︒+︒=_______．【例5】 已知锐角ABC ∆中，3sin A ，tan 1B =，那么C ∠=______°．【例6】 将锐角α所在的三角形的三边同时扩大三倍，这时角α的正弦值（ ） A ．变大B ．变小C ．不变D ．无法确定【例7】 （2014学年·松江区二模·第6题）如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CD ⊥AB ，垂足为D ，AB = c ，A α∠=，则CD 长为（ ）A ．2sin c αB ．2cos c αC ．sin tan c ααD ．sin cos c αα仰角 视线水平线视线俯角铅垂线北北偏东30°南偏西45°北偏西70°南偏东50°30° 70° 45° 50°【例8】 （2015学年·徐汇区二模·第19题）计算：20(3)cot 30tan 4531ππ--︒-︒+．【例9】 （2015学年·普陀区二模·第19题）计算：22123323tan 601-⎛⎫-+- ⎪︒-⎝⎭．一、 解直角三角形在直角三角形中，由已知元素求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形． 在t R ABC ∆中，如果=90C ∠︒，那么它的三条边和两个锐角之间有以下的关系： （1）三边之间的关系：222a b c +=（2）锐角之间的关系：90A B ∠+∠=︒（3）边角之间的关系：sin cos a A B c ==，cos sin bA B c ==tan cot a A B b ==，cot tan b A B a== 二、 仰角与俯角在测量过程中，常常会遇到仰角和俯角．如图，当我们进行测量时，在视线与水平线 所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，视线在水平线下方的角叫做俯角．三、 方向角指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的角叫做方向角． 如图：北偏东30°，北偏西70°，南偏东50°，南偏西45°．二：解直角三角形ABC D A B9米传送带AB Chl四、 坡度（坡比）、坡角在修路、挖河、开渠等设计图纸上，都需要注明斜坡的倾斜程度．如图，坡面的铅垂高度h 和水平宽度l 的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i ，即h i l=． 坡度通常写成1 : m 的形式，如1:1.5i =． 坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α．坡度i 与坡角α之间的关系：tan hi l α==．【例10】 （2015学年·崇明县二模·第15题）已知一斜坡的坡比为1 : 2，坡角为α，那么sin α=______．【例11】 （2014学年·长宁区二模·第15题）已知在离地面30米的高楼窗台A 处测得地面花坛中心标志物C 的俯角为60°，那么这一标志物C 离此栋楼房的地面距离BC 为______米．【例12】 （2015学年·浦东新区二模·第13题）如图，传送带和地面所成的斜坡的坡度为39米高的地方，则物体从A 到B 所经过的路程为______米．【例13】 （2015学年·宝山区、嘉定区二模·第16题）如图，如果在大厦AB 所在的平地上选择一点C ，测得大厦顶端A 的仰角为30°，然后向大厦方向前进40米，到达点D 处（C 、D 、B 三点在同一直线上），此时测得大厦顶端A 的仰角为45°．那么大厦AB 的高度为______米．（保留根号）ABCE ABCDABCDEABCD EFAB C北【例14】 （2014学年·浦东新区二模·第16题）如图，已知小岛B 在基地A 的南偏东30°方向上，与基地A 相距10海里，货轮C 在基地A 的南偏西60°方向、小岛B 的北偏西75°方向上，那么货轮C 与小岛B 的距离是______海里．【例15】 （2014学年·徐汇区二模·第22题）如图，在Rt ABC ∆中，90CAB ∠=︒，3sin 5C =，AC = 6，BD 平分CBA ∠交AC 边于点D ．求：（1）线段AB 的长；（2）tan DBA ∠的值．【例16】 （2014学年·闸北区二模·第21题）已知：如图，点E 是矩形ABCD 的边AD 上一点，BE = AD ，AE = 8，现有甲乙二人同时从E 点出发，分别沿EC 、ED 方向前进，10C 点的同时乙恰巧到达终点D 处．（1）求tan ECD ∠的值； （2）求线段AB 及BC 的长度．【例17】 （2014学年·闵行区二模·第21题）如图，已知在ABC ∆中，25AB AC ==25sin B ∠=D 为边BC 的中点．E 为边BC 延长线上一点，且CE = BC ．联结AE ，F 为线段AE 的中点．求：（1）线段DF 的长；（2）CAE ∠的正切值．【例18】 （2015学年·闸北区二模·第21题）已知：如图，在ABC ∆中，45ABC ∠=︒，AD是BC 边上的中线，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，且3sin 5DAB ∠=，32DB =求：（1）AB 的长；（2）CAB ∠的余切值．ABCDPABCD【例19】 （2015学年·松江区二模·第22题）如图，在ABC ∆中，AB = AC = 10，BC = 12，AD ⊥BC 于D ，O 为AD 上一点，以O 为圆心，OA 为半径的圆交AB 于G ，交BC 于E 、F ，且AG = AD ．（1）求EF 的长； （2）求tan BDG ∠的值．【例20】 （2015学年·普陀区二模·第21题）已知：如图，在ABC ∆中，AB = AC = 13，BC = 24，点P 、D 分别在边BC 、AC 上，2AP AD AB =，求APD ∠的正弦值．【例21】 （2015学年·虹口区二模·第21题）如图，在ABC ∆中，CD 是边AB 上的中线，B∠是锐角，且2sin 2B =，1tan 2A =，BC =22，求边AB 的长和cos CDB ∠的值．【例22】 （2014学年·崇明县二模·第21题）在Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，点E 是BC 的中点，AD ⊥BC ，垂足为点D ．已知AC = 9，3cos 5C =．（1）求线段AE 的长；（2）求sin DAE ∠的值．【例23】 （2015学年·崇明县二模·第22题）如图，在某海滨城市O 附近海面有一股台风，据监测，当前台风中心位于该城市的南偏东20°方向200千米的海面P 处，并以20千米/时的速度向P 处的北偏西65°PQ 的方向移动，台风侵袭范围是一个圆形区域，当前半径为60千米，且圆的半径以10千米/时速度不断扩张．（1）当台风中心移动4小时时，受台风侵袭的圆形区域半径增大到 千米；O CBADF EG CA BEDOPQ北当台风中心移动t 小时时，受台风侵袭的圆形区域半径增大到 千米；（2）当台风中心移动到与城市O 距离最近时，这股台风是否侵袭这座海滨城市？请说明理由．（参考数据2 1.41=，3 1.73=）．【例24】 （2015学年·闵行区二模·第22题）如图，山区某教学楼后面紧邻着一个土坡，坡面BC 平行于地面AD ，斜坡AB 的坡比为51:12i =，且AB = 26米．为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过53°时，可确保山体不滑坡．（1）求改造前坡顶与地面的距离BE 的长；（2）为了消除安全隐患，学校计划将斜坡AB 改造成AF （如图所示），那么BF 至少是多少米？（结果精确到1米）（参考数据：sin530.8︒≈，cos530.6︒≈，tan53 1.33︒≈，cot530.75︒≈）【例25】 （2014学年·普陀区二模·第22题）本市为了给市容营造温馨和谐的夜间景观，准备在一条宽7.4米的道路上空利用轻轨桥墩，安装呈大中小三个同心圆的景观灯ABDCEF带（如图1所示）．如图2，已知EF 表示路面宽度，轻轨桥墩的下方为等腰梯形ABCD ，且AD // EF ，AB = DC ，37ABC ∠=︒．在轻轨桥墩上设有两处限高标志，分别表示等腰梯形的下底边到路面的距离为 2.9米和等腰梯形的上底边到路面的距离为 3.8米．大圆直径等于AD ，三圆半径的比等于1 : 2 : 3．试求这三个圆形灯带的总长为多少米？（结果保留π）（参考数据：sin370.6︒≈，cos370.8︒≈，tan370.75︒≈）2.92.93.8ABCDFO图1图2。