25.1锐角三角比的意义(二)

25.1〔1〕锐角三角比的意义一、教学内容分析通过探究使学生知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与邻边的比值都不变. 二、教学目的设计1、通过探究使学生知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与邻边的比值都不变.2、能根据正切、余切概念正确进展计算.3、开展形象思维，初步形成由特殊到一般的演绎推理才能. 三、教学重点及难点理解认识正切概念，引导学生比拟、分析并得出：对任意锐角，它的对边与邻边的比值是不变的.四、教学用具准备五、教学流程设计六、教学过程设计一、 情景引入操场里有一旗杆，老师让小明去测量旗杆的高度.〔演示学校操场上的国旗图片〕小明站在离旗杆底部10米远处，目测旗杆的顶部，视线与程度线的夹角为34度，并目高为1米．然后他很快就算出旗杆的高度了.你想知道小明怎样算出的吗？1.观察(1)在Rt△ABC 中，∠C=90o ，∠A=30o ，BC=35m,求CB .(2) Rt △ABC ，使∠C=90o ，∠A=45o ，计算∠A 的对边与邻边比.2.考虑引入新课稳固练习回家作业新课讲授课堂小结DBCC ’ A通过上面的计算，你能得到什么结论？[说明] 在一个直角三角形中，假如一个锐角等于30o ，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与邻边的比值都等于33；在一个直角三角形中，假如一个锐角等于45o ，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与邻边的比值都等于1. 3．讨论一般地，当∠A 取其他一定度数的锐角时，它的对边与邻边的比是否也是一个定值？二、学习新课1．概念辨析如图：Rt △ABC 与Rt △A ’B ’C’，∠C=∠D C’A =90°，∠A=α，那么CABC 与AC DC ''有什么关系?结论：在直角三角形中，当锐角A 的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A 的对边与邻边的比是一个固定值.如图，在Rt △ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别记为a 、b 、c.在Rt △ABC 中，∠C=90°，我们把锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切.记作tanA.板书：tanA ＝ba=∠∠的邻边的对边A A在Rt △ABC 中，∠C=90°，我们把锐角A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切.记作cotA.板书：cotA ＝A A ∠=∠的的ba2．例题分析例题1. 在Rt ⊿ABC 中，∠C=900，AC=3,BC=2,求tanA 和tanB 的值.解：在Rt ⊿ABC 中， ∵AC=3,BC=2∴tanA=32=AC BC tanB=23=BC AC .⊿ABC 中，∠C=900，BC=4，AB=5，求cotA 和cotB 的值. 解：在Rt ⊿ABC 中，由勾股定理得 AB 2=AC 2+BC 2 ∵BC=4,AB=5,∴AC=3452222=-=-BC AB .∴cotA=43=BC AC cotB=34=AC BC . 3．问题拓展在上题中，在同一个直角三角形中，∠A 的正切和余切有怎样的数量关系？∠B 是∠A 的余角，那么它们的正切、余切值之间有怎样的数量关系？[说明]在Rt ⊿ABC 中，∠A+∠B=90°：那么有 tanA ·cotA=1 tanA=B cot 1tanB=Acot 1三、稳固练习1．如图，在直角△ABC 中，∠C ＝90o ，假设AB ＝5，CBAABCABCAC ＝4，那么cotA ＝〔 〕A ．35B ．45C ．34D ．432． 在△ABC 中，∠C=90°，BC=2，tanA=23，那么边AC 的长是( )A ．13B ．3C ．43D ． 5四、课堂小结在直角三角形中，当锐角A 的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A 的对边与邻边〔邻边与对边〕的比是一个固定值.五、作业布置练习册25.1〔1〕25.1〔2〕锐角的三角比的意义一、教学内容分析使学生知道当直角三角形的锐角固定时，它的邻边与斜边、对边与邻边的比值也都固定这一事实；逐步培养学生观察、比拟、分析、概括的思维才能. 二、教学目的设计1、知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边、邻边与斜边的比值都不变；2、理解同一个锐角正弦与余弦之间的关系，正切与正弦、余弦的关系.三、教学重点及难点理解余弦、正切的概念；纯熟运用锐角三角函数的概念进展有关计算.B ’BC C ’A四、教学用具准备教具、学具、多媒体设备〔宋体四号〕 五、教学流程设计六、教学过程设计一、 情景引入1.观察(1)在Rt△ABC 中，∠C=90o ，∠A=30o ，BC=35m,求AB .(2) Rt △ABC ，使∠C=90o ，∠A=45o ，计算∠A 的对边与斜边的比.2.考虑通过上面的计算，你能得到什么结论？[说明] 在一个直角三角形中，假如一个锐角等于30o ，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于21；在一个直角三角形中，假如一个锐角等于45o ，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于21.3．讨论由上面的观察，我们可以得到什么结论？二、学习新课1．概念辨析引入新课稳固练习回家作业新课讲授课堂小结如图：Rt △ABC 与Rt △A`B`C`，∠C=∠DC`A =90o ，∠A=α，那么BABC 与AB C B '''有什么关系? 结论：在直角三角形中，当锐角A 的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A 的对边与斜边的比是一个固定值. 如图，在Rt △ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别记为a 、b 、c.在Rt △ABC 中，∠C=90°，我们把锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正弦.记作sinA. 板书：sinA ＝ca=∠∠的斜边的对边A A ；在Rt △ABC 中，∠C=90°，我们把锐角A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余弦.记作cosA.板书：cosA ＝cb=∠∠的斜边的邻边A A ；2．例题分析例题 1〔1〕如图, 在中，,,,求sinB ，cosB 的值.解：在中 22BC AB AC -=∵AB=6， BC=3 ∴AC=36-=3 sinB=2163==AB AC =22； cosB=222163===AB BC .123 1 2 34 XY PQ〔2〕在Rt △ABC 中, ∠C=90°,BC=6,sinA=53,求cosA 和tanB 的值. 解:, .又, .例题2. 在直角坐标平面中有一点P 〔3，4〕.求OP 与x 轴正半轴的夹角α的正切、正弦、和余弦的值.解：过点P 向x 轴引垂线，垂足为点Q ，那么 ∠OPQ=900.由点P 的坐标为〔3，4〕得OQ=3,QP=4. 在Rt ⊿OPQ 中，OP=.5432222=+=+PQ OQ ∴tan α=34=OQ PQ , sin α=54=OP PQ cos α=53=OP OQ .sin A 与cosA 有什么关系？sin B 与cos A 呢？满足这种关系的A∠与B ∠又是什么关系呢？利用定义及勾股定理你还能发现sin A 与cos A 的关系吗？再试试看tan A 与sin A 和cos A 存在特殊关系吗？ 〔1〕假设90A B ∠+∠=,那么sin A =cos B 或sin B =cos A ; 〔2〕22sin cos 1A A +=;〔3〕sintancos AAA.三、稳固练习1.在中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边，那么有〔〕A．B．C．D．2. 在中，∠C＝90°，假如那么的值为〔〕A．B．C．D．3、如图：P是∠的边OA上一点，且P点的坐标为〔3，4〕，那么sin＝_____________.四、课堂小结1、使学生理解一个锐角的正弦(余弦)值与它的余角的余弦(正弦)值之间的关系．2、使学生理解同一个锐角正弦与余弦之间的关系3、使学生理解正切与正弦、余弦的关系五、作业布置练习25.1〔2〕一、教学内容分析能推导并熟记30°、45°、60°角的三角比值，并能根据这些值说出对应的锐角度数；能纯熟计算含有30°、45°、60°角的三角比的运算式二、教学目的设计能推导并熟记30°、45°、60°角的三角函数值，并能根据这些值说出对应的锐角度数；能纯熟计算含有30°、45°、60°角的三角函数的运算式.三、教学重点及难点熟记30°、45°、60°角的三角比值，能纯熟计算含有30°、45°、60°角的三角比的运算式；30°、45°、60°角的三角比值的推导过程.四、教学用具准备 多媒体五、教学流程设计六、教学过程设计一、 情景引入问题：〔1〕还记得我们推导正弦关系的时候所到结论吗？即sin30°=21,sin45°=22. 〔2〕你还能推导出sin60°的值及30°、45°、60°角的其它三角函数值吗？3．讨论画30°、45°、60°的直角三角形,分别求sin 30° 、cos45°、tan60°的值.归纳结果sinA cosA tanA二、学习新课1．例题分析 求以下各式的值：〔1〕(cos60°)2+(cos45°)2+sin30°sin45°；〔2〕 .解 〔1〕原式=221212()()22222++⨯⨯1111422=++= 〔2〕原式==3．问题拓展〔1〕8)30tan 60(cos 2+︒-︒+- 〔2〕2)145(sin 230tan 3121-︒+︒--[说明]此题主要考察特殊角的正弦、余弦值，解题关键是熟悉并牢记特殊角的正弦余弦值.易错点因没有记准特殊角的正弦、余弦值，造成错误.三、稳固练习求以下各式的值：(1)sin30°+cos30°； (2)sin30°·sin45°；(3)tan60°+2sin45°-2cos30°；(4)︒+︒-︒45tan 30cos 2330sin 2； (5)︒•︒+︒+︒︒+︒60cot 60tan 30cos 30cot 45sin 30sin 22.四、课堂小结通过本节课的学习，能推导并熟记30°、45°、60°角的三角比值，并能根据这些值说出对应的锐角度数；能纯熟计算含有30°、45°、60°角的三角比的运算式.五、作业布置练习25.225.3〔1〕解直角三角形一、教学内容分析本课时的内容是解直角三角形，首先是理解直角三角形中的边角的关系和什么是解直角三角形，以及在解直角三角形时，选择适宜的工具解，即优选关系式.从而能进步学生分析问题和解决问题的才能. 二、教学目的设计1.理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．2.通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步形成分析问题、解决问题的才能． 3．浸透数形结合的数学思想，养成良好的学习习惯． 三、教学重点及难点教学重点：直角三角形的解法．教学难点：锐角三角比在解直角三角形中的灵敏运用．四、教学用具准备三角尺、实物投影仪、多媒体设备. 五、教学流程设计六、教学过程设计一、 情景引入1．观察引入新课：如下图，一棵大树在一次强烈的台风中于地面10米处折断倒下，树顶落在离数根24米处.问大树在折断之前高多少米? 显然，我们可以利用勾股定理求出折断倒下的局部的长度为222410 ＝26 ， 26＋10＝36所以， 大树在折断之前的高为36米. 2．考虑1．在三角形中共有几个元素？2．直角三角形ABC 中，∠C=90°，a 、b 、c 、∠A 、∠B 这五个元素间有哪些等量关系呢？ 3．讨论复习师白：Rt △ABC 的边角关系、三边关系、角角关系分别是什么？ 总结：直角三角形的边与角之间的关系 (1)两锐角互余∠A ＋∠B ＝90°；情景问题引入复习知识新课讲授稳固练习 课堂小结 布置作业(2)三边满足勾股定理a 2＋b 2＝c 2；(3)边与角关系sinA ＝cosB ＝a c ，cosA ＝sinB ＝bc，tanA ＝cotB ＝a b ，cotA ＝tanB ＝ba.二、学习新课1．概念辨析师白：我们已掌握Rt △ABC 的边角关系、三边关系、角角关系，利用这些关系，在知道其中的两个元素(至少有一个是边)后，就可求出其余的元素．定义：我们把由元素求出所有末知元素的过程，叫做解直角三角形.2．例题分析例题1 在Rt △ABC 中，∠C=900，∠B=380，a=8，求这个直角三角形的其它边和角.分析：此题直角三角形的一个锐角和一条直角边，那么首先要搞清楚这两个元素的位置关系，再分析怎样用适宜的锐角三角比解决问题，在此题中边是角的邻边，所以可以用的锐角三角比是余弦和正切.解：∵∠A+∠B=900∴∠A=900－∠B=900－380=520 ∵cosB=ca∴C=B a cos =15.1038cos 8∵tanB=ab∴b=atanB=8tan380≈例题2 在Rt △ABC 中，∠C=900，c=7.34，a=5.28，解这个直角三角形.分析：此题直角三角形的一条直角边和斜边，当然首先用勾股定理求第三边，怎样求锐角问题，要记住解决问题最好用原始数据求解，防止用间接数据求出误差较大的结论.解：在Rt △ABC 中，∵∠C=900，∴a 2＋b 2＝c 2∴b=099.528.534.72222≈-=-a c ∵sinA=7193.034.728.5≈=c a ∴∠A=460∴∠B=900－∠A ≈900－460=440.[说明] 我们已掌握Rt △ABC 的边角关系、三边关系、角角关系，利用这些关系，在知道其中的两个元素(至少有一个是边)后，就可求出其余的元素．这样的导语既可以使学生大概理解解直角三角形的概念，同时又陷入考虑，为什么两个元素中必有一条边呢？激发了学生的学习热情． 3．问题拓展例题3 如图，东西两炮台A 、B 相距2000米，同时发现入侵敌舰C ，炮台A 测得敌舰C 在它的南偏东40°的方向，炮台B 测得敌舰C 在它的正南方，试求敌舰与两炮台的间隔 (准确到l 米).分析：此题中，条件是什么?(AB ＝2000米， ∠CAB ＝90°－ ∠CAD ＝50°)，那么求AC 的长是用 “弦〞还是用“切〞呢?求BC 的长呢?显然，AC 是直BCA角三角形的斜边，应该用余弦，而求BC 的长可以用正切，也可以用余切.讲解后让学生考虑以下问题：(1)在求出后，能否用勾股定理求得BC ；(2)在这题中，是否可用正弦求AC ，是否可以用余切求得BC. [说明] 通过这几道例题的分析和挖掘，使学生明确在求解直角三角形时可以根据题目的详细条件选择不同的“工具〞以到达目的. 从上面的几道题可以看出，假设知道两条边利用勾股定理就可以求出第三边，进而求出两个锐角，假设知道一条边和一个锐角，可以.利用边角关系求出其他的边与角.所以，解直角三角形无非以下两种情况：(1)两条边，求其他边和角. (2)一条边和一个锐角，求其他边角三、稳固练习1、课本P73练习1、22、由以下条件解题：在Rt △ABC 中，∠C=90°： 〔1〕a=4，b=8，求c ．(c=54)〔2〕b=10，∠B=60°，求a ，c ．〔3〕c=20，∠A=60°，求a ，b ．3320,3310==c a 10,310==b a四、课堂小结本节课我们利用直角三角形的边与边、角与角、边与角的关系，由元素求出未知元素，在做题目时，学生们应根据题目的详细条件，正确选择上述的“工具〞，求出题目中所要求的边与角.五、作业布置练习册25.3〔1〕25.3〔2〕解直角三角形一、教学内容分析本课时其实是安排了一个解直角三角形和应用的一节过度课，它起到了承上启下的作用.先从解一般的三角形或梯形的问题，寻找转化为直角三角形的方法，然后，到下一节课的应用，使学生不会有知识过度跳跃的感觉.二、教学目的设计1．进一步运用勾股定理、锐角三角比解非直角三角形．2．通过综合运用锐角三角比解三角形，逐步形成分析问题、解决问题的才能．三、教学重点及难点教学重点：学会把一般三角形转化为直角三角形解决．教学难点：如何转化为直角三角形的辅助线的做法．四、教学用具准备三角尺、实物投影仪、多媒体设备.五、教学流程设计六、教学过程设计一、情景引入1．复习1、求以下各直角三角形中字母的值．2、在△ABC中，∠C为直角，b=2，a=6，解这个三角形．3、在△ABC中，∠C为直角，且b=20，B=350，解这个三角形〔准确到0.1〕．2．考虑在一般的三角形中，假如适当的元素能否能求出其余相关的元素呢？ 3．讨论在一般的三角形中，几个元素能求出其余相关的元素呢？二、学习新课1．例题分析例题1 在等腰三角形ABC中，AB=AC, ∠A=45°,BC=6,求它的腰长和底角.分析：根据三角形内角和定理，可求得底角的大小．如图，作底边上的高，由等腰三角形“三线合一〞的性质，可知底边被高平分，于是得到两个全等的直角三角形．因此在其中任意一个直角三角形中，知道了一个锐角、一条直角边，可解这个直角三角形，从而得到等腰三角形的腰长．解：在△ABC中，∠B= ∠C=21(1800-∠A)=21〔1800-4500=67030’过点A作AD⊥BC，垂足为点D∵ AB＝AC，C B∴BD=21BC=21×6=3 在Rt △ABD 中∵cosB=AB BD∴AB=839.70367cos 3cos 0≈'=B BD 所以，这个等腰三角形的腰长约为7．839，底角为67030’. 考虑：此题假如作腰上的高，能解△ABC 吗？试一试：在等腰三角形中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，求它的顶角和底角．例题2 在△ABC 中，AC=9，AB=8.5，∠A=38°,求AC 边上的高及△ABC 的面积．分析：为了利用∠A 的三角比，所以作出AC 或AB 边上的高，构造直角三角形，可求出一条高，再求出三角形的面积.解：过点B 作BD ⊥AC ，垂足为D.在Rt △ABD 中，∵sinA=ABBD， ∴ BD ＝AB ·×sin38°≈ S △ABC =21AC ·BD=21×9×≈所以，AC 边上的高约为5．233，△ABC 的面积约为23．55. 2．问题拓展例题3 如图，在⊿ABC 中,∠A=30°,tanB=23,AC=23,求AB分析：此题可以过点C 作AB 边ACB的垂线，把∠A和∠B作在直角三角形中，再利用锐角三角比解决问题.老师引导学生解答.[说明]通过这几道例题的分析和挖掘，使学生明确可以用解直角三角形的知识解决一般三角形中的计算问题.就是要把握好转化的技巧.三、稳固练习1、课本25.3〔2〕2、等腰△ABC中，AB=AC=13，BC=10，求顶角∠A的四个三角比值．3、在直角梯形ABCD中，上底CD=4，下底AB=10，非直角腰BC=34，那么底角∠B= ；4、如下图，：在△ABC中，∠A=60°，∠B=45°，AB=8.求：△ABC的面积(结果可保存根号).四、课堂小结本节课我们利用直角三角形的知识将某些一般三角形问题或梯形问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题．今后，我们还要擅长用数学知识解决实际问题．五、作业布置练习册25.3〔2〕25.4〔1〕解直角三角形的应用一、教学内容分析本节列举理解直角三角形的一类典型问题：仰角、俯角问题.让学生感受数学与生活的严密联络，进步数学问题实际化的才能，领会数学思想.二、教学目的设计1．掌握仰角、俯角概念；2．在用解直角三角形的知识解决实际问题的过程中，感受数学与生活的严密联络，增强学数学、用数学的意识和才能.三、教学重点及难点将实际问题中的数量关系转化为直角三角形中元素间关系进展解题.四、教学用具准备 计算器、多媒体 五、教学流程设计六、教学过程设计一、引入让学生从仰视和俯视两种神态亲身体验,再利用投影仪显示一些有关仰角和俯角的实例，从而引出仰角、俯角的定义.[说明]从学生的实际生活背景出发，创设问题情境，这样的情景创设，表达了浓重的生活气息，充分调动学生思维的积极性.二、学习新课1．概念辨析在测量时，在视线与程度线所成的角中，视线在程度线上方的角叫做仰角，视线在程度线下方的角叫做俯角.[说明] 在仰角和俯角这两个概念中，必须强调是视线与程度线所夹的角，而不是水平线视线视线︶仰角︶俯角铅垂线h视线与铅垂线所成的角.2．例题分析例题1 如图，在地面上离旗杆BC底部10米的A处，用测角仪测得旗杆顶端C的仰角为52°，测角仪AD的高为，求旗杆BC的高〔准确到〕.分析结合图形旗杆与地面是垂直的，从测角仪D处作DE∥AB，可以得到一个Rt△DCE，利用直角三角形中的元素,可以求出CE，从而求得BC.解从测角仪D处作DE∥AB，交BC于点E.根据题意，可知DE=AB=10〔米〕，BE=AD=1.5〔米〕，∠CDE=52°.CE，得在Rt△DCE中,tan∠CDE=DECE=DE ·tan∠CDE=10·tan52°≈12.80(米).那么BC=BE+CE≈≈14.3(米).答:旗杆BC的高约为.例题2 如图,甲乙两幢楼之间的间隔 CD等于40米,如今要测乙楼的高BC(BC⊥CD),所选观察点A在甲楼一窗口处,AD∥°,底部C的俯角为25°.求乙楼的高度(准确到1米).解从观察点A处作AE∥CD,交BC于点E.根据题意,可知AE=CD=40(米), ∠BAE=32°, ∠CAE=25°.BE，得在Rt△ABE中,tan∠BAE=AEBE=AE·tan∠BAE=40·tan32°≈25.0(米).在Rt △ACE 中,tan ∠CAE=AECE，得 CE=AE ·tan ∠CAE=40·tan25°≈18.7(米). 那么BC=BE+CE ≈≈44(米). 答:乙楼的高度约为44米.[说明]在实际问题数学化，运用仰角、俯角概念解直角三角形时，要首先找出它们所在的直角三角形，表示时注意“程度线〞，再结合图形中的元素，解出要求的未知元素.同时在学生审题时，强调注意题后对结果准确度的要求，培养严谨的学习态度.三、稳固练习1. 在离旗杆20米处的地方用测角仪测得旗杆顶的仰角为α，假如测角仪高为米，那么旗杆的高为 米〔用含α的三角比表示〕．100米高的平台上，测得地面上一塔顶与塔基的俯角分别为30°和60°，那么塔高为__________米;3. ：如图，建筑物AB 高为200米，从它的顶部A 看另外一建筑物CD 的顶部C 和底部D ，俯角分别为30°和45°，求建筑物CD 的高．4．如图,线段AB 、CD 分别表示甲、乙两幢楼,从甲楼顶部A 处测得乙楼顶部C 的仰角α=30°,从乙楼底部D 测得甲楼顶部A 的仰角β=60°.甲楼的高AB=24米,那么乙楼的高CD为多少米? 5．如图，AB 和CD 是同一地面上的两座相距36米的楼房，在楼AB 的楼顶A 点测得楼CD 的楼顶C 的仰角为45°，楼底D 的俯角为30°．求楼CD的高(结果保存根号). 四、课堂小结1．知道仰角、俯角的意义，明确概念强调的是视线与程度线的夹角；2．认真分析题意，在原有的图形中寻找或通过添加辅助线构造直角三角形来解决问题；AB CABC D C (第5题图)3．按照题目中的准确度进展计算，五、作业布置练习册：习题25.4〔1〕25.4〔2〕解直角三角形一、教学内容分析本节梳理了在直角三角形中，除直角外五个元素之间的关系，然后分析了满足什么条件的直角三角形是可以求解的.二、教学目的设计进一步学习如何把某些实际问题的数量关系归结为直角三角形各元素之间的关系，将实际问题转化为数学问题的方法，进步分析问题、解决问题的才能，体验数学在实际生活中的应用，增强数学应用的意识.三、教学重点及难点正确理解题意，利用解直角三角形的知识将实际问题转化为数学问题.四、教学用具准备三角板、计算器、多媒体设备 五、教学流程设计六、教学过程设计一、 情景引入1．说一说请学生以自己为观察点，尝试运用较为准确的说法说说班级中其他一些同学所处的位置.10°东南西A BCE15°45°北D30°2．考虑如图，以A 为观测中心，分别指出点B 、C 、D 、E 各点所处的方向.[说明]通过创设问题情境激发学生的求知欲望，感悟“数学源于生活又作用于生活〞，体验数学的价值.二、学习新课1．概念辨析 回忆方位角 2．例题分析例题1 如图，在港口A 的南偏东52°方向有一小岛B ，一艘船以每小时24千米的速度从港口A 出发，沿正东方向航行，20分钟后，这艘船在C 处且测得小岛B 在船的正南方向.小岛B 与港口A 相距多少千米〔准确到〕？解: 根据题意,可知∠CAB=90°-52°=38°,∠ACB=90°,AC=24×6020=8(千米). 在Rt △ABC 中,cos ∠CAB=ABAC，得 AB=CAB AC cos =o38cos 8≈10.2(千米).答:小岛B 与港口A 相距约.△ABC 中,测得∠C=62°,∠B=49°,BC=,求河宽(准确到).解: 过点A 作AD ⊥BC,垂足为点D,河宽就是AD 的长.ACB北 南52°30°在Rt △ABD 中,cotB=ADBD，得 BD=AD ·cotB=AD ·cot49°. Rt △ACD 中,cotC=ADCD，得 CD=AD ·cotC=AD ·cot62°, 因为BD+CD=BC ，所以AD ·cot49°+ AD ·cot62° 那么AD=062cot 49cot 5.33 ≈23.9(米).答:河宽约为. 3．问题拓展1.某海防哨所发现间隔 它400海里的北偏西30°A 处有一艘船，该船正向东方向航行，经过3分钟到达哨所东北方向的B 处.求这船的速度是多少？2.某条道路上通行车辆限速为60千米/时,在离道路50米△ABC 中,∠A=45°, ∠B=30°,车辆通过AB 段的时间在多少秒以内时,可认定为超速(准确到0.1秒)?[说明]在例题分析讲解的根底上进展问题的拓展,可以增强对知识点的理解,起到稳固作用.三、稳固练习1．一艘轮船向正东方向航行，上午9时测得它在灯塔P 的南偏西30°方向，间隔 灯塔120海里的M 处，上午11时到达这座灯塔的正南方向的N 处，那么这艘轮船在这段时间内航行的平均速度是多少？2. 由于过度采伐森林和破坏植被，我国许多地区频频遭受沙尘暴的侵袭.近日，A 市气象局测得沙尘暴中心在A 市的正西方向300千米的B 处，以 千米/小时的速度向东偏南30°的BF 方向挪动，距沙尘暴中心200千米的范围是受沙尘暴严重影响的区域〔如图〕.北东(1)通过计算说明A市必然会受到这次沙尘暴的影响；(2)计算A市受沙尘暴影响的时间.四、课堂小结今天学习了什么, 你有什么收获？五、作业布置练习册：习题25.4〔2〕25.4〔3〕解直角三角形的应用一、教学内容分析本节教材内容主要是坡度有关概念，以及利用直角三角形边角关系，解决消费及生活中有关坡度的实际应用问题.二、教学目的设计1．理解坡度有关的概念，学会利用已学过的知识解决有关坡度的实际问题；2．形成分析问题、解决问题的才能和运用数学的意识，感悟数学来源于理论又作用于理论．体验数学的价值.三、教学重点及难点1、学会将某些实际问题中的数量关系归结为解直角三角形中的元素之间的关系，从而解决问题；2、掌握坡度的意义，强调坡度i的表示形式1∶m．四、教学用具准备多媒体五、教学流程设计六、教学过程设计一、 情景引入1．观察 同学们，你们有没有观察到在我们教学楼的东侧有一条残疾人通道？2．考虑我们知道，残疾人通道是斜坡，假设用AB 表示，沿着通道走可进入楼厅，楼厅比楼外的地面高，那么你知道该通道的坡角吗？[说明] 从学生身边的实际生活背景出发，创设问题情境，这样的情景创设，表达了浓重的生活气息，充分调动学生思维的积极性.二、学习新课1．概念辨析如图，坡面的铅垂高度〔h 〕和程度宽度〔L 〕的比叫做坡面的坡度〔或坡比〕，记作i ，即i=Lh .坡度通常写成1:m 的形式，如i=1∶1.5．坡面与程度面的夹角叫做坡角,记作α.坡度i 与坡角α之间的关系: i=Lh =tan α. 2．例题分析例题 1 大楼前残疾人通道是斜坡，假设用AB 表示，沿着通道走可进入楼厅，楼厅比楼外的地面高，那么你知道该通道的坡度与坡角吗？〔角度准确到1’，其他近似数取四位有效数字〕.提问：AB 表示什么？题中数据、各表示什么量？如何求i ？ 解 过点A 作程度线l ，再作BC ⊥l,垂足为点C. 根据题意,可知AB=,BC=. 在Rt △ABC 中,AC=22BC AB -=224.02.3-≈3.175(米). ∴i=175.34.0=AC BC ≈1:7.938. ∴tanA=175.34.0=AC BC ≈0.1260， ∴∠A ≈7°11’.答:残疾人通道的坡度约为1：7.938，坡角约为7°11’.实际生活中,在修路、挖河、开渠等设计图纸上,都需要注明斜坡的倾斜程度,使用着坡度.例题2 如图(图中单位:米),一段铁路路基的横断面为等腰梯形ABCD,路基顶宽BC 为,路基高为,斜坡AB 的坡度i=1:1.6.(1)计算路基的下底宽(准确到); (2)求坡角(准确到1°)解 分别过点B 、C 作BE ⊥AD 、CF ⊥AD ，垂足分别为点E 、F.根据题意，可知BE=1.29(米),AE=DF,EF=BC=2.8(米). 在Rt △ABE 中, ∵6.11AE BE ， ∴×1.2=1.92〔米〕. (1)AD=AE+EF+DF=2AE+EF =2×≈6.6(米) (2)设坡角为α,那么 i=tan α=6.11=0.625, ∴α≈32°.答:路基下底宽约为,坡角约为32°. 3．问题拓展有一段防洪大堤, 其横断面为梯形ABCD,AB ∥CD, 斜坡AD 的坡度ABCD。

锐角的三角比的意义本章教学目标1.经历锐角的三角比概念的形成过程，获得从实际问题中抽象出数学概念的过程体验.理解锐角的三角比的定义，会利用定义求锐角的三角比的值.2.经历用几何方法探求特殊锐角的三角比的值的过程；掌握特殊锐角的三角比的值.3.会利用计算器求锐角的三角比的值；能根据锐角的三角比值求锐角的大小.4.在对满足什么条件可解直角三角形的问题分析过程中，体会从一般到特殊的思考方法；会解直角三角形.了解确定一个直角三角形所需条件与解直角三角形所需条件的一致性.5.理解仰角、俯角、坡度、坡角等概念；会运用解直角三角形的知识解决简单的实际问题；在解决实际问题的过程中，感受数学与现实的联系，增强学数学、用数学的意识和能力.（下面的课时教学目标及重难点是根据一些优秀教案收集整理的，每个班级的学情不一样，各位老师在具体设计时应作调整。

故仅供参考）25.1（1）锐角的三角比的意义教学目标1. 理解在直角三角形中，当一个锐角的大小确定后,那么这个角的对边与邻边的比值也确定了；2. 掌握直角三角形中锐角的正切、余切的定义及符号表示；3. 已知直角三角形的两边,会求锐角的正切、余切值, 掌握规范的解题书写格式；4. 掌握同一个角的正切与余切值互为倒数,知道互为余角的两个角的正切、余切的关系；5. 经历直角三角形中锐角的正切、余切的概念形成过程,获得从实际数学问题中抽象出数学概念的体验.教学重点直角三角形中锐角的正切、余切的定义,会求正切、余切的值.教学难点理解直角三角形中,锐角的大小与两边的长度的比值的关系.25.1（2）锐角的三角比的意义教学目标1.理解当直角三角形的一个锐角的大小确定后,那么它的任意两边的比值都是确定的；2. 理解直角三角形锐角的正弦和余弦的定义,掌握符号表示;知道互余的两个角正弦和余弦的关系；3. 掌握已知直角三角形的两边,会求锐角的正弦和余弦的值;已知锐角的正弦或余弦值,能求边长；4. 掌握在直角坐标平面的背景下求锐角的三角比的值；5. 了解直角三角形锐角三角比值的取值范围；培养分析问题解决问题的能力.教学重点理解直角三角形锐角的正弦和余弦的定义;求锐角的正弦和余弦的值.教学难点了解直角三角形锐角三角比的值的取值范围.25.2（1）求锐角的三角比的值（特殊锐角的三角比的值）教学目标1. 经历用几何方法探求特殊角的三角比值的过程, 掌握特殊角的三角比值; 知道随着锐角的增大, 三角比值的增减规律；2. 掌握已知含有某特殊锐角的三角比的式子,能写出值;已知值,能写出含有某特殊锐角的三角比的式子；3. 会运用特殊角的三角比值进行计算,求锐角的大小；领悟数形结合思想；提高应用数学方法解决问题的能力.教学重点 30°、45°、60°角的三角比值,利用比值进行计算.教学难点三角比的值的记忆.25.2（2）求锐角的三角比的值（使用计算器求锐角的三角比的值）教学目标1. 会使用计算器由已知锐角求它的三角比的值, 由已知三角比的值求它所对应的锐角；2. 培养学数学,用数学的意识,提高用所学数学知识解决实际问题的能力.教学重点使用计算器求三角比的值.教学难点已知一个角的三角比的值，使用计算器求这个角的度数.25.3（1）解直角三角形教学目标1.掌握在直角三角形中，除直角外其余五个元素之间的关系；2.了解解直角三角形的概念,掌握两类基本解直角三角形(已知两边或一边和一锐角)的方法；3.掌握选择合理的关系式和算法（包括用计算器计算时，过程比较简单，误差较小等）解直角三角形；4.经历对满足什么条件的直角三角形可以求解的问题的分析过程，体验从一般到特殊的思维方法.教学重点掌握两类基本解直角三角形的方法.教学难点选择合理的算法解直角三角形.25.3（2）解直角三角形教学目标掌握根据条件，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系解决问题的方法,领会化归的数学思想教学重点构造直角三角形,利用直角三角形的边角关系解决问题.教学难点根据条件, 设法构造直角三角形.25.4（1）解直角三角形的应用教学目标1. 掌握仰角、俯角的概念；2. 掌握利用解直角三角形的知识解决测高, 测距的问题；3. 在解决生活实际中的问题的过程中，感受数学与生活的紧密联系，增强学数学、用数学的意识和能力.教学重点仰角、俯角的概念, 利用解直角三角形的知识解决测高, 测距的问题.教学难点根据题目条件，设计测高、测距方案, 正确画出相关几何图形.25.4（２）解直角三角形的应用教学目标1. 掌握利用解直角三角形的知识, 解决有关方向角的测距问题；2. 利用方程解有一条公共边的两个直角三角形实际问题, 领会化归和方程的数学思想；3. 经历设计测量方案, 把实际问题抽象为数学问题过程, 提高学数学, 用数学的能力.教学重点用解直角三角形的知识解决实际生活中测高、测距类（有一条公共边的两个直角三角形）的问题教学难点构造直角三角形、建立方程, 解直角三角形.25.4（3）解直角三角形的应用教学目标1.掌握坡比, 坡角的概念, 会根据条件求坡比或坡角；2.利用解直角三角形解决有关坡比, 坡角的实际问题；3.在解直角三角形（或任意三角形）中，进一步领会方程思想和化归思想.教学重点利用解直角三角形解决有关坡比, 坡角的实际问题.教学难点把实际问题转化为数学问题, 画出图形,构造直角三角形.25.4（4）解直角三角形的应用教学目标1.掌握利用解直角三角形解决有关实际问题.2.在解直角三角形（或任意三角形）时，进一步领会方程思想和化归思想教学重点掌握利用解直角三角形解决有关实际问题.教学难点把实际问题转化为数学问题,画出几何图形,构造直角三角形.。

§25.1锐角的三角比的意义（2）教学目标：1、理解一个锐角的正弦和余弦的定义，会用符号表示.2、会根据直角三角形两边的值，正确求出锐角的三角比的值.3、知道当直角三角形的一个锐角的大小确定后，那么它的任意两边的比值都是确定的. 教学重点：锐角的正弦、余弦的概念及应用.教学难点：锐角三角比的值的取值范围.教学过程：c b A BC a2、正弦、余弦的概念 我们定义：直角三角形中一个锐角的对边与斜边的比叫做这个锐角的正弦（sine ）.如图：在Rt △ABC 中，∠C =90°，锐角A 的正弦记作A sin ，这时caAB BC A A ===斜边的对边锐角sin直角三角形中一个锐角的邻边与斜边的比叫做这个锐角的余弦（cosine ）.锐角A 的余弦记作A cos ，这时cAB AC A A bcos ===斜边的邻边锐角概念:一个锐角的正切、余切、正弦、余弦统称为这个锐角的三角比.3、锐角三角比的取值范围任何一个锐角的三角比的值都是正实数，其中 0tan >A ， 0cot >A ， ,1sin 0<<A.1cos 0<<A为什么？和斜边比邻边的比值是一个定值.生答：在一个直角三角形中，边长总是大于0的，所以任意两边的比值也大于0；直角三角形的直角边总是小于斜边，所以正弦和余弦是小于1的.题的能力.正弦和余弦的定义直接得出即可.三、新知运用： 例题3、如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AB =17，BC =8，求A sin 和A cos 的值.问1：A sin 和A cos 的值是指什么？问2：已知条件中的∠A 的哪条边还不知道？ 问3：那么我们先求什么？再求什么？解：在Rt △ABC 中，∠C =90° ∵AB =17，BC =8， ∴15=AC∴178sin ==AB BC A ∴1715cos ==AB AC A .小结：已知直角三角形的两边，求锐角三角比的步骤：1、 求出直角三角形的各条边，2、 求出相应的锐角三角比.反馈练习1：练习25.1（2）/1(口答)1、如图△ABC 和△PQR 是直角三角形，∠C=∠P=90°，AC=4，BC=3，PR=12，QR=13.求；（1）sinA ，cosA ；（2）sinQ,cosQ.如果没有直角三角形，那么能否求出锐角的三角比呢？例题4：在直角坐标平面中有一点P （3，4）.求OP 与x 轴正半轴的夹角α的正切、正弦、生答1: AB BC A =sin ,ABACA =cos . 生答2：∠A 的邻边 AC 还不知道.生答3：先求出AC 边，再求出∠A 的正弦和余弦. 生答： （1） sinA=53， cosA=54；（2） sinQ=1312,cosQ=135；例题3是基本题目，在直角三角形中给出两条边求正弦及余弦的值. 注意解题的一般步骤.例题4是在直角坐标的背景下，掌握求正弦及余弦的方A B C。

25.1-25.2锐角三角比的意义及求值【学习目标】1、通过实验、观察、探究、交流、猜测等数学活动，探索锐角三角比的意义。

2、理解锐角三角比的意义，记住三角比的符号，会进行三角比的文字语言与符号语言的转化。

3、会求直角三角形中指定锐角的三角比。

4、应用锐角三角比的意义及运用特殊锐角三角比值进行计算。

【主要概念】【一】锐角的三角函数的意义【1】正切的概念在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与邻边的比，叫做∠A的正切，记作tanA．【2】正弦和余弦的概念如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即【3】三角函数的概念：在直角三角形中，锐角A 的正切(tanA)、正弦(sinA)、余弦(cosA)，都叫做∠A 的三角函数．【二】同角的三角函数之间的关系 【1】平方关系：sin 2α＋cos 2α=1【2】商数关系：【三】互余的两角的关系任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值，任意锐角的正切值与它的余角的正切值的积等于1．即若A+B=90°，则sinA=cosB ，cosA=sinB ，tanA·tanB=1．【四】特殊锐角的三角函数值0° 30°45°60°90° sinA1cosA 1tanA1—典型例题：例1、在Rt ⊿ABC 中，∠C=900，AC=3,BC=2,求tanA 和tanB 的值. 解：在Rt ⊿ABC 中，∵AC=3,BC=2∴tanA=32=AC BCtanB=23=BC AC .分析：(1)要求sinα与cosα的关系的值，而已知tanα的值，故可通过来求值．A B C(2)已知tanα的值，也可通过，把要求的式子的分子，分母同时除以cos 2α转化成关于tanα的关系，这样便可求出结论．点评：在进行三角函数有关计算时，常利用有关公式进行变换．例3、在Rt ⊿ABC 中，∠C=900，BC=4，AB=5，求cotA 和cotB 的值. 解：在Rt ⊿ABC 中，由勾股定理得 AB 2=AC 2+BC 2 ∵BC=4,AB=5, ∴AC=3452222=-=-BC AB .∴cotA=43=BC AC cotB=34=AC BC . 例4、在Rt △ABC 中，∠C=90°，若，求cosB ，tanB 的值．分析：本题主要考查锐角三角函数的定义，结合图形求解可化繁为简，迅速得解． 解：如图，设BC=3m ，则AB=5m ，AB C例5、如图所示，已知AB是⊙O的直径，CD是弦，且CD⊥AB，BC=6，AC=8，则sin∠ABD的值是（）分析：因为AB是⊙O的直径，所以∠ACB=90°．因为BC=6，AC=8，所以AB=10．因为∠ABD=∠ACD=∠ABC，所以在Rt△ACB中，故正确答案为D．答案：D例6、计算分析：这是一组有关特殊角三角函数值的计算题，计算中最关键是将它们先化成具体的数值，同时还要应用其它一些知识帮助求值，如(1)注意分母有理化，(2)应掌握整数指数幂的意义．解：点评：学过锐角三角函数后，特殊角的三角函数的计算是常考不衰的内容，做这类题主要分两步：(一)代入；(二)计算．因此，特殊角的三角函数值必须牢记．例7、若α为锐角且sinα＞sinβ，那么（）A．tanα＞tanβB．tanα＜tanβC．tanα=tanβ D．tanα、tanβ大小关系不确定例8、求适合下列各式的锐角α．点拨：所有锐角三角函数值都是正数，而且正弦和余弦值都不大于1，不符合条件的三角函数值应舍去．例9、如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=4，求BC的长．分析：题中有30°，45°特殊角，想把它们放到直角三角形中，利用三角函数来解题．点评：（1）在作高线构造直角三角形时，一般不过特殊角的顶点作垂线，这样便于利用特殊角解题．（2）有些简单的几何图形可分解为几个直角三角形的组合，从而利用三角函数的定义求解．例10、如图所示．在四边形ABCD中，AB=2，CD=1，∠A=60°，∠D=∠B=90°，求此四边形ABCD的面积．分析：由已知∠B=90°，∠A=60°这两个条件想到延长BC，AD，使它们相交，构成直角三角形．例11、在矩形ABCD中DE⊥AC于E，设∠ADE=α，且，AB=4，求AD．分析：在矩形中AB=DC=4，可证∠α=∠1，于是条件转移到△DCE中来了，求出DE．解：在矩形中AB=DC=4，∠2＋∠α=90°又DE⊥AC，∠1＋∠2=90°∴∠1=∠α点评：注意把条件集中到一起．例12 、如图Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4.求：sin A ，cos A ，tanB ，cotB 的值。

25.1-25.2九年级数学资料锐角三角比的意义（很好,很全,很详细）25.1-25.2锐角三角比的意义及求值【学习目标】1、通过实验、观察、探究、交流、猜测等数学活动，探索锐角三角比的意义。

2、理解锐角三角比的意义，记住三角比的符号，会进行三角比的文字语言与符号语言的转化。

3、会求直角三角形中指定锐角的三角比。

4、应用锐角三角比的意义及运用特殊锐角三角比值进行计算。

【主要概念】【一】锐角的三角函数的意义【1】正切的概念在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与邻边的比，叫做∠A的正切，记作tanA．【2】正弦和余弦的概念如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即【3】三角函数的概念：在直角三角形中，锐角A的正切(tanA)、正弦(sinA)、余弦(cosA)，都叫做∠A的三角函数．【二】同角的三角函数之间的关系【1】平方关系：sin2α＋cos2α=1【2】商数关系：【三】互余的两角的关系任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值，任意锐角的正切值与它的余角的正切值的积等于1．即若A+B=90°，则sinA=cosB，cosA=sinB，tanA·tanB=1．典型例题：例1、在Rt⊿ABC中，∠C=900，AC=3,BC=2,求tanA和tanB的值.解：在Rt⊿AB C中，∵AC=3,BC=2∴tanA=32=AC BCtanB=23=BCAC.分析：(1)要求sin α与cos α的关系的值，而已知tan α的值，故可通过来求值．(2)已知tan α的值，也可通过，把要求的式子的分子，分母同时除以cos 2α转化成关于tan α的关系，这样便可求出结论．点评：在进行三角函数有关计算时，常利用有关公式进行变换．例3、在Rt ⊿ABC 中，∠C=900，BC=4，AB=5，求cotA 和cotB 的值. 解：在Rt ⊿ABC 中，由勾股定理得AB 2=AC 2+BC 2 ∵BC=4,AB=5, ∴AC=3452222=-=-BC AB .∴cotA=43=BC AC cotB=34=AC BC . AB C例4、在Rt△ABC中，∠C=90°，若，求cosB，tanB的值．分析：本题主要考查锐角三角函数的定义，结合图形求解可化繁为简，迅速得解．解：如图，设BC=3m，则AB=5m，例5、如图所示，已知AB是⊙O的直径，CD是弦，且CD⊥AB，BC=6，AC=8，则sin∠ABD的值是（）分析：因为AB是⊙O的直径，所以∠ACB=90°．因为BC=6，AC=8，所以AB=10．因为∠ABD=∠ACD=∠ABC，所以在Rt△ACB中，故正确答案为D．答案：D例6、计算分析：这是一组有关特殊角三角函数值的计算题，计算中最关键是将它们先化成具体的数值，同时还要应用其它一些知识帮助求值，如(1)注意分母有理化，(2)应掌握整数指数幂的意义．解：点评：学过锐角三角函数后，特殊角的三角函数的计算是常考不衰的内容，做这类题主要分两步：(一)代入；(二)计算．因此，特殊角的三角函数值必须牢记．例7、若α为锐角且sinα＞sinβ，那么（）A．tanα＞tanβB．tanα＜tanβC．tanα=tanβ D．tanα、tanβ大小关系不确定例8、求适合下列各式的锐角α．点拨：所有锐角三角函数值都是正数，而且正弦和余弦值都不大于1，不符合条件的三角函数值应舍去．例9、如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=4，求BC的长．分析：题中有30°，45°特殊角，想把它们放到直角三角形中，利用三角函数来解题．点评：（1）在作高线构造直角三角形时，一般不过特殊角的顶点作垂线，这样便于利用特殊角解题．（2）有些简单的几何图形可分解为几个直角三角形的组合，从而利用三角函数的定义求解．例10、如图所示．在四边形ABCD中，AB=2，CD=1，∠A=60°，∠D=∠B=90°，求此四边形ABCD的面积．分析：由已知∠B=90°，∠A=60°这两个条件想到延长BC，AD，使它们相交，构成直角三角形．例11、在矩形ABCD中DE⊥AC于E，设∠ADE=α，且，AB=4，求AD．分析：在矩形中AB=DC=4，可证∠α=∠1，于是条件转移到△DCE中来了，求出DE．解：在矩形中AB=DC=4，∠2＋∠α=90°又DE⊥AC，∠1＋∠2=90°∴∠1=∠α点评：注意把条件集中到一起．例12、如图Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4.求：sin A，cos A，tanB，cotB的值。