利用设而不求解题

ｘ ２ ， Ｙ ２ ）
．
‘ Ｘ ｊ ＋ ｘ ２ ＝ ２ ， ｙ Ｉ ＋ ｙ ２ ＝ ２ ， 直 线 斜 率 ｋ 一÷
．
则ｘ 一 ２ ｙ ： ＝ ２
Ｘ ｚ － ２ ｙ ２ ＝ ２
①
②
所 求 直 线 方 程 为３ ｘ ＋ ４ ｙ 一 ７ ＝ ０ 本 题 属 于 已 知 中 点求 出斜 率 ， 进 而 求 出直 线 方 程 ． ２ ． 求 过 定 点 的 弦 的 中点 的轨 迹 方 程
。
二
３ ｘ ２ ＋ ４ ｙ ２ ＝ １ ２ （ １ ） 一 （ ２ ） 得３ （ ｘ ｌ ＋ ｘ ２ ） （ ｘ １ 一 ｘ ２ ） ＋ ４ （ ｙ １ ｙ ２ ） （ ｙ １ 一 Ｙ ２ ） ＝ ０ ３ ｘ ｉ ＝ ｘ ２ 时， Ｍ（ ０ ， ０ ）
（ ２ ）
足题 意条 件 ． 所 求 的弦 所 在 直线 方 程 为 Ｘ 一 ２ ｙ ＋ ｌ ＝ ０ ． 本 题 是 探 索 性 问 题 ，双 曲 线 中 点 问题 中最 后 需 要 利 用 判
则３ ｘ ＋ ４ ｙ ＝ １ ２ （ １ ）
Ｘ １ ＋ ｘ ２ ＝ ２ ， ｙ ｌ ｙ ２ ＝ ２ ， 直线斜率 ｋ ＝ ÷
．
・
．
得 直 线 方 程 为ｘ 一 ２ ｙ ＋ ｌ ＝ ０
２
由ｘ 一 ２ ｙ ＋ １ ＝
ｘ— ｙ ２ ＝ １ 相结合得ｘ 一 ２ ｘ 一 ５ ： ０判别式８ ＞ ０ 满
当ｘ ｌ ＃ｘ － ２ 时， ３ ｘ ２ ｘ ＋ ４ ｘ ２ ｙ ｘ ｋ Ａ Ｂ ＝ ０
又’ ． ‘ ｋ Ａ ｌ ｌ ＝ ｋ ｐ Ｑ ： －
Ｘ
・
． ．
３ ｘ ＋４ ｙｘ
Ｘ
：０
则ｙ １ ＝ ａ ｘ ： 一 １
‘ ｙ ｚ ＝ ａ ｘ ２ － １
①
（
１
即３ ｘ ‘ ＋ ４ ｖ 一 ４ ｖ ＝ ０
利 用 设 而 不 求 解 题
王 玉建
（ 郸 城县 才源 高 中 ， 河 南 郸城
摘 要： 在 解 析 几 何 解 题 过 程 中 经 常遇 到 中点 问题 ． 多种 解 法中， 设 而 不 求是 解 此 类 问题 的较 为 简便 解 法 。即设 出 以某 点 为 中点 的 弦 的 两 个 端 点 ， 代入 曲线方程 ， 两 方程 相 减 ， 目的 凑 斜 率 凑 中点 ， 这 种 方 法 简称 设 而 不 求 ． 在 解 决 中点 问题 中有
． ．
．
关键词 ： 设 而 不 求 中 点 问题
１ ． 已知 弦 中 点 求直 线方 程
３
所 求 的 轨 迹方 程 为 ｘ ＋ ４ ｙ ： ０ （ 一４＜
３
ｘ ＜ ）
３
例１ ： 在 椭圆３ ｘ ＋ ４ ｙ 。 ＝ １ ２ １ ￣有 一 点 Ｐ （ １ ， １ ） ， 求 以Ｐ 为 中 点 的 弦 所 在 的直 线 方 程 ． 解析： 设 以Ｐ 为 中点 的 弦 的 两 个 端 点 Ａ（ ｘ ． ， Ｙ ） ， Ｂ（ ｘ ： ， ｙ ） ， 显然ｘ ｌ ≠ｘ ２ 则３ ｘ ＋ ４ ｙ ＝ １ ２ （ １ ）
・ ． ．
别式 △进 行 检 验 ， 若 △ ≤０ 则 说 明满 足 条 件直 线 方 程 不 存 在 ．
５ ． 利 用 设 而 不 求解 决 对 称 问题 例５ ：若 抛 物 线 ｖ ＝ ａ ｘ 一 １ 上 恒 有 关 于 直 线ｘ ＋ ｖ ＝ Ｏ 对称 的相 异 两 点Ａ， Ｂ ． 求ａ 的取 值 范 围 ． 设Ａ Ｂ 的 中Ａ Ｍ（ ｘ ０ ， Ｙ ０ ） ， 两 点Ａ（ ｘ ， Ｙ ） ， Ｂ （ ｘ ２ ， Ｙ ｚ ）
（ １ ） 一 （ ２ ） 得： ３ （ ｘ ｌ ＋ ｘ ２ ） （ ｘ １ 一 ｘ ２ ） ＋ ４ （ ｙ １ ＋ ｙ ２ ） （ Ｙ ｌ － Ｙ ２ ） ＝ ０
・
（ ２ ）
弦， 若 存 在求 出来 ． 若不 存 在 说 明 理 由 ． 解析 ： 设存 在ｂ ２Ｐ （ １ ， １ ） 为 中点的弦 的两端点Ｐ （ ｘ ， Ｙ 。 ） ， Ｑ
・
．
①一 ②得 ： （ ｘ Ｉ ＋ ｘ ２ ）ｘ ｌ — ｘ ２ ） ＋ ２ （ ｙ ｌ ｙ ２ ） （ ｙ 广 Ｙ ２ ） ： ０
・
．
例２ ： 求 在椭圆３ ｘ ＋ ４ ｙ ‘ ＝ １ ２ 内过一点Ｐ （ ０ ， １ ） 弦 的 中 点 的 轨 迹方程． 解析 ： 设 弦 的 中点 Ｍ（ ｘ ， ｙ ） Ｎ 端 Ａ Ａ（ ｘ ， Ｙ ） ， Ｂ （ ｘ ， Ｙ ）
Ｍ（ ０ ， ０ ） ￣
・ ．
３ ｘ 一 ＋ ４ ｙ ￣ － ４ ｙ ＝ ０
①一 ②得ｙ ｌ － ｙ ２ ＝ ａ （ ｘ ｌ ＋ ｘ ２ ）ｘ ｌ － ｘ ２ ）
１
‘ ‘
所求过Ｐ （ ０ ， １ ） 的 弦 的 中 点 的轨 迹 方 程 为 ３ ， ＋ ４ ｙ 。４ ｙ ＝ ０ ． 本 题 属 于 过 定 点 弦 中点 轨 迹 问 题 ，关 键 在 于 斜 率 的 表 示
本 题 属 于 已知 斜 率 求 中 点 轨 迹 问 题 ，利 用 设 而 不 求 很 容 易解 决 ． ４ ． 利用设而不求。 解 决探 索性 问题
２
例４ ： 在 双 曲 线 一 Ｙ ＝ １ 内， 是 否 存 在 以Ｐ （ １ ， １ ） 为 中 点 的
３ ｘ ￣ ＋ ４ ｙ ； ＝ １ ２
．
ｏ
’ ．
’ ｙ０ ＝－
方法． ３ ． 已知 斜 率 时 。 求 弦 的 轨 迹方 程
广 泛 的应 用．
４ ７ ７ １ ５ ０ ）
ｘ
； ＋ ２ ｙ ； ＝ ２
） 一 ②得（ ｘ ＋ ｘ ２ ） （ ｘ １ 一 ｘ ２ ） ＋ ２ （ ｙ 。 ＋ ｙ ２ ） （ ｙ 一 Ｙ ） ＝ ０
．
② Βιβλιοθήκη ‘．ｘ ＋ ４ ｙ ＝ ０
—
由ｘ ＋ ４ ｙ ＝ ０ ｘ ＋ ２ ｖ ＝ ２ 得ｘ ＝ ± — ４ 解 析 几何