含有参数的方程的解法及应用题(2)

初一含参方程例题1.阅读下面的材料，解答问题：某中学拟组织七年级全体师生去参观博物馆，在超市购买了27盆花卉，花费150元，其中月季花每盆8元，杜鹃花每盆10元。

（1）设购月季花为x盆，请用x表示出杜鹃花的数量，并求出x的值。

（2）设总费用为y元，请用x表示出y的值，并求出当x为何值时，总费用最大？2.一个容积为50立方米、底面积为10平方米的容器，已知容器内所装液体的密度为，求液体的深度？3.小明用100元钱去购买笔记本，每本售价4元，他买了x本。

（1）请用含x的代数式表示小明剩余的钱数；（2）当x=10时，计算小明剩余的钱数。

4.某纸品加工厂为了制作甲、乙两种无盖的长方体小盒，利用边角料裁出正方形和长方形两种硬纸片，长方形的宽和正方形的边长相等。

规格分别为：15张正方形硬纸片，30张长方形硬纸片，10张无盖长方体小盒。

问：该怎样设计制作甲、乙两种小无盖长方体小盒？5.某工厂第二车间的人数比第一车间的人多，如果从第一车间调15人到第二车间，那么第一车间的人数就是第二车间的。

（1）求第二车间的人数；（2）求调动后的人数。

6.某制药厂生产某种药品，然后通过市场销售和医院推销。

根据调查预测，药品的销售额与销售量成正比，并且用若干台医用高压锅进行加工，其中药品的加工量与药品的销售量之间的关系为，y2 = a•3x，其中a为正整数。

（1）请用x表示y1；（2）如果市场需求量是7.5万件，制药厂有20台医用高压锅，应怎样确定购进这批药品的数量；（3）市场推销某日上了解了当日的药品销售情况，即药品量是550件，上街收费标准是每台20元，制药厂只有5台高压锅可用，其中从当日起算，每连续多用1台，一天多收5元。

那么用高压锅加工这批药品的价值是多少？7.某校运动会上，七年级（2）班运动员以不变的加速冲刺终点。

（1）已知冲刺开始阶段，某一运动员的位移随时间变化的规律，求该运动员的速度；（2）已知距离终点的距离为，当该运动员到达终点时，另一运动员距离重点还有，并最终和终点用时相同，求另一运动员的加速度大小。

含参方程典型例题含参方程是指方程中含有参数的方程，通常用于描述与某些变量相关的抽象数学模型。

在数学中，含参方程常常用于解决实际问题，并且在各个学科领域都有广泛的应用。

本文将通过典型例题来介绍和探讨含参方程的基本概念、解法和应用。

例题1：求解含参方程已知含参方程：\[x^2 + 2px + p = 0\]其中，\(p\)为参数。

求解该方程并分析其解的性质。

解析：首先，我们可以利用一元二次方程求解公式：\[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]将方程表达式化为一元二次方程的标准形式：\(ax^2 + bx + c = 0\)。

对比我们的方程与标准形式，可以得出\(a = 1\)，\(b = 2p\)，\(c = p\)。

将这些值代入求解公式，可以得到：\[x = \frac{-2p \pm \sqrt{(2p)^2 - 4 \cdot 1 \cdot p}}{2 \cdot 1} = -p \pm \sqrt{p^2 - p}\]我们可以观察到，在求解中含有参数\(p\)。

接下来，我们来分析解的性质。

首先，我们计算判别式：\[\Delta = b^2 - 4ac = (2p)^2 - 4 \cdot 1 \cdot p = 4p^2 - 4p = 4p(p - 1)\]当判别式大于0时，方程有两个不同实数根；当判别式等于0时，方程有两个相同的实数根；当判别式小于0时，方程没有实数根。

根据上述分析，我们可以得出以下结论：1. 当\(p = 0\)时，方程化为\(x^2 = 0\)，有一个重根\(x = 0\)；2. 当\(p = 1\)时，方程化为\(x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2 = 0\)，有一个重根\(x = -1\)；3. 当\(p > 1\)时，判别式大于0，方程有两个不同实数根；4. 当\(0 < p < 1\)时，判别式小于0，方程没有实数根。

参数方程解题两例
参数方程是常见的数学解题方法，本文就将分别介绍参数方程解题的两个实例，以便读者加深对参数方程的理解。

首先，我们来看一个典型的参数方程： f(x) = ax + bx + c。

这个参数方程的参数有三个，a、b和c。

这里可以看出，一般情况下，参数方程有几个参数，就有几个变量，分别为x、a、b和c。

接下来，我们来看一个具体的参数方程求解的实例：f(x) = 3x + 4x + 5，求f(2)的值。

解答：我们将参数方程的各个参数代入，可以得到f(2) = 3(2) + 4(2) + 5 = 23，所以f(2)的值为23。

再来看另一个参数方程解题的实例：求f(x) = x - 3x + 2的根。

解答：参数方程求根的解法是知道参数a、b和c，求出根的方法是用公式：
x1 = [-b +(b - 4ac)]/2a
x2 = [-b -(b - 4ac)]/2a
将参数a、b和c代入，可以得到x1 = [3 +(9-8)]/2=1.5，x2 = [3 -(9-8)]/2=0.5，所以f(x) = x - 3x + 2的根分别为1.5和0.5。

以上就是本文介绍的参数方程解题的两个实例。

从这些实例可以看出，参数方程解题的步骤是很简单的，但是却非常实用，在解决复杂的数学问题时十分有用。

在实际应用中，参数方程作为常见的数学解题方法经常被用到，它也是一个重要的数学理论。

希望本文对读者有所帮助，可以更加了解参数方程，从而更好地
掌握数学的解题窍门。

数学下册综合算式专项练习题解含参数的方程与不等式数学下册综合算式专项练习题解：含参数的方程与不等式在数学的学习过程中，我们经常会遇到含参数的方程与不等式的问题。

这类问题需要我们通过对参数进行分析，找到参数的取值范围，从而得到方程或不等式的解集。

在本文中，我们将针对数学下册综合算式专项练习题中的含参数的方程与不等式进行详细解答。

一、含参数的一元一次方程的解法1. 题目描述：求参数m使得方程mx - 3 = 7x - 5 成立。

解答：我们将方程两边的x项合并，并将常数项合并，得到(m - 7)x = -2。

为了方程成立，需要使得方程左边的系数等于右边的常数项，即m - 7 = 0。

解得m = 7。

因此，当m = 7时，方程成立。

二、含参数的一元一次不等式的解法1. 题目描述：求参数a使得不等式ax + 8 > 3x + 2 成立。

解答：我们将不等式两边的x项合并，并将常数项合并，得到(ax - 3x) > (2 - 8)，即(a - 3)x > -6。

为了不等式成立，需要使得方程左边的系数大于右边的常数项，即a - 3 > 0。

解得a > 3。

因此，当a大于3时，不等式成立。

三、含参数的一元二次方程的解法1. 题目描述：求参数k使得方程(k + 1)x^2 - (k - 2)x + (k + 1) = 0有两个相等的实根。

解答：根据二次方程的判别式，当判别式D = b^2 - 4ac等于0时，二次方程有两个相等的实根。

将方程中的系数代入判别式得到(k - 2)^2 - 4(k + 1)(k + 1) = 0。

化简得到k^2 - 8k + 4 = 0。

解此方程得到k = 4 ±√12。

因此，当k = 4 + √12或k = 4 - √12时，方程有两个相等的实根。

四、含参数的一元二次不等式的解法1. 题目描述：求参数m使得不等式(m - 2)x^2 - (m + 1)x + 1 > 0成立。

含参一元二次方程计算100题使用说明：本专题的制作目的是提高学生在含参一元二次方程这一部分的计算能力。

主要有以下几个模块：①公共根；②整数根；③有理根；④已知根的情况求参数；⑤已知根的范围求参数；⑥已知参数范围求根的范围；共100题。

建议先仔细研究方法总结、易错总结和例题解析，再进行巩固练习。

模块一公共根方法总结：①设公共根②代入两方程，联立成方程组③得到新方程④解方程⑤将公共根代入原方程易错总结：最后结果注意代入检验一下是否正确例题解析：已知两方程x2+mx+n=0，x2+nx+m=0有且仅有一个公共根，求m，n的关系．解：设a为两方程的公共根，则……【设公共根】{a2+ma+n=0①a2+na+m=0②，……【将公共根代入两方程，联立】①−②得(m−n)a+(n−m)=0，(m−n)(a−1)=0．……【得到新方程】∵有且只有一个公共根，则m−n≠0．∴a=1，即x=1．……【解出x】将x=1代入原方程得，m+n=−1且m≠n．……【得出m、n关系】巩固练习：1.已知关于x的方程x2+px+q=0与x2+qx+p=0(p≠q)有一个公共根，求(p+q)2012的值．2.已知方程x2+a1x+a2a3=0与方程x2+a2x+a1a3=0有且只有一个公共根．求证：这两个方程的另两根(除公共根外)是方程x2+a3x+a1a2=0的根．3.若方程x2+bx+1=0与方程x2−x−b=0至少有一个相同的实数根，求实数b的值．4.设c是实数，已知x2−3x+c=0的一个解的相反数是方程x2+3x−c=0的一个解，求方程x2−3x+c=0的解．5.已知a>2，b>2，试判断关于x的方程x2−(a+b)x+ab=0与x2−abx+(a+b)=0有没有公共根，请说明理由．6.当p是什么实数时，方程x2+px−3=0与方程x2−4x−(p−1)=0有一个公共根．7.三个二次方程ax2+bx+c=0，bx2+cx+a=0，cx2+ax+b=0有公共根．求证:a+b+ c=0；8.若方程a2x2+ax−1=0和x2−ax−a2=0有公共根，求a的值．9.定义：如果两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们称这两个方程为“友好方程”．如果关于x的一元二次方程x2−4x+5m=mx+5与x2+√2x+m−1=0互为“友好方程”，求m的值．10.定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，则称这两个方程为“友好方程”，已知关于x的一元二次方程x2−2x=0与x2+3x+m−1=0为“友好方程”，求m的值．11.若一元二次方程x2+kx−1=0，x2+x+(k−2)=0有相同的根，求k的值，并求两个方程的根．12.已知m为非负实数，当m取什么值时，关于x的方程x2+mx−1=0与x2+x+m−2=0仅有一个相同的实数根？13.试求满足方程x2−kx−7=0与x2−6x−(k+1)=0有公共根的所有的k值及所有公共根和所有相异根．模块二整数根方法总结：①讨论二次项系数；（如题干限定为“方程”，则要讨论二次项系数是否为0两种情况；如题干限定为“一元二次方程”，则二次项系数必须不等于0）②根据根的情况确定参数范围及参数的取值；③求出方程的整数解。

含参数的方程问题类型一：一元一次方程的含参问题【例1】2(32)0a b x ax b +++=是关于x 的一元一次方程，且x 有唯一解，则x = .【变式1】若方程22(1)8m x mx x --+=是关于x 的一元一次方程，则代数式20061m m --的值是____________【例2】解关于x 的方程：39932+=+mx x m【变式2.1】如果关于x 的方程(1)2001(2)m x n x -=--有无数个解，那么20012001mn +的值是__________【变式2.2】如果不论k 为何值时，1x =-总是关于x 的方程2123kx a x bk +--=的解，则=a ________,=b _________。

类型二：二元一次方程的含参问题【例3】已知关于x 、y 的方程2)42()3(812=-++--a b y b x a 是二元一次方程，则2010)(b a +的值是_________【变式3】若4322009m n x y --+=是关于x 、y 的二元一次方程，且0mn <，03m n <+≤,则m n -的值是_________【例4】已知a 、b 为整数，关于x 的一元一次方程2])12(2[2-=---a x b x 与]3)2[(73)12(+--=+-x b x b 的解相同，求ab【变式4】已知对任意有理数a 、b ，关于x 、y 的二元一次方程()()a b x a b y a b --+=+有一组公共解，则公共解为_________【例5】解关于x 、y 、z 的方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+a cz by b ax cz c by ax 222，其中a 、b 、c 为非零常数【变式5】已知关于x 、y 、z 的方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++21k kz y x k z ky x z y kx ，当k 分别取何值时，方程组有唯一解？有无穷多解？无解？类型三：绝对值方程的含参问题【例6】若0＜x ＜10，则满足条件a x =-3的整数a 的值共有 个，它们的和是【变式6】若关于x 的方程032=+-m x 无解，043=+-n x 只有一个解，054=+-k x 的有两个解，则m 、n 、k 的大小关系是____________【例7】关于x 的方程x a x a -+=1的解是x =0，则a 的值是 ；关于x 的方程x a x a -+=1的解是x =1，则有理数a 的取值范围是【变式7】当a 满足什么条件时，关于x 的方程a x x =---52有一解？有无数多个解？无解？【例8】若关于x 的方程23x a --=有三个整数解，则a 的值是________【变式8】设a 、b 为有理数，且a ＞0，方程3=--b a x 有三个不相等的解，求b 的值【例9】使关于x 的方程1x ax =+同时有一个正根和一个负根的整数a 的值是___________。

初中数学知识归纳解含有参数的方程参数在数学中是一个非常重要的概念，它可以帮助我们解决各种不确定的情况。

在代数学中，我们经常会遇到一类特殊的方程，即含有参数的方程。

下面我将对初中数学中关于含有参数的方程的解法进行归纳总结。

一、一次方程一次方程的一般形式为ax + b = 0，其中a和b是已知的参数。

我们可以通过移项，将参数项和常数项分开，然后根据x的系数求解x的值。

例题1：求方程2x + a = 0的解。

解：将参数项和常数项分开，得到2x = -a。

然后将方程两边都除以2，得到x = -a/2。

所以方程的解为x = -a/2。

例题2：求方程3x + 2a = 5的解。

解：将参数项和常数项分开，得到3x = 5 - 2a。

然后将方程两边都除以3，得到x = (5 - 2a)/3。

所以方程的解为x = (5 - 2a)/3。

二、二次方程二次方程的一般形式为ax² + bx + c = 0，其中a、b和c是已知的参数。

我们可以通过求解方程的根来求得方程的解。

例题3：求方程x² + a² = 0的解。

解：根据平方根的性质，方程的解可以表示为x = ±√(-a²)。

由于在实数范围内，-a²是负数，所以方程的解不存在实数解。

但在复数范围内，我们可以得到x = ±i√(a²)，其中i是虚数单位。

例题4：求方程x² + 2ax + a² = 0的解。

解：根据二次方程的求解公式，可以得到方程的根为x = (-2a ±√(4a² - 4a²))/2，即x = (-2a ± 0)/2，即x = -a。

所以方程的解为x = -a。

三、分式方程分式方程是含有参数的方程中经常遇到的一类。

我们可以通过整理方程，将参数项和常数项整理到一起，然后利用等式两边的性质求解。

例题5：求方程(3/a)x + (3/b) = 1的解。

含有参数的分式方程【问题一】解含有参数的分式方程例如：解关于x 的方程11(1)1a a x +=≠- 分析：解分式方程的一般是方法将分式方程转化为整式方程，通过在等式两边乘以最简公分母达到去分母的效果。

在解决含有参数的分式方程时，将参数看作一个常数进行运算，用含有参数的代数式表示方程的解。

解：去分母，方程两边同时乘以1x -得：1(1)1a x x +-=-整理方程得：(1)2a x a -=-∵1a ≠，∴10a -≠， ∴21a x a -=- 检验，当21a x a -=-时，10x -≠ ∴原分式方程的解为21a x a -=- 小结：将等式中的参数看作常数，用含有参数的代数式表示一个未知数的值，是解决含参问题的基本方法。

练习：解关于x 的方程10(0,1)1m m m x x -=≠≠+且 （1m x m=-） 【问题二】已知含有参数的分式方程有特殊解，求参数的值例如：当a 为何值时，关于x 的方程12325x a x a +-=-+的解为0. 分析：将方程的解代入原方程建立关于参数的方程。

解：当x =0是方程的解时有0123025a a +-=-+，解得 15a = 当15a =时，50a +≠ 所以15a =是方程23152a a -=-+的解. 所以当15a =时，原方程的解为0 . 小结：方程的解是指使得等式两边相等的未知数的值，所以将方程的解代入原式，等式依然成立。

练习：当a 为何值时，关于x 的方程2334ax a x +=-的解为1. （3a =）【问题三】已知含有参数的分式方程解的范围，求参数的值例如：已知关于x 的方程233x m x x -=--的解为正数，试求m 的取值范围. 分析：将m 看作常数，表示出方程的解，根据方程的解的范围建立关于m 的关系式，注意方程有意义这个前提条件.解：去分母得：2(3)x x m --=解得6x m =-∵原方程的解为正数，∴0x >，即60m ->……………①又∵原方程要有意义 ∴30x -≠，即63m -≠……………②由①②可得6m <且3m ≠所以，当6m <且3m ≠时，方程的解为正数.小结：用含有参数的代数式将方程的解表示出来，进而根据原方程解的范围，建立与参数有关的关系式子。

二元一次方程含参数类型的题二元一次方程是初中数学中的重点内容，其具有较强的实用性和广泛的应用场景。

在日常生活和工作学习中，我们常常需要通过二元一次方程来解决问题。

而含参数类型的二元一次方程更是在诸多领域中得到了广泛应用，因此熟练掌握此类方程的解法和应用方法具有重要意义。

一、含参数类型的二元一次方程的定义含参数类型的二元一次方程是由含有参数的二元一次方程所组成的一类方程。

通常在一个二元一次方程当中，方程的系数是已知变量，而未知数则是待求解的、未知的变量。

而当方程中含有参数时，就需要通过解方程的方法来求解方程中的参数和未知数。

此类方程的解法围绕着参数的取值来进行，不同的参数取值会导致方程的根、方程的解集等结果的不同。

二、含参数类型的二元一次方程的应用含参数类型的二元一次方程在实际中有着广泛的应用，以下是其中的几个例子。

（1）经济学中的应用在经济学中，人们通常会使用含参数类型的二元一次方程来描述某两种经济因素的关系，比如生产成本与生产量之间的关系。

经济学家可以通过对方程中的参数进行调节，来分析不同生产成本与生产量之间的关系，并进行经济决策。

（2）物理学中的应用在物理学中，含参数类型的二元一次方程也是非常常见的。

比如，当人们需要计算某一事件的发生概率时，通常会使用含参数类型的二元一次方程，而参数的取值会受到各种因素的影响，比如物理实验中的环境变化等等。

（3）计算机科学中的应用在计算机科学中，人们也常常使用含参数类型的二元一次方程来解决问题。

比如，当一个计算机系统需要进行优化时，通常会使用含参数类型的二元一次方程来描述各种邻近算法和参数对计算复杂度所产生的影响，从而进行系统性能优化。

三、含参数类型的二元一次方程的解法常规的二元一次方程的解法主要有消元法、代入法、求解系数法、公式法等，而在含参数类型的二元一次方程中，这些方法同样适用。

我们以求解含参数类型的二元一次方程为例:$ax+by=c$ $dx+ey=f+x$首先，我们对方程进行整理，使其符合标准二元一次方程的形式：$ax+by-c=0$ $dx+ey-x-f=0$然后，我们通过消元法，将其中一个未知量消去，此处我们选择消去 x：$adx + bey - x = af + ec$ $x = (b + e) y + (c + f - af - ec) / a - d$进一步，我们可以将 x 的值带回到另外一个方程中，得到：$y = (-ad + bc + (ae - bd + ad - bc) f / l) / (ae - bd + l)$其中，$l = ad - bc$。

二、含参不等式与方程知识点拨含参不等式题型一、给出不等式解的情况，求参数取值范围：总结：给出不等式组解集的情况，只能确定参数的取值范围。

记住：“大小小大有解；大大小小无解。

”注：端点值格外考虑。

二、给出不等式解集，求参数的值总结：给出不等式组确切的解集，可以求出参数的值。

方法：先解出含参的不等式组中每个不等式的解集，再利用已知解集与所求解集之间的对应关系，建立方程。

三、给出方程（组）解的情况，转化成不等式（组）总结：先解含参数的方程组，解用含参数的式子表示出来。

列出题中解满足的不等关系，将含参数的式子代入，转化成关于参数的不等式（组）。

四、给出方程组解的个数，确定参数的范围总结：先解出不含参数的不等式的解集，按题意在解集范围内找出连续的几个整数解，参数的范围就在与最后一个整数解差一个单位长度的范围内（借助数轴解决问题），端点值特殊考虑。

例题演练一．选择题（共20小题）1．如果关于x的不等式组有且只有两个奇数解，且关于y的分式方程﹣＝1的解为非负整数，则符合条件的所有整数a的和为（ ）A．8B．16C．18D．20【解答】解：不等式组整理得：，解得：＜x≤6，由不等式组有且只有两个奇数解，得到1≤＜3，解得：2≤a＜10，即整数a＝2，3，4，5，6，7，8，9，分式方程去分母得：3y+a﹣10＝y﹣2，解得：y＝，由分式方程解为非负整数，得到a＝2，6，8，之和为16，故选：B．2．如果关于x的不等式组有且只有四个整数解，且关于x的分式方程＝﹣8的解为非负数，则符合条件的所有整数a的个数为（ ）A．1B．2C．3D．4【解答】解：，不等式组化简为，由不等式组有且只有四个整数解，得到2≤＜3，解得：6≤a＜10，即整数a＝6，7，8，9，，分式方程去分母得：ax﹣28＝﹣32+8，解得：x＝，由分式方程的解为非负数以及分式有意义的条件，x﹣4≠0，x≠4，a≠7，a﹣8＜0，解得：a＜8，因为a＝7是增根，故a＝6．故选：A．3．若关于x的不等式组有且只有五个整数解，且关于y的分式方程＝1的解为非负整数，则符合条件的所有整数a的和为（ ）A．10B．12C．14D．18【解答】解：由①得x≤6，由②得x＞．∵方程组有且只有五个整数解，∴＜x≤6，即x可取6、5、4、3、2．∵x要取到2，且取不到，∴1≤＜2，∴4≤a＜10．∵分式方程﹣＝1的解为y＝4﹣，4﹣是非负整数，∴a≤8，且a是2的整数倍．又∵y≠2，∴a≠4．∴a的取值为6、8．故选：C．4．如果关于x的分式方程+＝2有非负整数解，关于y的不等式组有且只有4个整数解，则所有符合条件的a的和是（ ）A．﹣3B．﹣2C．1D．2【解答】解：解不等式组，得，∵不等式组有且只有4个整数解，∴1＜≤2，∴﹣3＜a≤1．解式方程+＝2，得x＝3﹣a，∵x＝3﹣a为非负整数，﹣3＜a≤1，∴a＝﹣2或﹣1或0或1，∵a＝1时，x＝2，原分式方程无解，故将a＝1舍去，∴所有满足条件的a的值之和是﹣2﹣1+0＝﹣3，故选：A．5．若m使关于x的分式方程1﹣＝的解为非负数，且使关于y的不等式组有且只有三个整数解，则所有满足条件的整数m的和为（ ）A．3B．2C．1D．﹣3【解答】解：去分母得：1﹣x+m＝x+1，解得：x＝，由解为非负整数解，得到≥0，且≠1，即m≥0且m≠2，，由①得，y＜4，由②得，y4，∴，由不等式组只有3个整数解，∴解得：﹣2≤m＜2，∴0≤m＜2，则符合题意m有1，0，1+0＝1故选：C．6．若数a使关于x的不等式组有且仅有4个整数解，且使关于y的分式方程+＝1有正整数解，则满足条件的a的个数是（ ）A．0个B．1个C．2个D．3个【解答】解：解不等式组，得，∵不等式组有且仅有4个整数解，∴﹣1＜≤0，∴﹣8＜a≤﹣3．解分式方程+＝1，得y＝，∵y＝≠2为整数，∴a≠﹣6，∴所有满足条件的只有﹣4，故选：B．7．若整数a使关于x的不等式组无解，且使关于x的分式方程﹣＝﹣3有正整数解，则满足条件的a的值之积为（ ）A．28B．﹣4C．4D．﹣2【解答】解：不等式组整理得：，由不等式组无解，得到3a﹣2≤a+2，解得：a≤2，分式方程去分母得：ax+5＝﹣3x+15，即（a+3）x＝10，由分式方程有正整数解，得到x＝，即a+3＝1，2，5，10，解得：a＝﹣2，﹣1，2，7，∵x≠5，即≠5∴a≠﹣1综上，满足条件a的为﹣2，2，之积为，﹣4，故选：B．8．如果关于x的方程＝1有正整数解，且关于y的不等式组至少有两个偶数解，则满足条件的整数a有（ ）个．A．0B．1C．2D．3【解答】解：解方程＝1得，x＝，∵方程有正整数解，∴整数a＝1，3，6，解不等式组得，∵关于y的不等式组至少有两个偶数解，∴a﹣1≤2，∴a≤3，∴满足条件的整数a有两个．故选：C．9．如果关于x的分式方程+＝3的解为整数，且关于x的不等式组有且仅有1个正整数解，则符合条件的所有整数a的和是（ ）A．15B．12C．7D．6【解答】解：分式方程+＝3，去分母得：ax﹣5﹣10＝3x﹣9，整理得：x＝，由分式方程的解为整数，得到a﹣3＝±1或a﹣3＝﹣2或a﹣3＝±3或a﹣3＝±6，解得：a＝4或2或1或6或0或9或﹣3，不等式组整理得：，解得：﹣2＜x≤，由不等式组有且仅有1个正整数解，得到正整数解为1，则有1≤＜2，解得：1≤a＜6，综上，整数a＝1，2，4，这几个整数的和为7．故选：C．10．若实数a使关于x的不等式组至少有3个整数解，且使关于y的分式方程+＝1有正整数解，则符合条件的所有整数a的和为（ ）A．﹣7B．﹣12C．﹣21D．﹣23【解答】解：，解不等式①得：x≥﹣7，解不等式②得：x＜a+6，∴﹣7≤x＜a+6，∵至少有3个整数解，∴a+6＞﹣5，∴a＞﹣11；分式方程两边都乘以y﹣3得：4y﹣（y﹣a）＝y﹣3，解得：y＝﹣，∵y﹣3≠0，∴﹣≠3，∴a≠﹣9，∵分式方程有正整数解，∴﹣＞0，∴a＜﹣3，∴﹣11＜a＜﹣3且a≠﹣9，∵a是整数，﹣是正整数，∴a＝﹣7，﹣5，∴所有a的和为﹣12．故选：B．11．如果关于x的分式方程有整数解，且关于x的不等式组的解集为x＞4，那么符合条件的所有整数a的值之和是（ ）A．7B．8C．4D．5【解答】解：由分式方程可得1﹣ax+2（x﹣2）＝﹣1解得x＝∵关于x的分式方程有整数解，且a为整数∴，即a≠1于是a＝0、3、4又∵关于x的不等式组整理得而不等式组的解集为x＞4∴a≤4于是符合条件的所有整数a的值之和为：0+3+4＝7故选：A．12．若关于x的不等式组至少有3个整数解，且关于y的分式方程＝1的解是非负数，则符合条件的所有整数a的个数是（ ）A．3个B．4个C．5个D．6个【解答】解：解不等式组，得，∵不等式组至少有3个整数解，∴a≥2，解分式方程＝1，得y＝6﹣a，∵y＝6﹣a为非负数，a≥2，∴a＝2、3、4、5、6，∵a＝4时，y＝2，原分式方程无解，故将a＝4舍去，∴符合条件的所有整数a的个数为4，故选：B．13．若关于x的分式方程＝1有正整数解，且关于y的一元一次不等式组的解集为y≤a，则所有满足条件的整数a的和为（ ）A．8B．7C．3D．2【解答】解：分式方程去分母，得：x﹣a＝x﹣2+5﹣2x，解得：x＝，由不等式组，解不等式①，得：y＜5，解不等式②，得：y≤a，∵不等式组的解集为y≤a，∴a＜5，又∵分式方程有正整数解，且x≠2，∴符合题意的整数a的值可以取3；﹣1，它们的和为3+（﹣1）＝2，故选：D．14．若关于x的不等式组至少有4个整数解，且关于y的分式方程3﹣＝有整数解，则符合条件的所有整数a的和为（ ）A．4B．9C．11D．12【解答】解：不等式组整理得：，解得：﹣2≤x＜a﹣1，由不等式组至少有4个整数解，得到a﹣1＞1，即a＞2，分式方程去分母得：3（y﹣1）﹣ay＝﹣5，去括号得：3y﹣3﹣ay＝﹣5，即（3﹣a）y＝﹣2，解得：y＝，由分式方程有整数解，得到a﹣3＝±1，a﹣3＝﹣2，解得：a＝2（不符合题意，舍去），a＝4，a＝1（不符合题意，舍去），故符合条件的所有整数a的和为4．故选：A．15．若实数a使关于x的不等式组有且只有4个整数解，且使关于x的方程＝﹣2的解为正数，则符合条件的所有整数a的和为（ ）A．7B．10C．12D．1【解答】解：解不等式组得，，∵不等式组只有4个整数解，∴0，∴0＜a≤6，解分式方程得：，∵分式方程的解为正数，∴，且≠1，解得：a＜5且a≠3，综上可得，a的取值范围为0＜a＜5，且a≠3，则符合条件的所有整数a的和为：1+2+4＝7．故选：A．16．若关于x的不等式组有且仅有4个整数解，且使得关于y的方式方程有整数解，则满足条件整数a的和为（ ）A．﹣4B．﹣3C．﹣2D．9【解答】解：，解不等式①，得：x≤3，解不等式②，得：x＞﹣，∵该不等式组有且仅有4个整数解，∴﹣1≤﹣＜0，解得：﹣4＜a≤1，分式方程去分母，得：y﹣（1﹣y）＝﹣a，解得：y＝，∵分式方程有整数解，且y≠1，∴满足条件的整数a可以取﹣3，1，其和为﹣3+1＝﹣2，故选：C．17．若关于x的不等式组无解，且关于y的分式方程＝1﹣的解为非负整数，则符合条件的所有整数a的和为（ ）A．6B．16C．18D．20【解答】解：，解①得，x≥3，解②得，x＜a﹣7，∵不等式组无解，∴a﹣7≤3，∴a≤10，＝1﹣，去分母，得﹣3y＝y﹣2﹣a﹣y，∴y＝，∵分式方程＝1﹣的解为非负整数，∴y≥0且y﹣2≠0，∴且a≠4，∵a为整数，为非负整数，∴a＝﹣2，1，7，10，∴整数a的和为﹣2+1+7+10＝16．故选：B．18．如果关于x的分式方程有整数解，且关于x的不等式组的解集为x，那么符合条件的所有整数a的和为（ ）A．4B．6C．2D．1【解答】解：分式方程去分母得：ax﹣2x+4＝﹣x，整理得：x＝，由分式方程有整数解，得到1﹣a＝1或﹣1或﹣2或4或﹣4，解得：a＝0，2，3，﹣3，5，不等式组整理得：，由不等式组的解集为x＞，得到a﹣1≤，即a≤，则a的值为0，2，3，﹣3，之和为2，故选：C．19．若整数a使得关于x的不等式组的解集为x＜﹣2，且关于y的分式方程＝+3的解为负数，则所有符合条件的整数a的和为（ ）A．0B．﹣3C．﹣5D．﹣8【解答】解：，解不等式①得x＜﹣2，解不等式②得，∵不等式组的解集为x＜﹣2，∴，解得a≥﹣5，解关于y的分式方程＝+3得y＝，∵关于y的分式方程＝+3的解为负数，∴＜0，∴a＜5，∵y+1≠0，∴y≠﹣1，即≠﹣1，解得a≠3，∴﹣5≤a＜5且a≠3，∵a为整数，∴a＝﹣5或±4或﹣3或±2或±1或0，∴﹣5+4﹣4﹣3+2﹣2+1﹣1+0＝﹣8，故所有符合条件的整数a的和为﹣8．故选：D．20．若关于x的一元一次不等式组的解集为x≤a；且关于y的分式方程＝1有正整数解，则所有满足条件的整数a的值之积是（ ）A．28B．﹣14C．7D．﹣56【解答】解：，解不等式①，得：x≤a，解不等式②，得：x≤7，∵该不等式组的解集为x≤a，∴a≤7，分式方程去分母，得：y﹣a+3y﹣4＝y﹣2，，解得：y＝，∵分式方程有正整数解，且y≠2，∴满足条件的整数a可以取7，1，其积为7×1＝7，，故选：C．。

含参方程与含参不等式例题1. 前言：数学的“调皮鬼”嘿，大家好！今天咱们聊聊那些数学里难搞的“调皮鬼”，也就是含参方程和含参不等式。

别一听这个就想跑，咱们轻松点儿，像喝茶聊天一样，慢慢来，保证让你明白个一清二楚！想象一下，方程就像一位追求完美的恋人，总想把自己弄得严严实实，没什么不确定的。

但含参方程就不一样了，它总是喜欢加上一些神秘的参数，让你在解题的过程中像侦探一样，寻找线索、破解谜团。

嗯，听起来是不是有点酷？1.1 含参方程的基本概念首先，含参方程就是带有一个或多个参数的方程。

比如说，我们有个方程 (y = kx + b)，这里的 (k) 和 (b) 就是参数。

你可以想象一下，这些参数就像调味料，可以让同样的菜肴吃出不同的味道。

只要把参数的值换一换，结果就可能天差地别。

哎，你可能会问，为什么要用参数呢？这就像是给方程加点儿神秘色彩，增加了变化性。

就像人一样，不同的背景、经历，会让同一个人表现得截然不同。

1.2 含参方程的求解方法说到求解含参方程，首先你得明确参数的值。

有时候，题目里会给出一些条件，比如“当 (k = 2) 时，方程变成什么样？”这时候，你就可以把参数的值代入，得到一个具体的方程，然后再一步一步地解出结果。

别急，有些同学可能会说，哎呀，这样不是太简单了吗？其实，这只是开始，真正的挑战在后头！我们还得考虑不等式。

这就像是先有了主菜，接着还得配上一道开胃小菜，让整顿饭更美味。

2. 含参不等式的神奇之处接下来，我们要聊的是含参不等式。

它的样子就像个小精灵，活泼好动，没法轻易捉住。

含参不等式像是一个游戏规则，告诉我们在什么情况下某个条件成立。

例如，我们有不等式 (ax + b > 0)，其中的 (a) 和 (b) 就是我们的参数。

这个不等式的意思是，只要 (ax + b) 大于零，就能成立。

可问题是，参数不同，结果也不同，这就让我们得好好琢磨琢磨。

2.1 含参不等式的求解技巧要解决这样的不等式，首先得分析参数的取值范围。

与一元一次方程有关的参数问题题目一元一次方程是数学中的基础概念，常常出现在各种应用问题中。

本文将给出一些与一元一次方程有关的参数问题题目，并解答这些问题。

问题1：一个数加上12等于20，求这个数是多少？解析：设这个数为x，根据题意，可以得到方程x + 12 = 20。

解方程的步骤如下：x + 12 = 20x = 20 - 12x = 8所以这个数为8。

问题2：一个数减去20等于12，求这个数是多少？解析：设这个数为x，根据题意，可以得到方程x - 20 = 12。

解方程的步骤如下：x = 12 + 20x = 32所以这个数为32。

问题3：一个正整数加上50等于100，求这个数是多少？解析：设这个数为x，根据题意，可以得到方程x + 50 = 100。

解方程的步骤如下：x + 50 = 100x = 100 - 50x = 50所以这个数为50。

问题4：一个数的三倍减去10等于40，求这个数是多少？解析：设这个数为x，根据题意，可以得到方程3x - 10 = 40。

解方程的步骤如下：3x = 40 + 103x = 50x = 50 / 3所以这个数为50/3。

问题5：一条绳子剪成两段，其中一段是另一段的3倍，总长度为40cm，求这两段的长度分别是多少？解析：设其中一段的长度为x，另一段的长度为3x，根据题意，可以得到方程x + 3x = 40。

解方程的步骤如下：x + 3x = 404x = 40x = 40 / 4x = 10所以其中一段的长度为10cm，另一段的长度为3*10=30cm。

问题6：父亲的年龄是儿子的5倍，两人的年龄之和是54岁，求父亲和儿子的年龄分别是多少？解析：设儿子的年龄为x，父亲的年龄为5x，根据题意，可以得到方程x + 5x = 54。

解方程的步骤如下：6x = 54x = 54 / 6x = 9所以儿子的年龄为9岁，父亲的年龄为5*9=45岁。

问题7：某商品原价为x元，降价20%后的价格为16元，求原价是多少？解析：设原价为x元，根据题意，可以得到方程x - 0.2x = 16。

初中数学解含参数的方程练习题及答案1. 解方程：4x + 3 = 2（x + 5）- a解：将等式中的参数 a 视为常数，首先将方程进行展开，得到： 4x + 3 = 2x + 10 - a接下来，将同类项进行整理，得到：4x - 2x = 10 - 3 - a化简得：2x = 7 - a最后，将方程两边同时除以 2，得到：x = (7 - a) / 22. 解方程：3（x - a） + 2 = 4x + 3a解：将等式中的参数 a 视为常数，首先将方程进行展开，得到： 3x - 3a + 2 = 4x + 3a接下来，将同类项进行整理，得到：3x - 4x = 3a + 2 + 3a化简得：-x = 6a + 2最后，将方程两边同时乘以 -1，得到：x = -6a - 23. 解方程：2（3x - a） = 5（x + 2a）解：将等式中的参数 a 视为常数，首先将方程进行展开，得到： 6x - 2a = 5x + 10a接下来，将同类项进行整理，得到：6x - 5x = 10a + 2a化简得：x = 12a因此，当参数 a 为任意实数时，方程的解为 x = 12a。

4. 解方程：2（x - a） + 3（x - 2a） = 4（x + a） - 5解：将等式中的参数 a 视为常数，首先将方程进行展开，得到： 2x - 2a + 3x - 6a = 4x + 4a - 5接下来，将同类项进行整理，得到：2x + 3x - 4x = 4a + 6a + 5化简得：x = 10a + 5因此，当参数 a 为任意实数时，方程的解为 x = 10a + 5。

5. 解方程：a^2 - (a - 1)^2 = 48解：首先将等式中的参数 a 视为常数，将方程进行展开，得到：a^2 - (a^2 - 2a + 1) = 48接下来，将同类项进行整理，得到：a^2 - a^2 + 2a - 1 = 48化简得：2a - 1 = 48接着，将方程两边同时加上 1，得到：2a = 49最后，将方程两边同时除以 2，得到：a = 24.5以上是初中数学解含参数的方程练习题及答案，通过化简、整理同类项，我们可以求得方程中参数 a 对应的解 x 的取值范围。

含参一元一次方程一、方程的解1、若关于x 的方程2m x －3＝1的解为x ＝2，则m 的值为 ．2、已知关于x 的方程234=-m x 的解是m x =，则m 的值是 ．3、若2=x 是方程0103=-+bx ax 的解，则b a 93+的值是 ．二、两方程的解相关1、如果方程6x+3a ＝22与方程3x+5＝11的解相同，那么a ＝ ．2、若关于x 的方程b x x +=+2320221的解是3=x ，则关于y 的方程()()b y y +-=+-223220221 的解是 ．3、若关于x 的方程)1221-=+x x （与312+=-x k x 的解互为相反数，求k 的值.4、m 为何值时，关于x 的方程2x －3m ＝x 的解是4x －2m ＝3x －1的解的2倍？三、整数解问题（整除）1、已知关于x 的方程1039+=-kx x ．（1）若这个方程的解是2=x ，求k 的值；（2）当整数k 为何值时，方程有正整数解？并求出它的正整数解．四、新定义问题9、【定义】若关于x 的一元一次方程ax ＝b 的解满足x ＝b+a,则称该方程为“友好方程”,例如:方程2x ＝-4的解为x ＝-2,而-2＝-4+2,则方程2x ＝-4为“友好方程”.【运用】(1)在①342=-x ;②121-=x 两个方程中，是“友好方程”的是 ;(填序号) (2)若关于x 的一元一次方程3x ＝b 是“友好方程”，求b 的值;(3)若关于x 的一元一次方程-2x ＝mn+n(n≠0)是“友好方程”,且它的解为x ＝n,则m ＝ ，n ＝ ．专题挑战1、若方程312－x =+和032=--x a 的解相同，则a 的值是 ．2、已知方程233m x x -=+的解满足10x -=，则m . 3、若关于x 的方程a x x -=+2202320232022的解是3=x ，则关于y 的方程()()a y y -+=++122023120232022 的解是 ．4、已知关于x 的一元一次方程x kx -=4的解为整数，则k 所能取的整数值为 .5、若关于x 的方程30x m +-=和2212x m x +=-的解的和为4,求m 的值.6、我们规定:若关于x 的一元一次方程()0≠=+a b x a 的解为a b x =,则称该方程为“商解方程”例如:42=+x 的解为2=x 且242=,则方程42=+x 是“商解方程”请回答下列问题: （1）判断53=+x 是不是“商解方程”.；（2）若关于x 的一元一次方程()336-=+m x 是“商解方程”,求m 的值.。

利用含参量的方程求解问题的练习题在数学问题的解答中，常常会遇到需要求解含有一定参数的方程的情况。

这类问题需要我们通过给定条件，确定参数的值，从而找到方程的解。

接下来，我将通过一些练习题来说明如何利用含参量的方程求解问题。

练习题1：已知直线L1的斜率为k，过点A（2,-3）与直线L1平行的直线L2过点B（4,5）。

证明点A、B、O（0,0）三点共线。

解答：设L1的方程为y=kx+b，其中b为待定常数。

由于直线L1过点A （2,-3），则方程变为-3=2k+b，即b=-3-2k。

因此，直线L1的方程为y=kx-3-2k，化简得y=(k-3)x-3。

由于直线L2与直线L1平行，且过点B（4,5），则直线L2的方程为y=(k-3)x+m，其中m为待定常数。

由于点O（0,0）位于直线L2上，故有0=(k-3)×0+m，即m=0。

因此，直线L2的方程为y=(k-3)x。

若点A、B、O三点共线，则直线L2必与直线L1相交于点（0,0）。

代入直线L2的方程，得0=(k-3)×0，即k=3。

综上所述，当斜率k=3时，三点A（2,-3）、B（4,5）、O（0,0）共线。

因此，利用含参量的方程求解问题的练习题得出结论。

练习题2：已知曲线C的方程为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c均为待定常数。

曲线C上存在两个点A（2,3）和B（-1,4），求曲线C的具体方程。

解答：设曲线C的方程为y=ax^2+bx+c。

由已知点A（2,3），代入方程，得3=a×2^2+b×2+c，即4a+2b+c=3。

同理，由已知点B（-1,4），代入方程，得4=a×(-1)^2+b×(-1)+c，即a-b+c=4。

解方程组：4a+2b+c=3，a-b+c=4。

将第一个方程乘以2，得8a+4b+2c=6。

将第二个方程乘以4，得4a-4b+4c=16。

将这两个方程相加，得到12a+6c=22，即6a+3c=11。

初一数学上册综合算式专项练习题解带有参数的方程在初一数学上册的学习中，综合算式是一个非常重要的内容。

对于初学者来说，掌握综合算式的基本概念和解题方法是很关键的。

本文将针对初一数学上册综合算式专项练习题解带有参数的方程进行详细讲解。

在解题前，我们先来了解一下参数和方程的基本概念。

参数是指在数学问题中，具有不同取值的量。

而方程则是一个等式，其中包含有一个或多个未知数，需要通过求解来得到未知数的值。

有参数的方程则是方程中含有参数的一种特殊情况。

接下来，我们将通过几道具体的题目来进行讲解。

题目一：设a是一个实数，求解方程a + 4 = 8。

解题步骤：1. 将方程写成标准形式：a + 4 - 8 = 0。

2. 化简方程：a - 4 = 0。

3. 将方程转化为参数形式：a - 4 = 0，其中a为实数。

4. 求解方程得到参数a的值：a = 4。

因此，当a取4时，原方程成立。

题目二：求解方程2x + 3 = a，其中a是实数。

解题步骤：1. 将方程转化为标准形式：2x + 3 - a = 0。

2. 将方程转化为参数形式：2x + 3 - a = 0，其中a为实数。

3. 根据方程可以发现，x的值与a无关，因此x可以取任意实数。

所以，对于任意实数a来说，方程2x + 3 = a的解集为全体实数集。

通过以上两道题目的解答，我们可以看出，当遇到带有参数的方程时，我们需要根据参数的取值范围来讨论方程的解集。

题目三：求解方程3x + a = 0，其中a为已知实数。

解题步骤：1. 将方程转化为标准形式：3x + a = 0。

2. 将方程转化为参数形式：3x + a = 0，其中a为已知实数。

3. 根据方程可以发现，x的值与a相关，当a=0时，方程3x + a = 0的解为x=0；当a≠0时，则不存在实数解。

综上所述，在解带有参数的方程时，我们需要根据参数的具体取值范围来讨论方程的解集。

通过本文的讲解，我们对初一数学上册综合算式专项练习题解带有参数的方程有了更深入的理解。

含有参数的方程的解法及应用题（2）含有参数的方程的解法61211312)2()2(33)121--+=+-+--=-+x x x x x x 、（、剖析：当a ≠0时，方程有唯一的解，x=b/a 解关于x 的方程ax=b 当a=0,b ≠0时，方程无解当a=0,b=0,方程有无数个解，且解为任意数分类讨论：解关于x 的方程例如：1、mx-m=nx移项，得mx-nx=m 当m-n ≠0,即m ≠n 时，x=m/(m-n) 合并，得（m-n ）x=m 当m-n=0,m ≠0时，方程无解当m-n=0,m=0时，方程有无穷多解反之：有唯一解时，则a ≠0关于x 的方程ax=b 无解时a=0,b ≠0无穷多解时a=0,b=01、已知关于x 的方程2a(x-1)=(5-a)x+3b 有无穷多解，则a,b 的值分别是多少？2、已知等式2a(x-1)=(5-a)x+3b,对于任意x 均成立，试求a,b 的值；3、若关于x 的一元一次方程（a+b ）x 2+ax+b=0有唯一解，则x的值？（提示：a,b互为相反数）含有绝对值方程的解法：1、解可化为︱x︱=a(a≥0)的绝对值方程19-︱x︱=100-10︱x︱2、解形如︱ax+b︱=c的绝对值方程（讨论：ax+b=c或ax+b=-c）︱2x+3︱=5︱3x-1︱-︱2x+1︱=0︱3x+1︱-︱4x-1︱=0︱7x-3︱-︱5x+1︱=03(-2︱x︱-1)=︱x︱ /5-54(︱x︱-1)=︱x︱/2+13(︱x︱-1)=︱x︱/5+1(2︱x︱-1)/3+1=(︱x︱+2)/23、解形如︱ax+b︱=cx+d的绝对值方程（检验：x的值要满足cx+d≥0）︱3x+2︱=5x-10 (提示：x的值要满足5x-10≥0,否舍去)利用方程的解求字母的值：1、如果x=-2是方程a(x+3)=1/2a+x的解，求a2/2-a+1的值；2、若方程2x+1=3x的解与关于x-3a=4的解相同，求关于y的方程-1/2ay+1=3/2y+5的解；讨论题型：若a＞0,b＜0,则使︱x-a︱+︱x-b︱=a-b成立的x的取值范围是（）；（提示，在数轴上分段找x的取值关键点）一元一次方程应用题分段收费类型：1、某城市按一下规定收取每月的水费：用水量如果不超过6吨，按每吨1.2元收费；如果超过6吨，超过部分则按每吨2元收费。