设参数法解应用题

列方程解应用题的四种方法列方程（组）解应用题就是将已知量与未知量的关系列成等式，通过解方程（组）求出未知量的过程. 其目的是考查学生分析问题和解决问题的能力. 如何解决这类问题，其方法很多，现结合实例给出几种解法，以供参考.一、直译法设元后，把元看作未知数，根据题设条件，把数学语言直译为代数式，即可列出方程组. 例1（2007年南京市）某农场去年种植了10亩地的南瓜，亩产量为2000kg ，根据市场需要，今年该农场扩大了种植面积，并且全部种植了高产的新品种南瓜，已知南瓜种植面积的增长率是亩产量增长率的2倍，今年南瓜的总产量为60 000kg ，求南瓜亩产量的增长率． 分析：若设南瓜亩产量的增长率为x ，则南瓜种植面积的增长率为2x ．由此可知今年南瓜的亩产量为2000(1)x +kg ，共种植了10(12)x +亩南瓜，根据总产量是60 000kg 即可列出方程.解：设南瓜亩产量的增长率为x ．根据题意列方程，得10(12)2000(1)60000x x ++= ．解得10.550%x ==，22x =-（不合题意，舍去）． 答：南瓜亩产量的增长率为50％．二、列表法设出未知数后，视元为未知数，然后综合已知条件，把握数量关系，分别填入表格中，则等量关系不难得出，进而列出方程组.例2（2007年沈阳市）甲、乙两个施工队共同完成某居民小区绿化改造工程，乙队先单独做2天后，再由两队合作10天就能完成全部工程．已知乙队单独完成此项工程所需天数是甲队单独完成此项工程所需天数的45，求甲、乙两个施工队单独完成此项工程各需多少天？ 分析：解工程问题的关键是抓住工作总量、工作效率、工作时间三者间的关系，工作总量通常看作单位1. 根据题意，将关键数据分别填入表格即可列出方程.解：设甲队单独完成此项工程需要x 天，则乙队单独完成此项工程需要45x 天. 由题意得1012145x x +=.解得25x =. 经检验，25x =是原方程的解. 当25x =时，4205x =. 答：甲、乙两个施工队单独完成此项工程分别需25天和20天．三、参数法对复杂的应用题，可设参数，则往往起到桥梁的作用.例3 （2007年滨州市）某人在电车路轨旁与路轨平行的路上骑车行走，他留意到每隔6分钟有一部电车从他后面驶向前面，每隔2分钟有一部电车从对面驶向后面．假设电车和此人行驶的速度都不变（分别为12u u ，表示），请你根据图1，求电车每隔几分钟（用t 表示）从车站开出一部？分析：本题给人数量少，条件不足，好象无从下手的感觉，因此可把需要的量以辅助未知数（参数）的形式表示出来.解决本题的关键是正确求出两部电车的间隔距离，如图1（甲）所示，则从行人身后（人车同向）发来的两辆电车间的距离为：6×（电车行进的速度－行人骑车的速度）；如图1（乙）所示，则从行人前方（人车异向）发来的两辆电车间的距离为：2×（电车行进的速度＋行人骑车的速度）.解：设电车的速度为1u ，行人的速度为2u ，电车每隔t 分钟从车站开出一部.根据题意得1211216()2()u u u t u u u t -=⎧⎨+=⎩，解得122u u =． 再把122u u =代入所列方程组的任意一个方程中，均可解得3t =（分钟）.答：电车每隔3分钟从车站开出一部．四、线示法运用图线，把已知和未知条件间的数量关系，用线性图表示出来，再把数量关系写在直线图上，则等量关系可一目了然.例4（2007年梅州市）梅林中学租用两辆小汽车（设速度相同）同时送1名带队老师及7名九年级的学生到县城参加数学竞赛，每辆限坐4人（不包括司机）．其中一辆小汽车在距离考场15km 的地方出现故障，此时离截止进考场的时刻还有42分钟，这时唯一可利用的交通工具是另一辆小汽车，且这辆车的平均速度是60km/h ，人步行的速度是5km/h （上、下车时间忽略不计）．（1）若小汽车送4人到达考场，然后再回到出故障处接其他人，请你能过计算说明他们能否在截止进考场的时刻前到达考场；（2）假如你是带队的老师，请你设计一种运送方案，使他们能在截止进考场的时刻前到达考场，并通过计算说明方案的可行性．分析：（1）可把单独用一辆小汽车来回接送学生所需要的时间与42分钟做比较即可；（2）若确定去县城的最短时间，可充分考虑“汽车”和“人”这两个运动因素. 显然当汽车到达时，人也同时到达这一情况可使运送学生的总时间最短. 最短时间可利用速度比求得.解：（1）不能在限定时间内使考生到达考场.图1理由如下：如果单独用一辆小汽车来回接送，那么小汽车需要跑3趟，所需要的时间为1533(h)45604⨯==（分钟），由于45分钟42>分钟，所以不能在限定时间内到达考场． （2）方案不惟一，具有开放性. 最短时间的方案设计如下：先让4人乘车，另4人步行，如果恰当的选取第一批学生下车的位置，然后让他们步行到车站，同时第二批4人也步行；小汽车返回后接第二批步行的4人追赶第一批步行的人，使这8人同时到达火车站. 在这个过程中，8个人始终在步行或乘车，没有因为等车而浪费时间，因而应该最节约时间. 其运动过程如图2所示.设先步行的4人的行走路程AB 为km x ，后步行的4人的行走路程CD 为km z ，中间的汽车行走路程BC 为km y . 则汽车在路线A C B →→上所用时间与先步行的4人在路线A B →上所用的时间相等；汽车在路线C B D →→上所用时间与后步行的4人在路线C D →上所用的时间相等. 根据在相等的时间内，路程之比等于速度之比，可以得到：:(2)5:60:(2)5:60x x y z z y +=⎧⎨+=⎩ 整理得212212x y x z y z+=⎧⎨+=⎩ 解得2,112.11x y z y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 又因为15x y z ++=，所以可得：2x =，11y =，2z =. 由题知所用最短时间为汽车行走的路程与汽车的速度之比，即3376060x y z ++=（时）37=（分钟）. 因为3742<，所以他们能在截止进考场的时刻前到达考场． 图2。

高考求函数解析式方法及例题-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN函数专题之解析式问题求函数解析式的方法把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫函数的解析式，简称解析式。

求函数解析式的题型有：（1）已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法；（2）已知()f x 求[()]f g x 或已知[()]f g x 求()f x ：换元法、配凑法； （3）已知函数图像，求函数解析式；（4）()f x 满足某个等式，这个等式除()f x 外还有其他未知量，需构造另个等式：解方程组法；（5）应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等。

，求f(x)的解，待定系数法()f x 22(2)f x -=(2)f x --设二次函数满足且图象在轴上的截距为1，在轴截得的线段长为，求的解析式。

x y ()f x 例题：解法一、1222x x a∆-==2248b ac a ∴-=21()212f x x x ∴=++1c =又1,2,12a b c ===解得2()(0)f x ax bx c a =++≠设(2)(2)f x f x -=--由40a b -=得解法二、(0)1f =41a k ∴+=1222x x -=222k a-∴=1,12a k ∴==-221()(2)121212f x x x x ∴=+-=++()y f x =2x =-得的对称轴为(2)(2)f x f x -=--由∴2()(2)f x a x k=++设二 【换元法】（注意新元的取值范围）已知))((x g f 的表达式，欲求)(x f ，我们常设)(x g t =，从而求得)(1t g x -=，然后代入))((x g f 的表达式，从而得到)(t f 的表达式，即为)(x f 的表达式。

三【配凑法（整体代换法）】若已知))((x g f 的表达式，欲求)(x f 的表达式，用换元法有困难时，（如)(x g 不存在反函数）可把)(x g 看成一个整体，把右边变为由)(x g 组成的式子，再换元求出)(x f 的式子。

含有参数的方程的解法61211312)2()2(33)121--+=+-+--=-+x x x x x x 、（、 剖析： 当a ≠0时，方程有唯一的解，x=b/a 解关于x 的方程ax=b 当a=0,b ≠0时，方程无解当a=0,b=0,方程有无数个解，且解为任意数分类讨论：解关于x 的方程例如：1、mx-m=nx移项，得mx-nx=m 当m-n ≠0,即m ≠n 时，x=m/(m-n) 合并，得（m-n ）x=m 当m-n=0,m ≠0时，方程无解当m-n=0,m=0时，方程有无穷多解反之： 有唯一解时，则a ≠0关于x 的方程ax=b 无解时a=0,b ≠0无穷多解时a=0,b=01、 已知关于x 的方程2a(x-1)=(5-a)x+3b 有无穷多解，则a,b 的值分别是多少？2、 已知等式2a(x-1)=(5-a)x+3b,对于任意x 均成立，试求a,b 的值；3、 若关于x 的一元一次方程（a+b ）x 2+ax+b=0有唯一解，则x的值？（提示：a,b互为相反数）含有绝对值方程的解法：1、解可化为︱x︱=a(a≥0)的绝对值方程19-︱x︱=100-10︱x︱2、解形如︱ax+b︱=c的绝对值方程（讨论：ax+b=c或ax+b=-c）︱2x+3︱=5︱3x-1︱-︱2x+1︱=0︱3x+1︱-︱4x-1︱=0︱7x-3︱-︱5x+1︱=03(-2︱x︱-1)=︱x︱ /5-54(︱x︱-1)=︱x︱/2+13(︱x︱-1)=︱x︱/5+1(2︱x︱-1)/3+1=(︱x︱+2)/23、解形如︱ax+b︱=cx+d的绝对值方程（检验：x的值要满足cx+d≥0）︱3x+2︱=5x-10 (提示：x的值要满足5x-10≥0,否舍去)利用方程的解求字母的值：1、如果x=-2是方程a(x+3)=1/2a+x的解，求a2/2-a+1的值；2、若方程2x+1=3x的解与关于x-3a=4的解相同，求关于y的方程-1/2ay+1=3/2y+5的解；讨论题型：若a＞0,b＜0,则使︱x-a︱+︱x-b︱=a-b成立的x的取值范围是（）；（提示，在数轴上分段找x的取值关键点）一元一次方程应用题分段收费类型：1、某城市按一下规定收取每月的水费：用水量如果不超过6吨，按每吨1.2元收费；如果超过6吨，超过部分则按每吨2元收费。

空间解析几何应用题解析解析几何是数学中的一个重要分支，主要研究空间中的点、直线、平面和曲面等几何元素之间的关系和性质。

空间解析几何的应用题是解析几何的一种实际问题，通常需要运用坐标系、向量和方程等方法进行求解。

本文将通过几个空间解析几何应用题来探讨其解题方法和思路。

题目一：过点A(1,2,3)且平行于直线l1：x-1/2=y/3=z-5/4的平面方程。

解析：要求解过点A(1,2,3)且平行于直线l1：x-1/2=y/3=z-5/4的平面方程。

首先，我们需要确定平面的法向量。

由于平面平行于直线l1，故直线l1的方向向量也是平面的法向量。

直线l1的方向向量为(1/2, 1/3, 5/4)。

知道平面的法向量后，我们可以利用点法式求解平面方程。

设平面的法向量为n=(A,B,C)，平面上一点为P(x,y,z)，则平面方程可表示为Ax+By+Cz+D=0，其中D为常数。

由于平面过点A(1,2,3)，代入平面方程得到：A*1 + B*2 + C*3 + D= 0，即A + 2B + 3C + D = 0。

然后，将平面的法向量(1/2, 1/3, 5/4)代入，得到方程：1/2 * A + 1/3 * B + 5/4 * C = 0。

我们可以得到一个平面方程的方程组：A + 2B + 3C +D = 01/2 * A + 1/3 * B + 5/4 * C = 0进一步化简方程组，可以求解出平面方程的解。

题目二：已知点A(1,2,3)和点B(-1,3,4)，求直线AB的方程。

解析：要求直线AB的方程，我们可以用两点确定一条直线的方法。

点A(1,2,3)和点B(-1,3,4)确定了直线AB。

直线上两点的坐标分别为(x1, y1, z1)和(x2, y2, z2)。

我们可以使用参数方程表示直线的方程：x = x1 + t(x2-x1)y = y1 + t(y2-y1)z = z1 + t(z2-z1)这里，t是一个参数，可以取任意实数。

含参数不等式的解题方法与技巧(一)含参数不等式的解题方法与技巧1. 确定参数的范围在解析含参数不等式时，首先需要确定参数的范围。

通过观察不等式中的条件，可以得出参数的取值范围，以便后续的推导和解题。

2. 代入法一个常用的解决含参数不等式的方法是代入法。

当不等式中的参数有特定限制时，我们可以选择代入一些特定的值进行计算，从而得到不等式的解集。

3. 分类讨论对于一些较为复杂的含参数不等式，可以进行分类讨论。

通过对参数的不同取值进行分类，可以将原问题拆分为多个简化的子问题，从而更容易找到解集。

4. 画图法对于一些几何形状相关的不等式问题，可以使用画图法来辅助解题。

根据不等式的条件，将其转化为几何图形并进行分析，可以更直观地理解问题并找到解集。

5. 推导法通过一系列的推导和变换，可以将含参数不等式转化为一种等价的形式，从而更容易求解。

在推导过程中，需要灵活运用不等式的性质和常用的等价关系。

6. 使用不等式性质不等式中存在一些常用的性质，如加法性质、乘法性质、倒数性质、平方性质等。

在解题过程中，可以运用这些性质对不等式进行简化和转换，以求得解集。

7. 求导法对于一些含参数的函数不等式，可以通过求导来研究其变化趋势。

通过求导的结果，可以判断函数的单调性和极值点，从而确定不等式的解集。

8. 极值法求解含参数不等式的另一种常用方法是使用极值法。

通过构造一个与不等式相关的函数，并通过求导和求极值来确定不等式的解集。

9. 不等式链法对于一些复杂的含参数不等式，可以通过构造不等式链来求解。

将原不等式转化为一系列含参不等式，通过对每个不等式进行推导和分析，最终得出原不等式的解集。

以上是解决含参数不等式的常用方法和技巧。

在实际解题过程中，需要根据具体问题选择合适的方法，并灵活运用不等式的性质和等价关系。

10. 反证法反证法也是解决含参数不等式的常用方法之一。

假设原不等式不成立，通过推导和分析，找出与之矛盾的条件，从而得出原不等式的解集。

列方程解应用题一、列简易方程解应用题10x+1.从而有3（105+x）=10x+1.7x＝299999.x＝42857。

答：这个六位数为142857。

说明：这一解法的关键有两点：示出来.这里根据题目的特点.采用“整体”设元的方法很有特色。

（1）是善于分析问题中的已知数与未知数之间的数量关系；（2）是一般语言与数学的形式语言之间的相互关系转化。

因此.要提高列方程解应用题的能力.就应在这两方面下功夫。

例2有一队伍以1.4米/秒的速度行军.末尾有一通讯员因事要通知排头.于是以2.6米/秒的速度从末尾赶到排头并立即返回排尾.共用了10分50秒。

问：队伍有多长？分析：这是一道“追及又相遇”的问题.通讯员从末尾到排头是追及问题.他与排头所行路程差为队伍长；通讯员从排头返回排尾是相遇问题.他与排尾所行路程和为队伍长。

如果设通讯员从末尾到排头用了x秒.那么通讯员从排头返回排尾用了（650-x）秒.于是不难列方程。

解：设通讯员从末尾赶到排头用了x秒.依题意得2.6x-1.4x=2.6（650-x）+1.4（650-x）。

解得x＝500。

推知队伍长为（2.6-1.4）×500=600（米）。

答：队伍长为600米。

说明：在设未知数时.有两种办法：一种是设直接未知数.求什么、设什么；另一种设间接未知数.当直接设未知数不易列出方程时.就设与要求相关的间接未知数。

对于较难的应用题.恰当选择未知数.往往可以使列方程变得容易些。

例3铁路旁的一条与铁路平行的小路上.有一行人与骑车人同时向南行进.行人速度为3.6千米/时.骑车人速度为10.8千米/时.这时有一列火车从他们背后开过来.火车通过行人用22秒.通过骑车人用26秒.这列火车的车身总长是多少？分析：本题属于追及问题.行人的速度为3.6千米/时=1米/秒.骑车人的速度为10.8千米/时=3米/秒。

火车的车身长度既等于火车车尾与行人的路程差.也等于火车车尾与骑车人的路程差。

解含参数的一元二次型不等式讨论策略南昌十三中 周荣分类讨论的思想方法是中学数学的基本方法之一，是历年高考的重点.解分类讨论问题，需要学生有一定的分析能力，一定的分类技巧，有利于对学生能力的考查.下面结合解关于含参数的一元二次型不等式时对参数讨论进行举例说明.一、对二次项系数a 的讨论：若二次项系数x 2项的系数a 含有参数，则须对a 的符号分类，即分a >0,a=0,a <0.例3解关于x 的不等式ax 2+(1-a)x-1>0(a >-1)解析：二次项系数含有参数,因此对a 须在0点处分开讨论.若a ≠0原不等式ax 2+(1-a)x-1>0等价于(x-1)(ax+1)>0. 其对应方程的根为﹣1a与1.又∵a >-1，则 (1)当a=0时，原不等式为x-1>0，∴原不等式的解集为{x|x >1}.(2)当a >0时，﹣1a <1，∴原不等式的解集为{x|x >1或x <-1a}. (3)当-1<a <0时，﹣1a >1，∴原不等式的解集为{x|1<x <﹣1a}. 二、对判别式△的讨论若判别式△=b 2-4ac 中含有参数，则须对判别式△的符号分类，即分△>0，△=0，△<0.例2 解关于x 的不等式2x 2+ax+2>0解析：由于判别式△=a 2-16=(a-4)(a+4)中含有参数，因此须对△的符号进行讨论，即对a 在-4点与4点处分开讨论，则①当a >4或a <-4时，△>0，方程2x 2+ax+2=0的两根为：x 1=14(-a-a 2-16),x 2=14(-a+a 2-16), ∴原不等式的解集为：{x|x <14(-a-a 2-16)或x >14(-a+a 2-16)}. ②当a=±4时，△=0，原不等式解集为：{x|x ≠﹣a 4}, ③当-4<a <4时，当△<0，时，原不等式解集为R.三、对根的大小的讨论若不等式对应的方程的根为x 1，x 2中含有参数,则须对x 1，x 2的大小来分类，即分x 1<x 2,x 1=x 2,x 1>x 2. 例3解关于x 的不等式x 2-2x+1-a 2≥0.解：(x-1)2-a 2≥0，(x-1-a)(x-1+a)≥0.其对应的根为1+a 与1﹣a.由(1+a)-(1﹣a)=2a ，得①当a >0时，1+a >1-a ，∴原不等式的解集为{x|x ≥1+a 或x ≤1-a}. ②当a=0时，1+a =1-a ，∴原不等式的解集为全体实数R.③当a <0时，1-a >1+a ，∴原不等式的解集为{x|x ≥1-a 或x ≤1+a}.四、即有对判别式讨论又有对根的大小的讨论例3解关于x 的不等式：.012<-+ax ax解：.012<-+ax ax )(*（1）0=a 时，.01)(R x ∈⇔<-⇔*（2）0≠a 时，则0042>⇔≥+=∆a a a 或4-≤a ， 此时两根为a a a a x 2421++-=，aa a a x 2422+--=. ①当0>a 时，0>∆，⇔*∴)(<<+--x a a a a 242aa a a 242++-； ②当04<<-a 时，0<∆，R x ∈⇔*∴)(；③当4-=a 时，0=∆，21)(-≠∈⇔*∴x R x 且； ④当4-<a 时，0>∆，⇔*∴)(或a a a a x 242++->aa a a x 242+--<. 综上，可知当0>a 时，解集为(a a a a 242+--,aa a a 242++-)； 当04≤<-a 时，解集为R ；当4-=a 时，解集为(21,-∞-)⋃(+∞-,21); 当4-<a 时，解集为(a a a a 24,2+--∞-)⋃(+∞++-,242aa a a ).。

二元一次方程求根公式解法是什么方程两边都是整式,含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程，叫做二元一次方程.使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。

1二元一次方程的解使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的一组值，叫做二元一次方程的解。

二元一次方程组的两个公共解，叫做一组二元一次方程组的解。

二元一次方程有无数个解，除非题目中有特殊条件。

但二元一次方程组只有唯一的一组解，即x,y的值只有一个。

也有特殊的，例如无数个解：2二元一次方程应用题1）A、B两地相距500千米，甲、乙两车由两地相向而行，若同时出发则5小时相遇；若乙先出发5小时，则甲出发后3小时与乙相遇。

求甲乙两车速度。

解：设甲车速度为X km/h，乙车速度为Y km/h，列方程答：甲车速度为60km/h，乙车速度为40km/h。

2）两个物体在周长等于100米的圆上运动，如果同向运动，那么它们每隔20秒相遇一次；如果相向运动，那么它们每隔5秒相遇一次。

求每个物体的速度。

解：设速度快的速度为Xm/s，慢的为Y m/s，列方程答：速度快的为12.5m/s，速度慢的为7.5m/s。

二元一次方程组的解法•二元一次方程组的解：使二元一次方程组的两个方程都成立的一对未知数的值，叫做方程组的解，即其解是一对数。

•二元一次方程组解的情况：一般地，使二元一次方程组的两个方程左、右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。

求方程组的解的过程，叫做解方程组。

一般来说，一个二元一次方程有无数个解，而二元一次方程组的解有以下三种情况：1、有一组解。

如方程组:x+y=5①6x+13y=89②x=-24/7y=59/7 为方程组的解2、有无数组解。

如方程组：x+y=6①2x+2y=12②因为这两个方程实际上是一个方程（亦称作“方程有两个相等的实数根”），所以此类方程组有无数组解。

3、无解。

如方程组：x+y=4①2x+2y=10②，因为方程②化简后为x+y=5这与方程①相矛盾，所以此类方程组无解。