线性代数第一章行列式第一节二阶与三阶行列式

a ii a i2、a ii 把表达式 a ii 822 - a i2 a 2i 称为a 2ia i2 所确定的二阶行列式，并记作 a 22对二元方程组ai1ai2D ib i b 2ai2aii Da2iab i3l 2aii bi D i _ b 2a22 … D 2 a 2i b 2Da ii a i2，X ^ D -a ii a i2a2ia22a2ia22对三元方程组线性代数知识点总结第一章 行列式第一节：二阶与三阶行列式二三阶行列式的计算：对角线法则注意：对角线法则只适用于二阶及三阶行列式的计算。

利用行列式计算二元方程组和三元方程组： a 11x a 2x 2= b 1a ?i X| ' a 22 X 2 =b j即D =aii a 2iai2a22=6£22 — a^a zi .结果为一个数。

冋理，把表达式Ci a 22a 33+ a i2a 23a 3i +a i3a 2〔a 32 — a ii a 23a 32 — a i2a 2〔a 33 — 3i3a 22a 3i,称为由数aii a i2 a i3 aiiai2ai3表a ?ia 22 a 23 所确定的三阶行列式，记作a 2ia 22 a 23 。

a3ia32a33a3ia32a33a ii a i2 a i3即a 2ia 22 a 23 = a ii a 22a 33*a i2a 23a 3i +a i3a 2i a 32 —aii a 23a 32 — ai2a 2i a 33 — ai3a 22a 3i.a3ia32a33a21 ai2a22a22a21'a i3X 3则x 口=bia ii X i Q2X 2 a 2ia ii ai2ai3a2i a22a 23a 3i a32a33设D二a11a i2定义：n 阶行列式D 工a21 a22IIIIIIa 1 na2n等于所有取自不同行、 不同列的n 个元素的乘积an1an2ann逆序数决定。

第一章 行 列 式系 专业 班 姓名 学号 第一节 二阶与三阶行列式 第三节 n 阶行列式的定义一．选择题一．选择题1．若行列式x52231521 = 0，则=x [ C ]（A ）2 （B ）2- （C ）3 （D ）3-2．线性方程组ôóôòñ=+=+473322121x x x x ，则方程组的解),(21x x = [ C ] （A ）（13，5） （B ）（13-，5） （C ）（13，5-） （D ）（5,13--）3．方程093142112=x x根的个数是根的个数是 [ C ]（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 4．下列构成六阶行列式展开式的各项中，取“+”的有”的有 [ AD ] （A ）665144322315a a a a a a （B ）655344322611a a a a a a （C ）346542165321a a a a a a （D ）266544133251a a a a a a5．若55443211)541()1(a a a a a l k l k N -是五阶行列式ij a 的一项，则l k ,的值及该项的符号为[ B ] （A ）3,2==l k ，符号为正；，符号为正； （B ）3,2==l k ，符号为负；，符号为负； （C ）2,3==l k ，符号为正；，符号为正； （D ）2,3==l k ，符号为负，符号为负6．下列n （n >2）阶行列式的值必为零的是）阶行列式的值必为零的是 [ B ] (A) 行列式主对角线上的元素全为零行列式主对角线上的元素全为零 (B) 三角形行列式主对角线上有一个元素为零三角形行列式主对角线上有一个元素为零 (C) 行列式零的元素的个数多于n 个 (D) 行列式非零元素的个数小于n 个 二、填空题二、填空题 1．行列式1221--k k 0¹的充分必要条件是的充分必要条件是3,1k k ¹¹- 2．排列36715284的逆序数是的逆序数是 133．已知排列397461t s r 为奇排列，则r = 2,8,5 s = 5,2,8 ，t = 8,5,2 4．在六阶行列式ij a 中，623551461423a a a a a a 应取的符号为应取的符号为 负 。

线性代数§1.1⼆阶、三阶⾏列式本章说明与要求⾏列式的理论是⼈们从解线性⽅程组的需要中建⽴和发展起来的，它在线性代数以及其他数学分⽀上都有着⼴泛的应⽤。

在本章⾥我们主要讨论下⾯⼏个问题：(1) ⾏列式的定义；(2) ⾏列式的基本性质及计算⽅法；(3) 利⽤⾏列式求解线性⽅程组(克莱姆法则)。

本章的重点：是⾏列式的计算，要求在理解n阶⾏列式的概念，掌握⾏列式性质的基础上，熟练正确地计算三阶、四阶及简单的n阶⾏列式。

计算⾏列式的基本思路是：按⾏(列)展开公式，通过降阶来计算．但在展开之前往往先利⽤⾏列式性质通过对⾏列式的恒等变形，使⾏列式中出现较多的零和公因式，从⽽简化计算。

常⽤的⾏列式计算⽅法和技巧：直接利⽤定义法，化三⾓形法，降阶法，递推法，数学归纳法，利⽤已知⾏列式法。

⾏列式在本章的应⽤：求解线性⽅程组(克莱姆法则)．要掌握克莱姆法则并注意克莱姆法则应⽤的条件。

本章的重点：⾏列式性质；⾏列式的计算。

本章的难点：⾏列式性质；⾼阶⾏列式的计算；克莱姆法则。

==============================================§1.1 ⼆阶、三阶⾏列式⾏列式的概念起源于解线性⽅程组，它是从⼆元与三元线性⽅程组的解的公式引出来的。

因此我们⾸先讨论解⽅程组的问题。

设有⼆元线性⽅程组()()------1 ------2ax by c dx ey f +=+=?? ⽤消元法求解：()()12:e b - ()ae bd x ce bf -=-?，ce bf x ae bd-=-， ()()21:a d - ()ae bd y af dc -=-?，af dc y ae bd-=-。

即得⽅程组的解：ce bf x ae bd af dc y ae bd -?=??-?-?=?-?。

这就是⼀般⼆元线性⽅程组的解公式。

但这个公式很不好记忆，应⽤时⼗分不⽅便。

由此可想⽽知，多元线性⽅程组的解公式肯定更为复杂。

线性代数 第一章 行列式§1 二阶和三阶行列式一、二元一次线性方程组与二阶行列式结论：如果112212210a a a a -≠，则二元线性方程组 的解为122122*********b a a b x a a a a -=-，1121212112121a b b a x a b b a -=-。

定义：设11122122,,,a a a a ，记11221221a a a a -为11122122a a a a 。

称11122122a a a a 为二阶行列式有了行列式的符号，二元线性方程组的求解公式可以改写为112222111122122b a b a x a a a a =，111122211122122a b a b x a a a a =二、三阶行列式与三元一次线性方程组定义：111213212223313233a a a a a a a a a 定理：如果1112132122233132330a a a D a a a a a a =≠，则***123(,,)x x x 是下面的三元线性方程组的解 当且仅当*1x =112132222333233/b a a b a a D b a a ,*2x =111132122331333/a b a a b a D a b a ,*3x =111212122231323/a a b a a b D a a b 其中111213212223313233a a a a a a a a a 为系数行列式。

证明：略。

性质1：行列式行列互换，其值不变。

即111213112131212223122232313233132333a a a a a a a a a a a a a a a a a a =。

性质2：行列式某两行或列互换，其值变号。

例如 推论：行列式有两行相同，其值为零。

性质3：行列式某一行的所有数乘一常数等于行列式乘该常数。

例如 推论：行列式某一行或列的公因数可以提到行列式外面。

线性代数知识点总结第一章行列式第一节：二阶与三阶行列式、 a ii把表达式a ii a22 a i2a2i称为a 21a 1212所确定的二阶行列式，并记作a 22a11 a i2 a i3 8ii 812 813表a21 a22 a23所确定的三阶行列式，记作821 822 823。

a31 a32 a33 831 832 833a i1 a i2 a i3即a21 a22a23 = 811822833 812823831 813821832 811823832 812821833 813822 831, a31 a32 a33二三阶行列式的计算：对角线法则（课本P2，P3）注意：对角线法则只适用于二阶及三阶行列式的计算。

利用行列式计算二元方程组和三元方程组：对二元方程组a iia21 a22a i1 a22 a i2a2i.结果为一个数。

（课本P1）同理，把表达式a ii a22a33 a i2a23a31 a i3a2i a32 a ii a23a32 a i2a2i a333|3822*31,称为由数a i1 a i2a 2i a i2设D 8ii 812 0 Di821 822b i a i2则X iD i b2 822D 811a i2821 8 22811X1 812X2对三兀方程组821 X| 822X2831X1 832X28ii 812 813设D 821 822823 0 ,831 a32 833D ^2b? 822 D28118213・8ii biD2X2 D821b2811812・（课本P2）821 8 22813X3 b i823X3 b2 ,833X3b3a〔i X| a^2X2 a?i X|b i a i2 a i3 a ii 3 a i3 a ii a i2 b iD i b2a22 a23 ,D2 a2i b2 a23 ,D3 a2i a22b2b3 比2 a33 為b3 a33 a3i a32 b s则x i D i,X2 D2 , X3D3 。