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二阶与三阶行列式分析

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二阶三阶行列式的几何意义

二阶三阶行列式的几何意义

二阶三阶行列式的几何意义在数学中，行列式是一种用于表示矩阵的数学工具。

本文将探讨二阶和三阶行列式的几何意义，帮助读者更好地理解这一概念。

二阶行列式二阶行列式通常表示一个2x2矩阵的代数表达式。

在几何上，它可以被解释为平行四边形的面积或两点之间的距离。

具体来说，对于一个2x2矩阵A，其行列式可以表示为：| A | = | a11 a12 || :--: | :--: || A | = | a21 a22 |这个行列式的几何意义取决于矩阵A中的元素。

如果a11和a22为正，a12和a21为负，那么这个行列式表示的平行四边形面积就是正的；如果a11和a22为负，a12和a21为正，那么这个行列式表示的平行四边形面积就是负的。

如果a11和a22以及a12和a21的符号相同，那么这个行列式表示的平行四边形面积就是0。

此外，如果A表示一个向量，那么行列式|A|也可以被解释为该向量与其在原点处的反射之间的距离的平方。

三阶行列式三阶行列式通常表示一个3x3矩阵的代数表达式。

在几何上，它可以被解释为三维空间中一个平行六面体的体积或者一个三角形的面积。

具体来说，对于一个3x3矩阵A，其行列式可以表示为：A=a11 a12 a13A=a21 a22 a23A=a31 a32 a33这个行列式的几何意义取决于矩阵A中的元素。

如果a11、a22和a33均为正数，且a12、a13、a21、a23、a31和a32均为负数，那么这个行列式表示的平行六面体的体积就是正的。

如果这些元素的符号不完全相同，那么这个行列式表示的平行六面体的体积就是0。

如果元素的符号出现四种或更多种不同的情况，那么这个行列式表示的平行六面体的体积是负数。

第一节 二阶与三阶行列式

第一节 二阶与三阶行列式

a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32 .
n 阶行列式定义
将n2个数排成n行n列的数表，按下列规
则计算出的数，即
D ( 1) a1 p1 a 2 p2 a np n n! a n1 a nn
2 D1 ( 1) ( 1) 1 x1 , 2 D ( 1) ( 2) 2
( 1) D2 x2 2 ( 1) ( 2) D
2
1 , 2
2 2 ( 1) ( 1) D3 x3 2 D ( 1) ( 2)
ci 2 ai 1b12 ai 2b22 ainbn 2 , (i 1,2,, n)
D
a11 a 21 a n1 1
a12 a1n a 22 a 2 n a n 2 a nn 1 1
再证唯一性.假设
x j c j , j 1,2,, n 也是(1)的解.
在(2)两端同时乘以cj
a11 a1 j c j a1n cjD an1 anj c j ann
a11 (a11c1 a1 j c j a1n cn ) a1n an1 (an1c1 anj c j anncn ) ann
例6.2 问λ在什么条件下,方程组
ì λx1 + x2 = 0, ï ï í ï ï î x1 + λx2 = 0
有非零解？
解 由定理6.5知，若方程组有非零解，则其系数行列
式必为零.
D

1
1

0 2 1 0,

第一节 二阶与三阶行列式讲 解课件

第一节 二阶与三阶行列式讲 解课件

8.有限个向量的向量组与矩阵一一对应
列向量组
行向量组
9、向量的运算
（特殊矩阵）
转置、相等、加法、数乘、乘法；运算律
T T T （ 1 ， 1 ， 1 ） , （ 0 ， 1 ， 2 ） , （ 1 ， 0 ， 1 ） 例：设
求 解
.
T T T
7.向量组：
若干个同维数的向量所组成的集合叫做向量组.
行向量组 列向量组
有限个向量 无限个向量
本课程默认为列向量组 先讨论有限个向量
m个n维列向量构成向量组 称为向量组 a1 , a2 ,, am ，或者称为向量组A
A : a1 , a2 ,, am
,或者称为向量组 A :
a1 , a2 ,, am .
T T T
T
等表示，如：
a T (a1 , a 2 ,, a n )
n 维向量写成一列，称为列向量，也就是列
矩阵，通常用 a , b, , 等表示，如：
a1 a2 a a n
注意
１．行向量和列向量总被看作是两个不同的 向量； ２．行向量和列向量都按照矩阵的运算法则 进行运算；
1 2 3 1 2 1 5 3 6 r ~ 0 1 2 2 8 0 5 4 5 7 0
7 0 0 0 5 4 1 0 0 5 0 0 1 0 0 0 0 1
R( A) 3 R( B) 4
因此向量 b 不能由向量组 A 线性表示.
a1 x1 a 2 x 2 a n x n b
a1 , a2 ,, an , b
线性方程组与增广矩阵的列向量组一一对 应
二、 线性组合与线性表示

二阶三阶行列式对角线法则-概述说明以及解释

二阶三阶行列式对角线法则-概述说明以及解释

二阶三阶行列式对角线法则-概述说明以及解释1.引言1.1 概述行列式是线性代数中的重要概念，它是一个数学工具，用于描述线性方程组的性质和解的情况。

二阶和三阶行列式是行列式理论中的基础，它们具有重要的数学意义和广泛的应用。

在本文中，我们将重点讨论二阶和三阶行列式的性质和计算方法，特别是介绍对角线法则在求解行列式值时的应用。

通过学习二阶和三阶行列式，可以深入理解行列式的概念和性质，为进一步学习多阶行列式奠定基础。

同时，对角线法则作为一种简便的计算方法，可以帮助我们更快速地求解行列式的值，提高解题效率。

因此，本文的目的是帮助读者全面了解二阶和三阶行列式，并掌握对角线法则的运用，为深入学习行列式理论打下坚实的基础。

1.2 文章结构文章结构部分：本文主要分为三个部分，即引言、正文和结论。

引言部分主要包括对二阶和三阶行列式的简要概述，介绍了行列式在数学和工程中的重要性和应用，并说明了文章的目的和意义。

正文部分分为二阶行列式、三阶行列式和对角线法则三个小节，将详细介绍二阶和三阶行列式的定义、性质和计算方法，以及介绍对角线法则在计算行列式时的应用和意义。

结论部分将对二阶和三阶行列式进行总结，展示其重要性和应用，并展望未来在更高阶行列式及其在数学和工程中的进一步研究和应用。

1.3 目的目的部分的内容应该概括文章的主要目标和意义。

例如：目的：本文旨在介绍二阶、三阶行列式以及它们的性质，并重点讲解对角线法则在计算行列式时的应用。

通过本文的阐述，读者可以深入了解行列式的计算方法，并且掌握对角线法则在简化计算过程中的重要作用。

同时，我们也希望读者能够进一步应用这些知识，解决实际问题和拓展数学思维。

2.正文2.1 二阶行列式二阶行列式是指一个2x2矩阵的行列式，通常表示为：a bc d其中，a、b、c、d分别为矩阵中的元素。

二阶行列式的计算公式为ad - bc。

这个公式也被称为“交叉相乘减交叉相乘”的方法。

举个例子，对于矩阵2 34 1其二阶行列式的计算过程为：2*1 - 3*4 = 2 - 12 = -10。

二阶三阶行列式

二阶三阶行列式

a1 1 a1 2 a1n
A a21 a22 a2n


an1 an2 ann
2.10


1
a a τ j1 j2 jn 1 j1 2 j2

a nj n
j1 j2 jn
例3 计算上三角行列式
a11 a12
a1n
a22
a2n
ann
解 分析
展开式中项的通项是 α α 1 j1 2 j2 αnjn .
（2）每项中三个元素的行指标构成一个三级排列， 在式（2.6）中，行指标的排列都是标准排列1 2 3， 列指标构成的三阶排列各不相同，因此式（2.6） 中每项的一般形式为：
2.7
例如 a13a21a32 列标排列的逆序数为
312 1 1 2, 偶排列 正号
a11a23a32
列标排列的逆序数为
132 1 0 1, 奇排列 负号,
a11 a12 a13
a21 a22 a23 (1) ( j1 j2 j3 ) a1 j1 a2 j2 a3 j3 .
a31 a32 a33
三、n阶行列式的定义
定义1.4
由 n2 个数组成的n 阶行列式等于所有
例如，排列2413经过2与3兑换后，就得 到排列3412；排列32415经过2与1兑换 后，就得到排列31425.
由计算逆序数可知，奇排列2413变成了 偶排列3412；而偶排列32415却变成了 奇排列31425.
定理1.1
任一排列经过一次对换后必改变其奇偶性.
证明 设排列为
a1al ab b1bm
其中不为零的项只有 α1 1α2 2 αnn .
a11 a12 a22

§1二阶与三阶行列式

§1二阶与三阶行列式

性质
总结词
二阶行列式具有交换律、结合律、代数余子式等性质。
详细描述
二阶行列式满足交换律，即|A|=|AT|，其中AT是矩阵A的转置矩阵。结合律表现为|AB|=|A|*|B|，其中A、B为可 乘矩阵。代数余子式是去掉一个二阶行列式中的一个元素后得到的二阶行列式，其值等于原行列式除以被去掉元 素所在的行和列的乘积。
等于零、代数余子式的乘积等于零等。
应用
03
代数余子式在计算高阶行列式的值、求解线性方程组等领域有
广泛的应用。
转置行列式
定义
转置行列式是将n阶行列式的行和列互换后得到的新 行列式。
性质
转置行列式的值等于原行列式的值，即|A|=|AT|。
应用
转置行列式在求解线性方程组、判断矩阵是否可逆等 领域有广泛的应用。
性质
线性性质
三阶行列式满足线性性质，即|ka b c| = k|a b c|，其中k是标量。
交换律
|a b c| = |c b a|。
结合律
(|a b c| + |d e f|) = |a b c| + |d e f||a d|。
分配律
|a+b c d| = |a b c| + |b c d||a b c|。
矩阵的转置
行列式可以用于计算矩阵的转置，通过计算转置矩阵的行列式，可以得到原矩阵 的行列式。
05
CATALOGUE
二阶与三阶行列式的扩展
高阶行列式
定义
高阶行列式是n阶方阵的展开式，其一般形式为D=∑(-1)^t * M(t1,t2,...,tn) * A(t1,t2,...,tn)，其中t为对角线上的元素下标的排列顺序，M为排列数，A为n阶行列式中 元素的下标构成的排列。

第一节二阶与三阶行列式幻灯片课件


为便于记忆，引进如下记号： a11 a21
a12 a22
a11a22a12a21
称其为二阶行列式
据此，解中的分子可分别记为：
D1bb12
aa1222,D2 aa1211
b1 b2
例1 解二元线性方程组 x1 3x2 5 4x1 3x2 5
解：方程组未知量的系数所构成的二阶行列式 1 3
D 3(3)415 0, 则方程组有唯一解， 43
1 16 1
1 2 16
于是方程组的解为:
x 1 D D 1 5 5 1 5 ,x 2 1 D D 2 2 5 4 0 ,x 3 D D 3 5 1 5 3 .
又 D 1 5 5
3
1
33,0 D 24
5 1.5
5
于是方程组的解为：x 1D D 1 1 35 0 2 ,x2D D 21 1 5 5 1
解：由对角线法，有D=1.2.(-2)+2.1.(-3)+(-4).(-2).41.1.4-2.(-2).(-2)-(-4).2.(-3) =-4-6+方程组有唯一解：
x1
b1a 22 a11 a22
b2 a12 a12 a21
x2
b2 a11 a11 a22
b1a21 a12 a21
当D 方程组的解是：x 1
a 11
a 12
a 21
a 22
D1 D
, x2
0 时，
D2 D
上式中的分子、分母都是四个数分两对相乘再相减而得。
3x1 x2 x3 26
例3 解线性方程组 2x1 4x2 x3 9 x1 2 x2 x3 16
3 1 1
解:系数行列式 D 2 4 1 5 0

二阶和三阶行列式


a11 D
a12
a13 a23 a33 a43
a12
a14 a24 a34 a44
a13 a23 a33
a21 a22 a31 a32 a41 a42
a11
a21 a23 M 12 a31 a33 a41 a43
1 2
a24 a34 a44
A12 1 M 12 M 12
M 44 a21 a22 a31 a32
a41 a42 a43 a44
a 32 的代数余子式 A32 ( 1)32 M 32 a13 的代数余子式 A ( 1)13 M 13 13
a21 a31 a41
完
a22b1 a12 a21b1 x2 a11a22 a12a21
a11 a12 D a11a22 a12a21 , a21 a22
a12 a22
主对角线 a11 a21 称 D 为二阶行列式。 副对角线
(-)
a13 a11 a33 a31
(+)
a12 a32
(+) (+)
a23 a21 a22
(-)
(-)
三元线性方程组
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 设有三元线性方程组 a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 , a x a x a x b 31 1 32 2 33 3 3
解 计算二阶行列式
D
2 1 3 2
7 , D1
5 11
1 2
21 , D2
2
5
3 11
7 .
由 D 7 0 知方程组有唯一解：
D1 D2 x1 3 , x2 1. D D

二阶与三阶行列式分析

二阶与三阶行列式分析二阶行列式分析：二阶行列式是由两行两列元素组成的方阵。

例如，一个二阶行列式可以表示为：abcd其中a、b、c、d是实数。

二阶行列式的计算方法是将对角线上的元素相乘，然后减去另一条对角线上的元素相乘。

根据这个定义，二阶行列式的值可以表示为：abc d ， = ad - bc其中ad表示a和d的乘积，bc表示b和c的乘积。

三阶行列式分析：三阶行列式是由三行三列元素组成的方阵。

例如，一个三阶行列式可以表示为：abcdefghi其中a、b、c、d、e、f、g、h、i是实数。

三阶行列式的计算方法可以通过展开定理来计算。

展开定理指出，三阶行列式可以按照第一行或第一列展开为两个二阶行列式的乘积。

根据展开定理，三阶行列式的值可以表示为：abcdefg h i ， = aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh其中aei、bfg、cdh分别表示第一行的元素与其对应的代数余子式的乘积，ceg、bdi、afh分别表示第一列的元素与其对应的代数余子式的乘积。

行列式的应用：行列式在线性代数中起着重要的作用，具有广泛的应用。

以下是几个行列式的应用示例：1.解线性方程组：通过求解行列式的值，可以确定线性方程组的解的排列情况和数量。

2.计算面积和体积：通过行列式的计算，可以求得平面上一组向量所围成的面积，或者三维空间中一组向量所围成的体积。

3.判断向量的线性相关性：使用行列式可以判断一组向量是否线性相关，通过计算行列式的值，若行列式为0则表示向量线性相关，否则线性无关。

4.矩阵的逆、行列式的转置：行列式的性质可以用于计算矩阵的逆矩阵和行列式的转置。

总结：二阶行列式可以通过对角线元素的乘积减去反对角线元素的乘积来计算。

三阶行列式可以通过展开定理，将其展开为两个二阶行列式的乘积。

行列式在线性代数中有广泛的应用，包括解线性方程组、计算面积和体积、判断向量的线性相关性等。

行列式的性质可以用于计算矩阵的逆矩阵和行列式的转置。

二阶与三阶行列式


2 3 4 1 . 3 4 1 2 4 1 2 3
解 把所有列都加到第一列上去，然后，从第一列提 取公因子，再把第二、三、四行都减去第一行.
1 2 3 4
2 3 4 1
3 4 1 2
4 10 1 10 2 10 3 10
2 3 4 1
3 4 1 2
4 1 2 3
1 1 10 1 1
2 3 4 1
3 4 1 2
3
4 1 2 3 4 1 0 1 1 3 10 2 0 2 2 2 3 0 1 1 1
4
1 2
2r2 r3 0 1 1 3 10 120. r1 r4 0 0 3 1 0 0 0 4
例5.5 设
a11 D am1 c11 cn1 a11
D1 am1
0 x2
x2 x1
x3 x1 x3 x3 x1 x3
n2
x3 x1
xn
xn x1
1 x2 x1 x3 x1 xn x1 x2 x2
n2
1 x3 x3
n2

1 xn
n2
( x2 x1 )( x3 x1 )
a11 ai1 D a j1 an1 a j2 an 2 a jn ann a12 ai 2 a1n ain a j1 kai1 a j 2 kai 2 an1 an 2 a jn kain ann a11 ai1 a12 ai 2 a1n ain .
例5.3 计算
a b c d a ab abc abcd D . a 2a b 3a 2b c 4a 3b 2c d a 3a b 6a 3b c 10a 6b 3c d
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当 D0 当 D 0 时，分两种情况： 1. 假如 D1 , D2 中至少有一个不为0，则由于 D x Dx , D y Dy 恒不成立，故方程组无解。 2. 假如 Dx Dy 0 ，则方程有无数多组解。 时，方程组只有一组解：x Dx , D
y Dy D .
课堂练习：
a1 a2
b1 b2
= a1b2 – a2b1
二阶行列式的计算——对角线法则 a1 b1 主对角线 = a1b2 – a2b1 a2 b2 副对角线 a x b y c 1 1 1 对于二元一次方程组 a2 x b2 y c2
若记
(1)
a1 D a2
b1 b2
D称为方程组(1)的系数行列式.
, A3
b1 b2
c1 c2
以上三个二阶行列式称作余子式，带有 符号的余子式即相应元素
a1 , a2 , a3 的代数
余子式。
同理，三阶行列式可以按其他的任意一 行或一列进行展开。计算结果也是一样的。 请按照第二列展开，看看结果如何？
•
课堂练习： 计算行列式的值（按行或列展开）：
2 1
4
0
1
0
a1 x b1 y c1 a2 x b2 y c2
a1 x b1 y c1 a2 x b2 y c2
c b a b aa 1 1 11 c 11 b 11 D D x D Dy c b a22 b22 c aa 22 b2 2 则该二元一次方程组的解(3)式 a1c2 c1a2 c1b2 b1c2 y x a1b2 a2b1 a1b2 a2b1
即
D a1b2c3 b1c2 a3 c1a2b3
c1b2 a3 a1c2b3 b1a2c3 .
(2)对角线法则
a1
b1
c1 c2 c3
a2 a3
b2 b3
a1b2c3 b1c2 a3 c1a2b3 c1b2 a3 b1a2c3 a1c2b3 .
例2: 计算三阶行列式
若依次提取其中的三项：
a1 , a2 , a3
a2 b1 b3 b1 a3 c3 b2 c1 c1 c2
a1 a2 a3
b1 b2 b3
c1
c2 a1 b3 c按照第一列展开 了。其中记：
A1
b2 b3
c2 c3
, A2
b1
c1
b3 c3
c1 b1 Dx c2 b2 可表示为: x , a1 b1 D a2 b2
(3)
a1 D y a2 y a1 D a2
c1 c2 . b1 b2
注意: 分母都为原方程组的系数行列式.
例: 解二元一次方程组
3x 2 y 12 2x y 1
解:
3 2 = 3 – (–4) = 7 0, D 2 1
1 2 -4 D -2 2 1 . -3 4 -2
解: 按对角线法则, 有 D = 12(–2) + 21(–3) + (–4)(–2)4
– (–4)2(–3) – 2(–2)(–2) – 114 = –4 – 6 + 32 – 24 – 8 – 4 = –14
•
课堂练习： 计算行列式的值 ：
a1c2 c1a2 y a1b2 a2b1
(3)
由方程组(1)的四个系数确定 定义: 由4(22)个数排成二行二列(横排称行, 竖排 称列)的数表 a1 b1 (4) a b
2 2
则表达式 a1b2 – a2b1 称为由数表(4)所确定的 二阶行列式, 并记作
a1
b1
b2
a2
(5)
即
D
2 1
4
0
1
0
1 0 1 2 3 5
1 1 a 1 1 1 1 a
三阶行列式按行（或列）展开
• 我们已经知道，按照 对角线法则计算，我们有：
a1 a2 a3 b1 b2 b3 c1 c2 c3
a1b2c3 a2b3c1 a3b1c2 a1b3c2 a2b1c3 a3b2c1,
(1) (2)
两式相减消去 y , 得
(a1b2 – b1a2) x = c1b2 – b1c2;
类似地, 消去 x , 得 (a1b2 – b1a2) y = c2a1 – c1a2; 当(a1b2 – b1a2) 0时, 方程组的解为:
c1b2 b1c2 x a1b 2 - b1a 2
1.5x 0.7 y 0.5 0 2.2 x 0.6 y 1.4 0
行列式的值与解的个数
a1 x b1 y c1 对于二元一次方程组 而言： a2 x b2 y c2 a b1 a1 c1 c1 b1 有: D 1 Dx Dy c2 b2 a 2 c2 a2 b2
(6)
记
a1 a2 a3
b1 b2 b3
c1 c2 c3
(7)
(7)式称为由数表(6)所确定的三阶行列式.
a1 D a2 a3 b1 b2 b3 c1 c2 c3
三阶行列式的计算
a1
(1)沙路法 D a2
b1 b2 b3
c1 c2 c3
a3
a1 a2 a3
b1 b2 b3
c1b2 a3 a1c2b3 b1a2c3 a1b2 c3 b1c2 a3 c1a2b3
1. 试判断下列二元一次方程组的解的情况
4 x 2 y 3 18x 9 y 5
2. 试讨论下列二元一次方程组的解的情况
mx 4 y m 2 x my m
二、三阶行列式
定义: 设由9(33)个数排成3行3列的数表
a1 b1 a2 b2 a3 b3 c1 c2 c3
1 0 1 2 3 5
1 1 a 1 1 1 1 a
• 课堂习题： 将下列行列式按照第二行以及第三列展 开，并算出最终结果。
3
1 2 3 1
2 0 2 3
2 0 1 3 4 2 1 5 6
课堂小结
1、三阶行列式的定义 2、三阶行列式的计算
（1）对角线法则或沙路法 （2）按某一行或列展开
二阶与三阶行列式
• 问题的引出： 求解方程组：
2 x 3 y 1 4 x y 3
x y z t 1 2 x y 3z 2t 2 x 4 y z t 0 3x 2 y 2 z 3t 1
x y z 0 2 x y z 1 x 2 y 2z 3
• 分析： 通过消元的方法可以逐步减少未知 数，最终达到求解方程的目的。 • 思考： 是否可以把这个过程模式化公式化 以简便计算过程？
一、二阶行列式的引入
观察二元一次方程组的解法，步骤如下 用消元法解二元一次方程组:
a1 x b1 y c1 a2 x b2 y c2
(1)b2: (2)b1: a1b2x + b1b2y = c1b2, b1a2x + b1b2y = b1c2,
3 12 12 2 14, 21, Dy Dx 2 1 1 1
Dy 21 Dx 14 x 2, y 3. 7 7 D D
课堂练习
• 展开并化简行列式：
1
3
4 2
• 解二元一次方程组：
a 1
1 a
4 x 2 y 3 3x y 2