三阶行列式展开

教学内容【知识结构】 1、三阶行列式 ①对角线方式展开②按某一行(或列)展开法333231232221131211a a a a a a a a a =112233122331132132112332122133132231a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++--- =11a 33322322a a a a -12a 33312321a a a a+13a 32312221a a a a记 322211a a M =3323a a ，111111)1(M A +-=；312112a a M =3323a a ， =12A 1221)1(M +-；312113a a M =3222a a ， 133113)1(M A +-= 。

称j M 1为元素j a 1的余子式，即将元素j a 1所在的第一行、第j 列划去后剩下的元素按原来顺序组成的二阶行列式（类似可以定义其它元素的余子式）；称j A 1为元素j a 1的代数余子式，j j j M A 111)1(+-=（)3,2,1=j 。

则三阶行列式就可以写成D =333231232221131211a a a a a a a a a =131312121111A a A a A a ++,2、用三阶行列式求三角形的面积：若ABC ∆三个顶点坐标分别为),(11y x 、),(22y x 、),(33y x ，则11223311121ABCx y S x y x y ∆= A 、B 、C 三点共线的充分必要条件为1122331101x y x y x y =【例题精讲】例1．方程131321111=x的解=x ____6_______.例2．方程020014211111=--x x的解为_________________．21=x ，5log 22=x例3. 关于x 的多项式xxxxx 22111---中含23,x x 项的系数分别是 -2和4 例4.利用对角线法则计算下列三阶行列式：（1）21141183---； （2）a b cb c a c a b（3）222111a b c a b c ； （4）xy x y y x y x x yxy+++解：(1) -4 (2) 3333c b a abc --- (3) (a-b)(b-c)(c-a) (4) 3322y x --例5.设=-+----=31211142,410132213A A A D 则 0例6.按要求展开行列式：302213231D -=-； （1）按对角线展开；（2）按第一行展开；（3）按第一列展开；解：-40例7. 计算下列行列式：(1)2130;154-- (2)0011052112---;解：注意：这种三角型行列式的值等于其对角线上元素的乘积。

第26讲 二阶行列式与三阶行列式知识点概要1.二阶行列式的有关概念及二元一次方程组的解法： 设二元一次方程组（*）⎩⎨⎧=+=+222111c y b x a c y b x a （其中y x ,是未知数，2121,,,b b a a 是未知数的系数且不全为零，21,c c 是常数项） 用加减消元法解方程组（*）:当01221≠-b a b a 时，方程组（*）有唯一解：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=--=1221122112211221b a b a c a c a y b a b a b c b c x ，引入记号21a a21b b 表示算式1221b a b a -，即21a a21b b 1221b a b a -=．从而引出行列式的相关概念，包括行列式、二阶行列式、行列式的展开式、行列式的值、行列式的元素、对角线法则等。

记=D 21a a21b b ，=x D 21c c21b b ，=y D 21a a21c c ，则：①当=D 21a a21b b =01221≠-b a b a 时，方程组（*）有唯一解，可用二阶行列式表示为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==DD y D D x y x. ②当D =0时，0x y D D ==方程组（*）无穷组解； ③当D =0时，0≠x D 或0≠y D ，方程组（*）无解。

系数行列式1122a b D a b =也为二元一次方程组解的判别式。

2.三阶行列式（1）三阶行列式的展开方法： ①对角线方式展开：②按某一行(或列)展开法：333231232221131211a a a a a a a a a =112233122331132132112332122133132231a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++--- =11a 33322322a a a a -12a 33312321a a a a +13a 32312221a a a a记322211a a M =3323a a ，111111)1(M A +-=，312112a a M =3323a a ，=12A 1221)1(M +-，312113a a M =3222a a ，133113)1(M A +-=称j M 1为元素j a 1的余子式，即将元素j a 1所在的第一行、第j 列划去后剩下的元素按原来顺序组成的二阶行列式（类似可以定义其它元素的余子式）；称j A 1为元素j a 1的代数余子式，j j j M A 111)1(+-=（)3,2,1=j .则三阶行列式就可以写成D =333231232221131211a a a a a a a a a =131312121111A a A a A a ++.这就是说，一个三阶行列式可以表示为它的第一行的元素分别与它们的代数余子式乘积的和。

行列式的几种计算方法7篇第1篇示例：行列式是线性代数中的一个重要概念，它是一个方阵中的一个数值，可以帮助我们判断矩阵的性质，计算行列式的值是线性代数中的基础技能之一。

下面我们将介绍几种行列式的计算方法以及其应用。

一、直接展开法计算行列式最基本的方法就是直接展开法。

以3阶行列式为例，一个3阶方阵的行列式可以表示为：\[\begin{vmatrix}a &b &c \\d &e &f \\g & h & i\end{vmatrix}\]通过公式展开，可以得到：\[\begin{aligned}\begin{vmatrix}a &b &c \\d &e &f \\g & h & i\end{vmatrix} & = aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh \\& = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)\end{aligned}\]这样就可以直接计算出行列式的值。

但是这种方法比较繁琐，不适用于高阶行列式的计算。

二、拉普拉斯展开法\[\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\\end{vmatrix}\]以第一行为例，可以按照以下公式展开：\[ \text{det}(A) = a_{11}C_{11} + a_{12}C_{12} + \cdots +a_{1n}C_{1n} \]C_{ij}表示元素a_{ij}的代数余子式，通过递归计算代数余子式，最终可以得到行列式的值。

3阶行列式展开公式3阶行列式展开公式是线性代数中重要的概念之一，它可以用来求解包含了多个线性方程的问题。

行列式展开是将一个n阶行列式按照行或列展开成若干个n-1阶的行列式的运算过程。

下面，我们将详细介绍3阶行列式展开公式，并讨论它的意义和实际应用。

3阶行列式展开公式可以用于求解3个线性方程组的唯一解。

行列式展开是一种代数运算，它将一个3阶行列式按照其中一行（或一列）展开成若干个2阶行列式的和。

具体来说，3阶行列式展开公式为：D = a11(a22a33 - a23a32) - a12(a21a33 - a23a31) +a13(a21a32 - a22a31)其中，D表示3阶行列式的值，a11、a12、a13为第1行的元素，a21、a22、a23为第2行的元素，a31、a32、a33为第3行的元素。

这个公式的意义在于，通过展开行列式，我们可以将原本较复杂的3阶问题，转化为多个2阶问题的求解。

这样一来，我们可以通过解决较简单的2阶问题，再通过求和的方式，得到整个3阶行列式的值。

这种分解求解方法，大大简化了计算的复杂度，并且可以避免直接求解3阶线性方程组时可能出现的误差。

在实际应用中，3阶行列式展开公式可以用于求解平面几何中的问题。

例如，当我们需要求解一个平面上的三个点构成的三角形的面积时，可以利用3阶行列式展开公式来计算。

通过将三个点的坐标表示为矩阵形式，然后利用展开公式求得行列式的值，再取其绝对值的一半，就可以得到三角形的面积。

这个方法简单直观，且容易计算，因此在数学和物理等领域得到了广泛的应用。

除了求解平面几何问题外，3阶行列式展开公式还可以用于解决线性方程组的问题。

当我们面临一个包含三个线性方程的问题时，可以将其转化为一个行列式的求解问题。

通过展开行列式并代入方程的系数，我们可以求解出未知数的值，从而得到线性方程组的解。

这种方法在工程、经济等实际问题中具有重要意义，可以帮助我们解决复杂的线性方程组求解问题。

三阶行列式公式【实用版】目录1.三阶行列式的定义2.三阶行列式的展开式3.三阶行列式的性质4.三阶行列式的应用正文1.三阶行列式的定义三阶行列式是一个 3x3 矩阵所对应的行列式，即由三个 3x3 矩阵的元素组成，用一个竖线符号将矩阵分隔开。

三阶行列式的表示形式为：D = | a11 a12 a13 || a21 a22 a23 || a31 a32 a33 |2.三阶行列式的展开式三阶行列式的展开式是将第一行的元素分别乘以与其对应的 2 阶子行列式，然后求和。

2 阶子行列式是指从 3x3 矩阵中选取 2 行和 1 列所组成的 2x2 矩阵的行列式。

三阶行列式的展开式为：D = a11 * (a22 * a33 - a23 * a32) - a12 * (a21 * a33 - a23 * a31) + a13 * (a21 * a32 - a22 * a31)3.三阶行列式的性质三阶行列式具有以下性质：(1) 行列式的值与它的转置行列式相等，即 D = det(A") = a22 * a33- a23 * a32 - a12 * a31 + a13 * a31 - a11 * a23 + a13 * a21。

(2) 三阶行列式的值等于它任意两行的乘积之和，再乘以 -1，即 D = -a11 * (a22 * a33 - a23 * a32) - a12 * (a21 * a33 - a23 * a31) - a13 * (a21 * a32 - a22 * a31)。

(3) 三阶行列式的值等于它任意两列的乘积之和，再乘以 -1，即 D = -a11 * (a22 * a33 - a23 * a32) - a12 * (a21 * a33 - a23 * a31) - a13 * (a21 * a32 - a22 * a31)。

4.三阶行列式的应用三阶行列式在数学和物理学中有广泛应用，例如求解线性方程组、计算矩阵的逆和行列式为 0 时判断矩阵是否可逆等。

好闺蜜的同学录留言.山海可以阻隔彼此,却阻隔不了我的思念,距离可以拉开你我,却拉不开真挚的情谊,时间可以淡忘过去,却忘不了永远的朋友.下面有YJBYS小编整理的好闺蜜的同学录留言，欢迎阅读!1、认识你是我的欢乐，离开你是我的痛苦，好闺蜜的同学录留言。

对于即将的离别，支持着我的是对于重逢的期盼。

2、你终于要走了，但你把花的形象留了下来，你把花的芬芳留了下来，你把我们共同浇灌的希望也留了下来。

今后只要我想起你，我的岁月就会永远地鲜艳，永远地芳菲。

3、你的身影是帆，我的目光是河流，多少次想挽留你，终于不能够。

我知道人世间难得的是友情，但更宝贵的却是自由。

4、面对着岁月摆下的筵席，我们相互微笑殷勤地劝酒，仿佛所有没说的爱恋与不舍，都收藏在语句的背后。

因为我们都已明白，此去再也没有比手中这一杯更醇更美的酒了。

5、你留给我的，是美丽的记忆。

你使是怀念少年时的纯真和友谊。

当我捧起记忆中的佳酿想请你喝时，却先醉了自己。

6、你有涌泉一样的智慧和一双辛勤的手，学友，学友，不管你身在何处，幸运与快乐时刻陪伴着你!7、生活已经向我们敞开了胸襟，朋友，让我们勇敢地迎上前去，去尽情地体验它无边无际的壮阔，无穷无尽的幽深吧!8、是否还记得校园里那条彩色卵石铺成的小路两旁有缤纷的鲜花花镶边，还有翠绿的柳丝飘拂。

多少个早晨，多少个傍晚，我俩在这路上漫步……它和友情一起，留在我的记忆里，也烙在你的印象中。

9、同窗六年，你把友谊的种子撒在我心灵上。

我将默默地把它带走，精心浇灌、栽培，让它来日开出芳馨的鲜花。

10、同学啊，让往日夕暮中那些甜蜜的低语，都埋在心底，化作美丽的记忆吧!11、像蜂蝶飞过花丛，像清泉流经山谷，在记忆的心屏中，学生时代的生活，恰似流光溢彩的画页，也似一阕跳跃着欢快音符的乐章。

12、小鸟在枝头吱吱喳喳，多像我们当年的窃窃私语，和那一串串格格的笑声……13、有人说：“人人都可以成为自己的幸运的建筑师。

”愿我们在走向生活的道路上，用自己的双手建造幸运的大厦。