(优选)线性代数二阶三阶行列式
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二阶三阶行列式计算方法
二阶三阶行列式计算方法行列式是线性代数中的一个重要概念，它是一个数学工具，用于描述矩阵的性质和变换。
在实际应用中，行列式经常用于求解线性方程组、计算矩阵的逆、判断矩阵是否可逆等问题。
本文将介绍二阶三阶行列式的计算方法。
二阶行列式二阶行列式是一个2×2的矩阵，它的计算方法如下：$$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} \\a_{21} & a_{22}\end{vmatrix} = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}$$其中，$a_{11}$、$a_{12}$、$a_{21}$、$a_{22}$是矩阵中的元素。
例如，对于矩阵$\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix}$，它的二阶行列式为：$$\begin{vmatrix}1 &2 \\3 & 4\end{vmatrix} = 1\times4 - 2\times3 = -2$$三阶行列式三阶行列式是一个3×3的矩阵，它的计算方法如下：$$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\a_{21} & a_{22} & a_{23} \\a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{vmatrix} = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{13}a_{22}a_{31} - a_{11}a_{23}a_{32} - a_{12}a_{21}a_{33}$$其中，$a_{11}$、$a_{12}$、$a_{13}$、$a_{21}$、$a_{22}$、$a_{23}$、$a_{31}$、$a_{32}$、$a_{33}$是矩阵中的元素。
线性代数Ⅰ—行列式
9
例:
a b 0 0 d a d e b e c 0 =? f c f
1 1 1 2 1 1 2 1 0 3 2 2 1 1 1 0
1 2 3 2 3 4 =? 4 6 8
2 1
3 2
4 3
ka kb kc = ?
a1 + 2 a2 + 3 a3 + 4 = ?
例:计算
10
几个特别的行列式
(1)
22
(五) (B) 第一行公因数 2
1 2 D=2 3 4 1 x 3 4 1 3 x 4 1 r2 2r1 3 r3 3r1 2 4 r4 4r1 x 1 1 1 1 0 x2 1 1 =0 0 0 x3 1 0 0 0 x4
得 2( x 2)( x 3)( x 4) = 0 x1 = 2, x2 = 3, x3 = 4
1 5
16 9 49 25 64 27 343 125
15
例题和习题
0 0 0 λ1 (一) 行列式 0 0 λ2 0 的值为[ λn 0 0 0
]
n ( n 1) 2
(A) 0
1 4 (二) 设 A = 2 5
(B) λ1λ2 λn (C) (1)
2 3 0 1 3 2 1 1
λ1λ2 λn (D) λ1λ2 λn
]条,则 Dn = 0
(A) Dn 中0元素个数多于 n 个 (C) D中有一列元素是另外二列之和 (D) D中每个元素均为两数之和
a2 b2 (十五) D = 2 c d2 (a + 1) 2 (b + 1) 2 (c + 1) 2 (d + 1) 2 (a + 2) 2 (b + 2) 2 (c + 2) 2 (d + 2) 2 (a + 3) 2 (b + 3) 2 =[ 2 (c + 3) (d + 3) 2
例:
a b 0 0 d a d e b e c 0 =? f c f
1 1 1 2 1 1 2 1 0 3 2 2 1 1 1 0
1 2 3 2 3 4 =? 4 6 8
2 1
3 2
4 3
ka kb kc = ?
a1 + 2 a2 + 3 a3 + 4 = ?
例:计算
10
几个特别的行列式
(1)
22
(五) (B) 第一行公因数 2
1 2 D=2 3 4 1 x 3 4 1 3 x 4 1 r2 2r1 3 r3 3r1 2 4 r4 4r1 x 1 1 1 1 0 x2 1 1 =0 0 0 x3 1 0 0 0 x4
得 2( x 2)( x 3)( x 4) = 0 x1 = 2, x2 = 3, x3 = 4
1 5
16 9 49 25 64 27 343 125
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例题和习题
0 0 0 λ1 (一) 行列式 0 0 λ2 0 的值为[ λn 0 0 0
]
n ( n 1) 2
(A) 0
1 4 (二) 设 A = 2 5
(B) λ1λ2 λn (C) (1)
2 3 0 1 3 2 1 1
λ1λ2 λn (D) λ1λ2 λn
]条,则 Dn = 0
(A) Dn 中0元素个数多于 n 个 (C) D中有一列元素是另外二列之和 (D) D中每个元素均为两数之和
a2 b2 (十五) D = 2 c d2 (a + 1) 2 (b + 1) 2 (c + 1) 2 (d + 1) 2 (a + 2) 2 (b + 2) 2 (c + 2) 2 (d + 2) 2 (a + 3) 2 (b + 3) 2 =[ 2 (c + 3) (d + 3) 2
二阶与三阶行列式线性代数PPT课件
19 世纪末美国数学物理学家吉布斯( Willard Gibbs ) 发表了关于《向量分析基础》 的著名论述。
14
第14页/共49页
其后英国物理学家狄拉克 ( P. A. M. Dirac 19021984)提出了行向量和列向量的乘积为标量。
我们习惯的列矩阵和向量都是在 20 世纪由物理学家给 出的。
16
第16页/共49页
阿贝尔(Abel) 与伽罗瓦(Galois)
挪威数学家阿贝尔(1802.8.5—1829.4.6)，以证明 五次元方程的根式解的不可能性而闻名。 法国数学家厄米特（Hermite 1822—1901）在谈 到阿贝尔的贡献时曾说过：“阿贝尔留下的工作， 可以使以后的数学家足够忙碌150年！” 在和阿贝尔同时期的一个法国少年读到了他的著作， 于是在不到20岁的时候在代数方程论推陈出新创立了 一门新的数学理论——伽罗瓦理论，这个发现者伽罗 瓦还建立了群论的基础理论。
7
第7页/共49页
范德蒙( Vandermonde ) 是第一个对行列式 理论进行系统的阐述(即把行列式理论与线 性方程组求解相分离)的人。并且给出了一 条法则，用二阶子式和它们的余子式来展开 行列式。就对行列式本身进行研究这一点而 言，他是这门理论的奠基人。
8
第8页/共49页
拉世 界体系的探讨》中 , 证明了 Vandermonde 的一些 规则 , 并推广了他的展开行列式的方法 , 用 r 行中所 含的子式和它们的余子式的集合来展开行列式，这 个方法现在仍然以他的名字命名。
23
第23页/共49页
对于二元线性方程组
aa1211xx11
a12 x2 a22 x2
b1 , b2 .
若记
D a11 a12 ,
14
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其后英国物理学家狄拉克 ( P. A. M. Dirac 19021984)提出了行向量和列向量的乘积为标量。
我们习惯的列矩阵和向量都是在 20 世纪由物理学家给 出的。
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阿贝尔(Abel) 与伽罗瓦(Galois)
挪威数学家阿贝尔(1802.8.5—1829.4.6)，以证明 五次元方程的根式解的不可能性而闻名。 法国数学家厄米特（Hermite 1822—1901）在谈 到阿贝尔的贡献时曾说过：“阿贝尔留下的工作， 可以使以后的数学家足够忙碌150年！” 在和阿贝尔同时期的一个法国少年读到了他的著作， 于是在不到20岁的时候在代数方程论推陈出新创立了 一门新的数学理论——伽罗瓦理论，这个发现者伽罗 瓦还建立了群论的基础理论。
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范德蒙( Vandermonde ) 是第一个对行列式 理论进行系统的阐述(即把行列式理论与线 性方程组求解相分离)的人。并且给出了一 条法则，用二阶子式和它们的余子式来展开 行列式。就对行列式本身进行研究这一点而 言，他是这门理论的奠基人。
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拉世 界体系的探讨》中 , 证明了 Vandermonde 的一些 规则 , 并推广了他的展开行列式的方法 , 用 r 行中所 含的子式和它们的余子式的集合来展开行列式，这 个方法现在仍然以他的名字命名。
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对于二元线性方程组
aa1211xx11
a12 x2 a22 x2
b1 , b2 .
若记
D a11 a12 ,
二阶三阶行列式
a1 1 a1 2 a1n
A a21 a22 a2n
an1 an2 ann
2.10
1
a a τ j1 j2 jn 1 j1 2 j2
a nj n
j1 j2 jn
例3 计算上三角行列式
a11 a12
a1n
a22
a2n
ann
解 分析
展开式中项的通项是 α α 1 j1 2 j2 αnjn .
（2）每项中三个元素的行指标构成一个三级排列， 在式（2.6）中，行指标的排列都是标准排列1 2 3， 列指标构成的三阶排列各不相同，因此式（2.6） 中每项的一般形式为：
2.7
例如 a13a21a32 列标排列的逆序数为
312 1 1 2, 偶排列 正号
a11a23a32
列标排列的逆序数为
132 1 0 1, 奇排列 负号,
a11 a12 a13
a21 a22 a23 (1) ( j1 j2 j3 ) a1 j1 a2 j2 a3 j3 .
a31 a32 a33
三、n阶行列式的定义
定义1.4
由 n2 个数组成的n 阶行列式等于所有
例如，排列2413经过2与3兑换后，就得 到排列3412；排列32415经过2与1兑换 后，就得到排列31425.
由计算逆序数可知，奇排列2413变成了 偶排列3412；而偶排列32415却变成了 奇排列31425.
定理1.1
任一排列经过一次对换后必改变其奇偶性.
证明 设排列为
a1al ab b1bm
其中不为零的项只有 α1 1α2 2 αnn .
a11 a12 a22
线性代数第一章15
则D等于下列两个行列式之和：
a11 a 21 D a n1
a1i a1n a11 a 2 i a 2 n a 21 a ni a nn a n1
i a1 n a1 a a2n 2i a a nn ni
性质６ 把行列式的某一列（行）的各元素乘以 同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行 列式值不变． a11 a1i a1 j a1n
1 7 5 1 7 5 6 6 2 3 5 8 , 3 5 8 6 6 2
1 7 6 6 3 5
7 1 5 2 6 6 2. 5 3 8 8
5
交换 i , j 两行，记作 ri rj . 交换 i , j 两列，记作 ci c j .
1 7 5 1 7 5 r2 r3 6 6 2 3 5 8 , 3 5 8 6 6 2
2. 二阶行列式的计算
主对角线 副对角线
对角线法则
a11a22 a12a21 .
a11
a12
a21
a22
对于二元线性方程组
若记
a11 x1 a12 x2 b1 , a21 x1 a22 x2 b2 .
a11 a12 D , a21 a22
系数行列式
b1 D1 b2
DT
a11 a21 an1 a12 a22 an 2
an1 an 2 ann
T
a1n a2 n ann
行列式 D 称为行列式 D 的转置行列式.
二、行列式的性质
性质1 行列式与它的转置行列式相等.
说明 行列式中行与列具有同等的地位,因此 行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立. 性质2 互换行列式的两行（列）,行列式变号.
a11 a 21 D a n1
a1i a1n a11 a 2 i a 2 n a 21 a ni a nn a n1
i a1 n a1 a a2n 2i a a nn ni
性质６ 把行列式的某一列（行）的各元素乘以 同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行 列式值不变． a11 a1i a1 j a1n
1 7 5 1 7 5 6 6 2 3 5 8 , 3 5 8 6 6 2
1 7 6 6 3 5
7 1 5 2 6 6 2. 5 3 8 8
5
交换 i , j 两行，记作 ri rj . 交换 i , j 两列，记作 ci c j .
1 7 5 1 7 5 r2 r3 6 6 2 3 5 8 , 3 5 8 6 6 2
2. 二阶行列式的计算
主对角线 副对角线
对角线法则
a11a22 a12a21 .
a11
a12
a21
a22
对于二元线性方程组
若记
a11 x1 a12 x2 b1 , a21 x1 a22 x2 b2 .
a11 a12 D , a21 a22
系数行列式
b1 D1 b2
DT
a11 a21 an1 a12 a22 an 2
an1 an 2 ann
T
a1n a2 n ann
行列式 D 称为行列式 D 的转置行列式.
二、行列式的性质
性质1 行列式与它的转置行列式相等.
说明 行列式中行与列具有同等的地位,因此 行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立. 性质2 互换行列式的两行（列）,行列式变号.
二阶和三阶行列式
a11 D
a12
a13 a23 a33 a43
a12
a14 a24 a34 a44
a13 a23 a33
a21 a22 a31 a32 a41 a42
a11
a21 a23 M 12 a31 a33 a41 a43
1 2
a24 a34 a44
A12 1 M 12 M 12
M 44 a21 a22 a31 a32
a41 a42 a43 a44
a 32 的代数余子式 A32 ( 1)32 M 32 a13 的代数余子式 A ( 1)13 M 13 13
a21 a31 a41
完
a22b1 a12 a21b1 x2 a11a22 a12a21
a11 a12 D a11a22 a12a21 , a21 a22
a12 a22
主对角线 a11 a21 称 D 为二阶行列式。 副对角线
(-)
a13 a11 a33 a31
(+)
a12 a32
(+) (+)
a23 a21 a22
(-)
(-)
三元线性方程组
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 设有三元线性方程组 a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 , a x a x a x b 31 1 32 2 33 3 3
解 计算二阶行列式
D
2 1 3 2
7 , D1
5 11
1 2
21 , D2
2
5
3 11
7 .
由 D 7 0 知方程组有唯一解：
D1 D2 x1 3 , x2 1. D D
2-1_二阶_三阶行列式的性质
三阶行列式的性质
根据已经证明的关于2阶行列式的性质，3阶行列式也有同样的性质 性质 行列互换，3阶行列式的值不变，即 = 证明：等式左端的行列式按照第1列展开利用性质1可得
等式右端
■
性质 两行 (列) 互换，3阶行列式的值变号. (只给出行列式的前 2行变换的情形，其他情形类似). =
证明：把等式左端的行列式按第 3 行展开再利用性质3可得 = + + = 等式右端 ■
例0.4：计算下列行列式： （1） （2）
（3）
解：（1）
( 3) r1 r 2
解：（2）
( r 2 r 3) r1
c1 c2 c1 c3
注：此题的做法，对所有行(列)和相等的行列式均适用.
解：（3）
c1 c2 c1 c3
本讲小结
1、转置不变（行列等价） 2、行(列)加法拆项法则 3、行(列)倍乘 4、对换取反 5、倍加不变 6、行列展开公式 行(列)初等变换，产生尽量多的0元素. 初等变换，是行列式 计算中最常用的方法.
称为三阶行列式对其第一行的展开公式.
= = ( ) ( ) ( )
=
因此，我们已经有
类似地，我们也可以得到
以上三个式子分别称为三阶行列式对其第一、二、三行的展开公式.
同样也有三阶行列式对其一、二、三列的展开公式，即
易知，2阶行列式也满足这个结论，故我们就证明了以下的定理. 定理 2、3阶行列式等于它的任一行 (或列) 元素与自己的代数余子式 乘积之和.
■
性质2 若二阶行列式中某行(列)每个元素分成两个数之和，则该行列 式可关于该行(列)拆开成两个行列式之和，拆开时其他行均保持不变， 即 = + 证明： = ( = + ■
二阶三阶行列式
二阶三阶行列式1.引言1.1 概述二阶行列式和三阶行列式是线性代数中常见的概念。
行列式是一个整数或实数的方阵，它具有很多重要的性质和应用。
二阶行列式是一个2×2的方阵，而三阶行列式是一个3×3的方阵。
在本文中，我们将介绍二阶行列式和三阶行列式的定义以及计算方法，并总结它们的特点和重要性。
在二阶行列式部分，我们将详细介绍二阶行列式的定义和计算方法。
二阶行列式的定义是由其中的四个元素按一定的规则相乘再相减得到的一个数值。
计算二阶行列式可以使用简单的公式，即将对角线上的两个元素相乘再相减。
我们将提供详细的计算示例，并讨论二阶行列式在几何学和线性方程组中的应用。
在三阶行列式部分，我们将进一步介绍三阶行列式的定义和计算方法。
三阶行列式的计算比较复杂，需要按一定的规则进行乘法和加减运算。
我们将解释这些规则，并提供实际的计算例子。
此外，我们还将探讨三阶行列式在向量空间和线性方程组中的应用，以及它们与二阶行列式之间的关系。
通过本文的学习，读者将能够理解二阶行列式和三阶行列式的概念和计算方法。
同时，他们还将认识到行列式在数学和实际应用中的重要性。
了解行列式可以帮助我们解决各种问题，包括求解线性方程组、计算向量的正交性和计算面积和体积等。
行列式是线性代数中的基础知识，对于进一步学习和应用线性代数的内容具有重要的意义。
1.2文章结构1.2 文章结构本文将首先介绍二阶行列式的概念和定义，详细阐述其计算方法。
然后，我们将进一步探讨三阶行列式的定义和计算方法。
在分析和比较二阶行列式与三阶行列式的异同之后，我们将总结这两者的特点和应用。
本文的主要目的是通过对二阶和三阶行列式的研究，帮助读者更好地理解和应用行列式的相关概念和计算方法。
具体来说，本文的内容安排如下：2. 正文2.1 二阶行列式2.1.1 定义在这一部分中，我们将引入二阶行列式的概念，并详细解释其定义。
通过具体的例子，我们将展示如何构建并计算二阶行列式。
线性代数二阶与三阶行列式
D 2 1 3 11 1 2 3 1
1 1 1
1 2 1 11 1 2 2 1 1 31
5 0,
同理可得
2 2 1
1 2 1
D1 1 1 3 5, D2 2 1 3 10,
0 1 1
1 0 1
1 2 2
D3 2 1 1 5, 1 1 0
故方程组的解为:
得一个关于未知数 a, b, c 的线性方程组, 又 D 20 0, D1 40, D2 60, D3 20. 得 a D1 D 2, b D2 D 3, c D3 D 1
故所求多项式为
f x 2x2 3x 1.
副对角线
a21
a22
对于二元线性方程组
aa1211
x1 x1
a12 x2 a22 x2
b1 , b2 .
若记
D a11 a12 ,
系数行列式
a21 a22
aa1211
x1 x1
a12 x2 a22 x2
b1 , b2 .
D a11 a12 , a21 a22
aa1211
x1 x1
a12 x2 a22 x2
称列）的数表
a11 a12
a21 a22
(4)
表达式 a11a22 a12a21称为数表（4）所确定的二阶
行列式，并记作 a11 a12
(5)
a21 a22
即
D a11 a21
a12 a22
a11a22 a12a21.
二阶行列式的计算 对角线法则
主对角线 a11
a12
a11a22 a12a21.
D2
a11 a21
b1 . b2
则二元线性方程组的解为
1 1 1
1 2 1 11 1 2 2 1 1 31
5 0,
同理可得
2 2 1
1 2 1
D1 1 1 3 5, D2 2 1 3 10,
0 1 1
1 0 1
1 2 2
D3 2 1 1 5, 1 1 0
故方程组的解为:
得一个关于未知数 a, b, c 的线性方程组, 又 D 20 0, D1 40, D2 60, D3 20. 得 a D1 D 2, b D2 D 3, c D3 D 1
故所求多项式为
f x 2x2 3x 1.
副对角线
a21
a22
对于二元线性方程组
aa1211
x1 x1
a12 x2 a22 x2
b1 , b2 .
若记
D a11 a12 ,
系数行列式
a21 a22
aa1211
x1 x1
a12 x2 a22 x2
b1 , b2 .
D a11 a12 , a21 a22
aa1211
x1 x1
a12 x2 a22 x2
称列）的数表
a11 a12
a21 a22
(4)
表达式 a11a22 a12a21称为数表（4）所确定的二阶
行列式，并记作 a11 a12
(5)
a21 a22
即
D a11 a21
a12 a22
a11a22 a12a21.
二阶行列式的计算 对角线法则
主对角线 a11
a12
a11a22 a12a21.
D2
a11 a21
b1 . b2
则二元线性方程组的解为
线性代数第1章行列式二阶与三阶行列式1-1-
定义
由四个数排成二行二列（横排称行、竖排
a a 11 12 a a 21 22 ( 4 )
称列）的数表
表达式 a a a a 称为数表（ 4 ）所确定的 11 22 12 21 a 11 a 12 行列式，并记作 ( 5 ) a 21 a 22
即
a 11 a 12 D a a a a . 11 22 12 21 a 21 a 22
解线性方程组 x1 2x2 x3 2, 2x1 x2 3x3 1, x x x 0. 1 2 3 解 由于方程组的系数行列式 1 2 1 2 3 1 1 1 1 D 2 1 3 1 1 1
b 1 a 12 D , 1 b 2 a 22
a x a x b , 11 1 12 2 1 a x a x b . 21 1 22 2 2
D a 11 a 12 a21 a22 ,
a x a x b , 11 1 12 2 1 a x a x b . 21 1 22 2 2
b 1 a 12 D , 1 b 2 a 22
a x a x b , 11 1 12 2 1 a x a x b . 21 1 22 2 2
D2
a11 b1 a21 b2
.
则二元线性方程组的解为
b1
a12
a11 b1 D2 a21 b2 x2 . D a11 a12 a21 a22
a 12 a 22 a 32
a 13 a 23 a 33
a 21 a 31
a a a a a a a a a ( 6 ) 11 22 33 12 23 31 13 21 32 a a a a a a a a a 11 23 32 12 21 33 13 22 31 ,
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5(8) 40
0 0 2 3
0 0 02
例2 计算 n 阶行列式
a b bb b a bb D b b a b
b b ba
解 将第 2,3,,n 都加到第一列得
a n 1b b b b
a n 1b a b b
D a n 1b b a b
a n 1b b b a
推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）
的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即
a A i1 j1 a A i2 j2 a A in jn 0, i j .
四、行列式的计算
1、将行列式化成三角行列式计算 例１ 计算行列式
1 5 3 3 2 0 1 1 D 3 1 1 2 5 1 3 4
数之和.
a11 a12 (a1i a1i ) a1n
例如
D
a21
a22
(a2i a2 i ) a2n
an1 an2 (ani an i ) ann
则D等于下列两个行列式之和：
a11 a1i a1n a11 a1i a1n
D
a21
a2i
a2n
a21
a2i
a2n
性质４ 行列式中如果有两行（列）元素成比 例，则此行列式为零．
证明 a11 a12 a1n
a11 a12 a1n
ai1 ai2 ain
ai1 ai2 ain
k 0.
kai1 kai2 kain
ai1 ai2 ain
an1 an2 ann
an1 an2 ann
性质5 若行列式的某一列（行）的元素都是两
二、余子式与代数余子式
在n 阶行列式中，把元素 aij 所在的第 i 行和第 j 列划去后，留下来的 n 1 阶行列式叫做元素aij 的余子式，记作 M ij .
记 Aij 1i j Mij，叫做元素 a ij的代数余子式．
例如
a a a a 11
12
13
14
D a21 a22 a23 a24
an1 ani ann an1 an i ann
性质６ 把行列式的某一列（行）的各元素乘以
同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行
列式不变．
a11 a1i a1 j a1n
例如
a21 a2i k a2 j a2 j
an1 ani anj anj a11 (a1i ka1 j ) a1 j a1n
ri
krj
a21
(a2i ka2 j )
a2 j
a2 j
an1 (ani kanj ) anj anj
利用行列式的上述性质，往往可以使行 列式的计算简化，但我们知道阶数越低的 行列式越容易计算。比如二阶行列式比三 阶行列式要容易计算得多。因此，我们自 然地提出，能否把行列式转化为一些阶数 较低的行列式来计算？为此先给出余子式 和代数余子式的概念。
解
1 5 3 3
1 5 3 3
2 D
3
0 1 1 0 r2 2r1 10 5 5
1
1
2
0 r3 3r1
r4 5r1
16
10
11
5 1 3 4
0 24 18 19
1 5 3 3
r2 5
r3 8r2 r4 12r2
5
0 0
2 1 1 0 2 3
0 0 6 7
1 5 3 3
5 0 r4 3r3
（优选）线性代数二阶三阶行 列式
说明 行列式中行与列具有同等的地位,因此行列 式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.
性质2 互换行列式的两行（列）,行列式变号.
例如
175 175 6 6 2 3 5 8 , 358 662
17 5 715 6 6 2 6 6 2. 35 8 538
推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则 此行列式为零.
a a a a 31
32
33
34
a a a a 41
42
43
44
a11 a12 a14 M 23 a31 a32 a34
a41 a42 a44
A23 1 23 M 23 M 23 .
a11 a12 a13 a14 D a21 a22 a23 a24 ,
a31 a32 a33 a34 a41 a42 a43 a44
a21 a23 a24 M12 a31 a33 a34 ,
a41 a43 a44
A12 112 M12 M12 .
a11 a12 a13
M44 a21 a22 a23 , A44 1 44 M44 M44.
a31 a32 a33
行列式的每个元素分别对应着一个余子式和一
个代数余子式.
性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都
乘以同一数 k ，等于用数 k 乘此行列式.
a11 a12 a1n
a11 a12 a1n
kai1 kai2 kain k ai1 ai2 ain
an1 an2 ann
an1 an2 ann
推论 行列式的某一行（列）中所有元素的公因 子可以提到行列式符号的外面．
引理 一个 n 阶行列式，如果其中第 i 行所有 元素除 aij外都为零，那末这行列式等于aij与它的 代数余子式的乘积，即 D aij A．ij
a11 a12 a13 a14 例如 D a21 a22 a23 a24
0 0 a33 0 a41 a42 a43 a44
a11 a12 a14
1 33 a33 a21 a22 a24 .
1 b bb
1 a bb
a (n 1)b 1 b a b
各行都减去 第一行
1 b ba
1 bb
a (n1)b 0 a b 0
0 0 ab
b 0
0 a (n 1)b(a b)n1.
an1
an2
ann
a11 a12 a1n
a11 a12 a1n
ai1 0 0 0 ai2 0
an1 an2 ann
an1 an2 ann
a11 a12 a1n
0 0 ain ai1 Ai1 ai2 Ai2 ain Ain
i 1,2,,n
an1 an2 ann
a41 a42 a44
三、行列式按行（列）展开法则
定理 行列式等于它的任一行（列）的各元素 与其对应的代数余子式乘积之和，即
D ai1 Ai1 ai2 Ai2 ain Ain i 1,2,, n
证
a11
a12
a1n
D ai1 0 0 0 ai2 0 0 0 ain