下载文档原格式
作两圆外公切线的原理
纸上画“两圆A和B”的外公切线作法：
（1）作AB线段的中点M点，以M为圆心，AM为半径作圆1，再以A为圆心，圆A、B之半径差为半径作圆2，则此两圆（1、2）交於点Q，连接AQ，则与圆A交于点P，过P点作垂直线，即为公切线。
（2）注意：此处圆A大于圆B，即圆2在大圆内部才能成功。
1、两个不相交的圆在公切线的同旁时，这样的公切线叫做外公切线。
2、和两圆都相切的直线，叫做两圆的公切线。
两个圆在公切线同旁时，这样的公切线叫做外公切线。
两个圆在公切线的两旁时，这样的公切线叫做内公切线。
数学教案－两圆的公切线引言数学中，圆是一种基本的几何形状，而公切线是指两个圆之间的切线。
研究两个圆的公切线对于培养学生的几何思维、分析问题的能力以及解决实际问题有着重要的作用。
本教案将引导学生通过探究两个圆的公切线的性质，加深对圆形和切线的理解。
教学目标1.了解切线的定义和性质。
2.探究两个圆的公切线的存在条件。
3.理解和应用两个圆的公切线的性质。
教学重点1.公切线的定义和性质。
2.两个圆的公切线的存在条件。
3.两个圆的公切线的性质。
教学内容1. 切线的定义和性质切线的定义在平面几何中，给定一个圆和其上的一个点，过这个点可以作出无数条切线。
切线是与圆仅有一个交点的直线。
切线的性质1.切线与半径的垂直关系：切线与过切点的半径垂直。
2.切线与圆弧的夹角：切线和过切点的切线与圆弧之间的夹角为直角。
2. 两个圆的公切线的存在条件外公切线当两个圆半径之和大于两圆心之间的距离时，两圆存在两条外公切线。
#### 内公切线当两个圆半径之差大于两圆心之间的距离时，两圆存在两条内公切线。
3. 两个圆的公切线的性质1.公切线与两个圆心的关系：两个圆的公切线与两个圆心的连线垂直。
2.公切线的切点：两个圆的公切线与两个圆的切点在一条直线上。
3.外公切线和内公切线的夹角：两个圆的外公切线和内公切线的夹角为直角。
教学步骤1.导入知识：回顾切线的定义和性质。
2.提出问题：给定两个圆，请确定它们的公切线是否存在。
3.探究实践：让学生自主探究两个圆的公切线的存在条件。
4.总结归纳：让学生总结并提出存在条件和性质。
5.拓展应用：将所学的知识运用到解决实际问题中。
6.小结复习：对所学知识进行小结和复习。
教学资源•教材：数学教材•演示工具：黑板和粉笔思考题1.两个圆的半径分别为r1和r2，它们的圆心距离为d。
请推导出两个圆的外公切线的长度的表达式。
2.两个圆的半径分别为r1和r2，它们的圆心距离为d。
请推导出两个圆的内公切线的长度的表达式。
怎样确定两圆的内公切线和外公切线答：首先应弄清公切线、内公切线和外公切线等概念．和两个圆都相切的直线，叫做两圆的公切线．两个圆在公切线同旁时，这样的公切线叫做外公切线图1(1)．两个圆在公切线6d22aeae8db846b70d2b475bba1b063c两旁时，这样的公切线叫做内公切线图1(2)．根据定义可以分清什么是两圆的内公切线，什么是两圆的外公切线．由于两圆的位置不同，这两圆的公切线条数也不相同．下面分别讨论．(1)当两圆外离时，可以作两条外公切线和两条内公切线，故共有4条公切线；(2)当两圆外切时，可以作两条外公切线和1条内公切线，故共有3条公切线；(3)当两圆相交时，可以作两条外公切线，而无法作出内公切线，故共有2条公切线；(4)当两圆内切时，只可作1条外公切线，而无法作两圆的内公切线，故共有1条公切线；(5)当两圆内含时，没有公切线．反过来，若两圆有4条、3条、2条、1条、没有公切线时，也可判定两圆的位置关系分别是外离、外切、相交、内切、内含．介绍两圆相外离时公切线的作法如下．作两圆的公切线，关键是作出切点，解决问题的方法是把它转化为过一点作圆的切线问题．可以想像把两圆中较小的一个圆的半径逐渐变小，最后成为一个点的情况；与小圆半径变小的同时，大圆的半径也相应地变小相等的长度，可结合画图，得到作相离两圆的外公切线转化为过圆外一点作圆(辅助圆)的切线．所以得出要先作出和大圆同心，并且半径等于两半径之差的辅助圆．如图2所示，画两个圆的公切线时，总是以较大的圆的圆心为圆心，先画一个辅助圆．如果是画外公切线．那么辅助圆的半径等于两圆半径的差；如果要画的是内公切线，那么辅助圆的半径等于两圆半径的和．辅助圆画好后，再从较小的圆的圆心作辅助圆的切线，连结切点和较大圆的圆心的线段，使之与较大圆相交于一点(画外公切线时要延长)，然后过这交点画辅助圆的切线的平行线，就得到要画的公切线．总之，画外公切线和画内公切线的方法是一样的，只是辅助圆的半径不同．当两圆外切、两圆相交时两圆外公切线的作法与两圆外离时的作法基本相同．想一想两圆外切时内公切线的作法(过切点作两圆连心线的垂线)．1421-1638-9529-3184。
第三课时两圆的公切线（三）教学目标：（1）理解两圆公切线在解决相关两圆相切的问题中的作用, 辅助线规律，并会应用；（2）通过两圆公切线在证明题中的应用，培养学生的分析问题和解决问题的水平．教学重点：会在证明两圆相切问题时，辅助线的引法规律，并能应用于几何题证明中．教学难点：综合知识的灵活应用和综合水平培养．教学活动设计（一）复习基础知识（1）两圆的公切线概念．（2）切线的性质，弦切角等相关概念．（二）公切线在解题中的应用例1、如图，⊙O1和⊙O2外切于点A，BC是⊙O1和⊙O2的公切线，B，C为切点．若连结AB、AC会构成一个怎样的三角形呢？观察、度量实验（组织学生实行）猜测：（学生猜测）∠BAC=90°证明：过点A作⊙O1和⊙O2的内切线交BC于点O．∵OA、OB是⊙O1的切线，∴OA=OB．同理OA=OC．∴OA=OB=OC．∴∠BAC=90°．反思：（1）公切线是解决问题的桥梁，综合应用知识是解决问题的关键；（2）作两圆的公切线是常见的一种作辅助线的方法．例2、己知：如图，⊙O1和⊙O2内切于P，大圆的弦AB交小圆于C，D．求证：∠APC＝∠BPD．分析：从条件来想，两圆内切，可能作出的辅助线是作连心线O1O2，或作外公切线．证明：过P点作两圆的公切线MN．∵∠MPC=∠PDC，∠MPN=∠B，∴∠MPC－∠MPN=∠PDC－∠B，即∠APC＝∠BPD．反思：（1）作了两圆公切线MN后，弦切角就把两个圆中的圆周角联系起来了．要重视MN的“桥梁”作用．（2）此例证角相等的方法是利用已知角的关系计算．拓展：（组织学生研究，培养学生深入研究问题的意识）己知：如图，⊙O1和⊙O2内切于P，大圆⊙O1的弦AB与小圆⊙O2相切于C点．是否有：∠APC＝∠BPC即PC平分∠APB．答案：有∠APC＝∠BPC即PC平分∠APB．如图作辅助线，证明方法步骤参看典型例题中例4．（三）练习练习1、教材145练习第2题．练习2、如图，已知两圆内切于P，大圆的弦AB切小圆于C，大圆的弦PD过C点．求证：PA·PB=PD·PC．证明：过点P作两圆的公切线EF∵AB是小圆的切线，C为切点∴∠FPC=∠BCP，∠FPB=∠A又∵∠1=∠BCP-∠A ∠2=∠FPC-∠FPB∴∠1=∠2 ∵∠A=∠D，∴△PAC∽△PDB∴PA·PB=PD·PC说明：此题在例2题的拓展的基础上解得非常容易．（三）总结学习了两圆的公切线，应该掌握以下几个方面1、由圆的轴对称性，两圆外(或内)公切线的交点(假如存有)在连心线上．2、公切线长的计算，都转化为解直角三角形，故解题思路主要是构造直角三角形．3、常用的辅助线：（1）两圆在各种情况下常考虑添连心线；（2）两圆外切时，常添内公切线；两圆内切时，常添外公切线．4、自己要有深入研究问题的意识，持续反思，持续归纳总结．（四）作业教材P151习题中15，B组2．探究活动问题：如图1，已知两圆相交于A、B，直线CD与两圆分别相交于C、E、F、D．(1)用量角器量出∠EAF与∠CBD的大小，根据量得结果，请你猜测∠EAF与∠CBD的大小之间存有怎样的关系，并证明你所得到的结论．(2)当直线CD的位置如图2时，上题的结论是否还能成立?并说明理由．(3)假如将已知中的“两圆相交”改为“两圆外切于点A”，其余条件不变（如图3），那么第（1）题所得的结论将变为什么？并作出证明．提示：（1）（2）（3）都有∠EAF+∠CBD=180°．证明略（如图作辅助线）．说明：问题从操作测量得到的实验数据入手，实行数据分析，归傻贸霾孪耄っ鞑孪氤闪ⅲ庖彩?a href=://teachercn/Class/034/ target=_blank>数学发现的一种方法．第(2)、(3)题是对第(1)题结论的推广和特殊化．第(3)题中若CD移动到与两圆相切于点C、D，那么结论又将变为∠CAD＝90°．数学教案－两圆的公切线。
公切线的条数怎么看
公切线的条数怎么看的方法如下：
若两圆相离，则有4条公切线。
若两圆外切，则有3条公切线（两外切，一内切）。
两圆相交，则有2条公切线（外切）。
若两圆内切，则有1条公切线。
若两圆内含，则有0条公切线。
公切线是指同时相切于两条或两条以上的曲线的直线，例如和两个圆相切的直线叫做这两个圆的公切线。
公切线是指同时相切于两条或两条以上的曲线的直线，例如和两个圆相切的直线叫做这两个圆的公切线。
如果两个圆在公切线的同侧，则这公切线叫外公切线；如果两个圆在公切线的异侧，则叫内公切线。
公切线的条数与两圆的位置关系如下：若两圆相离，则有4条公切线；若两圆外切，则有3条公切线（两外切，一内切）；两圆相交，则有2条公切线（外切）；若两圆内切，则有1条公切线；若两圆内含，则有0条公切线。
两个圆的公切线
和两圆都相切的直线,叫做两圆的公切线。
两个圆在公切线同旁时,这样的公切线叫做外公切线。
两个圆在公切线的两旁时,这样的公切线叫做内公切线。
公切线性质：
1.两圆的两条外公切线长相等。
2.两条内公切线的长也相等。
3.两圆的外公切线与连心线或者交于一点或者平行。
位置关系：
公切线的条数与两圆的位置关系如下：
若两圆相离，则有4条公切线。
若两圆外切，则有3条公切线（两外切，一内切）。
两圆相交，则有2条公切线（外切）。
若两圆内切，则有1条公切线。
若两圆内含，则有0条公切线。
例 如图，半径分别为3、1的⊙O 1与⊙O 2外切，一直线分别切它们于A 、B ，又交O 1O 2于C ．求：①切线AB 长；②∠C 的度数．分析：首先想到切线性质，故连结O 1A 、O 2B ，得直角梯形AO 1O 2B ．一般要把它分解成一个直角三角形和一个矩形，再用其性质． 解：（1）连结O 1A 、O 2B ，作O 2D ∥BA 交O 1A 于D ． 则得Rt △O 2DO 1和矩形ADO 2B ． ∵ AD=O 2B=1， O 1A=3 ∴O 1D=3-1=2 ∵O 1O 2=3+1=4， AB= O 2D=3224D O O O 2221221=-=-．（2）由（1）知O 1D=2，O 1O 2=4，∴∠C=∠DO 2O 1=30° 说明：（1）求外公切线长，应用切线性质、构造三角形；（2）添加辅助线的方法．例 已知：如图，⊙O 1与⊙O 2内切于点P ，过点P 的直线交⊙O 1于点D ，交⊙O 2于点E ；DA 与⊙O 2相切，切点为C ．（1）求证：PC 平分∠APD ；（2）若PE=3，PA=6，求PC 的长． 证明：（1）过P 作两圆的公切线PT ， ∴∠TPC=∠4，∠3=∠D ． ∵∠4=∠D+∠5，∴∠2+∠3=∠D+∠5，∴∠2=∠5 又DA 与⊙O 2相切于点C ， ∴∠5=∠1，∴∠1=∠2，即PC 平分∠APD ．（2）∵DA 与⊙O 2相切于点C ，∴∠PCA=∠4．由（1）知∠1=∠2，∴△PCA ∽△PEC ． ∴PCPA PE PC =，即PE PA PC 2⋅=．∵PE=3，PA=6，∴18PC 2=，∴23PC =． 说明：①此题主要应用：切线的性质、弦切角、相似形以及作辅助线的方法；②此题得出∠1=∠2，在中考中是热点题目．典型例题八例 已知：如图，设⊙1O 、⊙2O 外切于A ，外公切线BC 分别切两圆于B 、C 交21O O 于P ，若⊙1O 半径为r 3，⊙2O 半径为r .求证：（1）PB PC PA ⋅=2O 1O 2A B CD O 1O 2A C BTP 12345（2）求P cos 的值。
分析：（1）作⊙1O 、⊙2O 的内公切线AE 交BC 于E ，连AB 、AC ，则ABC ∆是∆Rt ，︒=∠90BAC ，CE BE AE ==，AE O O ⊥21，根据圆周角定理的推论可知BC 是B 、A 、C 三点所在的圆的直径，并且E 为圆心，EA 为半径，又1PO EA ⊥Θ，1PO ∴与⊙E 切于点A ，根据切割线定理有：PB PC PA ⋅=2（2）作B O D O 12⊥，B O PB 1⊥∴，PB D O //2.P O DO ∠=∠∴12，这样，求P cos 就转化为求12cos O DO ∠的问题了，只要解21Rt DO O ∆即可。
证明 （1）作⊙1O 、⊙2O 的内公切线AE 交BC 于E ，连AB 、AC ，EC EB EA ==∴BAC ∆∴是直角三角形EA ∴是过B 、A 、的圆的半径又21O O EA ⊥ΘPA ∴是⊙E 的切线，A 是切点PB PC PA ⋅=∴2（2）21O O Θ交BC 于P ，连B O 1、C O 2，BC Θ是外公切线，，BP C O ⊥∴2 且r C O r B O ⊥=21,3作CB D O //2交B O 1于D ，则易证CBD O 2是矩形r r r O O r C O B O D O 43,221211=+==-=∴由D O O 21Rt ∆，根据勾股定理：r r r D O O O DO 32)2()4(22212212=-=-=23432cos cos 12==∠=∴r r O DO P例 如图，⊙O 1、⊙O 2的半径分别为4、5，O 1O 2=15，内公切线AB 交O 1O 2于C ． 求：①AB 长；②sin ∠ACO 1的值． 解：（1）连结O 1A 、O 2B ，作O 1D ∥AB 交O 2B 延长线于D ，则得Rt △O 1DO 2，AO 1DB 是矩形， ∵O 1D=4，O 2B=5，∴O 2D=5+4=9∴AB= O 1D=12915D O O O 2222221=-=-． （2）由（1）可知，sin ∠ACO 1= sin ∠O 2O 1D=43129=． 说明：（1）求内公切线长；（2）构造三角形、矩形，应用勾股定理、三角函数；（3）此题还可以通过△AO 1C ∽△BO 2C ，求出O 1A 、O 2B ，在求得．典型例题七例 两圆的一条外公切线与连心线成30°的角，它们的圆心距是10cm ，则外公切线长为________.解：如图连结A O 1、B O 2，过点A 作21//O O AC ，则10,3021==︒=∠O O AC BAC cm ，在Rt ABC ∆中，35231030cos =⨯=︒⋅=AC AB （cm ）， 故应填35cm.说明：公切线、两圆的半径之差（或和）和圆心距构成直角三角形，是解决这部分题的关键.典型例题九例 如图，已知⊙1O 与⊙O 外切，A ，B 的一条外公切线的切线点，AB 与连心线1OO 的夹角︒=∠30P ，若21=O O ，求两圆半径及外公切线的长.解 连结B O OA 1,，并作OA C O ⊥1于C ，则四边形B ACO 1为矩形. ∴.30,211︒=∠=∠=P O CO C O 在Rt C OO 1∆中，.312,121.121,30,22211111=-====∴==∴︒=∠=AB C O OO OC OO OC O CO OO Θ设⊙O 与⊙1O 半径分别为r R ,，则有⎩⎨⎧==∴⎩⎨⎧=-=+.5.0,5.1 ,1,2r R r R r R 说明：本题考查外公切线长的求法，解题关键是作出辅助线，构造直角三角形OC O 1，易错点是作不出辅助线.典型例题五例 已知半径分别为R 和r （r R >）的两圆外切，它们的两条外公切线互相垂直，则r R :等于（ ）A ．12+B ．12-C ．2)12(+ D ．2解：连结2221O O B O A O 、、（如图），则2221,,O O AB B O AB A O ⊥⊥过点P 且平分APC ∠，过点2O 作A O E O 12⊥，则AB E O //2.︒=∠=∠45121PA O E O O Θ，∴E O O 21∆是等腰直角三角形.,)12()12().(2,,,245121121121r R r R r R r R E O r R O O E O O O PA O E O O +=-∴-=+∴-=+==∴︒=∠=∠ΘΘ 2)12(1212+=-+=∴r R ，故选C. 说明：本题涉及的知识点较多，要认真审题，理清思路，解决问题.典型例题六例 如图，⊙1O 与⊙2O 内切于点A ，并且⊙1O 的半径是⊙2O 的直径，B O 1为⊙1O 的半径交⊙2O 于点C ，AD 是公切线，︒=∠501AC O ，则=∠BAD （ ）A ．50°B ．40°C ．25°D ．20° 解：∵A O 1是⊙2O 的直径，︒=∠∴901ACO ，又∵︒=∠501AC O ， ∴︒=∠401O .又∵DA 是两圆的公切线，DAB ∠和DAC ∠分别是⊙1O 、⊙2O 的弦切角，.204021211︒=︒⨯=∠=∠∴O BAD故选D.说明：利用学过的知识解决两圆位置关系问题是解决本题的关键，要学以致用，温故而知新.典型例题十例 （荆州市，2000） 以抛物线2x y =上的点（原点除外）为圆心且切于x 轴的动圆C ，如果C 的圆是),(2a a ，把这个圆记为C a C ),(的圆心),(2b b ，把这个圆记为)(b C ，试用b a ,表示圆)(a C 和圆)(b C 外切的条件；（2）在外切于)(a C 的圆)(b C 只有一个的情况下，求a 的值.解 （1）)(a C 是圆心为),(2a a ，半径为2a 的圆，)(b C 是圆心为),(2b b ，半径为2b的圆.∵)(a C 与)(b C 外切，∴.)()(222222b a b a b a +=-+- ∴2224)(b a b a =-. ① （2）将①按b 降幂排列，整理，得.02)41(222=+--a ab b a ②由题意，b 仅有一个实数值，试确定a . 这有两种可能：（Ⅰ）作为b 的二次方程②，其判别式为0. 即 ,0)41(222=--=∆'a a a ∴.0.044=∴=a a∵)(a C 的圆心不在原点上，∴0=a 舍去. （Ⅱ）在②中，.21,0412±=∴=-a a说明：本题综合考查两圆的位置关系与直角坐标系的知识，解题关键是作出辅助线构造直角三角形，易错点是找不出第（2）题的解题思路或忽视对所得的关于b 的一元二次方程的二次项系数的讨论.典型例题十一例 （四川省，2000） 已知：如图，⊙1O 和⊙2O 外切于A ，BC 是⊙1O 和⊙2O 的公切线，切点为B ，C ，连结BA 并延长交⊙1O 于D ，过D 点作CB 的平行线交⊙2O 于E ，F .求证：（1）CD 是⊙1O 的直径；（2）试判断线段BC 、BE 、BF 的长度大小关系，并证明你的结论.证明 （1）过点A 作⊙1O 和⊙2O 的内公切线交BC 于点G ，连结AC . ∵GB 、GA 分别切⊙2O 于B 、A ，∴GA GB =. 同理 ..GC GB GA GA GC ==∴=∴AC AB ⊥.即CAD ∠为直角.∴CD 是⊙1O 的直径.（2）结论是BF BE BC ==，连结AE .在ABE ∆和EBD ∆中，BEA CBA ∠=∠Θ，又FD BC //Θ， ∴..BDE BEA BDE CBA ∠=∠∴∠=∠ 又ABE EBD ABE ∆∴∠=∠,Θ∽EBD ∆.∴DEBEBE BA =，即BD BA BE ⋅=2. .,2BC BE BD BA BC =∴⋅=ΘBFE CBE ∠=∠Θ，又FD BC //Θ，.,FEB BFE BFE CBE ∠=∠∴∠=∠∴ ..BC BF BE BF BE ==∴=∴说明：本题主要考查外切两圆的一些性质，解题关键是作两圆的外公切线.易错点是探索不出第二题的结论.例 （福州市，2002）已知：半径不等的⊙O 1与⊙O 2相切于点P ，直线AB 、CD 都经过切点P ，并且AB 分别交⊙O 1、⊙O 2于A 、B 两点，CD 分别交⊙O 1、⊙O 2于C 、D 两点(点A 、B 、C 、D 、P 互不重合)，连结AC 和BD ． （1）请根据题意画出图形；（2）根据你所画的图形，写出一个与题设有关的正确结论，并证明这个结论(结论中不能出现题设以外的其他字母)． 解：（1）如图所示．（2）第一个结论：AC ∥BD ．证明：过P 作两圆的公切线MN ， ∴∠MPA=∠C ，∠NPB=∠D ． ∵∠MPA=∠NPB ，∴∠C=∠D ，∴AC ∥BD ． 第二个结论：△APC ∽△BPD ．证明：过P 作两圆的公切线MN ，∴∠MPA=∠C ，∠NPB=∠D ．∵∠MPA=∠NPB ，∴∠C=∠D ，又∠APC=∠BPD ，∴△APC ∽△BPD ． 第三个结论：O 1、P 、O 2三点共线（或连心线O 1O 2必过切点P ）．证明：∵①圆是轴对称图形，②相切的两个圆也组成轴对称图形，③连心线O 1O 2是两个圆的对称轴，∴O 1、P 、O 2三点共线（或连心线O 1O 2必过切点P ）说明：①此题题型新颖，属于开放性题目，它源于教材P145练习第2题；②主要应用分类思想，作圆的公切线辅助线．填空题1. 两圆的直径分别为3和4，这两个圆的圆心距是5，这两个圆最多可以有 条公切线．2. 两圆外离，半径分别为3和5，当一条内公切线与连心线所成的角为45°时，内公切线的长为 ；圆心距为 ·3. 半径为16cm 和10 cm 的两圆外切，作这两圆的外公切线和内公切线，则夹在两条外公切线间的内公切线的长为 ．4. 两圆的圆心距为13cm ，两圆的半径分别为7cm 和2cm ，那么这两圆的一条外公切线的长为 ·5. 已知：⊙O 1和⊙O 2外切，外公切线与连心线的夹角为，且半径分别为32R +=，32r -=，则α= 度．P6. 两圆的直径分别为cm 18和cm 8，它们的外公切线长为cm 12，则这两圆的位置关系是________7. 半径分别为R 和r )(r R >的两圆相外切，一条外公切线的长为r 32，则两条外公切线的夹角为______8. ⊙1O 与⊙2O 外切，且⊙1O 的半径cm 3=R ，⊙2O 的半径cm 2=r ，过1O 、2O 的直线与一条外公切线的交角为α，则______tan =α9. 如果两圆外公切线交成︒120角，它们的圆心距为cm 8，则它们的外公切线长为_______ 10. 两圆的半径分别为7cm 1，0cm 1，圆心距为1cm 2，则两圆的公切线与连心线交点分别与两圆圆心的距离是________ 11．已知两圆外离，圆心距为5，大圆半径为2.5，小圆半径为1.5，则外公切线长为________，内公切线长为_________。
