(九年级数学教案)两圆的公切线(一)

初三数学切线长定理教案•引言•知识链接•探究学习•课堂练习目录•归纳小结•拓展延伸01引言使学生理解切线长定理的概念，掌握切线长定理的证明方法和应用技巧。

知识与技能过程与方法情感态度与价值观通过探究、观察、归纳等数学活动，培养学生的数学思维和解决问题的能力。

激发学生学习数学的兴趣，培养学生的数学素养和严谨的科学态度。

030201切线长定理的概念和性质切线长定理的证明方法切线长定理的应用举例教学重点与难点教学重点切线长定理的证明方法和应用技巧。

教学难点如何引导学生理解切线长定理的本质和应用，以及如何培养学生的数学思维和解决问题的能力。

02知识链接圆是平面上所有与定点（圆心）距离等于定长（半径）的点的集合。

圆的定义及基本性质C = 2πr，S = πr²，其中r 为半径。

圆的周长与面积公式在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。

圆心角、弧、弦之间的关系垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

垂径定理及其推论圆的性质与定理直线与圆有唯一公共点时，这条直线叫做圆的切线。

切线的定义经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

切线的判定定理圆的切线垂直于经过切点的半径。

切线的性质定理切线的性质与定理相似三角形的性质与判定•相似三角形的定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。

相似三角形的判定方法两角对应相等，两三角形相似。

两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。

三边对应成比例，两三角形相似。

相似三角形的性质对应角相等。

对应边成比例。

面积比等于相似比的平方。

03探究学习利用实际生活中的例子，如切割圆形蛋糕、圆形纸片等，让学生直观感受切线长定理的应用。

通过比较不同切线长度的变化，引导学生发现切线长与半径之间的关系，从而引入切线长定理。

通过回顾圆的性质，引出切线长定理的概念。

通过严格的数学推导，证明切线长定理的正确性。

利用相似三角形或全等三角形的性质，推导切线长与半径之间的等式关系。

两圆的公切线教案第一章：两圆的定义及性质1.1 圆的定义：在平面内，到定点距离等于定长的点的集合。

1.2 圆的性质：（1）圆心到圆上任意一点的距离相等。

（2）圆上任意两点与圆心的连线所夹角相等。

（3）圆的半径与直径成正比。

第二章：两圆的位置关系2.1 外离：两圆的圆心距大于两圆半径之和。

2.2 外切：两圆的圆心距等于两圆半径之和。

2.3 相交：两圆的圆心距小于两圆半径之和，且大于两圆半径之差。

2.4 内切：两圆的圆心距等于两圆半径之差。

2.5 内含：两圆的圆心距小于两圆半径之差。

第三章：公切线的定义及性质3.1 公切线的定义：在两个圆相交的情况下，与两个圆都相切的直线称为公切线。

3.2 公切线的性质：（1）公切线与两圆的切点处的切线方向相同。

（2）公切线与两圆的圆心连线垂直。

（3）公切线的长度等于两圆半径之和（外切）或两圆半径之差（内切）。

第四章：求解公切线的方法4.1 外切情况：（1）连接两圆心。

（2）作垂直于连接线的线段，交连接线于一点。

（3）以该点为圆心，两圆半径之和为半径作圆。

（4）该圆与两圆相交的线即为公切线。

4.2 内切情况：（1）连接两圆心。

（2）作垂直于连接线的线段，交连接线于一点。

（3）以该点为圆心，两圆半径之差为半径作圆。

（4）该圆与两圆相交的线即为公切线。

第五章：公切线在实际问题中的应用5.1 求解两圆的位置关系：通过公切线的长度判断两圆是外切、相交、内切还是内含。

5.2 求解两圆的交点：利用公切线与两圆的切点求解交点坐标。

5.3 求解圆的直径：通过公切线与圆的切点，求解圆的直径。

第六章：两圆的公切线与圆的位置关系6.1 外切情况下的公切线：两圆外切时，存在两条外公切线，分别位于两圆的外部。

6.2 相交情况下的公切线：两圆相交时，存在两条内公切线和两条外公切线。

内公切线位于两圆内部，外公切线位于两圆外部。

6.3 内切情况下的公切线：两圆内切时，存在两条内公切线，分别位于两圆的内部。

两圆的公切线教案第一章：引言1.1 教学目标让学生了解两圆的公切线的概念。

让学生掌握如何画出两圆的公切线。

让学生理解两圆公切线与两圆位置关系之间的联系。

1.2 教学内容介绍两圆的定义和基本性质。

引出两圆的公切线的概念。

讲解两圆公切线与两圆位置关系之间的联系。

1.3 教学方法通过图形和实例来引导学生直观地理解两圆公切线的概念。

利用几何证明来帮助学生理解两圆公切线与两圆位置关系之间的联系。

第二章：外公切线2.1 教学目标让学生掌握如何画出两圆的外公切线。

让学生理解两圆外公切线的性质。

2.2 教学内容讲解两圆外公切线的定义和性质。

介绍画出两圆外公切线的方法。

2.3 教学方法通过图形和实例来引导学生直观地理解两圆外公切线的性质。

利用几何证明来帮助学生理解两圆外公切线的性质。

第三章：内公切线3.1 教学目标让学生掌握如何画出两圆的内公切线。

让学生理解两圆内公切线的性质。

3.2 教学内容讲解两圆内公切线的定义和性质。

介绍画出两圆内公切线的方法。

3.3 教学方法通过图形和实例来引导学生直观地理解两圆内公切线的性质。

利用几何证明来帮助学生理解两圆内公切线的性质。

第四章：特殊情况4.1 教学目标让学生了解两圆外公切线和内公切线的特殊情况。

让学生掌握如何画出特殊情况的公切线。

4.2 教学内容讲解两圆外公切线和内公切线的特殊情况。

介绍画出特殊情况公切线的方法。

4.3 教学方法通过图形和实例来引导学生直观地理解特殊情况公切线的性质。

利用几何证明来帮助学生理解特殊情况公切线与两圆位置关系之间的联系。

5.1 教学目标让学生巩固对两圆公切线的理解和掌握。

提高学生解决实际问题的能力。

5.2 教学内容提供练习题，让学生巩固所学知识，并能够灵活运用。

5.3 教学方法通过练习题，培养学生的解题能力和思维能力。

第六章：公切线的判定6.1 教学目标让学生掌握判断两圆公切线的方法。

让学生理解不同情况下公切线判定定理的应用。

6.2 教学内容介绍公切线判定定理。

两圆的公切线－教学教案第一课时两圆的公切线〔一〕教学目标：〔1〕理解两圆相切长等有关概念，把握两圆外公切线长的求法；〔2〕培育同学的归纳、总结力量；〔3〕通过两圆外公切线长的求法向同学渗透“转化〞思想．教学重点：理解两圆相切长等有关概念，两圆外公切线的求法．教学难点：两圆外公切线和两圆外公切线长同学理解的不透，简洁混淆．教学活动设计〔一〕实际问题〔引入〕很多机器上的传动带与主动轮、从动轮之间的位置关系，给我们以一条直线和两个同时相切的形象．〔这里是一种简洁的数学建模，了解数学产生与实践〕〔二〕两圆的公切线概念1、概念：老师引导同学自学．给出两圆的外公切线、内公切线以及公切线长的定义：和两圆都相切的直线，叫做两圆的公切线．(1)外公切线：两个圆在公切线的同旁时，这样的公切线叫做外公切线．(2)内公切线：两个圆在公切线的两旁时，这样的公切线叫做内公切线．(3)公切线的长：公切线上两个切点的距离叫做公切线的长．2、理解概念：(1)公切线的长与切线的长有何区分与联系(2)公切线的长与公切线又有何区分与联系(1)公切线的长与切线的长的概念有类似的地方，即都是线段的长．但公切线的长是对两个圆来说的，且这条线段是以两切点为端点；切线长是对一个圆来说的，且这条线段的一个端点是切点，另一个端点是圆外一点．(2)公切线是直线，而公切线的长是两切点问线段的长，前者不能度量，后者可以度量．〔三〕两圆的位置与公切线条数的关系组织同学观看、概念、概括，培育同学的学习力量．添写教材P143练习第2题表．〔四〕应用、反思、总结例1、：⊙O1、⊙O2的半径分别为2cm和7cm，圆心距O1O2=13cm，AB是⊙O1、⊙O2的外公切线，切点分别是A、B．求：公切线的长AB．分析：首先想到切线性质，故连结O1A、O2B，得直角梯形AO1O2B．一般要把它分解成一个直角三角形和一个矩形，再用其性质．〔组织同学分析，老师点拨，标准步骤〕解：连结O1A、O2B，作O1A⊙AB，O2B⊙AB．过O1作O1C⊙O2B，垂足为C，那么四边形O1ABC为矩形，于是有O1C⊙C O2，O1C= AB，O1A=CB．在Rt⊙O2CO1和．O1O2=13，O2C= O2B- O1A=5AB= O1C= (cm)．反思：〔1〕“转化〞思想，构造三角形；〔2〕初步把握添加帮助线的方法．例2*、如图，⊙O1、⊙O2外切于P，直线AB为两圆的公切线，A、B为切点，假设PA=8cm，PB=6cm，求切线AB的长．分析：由于线段AB是⊙APB的一条边，在⊙APB中，PA和PB 的长，只需先证明⊙PAB是直角三角形，然后再依据勾股定理，使问题得解．证⊙PAB是直角三角形，只需证⊙APB中有一个角是90°(或证得有两角的和是90°)，这就需要沟通角的关系，故过P作两圆的公切线CD如图，由于AB是两圆的公切线，所以⊙CPB=⊙ABP，⊙CPA=⊙BAP．由于⊙BAP+⊙CPA+⊙CPB+⊙ABP=180°，所以2⊙CPA+2⊙CPB=180°，所以⊙CPA+⊙CPB=90°，即⊙APB=90°，故⊙APB是直角三角形，此题得解．解：过点P作两圆的公切线CD⊙ AB是⊙O1和⊙O2的切线，A、B为切点⊙⊙CPA=⊙BAP⊙CPB=⊙ABP又⊙⊙BAP+⊙CPA+⊙CPB+⊙ABP=180°⊙ 2⊙CPA+2⊙CPB=180°⊙⊙CPA+⊙CPB=90°即⊙APB=90°在Rt⊙APB中，AB2=AP2+BP2说明：两圆相切时，常过切点作两圆的公切线，沟通两圆中的角的关系．〔五〕稳固练习1、当两圆外离时，外公切线、圆心距、两半径之差肯定组成()(A)直角三角形(B)等腰三角形(C)等边三角形(D)以上答案都不对．此题考察外公切线与外公切线长之间的差异，答案(D)2、外公切线是指(A)和两圆都祖切的直线(B)两切点间的距离(C)两圆在公切线两旁时的公切线(D)两圆在公切线同旁时的公切线直接运用外公切线的定义推断．答案：(D)3、教材P141练习〔略〕〔六〕小结〔组织同学进行〕学问：两圆的公切线、外公切线、内公切线及公切线的长概念；力量：归纳、概括力量和求外公切线长的力量；思想：“转化〞思想．〔七〕作业：P151习题10，11．其次课时两圆的公切线〔二〕教学目标：〔1〕把握两圆内公切线长的求法以及公切线与连心线的夹角或公切线的交角；〔2〕培育的迁移力量，进一步培育同学的归纳、总结力量；〔3〕通过两圆内公切线长的求法进一步向同学渗透“转化〞思想．教学重点：两圆内公切线的长及公切线与连心线的夹角或公切线的交角求法．教学难点：两圆内公切线和两圆内公切线长同学理解的不透，简洁混淆．教学活动设计〔一〕复习根底学问〔1〕两圆的公切线概念：公切线、内外公切线、内外公切线的长．〔2〕两圆的位置与公切线条数的关系．〔构成数形对应，且一一对应〕〔二〕应用、反思例1、〔教材例2〕：⊙O1和⊙O2的半径分别为4厘米和2厘米，圆心距为10厘米，AB是⊙O1和⊙O2的一条内公切线，切点分别是A，B．求：公切线的长AB。

两圆的公切线教案第一章：两圆的位置关系1.1 引入概念：圆与圆之间的位置关系1.2 讲解圆与圆之间的五种位置关系：外离、外切、相交、内切、内含1.3 举例说明各种位置关系的图形特点及判定方法第二章：两圆的公切线2.1 引入概念：两圆的公切线2.2 讲解公切线的性质：外公切线、内公切线2.3 举例说明公切线的判定方法及画法第三章：外公切线3.1 引入概念：外公切线3.2 讲解外公切线的性质及画法3.3 举例说明外公切线的判定方法及画法第四章：内公切线4.1 引入概念：内公切线4.2 讲解内公切线的性质及画法4.3 举例说明内公切线的判定方法及画法第五章：应用与拓展5.1 利用公切线解决实际问题5.2 探讨两圆的公切线在几何中的应用5.3 拓展知识：圆的内公切线与三角形内心的联系教学目标：1. 掌握两圆的位置关系及判定方法2. 掌握两圆的公切线的性质及判定方法3. 学会利用公切线解决实际问题4. 了解公切线在几何中的应用及拓展知识教学重点与难点：1. 两圆的位置关系及判定方法2. 两圆的公切线的性质及判定方法3. 利用公切线解决实际问题4. 公切线在几何中的应用及拓展知识教学方法：1. 采用直观演示法，让学生清晰地了解两圆的位置关系及公切线的性质2. 采用案例分析法，让学生学会利用公切线解决实际问题3. 采用小组讨论法，让学生探讨公切线在几何中的应用及拓展知识教学评价：1. 课堂讲解的清晰度和连贯性2. 学生对两圆位置关系和公切线性质的掌握程度3. 学生解决实际问题的能力4. 学生对公切线在几何中应用及拓展知识的了解程度第六章：圆与圆相离的情况6.1 引入概念：圆与圆相离的情况6.2 讲解圆与圆相离的性质6.3 举例说明圆与圆相离的判定方法及图形特点第七章：圆与圆相切的情况7.1 引入概念：圆与圆相切的情况7.2 讲解圆与圆相切的性质7.3 举例说明圆与圆相切的判定方法及图形特点第八章：圆与圆相交的情况8.1 引入概念：圆与圆相交的情况8.2 讲解圆与圆相交的性质8.3 举例说明圆与圆相交的判定方法及图形特点第九章：圆与圆内含的情况9.1 引入概念：圆与圆内含的情况9.2 讲解圆与圆内含的性质9.3 举例说明圆与圆内含的判定方法及图形特点第十章：总结与提高10.1 总结两圆位置关系和公切线的性质及应用10.2 探讨两圆位置关系和公切线在实际问题中的应用10.3 提出拓展问题，激发学生对两圆位置关系和公切线的进一步探究教学目标：1. 掌握圆与圆相离、相切、相交、内含的位置关系及判定方法2. 了解各种位置关系的图形特点3. 学会利用两圆的位置关系和公切线解决实际问题4. 深入探讨两圆位置关系和公切线在实际问题中的应用教学重点与难点：1. 圆与圆相离、相切、相交、内含的位置关系及判定方法2. 各种位置关系的图形特点3. 利用两圆的位置关系和公切线解决实际问题4. 两圆位置关系和公切线在实际问题中的应用教学方法：1. 采用对比分析法，让学生清晰地了解圆与圆的不同位置关系2. 采用案例教学法，让学生学会利用两圆的位置关系和公切线解决实际问题3. 采用讨论法，让学生深入探讨两圆位置关系和公切线在实际问题中的应用教学评价：1. 课堂讲解的清晰度和连贯性2. 学生对圆与圆不同位置关系及判定方法的掌握程度3. 学生解决实际问题的能力4. 学生对两圆位置关系和公切线在实际问题中应用的了解程度重点和难点解析一、两圆的位置关系：这一章节是理解后续公切线概念的基础，对于圆与圆之间五种位置关系的理解和判定方法的掌握是重点。

《两圆的公切线》教案第一篇：《两圆的公切线》教案31.6 两圆的公切线淮海中学王晓莉一、教学目标：1、知道两圆的公切线，内、外公切线及公切线长的概念。

2、能讲出两圆的位置关系与公切线条数之间的对应关系。

3、知道两圆的内、外公切线长相等。

4、能根据条件能求出公切线的长或圆的半径。

5、能积极参与学习活动，对两圆的公切线的有关知识有好奇心和求知欲。

6、通过练习培养学生运用数学知识分析问题、解决问题的能力。

二、重点和难点：重点：1、两圆的位置关系与公切线条数之间的对应关系。

2、求内、外公切线长的公式。

难点：内外公切线长公式的推导。

三、教学建议：每位学生准备三个硬币（其中有两个一样大）。

四、教学过程：导入新课自行车上两个齿轮与链条之间的位置关系，自行车的两个车轮与走过的直线之间的位置关系？提问：直线与两圆有什么位置关系？ 1.公切线的定义：1．和两个圆都相切的直线，叫做两圆的公切线。

2.两个圆在公切线的同旁时，这样的公切线叫做外公切线。

3.两个圆在公切线的两旁时，这样的公切线叫做内公切线。

似乎太直接了 2.两圆的位置关系与公切线条数之间的对应关系：操作练习：用准备好的硬币及尺研究两圆五种位置关系下内外公切线的分布情况，并把所得结果填写在课本第45页的表格中。

师生共同小结。

练习一：（口答）一、判断：好1.两圆相切，只有一条公切线。

（）2.两圆位置关系不同，公切线条数也不同。

()3.只有两圆外离时，才存在内公切线。

（）4.如果两圆不存在公切线，那么这两个圆是同心圆。

()二、问答：好1.两圆的公切线条数可能有几条？2.若两圆有两条外公切线，则两圆有怎样的位置关系？3.若两圆有一条公切线，则两圆有怎样的位置关系？4.如果两个半径不等的圆有公共点，那么这两个圆的公切线可能有几条？ 3.公切线的长：我们知道由圆外一点引该圆的切线，这一点和切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长，类似地两圆公切线上的两个切点之间的距离叫做公切线的长。