(九年级数学教案)两圆的公切线(一)

初三数学切线长定理教案•引言•知识链接•探究学习•课堂练习目录•归纳小结•拓展延伸01引言使学生理解切线长定理的概念，掌握切线长定理的证明方法和应用技巧。

知识与技能过程与方法情感态度与价值观通过探究、观察、归纳等数学活动，培养学生的数学思维和解决问题的能力。

激发学生学习数学的兴趣，培养学生的数学素养和严谨的科学态度。

030201切线长定理的概念和性质切线长定理的证明方法切线长定理的应用举例教学重点与难点教学重点切线长定理的证明方法和应用技巧。

教学难点如何引导学生理解切线长定理的本质和应用，以及如何培养学生的数学思维和解决问题的能力。

02知识链接圆是平面上所有与定点（圆心）距离等于定长（半径）的点的集合。

圆的定义及基本性质C = 2πr，S = πr²，其中r 为半径。

圆的周长与面积公式在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。

圆心角、弧、弦之间的关系垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

垂径定理及其推论圆的性质与定理直线与圆有唯一公共点时，这条直线叫做圆的切线。

切线的定义经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

切线的判定定理圆的切线垂直于经过切点的半径。

切线的性质定理切线的性质与定理相似三角形的性质与判定•相似三角形的定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。

相似三角形的判定方法两角对应相等，两三角形相似。

两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。

三边对应成比例，两三角形相似。

相似三角形的性质对应角相等。

对应边成比例。

面积比等于相似比的平方。

03探究学习利用实际生活中的例子，如切割圆形蛋糕、圆形纸片等，让学生直观感受切线长定理的应用。

通过比较不同切线长度的变化，引导学生发现切线长与半径之间的关系，从而引入切线长定理。

通过回顾圆的性质，引出切线长定理的概念。

通过严格的数学推导，证明切线长定理的正确性。

利用相似三角形或全等三角形的性质，推导切线长与半径之间的等式关系。

3.如图,图中的抛物线是把抛物线 2 y=-x 经过平移而得到的.这条抛物 线通过原点O和x轴正 y P 半轴上一点A,它的顶 点为P,∠OPA=900,求 点P的坐标和二次函 o A x 数的解析式.
3.如图,图中的抛物线是把抛物线 2 y=-x 经过平移而得到的.这条抛物 线通过原点O和x轴正 y P 半轴上一点A,它的顶 点为P,∠OPA=900,求 点P的坐标和二次函 o A x 数的解析式.
复习十二
二次函数应用(二)
复习目标:
通过复习进一步理解并掌握 二次函数有关性质,提高对二 次函数综合题的分析和解答 的能力.
2 1.设二次函数y=ax +bx+c的图象
与y轴交于点C(如图),若
AC=20，BC=15， 0 ∠ACB=90 ,求这个 二次函数的解析式.
A
y C
o
Bx
2.抛物线y x px q与x轴
2
交于A, B两点, 交y轴负半 轴交于C点, ACB 90 ,
0
1 1 2 且 , 求P, q及 OA OB OC ABC的外接圆的面积。
O1
Q B
P O2
⑵若R1=5cm， R2=3cm，PQ⊥AB于Q， 求PQ的长 .
引伸1.如图， ⊙O1与⊙O2外切于点P， AB是两圆的公切线，切点为B，A.连结 BP并延长交⊙O2于C，过C作AB的平行 线交⊙O1于D，E. ⑴求证：AC是 ⊙O1的直径； ⑵试判断线段BD、 E BA、BE的大小关系， 并证明.
5、已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x 轴交于A、B两点（A在原点左侧，B在 原点右侧），与y轴交于C点，若AB=4， OB＞OA，且OA、OB是方程x2+kx+3=0 的两根. 1)求A、B两点的坐标;2)若点O 3 2 到BC的的距离为 , 求此二次函 2 数的解析式. 3)若点P的横坐标为2，且⊿PAB的 外心为M（1，1），试判断点P是否在2) 中所求的二次函数图象上.

两圆的公切线教案第一章：两圆的定义及性质1.1 圆的定义：在平面内，到定点距离等于定长的点的集合。

1.2 圆的性质：（1）圆心到圆上任意一点的距离相等。

（2）圆上任意两点与圆心的连线所夹角相等。

（3）圆的半径与直径成正比。

第二章：两圆的位置关系2.1 外离：两圆的圆心距大于两圆半径之和。

2.2 外切：两圆的圆心距等于两圆半径之和。

2.3 相交：两圆的圆心距小于两圆半径之和，且大于两圆半径之差。

2.4 内切：两圆的圆心距等于两圆半径之差。

2.5 内含：两圆的圆心距小于两圆半径之差。

第三章：公切线的定义及性质3.1 公切线的定义：在两个圆相交的情况下，与两个圆都相切的直线称为公切线。

3.2 公切线的性质：（1）公切线与两圆的切点处的切线方向相同。

（2）公切线与两圆的圆心连线垂直。

（3）公切线的长度等于两圆半径之和（外切）或两圆半径之差（内切）。

第四章：求解公切线的方法4.1 外切情况：（1）连接两圆心。

（2）作垂直于连接线的线段，交连接线于一点。

（3）以该点为圆心，两圆半径之和为半径作圆。

（4）该圆与两圆相交的线即为公切线。

4.2 内切情况：（1）连接两圆心。

（2）作垂直于连接线的线段，交连接线于一点。

（3）以该点为圆心，两圆半径之差为半径作圆。

（4）该圆与两圆相交的线即为公切线。

第五章：公切线在实际问题中的应用5.1 求解两圆的位置关系：通过公切线的长度判断两圆是外切、相交、内切还是内含。

5.2 求解两圆的交点：利用公切线与两圆的切点求解交点坐标。

5.3 求解圆的直径：通过公切线与圆的切点，求解圆的直径。

第六章：两圆的公切线与圆的位置关系6.1 外切情况下的公切线：两圆外切时，存在两条外公切线，分别位于两圆的外部。

6.2 相交情况下的公切线：两圆相交时，存在两条内公切线和两条外公切线。

内公切线位于两圆内部，外公切线位于两圆外部。

6.3 内切情况下的公切线：两圆内切时，存在两条内公切线，分别位于两圆的内部。

两圆的公切线教案第一章：引言1.1 教学目标让学生了解两圆的公切线的概念。

让学生掌握如何画出两圆的公切线。

让学生理解两圆公切线与两圆位置关系之间的联系。

1.2 教学内容介绍两圆的定义和基本性质。

引出两圆的公切线的概念。

讲解两圆公切线与两圆位置关系之间的联系。

1.3 教学方法通过图形和实例来引导学生直观地理解两圆公切线的概念。

利用几何证明来帮助学生理解两圆公切线与两圆位置关系之间的联系。

第二章：外公切线2.1 教学目标让学生掌握如何画出两圆的外公切线。

让学生理解两圆外公切线的性质。

2.2 教学内容讲解两圆外公切线的定义和性质。

介绍画出两圆外公切线的方法。

2.3 教学方法通过图形和实例来引导学生直观地理解两圆外公切线的性质。

利用几何证明来帮助学生理解两圆外公切线的性质。

第三章：内公切线3.1 教学目标让学生掌握如何画出两圆的内公切线。

让学生理解两圆内公切线的性质。

3.2 教学内容讲解两圆内公切线的定义和性质。

介绍画出两圆内公切线的方法。

3.3 教学方法通过图形和实例来引导学生直观地理解两圆内公切线的性质。

利用几何证明来帮助学生理解两圆内公切线的性质。

第四章：特殊情况4.1 教学目标让学生了解两圆外公切线和内公切线的特殊情况。

让学生掌握如何画出特殊情况的公切线。

4.2 教学内容讲解两圆外公切线和内公切线的特殊情况。

介绍画出特殊情况公切线的方法。

4.3 教学方法通过图形和实例来引导学生直观地理解特殊情况公切线的性质。

利用几何证明来帮助学生理解特殊情况公切线与两圆位置关系之间的联系。

5.1 教学目标让学生巩固对两圆公切线的理解和掌握。

提高学生解决实际问题的能力。

5.2 教学内容提供练习题，让学生巩固所学知识，并能够灵活运用。

5.3 教学方法通过练习题，培养学生的解题能力和思维能力。

第六章：公切线的判定6.1 教学目标让学生掌握判断两圆公切线的方法。

让学生理解不同情况下公切线判定定理的应用。

6.2 教学内容介绍公切线判定定理。

两圆的公切线－教学教案第一课时两圆的公切线〔一〕教学目标：〔1〕理解两圆相切长等有关概念，把握两圆外公切线长的求法；〔2〕培育同学的归纳、总结力量；〔3〕通过两圆外公切线长的求法向同学渗透“转化〞思想．教学重点：理解两圆相切长等有关概念，两圆外公切线的求法．教学难点：两圆外公切线和两圆外公切线长同学理解的不透，简洁混淆．教学活动设计〔一〕实际问题〔引入〕很多机器上的传动带与主动轮、从动轮之间的位置关系，给我们以一条直线和两个同时相切的形象．〔这里是一种简洁的数学建模，了解数学产生与实践〕〔二〕两圆的公切线概念1、概念：老师引导同学自学．给出两圆的外公切线、内公切线以及公切线长的定义：和两圆都相切的直线，叫做两圆的公切线．(1)外公切线：两个圆在公切线的同旁时，这样的公切线叫做外公切线．(2)内公切线：两个圆在公切线的两旁时，这样的公切线叫做内公切线．(3)公切线的长：公切线上两个切点的距离叫做公切线的长．2、理解概念：(1)公切线的长与切线的长有何区分与联系(2)公切线的长与公切线又有何区分与联系(1)公切线的长与切线的长的概念有类似的地方，即都是线段的长．但公切线的长是对两个圆来说的，且这条线段是以两切点为端点；切线长是对一个圆来说的，且这条线段的一个端点是切点，另一个端点是圆外一点．(2)公切线是直线，而公切线的长是两切点问线段的长，前者不能度量，后者可以度量．〔三〕两圆的位置与公切线条数的关系组织同学观看、概念、概括，培育同学的学习力量．添写教材P143练习第2题表．〔四〕应用、反思、总结例1、：⊙O1、⊙O2的半径分别为2cm和7cm，圆心距O1O2=13cm，AB是⊙O1、⊙O2的外公切线，切点分别是A、B．求：公切线的长AB．分析：首先想到切线性质，故连结O1A、O2B，得直角梯形AO1O2B．一般要把它分解成一个直角三角形和一个矩形，再用其性质．〔组织同学分析，老师点拨，标准步骤〕解：连结O1A、O2B，作O1A⊙AB，O2B⊙AB．过O1作O1C⊙O2B，垂足为C，那么四边形O1ABC为矩形，于是有O1C⊙C O2，O1C= AB，O1A=CB．在Rt⊙O2CO1和．O1O2=13，O2C= O2B- O1A=5AB= O1C= (cm)．反思：〔1〕“转化〞思想，构造三角形；〔2〕初步把握添加帮助线的方法．例2*、如图，⊙O1、⊙O2外切于P，直线AB为两圆的公切线，A、B为切点，假设PA=8cm，PB=6cm，求切线AB的长．分析：由于线段AB是⊙APB的一条边，在⊙APB中，PA和PB 的长，只需先证明⊙PAB是直角三角形，然后再依据勾股定理，使问题得解．证⊙PAB是直角三角形，只需证⊙APB中有一个角是90°(或证得有两角的和是90°)，这就需要沟通角的关系，故过P作两圆的公切线CD如图，由于AB是两圆的公切线，所以⊙CPB=⊙ABP，⊙CPA=⊙BAP．由于⊙BAP+⊙CPA+⊙CPB+⊙ABP=180°，所以2⊙CPA+2⊙CPB=180°，所以⊙CPA+⊙CPB=90°，即⊙APB=90°，故⊙APB是直角三角形，此题得解．解：过点P作两圆的公切线CD⊙ AB是⊙O1和⊙O2的切线，A、B为切点⊙⊙CPA=⊙BAP⊙CPB=⊙ABP又⊙⊙BAP+⊙CPA+⊙CPB+⊙ABP=180°⊙ 2⊙CPA+2⊙CPB=180°⊙⊙CPA+⊙CPB=90°即⊙APB=90°在Rt⊙APB中，AB2=AP2+BP2说明：两圆相切时，常过切点作两圆的公切线，沟通两圆中的角的关系．〔五〕稳固练习1、当两圆外离时，外公切线、圆心距、两半径之差肯定组成()(A)直角三角形(B)等腰三角形(C)等边三角形(D)以上答案都不对．此题考察外公切线与外公切线长之间的差异，答案(D)2、外公切线是指(A)和两圆都祖切的直线(B)两切点间的距离(C)两圆在公切线两旁时的公切线(D)两圆在公切线同旁时的公切线直接运用外公切线的定义推断．答案：(D)3、教材P141练习〔略〕〔六〕小结〔组织同学进行〕学问：两圆的公切线、外公切线、内公切线及公切线的长概念；力量：归纳、概括力量和求外公切线长的力量；思想：“转化〞思想．〔七〕作业：P151习题10，11．其次课时两圆的公切线〔二〕教学目标：〔1〕把握两圆内公切线长的求法以及公切线与连心线的夹角或公切线的交角；〔2〕培育的迁移力量，进一步培育同学的归纳、总结力量；〔3〕通过两圆内公切线长的求法进一步向同学渗透“转化〞思想．教学重点：两圆内公切线的长及公切线与连心线的夹角或公切线的交角求法．教学难点：两圆内公切线和两圆内公切线长同学理解的不透，简洁混淆．教学活动设计〔一〕复习根底学问〔1〕两圆的公切线概念：公切线、内外公切线、内外公切线的长．〔2〕两圆的位置与公切线条数的关系．〔构成数形对应，且一一对应〕〔二〕应用、反思例1、〔教材例2〕：⊙O1和⊙O2的半径分别为4厘米和2厘米，圆心距为10厘米，AB是⊙O1和⊙O2的一条内公切线，切点分别是A，B．求：公切线的长AB。

旳半径是 2 。
3.已知⊙O1旳半径4cm， ⊙O2 旳半径1cm，两圆旳圆心距为
6cm，那么两圆旳外公切线长
为 3 3 cm，内公切线长为 11
cm，连心线与外公切线旳夹角
为 30° ，连心线与内公
切线夹角旳正弦值是 5 6 .
4、已知⊙O1和⊙O2旳外切于
点P，AB切⊙O1于A，切⊙O2于
B.
⑴若连结PA、PB，
A QB
求证：PA⊥PB.
O1 P O2
⑵若R1=5cm， R2=3cm，PQ⊥AB于Q， 求PQ旳长 .
引伸.如图， ⊙O1与⊙O2外切于点P， AB是两圆旳公切线，切点为B，A.连结
BP并延长交⊙O2于C，过C作AB旳平行 线交⊙O1于D，E.
⑴求证：AC是 ⊙O1旳直径； ⑵BA试、判BE断旳线大段小B关D系、，E 并证明.
旳夹角为α，则sin α= R r
d
检测练习
1、已知:⊙ 01 ，⊙ 02旳半径 分别为2cm和3cm，它们切于点T。
外公切线AB与⊙ 01 、⊙ 02分 别切于点A、B，则外公切线旳
长AB= 2 6。
2、已知:⊙01，⊙02外切于 点C，直线AB分别切⊙01， ⊙02于A、B两点，⊙02旳半 径为1 ，AB=2 2，则⊙01
B A
O1 P O2
DC
5旳.延如长图线⊙与O1与两⊙圆O旳2相公交切于线AC，D交B两于点点，H，AB 切点为C，D，AD交⊙O2于F，DB旳延长 线交⊙O1于E，EF交AB于G.
⑴求证：AD·GB=HD·EB；
⑵若CD=6，GF=1，
求 EB 旳值. GB
E
O1
A
GF
B O2
C HD

两圆的公切线教案第一章：两圆的位置关系1.1 引入概念：圆与圆之间的位置关系1.2 讲解圆与圆之间的五种位置关系：外离、外切、相交、内切、内含1.3 举例说明各种位置关系的图形特点及判定方法第二章：两圆的公切线2.1 引入概念：两圆的公切线2.2 讲解公切线的性质：外公切线、内公切线2.3 举例说明公切线的判定方法及画法第三章：外公切线3.1 引入概念：外公切线3.2 讲解外公切线的性质及画法3.3 举例说明外公切线的判定方法及画法第四章：内公切线4.1 引入概念：内公切线4.2 讲解内公切线的性质及画法4.3 举例说明内公切线的判定方法及画法第五章：应用与拓展5.1 利用公切线解决实际问题5.2 探讨两圆的公切线在几何中的应用5.3 拓展知识：圆的内公切线与三角形内心的联系教学目标：1. 掌握两圆的位置关系及判定方法2. 掌握两圆的公切线的性质及判定方法3. 学会利用公切线解决实际问题4. 了解公切线在几何中的应用及拓展知识教学重点与难点：1. 两圆的位置关系及判定方法2. 两圆的公切线的性质及判定方法3. 利用公切线解决实际问题4. 公切线在几何中的应用及拓展知识教学方法：1. 采用直观演示法，让学生清晰地了解两圆的位置关系及公切线的性质2. 采用案例分析法，让学生学会利用公切线解决实际问题3. 采用小组讨论法，让学生探讨公切线在几何中的应用及拓展知识教学评价：1. 课堂讲解的清晰度和连贯性2. 学生对两圆位置关系和公切线性质的掌握程度3. 学生解决实际问题的能力4. 学生对公切线在几何中应用及拓展知识的了解程度第六章：圆与圆相离的情况6.1 引入概念：圆与圆相离的情况6.2 讲解圆与圆相离的性质6.3 举例说明圆与圆相离的判定方法及图形特点第七章：圆与圆相切的情况7.1 引入概念：圆与圆相切的情况7.2 讲解圆与圆相切的性质7.3 举例说明圆与圆相切的判定方法及图形特点第八章：圆与圆相交的情况8.1 引入概念：圆与圆相交的情况8.2 讲解圆与圆相交的性质8.3 举例说明圆与圆相交的判定方法及图形特点第九章：圆与圆内含的情况9.1 引入概念：圆与圆内含的情况9.2 讲解圆与圆内含的性质9.3 举例说明圆与圆内含的判定方法及图形特点第十章：总结与提高10.1 总结两圆位置关系和公切线的性质及应用10.2 探讨两圆位置关系和公切线在实际问题中的应用10.3 提出拓展问题，激发学生对两圆位置关系和公切线的进一步探究教学目标：1. 掌握圆与圆相离、相切、相交、内含的位置关系及判定方法2. 了解各种位置关系的图形特点3. 学会利用两圆的位置关系和公切线解决实际问题4. 深入探讨两圆位置关系和公切线在实际问题中的应用教学重点与难点：1. 圆与圆相离、相切、相交、内含的位置关系及判定方法2. 各种位置关系的图形特点3. 利用两圆的位置关系和公切线解决实际问题4. 两圆位置关系和公切线在实际问题中的应用教学方法：1. 采用对比分析法，让学生清晰地了解圆与圆的不同位置关系2. 采用案例教学法，让学生学会利用两圆的位置关系和公切线解决实际问题3. 采用讨论法，让学生深入探讨两圆位置关系和公切线在实际问题中的应用教学评价：1. 课堂讲解的清晰度和连贯性2. 学生对圆与圆不同位置关系及判定方法的掌握程度3. 学生解决实际问题的能力4. 学生对两圆位置关系和公切线在实际问题中应用的了解程度重点和难点解析一、两圆的位置关系：这一章节是理解后续公切线概念的基础，对于圆与圆之间五种位置关系的理解和判定方法的掌握是重点。

《两圆的公切线》教案第一篇：《两圆的公切线》教案31.6 两圆的公切线淮海中学王晓莉一、教学目标：1、知道两圆的公切线，内、外公切线及公切线长的概念。

2、能讲出两圆的位置关系与公切线条数之间的对应关系。

3、知道两圆的内、外公切线长相等。

4、能根据条件能求出公切线的长或圆的半径。

5、能积极参与学习活动，对两圆的公切线的有关知识有好奇心和求知欲。

6、通过练习培养学生运用数学知识分析问题、解决问题的能力。

二、重点和难点：重点：1、两圆的位置关系与公切线条数之间的对应关系。

2、求内、外公切线长的公式。

难点：内外公切线长公式的推导。

三、教学建议：每位学生准备三个硬币（其中有两个一样大）。

四、教学过程：导入新课自行车上两个齿轮与链条之间的位置关系，自行车的两个车轮与走过的直线之间的位置关系？提问：直线与两圆有什么位置关系？ 1.公切线的定义：1．和两个圆都相切的直线，叫做两圆的公切线。

2.两个圆在公切线的同旁时，这样的公切线叫做外公切线。

3.两个圆在公切线的两旁时，这样的公切线叫做内公切线。

似乎太直接了 2.两圆的位置关系与公切线条数之间的对应关系：操作练习：用准备好的硬币及尺研究两圆五种位置关系下内外公切线的分布情况，并把所得结果填写在课本第45页的表格中。

师生共同小结。

练习一：（口答）一、判断：好1.两圆相切，只有一条公切线。

（）2.两圆位置关系不同，公切线条数也不同。

()3.只有两圆外离时，才存在内公切线。

（）4.如果两圆不存在公切线，那么这两个圆是同心圆。

()二、问答：好1.两圆的公切线条数可能有几条？2.若两圆有两条外公切线，则两圆有怎样的位置关系？3.若两圆有一条公切线，则两圆有怎样的位置关系？4.如果两个半径不等的圆有公共点，那么这两个圆的公切线可能有几条？ 3.公切线的长：我们知道由圆外一点引该圆的切线，这一点和切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长，类似地两圆公切线上的两个切点之间的距离叫做公切线的长。

两圆公切线的分类
• 按照与圆心的位置关系分类： * 外公切线：与两个圆心都在圆外 * 内公切线：与两个圆心都 在圆内 * 外内公切线：与一个圆心在圆外，另一个圆心在圆内
• * 外公切线：与两个圆心都在圆外 • * 内公切线：与两个圆心都在圆内 • * 外内公切线：与一个圆心在圆外，另一个圆心在圆内
圆心距小于两圆半径之和（差）
定义：当两圆的圆心距小于两圆半径之和（差）时，两圆相交
求法：利用两圆相交的条件，通过求解两圆方程的公共解来求得两圆的交点
性质：两圆相交时，两圆之间的距离为两圆半径之差
应用：在几何学、物理学等领域中，两圆相交的情况经常出现，因此求两圆的交点对于解 决相关问题具有重要意义
两圆公切线的应用
在几何作图中的应用
确定两圆的交点： 通过两圆公切线 可以确定两圆的 交点位置，从而 求解相关问题。
判断两圆的位置 关系：通过观察 两圆公切线的条 数和形态，可以 判断两圆的位置 关系，如相切、 相离、相交等。
求解与圆相关的 几何问题：利用 两圆公切线可以 求解与圆相关的 几何问题，如求 圆的半径、面积 等。
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CONTENTS
1 单击添加目录项标题 2 课件封面 3 目录 4 两圆公切线的定义与性质 5 两圆公切线的求法
6 两圆外切与内切的判断方法
单击此处添加章节标题
课件封面
标题
课件名称：《两圆公切线》 课件版本：XX 制作单位：XXX 制作时间：XXXX年XX月XX日
回顾本节课的主要内容 总结两圆公切线的性质和定理 强调两圆公切线在几何中的应用 回顾与思考：如何更好地理解和掌握两圆公切线

CHAPTER 02
两圆公切线的求法
切线的定义与判定
切线的定义
切线与圆只有一个交点，即切点。
判定方法
利用切线和半径垂直的性质，通过圆心到直线的距离为0来判断直线是否为圆的 切线。
切线的性质定理
切线与半径垂直
切线与过切点的半径垂直。
切线与过切点的直径垂直
若切线与过切点的直径垂直，则切线与半径也垂直。
两圆公切线的分类
内公切线
中间公切线
与两圆都相切且位于两圆内部的直线 。
介于内、外公切线之间的直线，与两 圆都相切。
外公切线
与两圆都相切且位于两圆外部的直线 。
两圆公切线的性质
01
02
03
性质1
两圆公切线与两圆的切点 连线与公切线垂直。
性质2
两圆心到公切线的距离相 等。
性质3
两圆公切线的长度与两圆 心之间的距离成正比。
图形的分类
通过两圆的公切线，可以对某些图 形进行分类和识别。
在实际问题中的应用
机械设计
在机械设计中，两圆的公切线可 以用于确定某些零件的尺寸和位
置。
建筑设计
在建筑设计中，两圆的公切线可 以用于确定窗户、门或其他结构
的位置。Βιβλιοθήκη 物理学应用在物理学中，两圆的公切线可以 用于描述某些物理现象或规律，
例如物体运动轨迹等。
通过两圆的公切线，可以 确定某些未知点的位置。
简化复杂图形
对于一些复杂的几何图形 ，通过引入两圆的公切线 ，可以简化图形，从而更 容易找到解题思路。
在解析几何中的应用
方程的求解
在解析几何中，两圆的公切线可 以用于求解某些方程。
参数的确定
在涉及圆和直线的解析几何问题中 ，两圆的公切线可以帮助确定某些 参数的值。

《圆的切线》教案第一课时教学目标知识与技能探究切线与过切点的半径之间的关系和切线的判定方法，会判断一条直线是否为圆的切线．数学思考与问题解决积极引导学生从事观察、探究、推理证明等活动，提高学生的推理判断能力．情感与态度经历探究圆的切线的性质和判定的过程，发展学生的数学思考能力；通过积极引导，帮助学生有意识地积累活动经验，丰富学生对现实空间及图形的认识，增强运用数学的意识．重点难点重点圆的切线的性质定理和判定定理．难点圆的切线的性质定理和判定定理的应用．教学设计一、创设情境蒸汽机车的车轮在铁轨上滚动，铁轨可以看成直线，它与车轮所对应的圆是相切的．车轮上过切点的那根辐条所对应的直线与表示铁轨的直线有怎样的位置关系呢？二、合作探究试验：OA为⊙O的半径，过A作l丄OA．可以发现：（1)直线l经过半径OA的外端点A；（2)直线l垂直于半径OA．总结：经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．思考：现在，任意给定一个圆，你能不能作出圆的切线？应该如何作？请学生说明作图过程，切线是如何作出来的？它满足哪些条件？引导学生总结出：①经过半径外端；②垂直于这条半径．请学生继续思考：这两个条件缺少一个行不行？（学生画出反例图）图（1)中直线l经过半径外端，但不与半径垂直；图（2)、（3)中直线l与半径垂直，但不经过半径外端．从以上反例可以看出，只满足其中一个条件的直线不是圆的切线．探究：如图，直线AB是⊙O的一条切线，点T是切点，连接OT．问题：（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，找出它的对称轴．（2）测量∠OTA和∠OTB的度数，并与同学交流测量的结果．（3）猜想：切线AB与过切点的半径OT有怎样的位置关系，你能证明这个结论吗？总结：圆的切线垂直于过切点的半径．例题解析例1已知：如图22-6，AB为⊙O的直径，AB=1cm，BC=2cm，AC=1cm.判断直线A C与⊙O是否相切，并说明理由.例2已知：如图22-9，AB为半圆O的直径，CD为半圆O的一条切线，C为切点，AD⊥CD，垂足D.求证：AC平分∠DCB.三、引导、总结在解决有关圆的切线问题时，常常需要：（1）作出过切点的半径，利用切线的性质解决问题（2）过圆心作直线的垂线段，证明该垂线段等于半径，以证明一条直线为圆的切线．四、课堂小结说说本节课的收获．第二课时教学目标1、使学生掌握圆的切线的判定方法和切线的性质，能够运用切线的判定方法判断一条直线是否是圆的切线，综合运用切线的判定和性质解决问题，培养学生的逻辑推理能力.2、使学生了解切线长的概念和切线长定理.会根据切线长的知识解决简单的问题.教学重、难点重点：1、切线的性质定理和判定定理概念.2、切线长定理概念.3、理解内切圆的概念.难点：1、理解运用切线的判定定理解决问题.2、切线长定理的应用.3、运用内切圆的概念解题.教学过程一、切线长定理1、切线长的概念．如图，P是⊙O外一点，P A，PB是⊙O的两条切线，我们把线段P A，PB叫做点P到⊙O 的切线长．引导学生理解：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量.2、观察利用PPT来展示P的位置的变化，观察图形的特征和各量之间的关系．3、猜想引导学生直观判断，猜想图中P A是否等于PB．P A＝PB．4、证明猜想，形成定理．猜想是否正确.需要证明．组织学生分析证明方法．关键是作出辅助线OA，OB，要证明P A＝PB．想一想：根据图形，你还可以得到什么结论？∠OP A＝∠OPB(如图)，连接AB，有AD=BD等．切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．如图，点P为⊙O外一点，过点P作直线与⊙O相切．作法1．连接OP.2．以OP为直径作圆，设此圆交⊙O于点A，.B.3．连接P A，PB.则直线P A，PB即为所作．已知：如图，四边形ABCD的边AB，.BCCD，.DA和⊙O分别相切于点E，.F，.G，.H.求证：AB+CD=DA+BC.证明∵AB，BC，CD，DA都与⊙O相切，E，F，G，H是切点，∴AE=AH，BE=BF，CG=CF，DG=DH.二、内切圆和外切三角形出示图形，给出三角形的内切圆、三角形的内心和外切三角形的概念，怎样作已知△A BC的内切圆？学生进行讨论，作图．中间教师可适时地用圆的切线、角的平分线的性质进行引导，最后出示正确的作图步骤．三、例题解析例3 ⊙O表示皮带传动装置的一个轮子，传动皮带MA，NB分别切⊙O于点A，B.延长MA，NB，相交于点P.已知∠APB=60°，AP=24cm，求两切点间的距离和弧AB的长（精确到1cm）.例4 如图22-25，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为E，F，G，AB=9，BC=13，AC=10.求AE，BF和CG的长.四、课堂小结通过本节课你学会了什么，引导学生进行课堂小结，因此得出：判定直线与圆的位置关系的方法有两种：(1)根据定义，定义法：由直线与圆的公共点的个数来判断；(2)根据性质，数量法：由圆心到直线的距离d与半径r的关系来判断．让学习了圆的切线的判定方法和切线的性质，能够运用切线的判定方法判断一条直线是否是圆的切线，综合运用切线的判定和性质解决问题，培养学生的逻辑推理能力，并能通过作简单的辅助线去解决某些问题.理解切线长定理，会灵活运用它解决问题.。

22.2.2 圆的切线一、教学目标1.通过学习，理解圆的切线长的概念。

（重点）2.能够掌握圆的切线长的定理。

（难点）3.运用所学的知识解决实际的问题。

二、课时安排1课时三、教学重点能够掌握圆的切线长的概念。

四、教学难点通过探索，熟练掌握圆的切线长的定理。

五、教学过程（一）导入新课如图所示，纸上有一⊙O ，PA为⊙O 的一条切线，沿着直线PO对折，设圆上与点A 重合的点为B。

1.OB是⊙O 的一条半径吗？2.PB是⊙O 的切线吗？3.PA、PB有何关系？4. ∠APO和∠BPO有何关系？（二）讲授新课活动1：小组合作过⊙O外的一点可以画该圆的几条切线？画出图形并观察，你可以得到哪些结论？如图所示，过⊙O外的一点P可以画圆的两条切线PA和PB，切点分别为A，B。

可以证明△AOP全等于△BOP，因此，P A=PB，∠APO = ∠BPO。

经过圆外一点作圆的切线，这点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。

从而得到：切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，他们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

（2）木工师傅要在一块三角形木板上截下一个面积最大的圆形，这个圆有什么特点？由图可以看出，和△ABC三边都相切的圆的面积最大。

因为所求做的圆与△ABC的三边都相切，所以这个圆的圆心到三边的距离都相等。

因此，圆心既要在∠ABC的平分线上，又要在∠ACB的平分线上。

这两条角平分线的交点即为所求圆的圆心，它到三角形一边的距离为所求圆的半径。

（三）重难点精讲例题1、已知：如图（1）所示，一段圆柱形钢材放在V形支架中，图（2）是它的截面示意图，CA和CB都是⊙O 的切线，⊙O切点分别是A，B。

的半径为23cm，AB=6cm。

求∠ACB的度数。

分析：如图（2）所示，连接OC，交AB于点D。

∵CA，CB都是⊙O的切线，切点分别是A，B。

∴CA = CB，CO平分∠ACB。

∴O C⊥AB，BD= （1/2）AB∵AB=6，∴BD=3。

两圆的公切线教案两圆的公切线教案「篇一」教学目标：（1）掌握两圆内公切线长的求法以及公切线与连心线的夹角或公切线的交角；（2）培养的迁移能力，进一步培养学生的归纳、总结能力；（3）通过两圆内公切线长的求法进一步向学生渗透“转化”思想．教学重点：两圆内公切线的长及公切线与连心线的夹角或公切线的交角求法．教学难点：两圆内公切线和两圆内公切线长学生理解的不透，容易混淆．教学活动设计（一）复习基础知识（1）两圆的公切线概念：公切线、内外公切线、内外公切线的长．（2）两圆的位置与公切线条数的关系．（构成数形对应，且一一对应）（二）应用、反思例1、（教材例2）已知：⊙o1和⊙o2的半径分别为4厘米和2厘米，圆心距为10厘米，ab是⊙o1和⊙o2的一条内公切线，切点分别是a，b．求：公切线的长ab。

组织学生分析，迁移外公切线长的求法，既培养学生解决问题的能力，同时也培养学生学习的迁移能力．解：连结o1a、o2b，作o1a⊥ab，o2b⊥ab．过 o1作o1c⊥o2b，交o2b的延长线于c。

则o1c=ab，o1a=bc．在rt△o2co1和．o1o2=10，o2c=o2b+ o1a=6∴o1c=(cm)．∴ab=8（cm）反思：与外离两圆的内公切线有关的计算问题，常构造如此题的直角梯行及直角三角形，在rt△o2co1中，含有内公切线长、圆心距、两半径和重要数量．注意用解直角三角形的知识和几何知识综合去解构造后的直角三角形．例2 （教材例3）要做一个图那样的矿型架，将两个钢管托起，已知钢管的外径分别为200毫米和80毫米，求v形角α的度数．解：(略)反思：实际问题经过抽象、化简转化成数学问题，应用数学知识来解决，这是解决实际问题的重要方法．它属于简单的数学建模．组织学生进行，教师引导．归纳：（1）用解直角三角形的有关知识可得：当公切线长l、两圆的两半径和r+r、圆心距d、两圆公切线的夹角α四个量中已知两个量时，就可以求出其他两个量．（2）上述问题可以通过相似三角形和解三角形的知识解决．（三）巩固训练教材p142练习第1题，教材p145练习第1题．学生独立完成，教师巡视，发现问题及时纠正．（四）小结（1）求两圆的内公切线，“转化”为解直角三角形问题．公切线长、圆心距、两半径和三个量中已知任何两个量，都可以求第三个量；（2）如果两圆有两条外(或内)公切线，并且它们相交，那么交点一定在两圆的连心线上；（3）求两圆两外(或内)公切线的夹角．（五）作业教材p153中12、13、14．第三课时两圆的公切线（三）教学目标：（1）理解两圆公切线在解决有关两圆相切的问题中的作用, 辅助线规律，并会应用；（2）通过两圆公切线在证明题中的应用，培养学生的分析问题和解决问题的能力．教学重点：会在证明两圆相切问题时，辅助线的引法规律，并能应用于几何题证明中．教学难点：综合知识的灵活应用和综合能力培养．教学活动设计（一）复习基础知识（1）两圆的公切线概念．（2）切线的性质，弦切角等有关概念．（二）公切线在解题中的应用例1、如图，⊙o1和⊙o2外切于点a，bc是⊙o1和⊙o2的公切线，b，c为切点．若连结ab、ac会构成一个怎样的三角形呢？观察、度量实验（组织学生进行）猜想：（学生猜想）∠bac=90°证明：过点a作⊙o1和⊙o2的内切线交bc于点o．∵oa、ob是⊙o1的切线。

初中数学两圆的公切线优质公开课赛教获奖教案60M 对照教师画的图象一一分析学生所画图象的正误及原因，从而得到画二次函数图象的几点注意。

练习：画出函数;的图象（请两个同学板演）X -3-2 -10 12 3Y=0.5X24.5 20.5 00.5 024.5Y= -X2-9-4 -10 -1-4 -9 画好之后教师根据情况讲评，并引导学生观察图象形状得出：二次函数 y=ax2的图象是一条抛物线。

（这里，教师在学生自己探索尝试的基础上，示范画图象的方法和过程，希望学生学会画图象的方法；并及时安排练习巩固刚刚学到的新知识，通过观察，感悟抛物线名称的由来。

）三. 三. 运用新知、变式探究画出函数 y=5x2图象学生在画图象的过程中遇到函数值较大的困难，不知如何是好。

x-0.5 -0.4-0.3 -0.2-0.1 00.1 0.20.3 0.40.5Y=5x21.250.8 0.450.2 0.050 0.050.2 0.450.8 1.25 教师出示已画好的图象让学生观察注意：1. 画图象应描7个左右的点，描的点越多图象越准确。

2. 自变量X的取值应注意关于Y轴对称。

3. 对于不同的二次函数自变量X的取值应更加灵活，例如可以取分数。

四. 四. 归纳小结、延续探究教师引导学生观察表格及图象，归纳y=ax2的性质，学生们畅所欲言，各抒己见；互相改进，互相完善。

最终得到如下性质：一般的，二次函数y=ax2的图象是一条抛物线，对称轴是Y轴，顶点是坐标原点；当a＞0时，图象的开口向上，最低点为(0，0)；当a＜0时，图象的开口向下，最高点为(0，0)。

五. 五. 回顾反思、总结收获在这一环节中，教师请同学们回顾一节课的学习畅谈自己的收获或多、或少、或几点、或全面，总之是人人有所得，个个有提高。

这也正是新课标中所倡导的新的理念——不同的人在数学上得到不同的发展。

（在整个一节课上，基本上是学生讲为主，教师讲为辅。

一些较为困难的问题，我也鼓励学生大胆思考，积极尝试，不怕困难，一个人完不成，讲不透，第二个人、第三个人补充，直到完成整个例题。

A O1
B
P
C O2
证明：
连结O1A、O2B，作O1C⊥O2B于C
∵AB切两圆于点A、B ∴O1A⊥AB，O2B⊥AB ∴ABCO1为矩形 ∴BC＝AO1，AB＝O1C ∴O2C＝r2－r1 又∵ ⊙O1与⊙O2外切于点P ∴O1O2＝r1＋r2 在Rt△O1O2C中 O1C2＝O1O22－O2C2＝(r1＋r2)2－(r2－r1)2＝4r1r2 ∴AB2＝4r1r2
B O1
C
A
O2
A．点在圆内 C．点在圆外
B．点在圆上 D．关系不确定
9．若两圆外切于P点，AB、CD是两圆的外公切线，A、B、C、 D是切点，过P点的公切线分别交AB、CD于E、F点，则可能是： ①AB＝CD ②CD＝EF )： B．只有②和③ D．①、②和③ ③AD与BC相交于P点。 以上结论正确的是( A．只有①和② C．只有①和③
M
M O2
O1
P N
O1 O2
P N
7(1)
7(2)
(2)两圆如果有两条外公切线或两条内公切线时，则： ①由圆的对称性易知：两条外公切线的长相等；两条内公切线 的长相等。 ②两条外(内)公切线如果相交，那么由轴对称的性质易知，交 点一定在连心线上，并且进一步可以由切线定理推知，两圆连 心线平分两条外(内)公切线的夹角，如图8(1)中，∠APO1＝ ∠CPO1，如图8(2)中，∠FQO2＝∠HQO2。
3．如图(12)，⊙O1与⊙O2内切于P点，⊙O2的弦AB切 ⊙O1于点C，连结PA、 PB，PC的延长线交⊙O2于点D。 求证：(1)∠APC＝∠BPC，(2)PC2＋AC· BC＝PA· PB。
4．如图(13)，已知⊙O与⊙O′外切于A点，BC为外公切线，B、 C为切点，BC与OO′的延长线交于D，DE⊥BD交BA延长线 于E点。

两圆的公切线(一)在几何学中，公切线是指两个圆相交时与两个圆都相切的直线。

公切线有两条，分别为内公切线和外公切线。

本篇文章将重点讨论两圆的内公切线。

一、两圆的内公切线的定义给定两个圆C1和C2，它们的内公切线是同时与C1和C2相切且不相交的直线。

二、判断两圆是否有内公切线的条件若两个圆C1和C2的半径分别为r1和r2，它们的圆心距离为d，则存在内公切线的条件如下：1.若r1=r2，即两个圆的半径相等，则两个圆的内公切线存在。

2.若r1>r2，即C1的半径大于C2的半径，则当d<r1-r2时，两个圆的内公切线存在。

3.若r1<r2，即C1的半径小于C2的半径，则当d<r2-r1时，两个圆的内公切线存在。

三、两圆的内公切线的性质1.两个圆的内公切线与两个圆的圆心连线垂直。

2.两个圆的内公切线的切点在两个圆的圆心连线上。

3.两个圆的内公切线的切点到两个圆心的距离相等。

四、两圆的内公切线的求解方法我们可以通过几何方法求解两圆的内公切线，具体步骤如下：1.连接两个圆的圆心，并根据圆心距离d与两个圆的半径r1和r2的关系，判断是否存在内公切线。

2.若存在内公切线，则在两个圆的圆心连线上取两个切点。

3.连接两个切点，并延长至两个圆上，即可得到两个内公切线。

五、两个圆的内公切线的示意图以下是两个圆的内公切线示意图。

o C1\\\\\\o C2六、结论本文简要介绍了两个圆的内公切线的定义、判断条件、性质、求解方法以及示意图。

在实际应用中，了解两个圆的内公切线的性质和求解方法可以帮助我们解决相关的几何问题。

在下一篇文章中，我们将继续讨论两圆的外公切线。

注意：本文中所提到的两个圆是指平面上的两个圆，不包括相交、相切或包含的情况。

例2 已知：⊙O1和⊙O2外切于A，BC是⊙O1和⊙O2的公切线， B、C是切点． 求证：AB⊥AC． B 只要在△ABC中作出BC边上的中 线再证中线长等于BC的一半即可， 根据已知条件若过A点作⊙O1和 ⊙O2的内公切线交BC于D则有 DA=DB=DC因此可以证明∠BAC 是直角．
2．已知：如图7—249，⊙O1和⊙O2外切于A，外公切线 PQ分别切⊙O1于P，切⊙O2于Q并且PQ与O1O2相交于 B．求证：BA是BP和BQ的比例中项．
(四)总结、扩展 为培养学生阅读教材的习惯，让学生看教材 P．86—P．88，从中总结出本课主要内容： 1．求两圆的内公切线，仍然归结为解直角三角形 问题，注意基本图形中的直角三角形，圆心距仍 然为斜边，内公切线长、两半径之和作直角边， 三个量中已知任何两个量，都可以求出第三个量 来． 2．如果两圆有两条外(或内)公切线，并且它们相 交，那么交点一定在两圆的连心线上． 3．求两圆两外(或内)公切线的夹角．要根据基本 图形，归结为求Rt△中的锐角．从而根据平行线 的同位角相等，进而求出两公切线的夹角．
此题是个实际应用题，我们可 以把这类问题转化成数学问题 来解决．即⊙O1和⊙O2相外 切，两条外公切线相交于P点， ⊙O1和⊙O2的直径分别为 200mm和80mm．求两条外公 切线的夹角(图7—242)，这样 就把此题转化成了以前学过的 问题．因此可以得到解决．
解：设两圆管的圆心分别为O1、O2，它们与V形架切 于点A、B，AB与O1O2交于点P，连结O1A，O2B，过 点O2作O2C⊥O1A，垂足为C．
故此题可以得到证明． 证法二：连结O1B、O2C、O1O2． ∵⊙O1和⊙O2外切于A， ∴A点在O1O2上 又∵BC切⊙O1于B，切⊙O2于C， ∴O1B⊥BC，O2C⊥BC， ∴O1B∥O2C，∠O1+∠O2=180°．