两圆公切线

作两圆外公切线的原理
纸上画“两圆A和B”的外公切线作法：
（1）作AB线段的中点M点，以M为圆心，AM为半径作圆1，再以A为圆心，圆A、B之半径差为半径作圆2，则此两圆（1、2）交於点Q，连接AQ，则与圆A交于点P，过P点作垂直线，即为公切线。

（2）注意：此处圆A大于圆B，即圆2在大圆内部才能成功。

1、两个不相交的圆在公切线的同旁时，这样的公切线叫做外公切线。

2、和两圆都相切的直线，叫做两圆的公切线。

两个圆在公切线同旁时，这样的公切线叫做外公切线。

两个圆在公切线的两旁时，这样的公切线叫做内公切线。

两圆的公切线夹角的计算公式唐小平(甘肃省武都县两水中学.746010)通过两圆位置关系的学习我们知道：当两圆外离、外切、相交时有两条外公切线；当且仅当两圆外离时有两条内公切线.下面就分别讨论两圆公切线夹角的计算，推导出公式后以提高解相关的客观性命题的速度.一、 两圆外公切线夹角的计算我们不妨以两圆外离为例加以讨论.如图所示，☉O 1,☉O ２的外公切线AB 和CD 相交于P （A 、B 、C 、D 为切点），其半径分别为ｒ和R,圆心距O 1O 2 =ｄ．连结O 1A 、O 2B, 则O 1A ⊥AB,O 2B ⊥AB.过O 1作O 1E ⊥O 2B ，垂足为E,于是四边形O 1EBA 为矩形，所以O 2E=O 2B-EB=O 2B-O 1A=R-r,于是sin ∠EO 1O 2=212O O E O =d rR -.若计算出drR -是特殊角的正弦值，则可直接求出∠EO 1O 2，否则可通过查表或计算器求出∠EO 1O 2,然后得AB 与CD 的夹角∠BPD=2∠EO 1O 2.对于两圆外切和相交的情况，其讨论办法和结论与两圆外离时相同，此处就不再罗嗦.二、 两圆内公切线夹角的计算如图所示，☉O 1,☉O ２ 的内公切线FG 和XY 相交于点M （F 、G 、X 、Y 为切点），其半径分别为r 和R （ｒ＜Ｒ），圆心距O 1O 2=d.连结O 1X,O 2Y,过O 1作O 2Y 延长线的垂线，垂足为Q ，则易证∠O 2YM=∠O 2QO 1= ∠O 1XM =90º，且∠O 2MY=∠O 2O 1Q=∠GMO 2，O 2Q=R ＋r,于是sin ∠O 2O 1Q=211O O Q O =drR +.若计算出dr R +是特殊角的正弦值，则可直接求出∠O 2O 1Q,否则可通过查表或用计算器求出∠O 2O 1Q,然后得到FG 和XT 的夹角∠GMY=2∠O 2O 1Q （或∠GMY=180º-2∠O 2O 1Q ）.综上所述，设两圆的半径分别为R 和r ，圆心距为d ，外公切线夹角为α，内公切线夹角为β（β是其中一夹角，另一夹角可写成180º-β），则sindr R -=2α，sindrR +=2β.这就是两圆的公切线夹角的计算公式.。

初中数学公切线的性质有哪些
公切线是两个圆或两个球体之间的一条直线，具有以下性质：
1. 公切线与两个圆或两个球体的切点构成等腰三角形：
公切线与两个圆或两个球体的切点，以及连接两个切点的直线构成一个等腰三角形。

在这个等腰三角形中，两个切点与切点直线的中点连线相等。

2. 公切线在切点处与切线相切：
公切线在两个圆或两个球体的切点处与切线相切。

切点的切线方向相反且互相垂直。

3. 公切线与切点连线互相垂直：
公切线与两个圆或两个球体的切点连线在切点处互相垂直，即两个切点与切点连线互相垂直。

4. 公切线在切点处的切线长度相等：
公切线在两个圆或两个球体的切点处的切线长度相等，即两个切点与切点连线的长度相等。

5. 外公切线与内公切线：
如果两个圆或两个球体相离，它们之间的公切线是外公切线。

外公切线与两个圆或两个球体的切点在同一侧。

如果两个圆或两个球体内切或相交，它们之间的公切线是内公切线。

内公切线与两个圆或两个球体的切点在不同侧。

6. 公切线上的切点坐标关系：
如果已知两个圆或两个球体的半径和圆心坐标，可以通过求解公切线上的切点坐标来确定公切线的方程。

7. 公切线的应用：
公切线在几何问题中有广泛的应用。

例如，可以利用公切线的性质来求解两个圆或两个球体之间的距离、判断两个圆或两个球体的位置关系、构造切线等。

以上是公切线的一些基本性质。

在实际问题中，还可以通过引入向量、三角函数等概念来更深入地研究公切线的性质和应用。

希望以上内容能够满足你对公切线性质的了解。

公切线公式
（最新版）
目录
1.公切线的定义
2.公切线公式的推导
3.公切线的应用
正文
1.公切线的定义
公切线是指在两个圆之间，同时与两个圆相切的直线。

这条直线与两
个圆的切点构成的线段长度相等，且方向相同。

2.公切线公式的推导
假设有两个圆，圆心分别为 O1 和 O2，半径分别为 R1 和 R2，且 R1 > R2。

公切线与两个圆的切点分别为 A、B、C、D。

连接 O1A、O2B、O1C、
O2D，可以得到四个直角三角形。

根据勾股定理，我们可以得到：O1A = sqrt(R1^2 - (R2 - R1)^2)
O2B = sqrt(R2^2 - (R1 - R2)^2)
O1C = sqrt(R1^2 - (R2 + R1)^2)
O2D = sqrt(R2^2 - (R1 + R2)^2)
由于 O1A = O2B，O1C = O2D，所以可以得到公切线长度的公式为：公切线长度 = 2 * sqrt(R1 * R2)
3.公切线的应用
公切线在许多情况下都有应用，比如在机械加工中，两个旋转的轴之
间的距离可以通过公切线长度来计算。

两个圆的公切线
和两圆都相切的直线,叫做两圆的公切线。

两个圆在公切线同旁时,这样的公切线叫做外公切线。

两个圆在公切线的两旁时,这样的公切线叫做内公切线。

公切线性质：
1.两圆的两条外公切线长相等。

2.两条内公切线的长也相等。

3.两圆的外公切线与连心线或者交于一点或者平行。

位置关系：
公切线的条数与两圆的位置关系如下：
若两圆相离，则有4条公切线。

若两圆外切，则有3条公切线（两外切，一内切）。

两圆相交，则有2条公切线（外切）。

若两圆内切，则有1条公切线。

若两圆内含，则有0条公切线。

两圆的公切线教案两圆的公切线教案「篇一」教学目标：（1）掌握两圆内公切线长的求法以及公切线与连心线的夹角或公切线的交角；（2）培养的迁移能力，进一步培养学生的归纳、总结能力；（3）通过两圆内公切线长的求法进一步向学生渗透“转化”思想．教学重点：两圆内公切线的长及公切线与连心线的夹角或公切线的交角求法．教学难点：两圆内公切线和两圆内公切线长学生理解的不透，容易混淆．教学活动设计（一）复习基础知识（1）两圆的公切线概念：公切线、内外公切线、内外公切线的长．（2）两圆的位置与公切线条数的关系．（构成数形对应，且一一对应）（二）应用、反思例1、（教材例2）已知：⊙o1和⊙o2的半径分别为4厘米和2厘米，圆心距为10厘米，ab是⊙o1和⊙o2的一条内公切线，切点分别是a，b．求：公切线的长ab。

组织学生分析，迁移外公切线长的求法，既培养学生解决问题的能力，同时也培养学生学习的迁移能力．解：连结o1a、o2b，作o1a⊥ab，o2b⊥ab．过 o1作o1c⊥o2b，交o2b的延长线于c。

则o1c=ab，o1a=bc．在rt△o2co1和．o1o2=10，o2c=o2b+ o1a=6∴o1c=(cm)．∴ab=8（cm）反思：与外离两圆的内公切线有关的计算问题，常构造如此题的直角梯行及直角三角形，在rt△o2co1中，含有内公切线长、圆心距、两半径和重要数量．注意用解直角三角形的知识和几何知识综合去解构造后的直角三角形．例2 （教材例3）要做一个图那样的矿型架，将两个钢管托起，已知钢管的外径分别为200毫米和80毫米，求v形角α的度数．解：(略)反思：实际问题经过抽象、化简转化成数学问题，应用数学知识来解决，这是解决实际问题的重要方法．它属于简单的数学建模．组织学生进行，教师引导．归纳：（1）用解直角三角形的有关知识可得：当公切线长l、两圆的两半径和r+r、圆心距d、两圆公切线的夹角α四个量中已知两个量时，就可以求出其他两个量．（2）上述问题可以通过相似三角形和解三角形的知识解决．（三）巩固训练教材p142练习第1题，教材p145练习第1题．学生独立完成，教师巡视，发现问题及时纠正．（四）小结（1）求两圆的内公切线，“转化”为解直角三角形问题．公切线长、圆心距、两半径和三个量中已知任何两个量，都可以求第三个量；（2）如果两圆有两条外(或内)公切线，并且它们相交，那么交点一定在两圆的连心线上；（3）求两圆两外(或内)公切线的夹角．（五）作业教材p153中12、13、14．第三课时两圆的公切线（三）教学目标：（1）理解两圆公切线在解决有关两圆相切的问题中的作用, 辅助线规律，并会应用；（2）通过两圆公切线在证明题中的应用，培养学生的分析问题和解决问题的能力．教学重点：会在证明两圆相切问题时，辅助线的引法规律，并能应用于几何题证明中．教学难点：综合知识的灵活应用和综合能力培养．教学活动设计（一）复习基础知识（1）两圆的公切线概念．（2）切线的性质，弦切角等有关概念．（二）公切线在解题中的应用例1、如图，⊙o1和⊙o2外切于点a，bc是⊙o1和⊙o2的公切线，b，c为切点．若连结ab、ac会构成一个怎样的三角形呢？观察、度量实验（组织学生进行）猜想：（学生猜想）∠bac=90°证明：过点a作⊙o1和⊙o2的内切线交bc于点o．∵oa、ob是⊙o1的切线。

两圆的公切线(二)引言在上一篇文章中，我们讨论了两个圆的公切线的概念以及求解公切线的方法。

本文将进一步探讨两个圆的公切线，并介绍几个实际问题中的应用。

求解两个圆的公切线假设有两个圆C1和C2，它们的圆心分别为O1和O2，半径分别为r1和r2。

我们的目标是求解这两个圆的公切线。

情况一：两个圆相交当两个圆相交时，存在两条内公切线和两条外公切线。

内公切线内公切线示意图内公切线示意图如图所示，设两个圆的半径分别为r1和r2，圆心之间的距离为d。

对于内公切线，设切点分别为A和B。

根据几何性质可知，AO1、BO1是两个圆的半径，且垂直于相应的切线。

因此，我们可以得到以下等式：(O1A)^2 + (O1O2)^2 = r1^2 —-(1)(O2B)^2 + (O1O2)^2 = r2^2 —-(2)将公式(1)和(2)相减，可以消去O1O2：(O1A)^2 - (O2B)^2 = r1^2 - r2^2根据O1A和AO2的互为相反数的关系，可得：(O1A + O2B)(O1A - O2B) = r1^2 - r2^2由于O1A + O2B = AB，我们可以得到：AB(O1A - O2B) = r1^2 - r2^2由于AB是切线的长度，而O1A - O2B是两个圆心之间的距离，即d。

因此，我们可以得到： AB = (r1^2 - r2^2) / d外公切线外公切线示意图外公切线示意图对于外公切线，同样设切点为A和B。

根据几何性质可知，AO1、BO1是两个圆的半径，且垂直于相应的切线。

因此，我们可以得到以下等式：(O1A)^2 - (O1O2)^2 = r1^2 —-(3)(O2B)^2 - (O1O2)^2 = r2^2 —-(4)将公式(3)和(4)相减，可以消去O1O2：(O1A)^2 - (O2B)^2 = r1^2 - r2^2同样由于O1A + O2B = AB，我们可以得到： AB = (r1^2 - r2^2) / d情况二：两个圆外切当两个圆外切时，存在两条内公切线和两条外公切线。