中考数学复习两圆的公切线2[人教版]

中考数学复习（47）：圆与圆（二）知识考点：1、掌握两圆的内外公切线长的性质和求切线长的方法（转化为解直角三角形）。

2、掌握有关两圆的内、外公切线的基本图形，以及这类问题添加辅助线的方法，会结合圆的切线的性质解决有关两圆公切线的问题。

精典例题：【例1】如图，⊙O 1与⊙O 2外切于P ，AB 是两圆的外公切线，切点为A 、B ，我们称△PAB 为切点三角形，切点三角形具有许多性质，现总结如下：（1）△PAB 是直角三角形，并且∠APB ＝900； （2）△PAB 的外接圆与连心线O 1O 2相切；（3）以O 1O 2为直径的圆与Rt △PAB 的斜边AB 相切； （4）斜边AB 是两圆直径的比例中项；（5）若⊙O 1、⊙O 2的半径为1R 、2R ，则PA ∶PB ∶AB ＝1R ∶2R ∶21R R +； （6）内公切线PC 平分斜边AB ； （7）△CO 1O 2为直角三角形。

这些结论虽然在证题时仍需证明，但有了这些基本结论作基础，可帮助你迅速找到解题思路，可以提高解题速度，下面用一个具体的例子来说明。

例1图1例1图2F如图2，⊙A 和⊙B 外切于P ，CD 为两圆的外公切线，C 、D 分别为切点，PT 为内公切线，PT 与CD 相交于点T ，延长CP 、DP 分别与两圆相交于点E 、F ，又⊙A 的半径为9，⊙B 的半径为4。

（1）求PT 的长；（2）求证：PF PE PD PC ⋅=⋅；（3）试在图中找出是线段PA 和PB 比例中项的线段，并加以证明。

分析：图中的基本图形是切点三角形，易证T 为CD 的中点，∠CPD ＝900，PT 即为外公切线长的一半，CF 、DE 分别为两圆直径，且互相平行，问题就解决了。

略解：（1）作BG ⊥AC 于G ，则CD ＝BG ＝12)49()49(22=--+∴PT ＝CT ＝TD ＝21CD ＝6 证明：（2）PT ＝21CD ，∴∠CPD ＝900 ∴CF 、DE 分别是⊙A 和⊙B 的直径又∵CD 切两圆于C 、D ，∴FC ⊥CD ，ED ⊥CD∴CF ∥DE ，∴PDPFPE CP =，∴PF PE PD PC ⋅=⋅ （3）图中是PA 和PB 比例中项的线段有PT 、CT 、DT （证明略）【例2】如图，⊙O 和⊙O '内切于点B ，⊙O '经过O ，⊙O 的弦AE 切⊙O '于点C ，AB 交⊙O '于D 。

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第七章：圆第30课时：两圆的公切线（二)教学目标:1、使学生学会两圆内公切线长的求法．2．使学生会求出公切线与连心线的夹角或公切线的夹角．2、使学生在学会求两圆内公切线长的过程中，探索规律，培养学生的总结、归纳能力．3、培养学生会根据图形分析问题，培养学生的数形结合能力．教学重点：使学生进一步掌握两圆公切线等有关概念,会求两圆内公切线长及切线夹角．教学难点：两圆内公切线和内公切线长容易搞混．教学过程:一、新课引入：上一节我们学会了求两圆的外公切线长，这一节我们将学习两圆内公切线长的求法及两圆公切线夹角的求法．实际上，我们首先要清楚，什么样的两圆的位置关系存在两圆内公切线?有几条？什么样的两圆位置关系有内公切线长?请同学们打开练习本，动手画一画，结合图形，考虑上面的问题．学生动手画图,教师巡视，当所有学生都画完图后,教师打开计算机或幻灯作演示，演示过程由学生回答上述三个问题，并认定只有两圆外离时，存在内公切线长．二、新课讲解:有了上一节求两圆外公切线长的基础，学生不难想到求两圆的内公切线长也要在一个直角三角形中完成，只要稍加提示，学生便会作出直角三角形，同时教师要提醒学生注意两种公切线长的求法中，三角形的边有所不同．例2 如图7-106，P．142已知⊙O1、⊙O2的半径分别为4cm和2cm，圆心距为10cm，AB 是⊙O1、⊙O2的内公切线，切点分别为A、B．求:公切线的长AB．分析：仿照上节的辅助线方法作辅助线，我们会发现,不论从O1或O2向另一条半径作垂线，垂足都落在半径的延长线上,因此O2C是两圆半径之和．例题解法参照教材P．142例2．结论:由于圆是轴对称图形,1．两圆的两条外公切线长相等,两条内公切线长相等．2．如果两圆有两条外(或内)公切线，并且它们相交，那么交点一定在连心线上．练习一,如图7-107，已知⊙O1、⊙O2的半径分别为1.5cm和2.5cm，O1O2=6cm．求内公切线的长．此题分析类同于例题．解：连结O2A、O1B，过点O2作O2C⊥O1B交O1B的延长线于C．在Rt△O2CO1中：∵O1O2=6，O1C=O1B+BC=4，结论：在由公切线长、圆心距、两圆半径的和或差构成的Rt△中，已知任意两量,都可以求出第三量来,同时，我们也可以求出所需角来．例3 P．143要做一个如图7—108．那样的V形架，将两个钢管托起,已知钢管的外径分别为20mm和80mm，求V形角α的度数．分析：首先指导学生将实际问题转化为两圆外公切线问题，V形角α实际上就是求两圆公切线的夹角．由矩形、外公切线的基本图形知，矩形A BO2C的边O2C∥AB，则Rt△O1CO2中的锐角∠CO2O1=∠解:设两圆管的圆心分别为O1、O2，它们与V形架切于点A、B，AB与O1O2交于点P，连结O1A，O2B，过点O2作O2C⊥O1A，垂足为C．∴∠CO2O1=25°23′．∴∠α=50°46′练习二，P．145中1．如图7—109，⊙A、⊙B外切于点C，它们的半径分别为5cm，2cm，直线l与⊙A、⊙B都相切．求直线AB与l所成的角．分析：这是两圆外公切线与两圆连心线夹角问题，属于两圆外公切线的基本图形，只要在Rt△ADB中求出∠ABD的度数即可．解：设l与⊙A、⊙B分别切于点M、N,连结AM、BN，过点B作BD⊥AM,垂足为D．∴∠ABD=25°23′．∴∠1=25°23′．答：直线AB与l所成的角为25°23′．三、课堂小结：为培养学生阅读教材的习惯，让学生看教材P．142—P．145，从中总结出本课主要内容：1．求两圆的内公切线，仍然归结为解直角三角形问题，注意基本图形中的直角三角形，圆心距仍然为斜边,内公切线长、两半径之和作直角边，三个量中已知任何两个量,都可以求出第三个量来．2．如果两圆有两条外（或内)公切线，并且它们相交，那么交点一定在两圆的连心线上．3．求两圆两外(或内）公切线的夹角．要根据基本图形,归结为求Rt△中的锐角．从而根据平行线的同位角相等，进而求出两公切线的夹角．四、布置作业教材P．153中12、13、14．。

两圆的公切线（二）在前一篇文章中，我们介绍了两个圆的公切线的概念及求解方法。

在本篇文章中，我们将进一步探讨两个圆公切线的性质和一些特殊情况的解法。

1. 两个圆的外公切线当两个圆不相交且不包含的时候，它们之间存在两条外公切线。

我们将分别讨论这两种情况。

1.1. 外公切线的性质两个圆的外公切线具有以下性质：•外公切线与两圆的切点的连线垂直于两个圆的半径。

•外公切线的切点共线，与两个圆心的连线垂直于外公切线。

•外公切线的两个切点的连线垂直于两个圆心的连线。

1.2. 外公切线的求解方法方法一：勾股定理设两个圆的半径分别为 r1 和 r2，它们的中心距离为 d。

根据勾股定理，我们可以得到外公切线的长度 t：t = sqrt(d^2 - (r1 - r2)^2)外公切线的斜率为 k：k = (r2 - r1) / d两个切点的坐标分别为：(x1, y1) = ((d * r1 + t * (r1 - r2)) / d, (t * (r1 - r2)) / d)(x2, y2) = ((d * r1 - t * (r1 - r2)) / d, (-t * (r1 - r2)) / d)方法二：几何关系另一种求解外公切线的方法是利用几何关系。

我们可以通过构造一个与两个圆心相连的直角三角形，以及一个与该直角三角形的斜边平行的直线来求解。

具体求解过程如下：•连接两个圆心，得到线段 AB。

•分别从两个圆心向外作两条与 AB 相切的线段 AC 和 BD，使得 AC 和 BD 与圆的切点分别为 C 和 D。

•连接 CD，得到直线 L。

•直线 L 即为两个圆的外公切线。

2. 两个圆的内公切线当两个圆相交的时候，它们之间存在两条内公切线，我们将分别讨论这两种情况。

2.1. 内公切线的性质两个圆的内公切线具有以下性质：•内公切线与两圆的切点的连线垂直于两个圆的半径。

•内公切线的切点共线，与连结两圆心的直线的延长线垂直于内公切线。