数字信号处理离散傅里叶变换DFT

dft与离散傅里叶变换DFT与离散傅里叶变换引言：数字信号处理中，频域分析是一项重要的技术。

DFT（离散傅里叶变换）和离散傅里叶变换（DFT）是两种常用的频域分析方法。

本文将介绍DFT和离散傅里叶变换的基本原理、应用领域以及它们之间的区别。

一、DFT的基本原理离散傅里叶变换（DFT）是一种将时域信号转换为频域信号的方法。

它的基本原理是将信号分解为不同频率的正弦和余弦波的叠加。

DFT 可以将信号从时域转换到频域，帮助我们分析信号的频谱特征。

DFT的计算公式是通过对信号的采样点进行离散计算得到的。

它将信号分解为一系列复数，表示不同频率的正弦和余弦波的振幅和相位信息。

通常情况下，DFT的输入信号是离散时间的有限长度序列，输出信号也是离散时间的有限长度序列。

二、DFT的应用领域DFT在信号处理领域有着广泛的应用。

以下是几个典型的应用领域：1. 音频信号处理：DFT可以用于音频信号的频谱分析，帮助我们了解音频信号的频率组成以及频谱特征。

它在音频编码、音频效果处理等方面有着重要作用。

2. 图像处理：DFT可以用于图像的频域分析，帮助我们了解图像的频率特征，如边缘、纹理等。

它在图像压缩、图像增强等方面有着广泛的应用。

3. 通信系统：DFT可以用于通信信号的频谱分析，帮助我们了解信号在频域上的特征，如信号的带宽、频率偏移等。

它在调制解调、信道估计等方面有着重要作用。

三、离散傅里叶变换（DFT）与傅里叶变换（FT）的区别离散傅里叶变换（DFT）是傅里叶变换（FT）在离散时间上的应用。

它们之间的区别主要体现在以下几个方面：1. 定义域：傅里叶变换是定义在连续时间上的，而离散傅里叶变换是定义在离散时间上的。

2. 输入信号类型：傅里叶变换可以处理连续时间的信号，而离散傅里叶变换可以处理离散时间的信号。

3. 计算方法：傅里叶变换通过积分计算得到频域信号，而离散傅里叶变换通过对输入信号的采样点进行离散计算得到频域信号。

4. 结果表示：傅里叶变换的结果是连续的频域信号，而离散傅里叶变换的结果是离散的频域信号。

·54· 第3章 离散傅里叶变换（DFT ）及其快速算法（FFT ）3.1 引 言本章是全书的重点，更是学习数字信号处理技术的重点内容。

因为DFT （FFT ）在数字信号处理这门学科中起着不一般的作用，它使数字信号处理不仅可以在时域也可以在频域进行处理，使处理方法更加灵活，能完成模拟信号处理完不成的许多处理功能，并且增加了若干新颖的处理内容。

离散傅里叶变换（DFT ）也是一种时域到频域的变换，能够表征信号的频域特性，和已学过的FT 和ZT 有着密切的联系，但是它有着不同于FT 和ZT 的物理概念和重要性质。

只有很好地掌握了这些概念和性质，才能正确地应用DFT （FFT ），在各种不同的信号处理中充分灵活地发挥其作用。

学习这一章重要的是会应用，尤其会使用DFT 的快速算法FFT 。

如果不会应用FFT ，那么由于DFT 的计算量太大，会使应用受到限制。

但是FFT 仅是DFT 的一种快速算法，重要的物理概念都在DFT 中，因此重要的还是要掌握DFT 的基本理论。

对于FFT 只要掌握其基本快速原理和使用方法即可。

3.2 习题与上机题解答说明：下面各题中的DFT 和IDFT 计算均可以调用MA TLAB 函数fft 和ifft 计算。

3.1 在变换区间0≤n ≤N -1内，计算以下序列的N 点DFT 。

(1) ()1x n =(2) ()()x n n δ=(3) ()(), 0＜＜x n n m m N δ=- (4) ()(), 0＜＜m x n R n m N = (5) 2j()e, 0＜＜m n N x n m N π=(6) 0j ()e n x n ω=(7) 2()cos , 0＜＜x n mn m N N π⎛⎫= ⎪⎝⎭(8)2()sin , 0＜＜x n mn m N N π⎛⎫= ⎪⎝⎭(9) 0()cos()x n n ω=(10) ()()N x n nR n =(11) 1,()0n x n n ⎧=⎨⎩，解：(1) X (k ) =1N kn N n W -=∑=21j0eN kn nn π--=∑=2jj1e1ekN n k nπ---- = ,00,1,2,,1N k k N =⎧⎨=-⎩(2) X (k ) =1()N knNM n W δ-=∑=10()N n n δ-=∑=1，k = 0, 1, …, N -1(3) X (k ) =100()N knNn n n W δ-=-∑=0kn NW 1()N n n n δ-=-∑=0kn NW，k = 0, 1, …, N -1为偶数为奇数·55·(4) X (k ) =1m knN n W -=∑=11kmN N W W --=j (1)sin esin k m N mk N k N π--π⎛⎫⎪⎝⎭π⎛⎫ ⎪⎝⎭，k = 0, 1, …, N -1 (5) X (k ) =21j 0e N mn kn N N n W π-=∑=21j ()0e N m k nNn π--=∑=2j()2j()1e1em k N N m k Nπ--π----= ,0,,0≤≤1N k mk m k N =⎧⎨≠-⎩(6) X (k ) =01j 0eN nknN n W ω-=∑=021j 0e N k nN n ωπ⎛⎫-- ⎪⎝⎭=∑=002j 2j 1e1ek NN k N ωωπ⎛⎫- ⎪⎝⎭π⎛⎫- ⎪⎝⎭--= 0210j 202sin 2e2sin /2N k N N k N k N ωωωπ-⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎡⎤π⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎡⎤π⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，k = 0, 1, …, N -1或 X (k ) =00j 2j 1e 1e Nk N ωωπ⎛⎫- ⎪⎝⎭--，k = 0, 1, …, N -1(7) X (k ) =102cos N kn N n mn W N -=π⎛⎫ ⎪⎝⎭∑=2221j j j 01e e e 2N mn mn kn N N N n πππ---=⎛⎫ ⎪+ ⎪⎝⎭∑=21j ()01e 2N m k n N n π--=∑+21j ()01e 2N m k n N n π--+=∑=22j ()j ()22j ()j ()11e 1e 21e 1e m k N m k N N N m k m k N N ππ--+ππ--+⎡⎤--⎢⎥+⎢⎥⎢⎥--⎣⎦=,,20,,N k m k N mk m k N M ⎧==-⎪⎨⎪≠≠-⎩，0≤≤1k N - (8) ()22j j 21()sin ee 2j mn mnN N x n mn N ππ-π⎛⎫== ⎪-⎝⎭ ()()112222j j j ()j ()0011()=e e ee 2j 2j j ,2=j ,20,(0≤≤1)N N kn mn mn m k n m k n N N N N N n n X k W Nk m N k N mk k N --ππππ---+===--⎧-=⎪⎪⎨=-⎪⎪-⎪⎩∑∑其他(9) 解法① 直接计算χ(n ) =cos(0n ω)R N (n ) =00j j 1[e e ]2n n ωω-+R N (n )X (k ) =1()N knNn n W χ-=∑=0021j j j 01[e e ]e 2N kn n n N n ωωπ---=+∑=0000j j 22j j 11e 1e 21e 1e N N k k N N ωωωω-ππ⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎡⎤--⎢⎥+⎢⎥⎢⎥--⎣⎦，k = 0, 1, … , N -1 解法② 由DFT 共轭对称性可得同样的结果。

第三章离散傅立叶变换(DFT)3．1 引言有限长序列在数字信号处理是很重要的一种序列，当然可以用Z变换和傅里叶变换来研究它，但是，可以导出反映它的"有限长"特点的一种有用工具是离散傅里叶变换(DFT)。

离散傅里叶变换除了作为有限长序列的一种傅里叶表示法在理论上相当重要之外，而且由于存在着计算离散傅里叶变换的有效快速算法，因而离散傅里叶变换在各种数字信号处理的算法中起着核心的作用。

有限长序列的离散傅里叶变换(DFT)和周期序列的离散傅里叶级数(DFS)本质上是一样的。

为了更好地理解DFT，需要先讨论周期序列的离散傅里叶级数DFS。

而为了讨论离散傅里叶级数及离散傅里叶变换，我们首先来回顾并讨论傅里叶变换的几种可能形式。

(连续时间信号：如果在讨论的时间间隔内，除若干不连续点之外，对于任意时间值都可给出确定的函数值，此信号就称为连续时间信号。

)一、连续时间、连续频率——连续傅立叶变换（FT）设x(t)为连续时间非周期信号，傅里叶变换关系如下图所示：可以看出时域连续函数造成频域是非周期的谱，而时域的非周期造成频域是连续的谱。

二、连续时间，离散频率------傅 里 叶 级 数设f(t)代表一个周期为T 1的周期性连续时间函数，f(t)可展成傅里叶级数，其傅里叶级数的系数为，f(t)和组成变换对，表示为:（）注意符号：如果是周期性的采样脉冲信号p(t)，周期用T 表示（采样间隔）。

采样脉冲信号的频率为可以看出时域连续函数造成频域是非周期的谱，而时域的周期造成频域是离散的谱三、离散时间，连续频率------序列的傅里叶变换n F n F tjn n n e F t f 1)(Ω∞-∞=∑=112Ω=πT dte tf T F TT t jn n ⎰-Ω-=221111)(1Ts π2=Ω正变换：DTFT[x(n)]=反变换：DTFT-1 级数收敛条件为||=可以看出时域离散函数造成频域是周期的谱，而时域的非周期造成频域是连续的谱四、离散时间，离散频率------离散傅里叶变换上面讨论的三种傅里叶变换对，都不适用在计算机上运算，因为至少在一个域(时域或频域)中，函数是连续的。

DFT计算公式推导在数字信号处理中，离散傅里叶变换（DFT）是一种非常重要的技术，它可以将离散的时间域信号转换为频域信号，从而可以分析信号的频谱特性。

DFT的计算公式是信号处理中的基础，下面将通过推导的方式来介绍DFT的计算公式。

首先，我们来看一下DFT的定义。

对于长度为N的离散信号序列x(n)，它的DFT变换X(k)定义为：\[X(k) = \sum_{n=0}^{N-1}x(n)e^{-j2\pi kn/N}, \quad k=0,1,...,N-1. \]其中，e是自然对数的底，j是虚数单位。

上述公式可以理解为将信号x(n)乘以一个复指数信号e^{-j2\pi kn/N}，然后对整个信号进行求和，得到DFT变换X(k)。

接下来，我们将通过推导的方式来得到DFT的计算公式。

首先，我们可以将复指数信号e^{-j2\pi kn/N}进行展开，得到：\[e^{-j2\pi kn/N} = \cos(2\pi kn/N) j\sin(2\pi kn/N). \]将上述展开式代入DFT的定义公式中，得到：\[X(k) = \sum_{n=0}^{N-1}x(n)(\cos(2\pi kn/N) j\sin(2\pi kn/N)). \]接下来，我们可以将信号x(n)分为实部和虚部，即x(n) = a(n) + jb(n)，其中a(n)和b(n)分别是x(n)的实部和虚部。

将上述分解代入DFT的定义公式中，得到：\[X(k) = \sum_{n=0}^{N-1}(a(n) + jb(n))(\cos(2\pi kn/N) j\sin(2\pi kn/N)). \]将上述公式展开并进行整理，可以得到：\[X(k) = \sum_{n=0}^{N-1}a(n)\cos(2\pi kn/N) + \sum_{n=0}^{N-1}b(n)\cos(2\pikn/N) j\left(\sum_{n=0}^{N-1}a(n)\sin(2\pi kn/N) \sum_{n=0}^{N-1}b(n)\sin(2\pikn/N)\right). \]上述公式可以进一步化简为两个独立的求和式，分别是实部和虚部的求和式，即：\[X(k) = \sum_{n=0}^{N-1}a(n)\cos(2\pi kn/N) + \sum_{n=0}^{N-1}b(n)\cos(2\pi kn/N) j\sum_{n=0}^{N-1}a(n)\sin(2\pi kn/N) + j\sum_{n=0}^{N-1}b(n)\sin(2\pi kn/N). \]接下来，我们可以利用欧拉公式来进一步化简上述公式。

dft计算介绍
DFT（离散傅里叶变换）是一种在数字信号处理中常用的数学工具，用于将时域信号转换为频域信号。

以下是DFT的计算步骤：
数据准备：首先，需要准备一个时域信号。

这个信号可以是任何形式，比如声音、图像等。

确定信号长度：DFT计算需要知道信号的长度。

如果信号长度不是2的整数次幂，可以使用填充零的方法使其长度为2的整数次幂。

计算DFT：DFT的计算公式是X[k] = ∑[n=0 to N-1] x[n] * W[kn] 其中x[n] 是时域信号，X[k] 是频域信号，W[kn] 是虚数单位圆上的复数。

结果解释：DFT计算的结果是一个复数数组，每个复数的实部和虚部分别对应于一个频率分量的幅度和相位。

频谱分析：通过对DFT的结果进行分析，可以得到信号的频谱特性。

例如，可以分析信号的频率成分、频率范围等。

逆DFT计算：如果需要将频域信号还原为时域信号，可以进行逆DFT计算，即IDFT = 1/N ∑[k=0 to N-1] X[k] * W[-k*n]。

离散傅里叶变换的公式离散傅里叶变换（DFT）是一种数字信号处理的方法，它将时域上的信号转换为频域上的信号。

在图像处理、音频处理、通信等领域中广泛使用。

DFT的公式和理论基础十分重要，本文将详细介绍DFT的公式及其相关知识。

一、基本概念在介绍DFT的公式前，有一些基本概念需要了解：1.离散时间傅里叶变换（DTFT）：DTFT是一种将离散时间序列（离散信号）变换到连续角频率谱的变换。

它表示为X(e ^ jω)=∑x(n)e ^ -jωn ，其中X(e ^ jω) 是离散时间序列 x(n) 的 DTFT，e ^ jωn 是离散复指数信号。

2.离散傅里叶变换（DFT）：DFT是一种计算离散时间序列的离散频率谱的算法。

用DFT可以将一个N个离散点的信号转换为N个离散频率点的频谱，其中每个点代表一个离散频率。

由于DFT的本质是使用频域上的样本估计DTFT，因此它通常比DTFT更具实际意义。

3.复数：在DFT中，我们需要使用复数表示信号和频率。

复数可表示为 a+bi ，其中a,b均为实数，i为虚数单位，i^2=-1。

其中a称为实部，b称为虚部。

4.正变换和逆变换：正变换是将时域信号转换为频域信号的过程，逆变换是将频域信号转换为时域信号的过程。

对于DFT来说，正变换即将离散时间序列转换为离散频率点的频谱，逆变换即将离散频谱转换为离散时间序列。

二、DFT的公式DFT的公式如下：X(k)=∑x(n)e ^ -j2πkn/N ，k=0,1,2,...,N-1其中，X(k)是离散时间序列x(n)的DFT系数，k是频率索引，N是样本数。

公式中的 e ^ -j2πkn/N 是离散复指数信号，也称为旋转因子，代表了信号的周期性。

由于信号周期性的特点，e ^ -j2πkn/N 的 n 取值范围在 0~N-1 之间，因此k 取值在 0~N-1 之间时，X(k) 能够准确地表达样本信号的离散频率成分。

需要注意的是，X(k) 及其离散频率点均为复数，且X(n) 中既包含了信号的幅度，也包含了频率相位信息。

离散dft公式离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，简称 DFT）是数字信号处理中的一个重要概念。

咱们先来看看 DFT 公式到底是啥。

DFT 的公式可以写成这样：\[X(k) = \sum_{n=0}^{N-1} x(n) e^{-j\frac{2\pi}{N}kn}\]其中，\(X(k)\) 是频域的序列，\(x(n)\) 是时域的序列，\(N\) 是序列的长度，\(k\) 是频率索引。

这看起来是不是有点复杂？别担心，咱们慢慢捋一捋。

就拿我之前教学生的经历来说吧，有一次我给学生们讲解这个公式，一开始他们也是一脸懵。

我就想着得找个简单的例子让他们明白。

我拿出了一个简单的音频信号，就比如说敲鼓的声音。

咱们把这个声音在一段时间内采集下来，这就得到了一个时域的序列 \(x(n)\) 。

然后我跟学生们说，咱们现在要把这个敲鼓的声音分解成不同的频率成分，这就用到了 DFT 公式。

我先让他们想象一下，这个敲鼓的声音里可能有高音的部分，也有低音的部分，就像一个乐队里有高音喇叭和低音喇叭一起发声。

那DFT 公式就是我们用来把这个声音里不同高低的成分找出来的工具。

咱们再回到公式里，\(e^{-j\frac{2\pi}{N}kn}\) 这部分，它就像是一把神奇的钥匙，能打开把时域变成频域的大门。

然后我们开始计算，一点点地把每个 \(n\) 对应的 \(x(n)\) 乘上那个神奇的钥匙，再把结果加起来，就得到了对应的 \(X(k)\) 。

这 \(X(k)\)就告诉我们在这个频率 \(k\) 上有多少“能量”。

比如说，我们算出来在某个 \(k\) 值上 \(X(k)\) 的值比较大，那就说明这个敲鼓声音里这个频率的成分比较多。

学生们一开始不太理解为啥要这么麻烦地去做这个变换。

我就跟他们说，这就好比我们要整理一个乱糟糟的房间。

时域的信号就像房间里乱堆的东西，我们通过 DFT 把它们分类整理好，清楚地知道每种东西（频率成分）有多少，这样我们就能更好地理解和处理这个信号啦。

开课学院及实验室：电子楼3172018年 4月 29 日3()x n ：用14()()x n R n =以8为周期进行周期性延拓形成地周期序列.(1> 分别以变换区间N ＝8,16,32,对14()()x n R n =进行DFT(FFT>,画出相应地幅频特性曲线；(2> 分别以变换区间N ＝4,8,16,对x 2(n >分别进行DFT(FFT>,画出相应地幅频特性曲线； (3> 对x 3(n >进行频谱分析,并选择变换区间,画出幅频特性曲线.<二）连续信号 1. 实验信号：1()()x t R t τ=选择 1.5ms τ=,式中()R t τ地波形以及幅度特性如图7.1所示.2()sin(2/8)x t ft ππ=+式中频率f 自己选择.3()cos8cos16cos 20x t t t t πππ=++2. 分别对三种模拟信号选择采样频率和采样点数.对1()x t ()R t τ=,选择采样频率4s f kHz =,8kHz ,16kHz ,采样点数用τ.s f 计算.对2()sin(2/8)x t ft ππ=+,周期1/T f =,频率f 自己选择,采样频率4s f f =,观测时间0.5p T T =,T ,2T ,采样点数用p s T f 计算.图5.1 R(t>地波形及其幅度特性对3()cos8cos16cos 20x t t t t πππ=++,选择采用频率64s f Hz =,采样点数为16,32,64. 3. 分别对它们转换成序列,按顺序用123(),(),()x n x n x n 表示.4. 分别对它们进行FFT.如果采样点数不满足2地整数幂,可以通过序列尾部加0满足.5. 计算幅度特性并进行打印.五、实验过程原始记录<数据、图表、计算等）(一> 离散信号%14()()x n R n = n=0:1:10。

学生实验报告开课学院及实验室：电子楼3172013年4月29日、实验目的学习DFT 的基本性质及对时域离散信号进行频谱分析的方法，进一步加深对频域概念和数字频率的理解，掌握 MATLAB 函数中FFT 函数的应用。

二、实验原理离散傅里叶变换(DFT)对有限长时域离散信号的频谱进行等间隔采样，频域函数被离散化了, 便于信号的计算机处理。

设x(n)是一个长度为 M 的有限长序列，x(n)的N 点傅立叶变换:X(k)N 1j 三 knDFT[x(n)]N x(n)e N0 k N 1n 0其中WNe.2 jN，它的反变换定义为:1X(n)NkN 1nkX(k)W N0 令z W N k，X(zz WN k则有:N 1x( n)Wj kn 0可以得到，X(k)X(Z)Z WN kZ W N*是Z 平面单位圆上幅角为2kN 的点，就是将单位圆进行N 等分以后第 K 个点。

所以, X(K)是Z 变换在单位圆上的等距采样，或者说是序列傅立叶变换的等距采样。

时域采样在满足Nyquist 定理时，就不会发生频谱混叠。

DFT 是对序列傅立叶变换的等距采样，因此可以用于序列的频谱分析。

如果用FFT 对模拟信号进行谱分析，首先要把模拟信号转换成数字信号，转换时要求知道模拟 信号的最高截至频率，以便选择满足采样定理的采样频率。

般选择采样频率是模拟信号中最高频率的3~4倍。

另外要选择对模拟信号的观测时间，如果采样频率和观测时间确定，则采样点数也确定 了。

这里观测时间和对模拟信号进行谱分析的分辨率有关,最小的观测时间和分辨率成倒数关系。

最小的采样点数用教材相关公式确定。

要求选择的采样点数和观测时间大于它的最小值。

如果要进行谱分析的模拟信号是周期信号,最好选择观测时间是信号周期的整数倍。

如果不知道■ 厂1*1IE向i1A I1f Ii i 0r 1 疋0Jfb-4W0 70000图5.1 R(t)的波形及其幅度特性xn=[on es(1,4),zeros(1,7)];%输入时域序列向量 xn=R4( n)%计算xn 的8点DFTXk16=fft(x n,16);%计算xn 的16点DFTXk32=fft(x n,32); %计算xn 的32点DFTk=0:7;wk=2*k/8;对 x 3(t) cos8 t cos16 t cos20 t ，选择采用频率 f s 64Hz ，采样点数为 16 , 32 , 64。