离散傅里叶变换及快速算法

DFT及其快速算法DFT（离散傅里叶变换）是傅里叶变换在离散时间序列上的表示，具有广泛应用于信号处理和图像处理等领域。

DFT的计算复杂度通常为O(N^2)，其中N为序列的长度。

为了减少计算复杂度，人们发展了许多快速算法，其中最著名的是快速傅里叶变换（FFT）。

DFT可以将一个信号或序列分解成一系列正弦和余弦函数的频谱成分。

它将时域的信号转换为频域的频谱，揭示了信号中各个频率成分的振幅和相位信息。

DFT可以用于信号滤波、频谱分析、数据压缩等许多应用。

DFT的定义如下：X[k]=Σ(x[n]*e^(-j*2πk*n/N))，其中0<=k<N该公式表示了将N个离散时间域样本x[n]变换为N个离散频率域样本X[k]的计算方式。

其中e^(-j*2π/N)为旋转因子，N为序列的长度。

DFT的计算复杂度为O(N^2)，需要进行N次乘法和加法运算。

对于大规模的序列，计算速度较慢，为了提高计算效率，人们提出了FFT算法。

FFT是一种高效的DFT计算方法，它基于DFT的对称性质和递归算法来减少计算量。

FFT的计算复杂度为O(NlogN)，比DFT快速得多。

FFT算法的基本思想是将一个长度为N的序列分解为两个长度为N/2的子序列，并利用子序列的DFT结果计算整个序列的DFT结果。

这个过程不断重复，直到达到长度为1的序列，也就是基本的正弦和余弦函数。

FFT算法主要有两种形式：快速递归FFT和快速迭代FFT。

快速递归FFT是通过递归的方式将序列分解为子序列，并利用子序列的DFT结果计算整个序列的DFT结果。

这个过程类似于分治法，将复杂的问题分解为简单的子问题，然后将子问题的解合并起来得到最终结果。

快速迭代FFT是通过迭代的方式将序列分解为子序列，然后利用旋转因子和蝶形运算来计算序列的DFT结果。

蝶形运算是FFT算法中的基本操作，通过两两配对的方式进行乘法和加法运算，将两个输入序列转换为两个输出序列。

这个过程可以通过迭代的方式进行，并且可以实现并行计算，提高计算速度。

信号实验一离散傅里叶变换及其快速算法一、实验目的1、掌握计算序列的离散傅里叶变换（FFT）的方法；2、掌握实现时间抽取快速傅里叶变换（FFT）编程方法；3、加深对DFT与序列的傅里叶变换和Z变换之间的关系的理解；4、复习复数序列的运算方法。

二、程序设计框图1.码位倒置程序框图2.蝶形图运算程序框图三、实验程序实验程序的源代码如下:#include"math.h"#include"stdio.h"/*------------------------------------------------------------------------------------------子函数部分------------------------------------------------------------------------------------------*/ void swap(float *a,float *b)//交换变量子函数{float T;T=*a;*a=*b;*b=T;}void fft (float A [],float B [],unsigned M)//数组A为序列的实部, 数组B为序列的虚部{unsigned long N,I,J,K,L,LE,LE1,P,Q,R;float Wr,Wi,W1r,W1i,WTr,WTi,theta,Tr,Ti;N=1<<M;J=0;for(I=0;I<N-1;I++){if(J>I){swap(&A [I],&A [J]);swap(&B [I],&B [J]);}K=N>>1;while(K>=2&&J>=K){J-=K;K>>=1;}J+=K;}for(L=1;L<=M;L++){LE=1<<L;LE1=LE/2;Wr=1.0;Wi=0.0;theta=(-1)*3.1415926536/LE1;W1r=cos (theta);W1i=sin (theta);for(R=0;R<LE1;R++){for(P=R;P<N-1;P+=LE){Q=P+LE1;//基本蝶形图的复数运算Tr=Wr*A[Q]-Wi*B[Q];Ti=Wr*B[Q]+Wi*A[Q];A[Q]=A[P]-Tr;B[Q]=B[P]-Ti;A[P]+=Tr;B[P]+=Ti;}WTr=Wr;WTi=Wi;Wr=WTr*W1r-WTi*W1i;Wi=WTr*W1i+WTi*W1r;}}return;}/*------------------------------------------------------------------------------------------主函数部分------------------------------------------------------------------------------------------*/ void main(){float A[20],B[20];char t1,t2,file_name[20];int M,N,i,iiff;FILE *fp;/*************************************数据读取部分************************************/ printf("请输入文件名:");//输入数据文件名scanf("%s",file_name);printf("FFT变换还是IFFT变换?(FFT:1,IFFT:-1):");//输入变换方式, 1为FFT, -1为IFFTscanf("%d",&iiff);while(iiff!=1&&iiff!=-1)//检错: 检验上一步的输入是否有错, 有错则重新输入{printf("输入错误, 请重新输入！ ");printf("FFT or IFFT?(FFT:1,IFFT:-1):");scanf("%d",&iiff);}fp=fopen(file_name,"r");//打开文件并读入数据fscanf(fp,"%d",&M);N=pow(2,M);//计算序列总数for(i=0;i<N;i++)//读取文件中的数据{fscanf(fp,"%f%c%c%f",&A[i],&t1,&t2,&B[i]);if(iiff==-1)//根据FFT或IFFT修正BB[i]=B[i]*-1;if(t2!='j')//检错: 检验读取格式是否有错{printf("输入格式错误\n");break;}if(t1=='+')//判断虚部的正负号B[i]=B[i];else if(t1=='-')B[i]=-B[i];}/****************************************变换部分****************************************/ fft(A,B,M);//FFT变换/**************************************数据输出部分**************************************/ fp=fopen("fft_result.txt","w"); //输出结果if(iiff==-1)fprintf(fp,"IFFT变换的输出结果是: \n");elsefprintf(fp,"FFT变换的输出结果是: \n");for(i=0;i<N;i++){if(iiff==-1) //根据FFT或IFFT修正B{B[i]=B[i]*-1/N;A[i]=A[i]/N;}if(B[i]>=0)//修正虚部的输出格式fprintf(fp,"%f+j%f\n",A[i],B[i]);else if(B[i]<0)fprintf(fp,"%f-j%f\n",A[i],-B[i]);else if(B[i]==0)fprintf(fp,"%f\n",A[i]);}fclose(fp);}四、程序运行结果检验（1） 1.对序列进行FFT变换输入文件fft_input.txt:21+j02+j0-1+j04+j0控制台输入:请输入文件名: fft_input.txtFFT变换还是IFFT变换?(FFT:1,IFFT:-1): 1输出文件fft_result.txt:FFT变换的输出结果是:6.00000+j0.000002.00000+j2.00000-6.00000+j0.000002.00000+j-2.00000运行结果分析:程序运行输出结果与计算结果相同, 表示傅里叶正变换（FFT）成功。

·54· 第3章 离散傅里叶变换（DFT ）及其快速算法（FFT ）3.1 引 言本章是全书的重点，更是学习数字信号处理技术的重点内容。

因为DFT （FFT ）在数字信号处理这门学科中起着不一般的作用，它使数字信号处理不仅可以在时域也可以在频域进行处理，使处理方法更加灵活，能完成模拟信号处理完不成的许多处理功能，并且增加了若干新颖的处理内容。

离散傅里叶变换（DFT ）也是一种时域到频域的变换，能够表征信号的频域特性，和已学过的FT 和ZT 有着密切的联系，但是它有着不同于FT 和ZT 的物理概念和重要性质。

只有很好地掌握了这些概念和性质，才能正确地应用DFT （FFT ），在各种不同的信号处理中充分灵活地发挥其作用。

学习这一章重要的是会应用，尤其会使用DFT 的快速算法FFT 。

如果不会应用FFT ，那么由于DFT 的计算量太大，会使应用受到限制。

但是FFT 仅是DFT 的一种快速算法，重要的物理概念都在DFT 中，因此重要的还是要掌握DFT 的基本理论。

对于FFT 只要掌握其基本快速原理和使用方法即可。

3.2 习题与上机题解答说明：下面各题中的DFT 和IDFT 计算均可以调用MA TLAB 函数fft 和ifft 计算。

3.1 在变换区间0≤n ≤N -1内，计算以下序列的N 点DFT 。

(1) ()1x n =(2) ()()x n n δ=(3) ()(), 0＜＜x n n m m N δ=- (4) ()(), 0＜＜m x n R n m N = (5) 2j()e, 0＜＜m n N x n m N π=(6) 0j ()e n x n ω=(7) 2()cos , 0＜＜x n mn m N N π⎛⎫= ⎪⎝⎭(8)2()sin , 0＜＜x n mn m N N π⎛⎫= ⎪⎝⎭(9) 0()cos()x n n ω=(10) ()()N x n nR n =(11) 1,()0n x n n ⎧=⎨⎩，解：(1) X (k ) =1N kn N n W -=∑=21j0eN kn nn π--=∑=2jj1e1ekN n k nπ---- = ,00,1,2,,1N k k N =⎧⎨=-⎩(2) X (k ) =1()N knNM n W δ-=∑=10()N n n δ-=∑=1，k = 0, 1, …, N -1(3) X (k ) =100()N knNn n n W δ-=-∑=0kn NW 1()N n n n δ-=-∑=0kn NW，k = 0, 1, …, N -1为偶数为奇数·55·(4) X (k ) =1m knN n W -=∑=11kmN N W W --=j (1)sin esin k m N mk N k N π--π⎛⎫⎪⎝⎭π⎛⎫ ⎪⎝⎭，k = 0, 1, …, N -1 (5) X (k ) =21j 0e N mn kn N N n W π-=∑=21j ()0e N m k nNn π--=∑=2j()2j()1e1em k N N m k Nπ--π----= ,0,,0≤≤1N k mk m k N =⎧⎨≠-⎩(6) X (k ) =01j 0eN nknN n W ω-=∑=021j 0e N k nN n ωπ⎛⎫-- ⎪⎝⎭=∑=002j 2j 1e1ek NN k N ωωπ⎛⎫- ⎪⎝⎭π⎛⎫- ⎪⎝⎭--= 0210j 202sin 2e2sin /2N k N N k N k N ωωωπ-⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎡⎤π⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎡⎤π⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，k = 0, 1, …, N -1或 X (k ) =00j 2j 1e 1e Nk N ωωπ⎛⎫- ⎪⎝⎭--，k = 0, 1, …, N -1(7) X (k ) =102cos N kn N n mn W N -=π⎛⎫ ⎪⎝⎭∑=2221j j j 01e e e 2N mn mn kn N N N n πππ---=⎛⎫ ⎪+ ⎪⎝⎭∑=21j ()01e 2N m k n N n π--=∑+21j ()01e 2N m k n N n π--+=∑=22j ()j ()22j ()j ()11e 1e 21e 1e m k N m k N N N m k m k N N ππ--+ππ--+⎡⎤--⎢⎥+⎢⎥⎢⎥--⎣⎦=,,20,,N k m k N mk m k N M ⎧==-⎪⎨⎪≠≠-⎩，0≤≤1k N - (8) ()22j j 21()sin ee 2j mn mnN N x n mn N ππ-π⎛⎫== ⎪-⎝⎭ ()()112222j j j ()j ()0011()=e e ee 2j 2j j ,2=j ,20,(0≤≤1)N N kn mn mn m k n m k n N N N N N n n X k W Nk m N k N mk k N --ππππ---+===--⎧-=⎪⎪⎨=-⎪⎪-⎪⎩∑∑其他(9) 解法① 直接计算χ(n ) =cos(0n ω)R N (n ) =00j j 1[e e ]2n n ωω-+R N (n )X (k ) =1()N knNn n W χ-=∑=0021j j j 01[e e ]e 2N kn n n N n ωωπ---=+∑=0000j j 22j j 11e 1e 21e 1e N N k k N N ωωωω-ππ⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎡⎤--⎢⎥+⎢⎥⎢⎥--⎣⎦，k = 0, 1, … , N -1 解法② 由DFT 共轭对称性可得同样的结果。

离散傅里叶变换及其快速算法离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT）是一种将离散信号转换为频域表示的数学工具。

它在信号处理、图像处理、通信等领域有广泛的应用。

而快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，FFT）是一种能够高效计算DFT的算法，大大减少了计算量。

首先，我们来看一下DFT的原理。

给定一个有限长度的离散信号序列x(n)，DFT将其转换为频谱X(k)，其中k为频率索引，取值范围为0到N-1，N为序列的长度。

DFT的定义公式如下：X(k) = Σ x(n) * exp(-j * 2π * nk / N)其中，exp为自然指数函数，j为虚数单位。

DFT将信号分解为了N个复数的和，这些复数代表了不同频率分量在信号中的贡献。

然而，直接计算DFT的时间复杂度非常高，为O(N^2)。

为了提高计算效率，Cooley和Tukey于1965年提出了FFT算法。

FFT算法基于以下性质：若N为2的整数次幂，则DFT可以被分解为两个较小长度的DFT的线性组合。

具体来说，将N个点的DFT拆分为长度为N/2的两个DFT，然后再对这两个子序列进行DFT，最后将两个子序列的结果组合起来。

这个过程可以递归地进行，直到序列长度为1，即可得到最终的DFT结果。

FFT算法的时间复杂度为O(NlogN)，远远小于直接计算DFT的复杂度。

这使得FFT成为了处理大规模数据的首选方法之一、此外，FFT还有其他一些优点，如可并行化计算、对称性质等。

FFT算法可以采用不同的实现方式，最著名的是基于蝶形运算的Cooley-Tukey算法。

这种实现方式将FFT过程分为了两个阶段：置换阶段和蝶形运算阶段。

置换阶段通过将信号重新排序，将原始序列分为奇偶两个子序列，并计算每个子序列的DFT。

这个过程可以递归地应用于子序列，直到长度为1蝶形运算阶段是FFT算法的核心部分。

蝶形运算是指将两个频域上的复数进行运算，得到新的复数。

第五章离散傅里叶变换及其快速算法 1离散傅里叶变换(DFT)的推导(1) 时域抽样：目的：解决信号的离散化问题。

效果：连续信号离散化使得信号的频谱被周期延拓。

⑵时域截断： 原因：工程上无法处理时间无限信号。

方法：通过窗函数(一般用矩形窗)对信号进行逐段截取。

结果：时域乘以矩形脉冲信号，频域相当于和抽样函数卷积。

(3)时域周期延拓：目的：要使频率离散，就要使时域变成周期信号。

方法：周期延拓中的搬移通过与 、：(t _nT s )的卷积来实现。

表示：延拓后的波形在数学上可表示为原始波形与冲激串序列的卷积。

结果：周期延拓后的周期函数具有离散谱。

经抽样、截断和延拓后，信号时域和频域都是离散、周期的。

过程见图抽样后0 fJif-用于截断原函数J L<Z 用于抽样i4LJI Ji WWtin1 f=1 ----------> --------------t-------------- ►fVtt截断后有卷积波纹i------------- ►t0 I------------------ rfJL 」L延拓后7角ii t飞7Vtfft \ \ t \ f定义DFT用于延拓「ITf处理后信号的连续时间傅里叶变换:I'U N *|nT sr 0 N图1 DFT 推导过程示意图〜 oo "N 4l ~(f)=£ IS h(nTs)ek =^O「j2 飞n/Nn=0-kf o )(i) l~(f)是离散函数，仅在离散频率点f二kf o k—处存在冲激，强度为a k,其T o NT s余各点为0。

〜N N 1(ii) H(f)是周期函数，周期为Nf o == 工，每个周期内有N个不同的幅值。

T o NT s T s(iii) 时域的离散时间间隔(或周期)与频域的周期(或离散间隔)互为倒数。

2 DFT及IDFT的定义DFT定义：设hnT s是连续函数h(t)的N个抽样值n=0,1,…,N J，这N个点的宽度为N 的DFT 为：DFT N h(nT s)]=^ h(nT s)e」2邢/N =H —— J (k =0,1,…，N _1)7 l NT s 丿IDFT定义：设H 上是连续频率函数H(f)的N个抽样值k =0,1，…，N J，这N个点(NT s 丿的宽度为N的IDFT为：DFT N1 H k丄7 H L e」2「nk/N厶nTs , (k =0,1,…，N —1)|L Ns N k 卫NT se^Rk/N称为N点DFT的变换核函数，e j2 flk/N称为N点IDFT的变换核函数。