离散傅里叶变换
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离散序列的傅里叶变换
离散序列的傅里叶变换离散序列的傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，简称DFT）是一种将离散序列从时域转换到频域的数学工具。
它在信号处理、图像处理、通信等领域扮演着重要角色。
本文将介绍离散序列的傅里叶变换的基本概念、性质以及在实际应用中的一些例子。
一、离散序列的傅里叶变换的基本概念离散序列的傅里叶变换是将一个离散序列转换为一系列复数的运算。
它的定义公式为：X(k) = Σx(n)e^(-j2πkn/N)其中，X(k)为频域上的复数序列，表示原始序列在频率为k的分量上的幅度和相位信息；x(n)为时域上的离散序列，表示原始序列在时间点n上的取值；N为序列的长度；e为自然对数的底数，j为虚数单位。
二、离散序列的傅里叶变换的性质离散序列的傅里叶变换具有一些重要的性质，包括线性性、平移性、对称性等。
1. 线性性：对于离散序列x(n)和y(n)，以及任意常数a和b，有DFT(ax(n) + by(n)) = aDFT(x(n)) + bDFT(y(n))。
2. 平移性：如果将离散序列x(n)平移m个单位，则其傅里叶变换为X(k)e^(-j2πkm/N)。
3. 对称性：如果离散序列x(n)是实数序列且长度为N，则其傅里叶变换满足X(k) = X(N-k)。
三、离散序列的傅里叶变换的应用举例离散序列的傅里叶变换在实际应用中有着广泛的应用。
以下是几个常见的例子：1. 信号处理：在音乐、语音、图像等信号处理领域，离散序列的傅里叶变换可以用来分析信号的频谱特性，包括频率成分、能量分布等。
通过傅里叶变换，我们可以将时域上的信号转换为频域上的信号，从而更好地理解信号的特征。
2. 图像处理：在图像处理中，离散序列的傅里叶变换可以用来进行图像的滤波、增强、压缩等操作。
通过将图像转换到频域上，我们可以对不同频率分量进行处理，从而实现对图像的各种操作。
3. 通信系统：在通信系统中，离散序列的傅里叶变换可以用来实现信号的调制、解调、滤波等功能。
离散数学中的离散变换和傅里叶变换
离散数学是数学中的一个分支，其研究对象是离散的数学结构和离散的数学对象。
离散数学在计算机科学、电子工程和通信工程等领域中有着广泛的应用。
在离散数学中，离散变换和傅里叶变换是两个重要的概念。
离散变换是一种将离散的数据序列转化为另一种形式的方法。
在离散数学中，我们常常需要对一组数进行处理和分析，离散变换可以帮助我们更好地理解和处理这些数。
离散变换的一个重要应用是图像处理。
在图像处理中，我们经常需要对图像进行分析和处理，离散变换可以将图像的像素转化为频域上的表示，从而更好地理解图像的特征和结构。
在离散变换中，傅里叶变换是一种重要的变换方法。
傅里叶变换是将一个连续函数表示为一系列正弦和余弦函数的和的方法。
在离散数学中，我们常常需要对离散的数据进行傅里叶变换。
离散傅里叶变换（DFT）是一种将离散序列转化为频域上的表示的方法。
离散傅里叶变换在信号处理和通信领域中有着广泛的应用。
离散傅里叶变换有很多重要的性质和定理。
其中一个重要的定理是离散傅里叶变换的逆变换定理。
根据逆变换定理，离散傅里叶变换的逆变换可以表示为原始离散序列的线性组合。
这个定理在恢复原始信号时是非常有用的。
除了离散傅里叶变换，还有许多其他的离散变换方法。
例如，离散余弦变换（DCT）是一种将离散序列转化为频域上的表示的方法。
离散余弦变换在图像和视频压缩中有着广泛的应用。
另外，离散小波变换（DWT）是一种将离散序列转化为时域上的多尺度表示的方法。
离散小波变换在图像和信号处理中也有着广泛的应用。
总的来说，离散变换和傅里叶变换是离散数学中重要的概念和方法。
离散变换可以帮助我们更好地理解和处理离散数据，傅里叶变换则可以将离散序列转化为频域上的表示。
离散傅里叶变换在信号处理和通信领域中有着广泛的应用，而离散余弦变换和离散小波变换则在图像和视频处理中起着重要的作用。
离散数学中的离散变换和傅里叶变换是我们在处理和分析离散数据时常用的工具。
通过学习离散变换和傅里叶变换，我们可以更好地理解和处理数据，同时也可以为实际应用提供有力支持。
dft变换,z变换,离散傅里叶三者变换关系
dft变换,z变换，离散傅里叶三者变换关系离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，简称DFT）和z变换是两种常用的信号分析方法，它们与连续时间傅里叶变换（Continuous Fourier Transform）之间存在一定的关系。
首先，我们来介绍一下傅里叶变换、离散傅里叶变换和z变换的基本概念。
傅里叶变换是一种将时域信号转换为频域信号的数学变换，可以将一个周期信号或者非周期信号分解成一系列正弦波的叠加。
在周期信号的情况下，傅里叶变换将信号分解为一系列正弦和余弦波的频谱，其频率成分对应于信号中的频率成分。
离散傅里叶变换是一种将离散信号转换为频域信号的数学变换。
对于离散信号x[n]，其离散傅里叶变换X[k]可以通过以下公式计算：X[k] = Σ（n=0 to N-1）x[n] * exp(-j * 2 * π * k * n / N)其中，N表示离散信号的长度，k表示频域的索引。
与此对应，离散傅里叶逆变换（IDFT）则将频域信号恢复为时域信号。
IDFT的公式为：x[n] = (1/N) * Σ（k=0 to N-1）X[k] * exp(j * 2 * π * k * n / N)z变换是一种常见的离散时间系统分析方法，它将离散时间信号转换为复频域上的函数。
对于离散信号x[n]，其z变换X(z)可以通过以下公式计算：X(z) = Σ（n=-∞ to ∞）x[n] * z^(-n)其中，z是一个复变量，z^(-n)表示z的倒数的幂。
与此对应，逆z变换则将复频域上的函数恢复为离散时间信号。
逆z变换的公式为：x[n] = 1/(2 * πj) * ∫（C）X(z) * z^(n-1) dz其中，C表示z变换的积分路径。
虽然DFT和z变换看起来很相似，但它们在应用和性质上有所不同。
DFT是一种将离散信号转换为频域信号的变换方法，是实际中应用最为广泛的一种频谱分析方法。
由于计算公式中包含了离散加权和求和的操作，因此它适用于离散信号的频谱分析和频域处理。
离散傅里叶变换(DFT)
倒相序列。注意，如果x(n)的长度M<L，则需要在x(n)末
尾补L－M
（2） 第1行以后的各行均是前一行向右循环移1位
（3） 矩阵的各主对角线上的序列值均相等。
y(0)c x(0) x(L1) x(L2)
y(1)c
x(1)
x(0) x(L1)
y(2)c
＝ x(2)
x(1)
x(0)
y(L1)c x(L1) x(L2) x(L3)
m0
n'm
精选课件
N1
N1
X(k) x1(m)WN km x2(n')WN kn '
m0
n'0
X1(k)X2(k)， 0kN1
由于 X ( k ) D F T [ x ( n ) ] X 1 ( k ) X 2 ( k ) X 2 ( k ) X 1 ( k )， 因此
x (n ) ID F T [X (k)] x 1 (n ) x2(n)x2(n) x 1 ( n )
精选课件
若 则
且
D[F x(n)T ]X (k) D [ x ( F n (m T )N R )N ( n ) ] W N m X ( k k ) ID [X (k F ( l)T N ) R N ( k ) ] W N n x ( ln )
证明：
N 1
N 1
Y ( k ) D F T [ y ( n ) ] N x ( ( n m ) ) N R N ( n ) W N k n x ( ( n m ) ) N W N k n
m0
（3.2.5）
yc(n)=h(n) x(n)
L称为循环卷积区间长度，L≥max［N，M］。
精选课件
尾补L－M
（2） 第1行以后的各行均是前一行向右循环移1位
（3） 矩阵的各主对角线上的序列值均相等。
y(0)c x(0) x(L1) x(L2)
y(1)c
x(1)
x(0) x(L1)
y(2)c
＝ x(2)
x(1)
x(0)
y(L1)c x(L1) x(L2) x(L3)
m0
n'm
精选课件
N1
N1
X(k) x1(m)WN km x2(n')WN kn '
m0
n'0
X1(k)X2(k)， 0kN1
由于 X ( k ) D F T [ x ( n ) ] X 1 ( k ) X 2 ( k ) X 2 ( k ) X 1 ( k )， 因此
x (n ) ID F T [X (k)] x 1 (n ) x2(n)x2(n) x 1 ( n )
精选课件
若 则
且
D[F x(n)T ]X (k) D [ x ( F n (m T )N R )N ( n ) ] W N m X ( k k ) ID [X (k F ( l)T N ) R N ( k ) ] W N n x ( ln )
证明：
N 1
N 1
Y ( k ) D F T [ y ( n ) ] N x ( ( n m ) ) N R N ( n ) W N k n x ( ( n m ) ) N W N k n
m0
（3.2.5）
yc(n)=h(n) x(n)
L称为循环卷积区间长度，L≥max［N，M］。
精选课件
离散时间序列的傅里叶变换
离散时间序列 的傅里叶变换
傅里叶变换： 傅里叶反变换：
F ( j ) f ( t )e jt dt
1 f (t ) 2
F ( j )e jt d
一、离散序列傅里叶变换DTFT公式
F (e j ) F ( z )
T
z e jT
F (e j )
围内。
四、几种特殊的离散时间系统：
低通、高通、带通、带阻
全通系统
最小相位系统 最小相位系统：极零点全部在单位圆内。
全通
1) m=n;
2)
H (e j ) H 0 H ( z) |z 1
全通系统：对任意频率的离散正弦时间信号都有相同的幅
频响应，除了在z=0处的极点外，其余的极点和零点关于单
r (k )
i
k i k h ( i )( 1 ) ( 1 )
i
( 1) k H ( z ) z 1
H(-1)=32/3
32 r (k ) ( 1) k 3
k
作业：8.17 (2) , (3);
8.18(1)(5)
解：
F (e )
j
k
R
N
(k )e
j k
e jk
k 0
N 1
1 e 1 e j
j N
N sin j N 1 2 e 2 sin 2
| F (e j ) | e j ( )
|F(e j)| 幅频特性曲线 ()相频特性曲线
位圆镜像对称（即两者相角相等，幅度互为倒数, 或 zi
1 pi*
）
傅里叶变换： 傅里叶反变换：
F ( j ) f ( t )e jt dt
1 f (t ) 2
F ( j )e jt d
一、离散序列傅里叶变换DTFT公式
F (e j ) F ( z )
T
z e jT
F (e j )
围内。
四、几种特殊的离散时间系统：
低通、高通、带通、带阻
全通系统
最小相位系统 最小相位系统：极零点全部在单位圆内。
全通
1) m=n;
2)
H (e j ) H 0 H ( z) |z 1
全通系统：对任意频率的离散正弦时间信号都有相同的幅
频响应，除了在z=0处的极点外，其余的极点和零点关于单
r (k )
i
k i k h ( i )( 1 ) ( 1 )
i
( 1) k H ( z ) z 1
H(-1)=32/3
32 r (k ) ( 1) k 3
k
作业：8.17 (2) , (3);
8.18(1)(5)
解：
F (e )
j
k
R
N
(k )e
j k
e jk
k 0
N 1
1 e 1 e j
j N
N sin j N 1 2 e 2 sin 2
| F (e j ) | e j ( )
|F(e j)| 幅频特性曲线 ()相频特性曲线
位圆镜像对称（即两者相角相等，幅度互为倒数, 或 zi
1 pi*
）
常见序列的离散傅里叶变换
常见序列的离散傅里叶变换
离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，简称DFT）是一种将时域信号转换为频域信号的数学技术，常见于信号处理、图像处理、音频处理等领域。
它可以将一个序列分解为多个正弦和余弦波的叠加，从而提供一种在频域上分析信号的方法。
在实际应用中，离散傅里叶变换通常使用快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，简称FFT）算法进行计算，该算法是一种高效、快速计算离散傅里叶变换的方法。
FFT算法的提出，使DFT在工程、科学和数学领域得到了更加广泛的应用，被IEEE科学与工程计算期刊评选为20世纪十大算法之一。
在离散傅里叶变换中，一个序列的频域表示可以通过将序列与一个正弦和余弦基函数进行卷积运算得到。
具体来说，设一个长度为N 的序列x(n)，则其离散傅里叶变换X(k)可以通过以下公式计算：X(k) =Σ[x(n) * e^(-j*2*pi*k*n/N)]，其中j为虚数单位，k为频率索引，取值范围为0到N-1。
在计算离散傅里叶变换时，通常需要考虑序列的周期性和对称性，以便在频域表示中减少不必要的重复计算。
例如，在实际应用中，常采用对序列进行窗函数处理的方法，以减少频谱泄漏和旁瓣干扰。
此外，为了提高计算效率，还可以使用分治算法、矩阵运算等方法进行快速傅里叶变换。
离散序列的傅里叶变换
离散序列的傅里叶变换人类的日常生活中充满了各种各样的信号，比如声音、图像、电压等。
为了更好地理解和处理这些信号，我们需要使用一种数学工具来对其进行分析和处理。
傅里叶变换便是一种常用的工具，能够将信号从时域转换到频域，使我们能够更好地理解信号的频率成分。
在离散序列中，我们同样可以使用傅里叶变换来对信号进行处理。
离散序列是指在一定的时间间隔内，对信号进行采样得到的序列。
傅里叶变换的目的是将这个序列从时域转换到频域，以便我们可以更好地分析信号的频率成分。
离散序列的傅里叶变换是指对离散序列进行傅里叶变换的过程。
在离散序列中，我们可以使用离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform, DFT）来进行变换。
离散傅里叶变换是一种将离散序列从时域转换到频域的数学工具，它能够将一个N点的离散序列变换为一个N点的频域序列。
离散傅里叶变换的计算过程可以通过离散傅里叶变换公式来表示，但为了遵守本文的要求，我们不会在文章中插入任何数学公式。
简单来说，离散傅里叶变换将离散序列分解为一系列正弦和余弦函数的和，每个正弦和余弦函数都对应着一个频率成分。
通过计算这些正弦和余弦函数的振幅和相位，我们可以得到信号在不同频率下的幅度和相位信息。
离散傅里叶变换在信号处理中有着广泛的应用。
例如，在音频处理中，我们可以使用离散傅里叶变换来对音频信号进行频谱分析，以便分析音频信号的频率成分。
在图像处理中，我们可以使用离散傅里叶变换来对图像进行频域滤波，以便去除图像中的噪声或增强图像的某些频率成分。
除了离散傅里叶变换，还有一种更高效的算法，称为快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform, FFT）。
快速傅里叶变换是一种基于分治法的算法，能够在O(NlogN)的时间复杂度下计算离散傅里叶变换。
这使得离散傅里叶变换在实际应用中更加高效和可行。
尽管离散傅里叶变换在信号处理中有着广泛的应用，但它也有一些限制。
首先，离散傅里叶变换要求信号是周期性的，即信号在采样窗口内是重复的。
数字信号处理之离散傅里叶变换
共轭对称性
对于实数输入信号，DFT 的结果X[k]满足共轭对称 性，即X[-k] = X[k]*。
离散傅里叶变换的矩阵表示
DFT可以表示为一个矩阵运算， 即X = W * x，其中X是DFT的输 出，x是输入信号，W是DFT的
权重矩阵。
权重矩阵W是一个复数矩阵，具 有特殊的结构，可以通过快速傅 里叶变换（FFT）算法进行高效
03
其他信号处理方法还包括短时 傅里叶变换、Wigner-Ville分 布等，可根据具体应用场景选 择合适的信号处理方法。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 06
结论
离散傅里叶变换的重要性和应用价值
离散傅里叶变换（DFT）是数字信号处理领域 中的重要工具，它能够将信号从时域转换到频 域，从而揭示信号的频率成分和特征。
DFT在通信、雷达、声呐、图像处理、语音识 别等领域有着广泛的应用，是实现信号分析和 处理的关键技术之一。
图像压缩
通过对图像进行DFT变换，将图像从空间域变换到频域，可以提取出图像的主要频率成分 ，从而实现图像压缩。常见的图像压缩算法有JPEG和JPEG2000等。
05
离散傅里叶变换的局限性和改进方法
离散傅里叶变换的局限性
计算量大
离散傅里叶变换需要进行大量复杂的复数运算，对于大数据量信 号处理效率较低。
方式。
离散傅里叶变换的编程实现
01
编程语言如Python、C等提供了离散傅里叶变换的库函数，可 以直接调用进行计算。
02
编程实现时需要注意数据的输入输出、内存管理、异常处理等
问题，以保证程序的正确性和稳定性。
编程实现离散傅里叶变换时，可以根据实际需求选择不同的库
03
函数和算法，以达到最优的计算效果。
离散傅里叶变换和连续傅立叶变换区别
离散傅里叶变换和连续傅立叶变换区别
1离散傅里叶变换和连续傅立叶变换
傅立叶变换是将时域信号转换为频域信号的数学表示形式。
可以分为两种：离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT）和连续傅立叶变换（Continuous Fourier Transform，CFT）。
2离散傅里叶变换
DFT是将有限长度、离散的时域信号转换为周期的、离散的频域信号的变换，是一种线性变换。
它可以把时间域函数转换成复数振幅向量，其实质是帮助我们分析出一个定义在时域上的信号，在频域上共振的频率以及强度。
3连续傅立叶变换
CFT是指在时域上连续的信号，可以用有限的截断长度时域信号来接近，但真正的从时域上转换到频域上的操作却是不断时域信号的算法。
CFT是一种线性变换，它可以将函数表示为频谱（实数功率谱和虚数相干谱）的线性组合。
4区别
1.离散傅里叶变换是有限长度时域信号的变换，连续傅立叶变换是无限长度时域信号的变换。
2.离散傅里叶变换可把时间域函数转换成复数振幅向量，而连续傅立叶变换可把时域函数表示为频谱的线性组合。
3.离散傅里叶变换是线性变换，而连续傅立叶变换可以分为线性变换和非线性变换两种。
4.离散傅里叶变换转换后的信号是周期的，而连续傅立叶变换所转换出来的信号不一定是周期的。
从上面可以看出，离散傅里叶变换和连续傅立叶变换各有优势，在不同领域都有其不同的应用，在信号处理中得到了广泛的运用。
离散傅里叶变换 卷积定理 矩阵乘法
一、离散傅里叶变换离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT）是信号处理中常用的一种变换方法。
它将离散时域信号转换为频域信号，可以对信号进行频谱分析和滤波处理。
离散傅里叶变换的定义如下：$f_k = \sum_{n=0}^{N-1} x_n e^{-\frac{2\pi i}{N}kn}$其中，$x_n$表示输入的离散信号，$k$表示频率索引，$f_k$表示变换后的频域信号。
离散傅里叶变换可以通过快速傅里叶变换算法（Fast Fourier Transform，FFT）高效地计算，是数字信号处理中的重要工具之一。
二、卷积定理卷积定理是信号处理中的重要定理之一，它描述了两个信号在频域进行卷积操作等效于它们在时域进行乘法操作。
具体来说，如果有两个信号$f(x)$和$g(x)$，它们的傅里叶变换分别为$F(\omega)$和$G(\omega)$，那么它们在时域的卷积$f(x)*g(x)$的傅里叶变换等于$F(\omega)G(\omega)$。
卷积定理在信号处理中有着广泛的应用，例如可以用于滤波器的设计和信号的频域分析等。
利用卷积定理，可以将信号的卷积操作转换为频域的乘法操作，从而简化了信号处理的复杂度。
三、矩阵乘法矩阵乘法是线性代数中的重要概念，它描述了两个矩阵相乘得到的新矩阵。
具体来说，如果有两个矩阵$A$和$B$，它们的大小分别为$m\times n$和$n\times p$，那么它们的矩阵乘法$C=AB$的定义如下：$c_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik}b_{kj}$其中，$c_{ij}$表示矩阵$C$的第$i$行第$j$列的元素，$a_{ik}$和$b_{kj}$分别表示矩阵$A$和$B$的元素。
矩阵乘法在计算机图形学、优化算法等领域有着广泛的应用，例如矩阵变换、神经网络的前向传播等。
通过高效的矩阵乘法算法（如Strassen算法、Coppersmith-Winograd算法等），可以加速复杂计算的进行。
第3章--离散傅里叶变换(DFT)
设x(n)是一种长度为M旳有限长序列， 则定义x(n)旳N点
离散傅里叶正变换为
N 1
j 2 nk
X (k ) DFT[x(n)] x(n)e N
N 1
x(n)WNnk
n0
n0
离散傅里叶逆变换为
离散傅里叶变换对
x(n)
IDFT[ X (k )]
1 N
N 1
j 2 nk
X (k )e N
3.2 离散傅里叶变换旳基本性质
1 线性性质 假如x1(n)和x2(n)是两个有限长序列，长度分别为N1和N2。 y(n)=ax1(n)+bx2(n) 式中a、 b为常数， 即N=max［N1, N2］，
则y(n)旳N点DFT为 Y(k)=DFT［y(n)］=aX1(k)+bX2［k］, 0≤k≤N-1(3.2.1) 其中X1(k)和X2(k)分别为x1(n)和x2(n)旳N点DFT。 若N1<N2，则N=N2,那么需将x1(n)补上N2-N1个零值点后变
k 2 k f f s k
N
N
以上所讨论旳三种频率变量之间旳关系，在对模 拟信号进行数字处理以及利用模拟滤波器设计数 字滤波器乃至整个数字信号处理中十分主要，望 同学们高度注重。
第三章 离散傅里叶变换DFT
3.1.2 DFT旳隐含周期性------ DFT与 DFS旳关系
DFT变换对中，x(n)与X(k)均为有限长序列,但因为WknN旳周
第三章 离散傅里叶变换DFT
例2 ： x(n) R8 (n)，分别计算x(n)旳8点、16点DFT。
解: x(n)旳8点DFT为
X (k)
7 n0
R8 (n)W8k n
7 j2k n
离散傅里叶变换表
离散傅里叶变换表一、引言1.1 背景傅里叶变换是离散信号处理中一项重要的数学工具。
通过将信号分解为一组基本频率分量，傅里叶变换能够帮助我们理解信号的频谱性质以及对信号进行频域处理。
离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT）是傅里叶变换在离散时序信号处理中的一种形式。
为了方便使用离散傅里叶变换，我们可以借助离散傅里叶变换表来进行相关计算。
1.2 目的本文旨在深入探讨离散傅里叶变换表的相关概念、原理及使用方法，帮助读者更好地理解和应用离散傅里叶变换。
二、离散傅里叶变换表的概念2.1 定义离散傅里叶变换表是一种用于记录离散信号傅里叶变换结果的表格。
表中的每个元素都代表了输入信号在不同频率下的幅度和相位信息。
离散傅里叶变换表通过提供离散信号的频谱信息，帮助我们理解信号的频域特征。
2.2 数据结构离散傅里叶变换表通常采用二维数组来表示。
其中，行代表频率，列代表离散信号序列的元素位置。
表中的每个元素都是一个复数，包含了频域幅度和相位信息。
通过查找表中的元素，我们可以得到离散信号在不同频率下的频谱表示。
三、离散傅里叶变换表的原理3.1 傅里叶变换公式离散傅里叶变换是由连续傅里叶变换演化而来的，它将连续信号的傅里叶变换拓展到了离散信号上。
离散傅里叶变换公式如下：其中，N代表离散信号长度，x[n]表示离散信号序列，X[k]表示离散信号的频域表示。
3.2 离散傅里叶变换表的生成方法离散傅里叶变换表可以通过计算离散信号在不同频率下的傅里叶变换结果得到。
常用的生成方法是使用快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，FFT）算法，该算法通过有效的计算方法减少了计算复杂度，提高了计算效率。
通过FFT算法，我们可以快速生成离散傅里叶变换表。
四、离散傅里叶变换表的使用方法4.1 查找频域信息离散傅里叶变换表中的元素代表了离散信号在不同频率下的频谱信息。
通过查找表中的元素，我们可以获取信号在某一频率下的幅度和相位信息。
《离散傅里叶变换》课件
$X[k] = sum_{n=0}^{N-1} x[n] W_N^{kn}$
其中，$W_N = e^{-frac{2pi i}{N}}$是复数单位根。
DFT的性质
• 线性性质：若$a[n]$和$b[n]$是两个离散信号，且$c[n] = a[n] + b[n]$，则其DFT满足
DFT的性质
$C[k] = A[k] + B[k]$
直接计算法
定义
直接计算法是离散傅里叶变换 （DFT）最基础的方法，通过 直接计算得出信号的频域表示
。
过程
对给定的有限长度序列，通过 逐个计算每个复数乘积，得到 DFT的结果。
优点
简单易懂，易于理解。
缺点
计算量大，效率低，不适合处 理大规模数据。
快速傅里叶变换（FFT）算法
定义
过程
快速傅里叶变换（FFT）是一种高效的计算 DFT的算法，通过减少冗余计算，显著降低 了DFT的计算复杂度。
周期性：对于长度为N的信号，其DFT具有周期性，即
DFT的性质
$X[k+N] = X[k]$
共轭对称性：对于长度为N的实数信号，其DFT具有共轭对称性，即
DFT的性质
$X[-k] = X[k]^*$ Parseval恒等式：对于任何离散信号x[n]，其DFT满足
$sum_{n=0}^{N-1} |x[n]|^2 = frac{N}{2pi} sum_{k=0}^{N-1} |X[k]|^2$
频率提取
通过DFT，可以从复杂的信号中 提取特定的频率分量，用于信号 识别和特征提取。
信号处理
滤波
利用DFT，可以对信号进行滤波，去 除噪声或增强特定频率的信号。
调制与解调
其中，$W_N = e^{-frac{2pi i}{N}}$是复数单位根。
DFT的性质
• 线性性质：若$a[n]$和$b[n]$是两个离散信号，且$c[n] = a[n] + b[n]$，则其DFT满足
DFT的性质
$C[k] = A[k] + B[k]$
直接计算法
定义
直接计算法是离散傅里叶变换 （DFT）最基础的方法，通过 直接计算得出信号的频域表示
。
过程
对给定的有限长度序列，通过 逐个计算每个复数乘积，得到 DFT的结果。
优点
简单易懂，易于理解。
缺点
计算量大，效率低，不适合处 理大规模数据。
快速傅里叶变换（FFT）算法
定义
过程
快速傅里叶变换（FFT）是一种高效的计算 DFT的算法，通过减少冗余计算，显著降低 了DFT的计算复杂度。
周期性：对于长度为N的信号，其DFT具有周期性，即
DFT的性质
$X[k+N] = X[k]$
共轭对称性：对于长度为N的实数信号，其DFT具有共轭对称性，即
DFT的性质
$X[-k] = X[k]^*$ Parseval恒等式：对于任何离散信号x[n]，其DFT满足
$sum_{n=0}^{N-1} |x[n]|^2 = frac{N}{2pi} sum_{k=0}^{N-1} |X[k]|^2$
频率提取
通过DFT，可以从复杂的信号中 提取特定的频率分量，用于信号 识别和特征提取。
信号处理
滤波
利用DFT，可以对信号进行滤波，去 除噪声或增强特定频率的信号。
调制与解调
离散傅里叶变换(DFT)
k=floor((-Nw/2+0.5):(Nw/2+0.5)); %建立关于纵轴对称的频率相量
for r=0:3;
K=3*r+1;
% 1,4,7,10
nx=0:(K*Nx-1); x=xn(mod(nx,Nx)+1);
%周期延拓后的时间向量 %周期延拓后的时间信号x
Xk=x*(exp(-j*dw*nx'*k))/K; %DFS
0
DFT的提出：
离散傅里叶变换不仅具有明确的物理意义，相对于DTFT， 它更便于用计算机处理。但是，直至上个世纪六十年代，由 于数字计算机的处理速度较低以及离散傅里叶变换的计算量 较大，离散傅里叶变换长期得不到真正的应用，快速离散傅 里叶变换算法的提出，才得以显现出离散傅里叶变换的强大 功能，并被广泛地应用于各种数字信号处理系统中。近年来， 计算机的处理速率有了惊人的发展，同时在数字信号处理领 域出现了许多新的方法，但在许多应用中始终无法替代离散 傅里叶变换及其快速算法。
X (e j ) x(n)e jn n
x(n) 1 X (e j )e jnd
2
其中ω为数字角频率，单位为弧度。 注意：非周期序列，包含了各种频率的信号。
局限性：离散时间傅里叶变换（DTFT）是特殊的Z变换，在数学和信号分 析中具有重要的理论意义。但在用计算机实现运算方面比较困难。这是因为， 在DTFT的变换对中，离散时间序列在时间n上是离散的，但其频谱在数字角
§1、傅里叶级数
周期为N的序列 ~x(n) ~x(n rN), (r为整数)
j( 2 )n
基频序列为 e1(n) e N
k次谐波序列为
ek (n)
j( 2 )nk
e N
离散傅里叶变换
N 1
0 k N -1X ( jkF) T
j2 kn N1
xa(nT )e NXa(jkF) Txa(nT)ej2kFnT, 0kN-1
n0
n0
n0
n0
▪ 令X(jkF)=Xa(k)，xa(nT)=x(n)，代入得
N 1
2kn j
X a ( k ) T x( n ) e N T DFT[x(n)], 0 k N - 1
X ( e jw
)
FT [ ~x( n )]
2
N 1
X~
(
k
)( w
2
k
)
N n0
N
X~( k
)
DFS [
x( n )]
N 1
~x (
n
)e
j
2
N
kn
,
k (-, )且为整数
n 0
若x(n) ~x(n) RN (n), X(k) DFT[x(n)] X~(k) • RN (k)
▪
X~(k)DFS[x(n)]N1x~(n)ej2Nkn, k(-,)且为整数
M 1
X M (k ) DFT [ xM (n)]
n0
m ( N 1)
n0
~
2 kn
x(n)e mN
~
2 kn
x(n)e M
k 0,1, , mN 1
分析:
(1)只有在k=rm时，XM(rm)=m
~
X(r)
，表达
~x
(n)旳r次谐波
谱线，幅度扩大了m倍，在其他k值， XM(k)＝0。
ha (t)
sin( t) t
用DFT来分析ha(t)旳频率响应特征。
离散傅里叶变换
➢ n为时域变量，k为频域变量。 ➢ DFT的物理意义：序列x(n)的Z变换在ห้องสมุดไป่ตู้位圆上的等角距取
样。序列傅里叶变换在区间[0,2π]上的等间隔取样。 ➢ 离散傅里叶变换(DFT)具有唯一性。 ➢ 离散傅里叶变换与离散傅里叶级数没有本质区别，DFT实
际上是离散傅里叶级数的主值，DFT也隐含有周期性。
3.2 离散傅里叶变换的性质
离散傅里叶变换
Discrete Fourier Transform
内容提要
离散傅里叶变换 (Discrete Fourier Transform，DFT)是时间 函数是离散的，而且频谱函数也是离散的变换。
➢ 离散傅里叶变换定义 ➢ DFT物理意义 ➢ DFT基本性质 ➢ 讨论频率取样理论。 ➢ DFT的应用
x(n)W8kn
j 2 kn
e8
n0
N 0
e
j 3k 8
sin(
2
sin(
k) k)
,k
0,1, , 7
8
3.1.2 DFT与FT、Z变换的关系
对长度为M的序列x(n)，其Z变换
N点DFT
进行对比，可以看出
X k X e j 2 k, k 0 ,1 ,L ,N 1 N
式中，
表示z平面单位圆上辐角
x(n)=xep(n)+xop(n) 根据复共轭序列的DFT可得
D F T xepn 1 2D F T xnxN n 1 2 X kX k R e X k D F T xo pn 1 2D F T xnxN n 1 2 X kX k jIm X (k)
因此
X k = D F T x n D F T x e p n x o p n X R k j X I k
样。序列傅里叶变换在区间[0,2π]上的等间隔取样。 ➢ 离散傅里叶变换(DFT)具有唯一性。 ➢ 离散傅里叶变换与离散傅里叶级数没有本质区别，DFT实
际上是离散傅里叶级数的主值，DFT也隐含有周期性。
3.2 离散傅里叶变换的性质
离散傅里叶变换
Discrete Fourier Transform
内容提要
离散傅里叶变换 (Discrete Fourier Transform，DFT)是时间 函数是离散的，而且频谱函数也是离散的变换。
➢ 离散傅里叶变换定义 ➢ DFT物理意义 ➢ DFT基本性质 ➢ 讨论频率取样理论。 ➢ DFT的应用
x(n)W8kn
j 2 kn
e8
n0
N 0
e
j 3k 8
sin(
2
sin(
k) k)
,k
0,1, , 7
8
3.1.2 DFT与FT、Z变换的关系
对长度为M的序列x(n)，其Z变换
N点DFT
进行对比，可以看出
X k X e j 2 k, k 0 ,1 ,L ,N 1 N
式中，
表示z平面单位圆上辐角
x(n)=xep(n)+xop(n) 根据复共轭序列的DFT可得
D F T xepn 1 2D F T xnxN n 1 2 X kX k R e X k D F T xo pn 1 2D F T xnxN n 1 2 X kX k jIm X (k)
因此
X k = D F T x n D F T x e p n x o p n X R k j X I k
常见傅里叶变换公式
常见傅里叶变换公式
1. 傅里叶级数公式:
设函数 f(t) 周期为 T，可以表示为以下和式：
f(t) = a0 + ∑ [an*cos(nωt) + bn*sin(nωt)]
其中, ω = 2π/T，an 和 bn 是函数 f(t) 的傅里叶系数。
2. 离散傅里叶变换 (DFT) 公式:
函数 f(n) 可以通过以下公式表示为频域的离散复数表示：
F(k) = ∑ [f(n) * exp(-2πikn/N)]
F(k) 表示频域的复数系数，N 是离散样本的总数，k 表示频域的离散频率。
3. 反离散傅里叶变换 (IDFT) 公式:
若已知频域复数系数 F(k)，则原函数 f(n) 可以通过以下公式还原：
f(n) = (1/N) * ∑ [F(k) * exp(2πikn/N)]
N 表示离散样本的总数，n 表示时域的离散时间。
注意：上述公式描述了常见的傅里叶变换和反变换的原理，但并未提及具体的数学表达式符号。
离散傅里叶变换和傅里叶变换
离散傅里叶变换和傅里叶变换离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform, DFT）和傅里叶变换（Fourier Transform）是信号处理和频谱分析中非常重要的概念。
它们可以帮助我们理解信号的频率成分，对信号进行频域分析，以及在数字信号处理中起到了非常重要的作用。
本篇文章将从简单到复杂，从浅入深地介绍离散傅里叶变换和傅里叶变换的概念和应用，帮助大家更深入地理解这两个概念。
一、离散傅里叶变换1. 概念概述离散傅里叶变换是傅里叶变换在离散域上的表示。
它将一个离散的信号转化为一组离散的频谱成分，用于分析信号的频域特性。
在许多数字信号处理的应用中，离散傅里叶变换被广泛应用，比如音频分析、图像处理等领域。
2. 计算公式离散傅里叶变换的计算公式可以表示为：$X_k = \sum_{n=0}^{N-1} x_n \cdot e^{\frac{-j2\pi kn}{N}}$其中，$X_k$表示频谱分量，$x_n$表示输入信号的离散样本，而$e^{\frac{-j2\pi kn}{N}}$则是复指数函数。
3. 应用场景离散傅里叶变换在数字信号处理中有着广泛的应用，包括语音处理、图像处理、通信系统等。
它可以帮助我们分析信号的频谱特性，对信号进行压缩、滤波等操作。
二、傅里叶变换1. 概念概述傅里叶变换是一种数学变换，将一个时域上的信号转化为频域上的表示。
通过傅里叶变换，我们可以将信号分解为不同频率成分，从而更好地理解信号的频谱特性。
2. 计算公式傅里叶变换的计算公式可以表示为：$X(f) = \int_{-\infty}^{\infty}x(t) \cdot e^{-j2\pi ft} dt$其中，$X(f)$表示频谱成分，$x(t)$表示输入信号，而$e^{-j2\pi ft}$则是复指数函数。
3. 应用场景傅里叶变换在信号处理、通信系统、图像处理等领域都有着非常重要的应用。
它可以帮助我们分析信号的频谱特性，进行滤波、压缩等操作，同时也在图像处理中起到了重要作用。
离散傅里叶变换的结果
离散傅里叶变换的结果离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT）是数字信号处理中常用的一种变换方法，它将时域上的离散信号转换到频域上，得到一组复数序列作为结果。
在实际应用中，离散傅里叶变换的结果可以用于信号的频谱分析、滤波、压缩等方面。
离散傅里叶变换的结果包括频率和振幅两个方面。
频率表示信号中各个频率分量的大小和位置，振幅表示各个频率分量的强度。
离散傅里叶变换的结果中包含了原始信号的所有频率分量。
通过对离散傅里叶变换的结果进行分析，可以得到信号中各个频率分量的大小和位置。
这对于信号的频谱分析非常重要，可以帮助我们了解信号的特性和结构。
例如，在音频处理中，我们可以通过对音频信号进行离散傅里叶变换，得到频率和振幅信息，从而判断音频信号中是否存在噪声或失真等问题。
离散傅里叶变换的结果中还包含了各个频率分量的强度信息。
通过分析振幅信息，可以得到信号中各个频率分量的相对强度，从而可以进行滤波或压缩等处理。
例如，在图像压缩中，我们可以通过对图像信号进行离散傅里叶变换，得到频率和振幅信息，从而可以将低频分量和高频分量分别进行压缩和保留，从而实现图像压缩的目的。
离散傅里叶变换的结果还可以用于信号的滤波。
通过对离散傅里叶变换的结果进行处理，可以滤除信号中某些频率分量，从而实现信号的滤波。
例如，在语音信号处理中，我们可以通过对语音信号进行离散傅里叶变换，得到频率和振幅信息，从而可以滤除噪声等干扰信号。
离散傅里叶变换的结果可以用于数字信号处理中的多个方面，包括频谱分析、滤波、压缩等。
通过对离散傅里叶变换的结果进行分析和处理，可以帮助我们更好地理解信号的特性和结构，从而实现更好的信号处理效果。
离散信号傅里叶变换
离散信号傅里叶变换
离散信号傅里叶变换是一种将离散信号表示为复数振幅和相位
的方法。
它可以通过将离散信号转化为频域信号来分析信号的频率特征。
离散信号傅里叶变换在数字信号处理中具有广泛的应用，如音频、图像和视频处理等领域。
通过离散信号傅里叶变换，可以将信号分解为不同频率的成分，并且可以在频域对信号进行滤波、平滑和增强等操作。
离散信号傅里叶变换是数字信号处理中重要的基础知识，它不仅为实现数字信号处理提供了理论基础，而且也为深入理解信号的频域特性提供了有力工具。
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第三章离散傅里叶变换离散傅里叶变换不仅具有明确的物理意义，相对于DTFT他更便于用计算机处理。
但是，直至上个世纪六十年代，由于数字计算机的处理速度较低以及离散傅里叶变换的计算量较大，离散傅里叶变换长期得不到真正的应用，快速离散傅里叶变换算法的提出，才得以显现出离散傅里叶变换的强大功能，并被广泛地应用于各种数字信号处理系统中。
近年来，计算机的处理速率有了惊人的发展，同时在数字信号处理领域出现了许多新的方法，但在许多应用中始终无法替代离散傅里叶变换及其快速算法。
§ 3-1 引言一.DFT是重要的变换1.分析有限长序列的有用工具。
2.在信号处理的理论上有重要意义。
3.在运算方法上起核心作用，谱分析、卷积、相关都可以通DFT在计算机上实现。
二.DFT是现代信号处理桥梁DFT要解决两个问题：一是离散与量化，二是快速运算。
傅氏变换§ 3-2 傅氏变换的几种可能形式一.连续时间、连续频率的傅氏变换-傅氏变换对称性： 时域连续，则频域非周期。
反之亦然。
二.连续时间、离散频率傅里叶变换-傅氏级数时域信号 频域信号 连续的 非周期的非周期的 连续的t⎰∞∞-Ω-=Ωdtet x j X tj )()(:⎰∞∞-ΩΩΩ=d e j X t x t j )(21)(:π反*时域周期为Tp, 频域谱线间隔为2π/Tp三.离散时间、连续频率的傅氏变换--序列的傅氏变换pT 0=Ω时域信号 频域信号 连续的 周期的非周期的 离散的⎰-Ω-=Ω2/2/00)(1)(:p p T T t jk pdte t x T jk X 正∑∞-∞=ΩΩ=k tjk e jk X t x 0)()(:0反0 T 2Tt时域信号 频域信号 离散的 非周期的周期的 连续的∑∞-∞=Ω-Ω=n Tjn Tj enT x eX )()(:正⎰ΩΩ-ΩΩΩΩ=2/2/)(1)(:s s d eeX nT x Tjn Tj s反TT s π2,*=Ω频域的周期为时域抽样间隔为四.离散时间、离散频率的傅氏变换--DFT由上述分析可知，要想在时域和频域都是离散的，那么两域必须是周期的。
t0 T 2T 1 2 Nn 时域信号 频域信号 离散的 周期的周期的 离散的)1()1(0-Ω-N N .2,;2*0TT T T s p p ππ=Ω=Ω频域的周期为时域的离散间隔为为函数，频域的离散间隔时域是周期为DFT 的简单推演：在一个周期内，可进行如下变换：02/2/:1~0,2:1~0:)(1)()()(Ω=∆Ω=ΩΩ-=⋅=Ω=ΩΩ-ΩΩ==⎰∑ΩΩ-ΩΩ∞-∞=Ω-Ωd d N k F k k N n d e e X nT x e nT x e X s s T jn T j sn Tjn T j π从∑∑∑∑-=-=--=ΩΩ-=Ω-Ω===Ω⋅Ω=⋅=ΩΩΩ==122102200110)(1)()()(222)()()()(0000N k nk Nj k N jN n nk Nj k N j s p N k Tjnk T jk sN n T jnk T jk e eX NnT x enT x eX N T T T e e X nT x e nT x e X πππππππ因此又视作n 的函数，视作k 的函数，这样,§ 3-3 周期序列的DFS一.周期序列DFS 的引入导出周期序列DFS 的传统方法是从连续的周期信号的复数傅氏级数开始的：对上式进行抽样，得： ，代入又由于∑∑-=-=-==10212)(1)()()(N k nk NjN n nk Njek X Nn x en x k X ππ)()(2k N jeX nT x π)()()()(2k X eX n x nT x k N j →→π∑∞-∞=ΩΩ=k tjk e k X t x 0)(~)(~0∑∑∞-∞=∞-∞=ΩΩ=Ω=k nk Nj k nTjk ek X e k X nT x π200)(~)(~)(~0NT π20=Ωkn Nj rn j nk Njn rN k Njee eeππππ222)(2=⋅=+所以求和可以在一个周期内进行，即这就是说，当在k=0,1,..., N-1求和与在k=N,...,2N-1求和所得的结果是一致的。
二. 的k 次谐波系数 的求法1.预备知识 同样，当 时，p 也为任意整数，则亦即()()∑-=Ω=120~~N k nk Njek X nT x π∑-==Ω120)(~)(~)(~~)(~)(~~)(~N k nk Njek X n x k X k X n x nT x π则有，；，考虑到：)(~n x )(~k X ⎩⎨⎧==∑-=rm mN r N e N n rnN j ，其他为任意整数0,,102π)(11122)1(2222102时mN r N eeee e er N j N r NjN r Njr Nj r Nj N n rn N j==--=++++=⋅-⋅⋅-=∑ππππππpNr k =-])[()0(10)(2pN r k N N N e N n n r k Nj --===∑-=-δδπ[][])()()(11)(2pN r k pN r k pN r k eNN n n r k Nj+-=--=--=∑-=-δδδπ所以 2. 的表达式将式 的两端乘，然后从 n=0到N-1求和，则：[])(~)(~)()(~10r X pN r X pN r k k X N k =+=+-∑-=δ)(~k X ∑-==12)(~)(~N k nk N j e k X n x πnr Nj e π2-∑-=-12)(~N n nr Njen x π∑∑-=-=-=101)(2)(~N n N k n r k Njek X π[])(~)(~)()(~)(~)(~)(~11010)(2101)(212r X N pN r X N pn r k N k X e k X ek X en x N k N k N n n r k Nj N n N k n r k NjN n nr Nj=+=+-⋅=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡==∑∑∑∑∑∑-=-=-=--=-=--=-δπππ通常将定标因子1/N 移到 表示式中。
即：3.离散傅氏级数的习惯表示法通常用符号 代入，则：∑-=-=12)(~1)(~,N n nr Njen x Nr X π因此∑∑∑-=-=--=-===121212)(~)(~)(~1)(~,)(~1)(~N k kn Nj N n knNj N n kn Nje k X n x e n x N k X en x Nk X k r πππ对于周期序列所以则有换成将)(~n x ∑∑-=-=-==1212)(~1)(~)(~)(~N k kn NjN n kn Njek X Nn x en x k X ππN jN e W π2-=正变换： 反变换： 4. 的周期性与用Z 变换的求法 周期性： 用Z 变换的求 ：对作Z 变换，[]∑∑-=-=-===112)(~)(~)(~)(~N n nk NN n nk NjW n x en x n x DFS k X π[]∑∑-=--====112)(~1)(~1)(~)(~N k nk NN k nk NjW k X Nek X Nk X IDFS n x π)(~)(~)(~)(~)(~102102210)(2k X en x e e n x en x mN k X N n kn NjN n mn j knN j N n n mN k Nj==⋅==+∑∑∑-=--=---=+-ππππ个不同值。
只有这就是说，N k X )(~)(~k X )(n x )(~kX如果 ，则有可见， 是Z 变换 在单位圆上抽样，抽样点在单位圆上的N 个等分点上，且第一个抽样点为k =0。
∑∑-=-∞-∞=-==1)()()(N n nn n Z n x Z n x Z X[]Z j Im []ZkN je Z π2=)(~)()(122k X en x eX N n kn Njk N j==∑-=-ππ)(~k X )(Z X§ 3-4 DFS 的性质一.线性 如果 则有 其中，a,b 为任意常数。
二.序列的移位 如果 则有： 证明： 令i =m +n,则 n =i -m 。
n=0 时，i=m; n=N-1时，i=N-1+m所以 * 和 都是以N 为周期的周期函数。
三.调制特性[][])(~)(~)(~)(~2211n x DFS k X n x DFS k X ==[])(~)(~)(~)(~2121k X b k X a n x b n x a DFS +=+[])(~)(~k X n x DFS =[])(~)(~)(~2k X ek X W m n x DFS mk N jmk N π==+-∑-=+=+1)(~)](~[N n nk NW m n x m n x DFS mk NmN mi ik N W W i x m n x DFS -+-=⋅=+∑1)(~)](~[)(~)(~1k x W W i x W mk N N i ik N mkN--=-==∑)(~i x ik NW如果则有证明：时域乘以虚指数( )的m 次幂，频域搬移m ,调制特性。
四.周期卷积和1.如果则：2.两个周期序列的周期卷积过程 （1）画出 和 的图形；（2）将 翻摺,得到 可计算出： [])(~)(~k X n x DFS =[])(~)(~m k X n x W DFS mn N +=)(~)(~)(~)](~[1)(10m k X W n x W n x W n x W DFS N n n m k Nkn N N n mn N mn N +===∑∑-=+-=mn N jnm Njmn Nj mn N eeeW )(222πππ---===n N j eπ2-)(~)(~)(~21k X k X k Y =∑∑-=-=-=-==111221)(~)(~)(~)(~)](~[)(~N m N m m n x m x m n x m x k Y IDFS n y )(~1m x )(~2mx )(~2mx )0(~)(~22m x m x -=-)0(~)(~)0(~521-=∑=m m x m x y（3）将 右移一位、得到mm 计算区)1(~2m x -)(~2m x -)1()(~)1(~521-=∑m x m x y可计算出：（4）将 再右移一位、得到 ，可计算出： （5）以此类推，m )(~2m x -)2(~2m x -3100001011121)2()(~)2(~521=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=-=∑=m m x m x y 4000001112111)3(~)(~)3(~521=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=-=∑=m m x m x y ,4)4(~=y 同样，可计算出：3)5(~=y3.频域卷积定理 如果 ，则§ 3-5 DFT--有限长序列的离散频域表示一.预备知识 1.余数运算表达式如果 ，m 为整数；则有：)(~n y n 13 4 4 )(~)(~)(~21n x n x n y =[]∑∑∑-=-=-=-=-===11210211)(~)(~1)(~)(~1)(~)(~)(~N l N l N n nk Nl k X l X Nl k X l X NW n y n y DFS k Y mN n n +=1101-≤≤N n ()()()1n n N =此运算符表示n 被N 除，商为m ，余数为 。