弹塑性有限元分析实例

例 8-1：E ，A ，L ，s σ 杆I 弹塑性； 杆II 弹性。

求s AF σ3=下2点位移。

解：（1）理论解在荷载s A F σ3=作用下，杆I 屈服而有内力（拉力）S A N σ=1，杆II 内力（压力）为s II A N σ2=，中点2位移δ取决于杆II 的变形，即*===∆=δσσδ22)2(EL AE L A l S S II式中E Ls σδ=*（屈服位移）（2）直接迭代法（割线刚度） 杆I 和杆II 的刚度分别为⎩⎨⎧=**≤〉)()(δδδδδσL EAAI S k L EA k II =①迭I 迭代步迭代从*=δδ0开始，这时有L EAk k K II I 20=+=*-====δσσδ5.15.123101EL L EA A F K S S②第2迭代步杆I 进入塑性，有L EA A k s I 67.01==δσ杆Ⅱ完全弹性，刚度不变。

因此，总刚为L EAk k K II I 67.11=+=*-====δσσδ8.18.167.13112E L LEA A F k S s 整个迭代过程见表8-1。

表8-1 直接迭代法各次迭代结果(3)切线刚度法（N-R 法）杆Ⅰ和杆Ⅱ的切线刚度分别为⎩⎨⎧=**≤〉)()(0δδδδLEAI k L EA k II =①第1迭代步初始状态时，00=δ，杆Ⅰ，Ⅱ中应力、应变均匀为零。

总刚为：L EAk k K T TI T 21=+=由F K T -=δψ，得S A σψ30-=由n Tn n K ψδ1--=∆得，*=--=∆δσδ5.1)3(10S A L由式n n n δδδ∆+=+1得，s δδ5.11=杆中应力：S SI σσσσ5.111-==杆中内力：S S I A N A N σσ5.111-==②第2迭代步由于杆I 已进入塑性，杆Ⅱ仍处弹性，总刚：L EAk k K TIITI T =+=2由F K T -=δψ，得S S S A A A σσσψ5.035.21-=-=由n Tn n K ψδ1--=∆得，*=--=∆δσδ5.0)5.0(11S A LEA由式n n n δδδ∆+=+1得，*=∆+=δδδδ0.2112杆中应力：S II SI A N A N σσ0.222-==检验F K T -=δψ，有030.32=-=S S A A σσψ迭代平衡。

第27卷专辑2006年12月固体力学学报AC TA M EC HAN ICA SOL IDA SIN ICAVol.27S.Issue Decem ber 2006火灾下钢筋混凝土板的热弹塑性有限元分析———基于S 2R 分解原理(Ⅱ:算例分析)3高立堂1,2　李晓东1　陈礼刚1　董毓利1(1青岛理工大学土木工程学院,青岛,266033)(2大连理工大学土木水利学院,大连,116024)摘要　采用基于S 2R 分解原理的更新拖带坐标有限元法,对火灾下钢筋混凝土板进行了数值模拟.并以标准升温为条件,探讨了不同的钢筋保护层厚度、钢筋及混凝土强度等级、荷载水平、板厚等因素,对钢筋混凝土简支板抗火性能的影响.计算结果表明,构件变形主要是由非线性温度场引起的热变形.为采取一些简单的设计思想来完善钢筋混凝土构件抗火性能提出了建议.关键词　火灾,S 2R 分解定理,有限元,保护层厚度,板厚0　引言钢筋混凝土结构在火灾下(高温)下具有以下特点:(1)材料性能的劣化.高温下钢材和混凝土的强度、弹性模量等均随温度的升高而下降,一般混凝土材料在400℃以上,钢材在300℃以上材料的力学性能严重恶化.(2)不均匀温度场.结构受火时受火温度随周围环境温度迅速升高,但由于混凝土的热惰性,内部温度增长缓慢,截面上形成不均匀温度场,而且温度变化梯度也不均匀.(3)应力、内力的重分布.截面的不均匀温度场产生不等的温度变形和截面应力重分布,蠕变和应力松弛也使截面的应力分布改变.超静定结构因温度变形受约束以及结构构件的不同,温度分布均将产生内力重分布.(4)钢筋、混凝土的屈服函数不仅是等效塑性应变的函数,而且是温度的函数,增加了高温结构的分析难度.(5)大变形的特点.根据研究表明,其变形远大于常温.对于受弯构件还伴随很大的转动.跨度为4.2m 的简支板,30mi n 就能达到6c m 之多[1].而常温作用下,达到L/50,就已经是承载力极限状态了.综上所述,该问题属于典型的几何、材料非线性问题.我国还没有象世界上一些防火发达国家,对常温状态作用下的钢筋混凝土结构也要求进行耐火稳定性验算,必要时进行补充设计,以确定结构在火灾中安全可靠.因此,有必要采取一些简单的设计思想来完善钢筋混凝土构件抗火性能.本文采用文献[2]提出的基于S 2R 分解原理的更新拖带坐标有限元法对火灾作用下的钢筋混凝土板进行了数值计算[3].影响板的耐火性能的因素很多,诸如不同的保护层厚度、钢筋强度等级、混凝土强度等级、荷载水平、板厚等.而火灾试验又比较费时、费力、费钱.在得到有关试验验证的基础上,对各影响因素进行计算.给出了相应的计算结果.1　基于更新拖带坐标法的板壳有限元格式对于大变形,通常采用整体拉格郎日坐标系或更新拉格郎日坐标系进行有限元分析.而S 2R 分解定理证明[4]:“给定一个物理可能的位移函数,此函数在变形内是单值连续,处处具有一阶导数,则此运动变换总可以分解为正交与对称两个子变换之和,正交变换体现为点集之转动,而对称变换体现点集之形变”.按照S 2R 分解定理定义了应变张量S i j ,转动张量R i j ,在变形体中一点的平均整旋角θ及转轴方向余弦L i j ,这些量在实际计算中必须用它的物理分量表示.S i j =12(u i |j +u i |T j )-L i k L k j(1-cosθ)(1)R i j =δi j +L ij sin θ+L i k L k j (1-cosθ)(2)θ=±a rcsi n [-ωi j ωj i ]1/2(3)L ij =ωij /si nθ(4)3国家重点基础研究专项经费(B 63)、国家自然科学基金(53)、国家自然科学基金重大国际合作研究项目(5356)资助2001C 4090017804020121.ωi j=(u i|j-u i|T j)/2(5)式中:θ的正负号是按人为规定转动的正向选取的, u为构形的位移.将转动作为一个独立的自由度,能比较好的处理大转动问题.相应的基于更新拖带坐标法的板壳有限元格式[2][K L-K N]{Δu}=t+Δt R-t F(6)这里,K L=∫Ω[B S]T[D][B S]dΩ(7) K N=∫Ω[B S]T[σ1][B S]dΩ+∫Ω[B r]T[σ2][B r]dΩ+∫Ω[B S]T[σ3][B r]dΩ+∫Ω[B r]T[σ4][B S]dΩ(8)t+Δt R=∫spN T{p}d S+∫ΩN T{ρf}dΩ(9)t F=∫Ω[B S]T[σ]dΩ(10)[B S]=[B S1,B S2,…,B S n](11)[B r]=[B r1,B r2,…,B r n](12)[N]=[N1,N2,…,N n](13)　B S i=5N i5x1005N i l i5x15N i5x25N i m i5x2005Ni5x35N i n i5x35N i5x25N i5x15N i l i5x2+5N i m i5x105Ni5x35N i5x25N i m i5x3+5N i n i5x25N i5x305Ni5x15N i l i5x3+5N i n i5x1(14)B r i=5N i5x2-5N i5x15N i l i5x2-5N i m i5x105Ni5x3-5N i5x25N i m i5x3-5N i n i5x25N i5x30-5N i5x15N i l i5x3-5N i n i5x1(15) [N]i=N i00N i l i0N i0N i m i00N i N i n i(16)式中各参数和矩阵的表达式见文[2],该方法解决了大变形中的有限转动问题,求解效率高采用节点等参壳元,其形函数的表达式见有关文献,计算了其跨中挠度,与试验结果相比,精度较好[3]2　算例条件2.1　升温条件由于火灾的发展速度、火灾温度峰值强度、持续时间及衰减过程对结构的火灾反应和抗火性能都会产生明显影响.而建筑物火灾燃烧温度与持续时间和建筑物内可燃物质种类和数量、建筑物构造、通风量等因素有关.从很多次实际火灾中可以看出,标准升温曲线并不能完全反映实际火灾情况.日本曾进行具有不同数量可燃物的住宅建筑的火灾试验(图1)[5].由图1中可见,ISO标准升温曲线与根据燃烧试验所得的数据有较大差异.目前,根据建筑物实际情况,对建筑物实际火灾过程进行模拟研究已经取得一定的成果.但在确定结构抗火性能的研究中,一般仍选用标准升温曲线,以便于试验研究和制定防火措施的应用.故本文以ISO标准升温为条件,进行有限元分析.图1　火灾试验温度测定值2.2　材料力学特性由于缺乏高温下混凝土受拉应力应变曲线,故本文参照常温下的形式,仅将抗拉强度f t换作f T t.受压情况下混凝土的应力应变曲线方程如下[6] y=2.2x-1.4x2+0.2x3,　x≤1(17)y=x0.8(x-1)2+x,　x≥1(18a)x=εεT p,　y=σf T c;(18b)式中σ,ε为混凝土的应力和应变;f T c,εT p分别为温度T时混凝土的棱柱体强度和峰值应变,表达式参见有关文献.对于软钢,随着温度的升高,屈服台阶消失.因此,钢筋的应力应变关系,在3℃以前采用理想弹塑性模型(式3),此后采用应变强化模型(式)931专　辑 高立堂等:　火灾下钢筋混凝土板的热弹塑性有限元分析2基于S2R分解原理(Ⅱ:算例分析).8 .00114.σs,T=E T sεT s,0<εT s≤εT y,f T y,εT y<εT s≤εT u,　0℃≤T≤300℃(19)σs,T=E T sεT s,0<εT s<εT y,f T y+E T sh(εT s-εT y),εT y<εT s≤εT u,(20)T>300℃式中f T c,εT p为温度T时钢筋的极限应变,表达式参见有关文献[6].混凝土和钢筋的热膨胀系数αc、αs分别为αc=(0.008T+6)×10-6(21)αs=(12+0.004T)×10-6,T<1000℃16×10-6,T≥1000℃(22)混凝土和钢筋的热徐变系数εc,c r、εs,c r分别为εc,c r=f c,c r(σc,T,t)=aσcf c(T-20)b t c(23)εs,c r=εt0ln2cosh(2zθ/εt0)(24)3　算例及分析本文以标准升温为条件,考虑不同的保护层厚度、板厚、钢筋强度等级、混凝土强度等级、荷载水平等因素,对钢筋混凝土简支板进行分析,得出了相应的跨中挠度等结果.3.1　保护层厚度的影响保护层的一个重要作用就是,在火灾情况下,使钢筋的温度上升缓慢.混凝土包裹在钢筋外面,火灾时钢筋不会很快达到软化温度而导致结构整体破坏.从这个角度讲,保护层厚度越大越好,但保护层厚度越大,力臂就会减小.从图2中可以看出,保护层的保护作用要比因保护层增大使得力臂减小更有利,因此在制订防火规范时,可以只考虑保护层的有利作用.保护层厚度主要是改变了钢筋的温度,达到保护钢筋的目的.图　不同保护层厚度3.2　板厚的影响虽然在我国规范中并无明确的要求,但在规范的附表中也列出了不同截面尺寸的构件以及不同钢筋保护层的梁、柱的耐火极限.国外已有许多国家在其结构设计规范中对此进行了要求以指导工程设计人员对构件进行防火安全设计.如英国的B S811022:1985中便对各类构件的耐火性能给出了较为详细的设计指导.分别对120cm、150cm、180cm进行计算,从图3中可以发现,因为板厚改变了构件的温度场和刚度,因此其差异是明显的.图3　不同板厚3.3　荷载水平为说明荷载水平的影响,分别对板采用自重、自重+2.0kN/m2及自重+4.0kN/m2进行计算.从图4中可以发现,相互间的差异远小于总变形,说明变形主要是由非线性温度场引起的热变形.对于受弯构件来讲,主要是热弯曲变形,非线性温度场引起了截面应力的重分布,可以设想,如果线性温度场,因为它将符合平截面假定,所以只引起变形,而没有截面应力的重分布.如果温度场高度非线性,应力重图　不同荷载水平41固体力学学报 2006年第27卷24图5　不同膨胀系数分布越剧烈.为说明其变形主要为热变形,将混凝土的热膨胀应变分别取为实际值的1/2和2进行计算,其挠度见图5.可见其差异是巨大的.3.4　混凝土、钢筋强度等级采用C40、C50、C60进行计算,可以发现其材料的影响在一定范围内,影响是不明显的.当然这个可比性建立在混凝土不是明显开裂的基础上,对于钢筋也是一样.图6　不同混凝土强度4　结语在火灾作用下,对于壳体这一类结构,应属于大位移、大转动、小应变问题.本文采用基于更新拖带坐标法的板壳有限元格式,采用标准升温曲线,对钢筋混凝土简支板进行非线性有限元分析.主要考虑的因素有:不同的保护层厚度、钢筋强度等级、混凝土强度等级、荷载水平、板厚等因素.从以上的分析可得出以下主要结论: (1)钢筋保护层厚度、板厚是影响钢筋混凝土抗火性能的主要因素.板厚改变了构件的温度场和刚度;保护层改变了钢筋的温度.因此我国规范应从结构角度在《混凝土结构设计规范》中规定最小板厚和最小保护层厚度的要求.而不仅是在《建筑防火规范》中用耐火极限表示.(2)因为混凝土的热膨胀应变与混凝土强度等级无关,而弹性模量相差不远,因此并不明显影响其耐火极限.(3)从计算结果来看,荷载大小对板的变形影响不明显,因此主要是非线性温度场引起的热变形,对于受弯构件来讲,主要是热弯曲变形,非线性温度场引起了截面应力的重分布,可以设想,如果线性温度场,因为它将符合平截面假定,所以只引起变形,而没有截面应力的重分布.如果温度场高度非线性,则应力重分布越剧烈.(4)由于涉及到混凝土的开裂,使得问题非常复杂.混凝土拉伸应力2应变关系简化不同,将得到不同的应力分布,因此要得到其真实的应力分布,还需要大量的计算和研究.参　考　文　献1　高立堂,董毓利,袁爱民.无粘结预应力混凝土简支板抗火试验研究.建筑结构,2004,34(4):42～442　李平.非线性连续体力学中的更新拖带坐标法[博士学位论文].徐州:中国矿业大学,19913　高立堂,宋玉普,董毓利.火灾下钢筋混凝土板的热弹塑性有限元分析-基于S2R分解原理(Ⅰ:理论).计算力学学报,2006,23(2):40～444　陈至达.有理力学(非线性连续体力学).徐州:中国矿业学院出版社.19875　华毅杰.预应力混凝土结构火灾反应及抗火性能研究[博士学位论文].上海:同济大学,20026　时旭东.高温下钢筋混凝土杆系结构试验研究和非线性有限元分析[博士学位论文].北京:清华大学,1992141专　辑 高立堂等:　火灾下钢筋混凝土板的热弹塑性有限元分析2基于S2R分解原理(Ⅱ:算例分析)THERMA L 2EL ASTIC 2PL ASTIC FI NITE EL EM ENT ANA L YSISOF REI NFO RCED SL ABS UN DER F I RE 2BASED ONS 2R DECOMPOSI TION T HEO REM (Ⅱ:AN ALYSIS OF EX AMPL ES)Gao Lita ng 1,2 Li Xiaodong 1 Chen Li gang 1 Dong Yuli 1(1De pt.of civil eng.,Qingdao Tec hnological U nive rsit y ,Q ingdao,266033)(2Dept.of civil eng.,Da lia n U nive rsit y of Tec hnol ogy ,D ali an,116024)A bstract Update co 2movi ng coordi nat e finit e element based S 2R decomposit ion t heorem was used t o calc ul ate t he reinforced concrete slabs under fi re.Based on t he ISO time 2temperat ure curve ,rei nforcementcover ,rei nforce me nt and concret e st rengt h grade ,load level and t hicknes s of slabs are di scus sed for t hefire resi st ance.From t he calculat ion result s ,deflections are mai n t hermal deformation i nduced by inhomo 2geneous t emperat ure field.Si mple desi gn concept s are advi sed to perfect t he fi re re si st ance of rei nforced concret e mem bers.K ey w or ds fire ,S 2R decomposition t heorem ,fi nit e ele ment ,t hic kne ss of cover ,t hickne ss of sl ab241固体力学学报 2006年第27卷。

航空航天服务项目一、航空发动机1、轴系弹塑性、静动力分析、疲劳分析、优化设计2、盘系的静力计算、模态计算和动力响应计算3、叶片模态计算、动力响应计算、热疲劳分析4、发动机机匣载荷分析、疲劳变形分析5、燃烧室/加力燃烧室/推进剂热应力分析、热疲劳分析、静力分析二、卫星设计1、卫星的模态动力学分析2、电池组托架的应力分析3、太阳能电池板的展开4、运输引起的冲击和损伤三、子系统机身 1、机身（1）静力分析（2）动力响应分析（模态、颤振等） （3）失稳分析 （4）损伤容限分析2、机翼 （1）静力分析（2）动力响应分析（模态、颤振、抖振等） （3）失稳分析 （4）损伤容限分析 （5）结构优化设计四、起落架1、飞行器起落架多体动力学分析2、飞行器起落架部件级静力分析3、飞行器起落架部件级动力分析五、飞行器总体1、频率和振型2、线性和非线性静态和瞬态应力3、失稳分析4、飞鸟和飞机的撞击5、总体气动性能6、飞机、发动机的气动匹配7、军用飞机的雷达反射特性以及红外辐射特性航空航天案例1、中外翼对接带板细节应力分析某型飞机的中外翼对接带板属于疲劳薄弱部位，为对该部位的疲劳寿命作出合理的估算，需对该部位的应力分布进行准确的计算。

利用ABAQUS软件的接触分析功能对中外翼对接带板的细节应力进行了计算，给出了有限元的计算结果。

图1：有限元模型图2：外翼带板的拉应力分布情况 图3：中央翼带板的拉应力分布情况2、缝翼滑轨模型装配件分析飞机的前缘缝翼是民用客机、大型飞机常用的增升活动面，是通过滑轨在滑轮组架中的运动来改变机翼的翼型，以达到增加升力的目的。

滑轨在滑轮组架中的运动就是一个典型的接触问题。

滑轮组架内在每根滑轨的安装位置沿滑轨法向和侧向各布置了两组滚轮。

当缝翼翼面上的载荷传到滑轨上时，滑轨受力变形，其上下表面就会有滚轮与滑轨表面发生接触，从而限制滑轨的法向运动；其左右两侧也会有滚轮与滑轨腹板表面发生接触，从而限制滑轨的侧向运动。

1. 问题阐述一个开口厚壁圆筒（如图1），内半径和外半径分别为mm a 20=和mm b 25=（壁厚为mm t 5=，壁厚与内径的比值20151255>==b t ），受到均匀内压p 。

材料为理想弹塑性碳钢（如图2），并遵守Mises 屈服准则，屈服强度为MP as 235=σ，弹性模量GPa E 210=，泊松比3.0=υ。

确定弹性极限内压力e p 和塑性极限内压力p p ，并观察塑性应变的增长。

图1 内压作用下的端部开口厚壁圆筒 图2 理想弹塑性模型 2. 基本理论计算2.1 基本方程由于受到内压p 的作用，厚壁圆筒壁上受到径向压应力r σ、周向压应力θσ和轴向应力z σ的作用，由开口的条件可推出0=z σ。

因为这是一个轴对称问题，所有的剪应力和剪应变均为零。

平衡方程和应变—位移关系用下式表示： 0=--rd d r r r σσσθ （1） r u dr du r r r ==θεε, （2） 弹性本构关系为：()()r r r EE υσσευσσεθθθ-=-=1,1 （3） 这些控制方程利用下面的边界条件联立求解：0,=-===b r r a r r p σσ （4）2.2 弹性情况联立式（2）、（3）和（4）可得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=22222222221,1r b a b p a r b a b p a r θσσ （5） 因为b r a ≤≤，所以00>≤θσσ且r ，可以观察到：r z σσσθ≥=>0，分析采用Mises 屈服准则，表达为()()()()222222226s z rz r z z r r στττσσσσσσθθθθ=+++-+-+- （6）该厚壁圆筒是轴对称平面应变问题，即0===θθτττz rz r ，由Mises 屈服条件其表达式可得到：s s r σσσσθ155.132==-（7） 当内压p 较小时，厚壁圆筒处于弹性状态，令a r =，筒体内壁开始屈服，此时的内压为e p ，由式（5）、（7）联立可求得弹性极限压力为()2222155.1b a b p s e σ-= （8） 代入题目所给数据得到弹性极限强度为：()MPa p e 86.482522025235155.1222=⨯-⨯=。

ABAQUS弹塑性分析简介ABAQUS是一种常用的有限元分析软件，广泛应用于工程领域。

它可以进行多种类型的分析，包括线性弹性分析、非线性分析以及弹塑性分析等。

本文将重点介绍ABAQUS中的弹塑性分析。

弹塑性分析概述弹塑性分析是指在加载过程中，材料同时存在弹性和塑性变形的情况下进行的分析。

相对于只考虑弹性变形的分析方法，弹塑性分析可以更加准确地描述材料的行为。

ABAQUS是一款强大的工具，提供了多种弹塑性材料模型以及相应的分析设置。

弹塑性材料模型ABAQUS中常用的弹塑性材料模型包括：1.von Mises模型 von Mises模型是最常用的塑性材料模型之一，它基于等效应力假设，适用于各向同性的材料。

在ABAQUS中，可以通过指定材料的屈服应力和硬化规律来定义von Mises模型。

2.Drucker-Prager模型Drucker-Prager模型适用于非各向同性的材料，特别是岩土材料。

它考虑了材料的摩擦和内聚力特性，可以模拟材料的塑性和蠕变行为。

3.Mohr-Coulomb模型 Mohr-Coulomb模型也是一种常用的非各向同性材料模型，适用于岩石等材料。

它考虑了材料的内聚力和摩擦特性。

以上只是ABAQUS中的部分弹塑性材料模型，用户可以根据具体材料的性质选择合适的模型。

弹塑性分析设置进行弹塑性分析时，需要在ABAQUS中进行相应的分析设置。

以下是一些常见的设置：1.材料属性定义在ABAQUS中，需要指定材料的弹性模量、泊松比以及塑性相关参数等。

根据选择的弹塑性材料模型，还需要指定其特定的参数。

2.加载条件弹塑性分析通常需要施加外部载荷或变形条件。

可以通过定义荷载和边界条件来实现。

ABAQUS提供了多种类型的荷载和边界条件，用户可以根据实际情况进行选择。

3.收敛准则弹塑性分析是一个迭代过程，在每次迭代中需要检查计算的收敛性。

ABAQUS提供了多种收敛准则，用户可以根据需要选择适合的准则。

弹塑性分析案例为了更好地理解ABAQUS中的弹塑性分析，以下将给出一个简单的案例。

结构静力弹塑性分析的原理和计算实例一、本文概述结构静力弹塑性分析是一种重要的工程分析方法，用于评估结构在静力作用下的弹塑性行为。

该方法结合了弹性力学、塑性力学和有限元分析技术，能够有效地预测结构在静力加载过程中的变形、应力分布以及破坏模式。

本文将对结构静力弹塑性分析的基本原理进行详细介绍，并通过计算实例来展示其在实际工程中的应用。

通过本文的阅读，读者可以深入了解结构静力弹塑性分析的基本概念、分析流程和方法，掌握其在工程实践中的应用技巧，为解决实际工程问题提供有力支持。

二、弹塑性理论基础弹塑性分析是结构力学的一个重要分支，它主要关注材料在受力过程中同时发生弹性变形和塑性变形的情况。

在弹塑性分析中，材料的应力-应变关系不再是线性的，而是呈现出非线性特性。

当材料受到的应力超过其弹性极限时，材料将发生塑性变形，这种变形在卸载后不能完全恢复，从而导致结构的永久变形。

弹塑性分析的理论基础主要包括塑性力学、塑性理论和弹塑性本构关系。

塑性力学主要研究塑性变形的产生、发展和终止的规律，它涉及到塑性流动、塑性硬化和塑性屈服等概念。

塑性理论则通过引入屈服函数、硬化法则和流动法则等，描述了材料在塑性变形过程中的应力-应变关系。

弹塑性本构关系则综合考虑了材料的弹性和塑性变形行为，建立了应力、应变和应变率之间的关系。

在结构静力弹塑性分析中，通常需要先确定材料的弹塑性本构模型，然后结合结构的边界条件和受力情况，建立结构的弹塑性平衡方程。

通过求解这个平衡方程，可以得到结构在静力作用下的弹塑性变形和应力分布。

弹塑性分析在结构工程中有着广泛的应用，特别是在评估结构的承载能力、变形性能和抗震性能等方面。

通过弹塑性分析，可以更加准确地预测结构在极端荷载作用下的响应，为结构设计和加固提供科学依据。

以上即为弹塑性理论基础的主要内容，它为我们提供了分析结构在弹塑性阶段行为的理论框架和工具。

在接下来的计算实例中，我们将具体展示如何应用这些理论和方法进行结构静力弹塑性分析。