弹塑性力学有限单元法-交通运输工程学院-中南大学

学习目的
弹性力学的研究方法决定了它是一门基础理论课程，而 且理论直接用于分析工程问题具有很大的困难。原因主要是 它的基本方程－偏微分方程边值问题数学上求解的困难。由 于经典的解析方法很难用于工程构件分析，因此探讨近似解 法是弹性力学发展中的特色。近似求解方法，如差分法和变 分法等，特别是随着计算机的广泛应用而发展的有限元方法， 为弹性力学的发展和解决工程实际问题开辟了广阔的前景。 弹性力学课程的主要学习目的是使学生掌握分析弹性体 应力和变形的基本方法，为今后进一步的研究实际工程构件 和结构的强度、刚度、可靠性、断裂和疲劳等固体力学问题 建立必要的理论基础。

钱学森，著名科学家。我国 近代力学事业的奠基人之一。 在空气动力学、航空工程、 喷气推进、工程控制论、物 理力学等技术科学领域做出 许多开创性贡献。为我国火 箭、导弹和航天事业的创建 与发展做出了卓越贡献，是 我国系统工程理论与应用研 究的倡导人。1991年10月 16日，国务院、中央军委 授予钱学森"国家杰出贡献 科学家"荣誉称号和一级英 雄模范奖章。
粘弹性?
§1-2 弹塑性力学的研究内容
弹塑性力学是固体力学的一个重要分支， 是研究弹性和弹塑性物体变形规律的一门学 科，它推理严谨，计算结果准确，是分析和 解决许多工程技术问题的基础和依据。
目录
CH1 绪论 CH2 弹性力学基本理论 CH3 弹性力学平面问题 CH4 弹性力学空间问题 CH5 薄板的小挠度弯曲 CH6 弹性力学问题的变 分解法 CH7 简单应力状态下的弹 塑性问题 CH8 应力应变分析和屈服 条件 CH9 塑性本构关系 CH10 简单弹塑性问题 CH11 理想刚塑性体的平 面应变问题 CH12 结构的塑性极限分 析

第二部分弹塑性问题的有限元法第四章弹塑性体的本构理论第五章弹塑性体的有限元法第四章弹塑性体的本构理论4-1塑性力学的基本内容和地位塑性力学是有三大部分组成的：1) 塑性本构理论，研究弹塑性体的应力和应变之间的关系；2) 极限分析，研究刚塑性体的应力变形场，包括滑移线理论和上下限法；3) 安定分析，研究弹塑性体在低周交变载荷作用下结构的安定性问题。

塑性力学虽然是建立在实验和假设基础之上的，但其理论本身是优美的，甚至能够以公理化的方法来建立整个塑性力学体系。

塑性力学是最简单的材料非线性学科，有很多其它更复杂的学科，如损伤力学、粘塑性力学等，都是借用塑性本构理论体系而发展起来的。

4-2关于材料性质和变形特性的假定材料性质的假定1)材料是连续介质，即材料内部无细观缺陷；2)非粘性的，即在本构关系中，没有时间效应；3)材料具有无限韧性，即具有无限变形的可能，不会出现断裂。

常常根据材料在单向应力状态下的σ-ε曲线，将弹塑性材料作以下分类：硬化弹塑性材料理想弹塑性材料弹塑性本构理论研究的是前三种类型的材料，但要注意对于应变软化材料，经典弹塑性理论尚存在不少问题。

变形行为假定 1)应力空间中存在一初始屈服面，当应力点位于屈服面以内时，应力和应变增量的是线性的；只有当应力点达到屈服面时，材料才可能开始出现屈服，即开始产生塑性变形。

因此初始屈服面界定了首次屈服的应力组合，可表示为()00=σf(1)2) 随着塑性变形的产生和积累，屈服面可能在应力空间中发生变化而产生后继屈服面，也称作加载面。

对于硬化材料加载面随着塑性变形的积累将不断扩张，对于理想弹塑性材料加载面就是初始屈服面，它始终保持不变，对于软化材料随着塑性变形的积累加载面将不断收缩。

因此加载面实际上界定了曾经发生过屈服的物质点的弹性范围，当该点的应力位于加载面之内变化时，不会产生新的塑性变形，应力增量与应变增量的关系是线性的。

只有当应力点再次达到该加载面时，才可能产生新的塑性变形。

1.4 弹塑性力学发展史
1.弹性力学发展史 古代弓箭的例子 共分四个时期： 第一时期（初期）：1678年，虎克定律； 第二时期： 十七世纪末，只要研究梁； 1822年-1828年，法国柯西提出了应力、应变概念 ，建立了弹性力学三大方程；
1.4 弹塑性力学发展史
第三时期：广泛用于解决工程问题 1855年，法国圣维南发表了关于柱体扭转和弯曲 的论文； 1881年，德国赫兹解决了两弹性体局部接触问题 ； 1898年，德国基尔施发现了圆孔处的应力集中问 题； ……………………………………. 建立了能量原理，发展了许多实用的计算方法。
1.4 弹塑性力学发展史
二十世纪二十年代起，发展了一些边缘学 科：
非线性板壳理论 热弹性力学 力学 气动弹性力学、水弹性 磁弹性力学
1.4 弹塑性力学发展史
2.塑性力学发展史 1864年，Tresca提出了最大剪应力屈服准则， 二十世纪初，证实了此准则； 1904年及1913年，Huber和Mises提出了Mises屈 服准则； 1923年，Nadai研究了柱体扭转； 1950年，开始研究塑性本构关系；
1.6 下标记号法和求和约定
2.求和约定 在一项中，有一个下标出现两次，则对 此下标从1至3求和，并限定同一项中不能有 同一下标出现三次或三次以上。
ai bi ai bi a1b1 a2b2 a3b3
i 1
3
aii aii a11 a22 a33
i 1
3
继续研究塑性本构关系 之后，分为两大分支： 数值计算方法的研究
1.5 简化模型
简化模型的特点： （1）比较真实地反映材料的真实特性； （2）便于计算及理论研究。 根据有无明显的屈服阶段，分为两大类： 理想塑性模型 强化模型

《弹塑性力学与有限元》大作业姓名：罗有为学号：201330131883学院：土木工程与力学学院专业：建筑与土木工程指导教师：印长俊导师签名：完成日期： 2014年2月28日地基基础弹塑性力学与有限元计算比较分析罗有为201330131883湘潭大学土木工程与力学学院湘潭411105摘要：以受集中荷载作用的无筋扩展基础为例，采用Abaqus有限元软件对其进行受力分析。

首先针对问题得到简化模型，然后用Abaqus软件进行有限元分析得到模拟值，将粗细网格进行对比，可知只要网格划分合理，Abaqus有限元分析可以得到满足精度要求的数值解。

关键字：无筋扩展基础；弹塑性力学；Abaqus；结果对比1 问题描述用Abaqus软件分别求无筋扩展基础在均布荷载作用下的应力、应变及位移，并对两者计算结果进行对比，得到Abaqus计算误差。

2 计算模型图1 计算简图计算参数：①截面尺寸：a=c=150mm；b=240mm；B=540mm；H=350mm；用C30混凝土；②受荷载：受集中力F=300kN，e=120mm。

基础混凝土弹性模量E=30GPa，泊松比μ=0.3，密度2600kg/m3。

地基土弹性模量E=207MPa, 泊松比μ=0.35,密度1900kg/m3,剪切角20，膨胀角0，塑性应力69kpa。

3 Abaqus模型用ABAQUS有限元软件进行模拟，单位体系采用国际制单位SI（m）。

3.1 PartName: foundationModeling Space: 2DPlanarType: DeformableBase Feature: ShellApproximate size: 10图2 Part生成部件1Name: dijiModeling Space: 2DPlanarType: DeformableBase Feature: ShellApproximate size:10图3 Part生成部件23.2 PropertyCreate Material: Name=FOU, Elastic, Isotropic, Young’s Modulus = 30000000000, Poisson’s Ratio = 0.3; Plastic, Yield Stress=30000000000, Plastic Strain=0Create Section: Name=Section-1, Category: Solid, Type: Homogeneous, Material: Materal-1, Plane stress/strain thickness: 1Assign Section: Region: (Picked), Section: Section-1, Material: Material-1, Thickness Assignment: From sectionCreate Material: Name=DIJI, Elastic, Isotropic, Young’s Modulus = 20700000, Poisson’s Ratio = 0.35; Mohr Coulomb Plastic, Friction angle=20, Cohesion yield stress=690000Create Section: Name=Section-2, Category: Solid, Type: Homogeneous, Material: Materal-2, Plane stress/strain thickness: 1Assign Section: Region: (Picked), Section: Section-2, Material: Material-2, Thickness Assignment: From section图4 材料本构模型3.3 Assembly由于该模型只含有一个部件，故只需组装Part-1。

{ } [ D ]{ } 简写成：
弹性矩阵: 平面应力： 平面应变：
1 E [ D] 1 2 0

1 0
0 0 1 2
E 在平面应力的 [ D ] 中，用 1 2
边界条件： 力边界 S 上：
x nx yx n y qx xy nx y n y q y
u E [1 1] 1 l u2

(2) x
u du (2) 1 [1 1] 2 dx l u3
u E [1 1] 2 l u3
(2) (2) x E x
4．建立有限元方程 基于虚功原理来建立。 虚功原理：

L
0
x x Adx q udx P u x L
弹塑性有限元方法
主要参考书：
1.谢贻权，何福保. 弹性和塑性力学中的有限元方法，机械工业出版社，1981 2.冯肇华. 有限单元体法基础，吉林人民出版社，1984 3.卓家寿，弹性力学中的有限元方法，高等教育出版社，1987 4.王勖成，邵敏. 有限单元的基本原理与数值方法，清华大学出版社，1997 5.彭颖红. 金属塑性成形仿真技术，上海交通大学出版社，1999 6.李尚健. 金属塑性成形过程模拟，机械工业出版社，1999


{ }T { }d { f }T { p}d { f }T {q}ds { f }T {P}
S
平面问题：


( x x y y xy xy )tdxdy ( px u p y v)tdxdy (qx u q y v)tds Px u Py v
Байду номын сангаас0 0 0 1 2 2(1 )

教学大纲
三、本课程的基本内容以及重点难点
绪
论（2学时）
弹、塑性变形特点与研究内容；本课程学习目的、意义等。 第一章 应力应变分析（6学时）
点的应力状态的定义、描述、分解；特殊应力；点的应变状态的定义；应力与应变分析
的相似性与差异性；变形力学图。应力张量的分解与图示是本章的重点。
第二章 弹性力学基础（14学时）
研究方向：铝、铜、锌合金材料及加工工艺与模 具设计、数值模拟等。
联系方式：0731-8830266（O），8660299（H）； e-mail: gylin6609@
开场白（Opening Remarks）
2． 关于这门课（About this course）
弹塑性力学属于固体力学的一个重要分支， 包括弹性力学、塑性力学和断裂力学基础三部分 内容。本课程属于材料科学与工程专业本科生学 科基础课程，是本学科的主干课程之一（必选）， 共32学时，2学分。其任务是系统地介绍弹性、 塑性及断裂力学的基本方程、基本原理及基本求 解方法；其目的是使学生通过该门课程的学习， 掌握弹性与塑性力学的基本知识，建立起一种系 统的力学分析概念，并为后继课程，尤其是《金 属塑性加工原理》的学习打下基础。
先修课程要求：
在学习本课程前应学完高等数学、线性代数、工程力学、理论力 学等基础课程，要求有较为扎实的数学基础；本课程又是后继重点 课程《金属塑性加工原理》的基础。
适应专业：材料科学与工程专业本科生
参考教材：
– 王仲仁等：《弹性与塑性力学基础》，哈尔滨工业大学出版社，1997
– 彭大暑：《金属塑性加工力学》，中南工业大学出版社，1989
教学大纲
二、本课程的基本要求
1．要求掌握弹性和塑性变形的力学特点； 2．要求掌握弹性力学的5组基本方程、2组基本原理和2种基本

6.3 塑性力学基本方程与边界条件
6.3.2 塑性力学问题的基本解法
对应于增量理论和全量理论，塑性力学问题采用不同的解法。
全量理论中塑性力学问题的提法：
已知作用于物体上的体力、边界面力（给定力边界上）、 边界位移增量（给定位移边界上）的加载历史，求解某一时刻 物体的应力场、应变场、位移场。
全量理论对应的解法：
θ = εx + ε y + εz
2 2 2 ∂ ∂ ∂ 2 ， ∇ = 2 + 2 + 2 ∂x ∂y ∂z
6.2 弹性力学问题的基本解法
位移法：
上述位移法平衡方程表示为张量形式为
(λ + μ )u j , ji + μui, jj + fi = 0
位移法平衡方程的推导包含了平衡方程、几何方程和本构 方程的信息，求解时只需补充边界条件。 当边界条件为给定位移时，可以直接使用；当边界条件为 给定面力时，则可通过广义胡克定律和几何关系，将其中的 应力用位移来表示。
增量理论
e dε ij = dε ij + dε ijp
e ij
1 dε ij = ( dui , j + du j ,i ) 2
3v 其中弹性应变增量 dε = − dσ mδ ij 2G E
塑性应变增量 dε ijp = dλ
dσ ij
∂ϕ 3dε p , dλ = ∂σ ij 2σ s
6.3 塑性力学基本方程与边界条件
用张量公式表示为
1 ε ij = (ui , j + u j ,i ) 2
此外还可补充6个应变协调方程
6.1 弹性力学基本方程与边界条件
弹性力学基本方程
本构方程：

1 T U d Kd 2
u1 d u 2 u 3
有限单元法
崔向阳
Step 3: 单元集成
单元集成——外力功
整体节点 位移列阵
整体等效节 点力列阵
u1 d u2 u 3
f1 R1 f f 2 0 f F 3
有限单元法
崔向阳
Step 2.单元特征分析
xi
单元节点位移列阵： 单元节点坐标列阵： 单元等效节点力列阵：
II＝0
有限单元法 崔向阳
真实位移
6
最小势能原理
1 II ij ij dV bi ui dV pi ui dA 2 Sp 1 II Dijkl ij kl dV bi ui dV pi ui dA Sp 2

ij
ij
dV biui dV piui dA
Sp
弹性问题中等价于最小势能原理！
有限单元法 崔向阳
比较：虚功原理和能量变分原理
虚功原理是理论力学上的一个根本性原理，可以用于
一切非线性力学问题。
最小势能原理只是虚功原理对弹性体导出的一种表述
形式，但是对于线弹性问题，最小势能原理的应用非 常方便。
ij ui ij ui Dijkl ij kl dV bi ui dV pi ui dA Sp ij ij dV bi ui dV pi ui dA Sp
V= – W
弹性势能—弹性体变形后，产生弹性内力，这种力也具有对外作 功的能力，称为弹性势能，或弹性应变能。

中南大学研究生“弹塑性力学”考试试题
（开卷）
1.谈谈你对单元体的数学与物理意义的理解。

2.你认为应力（变）张量、主应力（变）、应力（变）不变量描述一
点的应力（变）状态各有什么优点
3.试写出各向同性弹性应变能的表达式并导出其弹性本构方程。

4.请详细论述塑性本构建模的基本方法并写出一种具体本构方程。

5.谈谈你从应力函数逆解法中得到的启示
6.给出一个滑移线法求解塑性力学平面问题的例子。

7.谈谈你对“弹塑性力学”课程学习的体会。

主讲人：郭少华
2007.11.6。

可归纳为以下几点： 1．建立求解固体的应力、应变和位移分布规律的 基本方程和理论； 2．给出初等理论无法求解的问题的理论和方法， 以及对初等理论可靠性与精确度的度量； 3．确定和充分发挥一般工程结构物的承载能力， 提高经济效益； 4．为进一步研究工程结构物的强度、振动、稳定 性、断裂等力学问题，奠定必要的理论基础。
◆ 应力的表示及符号规则
正应力： 剪应力： 第一个字母表明该应力作用截面 的外法线方向同哪一个坐标轴相 平行，第二个字母表明该应力的 指向同哪个坐标轴相平行。
.
*
③.应力张量
数学上，在坐标变换时，服从一定坐标变换式 的九个数所定义的量，叫做二阶张量。根据这一定 义，物体内一点处的应力状态可用二阶张量的形式 来表示，并称为应力张量，而各应力分量即为应力 张量的元素，且由剪应力等定理知，应力张量应是 一个对称的二阶张量，简称为应力张量。
以受力物体内某一点（单元体）为研究对象
单元体的受力—— 应力理论； 单元体的变形—— 变形几何理论； 单元体受力与变形 间的关系——本构理 论；
建立起普遍适用的理论与解法。
1、涉及数学理论较复杂，并以其理论与解法的严 密性和普遍适用性为特点； 2、弹塑性力学的工程解答一般认为是精确的； 3、可对初等力学理论解答的精确度和可靠进行度 量。
.
*
①、应力的概念: 受力物体内某点某截面上内力的分布集度
3.应力、应力状态、应力理论
.
*
应力
正应力
剪应力
必须指明两点： 1.是哪一点的应力； 2.是该点哪个微截面的应力。
.
*
②、应力状态的概念：受力物体内某点处所取 无限多截面上的应力情况的总和，就显示和表 明了该点的应力状态
或

工程弹塑性力学
(有限元、塑性力学部分)
演示稿
h
1
第0章 平面问题的有限单元法
0.1 概述、基本量及基本方程的矩阵表示 0.2 有限单元法的概念 0.3 位移模式与解答的收敛性 0.4 单元刚度矩阵 0.5 等效结点荷载 0.6 整体刚度矩阵 0.7 单元划分应注意的问题
h
2
0.1 概述、基本量及基本方程的矩阵表示
y
j
(2) i
(1)
m x
▲相邻单元之间：uij(1)=uij(2)？vij(1)=vij(2) ？
ij边的方程：y=ax+b，则
uij=a1+a2 x+a3(ax+b)= cx+d
uij(1)、uij(2)均为坐标的线性函数，故可由i、j两
点的结点位移唯一确定。
h
12
0.4 单元刚度矩阵
建立： {F}e=[k]{d}e
如 k25： • [k]的性质：
(1) 对称性： kpq= kqp (2) 奇异性；
y vj
j
vi , (Vi) i ui , (Ui)
单元刚度矩阵：
[k][B]T[D ]B []dxdyt
y vj j
vi , (Vi) i ui , (Ui)
uj
vm
m um
x
结点位移 位移 应变
应力 结点力
{d}e ——{f} ——{} ——{} —— {F}e
位移模式 几何方程 物理方程 虚功方程
{f }=[N]{d}e
{}=[B]{d}e {}=[S]{d}e ，[S]= [D][B] {F}e=[k]{d }e，[k]= [B]T [D] [B]tA

31.10.2020
6
§1-1 弹塑性力学的任务和对象
如果当外因去掉，变形体未能恢复原状并 存在永久变形，变形固体在外因作用时已进
入塑性阶段， 曲线不是单值函数。
当然变形体常遇到在物 体某一局部处于弹性、而另 一区域处于塑性状态，弹塑
性交织在一起 。
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7
§1-1 弹塑性力学的任务和对象
13
§1-2 基本假设和基本规律
2. 几何连续性规律：要求变形前连续的物 体，变形后仍为连续物体，由这个规律建立 几何方程（6个）或变形协调方程，均为微 分方程。
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14
§1-2 基本假设和基本规律
3. 物理（本构）关系：应力（内力） 与应变（变形）之间的关系，据材料的 不同性质 来建立，最常见的为各向 同性材料。
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9
§1-2 基本假设和基本规律
2.1基本假设
假设1：固体材料是连续的介质，即固体体积 内处处充满介质，没有任何间隙。
从材料的微观看此假设不正确。因为粒子 间有空隙，但从宏观上看作为整体进行力学分 析时，假设1是成立的。假设1的目的：变形体 的各物理量为连续函数（坐标函数）。
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弹塑性力学
第 六 章 弹性力学平面问题的直角坐标系解答 第 七 章 弹性力学平面问题的极坐标系解答 第 八 章 等截面直杆的扭转 第 九 章 空间轴对称问题 第 十 章 弹性力学问题的能量原理 第 十一 章 塑性力学基础知识
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1
参考书目
1.徐芝纶， 弹性力学：上册.第三版,高等教育 出版社.1990年
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17
§1-5 笛卡尔坐标系下的矢量、 张量基本知识

塑性力学
研究材料在塑性状态下应 力和应变行为的科学。
塑性力学的基本假 设
塑性变形是连续的，且不改变物质的性质。 塑性变形过程中，应力和应变之间存在单值关系，且该关系是连续的。 塑性变形过程中，材料内部的应力状态是稳定的，不会出现应力振荡或波动。
塑性力学的基本方程
应力平衡方程
在塑性状态下，物体的内部应力场满 足平衡方程，即合力为零。
应变协调方程
本构方程
在塑性状态下，应力和应变之间的关 系由本构方程描述，该方程反映了材 料的塑性行为特性。
在塑性状态下，物体的应变状态满足 应变协调方程，即应变是连续的。
塑性力学的边值问题
01
塑性力学中的边值问题是指给定 物体的边界条件和初始条件，求 解物体内部的应力和应变状态的 问题。
02
边值问题可以通过求解微分方程 或积分方程来解决，具体方法取 决于问题的具体形式和条件。
04
材料弹塑性性质
材料弹性性质
弹性模量
材料在弹性变形阶段所表现出的 刚度，反映了材料抵抗弹性变形
的能力。
泊松比
描述材料在受到压力时横向膨胀 的程度，反映了材料在弹性变形
阶段的横向变形特性。
弹性极限
材料在弹性变形阶段所能承受的 最大应力，超过该应力值材料将
发生不可逆的塑性变形。
材料塑性性 质
屈服点
解析法的优点是精度高、理论严 谨，但缺点是适用范围较窄，对
于复杂问题难以得到解析解。
有限元法
有限元法是一种将连续的求解域离散化为有限个小的单元，通过求解这些小单元的 解来逼近原问题的求解方法。
它适用于各种复杂的几何形状和边界条件，能够处理大规模的问题，并且可以方便 地处理非线性问题。

(完整word 版)中南大学弹塑性力学试卷答案-材料11级-2013---○—-—○------○—-—○--—学 院专业班级学 号姓 名………… 评卷密封线 ……………… 密封线内不要答题，密封线外不准填写考生信息，违者考试成绩按0分处理 ……………… 评卷密封线 ………… 中南大学考试试卷2012～2013 学年 二 学期 弹塑性力学 课程 时间110分钟32 学时， 2学分，闭卷,总分100分题 号 一二三四五六七八九十合 计得 分评卷人 复查人一、填空题 （本题30分，每小题2分）1、固体材料弹性力学分析中对于材料所做的基本假设有连续性假设、均匀性假设、各向同性假设；弹塑性体假设；小应变假设;无初应力假设 ( 至少写出三个）。

2、表征裂纹尖端的应力场强度的力学参数是 应力强度因子Ki （i=Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ） ，其量纲是 [N ］×[m]—3/2 .3、在Ⅲ型裂纹扩展模式中，载荷τ的作用方向与裂纹线方向 平行 ，裂纹面与载荷τ作用方向 平行 。

4、根据弹性力学原理，为了提高承载能力，承受强内压力作用的厚壁筒应该设计成 多层紧配合结构 。

5、如图所示为某理想材料的变形体内两点a 和b 的单元体主应力状态，其中σ=σs 为材料的拉伸屈服强度，则用Mises 屈服准则判别，a 点处于不存在的应力 状态;b 点处于 弹性变形 状态.6、如图所示的裂纹体，同时受到两种应力作用,其扩展类型是 Ⅰ+Ⅲ 型。

7、对于Ⅰ型裂纹，当裂纹体厚度很小时，与厚向一致的裂纹线的尖端得 分 评卷人题一（5）a 图题一（5）b 图1.5σ σ τ题一（6）图12、如图所示,受单向均匀拉伸载荷的平板构件，其上的中心穿透小孔边缘的a 、b 及远离小孔的c 、d 点，处于压应力状态的是 b 点；随着外载荷q 增加，最先进入塑性变形状态的是 a 点。

13、应变增量是 以物体在变形过程中某瞬时的形状 尺寸为原始状态，在此基础上发生的无限小应变 ； 应变增量的量纲为 无 。

写成矩阵形式
R11 cos 2 θ x 1 Ry1 EA cos θ sin θ 1 = Rx 2 l1 − cos 2 θ R1 2 − cos θ sin θ y cos θ sin θ sin 2 θ − cos θ sin θ − sin 2 θ − cos 2 θ − cos θ sin θ cos 2 θ cos θ sin θ
单元刚度矩阵的子矩阵 K ij 表示：当单元 e 中节点 j 取单 位位移，且其它节点位移为零时，对应于 i 节点的节点力。
第五章 有限元法简介
单元1的节点力和节点位移的关系可写成
R1 K11 = R2 K 21
1
K12 K 22
1
δ1 δ 2
1 θFx1(u1) 3 Fx3 (u3) Fy1(v1 ) Fy3 (v3) y 2 o x
1
Fy2 (v2) Fx2(u2)
2
图5-1 简例结构图
第五章
分析步骤：
有限元法简介
2
1
1 1 Ry2(v2) 1 1 Rx2(u2)
1. 离散结构物为有限个单元 分为2个单元，第一个单元的节点编号 为1和2，第二个单元的节点编号为2和3。 对于第一单元，在第1、2节点处的节点力 为 R 11 , R 11 , R 1 2 , R 1 2 ，表示节点施加在单元1上 x y x y
1 − cos θ sin θ u1 1 2 − sin θ v1 cos θ sin θ u1 2 1 si成
R11 k x 1 11 Ry1 k21 1 = Rx 2 k31 R1 k41 y2 k12 k22 k32 k42 k13 k23 k33 k43

第六章 弹塑性平面问题任何一个弹塑性体实际上都是空间（三维）物体，且一般的载荷严格说来也是空间力系。

因此，所有弹塑性力学问题实际上都是空间问题,即所有的力学量都是坐标),,(z y x 的函数.但是，当所考察的物体（结构）及其所承受的载荷具有某些特点时,则可将它们近似地看作平面(二维）问题，即所有的力学量都是两个坐标(如y x ,)的函数,从而使问题得简化，且所得解答又具有工程所要求的精度.由第二章知，弹塑性力学平面问题可分为平面应力问题和平面应变问题两种，本章主要讨论弹塑性平面问题求解的一般方法。

6.1 弹性平面问题的基本方程由第二章己经知道,两类平面问题的基本未知量虽然是完全相同的，但非零的应力分量、应变分量和位移分量不是完全相同的。

1.1平衡方程无论是平面应力问题还是平面应变问题，由于在z 方向自成平衡，因此，两类问题的平衡方程均为⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=+∂∂+∂∂=+∂∂+∂∂00Y y x X y x yxy xyx σττσ (6。

1—1)1。

2几何方程由于只需要考虑面内的几何关系，因此，对于两类平面向题均有 xvy u ，yv ，xuxy y x ∂∂+∂∂=∂∂=∂∂=γεε (6.1—2） 由式(6。

1—2)可得到平面问题的变形协调方程为y x xy xyy x ∂∂∂=∂∂+∂∂γεε22222 （6.1—3） 1。

3本构关系两类平面问题的非零应力分量和应变分量不相同,因此,由广义虎克定律所得本构方程也必然不尽相同.(1)平面应力问题对于平面应力问题，因,0=z σ 0==zx yz ττ,根据广义虎克定律显然有0==zx yz γγ。

因此本构方程为⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫+=+-=-=-=xy xy y x z x y y y x x E EE Eτνγσσνενσσενσσε)1(2)()(1)(1 (6。

1—4a ） 或⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫+=+-=+-=xyxy x y y y x x E E E γντνεενσνεενσ)1(2)(1)(122（6。

➢经典塑性理论对材料性质的假设
(1)静水压力只产生弹性体积变化，不产生塑性体应变；因 此，材料屈服与静水压力无关。
(2)材料属于理想塑性材料或应变硬化塑性材料(即稳定性材料)， 故不可能发生软化现象(不稳定性材料)
（3）抗拉屈服极限与抗压屈服极限相同 (4)材料具有Bauschinger效应 (5)塑性应变增量方向服从正交流动 法则，即塑性应变增量方向沿着屈服 面的梯度或外法线方向
45、法律的制定是为了保证每一个人 自由发 挥自己 的才能 ，而不 是为了 束缚他 的才能 。—— 罗伯斯 庇尔
第一章 岩土弹塑性力学
参考书
§1-1 概述
➢材料受力三个阶段： 弹性 → 塑性 → 破坏
弹性力学 塑性力学 破坏力学 断裂力学等
弹性阶段：内力与变形存在着完全对应的关系，外力 消除后变形就完全恢复。 应力与应变之间的关系是一 一对应的，知道了应力立即可求应变。这种应力和应 变之间能建上一一对应关系的称全量关系。
CD段:曲线下降，岩石开始解体，岩石强度从峰 值强度下降至残余强度，这种情况叫做应变软化 这是岩土类材料区别于金属材料的一个特点。在 软化阶段内，岩土材料成为不稳定材料，传统塑 性力学不适应
岩石类介质的压缩试验结果
围压对三轴应力应变曲线和岩体塑 性性质有明显影响。当围压低时． 屈服强度低，软化现象明显。随着 围压增大，岩石的峰值强度和屈服 强度都增高，塑性性质明显增加。
试验表明，在压力不太大的情况，体积应变实际上与静水压 力成线性关系；对于一般金属材料，可以认为体积变化基本上 是弹性的，除去静水压力后体积变形可以完全恢复，没有残余 的体积变形。因此，在传统塑性理论中常假定不产生塑性体积 变形．而且在塑性变形过程中，体积变形与塑性变形相比往往 是可以忽略的 。 Bridgman和其他研究人员的实验结果确认：在静水压力不大条 件下、静水压力对材料屈服极限的影响完全可以忽略。因此在 传统塑性力学中，完全不考虑体积变形对塑性变形的影响。