第三章 弹塑性有限元方法的实施
§3.1 增量平衡方程和切线刚度矩阵 1、 分段线性化的求解思想
塑性变形的特点决定了塑性本构关系的非线性和多值性，上面由塑性增量理论给
出了塑性应力—应变关系{}{}ep d D d σε=⎡⎤⎣⎦
其中 [][]
{}{}[]{}[]{}
T
ep T
F
F
D D
D D F
F
A D
σσ
σ
σ
∂∂∂∂=-
∂∂+
∂∂⎡⎤⎣⎦
说明当前应力状态不仅与当前应变有关，而且和达到这一变形状态的路径（加载历史）有关。这里包含了屈服准则、强化条件和加卸载准则。
由此，对物理非线性问题，通常采用分段线性化的纯增量法和逐次迭代的方法求解。即将加载过程分成若干个增量步，选择其中任意一个增量步建立它的增量平衡方程并求解，对整个过程的求解有普遍意义。
2、 增量平衡方程和切线刚度矩阵
设t 时刻（加载至i -1步终），结构（单元）在当前载荷（广义体力{}v f 和表面力{}s f ）
的作用下处于平衡状态，此时物体内一点的应力、应变状态为{}{}σε、。在此基础上，施加一个载荷增量{}{}v s f f ∆∆和，即从t t t →+∆时刻，则在体内必然引起一个位移增量{}u ∆和相应的{}σ∆、{}ε∆，只要{}{}v s f f ∆∆和足够小，就有{}{}ep D σε∆=∆⎡⎤⎣⎦。
倘若初始状态{}σ已知，加载过程已知，则ep D ⎡⎤⎣⎦可以确定（即p
ij d ε⎰可以确定，然后
可在硬化曲线上得到1p ε所对应的硬化系数）于是上面的方程成为线性的。在t t t →+∆这一增量过程中，应用于虚功原理可得到如下虚功方程：
()()()0e
e
T T T V V s s V S f f u dV f f u dS σσδεδδ⎡⎤+∆-+∆∆-+∆∆=⎣⎦
⎰⎰ （1）
根据小变形几何关系u N q B q ε∆=∆∆=∆和，再由虚位移()q δ∆的任意性，并设
()()e
e
T T v v s s V
S P P N f f dV N f f dS +∆=
+∆++∆⎰
⎰
，展开后，其中单元在t 时刻载荷等效节点
力：e
e
T T v s V
S P N f dV N f dS =
+
⎰
⎰
；t ∆内增量载荷的等效力e
e
T T v s V
S P N f dV N f dS ∆=
∆+
∆⎰
⎰
。
这样，由方程（1）可得平衡方程： []{}{}e
T
V B dV P P σσ+∆=+∆⎰ （2）
即： ()0e
e
T T t t V V F B dV B dV P P σσ+∆=+∆-+∆=⎰⎰
因为t 时刻（第i 步终）结构处于平衡状态 0e
T
t V F P B dV σ=-=⎰
（3）
这样（2）式变为: e
T V P B dV σ∆=
∆⎰ 即：0e
T V F B dV P σ∆=∆-∆=⎰ （4）
将{}{}ep d D d σε⎡⎤=⎣⎦和{}B q ε∆=∆代入上式得增量平衡方程：
e
T
ep V B D BdV q P F ⋅∆-∆=∆⎰ （5）
对增量位移求导：
()
()e
T e ep t V d F B D BdV K d q ∆==∆⎰ （6）
于是（5）式成为 e
t K q P ⋅=
∆∆ （7）
e
t K 为单元切向刚度矩阵。集合所有单刚后得到结构总的增量平衡方程
T K q P ⋅=
∆∆ （8）
方程（8）是线性的，可以直接求解。 3.2 硬化系数H '的数值表示
根据单一曲线定理，对于一般稳定性硬化材料，在其简单加载过程中，σ和ε之间存在着一一对应的确定的函数关系()εσΦ=，这一关系可用单向拉伸实验来确定。 例如，对于Mises 各向同性硬化材料
p d d H εσ/=' （8）
在有限元分析中，作为初始参数应把这一曲线输入（用函数或数字的形式），在加载过程中弹塑性矩阵不断地修改，根据当前的应力或应变来确定。目前，硬化曲线的输入格式有两种： 1） 解析表达式
根据单一曲线定理，由单向拉伸试验曲线直接得出硬化曲线的解析式。例如： （a ）Mises 各向同性线性硬化材料
单向拉伸曲线有： 当 s σσ≤ εσE =
当 s σσ≥ ()t s s E εεσσ-+= （9）
则有 111111
11t p p e
t
t EE d d d H d d d d E E E E
σσσεεεε'=
====--- （10） -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------附：对于一般材料的硬化曲线的求法（求H '）
如单拉曲线 则硬化曲线
根据 11~εσ ===》 p εσ~===》⎰⎰==p ij p p d d εεε1 其中单拉时等效应变为 ()113
2
32ευεεε+==
ij ij 因为 εε=1，υεεε-==32，平均应变为 ()()132********
ευεεεε-=++=
所以10εεε∴=+ ，当 2
1
=υ时 εε=1
（b ）Mises 各向同性幂硬化材料
单向拉伸曲线有： 当 s σσ≤ εσE =
当 s σσ≥ m A σε= （11）
由屈服点条件：m
S S
E A εε=得 1m
S
A E ε-= 据（8）式得 111
11111
1111111p e m e d d EB H d d d E B d d Am E d d σσεεεσσεεε---'=
====--⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
（12）
其中： 1111)/(--==m S m Em Am B εεε
2） 根据离散的单拉实验数据，采用样条插值计算H '
（参看清华大学孟凡中教材：弹塑性有限变形理论和有限元方法） 3.3 过渡单元弹塑性矩阵的确定
