材料非线性问题有限元方法教学要求和内容1.掌握弹塑性本构关系和塑性力学的基本法则；2.掌握弹塑性增量分析的有限元格式；3.学习常用非线性方程组的求解方法：（1）直接迭代法；（2） Newton-Raphson 方法，修正的N－R 方法；（3）增量法等。
请大家预习，争取对相关内容有大概的了解和把握。
弹塑性增量有限元分析一．材料弹塑性行为的描述弹塑性材料进入塑性的特点：存在不可恢复的塑性变形；卸载时：非线性弹性材料按原路径卸载；弹塑性材料按不同的路径卸载，并且有残余应变，称为塑性应变。
1．单向加载1） 弹性阶段: 卸载时不留下残余变形; 2） 初始屈服：s σσ=3） 强化阶段：超过初始屈服之后,按弹性规律卸载，再加载弹性范围扩大：ss σσ'>，sσ'为相继屈服应力。
4） 鲍氏现象（Bauschinger ）： 二．塑性力学的基本法则1．初始屈服准则： 00(,)0ij F k σ= 已经建立了多种屈服准则：（1） V . Mises 准则：000(,)()0ij ij F k f k σσ=-=220011()(),()23ij ij ij s f s s J k σσ===第二应力不变量1122221,()3ij ij ij m m s σδσσσσσ=-=++偏应力张量：平均应力：（2） Tresca 准则（最大剪应力准则）：0max ()0ij s F S ττ=-=2．流动法则V . Mises 流动法则：0(,)()ij ij p ijijijF k f d d d σσελλσσ∂∂==∂∂， 0d λ> 待定有限量塑性应变增量 p ijd ε 沿屈服面当前应力点的法线方向增加。
因此，称为法向流动法则。
3．硬化法则：（1）各向同性硬化：(,)()0ij ij F k f k σσ=-=21(),3p ps k σεε==⎰ 等效塑性应变，可由单拉试验确定。
（2）运动硬化法则：* Prager 运动硬化准则；Zeigler 修正的运动硬化准则。
（3）混合硬化法则：4．加载卸载准则：（1）若(,)0ij F k σ=，且()0ij ij ij f σσσ∂>∂，则继续塑性加载（2）若(,)0ij F k σ=，且()0ij ij ij f σσσ∂<∂，则按弹性卸载（3）若(,)0ij F k σ=，且()0ij ij ij f σσσ∂=∂，1）对理想塑性材料，则继续塑性流动；2）对硬化材料，则继续塑性加载，但塑性应变增量为零。
0pd ε=三．弹塑性增量的应力应变关系 1．建立弹塑性增量应力应变关系的原则（1）一致性条件：塑性加载时，应力仍在屈服面上（2）流动法则：新的塑性应变增量，pijd ε，在屈服面上的原应力点的外法线方向。
（3）弹性应力应变关系：应变增量的弹性应变部分与应力关系仍服从胡克定律。
2．各向同性硬化材料的应力应变关系 （1）一致性条件(,)(,)(,i j i j i j i j d F F d d F σκσσκκσκ=++-=，ij ij F F dF d d σκσκ∂∂=+=∂∂ 具体形式：203sij s p ij p f d d σσσεσε∂∂-=∂∂， s ppE σε∂=∂ 单向拉伸试验测得。
（2）流动法则：()ij pijijf d d σελσ∂=∂， 1()2ij ij ijf s s σ=23pp s d d εελσ=⇒===⎰（3）应力应变关系：e p ij ij ijd d d εεε=+())e p p ij ijkl kl ijkl kl kl ijkl kl ijkl kld D d D d d D d D d σεεεεε==-=-注意：屈服条件是已知的，我们应该将塑性应变通过已知量表示出来。
根据流动规则，()ij p ijijf d d σελσ∂=∂，需要确定d λ。
249eijkl klijeijkl s p ij kl f D d d f f D E εσλσσσ∂∂=∂∂+∂∂， spp E σε∂=∂()ij p ijijf d d σελσ∂=∂2()()()9e e p ij ijklklijkl kl kle kl ijklkl kle mnqre e mnijklkl ijklqre klmnqrs pmnqr e p ep ijkl kl ijklkl ijklkl d D d D d d f D d d fDf D d Dd DE D d D d D d σεεεσελσσεεσσσσεεε==-∂=-∂∂∂∂=-∂+∂∂=-=弹性张量：,e e e ijkl ij ijkl klD d D d σε=塑性张量：29eeijpqmnklpq mn pijklemnqr s pmn qr f f D D D D E σσσσσ∂∂∂∂=+∂∂，2[][][]4[]9Teepe s pf f D D D f f D E σσσσσ∂∂⎧⎫⎧⎫⎨⎬⎨⎬∂∂⎩⎭⎩⎭=∂∂⎧⎫⎧⎫+⎨⎬⎨⎬∂∂⎩⎭⎩⎭ 弹塑性张量：epe p ijkl ijkl ijklD D D =-e p ep ij ijkl kl ijkl kl ijklkl d D d D d D d σεεε=-=写成矩阵形式：{}[]{}[]{}[]{}epe pd D dD d D d σεεε=-=四．弹塑性增量有限元格式 1 弹塑性问题的增量方程将物体的作用荷载分成很多阶段，以模拟加载历史。
假设在t 时刻作用的荷载：tF （体积力），tT （表面力），tu （已知位移）,以及所对应的响应（应力t ij σ，应变tij ε，位移ti u ）已知。
求t t +∆时刻对应的响应：t tt F F F +∆=+∆，t ttT T T +∆=+∆，t ttu u u +∆=+∆t ttij ij ij σσσ+∆=+∆，t ttij ij ij εεε+∆=+∆，t tti i i u u u +∆=+∆由虚功方程（虚位移原理）描述的控制方程为：()()()()()()0t t tij ij ij i i s dx F F u dx T T u ds σσσδεδδΩΩ+∆∆-+∆∆-+∆∆=⎰⎰⎰()()()()()()ij ij i i s t t tij ij i i s dx F u dx T u dsdx F u dx T u ds σσσδεδδσδεδδΩΩΩΩ∆∆-∆∆-∆∆=-∆+∆+∆⎰⎰⎰⎰⎰⎰()()()()()()tep ijklkl ij i i s t t tij ij i i s D dx F u dx T u dsdx F u dx T u ds σσεδεδδσδεδδΩΩΩΩ∆∆-∆∆-∆∆=-∆+∆+∆⎰⎰⎰⎰⎰⎰写成矩阵形式{}[]{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}t ep s ttts D dx u F dx u T dsdx u F dx u T ds σσδεεδδδεσδδT T TΩΩT T T ΩΩ∆∆-∆∆-∆∆=-∆+∆+∆⎰⎰⎰⎰⎰⎰将物体离散成有限单元，单元内任意点的位移增量通过形函数用单元节点位移增量表示： 位移：{}[]{}eu N a ∆=∆ 应变：{}[]{}eB a ε∆=∆ 带入虚功原理：[]{}{tK a Q ∆=∆[][],[][][][]{}{}{}{}{}ettetetepet t t t t t e t t e K K K B D B dxQ Q Q Q Q T Ω+∆+∆+∆+∆==∆=-=-∑⎰∑∑[][][][]{}[]{}[]{}{}[]{}[]{}eee eet e t ept te t tt ts t etts K B D B dxQ N F dx N T dxQ N F dx N T dxσσT Ω+∆T +∆T +∆ΩT T Ω==+=+⎰⎰⎰⎰⎰采用纯增量法作弹塑性有限元分析的步骤以下仅限于简单加载过程（无反复加卸载过程）和Mises 各向同性强化材料:1. 开始，输入初始参数（几何；材料性质，0sσ，P E ；边界条件；外载荷）2. 将外载荷一次加上作线弹性分析 {}{}{}max q εσσ→→→（Mi.条件） 如果 0max s σσ≤ 不存在塑性区则为弹性问题→直接输出结果 结束！ 否则0max s σσ>作弹塑性分析3.计算弹性极限{}e Q 设 0max /sασσ=， 则 {}{}e Q P α=并可输出弹性极限载荷{}e Q 下的结果{}{}{}e e e q εσ、、。
4.对剩余载荷{}{}{}r e Q Q Q =-作弹塑性分析如果采用等增量步格式，则将{}r Q 等分为N 个增量步，即每一增量步载荷为：{}rQ Q N∆=。
下面5.中是对N 个增量步循环。
5.在i 步上施加一个增量载荷i Q ∆。
已知当前状态下（i -1步终），各单元的（or 高斯点）σ，ε，s σ。
判断三种类型的单元：1）弹性 2）塑性 3）过渡单元。
对本增量步内所有过渡单元经过2~3次迭代得到合适的ep D ⎡⎤⎣⎦，计算各单元的t k ，并集合所有单元，形成总刚T K ，求解{}[]T K a Q ∆=∆得{}i a ∆ 得到第i 步的解。
{}{}{}1i i i a a a -=+∆ 和 {}{}{}1iii εεε-=+∆；{}{}{}1i i i σσσ-=+∆21 同时记录下各单元的当前状态。
,ss σε'' 如果，荷载步为卸载，则采用弹性应力应变关系。
6.直至全部载荷施加完毕，输出结果，结束。
