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变与不变一、知识讲述在加法算式里，加号前面的数叫加数，加起来的得数叫和；在减法里，减号前面的数叫被减数，减号后面的数叫减数，减下来的得数叫做差。
你们知道吗，在加法、减法算式里，一个数变化了其他数也会随着变化，它们之间是怎样变化的呢?今天我们就来一起研究这样是问题。
二、例题精讲例1．在一道加法算式里，一个加数不变，另一个加数增加1，和变不变？怎样变？答案要点：我们可以先举一个例子，如1+2=3，当一个加数增加1，变成2+2=4，那么我们会发现和也会增加1。
看来，一个加数不变，另一个加数增加几，和就增加几。
变形练习：在一道加法算式里，一个加数不变，另一个加数减少5，和变不变？怎样变？（和也会减少5）例2．在一道加法算式里，一个加数增加1，另一个加数增加2，和会怎样变？答案要点：像这样的题，我们还是可以通过举例子加以说明。
1+2=3，和会增加3.变形练习：在一道加法算式里，一个加数增加2，另一个加数不变，和变不变？怎样变？（和会增加2）例3．在一个减法算式里，减数不变，被减数增加4，差会怎么变？答案要点：举例找规律：5-2=3，那么变成9-2=7，从差是3变成差是7，差也增加了4。
所以可以知道，在减法里，减数不变时，被减数怎么变，差就怎么变。
变形练习：在一个减法算式里，减数不变，被减数增加3，差会怎么变？如果被减数减少5呢？（被减数增加3，差会增加3；被减数减少5，差会减少5）例4.在一道减法算式里，被减数不变，减数增加2，差会怎么变？答案要点：举例找规律：5-2=3，那么变成5-4=1，从差是3变成差是1，差减少了2。
所以可以知道，在减法里，被减数不变时，减数增加几，差就减少几；反过来，减数减少几，差就增加几。
所以，被减数不变，减数增加2，差会减少2.变形练习：在一道减法算式里，被减数不变，减数减少7，差会怎么变？（增加7）例5.在一道加法算式里，一个加数增加3，另一个加数减少2，那么和会怎么变？答案要点：我们先借助一道算式3+4=7来加以说明。
第二章比一比看一看第3讲变与不变【专题导引】小朋友，你知道吗？把一块石头放进瓶子里，瓶子里的水会有什么变化？对了，瓶子里的水位就会升高。
把放进去的石头再拿出来，水又会怎样变化呢？下面，我们就来找一找变与不变的规律。
在某一物体中再添加一些物体，总量就会增加，在某一物体中取走一些物体，总量就会减少。
而仅仅是把物体改变它的形状或大小，质量就不会改变。
【专题导引】【B1】杯子外面有两块石头，一块大的，一块小的。
大的石头放进杯子里与小的石头放进杯子里，水的变化有什么不同？解答：大石块放进杯子里，水面升高得多；小石块放进杯子里，水面升高得少。
【试一试】杯子外面有两块铁块，一块大的，一块小的，大铁块放进杯子里与小铁块放进杯子里，水的变化有什么不同？解答：大铁块放进杯子里，水面要比小铁块放进杯子里升高得多。
【B1】下面左边两只杯子一样大，里面盛的水也一样多。
如果把左边杯子里的水分别倒入右边的杯子里，右边的两个杯子里的水还是一样多吗？解答：水倒入另外一个容器中不变，右边两个杯子里的水一样多。
【试一试】有两块石头，一块大的，一块小的，分别放进了同样大小的杯子里，且杯子里装的水同样多。
请问哪杯是放进了大的石头，哪杯是放进了小的石头？解答：A杯中水面要比B杯中水面高，所以A杯放进了大石头，B杯放进了小石头。
【B3】分别在没有石头的上排的杯里放入石头后变成下排之图，哪个杯里的石头最大？解答：B杯中水面升高得最多，所以B杯里的石头最大。
【试一试】分别在上排没有石头的杯子里各放一块铁块后变CA BA B成下排的图，哪个杯子里面的铁块最小？解答：第（3）个杯子中水面升高得最少，所以第（3）个杯子里面的铁块最小。
【A1】两块一样的方糖，各放一块到杯子里，哪杯水甜？解答：B杯中水少一些，所以B杯中水更甜。
【试一试】在下面的4杯淡水中，每杯放进同样的2块方糖，哪一杯水最甜，为什么？解答：第（2）杯最甜，因为第（2）杯水最少。
【A2】三杯糖水一样甜，哪杯水里放进去的糖最少？解答：第（1）杯最少，因为第（1）杯中水最少。
不变原则---一个简单的数学思想我们常常说“以不变应万变”，意思是指事物时常变化我们办事要注意观察其变化，处变不惊。
一旦掌握了其变化规律，便可以用统一的方法来分析问题，解决问题。
在奥数专题里没有这一讲，只偶尔在解题分析中看到过“差不变原则”的分析方法。
寒假给学生上课，讲计算，一并拓展了一下，加入了“和不变”、“积不变”和“商不变”。
这里简单给大家介绍一下这几个原则。
一、和不变原则和不变原则指的是两个数相加，如果一个增大，一个减小，且增大和减小的是同样的数，那么相加后的总和不变。
可能貌一听起来觉得好像没有什么用，但在具体做题的时候，还是很有用的。
请看这样两道题：① 98+165 ② 107+239分析：低年级同学应该也能很快将两个正确答案给出来，其实掌握了方法，口算是非常快的。
①98+165，要想和不变，又想算得快，那么一个+2，一个-2，所以原来的算式就变成了100+163=263；② 107+239，要想和不变，那么一个减小7，一个增大7，所以原式变为：100+246=346；二、差不变原则差不变原则自然就是说两个数相减，要想差不变，则被减数增大，减数也相应地增大，被减数减小，减数也跟着减小。
这就好比我们平时讲年龄问题时所讲的年龄差不变，爸爸长大，宝宝也跟着长大，之间的差一直不变。
下面看两个简单的例子：①205-97 ②376-108分析：平时孩子做①这一类题时，如果列算式，因为要连续借位，经常容易犯错，在奥数学习中，我们在速算与巧算中经常讲用“凑整”法来做这些题，比较简单。
掌握了差不变原则的意思，这样的题直接口算就可写出答案。
①205-97，要想差不变，那么把两个同时增大3，就变成了208-100，差不变，答案很快就出来了；②同样，可以很快得到：376-108 = 368-100 = 268；三、积不变原则所谓积不变原则，是指两个数相乘，一个放大几倍，另一个缩小几倍，则积不变。
举例说明如下：①15×6 ②16×5这样两个简单的式子，在6年级同学中依然会经常犯错。
二、变与不变姓名知识概要当加数发生变化，和的变化有什么规律？当被减数或减数发生变化，差的变化有什么规律？今天我们要来研究加减算式中的变化规律。
例题精选例1：两个数相加，一个加数增加9，另一个加数减少9，和是否发生变化？例2：两个数相加，如果一个加数增加10，要使和增加6，那么另一个加数应有什么变化？我能行：1，两个数相加，一个数减6，另一个数减2，和起什么变化？2，两个数相加，如果一个加数增加8，要使和减少15，另一个加数应有什么变化？例3：两数相减，如果被减数增加8，减数也增加8，差是否起变化？例4：两个数相加，如果一个加数减少8，要使和增加8，另一个加数有什么变化？例5：两数相减，被减数增加20，要使差减少16，减数应有什么变化?我能行：1，两数相减，被减数增加12，减数减少12，差起什么变化？2，两个数相加，如果一个加数增加11，要使和减少11，另一个加数应有什么变化？3，两数相减，被减数减少36，要使差减少40，减数应有什么变化？超级训练:1，两个数相加，一个数加3，另一个数也加3，和起什么变化？2，两个数相加，如果一个加数减少8，要使和减少8，另一个加数应有什么变化？3，两数相减，被减数减少10，减数增加10，差起什么变化？4，两个数相加，如果一个加数减少16，要使和减少9，另一个加数应有什么变化？5，两数相减，减数增加10，要使差减少15，被减数应有什么变化？6，两个数相加，一个数减8，另一个数加8，和是否变化？7，两个数相加，如果一个加数增加8，要使和增加15，另一个加数应有什么变化？8，两数相减，被减数减少6，减数也减少6，差是否起变化？9，两个数相加，如果一个加数减少9，要使和增加17，另一个加数应有什么变化？10，两数相减，被减数减少12，要使差增加8，减数应有什么变化？附加思考题在一个减法算式里，被减数、减数与差的和是120，而差是减数的3倍。
如果差不变，被减数减少5，减数应变为多少？。
小学数学不变与变错中求解数字问题模板小学数学不变与变、错中求解、数字问题模板第一章变化与不变性一、和差不变[典型示例]例1、两个数相加，一个加数减少10，另一个加数增加10，和是否会起变化？例2。
当两个数相加时，如果一个加数减少8，如果和增加8，另一个加数的变化应该是什么？例3、两数相减，如果被减数减少2，减数也减少2，差是否会起变化？例4。
如果减去两个数字，减去的数字将增加20。
要将差值减少16，减去的数字应该有什么变化？例5、被减数、减数、差相加得2076，差是减数的一半。
如果被减数不变，差增加42，减数应变为多少？一【练习题】1.两个数相加时，一个加数增加12，另一个加数减少2。
总和会改变吗？2、两个数相加，一个加数增加15，另一个加数减少15，和是否会起变化？3.两个数相加时，一个加数增加6，另一个加数也增加6。
它是如何变化的？4、两个数相加，如果一个加数减少16，要使和减少9，另一个加数应有什么变化？5.两个数相加时，如果一个加数加9，加和加17，那么另一个加数的变化是什么？6、两个数相加，如果一个加数减少16，要使和减少16，另一个加数会怎样变化？二7、两数相减，如果被减数减少18，减数增加18，差起什么变化？8.减去两个数字。
如果减去的数字增加23，减去的数字减少23，差值会改变吗9、两数相减，被减数减少36，要使差减少40，减数应有什么变化？10.减去两个数字。
如果减去的数字减少了12，差值增加了8，那么减去的数字的变化应该是什么？11、两数相减，如果减数增加10，要使差减少15，被减数应有什么变化？12.在减法公式中，减法、减法和差之和为180，差比减法小8。
如果减去的数字保持不变，减去的数字减少16，那么差值是多少？313.在减法公式中，减法、减法和差相加为90，差是减法的两倍。
如果减法保持不变，差值增加27，减法应变是多少？二、积商不变[典型示例]例1、两数相除，如果被除数缩小3倍，除数扩大2倍，商将怎么变化？例2。
思维训练第11讲变与不变学一学
例1、下面左边两只杯子一样大，里面盛的水也一样多。
如果把左边杯子里的水分别倒入右边的杯子里，右边两个杯子里的水还是一样多吗？（）
例2、杯子外面有两块石头，一块大的，一块小的。
大的石头放进杯子里与小的石头放进杯子里，水的变化有什么不同？大石头放进杯子里，水面升高得（），小石头放进杯子里，水面升高得（）。
例3、分别在没有石头的上排的杯里放入石头后变成下排之图，（）个杯里的石头最大.
例4、两块一样的方糖，各放一块到杯子里，（）杯水甜.
例5、三杯糖水一样甜，哪杯水里放进去的糖最少？（）
做一做
1、两边的苹果个数等不等？（）
2、将大小不同的两块石头放入盛水相同的两个杯中，哪个杯中放入的是大石头？
（）
3、把鹅蛋、鸡蛋、鸽蛋分别放入三只碗里，猜猜它们分别放在（）只碗里.
4、3杯一样多的水中放入的糖块块数不同，哪一杯水更甜？（）。
小学数学思维中的“变与“不变摘要：随着社会经济水平的飞速发展和新课改政策的不断深入推进，小学数学作为小学教育课程体系中的重要科目，需要秉持着培养小学生数学学习能力、思考习惯、思维方式的教学原理，积极响应国家教育政策，从而做出教学改变。
本文将阐述小学数学教学中如何培养小学生“变”与“不变”的数学思维，并提出相应的教学策略。
关键词：小学数学;数学思维;教学策略小学数学作为小学教育课程体系中的重要科目，最主要的教学目标就是培养小学生的数学学习能力，帮助小学生建立数学思考的“变”与“不变”思维方式，并通过教学过程和学生的学习过程，将“变”与“不变”的数学思维运用到实际的数学学习中去，去理解数学知识在不同思维方式下发生的不同变化。
1培养小学生“变”与“不变”数学思维的必要性培养小学生“变”与“不变”的数学思维，就是在培养小学生面对数学问题时，思考数学问题变化与不变化所产生不同结果的思维方式。
培养小学生科学的思维方式就是小学生数学学习效率的前提保证，而“变”与“不变”的数学思维，就好比在一道数学计算题“1.25×17.6+36.1÷0.8+2.63×12.5=（）”中，为了使计算简便，先把÷0.8变成×1.25，然后运用积不变的规律，将2.63×12.5转化成26.3×1.25（一个因数乘10，另一个因数除以10，积不变），最后运用乘法分配律写成1.25×（17.6+36.1+26.3）=1.25×80，快速算出答案100，（这就是数学思维中的“变”与“不变”。
小学数学教师要通过有效的教学方式，来引导小学生注意数学思维的变化过程，让小学生学会通过数学思维的变化开展有效的数学学习，从而提高数学学习的学习效率。
小学数学教师在进行课堂教学时，要充分尊重学生的教学主体地位，让教师从教学的领导者，变为学生学习的引导者，给予小学生足够的思考空间，让学生跟着自己的思维方向，一步一个脚印的扎实学好基础。
2019年05月DANGDAIJIAOYANLUNCONG自《义务教育教学课程标准》颁布以来，对小学教育提出了新的要求。
其中有关学生自主学习意识的培养方面，该政策做出了明确的指示：“帮助学生学会独立思考，体会数学的基本思想和思维方式”。
其中，数学思想的形成是建立在对数学知识、方法、规律的扎实掌握基础上的，而学习数学的本质就是利用数学思维来解决数学实质问题。
在变化中寻找不变的量，这恰恰是学习数学的一个重要思想。
但是，如何将“变与不变”思想融入课堂中，如何利用它推动学生数学学习质量的提升，还需要教师给予进一步的思考。
一、在“变与不变”中揭示数学概念著名思想家、教育家苏格拉底曾说过：“虽然特殊的事件或事物在某些方面变化或消逝，但它们的某些方面却是同一的，从不变化、从不消逝。
”这段话充分表达了数学中“变与不变”的哲学思想。
其中，“变与不变”是一种客观存在的学习思想，它的本质是：局部变，整体不变；暂时变，结果不变。
所以在利用该思想剖析数学概念期间，教师需要引导学生“既考虑知识的变，也要考虑知识的不变”，同时更要考虑二者之间的互变。
假如学生可以把握该思想的本质，那么就可以做到面对任何难题的时候都可以以不变应万变，从而成功解决难题，得出想要的答案。
在数学课中融入“变与不变”思想时，首先要带领学生剖析数学的概念。
众所周知，概念作为数学课的基础，是学生深入习题解答的必经之处。
在导入“变与不变”思想的时候，教师可以从另一个角度出发，引导学生把握知识的概念本质。
以“平行四边形”为例，在教学期间，数学教师可以告诉学生“不论平行四边形”的四个角、四条边如何变化，它的两组对边永远都是分别平行的。
当把握了这个本质后，学生自然理解了平行四边形的概念。
可见，利用“变与不变”思想揭示数学概念，站在不同的角度引导学生思考，可以有效地激发学生的发散性思维，让他们在学、思、做的时候可以更扎实、更深入地了解知识的本质特征。
二、在“变与不变”中整理知识规律学习数学是一个探索规律的过程，只要把握了规律，任何难题都会立即迎刃而解。
第8周变与不变一、知识要点小朋友们，你知道吗？把一块石头放进瓶子里，瓶子里的水会有什么变化？对了，瓶子里的水位就会升高。
把放进去的石头再拿出来，水又会怎样变化呢？水位会降低。
不错，在某一物体中再添加一些物体，总量就会增加；在某一物体中取走一些物体，总量就会减少。
而仅仅是把物体改变它的形状，它的总量就不会改变。
二、精讲精练【例题1】下面左边两只杯子一样大，里面盛的水也一样多。
如果把左边杯子里的水分别倒入右边的杯子里，右边两个杯子里的水还是一样多吗？【思路导航】两只同样的杯子盛着一样多的水，把这两只杯子里的水分别倒入大小不同、形状不同的杯子里，杯子的大小、形状变了，而水的总量是不会变的。
【温馨提示】仅仅只改变物体的形状或大小，总量不会改变。
练习1：1.两边的苹果个数等不等？相等。
2.白球的个数和花球的个数一样多。
如果把白球放入左边玻璃杯内，把花球放入右边杯内，左边杯里的白球多还是右边杯里的花球多？一样多。
3.下面左边两只杯子一样大，里面盛的盐也一样多。
如果把左边杯子里的盐分别倒入右边的杯子里，右边两个杯子里的盐还是一样多吗？一样多。
【例题2】将大小不同的两块石头放入盛水相同的两个杯中，杯中水位情况如图所示，哪个杯中放入的是大石头？【思路导航】杯里盛水相同时，放入的石头大，则水位就升得高；放入的石头小，则水位升得低。
1号杯子水位高，说明1号杯中放入的是大石头。
【温馨提示】大石头放进杯子里，水面升高得多，小石头放进杯子里，水面升高得少。
练习2：1.杯子外面有两块铁块，一块大的，一块小的，大铁块放进杯子里与小铁块放进杯子里，水的变化有什么不同？大铁块放进杯子，水面升高得多。
小铁块放进杯子，水面升高得少。
2.将大小不同的两块石头放入盛水相同的两个杯中，哪个杯中放入的是大石头？（1）号杯放进的是大石头。
3.如图，杯子里的石头拿出来了，哪个杯子里面拿出来的石头最大？哪个杯子里面拿出来的石头最小？拿出石头前：拿出石头后：（1）（2）（3）（1）号杯拿出来的石头最大，（2）号杯拿出来的石头最小。
