清华大学断裂力学讲义ch3讲解

结构可靠性评价及失效分析第12讲断裂力学培训讲义1、概述1.1载荷的分类与破坏形式结构承受载荷的性质（拉、压、扭转、剪切）、大小、方向、作用位置中一项或多项不断变化（疲劳）或变化过大、过速（冲击）的情况都属于动载。

疲劳是结构失效的基本形式，约占结构失效总量的80～90％。

冲击载荷容易造成结构的脆性破坏。

造成脆性破坏，或加速疲劳破坏的原因可能是结构形式不佳（如应力集中严重）或结构工作环境的恶化（如环境温度变得过低，使材料材质变脆；或环境介质腐蚀性强，使结构缺陷加深增大）等。

疲劳破坏和脆性破坏都属于低应力破坏，发生破坏时的工作应力可能只有结构材料屈服极限的1／2，1／5，1／10，甚至没有外载荷。

例如，历史上曾经发生的破坏事件：海面上本来风平浪静，船舶却突然开裂破坏；火车尚未到达大桥，大桥却突然先行倒塌。

人类已经为突发性的低应力破坏付出了太多、太沉重的代价。

科研工作者为研究低应力破坏的机理、规律、预防措施等，做出了巨大贡献，我们应当认真学习研究这些知识，预防低应力破坏事件的发生。

1.2结构脆性断裂的特点⑴名义工作应力低: 只有材料s的1／3～1／10，甚至外载荷等于零（如图1宽板焊接接头的实验结果）。

⑵断裂之前无明显塑性变形，无征兆，突发断裂。

⑶低应力脆性破坏多发生在低温阴冷的时刻。

以上三个特点，让人猝不及防，容易造成严重危害。

⑷ 发生低应力脆性断裂的结构内，多半存在着较大的内应力，有较高的内能。

⑸ 发生低应力脆性断裂的结构上，必有裂源或应力集中点存在。

脆性断裂对缺陷和应力集中很敏感。

后两个特点，反映了低应力脆性断裂的必然性，并非无缘无故发生。

1.3结构发生脆性断裂的原因和条件（金属结构脆性断裂的能量理论）固体内部的裂纹和缺陷，导致其发生低应力脆性断裂。

使材料的实际断裂强度只有其理论强度的1／10 ～ 1／1000。

对这一现象作如下分析：⑴ 一个L B ⋅⋅δ的微裂纹体（图2），1=δ，在平均力F 的作用下，伸长了L ∆长，两端固定起来（相当于被均匀拉伸的弹性体的一个局部）。

第一章 绪论§1.1 断裂力学的概念任何一门科学都是应一定的需要而产生的，断裂力学也是如此。

一提到断裂，人们自然而然地就会联想到各种工程断裂事故。

在断裂力学产生之前，人们根据强度条件来设计构件，其基本思想就是保证构件的工作应力不超过材料的许用应力，即σ≤[σ]～安全设计安全设计对确保构件安全工作也确实起到了重大的作用，至今也仍然是必不可少的。

但是人们在长期的生产实践中，逐步认识到，在某些情况下，根据强度条件设计出的构件并不安全，断裂事故仍然不断发生，特别是高强度材料构件，焊接结构，处在低温或腐蚀环境中的结构等，断裂事故就更加频繁。

例如，1943～1947年二次世界大战期间，美国的5000余艘焊接船竟然连续发生了一千多起断裂事故，其中238艘完全毁坏。

1949年美国东俄亥俄州煤气公司的圆柱形液态天然气罐爆炸使周围很大一片街市变成了废墟。

五十年代初，美国北极星导弹固体燃料发动机壳体在试验时发生爆炸。

这些接连不断的工程断裂事故终于引起了人们的高度警觉。

特别值得注意的是，有些断裂事故竟然发生在σ<<[σ]的条件下，用传统的安全设计观点是无法解释的。

于是人们认识到了传统的设计思想是有缺欠的，并且开始寻求更合理的设计途径。

人们从大量的断裂事故分析中发现，断裂都是起源于构件中有缺陷的地方。

传统的设计思想把材料视为无缺陷的均匀连续体，而实际构件中总是存在着各种不同形式的缺陷。

因此实际材料的强度大大低于理论模型的强度。

断裂力学恰恰是为了弥补传统设计思想这一严重的缺陷而产生的。

因此，给断裂力学下的定义就是断裂力学是研究有裂纹（缺陷）构件断裂强度的一门学科。

或者说是研究含裂纹构件裂纹的平衡、扩展和失稳规律，以保证构件安全工作的一门科学。

断裂力学在航空、机械、化工、造船、交通和军工等领域里都有广泛的应用前景。

它能解决抗断设计、合理选材、制定适当的热处理制度和加工工艺、预测构件的疲劳寿命、制定合理的质量验收标准和检修制度以及防止断裂事故等多方面的问题，因此是一门具有高度实用价值的学科。

第八章 非线性断裂力学§8.1 引 言线弹性断裂力学使我们对理想连续、均匀线弹性介质中单个裂纹的行为有了初步的认识. 但是，这些理论描述和岩石的实际行为显然有很大差距. 从§1.3我们知道, 岩石的应力应变行为仅仅在某一应力大小范围内是近似线弹性的，而且还只能针对一定尺度，这个尺度要远远大于岩石的颗粒尺度. 当我们的考察尺度小到接近颗粒尺度，或当应力超出一定范围时，岩石就表现出越来越严重的非线性. 另外，岩石的行为不是由单一裂纹决定的，而且不是由单一尺度的裂纹群体决定的. 无论是考察岩体的整体行为，还是考察岩体中某条断层的行为，都不能用现有的线弹性模型.另外，线弹性断裂力学理论本身也存在严重的缺陷. 这个理论虽然成功地解释了裂纹端部应力集中的现象，和材料的低应力脆断问题. 但是，对于介质的本构关系采取线弹性假定, 使得裂纹前缘的应力出现了奇异性，这在物理上是不可接受的. 为了克服这种物理上的不合理性, 人们提出了几种修正理论, 其中包括Dugdale(1960)的塑性区理论, 或曰带状屈服模型, Barenblatt(1962)的内聚力模型. 这些模型使得裂纹端部的本构关系出现了非线性, 而人们对于这种非线性的具体细节依然难以知晓, 因而出现了Williams 和Ewing(1972) 的重整化方法. 此外，地壳介质在长期载荷作用下，表现出流变性质，在这方面，尹祥础和郑天愉(1982)的工作是值得注意的. 本章对这些修正理论略加介绍.§8.2裂纹端部塑性区大小的估算及Irwin 修正8.2.1塑性理论的基本概念迄今为止，我们讨论的对象还局限在理想脆性材料. 所谓理想脆性材料，即材料直到断裂前其应力应变关系一直服从虎克定律. 但是，许多实际材料不能应用理想脆性体这样过于简单的模型. 岩石介质的性质在高温高压条件下会向塑性转化. 另外由于岩石其本身性质的极端复杂性(不完整性、多相性、非弹性及非均匀性等），再加上环境因素（高温、高压、长时期作用、化学腐蚀, 特别是超临界流体的应力腐蚀等）的影响，在一定差应力条件下，也会像金属类似表现为延性, 在本构关系上与塑性的表现类似. 塑性屈服的判据主要有Mises 条件和Tresca 条件.1. Mises 屈服条件当应力条件达到一定数值时，材料开始屈服，即s i σσ= (8.1)其中)(3222222zx yz xy xx zz zz yy yyxx zz yy xx i σσσσσσσσσσσσσ+++---++=用主应力表示就是22132322212)()()(s σσσσσσσ=-+-+- (8.2)在单轴拉伸实验中，032==σσ，屈服极限记为y σσ=1. 代入上式可知y s σσ= (8.3)Hencky 的解释是：Mises 条件相当于弹性形状应变能F W 等于常数. 由(2.102b)[])12/()()()(213232221μσσσσσσ-+-+-=F W因此屈服条件是)6/(2μσs F W = (8.4)Nadai 的解释是：当正八面体上剪应力0τ达到一定数值时，材料屈服. 由(2.39)和(8.2),s σσσσσσστ32)()()(312132322210=-+-+-=(8.5)而由(2.39),2032J =τ, 其中2J 是应力偏量的第二不变量. 因此Mises 屈服条件还可以表示为3/22s J σ= (8.6)2. Tresca 屈服条件当最大剪应力达到一定数值时，材料开始屈服. 如规定321σσσ≥≥，则m 31max 2τσστ=-=其中k 为材料常数. 当在应力空间讨论屈服条件时，我们不能采用321σσσ≥≥这个规定，在主应力空间中，是Tresca 屈服条件表示为一个正六边形柱体, 由下列六个平面构成:⎪⎭⎪⎬⎫=-=-=-m 13m 32m 212||2||2||τσστσστσσ (8.7)在单向拉伸时，s σσ=1, 032==σσ，所以σ1=2τm =σs ,2/ m s στ= (8.8)此外，有些材料即使其宏观性质接近弹性体，但是，由于裂纹端部的应力集中程度很高，因此势必产生或多或少的塑性变形，存在着或大或小的塑性区. 不过由于材料性质不同，工作环境各异，裂纹端部塑性区的大小差别很大. 如果令r p 表示塑性区的特征尺寸，则比值r p /a 表征着塑性区的相对大小. 当r p /a <<1时，称之为小规模屈服. 在这种情况下，除了裂纹端部极小的区域内产生塑性变形以外，大部分区域仍处于弹性范围. 对于这种情况，我们可以在线弹性断裂力学的基础上进行适当修正.8.2.2 塑性区尺寸的一级估算先介绍一种估算裂纹端部塑性区大小的简单方法. 1. I 型裂纹，由(5.25)、(6.11)可以得出裂纹端部的三个主应力为：⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2sin 12cos 22sin 12cos2I 2I1θθπσθθπσr K rK⎪⎩⎪⎨⎧=+=)( 2cos 22)()( 0I 213平面应变平面应力θπνσσνσr K (8.9) 设材料服从Mises 屈服条件, 由(8.2)和(8.3),()()()22132322212y σσσσσσσ=-+-+- (8.10)将式(8.9)、代入式(8.10)中，可得到塑性区边界的极坐标形式的曲线方程. 方程为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎪⎭⎫⎝⎛+=)( 2cos )21(sin 432)( 2sin312cos222222I 2222I 1平面应变平面应力θνθπσθθπσy yK K r (8.11)平面应力曲线的形状如图8.1中的实线所示. 其中以裂纹端点为极坐标原点，坐标r 1以无量纲r 1/r 01表示. r 01为θ=0（即裂纹延长线上）时平面应力的塑性区尺寸. 由式(8.11)第一式得22I 012yK r πσ=(8.12)平面应变所表示的曲线如图8.1中虚线所示，坐标1'r 也以无量纲011/'r r 表示. 可见，在其他条件相同的前提下，平面应变情况下的塑性区，明显地小于平面应力情况下的塑性区. 以θ=0时的塑性区尺寸01'r 作为. 则以θ=0代入式(8.11)可得：222I 01)21(2'νπσ-=yK r (8.13)比较式(8.12)，(8.13)可得20101)21(1'ν-=r r .2. II 型裂纹由(5.38)、(6.11)可以得出裂纹端部的三个主应力为⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-=θθπσ2II1sin 4312sin 2r K⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=θθπσ2II2sin 4312sin 2r K⎪⎩⎪⎨⎧-=)( 2sin 22)( 0II 3平面应变平面应力θπνσr K (8.14) 代入(8.10)得到塑性区尺寸为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++⎪⎭⎫⎝⎛++=)( 2sin )441(sin 4932)( 2sin sin 493222222II 2222II2平面应变平面应力θννθπσθθπσyyK K r (8.15)塑性区边界线如图8.2所示. 坐标2r 以无量纲r 2/r 02表示. r 02为θ= 0（即裂纹延长线上）时平面应力的塑性区尺寸.图8.1 I 型裂纹塑性区的一级估算22I 0223yK r πσ=(8.16)3. III 型裂纹III 型裂纹不是平面问题. 这一点可以从 III 型裂纹的应力场推导过程(§5.6)直接看出. 利用(2.18)－(2.25)的方法，由(5.53), (6.11)可以求出裂纹端部的三个主应力为rK πσ2III 1=， 02=σ， rK πσ2III 3-= (8.17)而三个主方向均不和xoy 平面平行. 将上式代入(8.10), 得到塑性区边界的方程为:22III 323yK r πσ=(8.18)所得到的塑性区外缘是一个圆柱，中心轴即为z 轴，在xoy 平面的投影是一个圆(图8.1c). 和以往的参考文献看法不同，这个结果不分平面应变和平面应力.图8.2 II 型裂纹塑性区的一级估算 图8.3 III 型裂纹塑性区的一级估算8.2.3 塑性区应力松驰的影响—塑性区尺寸的二级估算以I 型裂纹为例进行分析. 如图8.4所示，虚线AB 为无塑性区时裂纹端部的弹性应力场. I 型裂纹的主要应力分量r K yy ⋅=πσ2/I .但是，在r <r 0范围内发生塑性屈服， y yyσσ=塑性区(r <r 0)内的应力松驰还必然影响弹性区(r >r 0)内的应力分布. 由y 轴方向上力的平衡要求，近似地假定，曲线ADB 下面的面积与CFE 下面的面积相等，同时EF 下面的面积与DB 下面的面积也相等，即下下ADB CEF S S = (a) 下下DB EF S S = (b)(b)－(a), 就得到CE 下的面积（矩形）应等于曲线AD 下的面积，即：下下AD CE S S = 于是有图8.4 塑性区尺度的二级估算ππσσ0II 0220r K dr rK dr r r r yy p y ⎰⎰===将式(8.12)代入上式得：012I21r K r yp =⎪⎪⎭⎫⎝⎛=σπ (8.19) 对于无限远处垂直裂纹面作用均布拉力σ的情况, 根据(5.26)式, a K πσ=I , 由(8.19)式还可以得出()2y /σσa r p =, 上述结果与实验结果符合得相当好.8.2.4 Irwin 的等效裂纹修正从式(8.12)、(8.13)、(8.16)及(8.18)可得出结论：塑性区特征尺寸22I01~⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛yyi a K r σσσπ (8.20) 对于高强度钢及某些脆性材料，其K I C 较小，而σy 很高，因而塑性区尺寸<<a . 这种情况称为小规模屈服. Irwin 提出，只需在计算应力强度因子K 时，以等效裂纹长度2c 代替原裂纹长度2a ，则线弹性断裂力学的结论仍然有效. 等效裂纹长度2c 选取如下：0r a c += (8.21)因此)(0r a Y K +=πσ(8.22)§8.3 Dugdale(D-M)模型Dugdale(1960)提出的模型，可以用来计算塑性区的尺度. Dugdale 也认为，裂纹端部产生塑性区后，可以用一个等效裂纹所代替，如图8.5所示. 裂纹AB 长为2a ，等效裂纹A’B’的长度为2c ，而ρ+=a c其中ρ为塑性区尺度.在塑性区内裂纹实际上没有张开，这一段内的σyy =σy . 由于AA’、BB’段实际并未裂开，所以等效裂纹端点A’及B’处的应力强度因子K I 应该为零.在塑性区内等效裂纹面间相互作用着均匀的拉应力σy . σy 产生的应力强度因子K’为负值，因为它的作用是使裂纹闭合. K’的绝对值等于外载作用下的应力强度因子K’’.由5.10.4,⎰-⋅-=cay x c dx c K )(2'22πσ积分后得⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-=-ρπρσa a a K y1cos2' 而 )("ρπσ+=a K 令 "|'|K K =得：ya a σπσρ2cos=+ (8.23)如果y σσ/<< 1，则可将⋅⋅⋅+⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=222112cosy yσπσσπσ按级数展开后的高次项略去. 从而得： 2I 8⎪⎪⎭⎫⎝⎛=yK σπρ (8.24)将上式与式(8.20)比较可知，二者非常接近(1/π≈0.3183, π/8≈0.3927), D-M 模型得到的塑性区略大.图8.5中塑性区呈狭长条形，所以有人称之为带状屈服模型. 此外，Dugdale 分析这种模型的数学方法，主要是根据Muskhelishvili 所建立的方法，所以有时又简称为D-M 模型.§8.4 Barenblatt 内聚力模型Barenblatt(1962)从1959年起，发表了一组论文，提出了内聚力模型. 这一模型在有些方面与D-M 模型有些相似，但物理思想更深刻，应用范围也更广泛. 下面将会看到，可以把D-M 模型看作内娶力模型的一种特殊情形.Barenblatt 从分析裂纹端点的应力奇异性出发. 他认为，从物理上考虑，应力奇异性的出现是不合理的. 应力奇异性的出现，是人们所采用的模型的不完善所引起的，不是不可避免的. 为了消除裂纹端点的应力奇异性，他提出了如图8.6所示的内聚力模型. 在裂纹端部的小区域内，二裂纹面间距离很近，所以二表面原子或分子间的内聚力g (x )是不能忽略的.内聚力g(x)所对应的应力强度因子K I ’, 按式(5.89)为：⎰---=aa xa dx x p aK ρπ22I )(2' (8.25)上式中 ))((22x a x a xa -+=-, )()(x g x p =. 但g(x)只在端部很小的局域ρ里存在，且ρ<< a , 因此a r <<<<ρ,a r a x a 22≈-=+, r x a =-, ar x a x a 2))((=-+. 将上述公式代入式(8.25)，并变换积分变量得：⎰-=ρπI )(2'rdrR g K (8.26)图8.5 Dugdale 带状屈服模型为了消除应力奇异性，外载荷所产生的应力强度因子"I K 与'I K 之和（代数和）必须为零. 因此得0"'I I I =+=K K K , 由此得：⎰=-=ρπI I )(2'"rdrr g K K (8.27)当g (r ) =σy (常数)时，就得到Dugdale 模型.Barenblatt 还研究了裂纹端部的位移，并且得到裂纹端部结构与应力强度因子K I 的关系，如图8.7所示.因此，对于处于平衡状态的裂纹，K I 必须为零. 而裂纹端部的构造如图8.7(c)所示，上下二裂纹面在端点处相切.(a)0I >K (b) 0I <K (c) 0I =K图8.7 裂纹端部位移、应力yyσ及I K 之间的关系§8.5 裂纹扩展阻力R 和亚临界扩展在前面几节中，我们讨论了裂纹端部塑性区的尺度. 现在转而讨论在塑性条件下的断裂准则. 首先从能量观点来讨论这个问题. 在§5.11中，我们曾经介绍过能量释放率G 及扩展阻力R 的概念. 对于理想脆性体，其断裂准则为R G ≥ (8.28)其中常数==ΓR . (8.29)而能量释放率G (以I 型裂纹为例)则为''22IE a E K G σπ⋅⋅==(8.30)所以一旦加载至G = R . 裂纹开始扩展. 此后，随着裂纹的扩展，G 不断增大，而R 保持不变. 因此必然发生失稳断裂. 用这样的材料进行断裂实验时，其P （载荷）－a （裂纹半长）曲线如图8.8(a)所示. 当载荷P 小于某一临界值P c 时，裂纹不扩展；而当P 到达P c 时，裂纹即失稳扩展.图8.6 Barenblatt 的内聚力模型但是，对于通常的韧性材料（如中低碳结构钢），特别是试件厚度很薄，成为平面应力状态时(在§8.1中已经讨论过，在其它条件相同的前提下，平面应力状态下的裂纹端部塑性区比平面应变状态下的塑性区要大得多，参看图8.1)，用这样的试件进行断裂实验，其P-a 曲线如图8.8(b)所示（在实际实验中，更常用的是P -△曲线，△为位移，这里为概念清楚起见，改用P-a 曲线进行说明）. 它与图8.8(a)显然不同. 当载荷达到某一载荷P i 时，裂纹开始扩展. 当裂纹扩展很小一段长度△a 后，如果不进一步增大载荷P ，裂纹就不再继续扩展. 只有不断增大P ，裂纹才随之不断扩展，这种扩展属于亚临界扩展. 当载荷P 达到临界载荷P c 时，裂纹才开始失稳扩展.(a)(b)图8.8 不同断裂类型的P －a 曲线在亚临界扩展阶段，必定有关系：R G = (8.31)因为如果G < R ，则裂纹不可能扩展（包括亚临界扩展）；如果G > R ，则裂纹将加速扩展. 随着裂纹扩展，a 不断增大，因而K 及G 也不断增大[式(8.30)]. 因此，由式(8.31）可知，在亚临界扩展阶段，阻力R 必定随a 不断增大，也就是说，在亚临界扩展时，R 不是常数，而是a 的函数.R 随着裂纹长度增大的主要原因，在于裂纹端部塑性区的尺度随着a 的增加而增大[见(8.9)]. 根据热力学第一定律，在裂纹扩展面积△S c 的过程中，d s E U U U A ∆∆∆∆++= (8.32)其中△A 为外力功，△U E 为弹性应变能增量，△U s 为裂纹表面能增量，△U d 为在此过程中所耗损的机械能（主要是塑性功△A p ）.对于平面情形，a B S c ∆∆⋅=. B 为试件厚度. 以△S c 除式(8.32)中各项，并引入A U E ∆∆∆∏-=, 得aB U aB U aB U aB AaB dsE∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∏+=-=-将上式取极限(△a →0)得：⎪⎭⎫ ⎝⎛+==-=→→a B U a B U R a B G d sa a ∆∆∆∆∆∆∏∆∆00lim lim(8.33) 由上式可知，R 由两项组成，第一项为： Γ∆∆∆=→aB U sa 0lim(材料常数)第二项主要是裂纹扩展单位面积时所消耗的塑性功. 塑性功的大小主要与塑性区的体积有关（此外还和材料的加工硬化有关）. 塑性区体积2p r ∝，而a r p ∝[式(8.31)]，所以，R 随着a 的增加而增加. 有人从理论上探讨过R (a )的解析表达式, 但还不够成熟. 所以到目前为止，主要还是从实验方法测定材料的R (a ), 称之为阻力曲线. 典型的阻力曲线的形状, 如图8.9中实线所示.图8.9中三条通过原点的虚线，代表不同应力水平下的能量释放率(或裂纹扩展力)G 随a 的变化情况. 按式(8.30)，a E G )/(2πσ=，所以它是通过原点的直线. 但是，这个公式是线弹性断裂力学的结论. 当裂纹端部产生塑性区后，严格说来，它可能不适用. 不过对于小规模屈服的情形，应该仍然近似适用. 所以在图中我们仍然画成直线. 由图中可见，当应力不够大时[如图中的G (σ1), G (σ2)], 虽然裂纹可能扩展，但只能是亚临界扩展. 因为裂纹扩展△a 后，G < R . 当应力增大至某一临界值c σ时，它所对应的G (a )曲线与R (a )曲线相切. 除切点外，G > R ，所以裂纹将发生失稳扩展.综上所述，裂纹失稳扩展的条件为：⎪⎭⎪⎬⎫∂∂≥∂∂≥a R a G RG (8.34)§8.6 裂纹端部张开位移δ(CTOD)8.6.1 COD 判据裂纹端部张开位移（Crack Tip Opening Displacement ）简称CTOD ，是指裂纹端部二裂纹面间张开的距离. 现常常叫做裂纹张开位移（COD ），通常以符号δ表示.Wells 提出，每种材料存在一个COD 的临界值δc . 当裂纹的COD 达到这一临界值时，裂纹将失稳扩展. 所以，按照他的提法，裂纹断裂判据为c δδ= (8.35)COD 或CTOD 到底指裂纹端部哪一点的位移，至今还有争议. 本书中采用Irwin 弹塑性区交界点上裂纹面间的张开距离作为CTOD ，以后简称COD.图8.9 阻力(R)曲线图8.10 裂纹端部张开位移CTOD在§8.2中已经介绍过，按Irwin 的方法，引入长为2c 的等效裂纹后，裂纹前缘坐标的端点也从O 点（原裂纹端点）移至等效裂纹端点O’处，裂纹面上沿y 轴方向产生位移0v (图8.10). 定义02v =δ (8.36) 为CTOD. 由式(5.29)()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=23sin 2sin 1224I 0θθκπμr K v 令,212I0⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==yK r r σπ πθ=及⎪⎭⎫⎝⎛+-=ννκ13(平面应力)代入上式得 yyG E K v σπσπδI2I0442⋅=== (8.37)由此可见，δ与K I 及G I 有非常密切的关系. 因此，在小规模屈服的条件下，下述断裂准则C K K I I =, C G G I I = 与 c δδ=是一致的. 因此，δc 也和K I C 与G I C 一样，是表征材料抗断裂能力的材料常数.需要注意的是，原裂纹端部外的屈服段落'OO 实际是没有张开位移的，但在按Irwin 的方法引入的等效裂纹后，就解除了这个位移约束，该屈服区的上下表面可存在相对位移，造成位移的间断. 因此这段位移是由图8.10的计算模型化引起的. 在实际测试中，多在裂纹自由表面点测试张开位移，并采用如下经验性办法：扣去弹性张开位移以后裂纹自由表面各点的实测张开位移曲线中近似为直线部分(弹性区部分应近似为直线)线性外推到裂纹顶端所得到的张开位移. 具体操作，可参见陈篪等(1977).当塑性区尺度接近或超过裂纹长度时，称之为大规模屈服. 在这种情况下，线弹性断裂判据已不再适用. 威尔斯认为，COD 判据式(8.23)仍然适用.在大规模屈服条件下，Irwin 的塑性区修正理论已不再适用了，以下采用D-M 模型作一些分析.8.6.2 帕里斯(Paris)位移公式如图8.11所示的含裂纹板，假定板的厚度为单位1, 受力P 作用，现在要求裂纹面上下两点D 1、D 2沿其联线方向的相对位移δ.根据卡斯提杨诺定理(见§2.10)，外力作用点沿作用力方向的位移等于应变能对外力的偏导数，故A 点沿P 方向的位移δ为PU ∂∂=δ (8.38)图8.11 虚力对和相对位移A如在A 点作用着一对大小相等方向相反和偶力，则上式就表示A 点沿P 方向的相对位移. 为了求D 1、D 2点之间的相对位移，可以设想沿D 1、D 2联线方向引入一对虚力F . 这时系统应变能U 就不仅和P 、a 有关，也和F 有关. 即)(F a P U U ⋅⋅=虚力对引起的相对位移为aP F F U ⋅→⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=0lim δ (8.39) 按上式先求出偏导数F U ∂∂/(它和F 有关)，再让虚力F 趋于零，这样就可获得没有虚力，仅是力P 在D 1、D 2间的相对位移.由(5.111))式，在恒载荷条件下，有Pa U G ⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=I ，积分得 ⎰+⋅=⋅⋅ada G F P U a F P U 0I 0)()( (8.40)其中),(0F P U 是无裂纹体(0=a )的应变能.用K I P 、K I F 分别代表力P 和力F 所提供的应力强度因子. 则总的应力强度因子是二者之和，即K I =K I P +K I F由(5.125)式知，'2II E K G =，由(3.7), ⎩⎨⎧-=)( )( )1/('2平面应力平面应变E E E ν把2I I I )'1F P K K EG +=（代入(8.40)式，再代入(8.39)式，得⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂⋅++∂∂=⎰→a IF IF IP F da F K K K E F U 000)(2'1lim δ 因为F a Y K IF ⋅∝， 故在F →0的极限过程中K IF =0. 上式变为da F K K E F U a IF IP F ⎰∂∂⋅+⎪⎭⎫⎝⎛∂∂==000'2δ (8.41) 这就是帕里斯(Paries)位移公式. 其中第一项是无裂纹时, D 1、D 2点在力P 作用下沿其联线方向的相对位移. 如D 1、D 2点是裂纹面上下表面的对应点，无裂纹时，D 1、D 2点重合，没有相对位移，即()0/000=∂∂==F F U δ，这时da FK K E aIF IP ⎰∂∂⋅='2δ (8.42)应当指出，在应用这个位移公式时，力P 以及D 1、D 2点的位置是不变的. 裂纹长度（或面积）是变量，积分过程就相当裂纹长度不断增大的过程.8.6.3 无限远处均匀应力σ产生的张开位移如图8.12，无限大板中心贯穿裂纹，长2c ，在无限远处作用着均匀的拉应力σ. 求距离裂纹图8.12 中心贯穿裂纹，受均匀拉应力中心为x 处的裂纹张开位移(即D 1、D 2点相对位移δ1). 为此在D 1、D 2处各引入一对虚力F ，根据(5.87)式知，该对称的虚力对引起的应力强度因子为222xc c cFK IF -⋅=π (8.43)如以2ξ代表裂纹在增大时的瞬间长度，则用ξ代替c ，就得222xFK IF -=ξξπξ(8.44)由(5.26)式,无限远处均匀应力σ在裂纹前端产生的应力场强度因子为c K IP πσ=， 对长为2ξ的瞬时裂纹，πξσ=P K I (8.45)由(8.42)式⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂=∂∂=⎰⎰⎰ξξξδd FK K d F K K E d F K K E cxIF IPxIF IP cIFIP001'2'2 因为当裂纹瞬时长度ξ<x 时，点力对F 并不作用在裂纹上下界面上. 这时作用在同一点上的点力对(大小相等，方向相反)互相抵消，对K I 无贡献，故上式第一个积分为零. 即⎰∂∂=cxIF IPd FK K E ξδ'21 (8.46)把(8.44)，(8.45)代入得⎰-⋅⋅=cxd xE ξξξπξπξσδ22121'222'4x c E -=σ (8.47)这个结果和用应力函数得到的(5.31)式是相同的.8.6.4 点力对引起的张开位移如图8.13，距裂纹中心b ±处的裂纹上下表面，各作用有一对压力-P . 求距裂纹中心x 处D 1、D 2点的相对位移δ2.一对压力-P 产生的K I 也由(5.87)式给出，如裂纹瞬时长为2ξ，则222bPK IP --=ξξπξ(8.48)把(8.44)、(8.48)代入(8.46)式就得 ξξπξξξπξξξδd xbP E d FK K E cxcxIF IP222221212'2'2-⋅⋅-⋅-=∂∂=⎰⎰=()()⎰---cxd xbE P ξξξξπ2222'8 (8.49)图8.13 中心贯穿裂纹受集中力作用如果压力-P 作用在D 1、D 2点的右边，即b>x . 这时当ξ<b 时，外力对-P 不作用在裂纹面上，互相抵消，K IP =0，故积分下限应为b . 即()()ξξξξπδd xbE Pcb⎰---=22222'8由于ξ<x 时K IF 没有贡献，x<ξ<b 时K IP 没有贡献，故⎰=∂∂bxIF IPd FK K E 0'2ξ, 即()()ξξξξπd xbE P bx⎰---2222'8=0把它加在上式，就得()()⎰---=+cxxbd E P 22222'80ξξξξπδ这就表明，在作用力左边或右边，裂纹面上下的张开位移都可用(8.49)式来表示.8.6.5 分布力引起的张开位移如图8.14，在(-c, -a )以及(a, c )区间内作用着分布应力db b ⋅-)(σ. 按(8.48), 分布压力对引起的应力场强度因子为db bb K caIP 22)(2-⋅-=⎰ξσπξξ(8.50)当裂纹扩展到ξ<c 时，在(ξ, c )区间内的分布压力对由于并不作用在裂纹面上，互相抵消，对K IP 没有贡献，故上式在(ξ, c )区间内的积分为零，即积分上限为ξ.db bb K aIP 22)(2-⋅-=⎰ξσπξξξ(8.51)把(8.51)式，(8.44)式代入(8.46)式，就得分布力引起的位移为 ξδd K FK E IP cxIF ⎰∂∂='22=db bb d xE acx22222)(2'2-⋅--⎰⎰ξξπξσξξπξξξ=db bb xd E acx⎰⎰-⋅--ξξσξξξπ2222)('8(8.52)8.6.6 D-M 模型的裂纹顶端张开位移如图8.2.1所示的D-M 模型，求裂纹顶端(即±a 处)的张开位移δ. 在x=a 的D 1、D 2点引入虚力对F ，就可用前面的方法求出D 1、D 2点的相对位移（即裂纹顶端张开位移）. 它由两部分构成，一是无限远处均匀应力σ在x=a 处产生的张开位移δ1，二是(-c, -a ), (a, c )之间的分布应力sσ-图8.15 受分布力作用的中心贯穿裂纹在处产生的位移2δ. 即21δδδ+= (8.53)1δ由(8.47)式给出，但a 要用c 代替, x 要用a 代替，即221'4a c E -=σδ (8.54)2δ由(8.52)式给出，但x 用a 代替，)(b σ用s σ代替，即db bad E as ca⎰⎰---=ξξσξξξπδ22222'8=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋅---⎰ξπξξξπσa ad E cas122sin 2'8 (第二项分部积分) ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧----⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅-+--=⎰-222212222sin '8'4a ad aa a E ac E cacas sξξξξξξπσσ a cE a c aa c E ac E sssln'8sin'8'412222⋅+-⋅+--=-πσπσσ (8.55)由(8.53)式知，对D-M 模型，s c a σπσ2cos 1=-, s a c σπσ2sec =. 又c a c a 11cos 2sin ---=π 把它们代入(8.55)式就得ssE a a c E σπσπσσδ2secln '8'4222+-⋅-= (8.56)故裂纹顶端张开位移（即COD ）δ为ssE a σπσπσδδδ2secln '821⋅=+= (8.57)由于D-M 模型对薄板较合适，故是平面应力状态，上式中的E’就是E . 即sEsa σπσπσδ2secln 8=(8.58)当1/<<y σσ时，将上式按级数展开，并略去高次项后可得：yyyG E K E aσσσπσδI2I 2===(8.59)比较式(8.37)与(8.59)式，可见二者的因子很接近(前者为4/π，后者为1).按照上述CTOD 的定义，显然它只适用于I 型裂纹. 但经过修正后，这一方法也能用之于II 、III 型裂纹. 这时δ的定义应分别为：⎭⎬⎫==型）。

第五章 线弹性断裂力学§5.1 引 言断裂力学是从材料强度问题提出的。

随着固体物理、物理力学等学科的发展，人们已能够大致从理论上计算出某些固体材料（特别是单晶体）的理论强度t σ。

例如，Orowan(1949)得到πσ2/E t ≈, Zhurkov （1957）得到E t ≈σ。

其中E 为杨氏模量。

但试验中测得的实际材料强度远远低于计算所得的理论强度, 两者往往相差几个数量级。

这一情况吸引着不少科学家去研究现有材料的强度比理论强度低的原因。

人们很早就认识到这是由于实际固体中存在着大量缺陷所致。

但这种认识在很长一段时期里只停留在定性说明阶段。

而对于缺陷如何定量地影响材料的强度，直到断裂力学的产生，才得到较明显的进展。

§4.2介绍了含椭圆孔平板受拉伸时的弹性解。

当拉伸应力σ垂直于椭圆长轴时，长轴端点处的环向应力最大。

由§4.2可得()σσb a /21max += (5.1)又椭圆长轴端点处的曲率半径为a b /2=ρ, 因此(5.1)又可以改写成()σρσ/21max a += (5.2)因而应力集中系数α为ρα/21a += (5.3)当ρ很小时，α很大。

当0→b 时，椭圆孔就退化为长为a 2的直线裂纹。

更一般的提法是0→ρ。

按上述计算公式得到∞→α。

这样的结果不能用传统的连续介质力学的观点来解释。

Griffith 没有直接考虑裂纹尖端的应力，绕过这一矛盾，而计算由于裂纹的存在，整个弹性板所释放的弹性势能为(参看§5.4)'/22E a W c πσ= (5.4)为简便起见，设板的厚度为1. 其中E 为杨氏弹性模量。

由于裂纹的出现，增加的表面能为：Γa S 4= (5.5) 其中Γ为单位面积的表面能。

Griffith 认为当裂纹端部扩展一小段长度da （裂纹长度从2a →2a+2da ）时，弹性势能的释放率dW c /da ，如果大于或等于表面能的增加率dS/da ，则裂纹处于不稳定状态，势必进一步扩展，因此而得到裂纹扩展的条件为dadSda dW c =(5.6) 将(5.4)，(5.6)代入上式，得临界应力σg 为：⎪⎭⎪⎬⎫-==)( )1(/2)( /22平面应变平面应力νπΓσπΓσa E a E g g (5.7)其中E 、Γ是材料常数。