清华大学断裂力学讲义ch3

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断裂力学

（2）几何方程
1 x ( x y) E 1 y ( y x) E 2(1 ) xy xy E
（4）相容方程
u x x v y y v u xy x y
4 4 4 2 2 2 4 0 4 x x y y
k
结构为何破坏？
存在裂纹
（2）研究对象与任务
定义：断裂力学是研究带裂纹体的强度和裂纹扩展规律的一门学科。任务： 1) 研究裂纹尖端附近的应力变化。 2) 掌握裂纹在荷载作用下的扩展规律。 3) 了解带裂纹构件的承载能力。 4) 提出抗断设计的方法，保证构件安全。
断裂力学的发展为强度设计打开了新领域，但并不能完全代替传统的强度设计理论。
1.2 材料断裂韧度
（1）脆性断裂与韧性断裂
要区分两种不同的断裂需要首先了解什么是脆性,什么是韧性。韧性（度）是指材料在断裂前的弹塑性变形中吸收能量的能力。韧度高的材料不易断裂。比如低强度钢在断裂前往往有大量的塑性变形，颈缩。可容易产生塑性变形的材料并不一定韧度高。如金、银很容易断裂，是因为强度太低，吸收能量有限。把韧性低的材料称为脆性材料，如玻璃、粉笔。脆性断裂：荷载与变形量是线性关系（非线性段很小）。起裂点与失稳点非常接近。如图，裂纹扩展后荷载迅速下降，断裂过程很快结束。从实验现象上看脆断的断口比较平坦，基本与轴线垂直。韧性断裂：韧性断裂有较长的非线性关系（即先早已进入塑性阶段）。启裂后又有一段缓慢的扩展时间，除外荷载增加到失稳点否则不失稳。实验试件切口根部发生塑性变形，剩余面积变小，端口可能是锯齿型。
1) 2) 3)
Z的共轭复数:
z x iy
z1 z 2 z1 z 2
cos i sin

第12讲断裂力学培训讲义

结构可靠性评价及失效分析第12讲断裂力学培训讲义1、概述1.1载荷的分类与破坏形式结构承受载荷的性质（拉、压、扭转、剪切）、大小、方向、作用位置中一项或多项不断变化（疲劳）或变化过大、过速（冲击）的情况都属于动载。

疲劳是结构失效的基本形式，约占结构失效总量的80～90％。

冲击载荷容易造成结构的脆性破坏。

造成脆性破坏，或加速疲劳破坏的原因可能是结构形式不佳（如应力集中严重）或结构工作环境的恶化（如环境温度变得过低，使材料材质变脆；或环境介质腐蚀性强，使结构缺陷加深增大）等。

疲劳破坏和脆性破坏都属于低应力破坏，发生破坏时的工作应力可能只有结构材料屈服极限的1／2，1／5，1／10，甚至没有外载荷。

例如，历史上曾经发生的破坏事件：海面上本来风平浪静，船舶却突然开裂破坏；火车尚未到达大桥，大桥却突然先行倒塌。

人类已经为突发性的低应力破坏付出了太多、太沉重的代价。

科研工作者为研究低应力破坏的机理、规律、预防措施等，做出了巨大贡献，我们应当认真学习研究这些知识，预防低应力破坏事件的发生。

1.2结构脆性断裂的特点⑴名义工作应力低: 只有材料s的1／3～1／10，甚至外载荷等于零（如图1宽板焊接接头的实验结果）。

⑵断裂之前无明显塑性变形，无征兆，突发断裂。

⑶低应力脆性破坏多发生在低温阴冷的时刻。

以上三个特点，让人猝不及防，容易造成严重危害。

⑷ 发生低应力脆性断裂的结构内，多半存在着较大的内应力，有较高的内能。

⑸ 发生低应力脆性断裂的结构上，必有裂源或应力集中点存在。

脆性断裂对缺陷和应力集中很敏感。

后两个特点，反映了低应力脆性断裂的必然性，并非无缘无故发生。

1.3结构发生脆性断裂的原因和条件（金属结构脆性断裂的能量理论）固体内部的裂纹和缺陷，导致其发生低应力脆性断裂。

使材料的实际断裂强度只有其理论强度的1／10 ～ 1／1000。

对这一现象作如下分析：⑴ 一个L B ⋅⋅δ的微裂纹体（图2），1=δ，在平均力F 的作用下，伸长了L ∆长，两端固定起来（相当于被均匀拉伸的弹性体的一个局部）。

断裂力学讲义(学生讲义)

第一章绪论§1.1 断裂力学的概念任何一门科学都是应一定的需要而产生的，断裂力学也是如此。

一提到断裂，人们自然而然地就会联想到各种工程断裂事故。

在断裂力学产生之前，人们根据强度条件来设计构件，其基本思想就是保证构件的工作应力不超过材料的许用应力，即σ≤[σ]～安全设计安全设计对确保构件安全工作也确实起到了重大的作用，至今也仍然是必不可少的。

但是人们在长期的生产实践中，逐步认识到，在某些情况下，根据强度条件设计出的构件并不安全，断裂事故仍然不断发生，特别是高强度材料构件，焊接结构，处在低温或腐蚀环境中的结构等，断裂事故就更加频繁。

例如，1943～1947年二次世界大战期间，美国的5000余艘焊接船竟然连续发生了一千多起断裂事故，其中238艘完全毁坏。

1949年美国东俄亥俄州煤气公司的圆柱形液态天然气罐爆炸使周围很大一片街市变成了废墟。

五十年代初，美国北极星导弹固体燃料发动机壳体在试验时发生爆炸。

这些接连不断的工程断裂事故终于引起了人们的高度警觉。

特别值得注意的是，有些断裂事故竟然发生在σ<<[σ]的条件下，用传统的安全设计观点是无法解释的。

于是人们认识到了传统的设计思想是有缺欠的，并且开始寻求更合理的设计途径。

人们从大量的断裂事故分析中发现，断裂都是起源于构件中有缺陷的地方。

传统的设计思想把材料视为无缺陷的均匀连续体，而实际构件中总是存在着各种不同形式的缺陷。

因此实际材料的强度大大低于理论模型的强度。

断裂力学恰恰是为了弥补传统设计思想这一严重的缺陷而产生的。

因此，给断裂力学下的定义就是断裂力学是研究有裂纹（缺陷）构件断裂强度的一门学科。

或者说是研究含裂纹构件裂纹的平衡、扩展和失稳规律，以保证构件安全工作的一门科学。

断裂力学在航空、机械、化工、造船、交通和军工等领域里都有广泛的应用前景。

它能解决抗断设计、合理选材、制定适当的热处理制度和加工工艺、预测构件的疲劳寿命、制定合理的质量验收标准和检修制度以及防止断裂事故等多方面的问题，因此是一门具有高度实用价值的学科。

清华大学断裂力学讲义ch3

应力函数方法将满足所有边界，并能给出全场解。 I、II型裂纹
4 F 0
应力函数
F Re z z z dz

11 Re 2 z
应力场
22 Re 2 z 12 Im z
2 2 K I2 K II K III G 【作业题3-5】 E 2
ui ui a x1 , ui a x1 , 2ui a x1 ,
G lim
1 a i 2 x1 , 0 ui dx1 a 0 2a 0 1 a lim x , 0 u a x1 , dx1 i 2 1 i a 0 a 0
lim 22 r , 0 lim
r 0 r 0
x1
x1 a x1 a

a
r 2a

a
2r
K I lim 2 r 22 r , 0 a
r 0
KI a
K I lim Z I z 2 z a
裂尖位移场
裂尖温度场
基于应力强度因子的断裂准则
安全 K I K IC 临界状态
实验测量KIC
KIC 材料的断裂韧性（Fracture toughness） Compact tension (CT)
ASTM Single edge notch bend (SENB)
Crack mouth opening displacement (CMOD)

利用了对称性
2 F F,
Imz z z x
Imz z z x

断裂力学讲义(第三章)PPT课件

r 21 2r[K Ⅰ ( 3 c o s)c o s2 K Ⅱ ( 3 c o s 1 )s in 2 ]
r 21 2 rc o s 2 [K Ⅰ sin K Ⅱ (3 c o s 1 )]
因 r 0 ,各项均趋于无穷大
取 r r0 圆周上各点的
r r
0
2 2
G0 G0
起始裂纹方向取于 2 3 |0|00
根不是解
周向应力取平稳值的方向与能量释放率取平稳值的方向
又当
r | 0 0 K Ⅱ 0 1 2 c o s 2 0 [ K Ⅰ s i n 0 K Ⅱ ( 3 c o s0 1 ) ] 0
13
G 0 1 E 2K Ⅰ 0 2 lr i m 01 E 2[(2r)1 20]2
KⅠlri m0 2ry
KⅡlim r0
2rxy
21 2 rc o s 2 [K Ⅰ (1 c o s) 3 K Ⅱ sin ]
r 21 2 rc o s 2 [K Ⅰ sin K Ⅱ (3 c o s 1 )]
11
K Ⅰ 0 l a r i m 0 K Ⅰ 1 2 c o s 2 0 [ K Ⅰ ( 1 c o s0 ) 3 K Ⅱ s i n 0 ]
确定临界应力
9
§3.3 能量释放率理论
G 判据,由帕立.尼斯威米(K.Palaniswamy)提出. 假设: 裂纹沿产生最大能量释放率的方向扩展. 当在上述确定的方向上,能量释放率达到临界值时,裂纹
开始扩展. 纽斯曼(Nuismer)利用连续性假设研究了能量释放率与最大周向正应力之间的关系.
0
6
c o s2 0[K Ⅰ sin0 K Ⅱ (3 c o s0 1 )] 0
无实际意义 K Ⅰ s in0 K Ⅱ ( 3 c o s0 1 ) 0

清华大学断裂力学讲义Ch5_1

1
III
U固 t U I t U II t U固 t t U I t t U II t t U固 U II t t U II t U I t U I t t U 移 t U I t U II t U移 t t U II t t U III t t U移 U II t t U II t U I t U III t t
由虚功原理知（怎么来的？）（推导过程中要用到无体力条件） , x2 , t ij x1 u t t x ,x d A移 ij t dA 0 1 2 若材料沿 x1 和 x2 方向均不均匀， w w ij , x1, x2

A移 t wx1, x2 , t dA A移 t w ij x1, x2 , t , x1 at , x2 dA 上述推导不成立！
u a wn1 t x1
u d t t x 2 ,t
d d wdA dt A移 , x2 x1
J 积分 0 流入围道的能通量 1）定常裂纹扩展 2 1/ 2 与 Griffith 能量释放率在 r rd 0 ） 2 ）无限小围道（第一项 0 满足右列条件之一时相等第二项如何？已将能量释放率变成一条线 3）超弹性材料（或形变塑性不卸载），且上的积分！！！材料沿 x1 方向均匀（见下页证明）
J 积分 0 流入围道的能通量 1）定常裂纹扩展 2 1/ 2 与 Griffith 能量释放率在 r rd 0 ） 2 ）无限小围道（第一项 0 满足右列条件之一时相等第二项如何？已将能量释放率变成一条线 3）超弹性材料（或形变塑性不卸载），且上的积分！！！材料沿 x1 方向均匀（见下页证明）

清华大学断裂力学讲义线弹性断裂力学共37页

清华大学断裂力学讲义线弹性断裂力学
51、没有哪个社会可以制订一部永远适用的宪法，甚至一条永远适用的法律。 ——杰斐逊 52、法律源于人的自卫本能。——英格索尔
53、人们通常会发现，法律就是这样一种的网，触犯法律的人，小的可以穿网而过，大的可以破网而出，只有中等的才会坠入网中。 ——申斯通 54、法律就是法律它是一座雄伟的大夏，庇护着我们大家；它的每一块砖石都垒在另一块砖石上。 ——高尔斯华绥 55、今天的法律未必明天、天下之事常成于困约，而败于奢靡。——陆游 52、生命不等于是呼吸，生命是活动。——卢梭
53、伟大的事业，需要决心，能力，组织和责任感。 ——易卜生 54、唯书籍不朽。——乔特
55、为中华之崛起而读书。 ——周恩来

断裂力学——精选推荐

2 2Ї
4Ї
4Ї
x 4
2
4Ї x 2y 2
4Ї y 4
0
(1-9)
及具体问题的边界条件。复连通域还要满足位移单值条件。求得应力函数 Ї后，可依下
式计算各应力分量
x
2Ї， y 2
y
2Ї， x 2
xy
2Ї xy
(1-10)
式中 Ї称为 Airy 应力函数。不难直接验证，若 fi (i 1,2,3) 均是调和函数，即
断裂力学涉及内容很广，这里只介绍一些基础性的内容。中国有句古话：“吃一堑，长一智”。吃一次亏，出来一门新学科。断裂力学可以说是人类吃了大亏，从总结惨痛血的教训中产生的。生产推动了科学发展，科学反过来又促进生产以更高的速度向前发展。在这个过程中，旧的问题不断解决，新的矛盾又不断产生。最初，人们为了提高材料的强度防止脆断，制成了钢材等塑性材料。进一步提高塑性材料的强度是通过阻止屈服（阻止位错运动）来实现的。再进一步提高强度就出现了新的矛盾，强度高了，韧度却低了，构件常在应力不高，甚至低于屈服极限的情况下发生突然的脆性破坏。如焊接铁桥的突然倒塌，焊接轮船的脆性破坏，各种球罐的突然爆炸等等，均不能用传统的建立在连续性假设基础上的强度科学（如材料力学）来解释。随着生产的发展，大量采用新材料（高强度钢、复合材料、塑料）新工艺，新的工作条件（高温、高速、高压、低温）等，致使古典强度科学无法适应新的生产水平的需要。对低应力脆断事故进行大量分析研究表明脆性断裂是由于宏观缺陷或裂纹的失稳扩展引起的。有时，在裂缝的平衡状态达到失稳的临界状态以前还会出现缓慢的准静态亚临界扩展，最后达到临界状态使裂纹高速传播引起最终断裂。这样，强度科学不仅要通过阻止屈服以达到高强度，而且要通过阻止裂纹的扩展来达到高的断裂韧度。

清华大学断裂力学讲义第二章-Griffith断裂理论

封闭系统：系统与环境之间只有能量交换，没有物质交换。
内能
U S,V
焓
H S, P U PV
Helmholtz 自由能
F T,V U TS
Gibbs 自由能
GT, P U PV TS
min U
min H min F
达到平衡状态
min G
能量最小原理是热力学第二定律的另一种表述。
5
Legendre变换
的一个新自变量，此新自变量是旧函数对于旧自变量的偏导数；将旧函数减去新自变量与旧自变量的乘积，得到的
差就是新函数。 Leຫໍສະໝຸດ endre变换可以用来在各种热力势（thermodynamic potential）之间作转换。
6
Griffith理论
Alan Arnold Griffith (1893-1963). He was born in London on 13 June 1893. He earned his B.Eng. in mechanical engineering in 1914, M.Eng. in 1917, and D.Eng. in 1921, all from the University of Liverpool. In 1915, he entered the Royal Aircraft Factory (later known as the Royal Aircraft Establishment), and advanced through a workshop traineeship followed by other positions to become senior scientific officer in
Charles Inglis, 1913

断裂力学讲义第五章线弹性断裂力学

第五章线弹性断裂力学§5.1 引言断裂力学是从材料强度问题提出的。

随着固体物理、物理力学等学科的发展，人们已能够大致从理论上计算出某些固体材料（特别是单晶体）的理论强度t σ。

例如，Orowan(1949)得到πσ2/E t ≈, Zhurkov （1957）得到E t ≈σ。

其中E 为杨氏模量。

但试验中测得的实际材料强度远远低于计算所得的理论强度, 两者往往相差几个数量级。

这一情况吸引着不少科学家去研究现有材料的强度比理论强度低的原因。

人们很早就认识到这是由于实际固体中存在着大量缺陷所致。

但这种认识在很长一段时期里只停留在定性说明阶段。

而对于缺陷如何定量地影响材料的强度，直到断裂力学的产生，才得到较明显的进展。

§4.2介绍了含椭圆孔平板受拉伸时的弹性解。

当拉伸应力σ垂直于椭圆长轴时，长轴端点处的环向应力最大。

由§4.2可得()σσb a /21max += (5.1)又椭圆长轴端点处的曲率半径为a b /2=ρ, 因此(5.1)又可以改写成()σρσ/21max a += (5.2)因而应力集中系数α为ρα/21a += (5.3)当ρ很小时，α很大。

当0→b 时，椭圆孔就退化为长为a 2的直线裂纹。

更一般的提法是0→ρ。

按上述计算公式得到∞→α。

这样的结果不能用传统的连续介质力学的观点来解释。

Griffith 没有直接考虑裂纹尖端的应力，绕过这一矛盾，而计算由于裂纹的存在，整个弹性板所释放的弹性势能为(参看§5.4)'/22E a W c πσ= (5.4)为简便起见，设板的厚度为1. 其中E 为杨氏弹性模量。

由于裂纹的出现，增加的表面能为：Γa S 4= (5.5) 其中Γ为单位面积的表面能。

Griffith 认为当裂纹端部扩展一小段长度da （裂纹长度从2a →2a+2da ）时，弹性势能的释放率dW c /da ，如果大于或等于表面能的增加率dS/da ，则裂纹处于不稳定状态，势必进一步扩展，因此而得到裂纹扩展的条件为dadSda dW c =(5.6) 将(5.4)，(5.6)代入上式，得临界应力σg 为：⎪⎭⎪⎬⎫-==)( )1(/2)( /22平面应变平面应力νπΓσπΓσa E a E g g (5.7)其中E 、Γ是材料常数。

断裂力学讲义(第五章)讲解

ds
为纪念James. Rice ，记为
J
C W1dy
Ti
ui x
ds
实际上，是和Irwin能量平衡公式意义一致的。
对于线弹性体，J为Griffith的能量释放率。
对于线弹性体，平面应变I型裂纹端点区：
J
GI

KI 2 E1
JI GI （平面应力和平面应变）
∴可以认为在的上下裂纹表面作用有指向裂纹的 ys 。
这一分布的 ys 不仅使裂纹表面不分开，而且使有效裂纹端点的应力奇异性消失。
即： K K K 0 （在有效裂纹的端点）
K a
K 表示由分布力 ys 引起的应力强度因子。
将裂端12 应x 2力 y 场的x 2线y 2 弹xy2性断裂力学的公式代入：
12

K 2
r
cos
2
1
sin
2

s

0
1
2

平面应力平面应变
假定是平面应力问题：
Mises屈服条件：1 2 2 2 3 2 3 12 2s2
∴ Tx Ty 0
h
SC3 J
2 h
Wdy

Wh
2
施以固定力矩M：
C2 ，C4 为水平线， y，dy 0 ，且面上自由，Tx Ty 0 C3 不受M的影响，W 0 ，Tx Ty 0
∴
0
C2
C4
C3
，上： C1 C5
无限大平板有中心裂纹，裂纹表面受到一对集
中拉力P的作用（单位厚度集中力）

断裂力学GRIFFITH断裂准则

G Gc
裂纹起裂
• Griffith准则是裂纹启裂的必要条件，此时
裂纹处于临界状态。
• 对于平衡态静止裂纹，G不可能超出 Gc
37
能量释放率G
• G的量纲：N/m • G 是一种广义能量力，与载荷、裂纹几何、
材料性能和应力状态有关。
• 对含半长为a中心裂纹的无穷大平板，可得
G 2a
E
38
抵抗裂纹扩展的阻力
寸的关系
2 2a
E
4
e
平面应力 E E
平面应变
E
1
E
2
33
裂纹临界扩展的Griffith准则
acr
2E 2
或 cr
2E a
给定应力下的临
界裂纹半长
裂纹半长 a对应的临
界应力
由Griffith脆性准则得到的承载能力
与结构中的缺陷尺寸相关,断裂力学
三角形：应力；缺陷；材性。
34
Griffith得到的新的材料常数
版社,1987
• 4,杨卫，宏微观断裂力学，国防工业出版社，
1995
• 5,庄茁,蒋持平断裂与损伤,机械工业出版
社,2003.
• 6,余寿文,冯西桥,损伤力学,清华大学出版
社,1997.
2
•第一讲：
•绪论，GRIFFITH 断裂准则
3
工程断裂问题与材料断裂韧度
• 断裂问题 • 材料的强度和韧性是两个概念。高强、低
dUe d 或 dUe d
dt dt
da da
30
断裂力学经典问题
• c中表面能为
裂纹面以外其他的表面能裂纹面的表面能
0 4Ba
• c中断裂过程中所释放的弹性应变能为

断裂力学讲义

J
2 cr 0
Pc dcr
a a0
J c
da
J
a
T
4P2 c2
1
CM
CM
P cr
J c
静止裂纹柔度曲线
由此式可以计算裂纹扩展驱动力J积分随裂纹扩展的变化
【习题5-7】推导并理解杨卫书上公式(2.91)-(2.98)
提示：有的公式有错。需要利用深缺口公式：
P c
c第r 24页2c/P共32页
25JQ
第Y13页/共32页
JQ J IC
如何测JR阻力曲线？试件一旦起裂按道理J积分的概念就不完全正确了，但在实际过程中，认为在一些条件下（如裂纹少量扩展和稍后要讲的J控制扩展情况下），仍可以在实验验证的情况下继续使用。仍采用深缺口单试件法并采用卸载柔度来确定裂纹长度。
▪ 利用卸载柔度计算裂纹长度 ▪ 在计算J时的假设（解释）
可以记为 M c2
R
M
c
M c
2c
2
M c
J
M 0 c
d 2
第8页/共3c2页0
Md
也可以由量纲分析得到
J
0
M c
d
2 c
Md
0
量纲：
M ~ F E, ys ~ F / L2 c ~ L 和无量纲
根据定理
M
c
2
ys
;
;
E
ys
c2
~ 是无量纲函数
M c2
M c
2c
2M c
R
M
M
c
第9页/共32页
附：定理（ Buckingham π theorem） E.Buckinghan,1915 量纲分析中的关键定理（key theorem in dimensional analysis）

清华大学断裂力学讲义第二章-Griffith断裂理论

GBda W dU e d
上式给出了在断裂过程中最一般的能量平衡和转换关系以及判断准则。
下面我们首先研究最简单的例子，在断裂过程中没有系统
和外界功的交换，即 W 0
一个典型例子：Griffith脆断理论
问题：多长的裂纹会自动扩展？
GBda W dU e d
表面能 4aBg
g 单位面积表面能
Legendre变换
f x
g p
p df dx
200 year portrait debacle
Adrien-Marie Legendre Louis Legendre
L f x g p
max x
px
f
x
px* f x*
where d px* f x* 0 dx
在热力学里，使用Legendre变换主要的目的是：将一个函数与所含有的一个自变量，转换为一个新函数与所含有的一个新自变量，此新自变量是旧函数对于旧自变量的偏导数；将旧函数减去新自变量与旧自变量的乘积，得到的差就是新函数。 Legendre变换可以用来在各种热力势（thermodynamic potential）之间作转换。
作业题
2.如下图所示，在楔形处插入高h的方形木块，楔形的杨氏模量为
E，表面能为g，求解裂纹起裂时的临界条件，即c(E,h,d,g)，并判
断裂纹扩展是否稳定，同时用图示说明？（注：考虑单位厚度的能量即可，计算能量时不需考虑力F的做功，仅需将悬臂段考虑成梁，计算其弯曲能即可）
能量最小原理：
对于具有定常体积、外参量和熵的封闭系统，系统总的内能将趋向减小，当达到平衡状态时，总的内能达到极小值。
where d px* f x* 0 dx
在热力学里，使用Legendre变换主要的目的是：将一个函数与所含有的一个自变量，转换为一个新函数与所含有的一个新自变量，此新自变量是旧函数对于旧自变量的偏导数；将旧函数减去新自变量与旧自变量的乘积，得到的差就是新函数。 Legendre变换可以用来在各种热力势（thermodynamic potential）之间作转换。

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裂尖位移场
裂尖温度场
基于应力强度因子的断裂准则
安全 K I K IC 临界状态
实验测量KIC
KIC 材料的断裂韧性（Fracture toughness） Compact tension (CT)
ASTM Single edge notch bend (SENB)
Crack mouth opening displacement (CMOD)
ˆ3 2 R 1 R R 2u ˆ3 ˆ3 2 u3 2 u u 0 r r r r 2
M.L. Williams. On the stress distribution at the base of a stationary crack. Journal of Applied Mechanics 24, 109-115 (1957).
在前面的平面问题求解中 ,需要确定两个解析函数 (z)和(z) ，其实在对称和反对称特例下，可利用Westergaard函数进一步简化为一个解析函数的求解。以I型问题为例：
F Re z z z dz
12 x1， 0＝0
x1 ,
2 0
+ 3 3 + 3

a x1
1 2
U A UB 1 a G lim lim 32 x1 , 0 u3 dx1 a 0 a 0 2a 0 a 1 a lim 32 x1 , 0 u3 a x1 , dx1 a 0 a 0
解析延拓（定义见下页）：
z A z z
I型裂纹的Westergaard应力函数： Z I
z 2 z
附：解析延拓数学定理若 f1 在 R1 中解析， f2 在 R2 中解析，且 R1 R2 ，如果
f1 f2 in R1 R2

a
复合型裂纹
Ga i 2 x1 ,0 ui a x1 , dx1 wtip a
0
如果不是固定位移载荷加载（如固定力），是何结论？
可由能量平衡来理解裂纹扩展
F
Gda dU Fd
逐渐放松保持力过程
wtipda dU Fd
F
这种假设裂纹闭合张开的虚拟过程的分析仍然适用。
lim 2x1 2i x1 ,0 应力强度因子的计算： K M x 0
1
i 1, 2, 3 M II I III
Westergaard应力函数法（ Westergaard stress function）
之前的解析函数构造时只关心裂尖处的渐近场及边界条件，Westergaard
f1 f2 in R1 R2
R1
R2
f1
f2
用Westergaard应力函数表示应力、位移
I型裂纹
Z I z 2 z
z z A ZI z 2
11 Re 2 z 22 Re 2 z 12 Im z
【作业题3-6】双轴加载，但水平与竖直方向远场应力不同
z
za za

z
z 2 a2
I型裂纹：
ZI
z
z 2 a2
x1 a, x2 0
转换坐标到裂尖
22 Re Z I x1
r x1 a
x1
x12 a 2
x1 r a
2 2 K I2 K II K III G 【作业题3-5】 E 2
ui ui a x1 , ui a x1 , 2ui a x1 ,
G lim
1 a i 2 x1 , 0 ui dx1 a 0 2a 0 1 a lim x , 0 u a x1 , dx1 i 2 1 i a 0 a 0
lim 22 r , 0 lim
r 0 r 0
x1
x1 a x1 a

a
r 2a

a
2r
K I lim 2 r 22 r , 0 a
r 0
KI a
K I lim Z I z 2 z a
应力强度因子KI,II,III与G之间的关系 G 与裂纹延伸时能量的变化有关
U e G A

1 U e B a

KI,II,III仅与裂纹尖端区域的场强度有关
22 r , 0 KI K lim 2 r r , 0 II r 0 12 K r , 0 III 32
首先假设固定位移加载针对III型裂纹 x2
A
B
x2
u
σ
a
x1
a
u
x1
K III lim 2 x1 32 x1 , 0
x1 0
32 x1 , 0 源自K III 2 x1 2 2K III
u3 u a x1 , u a x1 , =2u a x1 , =
z a
一旦Westergaard函数已知，便可知道全场解
应力场
11 Re Z I x2 Im Z I
1
2

22 Re Z I x2 Im Z I
2 u2

Im
I
12 x2 Re Z I

I
位移场
2 u1 Re
第三章：线弹性断裂力学
断裂模式及对称性分析三型裂纹裂尖场的渐近解复变函数（回顾）三型裂纹裂尖场的解应力强度因子K K-G关系
计算K的常用方法
讨论
反平面剪切问题（一个相对简单的问题）
3 , 0
3 u3,
1 2
3 2 3
整理可得调和方程（或由Navier方程直接简化）

利用了对称性
2 F F,
Imz z z x
Imz z z x
A为实常数
2 0
0
u v y x
z z z x 0 A
2
u v x y
x2
σ
x2
u
2 2 K I2 K II K III G E 2
a
x1
a
u

x1
平面应变断裂韧性：
能量释放率和应力强度因子关系是假定裂纹呈直线延伸下得
到的。
2 2 K I2 K II K III G E 2
在II型和III型加载下裂纹扩展往往会发生拐折和分叉。对很
KI,II,III与G之间的关系?
George Rankine Irwin
G.R. Irwin. Analysis of stresses and strains near the end of a crack traversing a plate. Journal of Applied Mechanics 24, 361-364 (1957).

x2
x1
x1 a, x2 0
是ZI(z)两个枝点，可猜测
ZI R z za za A R z z a
2 2
A
11 ReZ I x2 Im Z I A
22
I 2 I
无穷远处的边界条件：
z ,11 22
ZI
ReZ x Im Z A
ZI
a sin 2W 1 z sin 2W

2
KI a
2W a tan a 2W
2 K III G 2
针对I、II、III型裂纹 x2
σ
x2
u
a
x1
O
a
u

x1
i2
KM a 2 x1
x
1
i 1, 2, 3 M II I III
1 II a x1 K M a a 1 I 2 4 III
2u3 0
渐近解
2u3 1 u3 1 2u3 u3 2 2 0 2 r r r r
2
ˆ3 u3 r 1u
ui 0 as r 0
为什么有如此渐近的形式？
分离变量法
2
ˆ3 u3 r, R r u
12 ˆ3 r 2 2 R r R 1 2u 0 ˆ3 2 R r 2 R r u 2 1
12 2 I
1
I
2
I
2
I
2
I
2
当 x2= 0时剪应力为零，这意味着裂纹面是主平面。
例：双轴载荷下含中心裂纹的无穷大板自由裂纹表面：
22 i 21 x 0, x a 0
2 1
22 ReZ I x2 Im Z I A
ReZ I x1 A 0 x1 a
平面应变
K B 2.5 IC y
2 2
K a 2.5 IC y

KQ
a f B W W
PQ
应力强度因子求解
此前，只讨论了裂尖的渐近解，这里将讨论如何结合几何和载荷条件来确定应力强度因子。主要有以下一些方法： Westergaard应力函数法（ Westergaard stress function）权函数法（Weight function）线性叠加法（Principle of superposition）

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