数值分析重点题型

上海市考研数学三十复习资料数值分析（统考）核心知识点详解与考题解析数值分析作为考研数学中的一门重要科目，对于考研学子来说是必备的一部分。

在上海市考研中，数值分析也是一个较为重要的知识点。

本文将详细解析上海市考研数学三十中与数值分析相关的核心知识点，并提供相应的考题解析，帮助考生更好地备考。

以下是数值分析中几个核心知识点以及相应考题解析。

1. 插值与拟合在数值分析中，插值与拟合是一项基本而重要的技巧。

它们用于通过已知一些离散数据点，寻找一个合适的函数来表示这些数据的规律。

插值一般通过构造一个多项式函数来实现，拟合则可以通过多项式、指数函数等来实现。

考生在备考时需要熟悉插值与拟合的原理和常见的方法，例如拉格朗日插值、牛顿插值等，并能够灵活运用于解题中。

2. 数值微积分数值积分是数值分析中的重要内容之一。

在考研中，常见的数值积分方法有梯形公式、辛普森公式等。

考生需要理解数值积分的原理和方法，并能够根据题目的要求灵活运用。

此外，还需要掌握复合公式、误差估计等相关知识。

3. 数值方程数值方程是数值分析中的一个重要内容，在考研中也是经常出现的题型。

常见的数值方程有二分法、牛顿法等。

考生需要掌握各种数值方程的原理和应用条件，并能够根据给定的题目选择合适的方法解决问题。

4. 线性方程组的数值解法线性方程组的数值解法也是数值分析中的一个重要内容。

考生需要掌握高斯消元法、LU分解法等基本的解法，并能够根据题目的要求进行适当的变形和求解。

5. 数值特征值问题数值特征值问题是数值分析中的一个重点内容，也是上海市考研中的一个重要考点。

考生需要熟悉特征值和特征向量的定义和性质，掌握幂法、反幂法等常见的特征值求解方法，并能够灵活运用于解题。

针对上海市考研数学三十中的数值分析部分，我们来看两道典型的考题：【题目一】已知函数 f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 2x - 1，求在 [0,1] 上的定积分。

【解析】由题目可知，我们需要求解函数 f(x) 在 [0,1] 区间上的定积分。

期末数值分析重点总结第一部分：数值逼近（Approximation）数值逼近是数值分析的基础，主要研究如何利用有限的计算资源得到逼近数学问题的有效算法。

数值逼近的主要内容包括多项式逼近、插值和最小二乘等。

1. 多项式逼近多项式逼近是指用一个多项式函数来逼近给定函数的值。

通过选择合适的多项式次数和插值点，可以使得多项式逼近误差最小化。

其中最常用的方法是最小二乘法，它可以通过最小化残差来得到最佳的多项式逼近。

多项式逼近在信号处理、图像处理和计算机图形学等领域中有广泛的应用。

2. 插值插值是指通过已知数据点的函数值来估计在其他点的函数值。

常用的插值方法有拉格朗日插值和牛顿插值。

拉格朗日插值通过构造一个满足插值条件的多项式来逼近给定函数。

牛顿插值则利用差商的概念来构造插值多项式。

插值方法在数值微分和数值积分中有广泛的应用。

3. 最小二乘最小二乘是一种在一组离散数据点上拟合曲线的方法。

通过最小化数据点与拟合曲线之间的欧几里得距离，可以得到最佳拟合曲线。

最小二乘法可以用于曲线拟合、参数估计和数据关联等问题。

第二部分：数值解方程（Numerical Solution of Equations）数值解方程是数值分析的重要内容之一，研究如何通过数值计算来求解非线性方程组和线性方程组。

数值解方程的主要方法有迭代法、常微分方程数值解和偏微分方程数值解等。

1. 迭代法迭代法是求解非线性方程组的常用方法之一。

通过不断迭代逼近方程的根，可以得到方程组的数值解。

常用的迭代法有牛顿迭代法和弦截法。

迭代法在计算机辅助设计、优化和数据分析等领域中有广泛的应用。

2. 常微分方程数值解常微分方程数值解研究如何通过数值计算来求解常微分方程。

常微分方程数值解的主要方法有Euler方法、Runge-Kutta方法和线性多步法等。

常微分方程数值解在物理学、工程学和生物学等领域中有广泛的应用。

3. 偏微分方程数值解偏微分方程数值解研究如何通过数值方法来求解偏微分方程。

复习题（一）一、填空题：1、求方程011015.02=--x x 的根，要求结果至少具有6位有效数字。

已知0099.10110203≈，则两个根为=1x ，=2x .（要有计算过程和结果）2、⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=410141014A ，则A 的LU 分解为A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦。

3、⎥⎦⎤⎢⎣⎡=5321A ，则=)(A ρ ，=∞A . 4、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ，则用抛物线（辛卜生）公式计算求得⎰≈31_________)(dx x f ，用三点式求得≈')1(f .5、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2x 的系数为 ，拉格朗日插值多项式为 . 二、单项选择题：1、 Jacobi 迭代法解方程组b x =A 的必要条件是（ ）. A ．A 的各阶顺序主子式不为零 B. 1)(<A ρ C. n i a ii ,,2,1,0 =≠ D. 1≤A2、设753)(99-+-=x x x f ，均差]2,,2,2,1[992 f =( ) . A.3 B. -3 C. 5 D.03、设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=700150322A ，则)(A ρ为( ). A. 2 B. 5 C. 7 D. 34、三点的高斯求积公式的代数精度为( ). A. 2 B.5 C. 3 D. 45、幂法的收敛速度与特征值的分布（ ）。

A. 有关 B. 不一定 C. 无关 三、计算题：1、用高斯-塞德尔方法解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++225218241124321321321x x x x x x x x x ，取T )0,0,0()0(=x，迭代四次(要求按五位有效数字计算).2、求A 、B 使求积公式⎰-+-++-≈11)]21()21([)]1()1([)(f f B f f A dx x f 的代数精度尽量高,并求其代数精度；利用此公式求⎰=211dxx I (保留四位小数)。

数值分析例题和知识点总结数值分析是一门研究如何用计算机求解数学问题数值解的学科，它在科学计算、工程技术、金融经济等领域都有着广泛的应用。

为了更好地理解和掌握数值分析的知识，下面将通过一些例题来对常见的知识点进行总结。

一、误差分析误差是数值分析中一个非常重要的概念。

误差分为绝对误差、相对误差和有效数字。

绝对误差：设某量的准确值为$x$，近似值为$x^＄，则绝对误差为$｜x x^｜＄。

相对误差：相对误差是绝对误差与准确值的比值，即$＼frac{｜xx^｜｝｛｜x|｝＄。

有效数字：若近似值$x^＄的绝对误差限是某一位的半个单位，该位到$x^＄的第一位非零数字共有$n$位，则称$x^＄有$n$位有效数字。

例如，＄＼pi$的近似值为 314，准确值约为 31415926，绝对误差为$｜31415926 314| ＝ 00015926$，相对误差为$＼frac{00015926}｛31415926} ＼approx 0000507$，314 有 3 位有效数字。

二、插值法插值法是数值分析中的一种基本方法，用于通过已知的数据点来构造一个函数。

1、拉格朗日插值已知$n ＋ 1$个互异节点$（x_0, y_0)，（x_1, y_1)，＼cdots, （x_n, y_n)＄，拉格朗日插值多项式为：＄L_n(x) ＝＼sum_{i ＝ 0}＾n y_i l_i(x)＄其中，＄l_i(x) ＝＼frac{＼prod_{j ＝ 0, j ＼neq i}＾n （x x_j)｝｛＼prod_{j ＝ 0, j ＼neq i}＾n （x_i x_j)｝＄例如，已知点$（1, 2)＄，＄（2, 3)＄，＄（3, 5)＄，求插值多项式。

设$L_2(x) ＝ y_0 l_0(x) ＋ y_1 l_1(x) ＋ y_2 l_2(x)＄＄l_0(x) ＝＼frac{（x 2)（x 3)｝｛（1 2)（1 3)｝＝＼frac{1}｛2}（x 2)（x 3)＄＄l_1(x) ＝＼frac{（x 1)（x 3)｝｛（2 1)（2 3)｝＝（x 1)（x 3)＄＄l_2(x) ＝＼frac{（x 1)（x 2)｝｛（3 1)（3 2)｝＝＼frac{1}｛2}（x 1)（x 2)＄则$L_2(x) ＝ 2 ＼times ＼frac{1}｛2}（x 2)（x 3) ＋ 3 ＼times （x1)（x 3) ＋ 5 ＼times ＼frac{1}｛2}（x 1)（x 2)＄2、牛顿插值牛顿插值多项式为：＄N_n(x) ＝ fx_0 ＋ fx_0, x_1(x x_0) ＋ fx_0, x_1, x_2(x x_0)（xx_1) ＋＼cdots ＋ fx_0, x_1, ＼cdots, x_n(x x_0)（x x_1) ＼cdots （xx_{n 1}）＄其中，均差$fx_0, x_1, ＼cdots, x_k ＝＼frac{fx_1, x_2, ＼cdots, x_k fx_0, x_1, ＼cdots, x_{k 1}｝｛x_k x_0}＄三、数值积分数值积分用于计算定积分的近似值。

数值分析期末复习题答案一、选择题1. 以下哪个算法是用于求解线性方程组的直接方法？A. 牛顿法B. 高斯消元法C. 共轭梯度法D. 辛普森积分法答案：B2. 插值法中，拉格朗日插值法和牛顿插值法的主要区别是什么？A. 插值点的选取不同B. 插值多项式的构造方式不同C. 计算复杂度不同D. 适用的函数类型不同答案：B3. 在数值积分中，梯形法则和辛普森法则的主要区别是什么？A. 精度不同B. 适用的积分区间不同C. 计算方法不同D. 稳定性不同答案：A二、简答题1. 解释什么是数值稳定性，并举例说明。

答案：数值稳定性指的是数值方法在计算过程中对于舍入误差的敏感程度。

例如，在求解线性方程组时，如果系数矩阵的条件数很大，则该方程组的数值解对舍入误差非常敏感，即数值稳定性差。

2. 说明数值微分与数值积分的区别。

答案：数值微分是估计函数在某一点的导数，而数值积分是估计函数在某个区间上的积分。

数值微分通常用于求解函数的局部变化率，而数值积分用于求解函数在一定区间内的累积效果。

三、计算题1. 给定一组数据点：(1, 2), (2, 3), (3, 5), (4, 6)，请使用拉格朗日插值法构造一个三次插值多项式。

答案：首先写出拉格朗日插值基函数，然后根据数据点构造插值多项式。

具体计算过程略。

2. 给定函数 f(x) = x^2，使用牛顿-科特斯公式中的辛普森积分法在区间 [0, 1] 上估计积分值。

答案：首先确定区间划分，然后应用辛普森积分公式进行计算。

具体计算过程略。

四、论述题1. 论述数值分析中误差的来源及其控制方法。

答案：误差主要来源于舍入误差和截断误差。

舍入误差是由于计算机在进行浮点数运算时的精度限制造成的，而截断误差是由于数值方法的近似性质导致的。

控制误差的方法包括使用高精度的数据类型、选择合适的数值方法、增加计算步骤等。

五、综合应用题1. 给定一个线性方程组 Ax = b，其中 A 是一个 3x3 的矩阵，b 是一个列向量。

数值分析期末复习题型：一、填空 二、判断 三、解答（计算） 四、证明第一章 误差与有效数字一、 有效数字1、 定义：若近似值x*的误差限是某一位的半个单位，该位到x*的第一位非零数字共有n 位，就说x*有n 位有效数字。

2、 两点理解：（1） 四舍五入的一定是有效数字（2） 绝对误差不会超过末位数字的半个单位eg. 3、 定理1（P6）：若x*具有n 位有效数字，则其相对误差限为 4、 考点：（1）计算有效数字位数：一个根据定义理解，一个根据定理1（P7例题3）二、 避免误差危害原则 1、 原则：（1） 避免大数吃小数（方法：从小到大相加；利用韦达定理：x1*x2= c / a ）（2） 避免相近数相减（方法：有理化）eg. 或（3） 减少运算次数（方法：秦九韶算法）eg.P20习题14三、 数值运算的误差估计 1、 公式：（1） 一元函数：|ε*( f (x *))| ≈ | f ’(x *)|·|ε*(x )|或其变形公式求相对误差（两边同时除以f (x *)）eg.P19习题1、2、5（2） 多元函数（P8）eg. P8例4，P19习题4*(1)11102n r a ε--≤⨯;x εx εx εx ++=-+();1ln ln ln ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+x εx εx x cos 1-2sin 22x =第二章 插值法一、 插值条件1、 定义：在区间[a,b]上，给定n+1个点，a ≤x 0＜x 1＜…＜x n ≤b 的函数值yi=f(xi)，求次数不超过n 的多项式P(x)，使 2、 定理：满足插值条件、n+1个点、点互异、多项式次数≤n 的P(x)存在且唯一二、 拉格朗日插值及其余项1、 n 次插值基函数表达式（P26（2.8））2、 插值多项式表达式（P26（2.9））3、 插值余项（P26（2.12））：用于误差估计4、 插值基函数性质（P27（2.17及2.18））eg.P28例1三、 差商（均差）及牛顿插值多项式 1、 差商性质（P30）：（1） 可表示为函数值的线性组合（2） 差商的对称性：差商与节点的排列次序无关 （3） 均差与导数的关系（P31（3.5）） 2、 均差表计算及牛顿插值多项式四、埃尔米特插值（书P36） 两种解法：（1） 用定义做：设P 3(x)=ax 3+bx 2+cx+d ，将已知条件代入求解（4个条件：节点函数值、导数值相等各2个）（2） 牛顿法（借助差商）：重节点eg.P49习题14 五、三次样条插值定义n i y x P ii n ,,2,1,0)( ==（1） 分段函数，每段都是三次多项式（2） 在拼接点上连续（一阶、二阶导数均连续） （3）考点：利用节点函数值、导数值相等进行解题第三章 函数逼近与曲线拟合一、 曲线拟合的最小二乘法解题思路：确定ϕi ，解法方程组，列方程组求系数（注意ϕi 应与系数一一对应）eg.P95习题17 形如y=ae bx 解题步骤： （1） 线性化（2）重新制表（3）列法方程组求解（4）回代第四章 数值积分与数值微分一、 代数精度 1、 概念：如果某个求积公式对于次数不超过m 的多项式准确成立，但对于m+1次多项式不准确成立，则称该求积公式具有m 次代数精度2、 计算方法：将f(x)=1,x,x 2, …x n 代入式子求解 eg.P100例1二、 插值型的求积公式求积系数定理：求积公式至少具有n 次代数精度的充要条件是：它是插值型的。

数值分析试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 以下哪个算法是数值分析中用于求解线性方程组的直接方法？A. 牛顿法B. 高斯消元法C. 梯度下降法D. 蒙特卡洛方法答案：B2. 插值法中，拉格朗日插值法和牛顿插值法的共同点是：A. 都是多项式插值B. 都使用差商C. 都只适用于等距节点D. 都需要预先知道所有数据点答案：A3. 在数值积分中，辛普森(Simpson)公式比梯形公式的误差：A. 更大B. 更小C. 相同D. 无法比较答案：B4. 以下哪个是数值稳定性分析中常用的方法？A. 条件数B. 收敛性C. 收敛速度D. 误差分析答案：A5. 在求解常微分方程的数值解时，欧拉方法属于：A. 单步法B. 多步法C. 隐式方法D. 显式方法答案：A6. 以下哪个是数值分析中求解非线性方程的迭代方法？A. 高斯-约当消元法B. 牛顿-拉弗森方法C. 雅可比迭代法D. 高斯-赛德尔迭代法答案：B7. 线性插值公式中，如果给定两个点\( (x_0, y_0) \)和\( (x_1, y_1) \)，插值多项式是：A. \( y = y_0 + \frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0}(x - x_0) \)B. \( y = y_0 + \frac{y_1 - y_0}{x_0 - x_1}(x - x_0) \)C. \( y = y_0 + \frac{x - x_0}{x_1 - x_0}(y_1 - y_0) \)D. \( y = y_1 + \frac{x_1 - x}{x_1 - x_0}(y_0 - y_1) \)答案：C8. 以下哪个是数值分析中用于求解特征值问题的算法？A. 幂法B. 共轭梯度法C. 牛顿法D. 欧拉法答案：A9. 在数值微分中，使用有限差分法来近似导数时，中心差分法的误差：A. 与步长成正比B. 与步长的平方成正比C. 与步长的立方成正比D. 与步长的四次方成正比答案：B10. 以下哪个是数值分析中用于求解线性最小二乘问题的算法？A. 梯度下降法B. 牛顿法C. 奇异值分解法D. 共轭梯度法答案：C二、简答题（每题10分，共30分）1. 简述数值分析中病态问题的特点及其对算法的影响。

1. 已知如下数据()i i x y ，，1,2,3,4i =，即（1，8），（2，7），（5，10），（10，21），试求一条形如by ax x=+的最小二乘拟合函数。

2. 考虑n 阶线性代数方程组Ax b =的扰动方程组()()A A x x b b +∆+∆=+∆设A 是非奇异矩阵，∙表示某种向量范数或从属于它的矩阵范数，且11A A -∆<，证明：（1）扰动方程有唯一解； （2）有估计()()1111A A A AA ---+∆≤-∆（3）记()1K A A A -=称为矩阵A 的条件数，则还有估计()()1x A b K A x K A AA A b ⎛⎫∆∆∆≤+ ⎪ ⎪-∆⎝⎭3. 方程组Ax b =，其中10.50.520.5,,0.51a A x a R a -⎡⎤⎢⎥=--∈⎢⎥⎢⎥--⎣⎦（1）试用迭代次数的充要条件求出使jacbi 迭代法收敛的a 的取值范围； （2）选择一种便于计算的迭代收敛的充分条件，求出G-S 迭代法收敛的a 的范围，并求出G-S 迭代公式（分量形式）；4. 设矩阵210131012A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，试求()()2,,A cond A A ρ. 5. 设求()0f x =的迭代格式，()()()10,1,2,3......n n n n f x x x n f x +=-='收敛到()0f x = 精确解*x ，且*x 是方程()0f x =的单根，试证牛顿迭代格式二阶收敛，即()()()*1*12lim 2n n n n n f x x x x x f x -→∞--''-=-'- 6. 设*x 为()0f x =的一个根，()f x 在*x 的某领域为三次连续可微，且()*0f x ≠，对牛顿法做如下修改：()()()()()()10,1,2,3......n n nnn n n nn f x x x D f x f x f x D n f x +⎧=-⎪⎪⎨+-⎪==⎪⎩，证明该迭代法二阶收敛。