数值分析报告报告材料期末复习资料

数值分析复习资料一、重点公式第一章 非线性方程和方程组的数值解法 1）二分法的基本原理，误差：~12k b ax α+--<2）迭代法收敛阶：1lim0i pi ic εε+→∞=≠，若1p =则要求01c <<3）单点迭代收敛定理：定理一：若当[],x a b ∈时，[](),x a b ϕ∈且'()1x l ϕ≤<，[],x a b ∀∈，则迭代格式收敛于唯一的根；定理二：设()x ϕ满足：①[],x a b ∈时，[](),x a b ϕ∈， ②[]121212,,, ()(),01x x a b x x l x x l ϕϕ∀∈-≤-<<有 则对任意初值[]0,x a b ∈迭代收敛，且：110111i i iii x x x llx x x lαα+-≤---≤-- 定理三：设()x ϕ在α的邻域内具有连续的一阶导数，且'()1ϕα<，则迭代格式具有局部收敛性；定理四：假设()x ϕ在根α的邻域内充分可导，则迭代格式1()i i x x ϕ+=是P 阶收敛的 ()()()0,1,,1,()0j P j P ϕαϕα==-≠ （Taylor 展开证明）4）Newton 迭代法：1'()()i i i i f x x x f x +=-，平方收敛 5）Newton 迭代法收敛定理：设()f x 在有根区间[],a b 上有二阶导数，且满足： ①：()()0f a f b <； ②：[]'()0,,f x x a b ≠∈；③：[]'',,f x a b ∈不变号④：初值[]0,x a b ∈使得''()()0f x f x <；则Newton 迭代法收敛于根α。

6）多点迭代法：1111111()()()()()()()()()i i i i i i i i i i i i i i i f x f x f x x x x x f x f x f x f x f x f x x x -+-----=-=+----收敛阶：P =7）Newton 迭代法求重根（收敛仍为线性收敛），对Newton 法进行修改 ①：已知根的重数r ，1'()()i i i i f x x x rf x +=-（平方收敛） ②：未知根的重数：1''()(),()()()i i i i u x f x x x u x u x f x +=-=，α为()f x 的重根，则α为()u x 的单根。

Chapter 1 误差误差限计算、有效数字分析•绝对课差址t洵准确俏”*为工的-个近似偵「称T —工対近似偵.T '的絶村谋差，简厳供邛*可简记为E.|g(T)|=| T —*|兰£(/)数值貞门称为T的11绐对误差限或误差限*l『*、F(x ) x —x E© ) = —=——为近似值/的担zt溟誉可简｛己址•有效数字若才作加的近tilt其鲍对误差的绝对值不超过某一位数字的半个单恆，而该位数字到F的第—位非零数字共有斤位關称用F近恤时具有血有效做字'简称丫有畀位有效数字.Chapter 2插值法差值条件(唯一性)1、拉格朗日差值a) 插值基函数b) 差值余项2.2拉格朗曰抽值2.2.1基函数考虑最简单、晟舉本的骼值问起+ 求押次插值家项式『低)…肋，便加滿足播值条伸可知，除斗点外.其余都星”.巧的零点■械可诛< (A) ^.4(X 一％[…(-V址 d 為"* <A -A；)X)=A(X - J- (A- - \_, )(.Y -J)其中M为常數.由&工戶1町得』=-------------------- -----------------(閔円)心7冷K%-咖卜-a -斗)和対讼>：T^V为准确血"为玄的一个近似伉称relativeerror称之为拉厳朗LI垒曲绘都是M次帝项武.. 2.1.2拉榕朗n插佢雾项式利用拉辭朗H皋啦数/态人构造次数不趙过"的雾项式£(巧二必机朗+^( v) + •…I J；/,(.v) = £昭(曰可知其搆足7韩为拉格阴Id插说饕砂式.再由插菽牟嘶的唯亠杵“ 鲁 D I特别地*造时又叫钱件擂僮其几何童又为过两点的直级-当*匸2时又叫拋物<线)掩值•具几何鳶义为过三点的拋物线.滾丘阖淘若取人1).伸伏=札1*…飒由插痕参项式的唯一性有£址工)# =x\ k= 0」厂』特别当k-OfiL就得到£佃-1□则铉格朗U的丄抚抽值雾项式为V)= j^(j(X> + I'Jj (x> + j/2(.v) * MQO=(2)弓…仗扣讪—协-町H^)xll(A + l)(r-JX^ 4}+3x —(x H)(x-LXx-3) 8 15■裁1M T-3X V-4)+^X HX A-1M A4)+ l(.v+lX.v-lXr-3)+ 3)a 1已知$ =五，耳=4眄=S.用皴件插值f即一次插惟藝坝如历的近似值.解片=2・曲=3•菇函数付别为：t-9 1 x-4 I4(J)=——=—(x-9j, Zjx)=——= -{x -4)砂14-9 5尸门9-4 5播債孝项式为V)-片fj.i) +」'占(巧-2x^(.v 夕”：(* 4)---(.V 4 J -4)(- (X + fr))所以乔金厶⑺二空R点5使2求过啟-1,-毎川』人(乱-创*(4」)的抛物线播值(即三次插値务项式).蔦-U 斗=-t t A|二L x2=3»A3- 4以为苗点加墓函.数分别为：厶何」匸迪住1±J (.r +lXA -3}(x-4)1(1 ► 1)(1-3)(1- 4J 12心)」：十汽-1年¥二Uw心一ncz (34-1X3-1X3-4) K=⑴】心-叭7= *十叫讣7】(4 + IX4-1X4-3) 152.23極値肇项M tt'r滾^Ji n(x)=f(x)兀糾也称为"次1川甘"叱插伯赛境式的余坝。

1. MA TLAB 计算中，在命令窗口运行语句f=polyval([2 3 1],2)，返回结果f= . 2．设1)(2+=x x f ，则=]4,2[f .设函数13)(47+++=x x x x f ，则7阶差商]3,,3,3[710 f = . 8阶差商]3,,3,3[810 f = .若3219()5767f x x x =++，则()f x 的一阶差商[0,1]f = ，32阶差商0132[3,3,,3]f = ．设(1)4,(2)6,(3)7f f f ===，则()f x 的二阶差商[1,2,3]f = . 3．在MATLAB 软件中，用于绘制平面数据散点图的函数为 .4．在求解方程组b AX =时，迭代格式f BX X)()1(+=+k k 对于任意初始向量）0(X 及任意f 都收敛的充要条件是 . 5．在函数22)(x x f =上任取四个互异点,通过这四个点的lagrange 插值多项式为 ．在函数1)(2++=x x x f 上任取三个互异的点,通过这三个点的lagrange 插值多项式为 ． 6．设4[1,1]()f x C -∈，已知节点1,21,0,13210===-=x x x x ，其相应的函数值为31(),0,0,22f x =-，则()f x 的三次Lagrange 插值多项式3()p x = .当2,1,1-=x 时, 4,0,3)(-=x f 则)(x f 的二次Lagrange 插值多项式为 .设(3)()[0,2]∈f x C ，已知节点0120,1,2===x x x ，其相应的函数值为()2,1,2f x =--，则()f x 的二次Lagrange 插值多项式的插值基函数1()l x = ，插值余项2()R x = ． 7. MATLAB的值，可在命令窗口命令提示符后输入 .8．在MATLAB 操作中，把变量x ，y 定义为符号变量的语句为 ． 9．设(0,1,,)j x j n =为互异节点，则lagrange 插值基函数满足0()nj j l x ==∑ .10．在MATLAB 软件中，进行MATLAB 操作的最主要的窗口称为 ．11. 当1x >>改写为 ． 12．用MATLAB 对一组数据进行多项式拟合的函数为 ．13．用牛顿迭代法求2()1150=-=f x x 的正根时，迭代公式为 ．14．MATLAB 中，用命令polyval 计算多项式13)(23++=x x x f 在100,,2,1,0 =x 时的值, 可在命令窗口中输入 ． 用命令polyval 计算多项式124)(33+++=x x x x f 在2,1,1-=x 时的值,可在命令窗口中输入 . 用命令feval 要计算函数f1.m 在0x 处的值，在命令窗口中应输入 ． 15．梯形求积公式的代数精度是 ，辛普森求积公式的代数精度是 ． 16．求积公式2141()(0)(1)(2)333f x dx f f f ≈++⎰的代数精度是 . 17. 误差的来源大体可分为观测误差、 、 、 等四类.18．用二分法求3()251f x x x =--=0在[1,3]内的实根时，进行一步后根所在的区间为 ，进行二步后根所在的区间为 .19. 若x 的相对误差为3%，则nx 的相对误差为 .1．求积公式)1()1()(11f f dx x f +-≈⎰-在]1,1[-上具有（ ）次代数精确度.A. 1B. 2C. 3D. 4 2．下面对可进行LU 分解的矩阵A 的描述不正确的是（ ）.A. 分解所得的L 为单位下三角矩阵B. 分解所得的U 为上三角矩阵Ｃ. A 的顺序主子式可以等于零 Ｄ. 这种分解是唯一的3．通过点),(k k y x 、),(11++k k y x 的拉格朗日插值基函数)(x l k 、)(1x l k +满足（ ）.A. 0)(,0)(11==++k k k k x l x lB. 1)(,1)(11==++k k k k x l x lC. 0)(,1)(11==++k k k k x l x lD. 1)(,0)(11==++k k k k x l x l4．应用牛顿迭代法于方程03=-a x ，导出的求立方根3a 的迭代公式为（ ）.A. a x a x x x k k k k ---=+2313 B. ax ax x x k k k k --+=+2313 C. 2313k k k k x a x x x --=+ D. 2313k k k k x ax x x -+=+ 5．MA TLAB 命令窗口中，运行语句A=[1 2;3 4];A(1,2)^A(2,1)，所得结果为( )A ．6 B. 16 C. 8 D. 96．辛普森求积公式的代数精度为（ ）.A. 1B. 2C. 3D. 47．用雅可比迭代法求解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=-+5223122321321321x x x x x x x x x ，则迭代矩阵)(B =.A. ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----022101220 B. ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---022110220 C. ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----522311122 D. ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-1221112218．通过点),(k k y x 、),(11++k k y x 的拉格朗日插值基函数)(x l k 、)(1x l k +满足（ ）.A. 0)(,0)(11==++k k k k x l x lB. 1)(,1)(11==++k k k k x l x lC. 0)(,1)(11==++k k k k x l x lD. 1)(,0)(11==++k k k k x l x l 9．关于用MA TLAB 库函数对方阵A 的操作下面叙述不正确的是（ ）.A. 运行diag （A ），可得一列向量B. 运行diag （diag （A ）），可得一对角阵Ｃ. 运行triu （A ）可得一上三角矩阵 Ｄ. 运行triu （A ）可得一下三角矩阵 10．下面表达式是MATLAB 软件中合法变量名的是（ ）A. 3a_xB. ab_34C. a%3eD. bn+x 三、简答题1．请给出MATLAB 中M 函数文件的格式． 2．请给出数值积分中代数精度的概念． 3．请给出算法稳定的概念．4．请给出MATLAB 软件中分号、圆括号、方括号的功能．5．请给出数值分析中截断误差、舍入误差的概念． 6．请给出Matlab 软件中合法的变量名的命名规则.7．请给出数值计算中避免误差危害的至少四条原则. 8．请给出用迭代法解非线性方程时收敛阶的概念.四、解答题1. 线性方程组b AX =的系数矩阵A =11(0)1a a a a a a a ⎡⎤⎢⎥>⎢⎥⎢⎥⎣⎦，求能使解方程组的Jacobic 迭代法收敛的a 的范围．2. 用梯形公式，辛普森公式计算21sin ⎰xdx x,21ln(1+⎰dx ,10⎰x e dx ．（小数点后保留四位）．（已知：9975.0)5.1sin(,9093.02sin ,8415.01sin === ） (已知:ln2 0.6931,ln(1 0.8814,ln(10.7996===）(已知:122.7183, 1.6487==e e ）3. 已知⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=2222222222222222A 求1A 、2A 、∞A .4. 叙述压缩映象不动点定理,并证明不动点的存在性．5. 正方形的边长大约为100cm ，应怎样测量才能使得其面积误差不超过1cm 2？6.用列主元消去法解线性方程组⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--421641284247321x x x 7.用简单迭代法理论分析:对于任意的]4,0[0∈x ，由迭代格式 2,1,0,21=+=+k x x k k 得到的序列∞=0}{k k x 均收敛于同一个数*x .8.计算球体积要使相对误差限为1%，问度量半径R 所允许的相对误差限是多少？ 9. 计算函数[]1(),0,12=-∈f x x x 关于[0,1]C 的1,f f ∞与2f ．10. 已知数据表用复化梯形公式计算2.42.0()f x dx ⎰．11．（8分）已给数据表（取步长0.1h =） 用复化辛普森公式计算⎰4.10.1)(dx x f12. 设有解线性方程组b AX =的迭代格式g BX X k K +=+)()1(，其中A I B -=，如果A B ,的特征值全为正数，分析该迭代格式是否收敛．13. 设线性方程组b AX =的系数矩阵A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡111a a a a a a ， 证明：当121<<-a 时，高斯-塞德尔迭代法收敛．14.取初始向量(0)(0,0,0)=T X ，用Jacobic 迭代法求解如下方程组，给出(1)(2)(3),,.X X X1231231232213225x x x x x x x x x +-=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 15．（7分）计算61)f =≈1.4，若利用等式f =计算，试分析所得近似值的相对误差是多少？ 16．（8分）设线性方程组b AX =的系数矩阵A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-a a a 232131， 试求能使Jacobic 方法收敛的a 的范围.17．（8分）求方程0123=--x x 在5.10=x 附近的一个根，分析下列迭代公式是否收敛：在区间]6.1,3.1[上考察（1）2111kK x x +=+ （2）211)1(1-=+k K x x (已知4648.06.023=)18．(8分)若A 是n 级实矩阵，证明：F FA A An≤≤2119．（10分）设(0,1,,)j x j n =为互异节点，),...,1,0)((n j x l j =为拉格朗日插值基函数.证明： (1) 1)(0≡∑=nj j x l(2)⎩⎨⎧===∑=nk k x l kjnj j ,...,2,1001)0(0四、程序设计题（10分）1. 在某次阻尼振荡试验中测得如下表所列的9组数据点，已知阻尼振荡对应的函数模型为w x e )kx cos(a )x (f =，利用已知数据，求拟合函数的待定参数w k a ,,.（请写出用MATLAB 软件编程求解该题的代码）2. 用最小二乘法确定经验公式x be a y +=中的参数b a ,，使该曲线拟合下面的数据。

《数值分析》期末复习提纲第一章数值分析中的误差(一) 考核知识点误差的来源类型；绝对误差和绝对误差限，相对误差和相对误差限，有效数字；绝对误差的传播。

误差的定性分析(二)复习要求1. 知道产生误差的主要来源。

2. 了解绝对误差和绝对误差限、相对误差和相对误差限和有效数字等概念以及它们之间的关系。

3. 知道四则运算中的误差传播公式。

4. 避免误差危害的若干原则第二章插值法(一) 考核知识点插值函数，插值多项式，被插值函数，节点；拉格朗日插值多项式：插值基函数；均差及其性质，牛顿插值多项式；分段线性插值、线性插值基函数。

(二)复习要求1. 了解插值函数，插值节点等概念。

2. 熟练掌握拉格朗日插值多项式的公式，知道拉格朗日插值多项式余项。

3. 掌握牛顿插值多项式的公式，了解均差概念和性质，掌握均差表的计算，知道牛顿插值多项式的余项。

4. 掌握分段线性插值的方法和线性插值基函数的构造。

第三章函数逼近(一) 考核知识点函数逼近的基本概念，内积，范数，勒让德与切比雪夫正交多项式，最佳一次一致逼近，最佳平方逼近，曲线拟合的最小二乘法（二）复习要求1. 熟练掌握内积，范数等基本概念。

2. 熟练掌握勒让德与切比雪夫正交多项式的性质。

3. 掌握用多项式做最佳平方逼近的方法。

4. 最小二乘法及其计算方法。

第四章数值积分与数值微分(一) 考核知识点数值求积公式，求积节点，求积系数，代数精度；插值型求积公式，牛顿―科特斯求积公式，牛顿―科特斯系数及其性质，(复合)梯形求积公式，(复合)Simpson求积公式；高斯型求积公式，高斯点，(二点、三点)高斯―勒让德求积公式；(二) 复习要求1. 熟练掌握数值积分和代数精度等基本概念。

2. 熟练掌握牛顿−科特斯求积公式和科特斯系数的性质。

熟练掌握并推导(复合)梯形求积公式和(复合)Simpson求积公式。

3. 知道高斯求积公式和高斯点概念。

会用高斯−勒让德求积公式求定积分的近似值。

数值分析期末考试复习题及其答案1. 已知325413.0,325413*2*1==X X 都有6位有效数字，求绝对误差限。

（4分）解：由已知可知,n=65.01021,0,6,10325413.0016*1=⨯==-=⨯=ε绝对误差限n k k X 2分 620*21021,6,0,10325413.0-⨯=-=-=⨯=ε绝对误差限n k k X 2分2. 已知⎢⎢⎢⎣⎡=001A 220- ⎥⎥⎥⎦⎤440求21,,A A A ∞ （6分） 解：{},88,4,1max 1==A 1分 {},66,6,1max ==∞A 1分 ()A A A T max 2λ= 1分⎢⎢⎢⎣⎡=001A A T 420 ⎥⎥⎥⎦⎤-420⎢⎢⎢⎣⎡001 220- ⎥⎥⎥⎦⎤440=⎢⎢⎢⎣⎡001 080 ⎥⎥⎥⎦⎤3200 2分 {}3232,8,1max )(max ==A A T λ 1分 24322==A3. 设32)()(a x x f -= （6分） ① 写出f(x)=0解的Newton 迭代格式② 当a 为何值时，)(1k k x x ϕ=+ （k=0,1……）产生的序列{}k x 收敛于2解：①Newton 迭代格式为：xa x x x ax a x x a x x x f x f x x k k k k k k k k k k 665)(665)(6)()(')(22321+=+=---=-=+ϕ 3分②时迭代收敛即当222,11210)2(',665)('2<<-<-=-=a a x a x ϕϕ 3分4. 给定线性方程组Ax=b ，其中：⎢⎣⎡=13A ⎥⎦⎤22，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=13b 用迭代公式)()()()1(k k k Ax b x x -+=+α（k=0,1……）求解Ax=b ，问取什么实数α，可使迭代收敛（8分）解：所给迭代公式的迭代矩阵为⎥⎦⎤--⎢⎣⎡--=-=ααααα21231A I B 2分其特征方程为 0)21(2)31(=----=-αλαααλλB I 2分即，解得αλαλ41,121-=-= 2分 要使其满足题意，须使1)(<B ρ，当且仅当5.00<<α 2分5. 设方程Ax=b ，其中⎢⎢⎢⎣⎡=211A 212 ⎥⎥⎥⎦⎤-112，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=765b 试讨论解此方程的Jacobi 迭代法的收敛性，并建立Gauss-Seidel 迭代格式 （9分）解：U D L A ++=⎢⎢⎢⎣⎡--=+-=-210)(1U L D B J 202-- ⎥⎥⎥⎦⎤-012 3分0,03213=====-λλλλλJ B I 2分即10)(<=J B ρ，由此可知Jacobi 迭代收敛 1分 Gauss-Seidel 迭代格式：⎪⎩⎪⎨⎧--=--=+-=++++++)1(2)1(1)1(3)(3)1(1)1(2)(3)(2)1(12276225k k k k k k k k k x x x x x x x x x （k=0,1,2,3……） 3分6. 用Doolittle 分解计算下列3个线性代数方程组：i i b Ax =（i=1,2,3）其中⎢⎢⎢⎣⎡=222A 331 ⎥⎥⎥⎦⎤421，23121,,974x b x b b ==⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡= （12分）解：①11b Ax =⎢⎢⎢⎣⎡222 331 ⎥⎥⎥⎦⎤421⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=9741x A=⎢⎢⎢⎣⎡111 110 ⎥⎥⎥⎦⎤100⎢⎢⎢⎣⎡002 021 ⎥⎥⎥⎦⎤211=LU 3分 由Ly=b1，即⎢⎢⎢⎣⎡111 110 ⎥⎥⎥⎦⎤100y=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡974 得y=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡234 1分 由Ux1=y ，即⎢⎢⎢⎣⎡002 021 ⎥⎥⎥⎦⎤211x1=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡234 得x1=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡111 2分 ②22b Ax =⎢⎢⎢⎣⎡222 331 ⎥⎥⎥⎦⎤421x2=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡111 由Ly=b2=x1，即⎢⎢⎢⎣⎡111 110 ⎥⎥⎥⎦⎤100y=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡111 得y=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001 1分 由Ux2=y ，即⎢⎢⎢⎣⎡002 021 ⎥⎥⎥⎦⎤211x2=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001 得x2=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡005.0 2分 ③33b Ax =⎢⎢⎢⎣⎡222 331 ⎥⎥⎥⎦⎤421x3=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡005.0由Ly=b3=x2，即⎢⎢⎢⎣⎡111 110 ⎥⎥⎥⎦⎤100y=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡005.0 得y=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-05.05.0 1分 由Ux3=y ，即⎢⎢⎢⎣⎡002 021 ⎥⎥⎥⎦⎤211x3=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-05.05.0 得x3=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-025.0375.0 2分7. 已知函数y=f(x)有关数据如下：要求一次数不超过3的H 插值多项式，使'11'33)(,)(y x H y x H i i == （6分）解：作重点的差分表，如下：3分21021101011001003))(](,,,[))(](,,[)](,[][)(x x x x x x x x f x x x x x x x f x x x x f x f x H --+--+-+= =-1+(x+1)-x(x+1)+2x.x(x+1)=232x x + 3分8. 有如下函数表：试计算此列表函数的差分表，并利用Newton 前插公式给出它的插值多项式 （7分）解：由已知条件可作差分表，3分i ih x x i =+=0 （i=0,1,2,3）为等距插值节点，则Newton 向前插值公式为： 033210022100003!3))()((!2))((!1)()(f h x x x x x x f h x x x x f h x x f x N ∆---+∆--+∆-+==4+5x+x(x-1)=442++x x 4分9. 求f(x)=x 在[-1,1]上的二次最佳平方逼近多项式)(2x P ，并求出平方误差 （8分）解：令22102)(x a x a a x P ++= 2分取m=1, n=x, k=2x ,计算得： (m,m)=dx ⎰-111=0 (m,n)=dx x ⎰-11=1 (m,k)= dx x ⎰-112=0(n,k)= dx x ⎰-113=0.5 (k,k)= dx x ⎰-114=0 (m,y)= dx x ⎰-11=1(n,y)=dx x⎰-112=0 (k,y)= dx x ⎰-113=0.5得方程组：⎪⎩⎪⎨⎧==+=5.05.005.011201a a a a 3分解之得c a a c a 2,1,210-=== （c 为任意实数，且不为零）即二次最佳平方逼近多项式222)(cx x c x P -+= 1分 平方误差：32),(22222222=-=-=∑=i i i y a fp f ϕδ 2分10. 已知如下数据：用复合梯形公式，复合Simpson 公式计算⎰+=10214dx x π的近似值（保留小数点后三位） （8分）解：用复合梯形公式：)}1()]87()43()85()21()83()41()81([2)0({1618f f f f f f f f f T ++++++++==3.139 4分用复合Simpson 公式： )}1()]43()21()41([2)]87()85()83()81([4)0({2414f f f f f f f f f S ++++++++==3.142 4分11. 计算积分⎰=20sin πxdx I ，若用复合Simpson 公式要使误差不超过51021-⨯，问区间]2,0[π要分为多少等分?若改用复合梯形公式达到同样精确度，区间]2,0[π应分为多少等分? （10分）解： ①由Simpson 公式余项及x x f x x f sin )(,sin )()4(==得544)4(2041021)1()4(360)(max )4(1802)(-≤≤⨯≤=≤n x f n f R x n πππππ 2分即08.5,6654≥≥n n ，取n=6 2分即区间]2,0[π分为12等分可使误差不超过51021-⨯ 1分②对梯形公式同样1)(''max 20≤≤≤x f x π，由余项公式得51021)2(122)(-⨯≤≤n f R n ππ2分即255,2.254=≥n n 取 2分即区间]2,0[π分为510等分可使误差不超过51021-⨯ 1分12. 用改进Euler 格式求解初值问题：⎩⎨⎧==++1)1(0sin 2'y x y y y 要求取步长h 为0.1，计算y（1.1）的近似值 （保留小数点后三位）[提示：sin1=0.84,sin1.1=0.89] （6分）解：改进Euler 格式为：⎪⎩⎪⎨⎧++=+=+-++-+)],(),([2),(1111n n n n n n n n n n y x f y x f hy y y x hf y y 2分 于是有⎪⎩⎪⎨⎧+++-=+-=+-++-+-+)sin sin (05.0)sin (1.012112121n n n n n n n n n n n n n x y y x y y y y x y y y y （n=0,1,2……） 2分 由y(1)=0y =1，计算得⎪⎩⎪⎨⎧=≈=+-=-838.0)1.1(816.0)1sin 11(1.01121y y y 2分 即y(1.1)的近似值为0.83813. ][],[],,[lim ],[),,(],,[)(0'000000'x f x x f x x f x x f b a x b a C x f x x ==∈∈→证明：定义：设（4分）证明：]['],[],[],[lim ][][lim]['00000000000x f x x f x x f x x f x x x f x f x f x x x x ===--=→→故可证出 4分14. 证明：设nn RA ⨯∈，⋅为任意矩阵范数，则A A ≤)(ρ （6分）证明：设λ为A 的按模最大特征值，x 为相对应的特征向量，则有Ax=λx 1分 且λρ=)(A ，若λ是实数，则x 也是实数，得Ax x =λ 1分而x x ⋅=λλ x A x ,⋅≤⋅⋅≤λ故x A Ax 2分由于A x 0x ≤≠λ得到，两边除以 1分故A A ≤)(ρ 1分 当λ是复数时，一般来说x 也是复数，上述结论依旧成立。

数值分析期末总结pdf一、引言数值分析指的是利用数值方法对数学问题进行计算和求解的一门学科，在科学计算和工程技术领域中具有重要的应用价值。

本学期学习了数值分析的基本理论知识和常用的数值计算方法，对于提高科学计算和工程分析的准确性和效率具有重要意义。

通过这门课程的学习，我深刻认识到数值分析在实际问题求解中的重要性，并且对于数值方法的原理和应用有了一定的了解。

下面将对本学期学习的内容进行总结和思考。

二、数值误差的分类在数值计算过程中，会产生各种不同类型的误差。

了解不同类型的误差对于评估计算结果的准确性十分重要。

常见的数值误差包括：绝对误差、相对误差、截断误差和舍入误差等。

绝对误差指的是数值计算结果与真实值之间的差距。

相对误差是绝对误差除以真实值，用来计算计算结果相对于真实值的相对准确性。

截断误差是指数值计算方法本身的误差，通常由数值逼近和离散化引起。

舍入误差是因计算机中浮点数的机器精度引起的误差，它是由于计算机在二进制下无法准确表示所有实数而引起的。

在数值计算中，为了减小舍入误差，可以采用舍入规则和舍入策略来控制舍入过程。

三、插值和拟合插值和拟合是数值分析中常用的数值逼近方法，它们可以通过已知数据点推断出未知数据点的数值。

插值是通过已知数据点构造一个函数，使得该函数在已知点上的取值与给定函数完全一致。

常见的插值方法包括拉格朗日插值和牛顿插值等。

拟合是通过已知数据点构造一个函数近似地表示给定函数，以最小化数据点和拟合函数之间的误差。

拟合方法包括最小二乘法和样条插值等。

在插值和拟合的过程中，需要根据实际问题选择适当的插值函数或拟合函数，并确定适当的插值节点或拟合参数。

选择不同的函数或节点参数可能会导致不同的逼近精度和计算效率。

因此，在实际问题中需要根据需求和计算资源的限制综合考虑。

四、数值微积分数值微积分是利用数值方法求解微积分问题的一门学科，常见的数值微积分问题包括数值积分和常微分方程数值解等。

数值积分是计算给定函数在给定区间上的定积分值。

数值分析期末复习要点总结数值分析是一门研究用数值方法来解决数学问题和科学工程问题的学科。

它包括数值计算、数值逼近、数值求解以及数值模拟等内容。

本文将从数值计算的基础知识、数值逼近方法、数值求解方法以及数值模拟方法等方面进行复习要点总结。

一、数值计算的基础知识1. 计算误差：绝对误差、相对误差、有效数字、舍入误差等等。

2. 机器精度：机器数、舍入误差、截断误差等等。

3. 数值稳定性：条件数、病态问题等等。

4. 误差分析：前向误差分析、后向误差分析等等。

二、数值逼近方法1. 插值方法：拉格朗日插值、Newton插值、Hermite插值等等。

2. 曲线拟合：最小二乘法、Chebyshev逼近等等。

3. 数值微分：前向差分、后向差分、中心差分等等。

4. 数值积分：梯形法则、Simpson法则等等。

三、数值求解方法1. 非线性方程求解：二分法、牛顿迭代法、弦截法等等。

2. 线性方程组求解：直接法（Gauss消元法、LU分解法）和迭代法（Jacobi法、Gauss-Seidel法）。

3. 特征值和特征向量：幂法、反幂法、QR分解法等等。

4. 非线性最优化问题：牛顿法、拟牛顿法、梯度下降法等等。

四、数值模拟方法1. 常微分方程数值解法：Euler法、改进Euler法、Runge-Kutta法等等。

2. 偏微分方程数值解法：差分法、有限元法、有限差分法等等。

3. 数值优化方法：线性规划、非线性规划、整数规划等等。

五、数值计算软件1. MATLAB基础：向量、矩阵、符号计算等等。

2. MATLAB数值计算工具箱：插值与拟合工具箱、符号计算工具箱等等。

3. 其他数值计算软件：Python、R、Octave等等。

总结数值分析是一门重要的数学学科，它为解决实际问题提供了有效的数值方法。

在数值计算的基础知识中，我们需要了解计算误差、机器精度和数值稳定性等概念，同时也需要掌握误差分析的方法。

数值逼近方法包括插值、曲线拟合、数值微分和数值积分等内容，其中插值和拟合是常见的逼近方法。

《计篥方法P 实验报告1. 已知X ； =325413, X ； =0.325413都有6位有效数字，求绝对误差限。

(4 分)解：由已知可知，n 二6X ： =0.325413x1()6* =6北一n = 0,绝对误差限^ =丄 xl0° =0.522X ； =0・325413xl0°,k=(U—〃 = —6,绝对误差限& =-xl0"62・ -2分心（"刃=皿{1,8,32} = 32 1分|H|2 =732=4^23. 设/(x) = (x 2-«)3(6 分)① 写岀f (x)二0解的Newton 迭代格式②当a 为何值时，仏|=卩(忑)(k 二0,1……)产生的序列伉｝收敛于、伍【值分析期末考试复习题及其答案1 02.已知4= 02 0 -2解：”州=max{l,4,8} = &分4求IKMJK （6分） 4||^||x =max{l,6,6} = 6,分皿讥如)分_1 0 0 ■ '1A TA = 0 2-20 4 40 0■ 24 二 08 0 -2 4.0 32_w ：①Newton 迭代格式为：丿（忑）0（戈）=竺+丄6 6%(屛-°)' _ 5x k a , ・・ , ,6忑(X ；_G )26 6x©⑴三一曲曲以血）卜10—6/~vF<1,即-2<“ <22时迭代收敛 4・给定线性方程组Ax 二b,其中：A =3 -1用迭代公式牙=才「+a(b- Ax (k}) (k=0,1 ........... )求解 Ax 二b, 问取什么实数Q ，可使迭代收敛 （8分）-a 1 一2a.其特征方程为|刀-=八° 一3a}2（X=02分aA-(l -2<z)即，解得=l-a,22 =l-4a2分 要使其满足题意，须使p （B ） < 1,当且仅当0 vav0・52分'12 -2"丁111,b = 6 2 2 1.7.迭代法的收敛性，并建立Gauss-Seidel 迭代格式 （9分）解：A=L+D+UB, =-D~\L + U)= -1-2 -2 0 -22 -1 0|/1/ — By | = A 3= 0,/lj = = Aj = 0即p （B y ） = 0<l,由此可知Jacobi 迭代收敛1一 3a-la所给迭代公式的迭代矩阵为B = I — aA =2分试讨论解此方程的Jacobi5. 设方程Ax 二b,其中A =Gauss-Seidel 迭代格式：X 严=5-2垮）+2宅） ＜垮+—6-尤严—才 兀严）=7 — 2#申一 2卅Z用Doolittle 分解汁算下列3个线性代数方程组：Ax f =b, (i=l,2,3)其中"2 1 r4' A = 2 3 2 ,s = 7 2 3 4 96. 解: 上2 =兀］上3 =X2 （12分） ① Ax l =b 、x\ =A=由 Ly=bl,由 lxl=y, ②虹=b 2=LU 即y= 4791 10 0 11 12 得xl 二12 0'2 1 rT 2 32 x2= 12 3 4.11 0 o'TT1 1 oy= 1得y= 01 1 11由 Ly=b2=xl,即 (k=0,1,2, 3……)"2 1r丁「OS由Ux2=y,即 02 1 x2= 0得x2二 00 0 2③山3 =仏"2 1r'0.5'2 3 2 x3= 023 4.)0 0"'0.5 '由 Ly=b3=x2,即 1 10 y= 0得y 二 -0.51 110 .0 .'2 1r0.5 ''0.375 -由Ux3二y,即2 1 x3= -0.5得x3二 -0.250 2要求一次数不超过3的H 插值多项式，使 H 3(x /) = y r ,/73(x 1) = y I解：作重点的差分表，如下:H 3(X)= f[x {)] + /[x^x^ ](x-x Q ) + f[x 0,x^x { ](x-x ())(x-x I ) + /[xD ,x p x p x 2](x-x 0)(x-x I )2 二T+(x+l)-x(x+l)+2x. x(x+l)二2x 3 + x 27•已知 函 数 8.有如下函数表:关 数 据(6分)试讣算此列表函数的差分表，并利用Newton前插公式给出它的插值多项式(7分) 解：由已知条件可作差分表，x f = x0 + ih = i (i=0, 1, 2, 3 )为等距插值节点,则Newton向前插值公式为:N3 = f0 + 气評农 + +(—。

数值分析复习总结数值分析课本重点知识点第一章P4定义一P5定义二P6定理1P7例题3P10条件数（1）绝对误差（限）和相对误差（限）公式（2）有效数字（3）条件数及其公式第二章P26定理2（以及余项推导过程）P36两个典型的埃尔米特插值（1）拉格朗日插值多项式（包括其直线公式和抛物线公式）（2）插值余项推导及误差分析（估计）（3）两个典型的埃尔米特插值（4）三次样条插值的概念第三章P63例题3（1）最佳平方逼近公式的计算（2）T3（x）的表达式第四章P106复合梯形公式P107复合辛普森求积公式P108例题3（1）复合公式及其余项（2）判断一个代数的精确度第五章P162定义3向量的范数P165定理17P169定义8（1）左中右矩形公式（2）LU分解（3）谱半径和条件数（4）向量的范数第六章P192定理9第1条P192例题8第七章P215不动点和不动点迭代法P218定理3P228弦截法P229定理6第九章P280欧拉法与后退欧拉法P283改进欧拉公式数值分析课后点题答案第一章数值分析误差第二章插值法第三章函数逼近所以无解19。

观测物体的直线运动，得出以下数据：时间t(s) 0 0.9 1.9 3.0 3.9 5.0 距离s(m)10305080110求运动方程。

解：被观测物体的运动距离与运动时间大体为线性函数关系，从而选择线性方程 s a bt =+ 令{}1,span t Φ=22012201016,53.63,(,)14.7,(,)280,(,)1078,s s =====则法方程组为614.728014.753.631078a b = ??? ?从而解得7.85504822.25376a b =-??=? 故物体运动方程为22.253767.855048S t =-20。

已知实验数据如下：i x 19 25 31 38 44 j y19.032.349.073.397.8用最小二乘法求形如2s a bx =+的经验公式，并计算均方误差。

《数值分析》期末复习纲要第一章 数值计算中的误差分析主要内容(一)误差分析1、误差的基本概念：（1）绝对误差：设x 是精确值， *x 是其近似值，则称()E x x x *=-是近似值*x 的绝对误差，简称误差。

特点：可正可负，带量纲。

（2）相对误差：称()r x x E x x*-=是近似值*x 的相对误差，若精确值x 未知，则定义()r x x E x x **-=。

注: 由四舍五入得到的近似值,误差不超过最末位的半个单位(准确到最末位)。

2、有效数字的概念：P6;3、算法的数值稳定性：数值稳定的算法：初始数据所带有的误差在计算的过程中能得到有效控制，不至于因误差的过度增长影响计算结果的精度。

数值不稳定的算法：初始数据所带有的误差在计算的过程中得不到有效控制，以至于因误差的过度增长而使计算结果的精度大大降低。

P11：例子(二)算法设计的基本准则P11-15应用实例：课堂练习，作业基本要求1、掌握误差、有效数字等基本概念2、熟记算法设计准则，并能依据算法设计准则构造或选择计算公式。

（参见课堂练习、作业）第二章 线性代数方程组的数值解法直接法：不计初始数据的误差和计算过程中的舍入误差，经过有限步四则运算求得方程组的精确解。

迭代法：先给出方程组解的某一初始值，然后按照一定的迭代法则（公式）进行迭代，经过有限次迭代，求得满足精度要求的方程组的近似解。

主要内容（一）直接法的基本模式：高斯顺序消去法基本思想：按照各方程的自然排列顺序（不交换方程），通过按列消去各未知元，将方程组化为同解的三角形方程组来求解求解过程：⎩⎨⎧回代过程消元过程应用实例：课堂例题；练习（二）高斯列主元消去法基本思想：按列消元，但每次按列消元之前，先选取参与消元的 方程首列系数，选取绝对值最大者，通过交换方程，使之成为主元，再进行消元。

(每一步消元之前先按列选取主元)应用实例：课堂例题，作业(三)迭代法基本原理：（1）将原方程组b Ax =改写成如下等价形式：（2）构造相应的迭代公式：f Bx x m m +=-)1()( （3）任取一初始向量)0(x代入上述迭代公式，经迭代得到向量序列{}T m n m m m x x x x ),,,()()(2)(1)( =，如果该向量序列{})(m x 收敛于某一向量T n x x x x ),,,(21****= ，即T n x x x x ),,,(21****= 即为原方程组的解。

数值分析期末复习题型：一、填空 二、判断 三、解答（计算） 四、证明第一章 误差与有效数字一、 有效数字1、 定义：若近似值x*的误差限是某一位的半个单位，该位到x*的第一位非零数字共有n 位，就说x*有n 位有效数字。

2、 两点理解：（1） 四舍五入的一定是有效数字（2） 绝对误差不会超过末位数字的半个单位eg. 3、 定理1（P6）：若x*具有n 位有效数字，则其相对误差限为 4、 考点：（1）计算有效数字位数：一个根据定义理解，一个根据定理1（P7例题3）二、 避免误差危害原则 1、 原则：（1） 避免大数吃小数（方法：从小到大相加；利用韦达定理：x1*x2= c / a ）（2） 避免相近数相减（方法：有理化）eg. 或（3） 减少运算次数（方法：秦九韶算法）eg.P20习题14三、 数值运算的误差估计 1、 公式：（1） 一元函数：|ε*( f (x *))| ≈ | f ’(x *)|·|ε*(x )|或其变形公式求相对误差（两边同时除以f (x *)）eg.P19习题1、2、5（2） 多元函数（P8）eg. P8例4，P19习题4*(1)11102n r a ε--≤⨯;x εx εx εx ++=-+();1ln ln ln ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+x εx εx x cos 1-2sin 22x =第二章 插值法一、 插值条件1、 定义：在区间[a,b]上，给定n+1个点，a ≤x 0＜x 1＜…＜x n ≤b 的函数值yi=f(xi)，求次数不超过n 的多项式P(x)，使 2、 定理：满足插值条件、n+1个点、点互异、多项式次数≤n 的P(x)存在且唯一二、 拉格朗日插值及其余项1、 n 次插值基函数表达式（P26（2.8））2、 插值多项式表达式（P26（2.9））3、 插值余项（P26（2.12））：用于误差估计4、 插值基函数性质（P27（2.17及2.18））eg.P28例1三、 差商（均差）及牛顿插值多项式 1、 差商性质（P30）：（1） 可表示为函数值的线性组合（2） 差商的对称性：差商与节点的排列次序无关 （3） 均差与导数的关系（P31（3.5）） 2、 均差表计算及牛顿插值多项式四、埃尔米特插值（书P36） 两种解法：（1） 用定义做：设P 3(x)=ax 3+bx 2+cx+d ，将已知条件代入求解（4个条件：节点函数值、导数值相等各2个）（2） 牛顿法（借助差商）：重节点eg.P49习题14 五、三次样条插值定义n i y x P ii n ,,2,1,0)( ==（1） 分段函数，每段都是三次多项式（2） 在拼接点上连续（一阶、二阶导数均连续） （3）考点：利用节点函数值、导数值相等进行解题第三章 函数逼近与曲线拟合一、 曲线拟合的最小二乘法解题思路：确定ϕi ，解法方程组，列方程组求系数（注意ϕi 应与系数一一对应）eg.P95习题17 形如y=ae bx 解题步骤： （1） 线性化（2）重新制表（3）列法方程组求解（4）回代第四章 数值积分与数值微分一、 代数精度 1、 概念：如果某个求积公式对于次数不超过m 的多项式准确成立，但对于m+1次多项式不准确成立，则称该求积公式具有m 次代数精度2、 计算方法：将f(x)=1,x,x 2, …x n 代入式子求解 eg.P100例1二、 插值型的求积公式求积系数定理：求积公式至少具有n 次代数精度的充要条件是：它是插值型的。

数值分析总复习提纲数值分析课程学习的内容看上去比较庞杂，不同的教程也给出了不同的概括，但总的来说无非是误差分析与算法分析、基本计算与基本算法、数值计算与数值分析三个基本内容。

在实际的分析计算中，所采用的方法也无非是递推与迭代、泰勒展开、待定系数法、基函数法等几个基本方法。

一、误差分析与算法分析误差分析与算法设计包括这样几个方面： （一）误差计算 1、截断误差的计算截断误差根据泰勒余项进行计算。

基本的问题是(1)1()(01)(1)!n n f x x n θεθ++<<<+，已知ε求n 。

例1．1：计算e 的近似值，使其误差不超过10－6。

解：令f(x)=e x ,而f （k)(x)=e x ,f （k)(0)=e 0=1。

由麦克劳林公式，可知211(01)2!!(1)!n x xn x x e e x x n n θθ+=+++++<<+当x=1时，1111(01)2!!(1)!e e n n θθ=+++++<<+故3(1)(1)!(1)!n e R n n θ=<++。

当n ＝9时，R n (1)<10－6，符合要求。

此时，e≈2.718 285。

2、绝对误差、相对误差及误差限计算绝对误差、相对误差和误差限的计算直接利用公式即可。

基本的计算公式是：①e(x)＝x *－x ＝△x ＝dx② *()()()ln r e x e x dxe x d x x x x==== ③(())()()()e f x f x dx f x e x ''== ④(())(ln ())r e f x d f x =⑤121212121122121122((,))(,)(,)(,)()(,)()x x x x e f x x f x x dx f x x dx f x x e x f x x e x ''''=+=+ ⑥121212((,))((,))(,)f x x f x x f x x εδ=⑦ xεδ=注意：求和差积商或函数的相对误差和相对误差限一般不是根据误差的关系而是直接从定义计算，即求出绝对误差或绝对误差限，求出近似值，直接套用定义式()()r e x e x x =或xεδ=， 这样计算简单。