数值分析复习题讲解

? ||
X
|| ?
Ex12. 设X 是n 维向量 ,A 是n ×n阶矩阵 .求证:
1 n || A ||F ? || A ||2 ? || A ||F
5
Ex13 .对n 阶矩阵A,设A的顺序主子式都不为零 ,试 证明消元过程中出现的 Frobenius 矩阵有如下性质
F1?
1F
? 2
1
?
I
?
m 1e1T
为了避开复数运算 ,令
zn = xn + i yn , f(zn) = An+ iBn，f' (zn) = Cn+iDn
试证明用于计算的公式
xn?1 ?
xn
?
AnCn ? C2 ?
Bn Dn D2
yn? 1
?
yn
?
An Dn ? B nCn C2 ? D2
3
Ex 8. 对下列矩阵做 LU 分解
? 1 2 1 ? 2?
?
? 1 2? h2
? ?1 ?
? 1 2 ? h 2 ??
8
Ex18 . 求经过A(0，1)，B(1，2)，C(2，3)三个样 点的插值多项式
Ex 19. 已知函数 y = f(x)的数据如下表
x –1 0 1
y -1 0 1
y'
0
确定三次插值多项式 P3(x)及其插值误差 R(x)
Ex20. 求证:两点Hermite 插值的误差
A
?
? ?
2
5 3 ? 2??
?? 2 ? 2 3 5 ?
? ?
1
3
2
3
? ?
?1 2 3 4? B ? ??2 3 4 5??
?3 4 4 5? ??4 5 5 7??
Ex 9 求上三角 (下三角)矩阵的条件数
?1 2 1 ? 2?
? ?
11
2
? ?
?
3 ? 3?
? ?
3
? ?
?1
?
? ?
2
1
? ?
Ex6.证明矩阵 A的谱半径与 A的范数有如下关系 ρ(A) ≤ || A ||
其中，|| A ||为A的任何一种算子范数 。
2
Ex7.对于复变量 z = x + i y 的复值函数 f(z)，应用牛 顿迭代公式求方程 f(z) = 0 的复根时 ，有迭代公式
zn?1 ?
zn ?
f (zn ) f ?(zn )
b
?a f ( x )dx ? A1 f ( x1 ) ? A2 f ( x 2 )
11
? Ex27. 给定积分 3 e x sin xdx 1
x(k+2) = x(k) + M-1(b – A x (k) ) 试证明 ：M -1= (D – U)-1D(D – L)-1。
Ex 17 设h = 1/(n+1)，分析n阶矩阵的 Jacobi 迭代矩
阵特征值
?2 ? h 2 ? 1
?
? ?
?1
2? h2 ? 1
? ?
A? ? ? ? ??
???
a11? a12 ? a 21 a 22? ?
? ?? an1 an2 ?
a1n a2n ? 0 ?
ann ?
的根满足 |?|< 1。
7
Ex 16. 设A是对称矩阵 ，将A分裂为A = D – L – U。 Gauss-Seidel 迭代格式的向前和向后两种形式分别为
x(k+1) = x(k) + (D – L )-1(b – A x (k) ) x(k+1) = x(k) + (D – U )-1(b – A x (k) ) 如果将向前和向后迭代格式交替进行，则有
《数值分析》复习题
Ex1.证明方程 1 – x – sin x = 0 在区间 [0 ，1]上有一 根。使用二分法求误差不大于 0.5×10-4的根需二分 多少次？
Ex2.设x* 是非线性方程 f(x) = 0 的单根，证明在牛
顿迭代法中，有
lim
n? ?
xn?1 ? x* ( xn ? x* )2
y 10 30 50 80
求二次多项式拟合函数 P(x) = a + b x2 Ex 23 利用数据表 t –2 –1 0 1 2
y yk-2 yk-1 yk
yk+1 yk+2
求线性拟合函数 P(t) = a0 + a1t 的常数项系数 a0。
10
Ex24. 推导左矩形求积公式
?b f ( x )dx ? (b ? a) f (a) ?
f ?(? ) (b ? a)2
a
2
Ex25. 求复合中矩形公式
b
n?1
?a f ( x)dx ? h? f (a ? ( j ? 0.5)h)
j? 0
的截断误差
Ex26. 取h=(b – a)/3，令x0= a，xj= a + jh （j =0，1， 2，3）。利用两点插值公式求下面开型数值求积 公式的系数 A1、A2
?
m
2e
T 2
Ex14.有方程组 Ax = b,其中A为对称正定阵 ,且有
迭代公式
X (k ?1)
?
X (k ) ? ?
(b ?
AX
(k)
)
讨论使迭代序列收敛的 ? 的取值范围 .
6
Ex15 .设有方程组 Ax = b，其系数矩阵主对角元 aii ≠ 0 ( i = 1，2，…，n )
证明解方程组的 Jacobi 迭代法收敛的充要条件是
R(x) ?
f (x)? H3(x) ?
f
(4) (? ) [(
4!
x
?
x0 )( x
?
x1 )]2
9
Ex21 ．已知函数 f(x) 在三个相异结点 x0，x1，x2，处 的函数值 y0，y1，y2，且函数在点 x1处的导数值为 m1， 推导三次插值多项式 P(x)及其插值余项 R(x)的表达式
Ex 22 .已知实验数据如下 ： x1 2 3 4
?
f ??( x * ) 2 f ?( x * )
Ex3.设a为正实数 ，试建立求 (1/a)的牛顿迭代公式 ，
要求在迭代公式中不含有除法运算，并考虑迭代公式
产生的数列 { xn }的收敛性 .
1
Ex4. 分析下列方程 ，确定方程的全部隔根区间 （1）x sin x = 1；（2）sin x – e -x =0； （3）x = tan x；（4）x2 – e-x =0。 Ex5. 对于二元方程 G(x，y)=0，已知（x0，y0）满 足方程。如果，则根据隐函数存在定理 ，在点x0附 近有函数 y =y(x)，对于接近于 x0的自变量 x，试构造 牛顿迭代法计算隐函数值的迭代格式。
?? 2 2 1 ?
? ?
1
1 0 1??
4
Ex10 .对任意 x ，y∈R n ，利用向量范数的三角形不 等式证明 ：
|| x || ? || y || ? || x ? y ||
Ex11 .设 X∈R ,X = (x1，x2，……，xn )T，求证
n
? lim
p? ?
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i?1
xi
| p )1/ p