北师大版数学九年级上册期末备考训练：矩形及其性质(四)

矩形的性质与判定专项训练（典型题汇总）一．选择题（共15小题）1．已知一矩形的周长是24cm，相邻两边之比是1：2，那么这个矩形的面积是（）A．24cm2B．32cm2C．48cm2D．128cm22．下面对矩形的定义正确的是（）A．矩形的四个角都是直角B．矩形的对角线相等C．矩形是中心对称图形D．有一个角是直角的平行四边形3．如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于E、F，连接PB、P D．若AE=2，PF=8．则图中阴影部分的面积为（）A．10 B．12 C．16 D．184．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC=6cm，则四边形CODE 的周长为（）A．6 B．8 C．10 D．125．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，AE=3，ED=3BE，则AB的值为（）A．6 B．5 C．2D．36．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE垂直平分BO，AE=cm，则OD=（）A．1cm B．1.5cm C．2cm D．3cm7．下列命题中正确的是（）A．对角线相等的四边形是矩形；B．对角线互相垂直的四边形是矩形；C．对角线相等的平行四边形是矩形；D．对角线互相垂直的平行四边形是矩形8．如图，在平行四边形ABCD中，AC、BD是它的两条对角线，下列条件中，能判断这个平行四边形是矩形的是（）A．∠BAC=∠ACB；B．∠BAC=∠ACD；C．∠BAC=∠DAC；D．∠BAC=∠ABD9．如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，要使它成为矩形，需再添加的条件是（）A．AO=OC B．AC=BD C．AC⊥BD D．BD平分∠ABC10．如图，为了检验教室里的矩形门框是否合格，某班的四个学习小组用三角板和细绳分别测得如下结果，其中不能判定门框是否合格的是（）A．AB=CD，AD=BC，AC=BD B．AC=BD，∠B=∠C=90°C．AB=CD，∠B=∠C=90°D．AB=CD，AC=BD11．在△ABC中，点D是边BC上的点（与B，C两点不重合），过点D作DE∥AC，DF∥AB，分别交AB，AC于E，F两点，下列说法正确的是（）A．若AD⊥BC，则四边形AEDF是矩形B．若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是矩形C．若BD=CD，则四边形AEDF是菱形D．若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形12．如图，在Rt△ABC中，AC=3，BC=4，D为斜边AB上一动点，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E、F．则线段EF的最小值为（）A．B．C．D．13．如图，在矩形COED中，点D的坐标是（1，3），则CE的长是（）A．3 B．C．D．414．如图，D、E、F分别是△ABC各边的中点．添加下列条件后，不能得到四边形ADEF是矩形的是（）A．∠BAC=90°B．BC=2AE C．DE平分∠AEB D．AE⊥BC15．已知四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AD∥BC，下列判断中错误的是（）A．如果AB=CD，AC=BD，那么四边形ABCD是矩形B．如果AB∥CD，AC=BD，那么四边形ABCD是矩形C．如果AD=BC，AC⊥BD，那么四边形ABCD是菱形D．如果OA=OC，AC⊥BD，那么四边形ABCD是菱形二．填空题（共6小题）16．矩形ABCD中，AB=3，BC=4，则AC=，矩形的面积为．17．如图，在▱ABCD中，再添加一个条件（写出一个即可），▱ABCD是矩形（图形中不再添加辅助线）18．如图，设矩形ABCD和矩形AEFC的面积分别为S1、S2，则二者的大小关系是：S1S2．19．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AB=5cm，BC=12cm，则EF=cm．20．如图，连接四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，还要添加条件，才能保证四边形EFGH 是矩形．21．如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为．三．解答题（共5小题）22．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠AOD=120°，BD=6，求矩形ABCD的面积．23．如图，DB∥AC，且DB=AC，E是AC的中点．（1）求证：BC=DE；（2）连接AD、BE，若∠BAC=∠C，求证：四边形DBEA是矩形．24．已知：如图，菱形ABCD，分别延长AB，CB到点F，E，使得BF=BA，BE=BC，连接AE，EF，FC，C A．（1）求证：四边形AEFC为矩形；（2）连接DE交AB于点O，如果DE⊥AB，AB=4，求DE的长．25．如图，四边形ABCD为平行四边形纸片．把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边上，折痕为AF．且AB=10cm、AD=8cm、DE=6cm．（1）求证：平行四边形ABCD是矩形；（2）求BF的长；（3）求折痕AF长．26．已知矩形ABCD和点P，当点P在图1中的位置时，则有结论：S△PBC=S△PAC+S△PCD理由：过点P作EF垂直BC，分别交AD、BC于E、F两点．∵S△PBC+S△PAD=BC•PF+AD•PE=BC（PF+PE）=BC•EF=S矩形ABC D．（1）请补全以上证明过程．（2）请你参考上述信息，当点P分别在图1、图2中的位置时，S△PBC、S△PAC、S PCD又有怎样的数量关系？请写出你对上述两种情况的猜想，并选择其中一种情况的猜想给予证明．参考答案一．选择题（共15小题）1．B．2．D．3．C．4．D．5．C．6．C．7．C．8．D．9．B．10．D．11．D．12．D．13．C．14．D．15．A．二．填空题（共6小题）16．5，12．17．AC=BD18．=．19．．20．AC⊥B D．21．．三．解答题（共5小题）22．解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=90°，AC=BD，OA=AC，OD=BD，∴OA=OD，∵∠AOD=120°，∴∠ADO=30°∴AB=B D．在直角三角形ABD中，由勾股定理，得AD===3∴S=AB•AD=3×3=9．矩形ABCD23．（1）证明：∵E是AC中点，∴EC=A C．∵DB=AC，∴DB=E C．又∵DB∥EC，∴四边形DBCE是平行四边形．∴BC=DE．（2）证明：∵DB∥AE，DB=AE，∴四边形DBEA是平行四边形．∵∠BAC=∠C，∴BA=BC，∵BC=DE，∴AB=DE．∴▭ADBE是矩形．24．证明：（1）∵BF=BA，BE=BC，∴四边形AEFC为平行四边形，∵四边形ABCD为菱形，∴BA=BC，∴BE=BF，∴BA+BF=BC+BE，即AF=EC，∴四边形AEFC为矩形；（2）连接DB，由（1）可知，AD∥EB，且AD=EB，∴四边形AEBD为平行四边形，∵DE⊥AB，∴四边形AEBD为菱形，∴AE=EB，AB=2AG，ED=2EG，∵矩形ABCD中，EB=AB，AB=4，∴AG=2，AE=4，∴在Rt△AEG中，EG=2，∴ED=4．25．（1）证明：∵把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边上，∴AE=AB=10，AE2=102=100，又∵AD2+DE2=82+62=100，∴AD2+DE2=AE2，∴△ADE是直角三角形，且∠D=90°，又∵四边形ABCD为平行四边形，∴平行四边形ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）；（2）解：设BF=x，则EF=BF=x，EC=CD﹣DE=10﹣6=4cm，FC=BC﹣BF=8﹣x，在Rt△EFC中，EC2+FC2=EF2，即42+（8﹣x）2=x2，解得x=5，故BF=5cm；（3）解：在Rt△ABF中，由勾股定理得，AB2+BF2=AF2，∵AB=10cm，BF=5cm，∴AF==5cm．26．证明：（1）∵S△PAC+S△PCD+S△PAD=S矩形ABCD∴S△PBC+S△PAD=S△PAC+S△PCD+S△PAD，∴S△PBC=S△PAC+S△PCD；（2）猜想结果：图2结论S△PBC=S△PAC+S△PCD；图3结论S△PBC=S△PAC﹣S△PC D．证明：如图，过点P作EF垂直AD，分别交AD、BC于E、F两点．∵S△PBC=BC•PF=BC•PE+BC•EF=AD•PE+BC•EF=S△PAD+S矩形ABCDS△PAC+S△PCD=S△PAD+S△ADC=S△PAD+S矩形ABCD∴S△PBC=S△PAC+S△PC D．矩形的性质与判定专项训练（典型题汇总）一、填空题：1．矩形的对边，对角线且，四个角都是，即是图形又是图形。

1.2.3矩形的性质与判定的运用 同步练习题2021-2022学年北师大版九年级数学上册A 组(基础题)一、填空题1.如图，AB ∥CD ，∠A ＝∠B ＝90°，AB ＝3 cm ，BC ＝2 cm ，则AB 与CD 之间的距离为_____cm.2.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，对角线AC ，BD 相交于点O ，AE 垂直平分OB 于点E ，则AD 的长为_____.3.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝4，过点A 作AG ⊥BD 于点G ，则BG ＝_____.4.如图，在矩形ABCD 中，BD 是对角线，延长AD 到E ，使DE ＝BD ，连接BE.若∠EBC ＝27°，则∠ABD ＝_____度.二、选择题5.如图，在四边形ABCD 中，AB ＝DC ，AD ＝BC ，连接AC ，BD ，AC 与BD 交于点O.若AO ＝BO ，AD ＝3，AB ＝2，则四边形ABCD 的面积为()A.4B.5C.6D.76.如图，将矩形纸片ABCD 沿直线EF 折叠，使点C 落在AD 边的中点C′处，点B 落在点B′处，其中AB ＝9，BC ＝6，则FC′的长为()A.103B.4C.4.5D.57.如图，在矩形钟面示意图中，时钟的中心在矩形对角线的交点上，矩形的宽为40 cm ，钟面数字2在矩形的顶点处，则矩形的长为____cm() A.80B.60C.50D.40 38.如图，矩形ABCD 中，点E 是BC 上一动点，连接AE ，DE ，以AE ，DE 为边作▱AEDF ，当点E 从点B 运动到点C 的过程中，▱AEDF 的面积()A.先变小后变大B.先变大后变小C.保持不变D.一直变大三、解答题9.如图，菱形ABCD 的对角线相交于点O ，DE ∥AC ，CE ∥DB ，CE ，DE 相交于点E. (1)求证：四边形DOCE 是矩形.(2)若四边形DOCE 的面积是3，AC ＋BD ＝10，求AB 的长.B 组(中档题)四、填空题10.如图，在平面直角坐标系中，O 是原点，矩形OABC 的对角线相交于点P ，顶点C 的坐标是(0，3)，∠ACO ＝30°，将矩形OABC 绕点O 顺时针旋转150°后点P 的对应点P′的坐标是_____.11.如图，在四边形ABCD 中，∠D ＝∠C ＝90°，CD ＝2，点E 在边AB ，且AD ＝AE ，BE ＝BC ，则AE·BE 的值为_____.12.如图，在矩形ABCD 中，已知AB ＝4，BC ＝8，点O ，P 分别是边AB ，AD 的中点，点H 是边CD 上的一个动点，连接OH ，将四边形OBCH 沿OH 折叠，得到四边形OFEH ，连接PE ，则PE 长度的最小值是_____.五、解答题13.如图，ON 为∠AOB 中的一条射线，点P 在边OA 上，PH ⊥OB 于点H ，交ON 于点Q ，PM ∥OB 交ON 于点M ，MD ⊥OB 于点D ，QR ∥OB 交MD 于点R ，连接PR 交QM 于点S. (1)求证：四边形PQRM 为矩形.(2)若OP ＝12PR ，试探究∠AOB 与∠BON 的数量关系，并说明理由.C组(综合题)14.如图1，一张菱形纸片EHGF，点A，D，C，B分别是EF，EH，HG，GF边上的点，连接AD，DC，CB，AB，DB，且AD＝3，AB＝6；如图2，若将△FAB，△AED，△DHC，△CGB分别沿AB，AD，DC，CB对折，点E，F都落在DB上的点P处，点H，G都落在DB上的点Q处.(1)求证：四边形ADCB是矩形.(2)求菱形纸片EHGF的面积和边长.参考答案1.2.3矩形的性质与判定的运用 同步练习题2021-2022学年北师大版九年级数学上册A 组(基础题)一、填空题1.如图，AB ∥CD ，∠A ＝∠B ＝90°，AB ＝3 cm ，BC ＝2 cm ，则AB 与CD 之间的距离为2cm.2.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，对角线AC ，BD 相交于点O ，AE 垂直平分OB 于点E ，则AD 的长为3.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝4，过点A 作AG ⊥BD 于点G ，则BG ＝95.4.如图，在矩形ABCD 中，BD 是对角线，延长AD 到E ，使DE ＝BD ，连接BE.若∠EBC ＝27°，则∠ABD ＝36度.二、选择题5.如图，在四边形ABCD 中，AB ＝DC ，AD ＝BC ，连接AC ，BD ，AC 与BD 交于点O.若AO ＝BO ，AD ＝3，AB ＝2，则四边形ABCD 的面积为(C)A.4B.5C.6D.76.如图，将矩形纸片ABCD 沿直线EF 折叠，使点C 落在AD 边的中点C′处，点B 落在点B′处，其中AB ＝9，BC ＝6，则FC′的长为(D)A.103B.4C.4.5D.57.如图，在矩形钟面示意图中，时钟的中心在矩形对角线的交点上，矩形的宽为40 cm ，钟面数字2在矩形的顶点处，则矩形的长为____cm(D) A.80B.60C.50D.40 38.如图，矩形ABCD 中，点E 是BC 上一动点，连接AE ，DE ，以AE ，DE 为边作▱AEDF ，当点E 从点B 运动到点C 的过程中，▱AEDF 的面积(C)A.先变小后变大B.先变大后变小C.保持不变D.一直变大三、解答题9.如图，菱形ABCD 的对角线相交于点O ，DE ∥AC ，CE ∥DB ，CE ，DE 相交于点E. (1)求证：四边形DOCE 是矩形.(2)若四边形DOCE 的面积是3，AC ＋BD ＝10，求AB 的长.(1)证明：∵DE ∥AC ，CE ∥DB ， ∴四边形DOCE 是平行四边形. ∵四边形ABCD 是菱形， ∴AC ⊥BD. ∴∠COD ＝90°. ∴四边形DOCE 是矩形.(2)设OD ＝x ，OC ＝y ， ∵四边形ABCD 是菱形， ∴OA ＝OC ，OB ＝OD ，AC ⊥BD.∵AC ＋BD ＝10，四边形DOCE 的面积是3， ∴x ＋y ＝5，xy ＝3.∴x 2＋y 2＝(x ＋y)2－2xy ＝52－2×3＝19. ∴AB ＝OA 2＋OB 2＝x 2＋y 2＝19.B 组(中档题)四、填空题10.如图，在平面直角坐标系中，O 是原点，矩形OABC 的对角线相交于点P ，顶点C 的坐标是(0，3)，∠ACO＝30°，将矩形OABC 绕点O 顺时针旋转150°后点P 的对应点P′11.如图，在四边形ABCD 中，∠D ＝∠C ＝90°，CD ＝2，点E 在边AB ，且AD ＝AE ，BE ＝BC ，则AE·BE 的值为1.12.如图，在矩形ABCD 中，已知AB ＝4，BC ＝8，点O ，P 分别是边AB ，AD 的中点，点H 是边CD 上的一个动点，连接OH ，将四边形OBCH 沿OH 折叠，得到四边形OFEH ，连接PE ，则PE 长度的最小值是五、解答题13.如图，ON 为∠AOB 中的一条射线，点P 在边OA 上，PH ⊥OB 于点H ，交ON 于点Q ，PM ∥OB 交ON 于点M ，MD ⊥OB 于点D ，QR ∥OB 交MD 于点R ，连接PR 交QM 于点S. (1)求证：四边形PQRM 为矩形.(2)若OP ＝12PR ，试探究∠AOB 与∠BON 的数量关系，并说明理由.解：(1)证明：∵PH ⊥OB ，MD ⊥OB ， ∴PH ∥MD.∵PM ∥OB ，QR ∥OB ， ∴PM ∥QR.∴四边形PQRM 是平行四边形. ∵PH ⊥OB ，∴∠PHO ＝90°. ∵PM ∥OB ，∴∠MPQ ＝∠PHO ＝90°. ∴四边形PQRM 为矩形. (2)∠AOB ＝3∠BON.理由如下： ∵四边形PQRM 为矩形， ∴PS ＝SR ＝SQ ＝12PR.∴∠SQR ＝∠SRQ. 又∵OP ＝12PR ，∴OP ＝PS. ∴∠POS ＝∠PSO. ∵QR ∥OB ， ∴∠SQR ＝∠BON.在△SQR 中，∠PSO ＝∠SQR ＋∠SRQ ＝2∠SQR ＝2∠BON ， ∴∠POS ＝2∠BON.∴∠AOB ＝∠POS ＋∠BON ＝2∠BON ＋∠BON ＝3∠BON ，即∠AOB ＝3∠BON.C 组(综合题)14.如图1，一张菱形纸片EHGF ，点A ，D ，C ，B 分别是EF ，EH ，HG ，GF 边上的点，连接AD ，DC ，CB ，AB ，DB ，且AD ＝3，AB ＝6；如图2，若将△FAB ，△AED ，△DHC ，△CGB 分别沿AB ，AD ，DC ，CB 对折，点E ，F 都落在DB 上的点P 处，点H ，G 都落在DB 上的点Q 处. (1)求证：四边形ADCB 是矩形. (2)求菱形纸片EHGF 的面积和边长.解：(1)证明：由对折可知∠FAB＝∠PAB，∠EAD＝∠PAD，∴2(∠PAB＋∠PAD)＝180°，即∠BAD＝∠PAB＋∠PAD＝90°.同理：∠ADC＝∠ABC＝90°.∴四边形ADCB是矩形.(2)由对折可知：△AFB≌△APB，△AED≌△APD，△CHD≌△CQD，△CGB≌△CQB. ∴S菱形EHGF＝2S矩形ADCB＝2×3×6＝6 2.又∵AE＝AP＝AF，∴A为EF的中点，同理：C为GH的中点，即AF＝CG，且AF∥CG.连接AC，∴四边形ACGF为平行四边形.∴FG＝AC＝BD.∴FG＝BD＝（3）2＋（6）2＝3.。

北师大版九年级数学上册《1.2矩形的性质与判定》优生辅导训练（附答案）1．如图，矩形ABCD的对角线交于点O，点E在线段AO上，且DE＝DC，若∠EDO＝15°，则∠DEC＝°．2．如图所示，长方形纸片上画有两个完全相同的灰色长方形，那么剩余白色长方形的周长为（用含a，b的式子表示）．3．如图，在矩形ABCD中，AC是矩形ABCD的对角线，并且AC平分∠DAE，AC＝12cm，AD＝9cm，动点P从点E出发，沿EA方向匀速运动，速度为1cm/s，同时动点Q从点C 出发，沿CA方向匀速运动，速度为2cm/s，连接PQ，设运动时间为t（s）（0＜t＜6），则当t＝时，△PQA为等腰三角形．4．在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若∠ACB＝30°，则∠AOB的度数是．5．如图矩形ABCD中，AB＝3cm，AD＝4cm，过对角线BD的中点O作BD的垂直平分线EF，分别交AD、BC于点E、F，则AE的长为．6．如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，若AB＝6，AD＝8，则四边形ABOM的周长为．7．在矩形ABCD中，AC、BD交于点O．过点O作OE⊥BD交射线BC于点E，若BE＝2CE，AB＝3，则AD的长为．8．已知矩形ABCD，对角线AC、BD相交于点O，点E为BD上一点，OE＝1，连接AE，∠AOB＝60°，AB＝2，则AE的长为．9．如图，在矩形ABCD中，AD＝2AB＝2，E是BC边上的一个动点，连接AE，过点D作DF⊥AE于F，连接CF，当△CDF为等腰三角形时，则BE的长是10．矩形的对角线长13，一边长为5，则它的面积为．11．在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O且AC，BD互相平分，若添加一个条件使得四边形ABCD是矩形，则这个条件可以是（填写一个即可）．12．工人师傅在测量一个门框是否是矩形时，只需要用到一个直角尺，则他用到的判定方法是．13．在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，OA＝OC，OB＝OD，添加一个条件使四边形ABCD是矩形，那么所添加的条件可以是（写出一个即可）．14．如图，在平行四边形ABCD中，在不添加任何辅助线的情况下，请添加一个条件，使平行四边形ABCD是矩形．15．如图四边形ABCD是平行四边形，若（添加一个条件），四边形ABCD是矩形．16．如图，请你添加一个适当的条件，使平行四边形ABCD成为矩形．（答出一个即可）17．用一把刻度尺来判定一个零件是矩形的方法是先测量两组对边是否分别相等，然后测量两条对角线是否相等，这样做的依据是．18．▱ABCD，补充条件（一个即可）时，▱ABCD为矩形．19．工人师傅在做门窗或矩形零件时，不仅要测量两组对边的长度是否相等，常常还要测量它们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形．这依据的道理是．20．将两块全等的含30°角的三角尺如图①所示摆放在一起，设较短直角边为1，如图②所示，Rt△BCD沿射线BD方向平移，在平移的过程中，当点B的移动距离为时四边形ABC′D′为矩形．21．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，D是AB上一动点，过点D 作DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，连接EF，则线段EF的最小值是．22．在△ABC中，AB＝6cm，AC＝8cm，BC＝10cm，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，连接EF，则EF的最小值为cm．23．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝9，AC＝12，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，点G为四边形DEAF对角线交点，则线段GF的最小值为．24．如图，将一矩形纸片ABCD沿着虚线EF剪成两个全等的四边形纸片．根据图中标示的长度与角度，求出剪得的四边形纸片中较短的边AE的长是．25．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝3，AC＝4，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为．26．如图，若将四根木条钉成的矩形木框ABCD变形为平行四边形A′BCD′，并使其面积为矩形ABCD面积的一半，若A′D′与CD交于点E，且AB＝2，则△ECD′的面积是．27．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，M为斜边AB上一动点，过M 作MD⊥AC，过M作ME⊥CB于点E，则线段DE的最小为．28．如图，在△ABC中，AB＝3cm，AC＝4cm，BC＝5cm，M是BC边上的动点，MD⊥AB，ME⊥AC，垂足分别是D、E．线段DE的最小值是cm．29．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF ⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为．30．如图，△ABC是以AB为斜边的直角三角形，AC＝4，BC＝3，P为AB上一动点，且PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，则线段EF长度的最小值是．参考答案1．解：∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，∴OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC，∵DE＝DC，∴∠DEC＝∠OCD，∴∠DEC＝∠OCD＝∠ODC，设∠DEC＝∠OCD＝∠ODC＝x，则∠COD＝180°﹣2x，又∵∠COD＝∠DEC+∠EDO，∴180°﹣2x＝x+15°，解得：x＝55°，即∠DEC＝55°，故答案为：55．2．解：剩余白色长方形的长为b，宽为（b﹣a），所以剩余白色长方形的周长＝2b+2（b﹣a）＝4b﹣2a．故答案为4b﹣2a．3．解：∵四边形ABCD是矩形，AC＝12cm，AD＝9cm，∴AD＝BC＝12cm，AD∥BC，∠ABC＝90°，∴AB＝，∵AC平分∠DAE，∴∠DAC＝∠CAE，∵AD∥BC，∴∠ACE＝∠DAC＝∠CAE．∴EA＝EC，设EA＝EC＝xcm，则BE＝9﹣x（cm），∵AE2＝BE2＝AB2，∴，解得，x＝8，∴AE＝EC＝8cm，由题意知，PE＝tcm，CQ＝2tcm，则AP＝8﹣t（cm），AQ＝12﹣2t（cm），当AP＝AQ时，有8﹣t＝12﹣2t，解得t＝4；当P A＝PQ时，∠P AQ＝∠AQP＝∠ACB，∴t＝0（舍去）；当QP＝QA时，∠QP A＝∠QAP＝∠ECA，∵∠P AQ＝∠CAE，∴t＝5．综上，当t＝4秒或5秒时，△PQA为等腰三角形．故答案为：4或5．4．解：∵矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∴OB＝OC，∴∠OBC＝∠ACB＝30°，∴∠AOB＝∠OBC+∠ACB＝30°+30°＝60°．故答案为60°5．解：连接EB，∵EF垂直平分BD，∴ED＝EB，设AE＝xcm，则DE＝EB＝（4﹣x）cm，在Rt△AEB中，AE2+AB2＝BE2，即：x2+32＝（4﹣x）2，解得：x＝，故答案为：cm．6．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝8，AB＝CD＝6，∠ABC＝90°，∴AC＝＝10，∵AO＝OC，∴BO＝AC＝5，∵AO＝OC，AM＝MD＝4，∴OM＝CD＝3，∴四边形ABOM的周长为AB+OB+OM+AM＝6+5+3+4＝18．故答案为18．7．解：如图，当点E在BC的延长线上时，∵BE＝2CE，∴BC＝CE，∵OE⊥BD，∴OC＝BC＝CE，∵四边形ABCD是矩形，∴AO＝CO＝BO＝DO，AD＝BC；∴BO＝CO＝BC，∴△BOC是等边三角形，∴∠ACB＝60°如图，当点E在线段BC上时，设直线OE与直线AB，CD交于点F，点H，∵AB∥CD，∴AF＝CH，∵AB∥CD，∴BF＝2CH＝2AF，∴3+AF＝2AF，∴AF＝3＝AB，且OE⊥BD，∴AO＝AB＝AF＝3，∵AO＝BO＝CO＝DO，∴AO＝AB＝BO，∴△ABO是等边三角形，∴∠ABD＝60°，∴AD＝3，故答案为：3或．8．解：如图，连接AE，∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OB，且∠AOB＝60°，∴△AOB是等边三角形，若点E在BO上时，∵OE＝1，∴BE＝EO＝1，且△ABO等边三角形，∴AE⊥BO，∴AE＝＝＝，若点E'在OD上时，∴AE'＝＝＝，故答案为：或．9．解：①CF＝CD时，过点C作CM⊥DF，垂足为点M．则CM∥AE，DM＝MF，延长CM交AD于点G，∴AG＝GD＝1，∵AG∥EC，AE∥CG，∴四边形AECG是平行四边形，∴CE＝AG＝1，∴当BE＝1时，△CDF是等腰三角形．②DF＝DC时，则DC＝DF＝1，∵DF⊥AE，AD＝2，∴∠DAE＝30°，∴∠AEB＝30°则BE＝∴当BE＝时，△CDF是等腰三角形；③FD＝FC时，则点F在CD的垂直平分线上，故F为AE中点．∵AB＝1，BE＝x，∴AE＝，AF＝，∴当BE＝2﹣时，△CDF是等腰三角形．综上，当BE＝1、、2﹣时，△CDF是等腰三角形．故答案为：1或或2﹣．10．解∵对角线长为13，一边长为5，∴另一条边长＝＝12，∴S矩形＝12×5＝60；故答案为：60．11．解：∵对角线AC与BD互相平分，∴四边形ABCD是平行四边形，要使四边形ABCD成为矩形，需添加一个条件是：AC＝BD或有个内角等于90度．故答案为：AC＝BD或有个内角等于90度．12．解：用直角尺测量门框的三个角是否都是直角，如果都是直角，则四边形是矩形．故答案为：三个角是直角的四边形为矩形13．解：添加的条件是：AC＝BD或∠ABC＝90°；理由如下：∵OA＝OC，OB＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形，当AC＝BD时，四边形ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）；当∠ABC＝90°时，四边形ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）．故答案为：AC＝BD或∠ABC＝90°．14．解：添加条件：∠ABC＝90°或AD⊥AB（答案不唯一）．理由：∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC＝90°，∴平行四边形ABCD是矩形（矩形的定义）．故答案是：∠ABC＝90°．15．解：根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，可以添加∠ABC＝90°；根据对角线相等的平行四边形是矩形，可以添加AC＝BD；故答案为∠ABC＝90°或AC＝BD．16．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴当AC＝BD或∠BAD＝90°或∠ABC＝90°或∠BCD＝90°或∠ADC＝90°时，平行四边形ABCD成为矩形；故答案为：AC＝BD或∠BAD＝90°或∠ABC＝90°或∠BCD＝90°或∠ADC＝90°．17．解：先测量两组对边是否分别相等，可判定是否是平行四边形，然后测量两条对角线是否相等可判定是否是矩形，所以这样做的依据是：对角线相等的平行四边形是矩形，故答案为：对角线相等的平行四边形是矩形．18．解：添加的条件是AC＝BD，理由是：∵AC＝BD，四边形ABCD是平行四边形，∴平行四边形ABCD是矩形，故答案为：AC＝BD19．解：因为门窗所构成的形状是矩形，所以根据矩形的判定（对角线相等的平行四边形为矩形）可得出．故答案为：对角线相等的平行四边形是矩形．20．解：如图：当四边形ABC′D是矩形时，∠B′BC′＝90°﹣30°＝60°，∵B′C′＝1，∴BB′＝，当点B的移动距离为时，四边形ABC′D′为矩形．故答案为：．21．解：如图，连接CD．∵∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，∴AB＝＝＝13，∵DE⊥AC，DF⊥BC，∠C＝90°，∴四边形CFDE是矩形，∴EF＝CD，由垂线段最短可得CD⊥AB时，线段EF的值最小，此时，S△ABC＝BC•AC＝AB•CD，即×12×5＝×13•CD，解得：CD＝，∴EF＝．故答案为：．22．解：∵AB＝6cm，AC＝8cm，BC＝10cm，∴AB2+AC2＝BC2，∴△ABC为直角三角形，∠A＝90°，∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，∴∠AEP＝∠AFP＝90°，∴四边形AEPF为矩形，连接AP，如图，EF＝AP，当AP的值最小时，EF的值最小，当AP⊥BC时，AP的值最小，根据△ABC面积公式，×AB•AC＝×AP•BC，∴AP＝＝＝，∴EF的最小值为．故答案为．23．解：连接AD、EF，∵∠BAC＝90°，且BA＝9，AC＝12，∴BC＝＝15，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEA＝∠DF A＝∠BAC＝90°，∴四边形DEAF是矩形，∴EF＝AD，∴当AD⊥BC时，AD的值最小，此时，△ABC的面积＝AB×AC＝BC×AD，∴AD＝＝＝，∴EF的最小值为，∵点G为四边形DEAF对角线交点，∴GF＝EF＝；故答案为：．24．解：过F作FQ⊥AD于Q，则∠FQE＝90°，∵四边形ABCD是长方形，∴∠A＝∠B＝90°，AB＝DC＝4，AD∥BC，∴四边形ABFQ是矩形，∴AB＝FQ＝DC＝4，∵AD∥BC，∴∠QEF＝∠BFE＝45°，∴EQ＝FQ＝4，∴AE＝CF＝×（10﹣4）＝3，故答案为：3．25．解：∵∠BAC＝90°，且BA＝3，AC＝4，∴BC＝＝5，∵DM⊥AB，DN⊥AC，∴∠DMA＝∠DNA＝∠BAC＝90°，∴四边形DMAN是矩形，∴MN＝AD，∴当AD⊥BC时，AD的值最小，此时，△ABC的面积＝AB×AC＝BC×AD，∴AD＝＝，∴MN的最小值为；故答案为：．26．解：作A'F⊥BC于F，如图所示：则∠A'FB＝90°，根据题意得：平行四边形A′BCD′的面积＝BC•A'F＝BC•AB，∴A'F＝AB＝1，∴∠D＝∠B＝30°，∴BF＝A'F＝，∵四边形ABCD是矩形，四边形A′BCD′是平行四边形，∴BC＝AD＝A'D'，A'D'∥AD∥BC，CD⊥BC，∴CD⊥A'D'，∴A'F∥CD，∴四边形A'ECF是矩形，∴CE＝A'F＝1，A'E＝CF，∴DE＝BF＝，∴△ECD的面积＝DE×CE＝××1＝；故答案为：．27．解：连接CM，如图所示：∵MD⊥AC，ME⊥CB，∴∠MDC＝∠MEC＝90°，∵∠C＝90°，∴四边形CDME是矩形，∴DE＝CM，∵∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，∴AB＝，当CM⊥AB时，CM最短，此时△ABC的面积＝AB•CM＝BC•AC，∴CM的最小值＝，∴线段DE的最小值为；故答案为：．28．解：∵AB2+AC2＝32+42＝25＝BC2，∴∠A＝90°，又∵MD⊥AB，ME⊥AC，∴四边形ADME是矩形，连接AM，则AM＝DE，由垂线段最短可知，AM⊥BC时，线段DE最小，此时，S△ABC＝BC•AM＝×5•AM＝×3×4，解得AM＝2.4，即DE＝2.4cm．故答案为：2.4．29．解：如图，连接AP，∵AB＝3，AC＝4，BC＝5，∴∠EAF＝90°，∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，∴四边形AEPF是矩形，∴EF，AP互相平分．且EF＝AP，∴EF，AP的交点就是M点．∵当AP的值最小时，AM的值就最小，∴当AP⊥BC时，AP的值最小，即AM的值最小．∵AP•BC＝AB•AC，∴AP•BC＝AB•AC，∵AB＝3，AC＝4，BC＝5，∴5AP＝3×4，∴AP＝，∴AM＝；故答案为：．30．解：连接PC．∵PE⊥AC，PF⊥BC，∴∠PEC＝∠PFC＝∠C＝90°；又∵∠ACB＝90°，∴四边形ECFP是矩形，∴EF＝PC，∴当PC最小时，EF也最小，即当CP⊥AB时，PC最小，∵AC＝4，BC＝3，∴AB＝5，∴AC•BC＝AB•PC，∴PC＝．∴线段EF长的最小值为；故答案是：．。

北师大版数学九年级上册第一章特殊平行四边形 1.2 矩形的性质与判定1.2.1矩形的性质同步课时练习题1．下列性质中，矩形具有但平行四边形不一定具有的是()A．对边相等B．对角相等C．对角线相等D．对边平行2．矩形具有而菱形不具有的性质是()A．两组对边分别平行B．对角线相等C．对角线互相平分D．两组对角分别相等3.如图，矩形 ABCD的顶点 A，C分别在直线 a，b上，且 a∥b，∠ 1＝60°，则∠2的度数为()A．30°B．45°C．60°D．75°4.如图，在矩形ABCD中，对角线AC＝8cm，∠AOD＝120°，则AB的长为()A. 3 cm B．2 cm C．2 3 cm D．4 cm5.如图，对折矩形纸片 ABCD，使 AB与 DC重合得到折痕 EF，将纸片展平；再一次折叠，使点 D落到 EF 上点 G处，并使折痕经过点 A，展平纸片后∠ DAG的大小为()A．30°B．45°C．60°D．75°6.如图，已知矩形 ABCD中，对角线 AC，BD相交于点 O，AE⊥BD于点 E，若∠DAE∶∠ BAE＝3∶1，则∠ EAC的度数是()A．18°B．36°C．45°D．72°7.如图，在矩形 ABCD中， AB＝4，BC＝6，点 E 为 BC的中点．将△ ABE沿AE折叠，使点 B 落在矩形内点 F 处，连接 CF，则 CF的长为( )A. 9B.12C.16D.18 5 5 5 58. 已知四边形 ABCD，若 AB∥CD，AD∥BC，且∠ D＝90°，则四边形 ABCD为____．9.2cm，则该矩形的对角线长已知矩形的面积为 40 cm，一边长为 5为．10.如图，在 Rt△ABC中，∠C＝90°，D为AB的中点，且CD＝5，则AB＝____ cm.11.如图， Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6，点E是斜边AB上任意一点，作 EF⊥AC于点 F，EG⊥BC于点 G，则矩形 CFEG的周长是 ____．12.如图，在Rt△ABC中，∠ ACB＝90°，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，若 EF＝4cm，则 CD＝____cm.13.如图，“人字形”屋梁中，AB＝AC，点E，F，D分别是AB，AC，BC的中点，若AB＝6m，∠B＝30°，则支撑“人字形”屋梁的木料DE，AD，DF共有____m.14.直角三角形斜边上的高与中线分别是 5 cm和 6 cm，则它的面积是．15.如图，点 O是矩形 ABCD的对角线 AC的中点，点 M是 AD的中点，若 AB＝5，AD＝12，则四边形 ABOM的周长为 ____．16.如图，在矩形 ABCD中， AB＝3，对角线 AC，BD相交于点 O，AE垂直平分 OB 于点 E，则 AD的长为．17.如图所示，在△ ABC中， BD，CE是高，点 G，F分别是 BC，DE的中点，则下列结论中：① GE＝GD；② GF⊥DE；③ GF平分∠ DGE；④∠ DGE＝60°. 其中正确的是．( 填写序号)18.如图，矩形 ABCD的对角线 AC，BD相交于点 O，若 AB＝AO，求∠ ABD的度数．19.如图所示，矩形 ABCD的对角线 AC，BD相交于点 O，AE⊥BD，垂足为点E，∠1＝∠ 2，OB＝6cm.(1) 求∠ BOC的度数；(2)求△ DOC的周长．20.准备一张矩形纸片，按下图操作：将△ ABE沿 BE翻折，使点 A 落在对角线 BD上的 M点，将△ CDF沿 DF翻折，使点 C落在对角线 BD上的 N点．(1)求证：四边形 BFDE是平行四边形；(2)若四边形 BFDE是菱形， AB＝2，求菱形 BFDE的面积．参考答案：1---7CBCDC CD8.矩形9.89cm10.1011.1212. 413.9214. 30cm15. 2016. 3 317.①②③18. 解：在矩形 ABCD中， AC＝BD，AO＝1AC，BO＝1BD，2 2∴AO＝BO.又∵ AB＝AO，∴ AO＝BO＝AB，即△ ABO为等边三角形．∴∠ ABD＝60°19.解： (1) ∵AE⊥BD,∴∠ AEO＝∠ AEB＝90°，又∵ AE＝AE，∠ 1＝∠ 2，∴△ AEO≌△ AEB.∴AB＝AO.又∵ OA＝OB,∴△ AOB为等边三角形，∴∠ AOB＝60°，∴∠ BOC＝120°(2) 由矩形的性质可得△ OCD ≌△ OAB ，∴OC ＝OA ＝OB ＝6 cm.∴△ DOC 的周长为 18 cm20. (1) ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠ A ＝∠ C ＝90°，AB ＝CD ，AB ∥CD ，∴∠ ABD＝∠ CDB ，由折叠可知，∠ EBD ＝∠ FDB ，∴ EB ∥DF ，∵ ED ∥BF ，∴四边形 BFDE为平行四边形(2) ∵四边形 BFDE 为菱形，∴ BE ＝BF ，∠ EBD ＝∠ FBD ＝∠ ABE ，∵四边形 ABCD 是矩形，∴ AD ＝BC ，∠ ABC ＝90°，∴∠ ABE ＝30°，∵∠ A ＝90°， AB ＝2，∴AE ＝2 3，BF ＝BE ＝2AE ＝43，33∴菱形 BFDE 的面积为43×2＝8 33 3。

1.2.1 矩形的定义及性质一、选择题1.矩形具有而菱形不一定具有的性质是()A.两组对边分别平行B.对角线相等C.对角线互相平分D.两组对角分别相等2.如图K-4-1,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O.已知∠AOB=60°,AC=16,则图中长度为8的线段的条数为()图K-4-1A.4B.6C.8D.103.如图K-4-2,在△ABC中,∠A+∠B=90°,D为AB上一点,AD=DB,CD=3,则AB的长度为()图K-4-2A.3B.4C.5D.64.如图K-4-3,O是矩形ABCD的对角线AC的中点,M是CD边的中点.若AB=12,OM=92,则线段OB的长为()图K-4-3A.7B.8C.152D.1725.如图K-4-4,将矩形纸片ABCD沿直线EF折叠,使点C落在AD边的中点C'处,点B落在点B'处,其中AB=9,BC=6,则FC'的长为()图K-4-4A.10B.4C.4.5D.53二、填空题6.如图K-4-5,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,D为AC的中点,若∠C=55°,则∠ABD=°.图K-4-57.如图K-4-6,矩形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,过点O的直线与AD,BC分别交于点E,F,已知AD=4 cm,图中阴影部分的面积为6 cm2,则对角线AC的长为cm.图K-4-68.如图K-4-7,在矩形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,E是直线BC上一点,且BE=OB,连接AE,若∠BAC=60°,则∠CAE的度数是.图K-4-79.如图K-4-8,∠MON=90°,矩形ABCD的顶点A,B分别在边OM,ON上,当点B在边ON上运动时,点A也随之在OM上运动,矩形ABCD的形状保持不变,其中AB=4,BC=2,运动过程中点D到点O的最大距离是.图K-4-8三、解答题10.如图K-4-9,在矩形ABCD中,E是AB的中点,连接DE,CE.(1)求证:△ADE≌△BCE;(2)若AB=6,AD=4,求△CDE的周长.图K-4-911.如图K-4-10,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E,F在BD上,且BE=DF.(1)求证:AE=CF;(2)若AB=6,∠COD=60°,求矩形ABCD的面积.图K-4-1012.如图K-4-11,在四边形ABCD中,AB∥CD,∠ACB=90°,且E是AB的中点,CE∥AD.(1)求证:四边形AECD是菱形;(2)若AC=6,CE=5,求四边形ABCD的面积.图K-4-1113.如图K-4-12,四边形ABCD是矩形,对角线AC,BD相交于点O,BE∥AC交DC的延长线于点E.(1)求证:BD=BE;(2)若∠DBC=30°,BO=4,求四边形ABED的面积.图K-4-1214.数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线,则所容两长方形面积相等(如图K-4-13①所示,两阴影部分面积相等)”这一推论,他从这一推论出发,利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证.(以上材料来源于《古证复原的原理》《吴文俊与中国数学》和《古代世界数学泰斗刘徽》) 请根据图①完成这个推论的证明过程.证明:S矩形NFGD=S△ADC-(S△ANF+S△FGC),S矩形EBMF=S△ABC-(+),易证S△ADC=S△ABC,=,=,可得S矩形NFGD=S矩形EBMF.图K-4-13[变式]如图②,P是矩形ABCD的对角线AC上一点,过点P作EF∥BC,分别交AB,CD于点E,F,连接PB,PD.若AE=2,PF=8,则图中阴影部分的面积为.参考答案1.B2.B [解析] 根据题意可知,△AOB 和△COD 都是边长为8的等边三角形,所以长度为8的线段有6条.3.D [解析] ∵在△ABC 中,∠A+∠B=90°,∴∠ACB=90°. ∵AD=DB ,∴CD 是Rt △ABC 斜边AB 上的中线, ∴AB=2CD=6.故选D .4.C [解析] ∵O 是矩形ABCD 的对角线AC 的中点,M 是CD 边的中点, ∴OM 是△ADC 的中位线,∴AD=2OM=9.∵四边形ABCD 是矩形,AB=12,∴∠D=∠ABC=90°,CD=AB=12, ∴AC=2+CD 215,∴OB=12AC=152.故选C .5.D [解析] 设FC'=x ,则FC=x ,FD=9-x.∵BC=6,四边形ABCD 为矩形,C'为AD 的中点,∴AD=BC=6,C'D=3,∠D=90°.在Rt △FC'D 中,∠D=90°,FC'=x ,FD=9-x ,C'D=3,∴FC'2=FD 2+C'D 2,即x 2=(9-x )2+32,解得x=5.故选D . 6.357.5 [解析] ∵图中阴影部分的面积为6 cm 2,AD=4 cm,则12AD ·CD=12×4×CD=6,∴CD=3(cm).在Rt △ACD 中,AD=4 cm,CD=3 cm,由勾股定理得AC=5 cm,即对角线AC 的长为5 cm . 8.15° [解析] ∵四边形ABCD 是矩形,∴∠ABC=90°,OA=OC ,OB=OD ,AC=BD ,∴OA=OB. 又∵∠BAC=60°,∴△AOB 是等边三角形, ∴AB=OB.又∵BE=OB ,∴AB=BE , ∴△ABE 是等腰直角三角形,∴∠BAE=45°,∴∠CAE=∠BAC-∠BAE=60°-45°=15°.故答案为15°. 9.2+2√210.解:(1)证明:在矩形ABCD 中,AD=BC ,∠A=∠B=90°. ∵E 是AB 的中点,∴AE=BE.在△ADE与△BCE中,∵AD=BC,∠A=∠B,AE=BE,∴△ADE≌△BCE(SAS).(2)由(1),知△ADE≌△BCE,∴DE=CE.AB=3,在Rt△ADE中,AD=4,AE=12由勾股定理,知DE=√AD2+AE2=√42+32=5,∴△CDE的周长=DE+CE+CD=2DE+AB=2×5+6=16.11.解:(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,∴OA=OC,OB=OD.又∵BE=DF,∴OE=OF.在△AOE和△COF中,∵OA=OC,∠AOE=∠COF,OE=OF,∴△AOE≌△COF(SAS),∴AE=CF.(2)∵四边形ABCD是矩形,∴OA=OC=OB=OD.又∵∠AOB=∠COD=60°,∴△AOB是等边三角形,∴OA=AB=6,∴AC=2OA=12.在Rt△ABC中,BC=√AC2-AB2=6√3,∴矩形ABCD的面积=AB·BC=6×6√3=36√3.12.解:(1)证明:∵AB∥CD,CE∥AD,∴四边形AECD是平行四边形.∵∠ACB=90°,E是AB的中点,AB,∴四边形AECD是菱形.∴CE=AE=12(2)由(1)知AB=2CE=10.在Rt△ACB中,∠ACB=90°,AC=6,AB=10,∴BC=√AB2-AC2=8,∴S △ABC =12BC ·AC=24.∵E 是AB 的中点,四边形AECD 是菱形, ∴S △AEC =S △EBC =S △ACD =12, ∴S 四边形ABCD =S △ABC +S △ACD =36.13.[解析] (1)根据“矩形的对角线相等”可得AC=BD ,然后证明四边形ABEC 是平行四边形,再根据“平行四边形的对边相等”可得AC=BE ,从而得证;(2)根据矩形的对角线相等且互相平分求出BD 的长度,再根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求出CD 的长度,然后利用勾股定理求出BC 的长度,再利用梯形的面积公式列式计算即可得解.解:(1)证明:∵四边形ABCD 是矩形, ∴AC=BD ,AB ∥CD. 又∵BE ∥AC ,∴四边形ABEC 是平行四边形, ∴AC=BE , ∴BD=BE.(2)∵在矩形ABCD 中,BO=4, ∴BD=2BO=2×4=8. ∵∠DBC=30°,∠DCB=90°, ∴CD=12BD=12×8=4, ∴AB=CD=4,∴DE=CD+CE=CD+AB=4+4=8.在Rt △BCD 中,BC=√BD 2-CD 2=√82-42=4√3, ∴AD=BC=4√3,∴四边形ABED 的面积=12×(4+8)×4√3=24√3.14.S △AEF S △FCM S △ANF S △AEF S △FGC S △FCM变式 16。

北师大数学九年级上册期末备考训练：矩形及其性质（四）1．如图，有一个长方形展览室，长10m，宽8m，室内放置隔板，中间的走道宽1m，一位参观者沿走道正中从头走到尾，他一共走了m．2．如图，在矩形ABCD中，AC与DB相交于O，OE是AD的垂线，垂足为E，AF是DB的垂线，垂足为F，已知OE＝2，DF＝3BF，则AE＝．3．如图的周长是厘米．4．如图所示，长方形ABCD是篮球场地的简图，长是28m，宽是15m，则它的对角线长约为m．（精确到1m）．5．如图，矩形ABCD的一边AD在x轴上，对角线AC、BD交于点E，过B点的双曲线恰好经过点E，AB＝4，AD＝2，则K的值是．6．已知：如图，O是矩形ABCD对角线的交点，AE平分∠BAD，∠AOD＝120°，∠AEO＝．7．如图，矩形ABCD中，对角线交于点O．若点E为BC上一点，连结EO，并延长交AD于点F，则图中全等三角形共有对．8．如图，AD平行且等于BC，则四边形ABCD是，又对角线AC，BD交于点O，若∠1＝∠2，则四边形ABCD是．9．如图，已知矩形ABCD，若AH⊥BD，∠BAH＝∠DAH，则∠CAD等于．10．如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD，垂足为E，∠DAE：∠BAE＝1：2，则∠CAE＝度．11．如图，已知长方形ABCD的面积为20，AB＝3，则AD与BC之间的距离为，AB 与CD之间的距离为．12．如图，在矩形ABCD中，点O为对角线AC、BD的交点．以下结论正确的是．①△AOB是等腰三角形；②S△ABO ＝S△ADO；③AC＝BD；④AC⊥BD；⑤当∠ADB＝30°时，△AOB是等边三角形；⑥AC所在直线为矩形ABCD的对称轴．13．如图所示，在矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，对角线AC，BD交于O，且BE：ED＝1：3，AD＝6cm，则AE＝cm．34．如图所示，在矩形ABCD中，E是AD上任一点，连接CE，F是CE的中点，若△BFC的面积为6cm2，则矩形ABCD的面积为cm2．15．如图所示，矩形ABCD的中心是O，则图中共有对全等三角形．16．在长方形ABCD中，A（﹣3，2），B（0，2），C（0，4），则点D的坐标是．17．如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，BE：ED＝1：3，AB＝4cm，则AC＝．18．如图，在矩形ABCD中，AD＝13，AB＝12，点F在边BC上且AF＝AD，∠DAF的平分线交边DC于点E，则DE＝．19．矩形ABCD中两条对角线的夹角是120°，较短的边为5cm，则另一条边长为．20．有一个角是的平行四边形是矩形；有个角是直角的四边形是矩形；对角线的平行四边形是矩形；对角线的四边形是矩形．参考答案1．解：参观者在第一个隔板内走的路程是10﹣0.5，在最上边的隔板走的路程是10﹣1＝9mm，在下面第二个横道的路长是10﹣1﹣1＝8m，再在上面第二个横道的路程是8﹣1＝7m．依此类推，就可以求出所有在横道内走的路程，同样可以求出在所有纵路内所走的路程，把各个数相加就可以得到总路程．答：他一共走了80m．故答案为：80．2．解：∵AF⊥DB，又OE⊥AD，∴∠OEA＝∠AFO＝90°，∵四边形ABCD是矩形，∴DO＝BO＝CO＝AO＝BD＝AC，又∵DF＝3BF，∴OA＝2OF，∴∠OAF＝30°．∴∠FOA＝60°，∴∠AOD＝120°，∵AO＝DO，∴∠OAE＝30°，∴OE＝OA．∵OE＝2，∴OA＝4．所以根据勾股定理得AE＝．故答案为．3．解：根据图形可以得到：AB+CD+EF＝HG＝4厘米，AH+BC+ED＝FG＝6厘米．∴图形的周长是：（AB+CD+EF）+（AH+BC+ED）+HG+FG＝20厘米．故答案为20．4．解：在直角△ABC中，AB＝15m，BC＝28m．根据勾股定理得AC＝＝≈31.765≈32m．故答案为32．5．解：设OA＝a，则A点坐标为（a，4），E（a+1，2）将这两点坐标代入双曲线联立得：解得：∴可得k的值为4．故答案为4．6．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠ABC＝∠BAD＝90°，AC＝BD，OB＝BD，OC＝AC，∴OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∵∠BOC＝∠AOD＝120°，∴∠OBC＝30°，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠EAD＝45°，∴∠AEB＝∠EAD＝∠BAE＝45°，∴AB＝BE，∵∠AOD＝120°，∴∠AOB＝60°，∴AB＝OA＝OB，∴OB＝BE，∴∠BOE＝∠BEO，∴∠OEB＝75°，∴∠AEO＝∠OEB﹣∠AEB＝75°﹣45°＝30°．故答案为：30°．7．解：∵四边形ABCD为矩形，∴AB＝CD，AD＝BC，AO＝CO，BO＝DO，AC＝BD，∠ABC＝∠BAD＝∠ADC＝∠DCB＝90°，AD∥BC，∴OA＝OB＝OC＝OD，在△ABC和△DCB中，，∴△ABC≌△DCB（SAS），同理：△ABC≌△CDA（SAS），△ABC≌△BAD（SAS），∴△ABC≌△DCB≌△CDA≌△BAD（SAS），共有6对；在△DOC和△AOB中，，∴△DOC≌△AOB（SAS），同理：△DOA≌△COB（SAS）；∵AD∥BC，∴∠OAF＝∠OCE，在△AOF和△COE中，，∴△AOF≌△COE（ASA），同理：△DOF和△BOE（ASA），综上所述，图中全等三角形共有10对，故答案为：10．8．解：（1）AD平行且等于BC，则四边形ABCD是平行四边形；（2）又对角线AC，BD交于点O，∠DAO＝∠2，∠AOD＝∠BOC，AD＝BC，∴△AOD≌△COB，同理△ABO≌△DCO，∠ABO＝∠DCO，又∵∠1＝∠2，∴∠ABC＝∠DCB＝∠DAB＝∠DCB，∴四边形ABCD是矩形．故答案为：平行四边形，矩形．9．解：∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，∠BAD＝90°，∴OA＝OD，∴∠CAD＝∠ADO，∵∠BAH＝∠DAH，∴∠BAH＝30°，∠DAH＝60°，∵AH⊥BD，∴∠ADO＝90°﹣60°＝30°，∴∠CAD＝30°；故答案为：30°．10．解：∵∠DAE：∠BAE＝1：2，∠DAB＝90°，∴∠DAE＝30°，∠BAE＝60°∴∠DBA＝90°﹣∠BAE＝90°﹣60°＝30°，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝30°∴∠CAE＝∠BAE﹣∠OAB＝60°﹣30°＝30°．故答案为30．11．解：∵四边形ABCD是矩形，∴BC⊥AB．∴AB＝3，即AD与BC之间的距离为3．∵矩形ABCD的面积为20，AB＝3，∴BC＝，即AB与CD之间的距离为．故答案为：3，．12．解：∵四边形ABCD为矩形，∴AB＝CD，AD＝BC，AO＝CO，BO＝DO，AC＝BD，∠ABC＝∠BAD＝∠ADC＝∠DCB＝90°，AD∥BC，∴OA＝OB＝OC＝OD，则△AOB是等腰三角形；S△ABO ＝S△ADO；①②③正确，④不正确；∵∠ADB＝30°，∴∠ABO＝90°﹣30°＝60°，∵OA＝OB，∴△AOB是等边三角形，⑤正确；∵矩形ABCD的对称轴是边AB、BC的垂直平分线，矩形ABCD不是菱形，∴AC所在直线不是矩形ABCD的对称轴，⑥不正确；故答案为：①②③⑤．13．解：设BE＝x，因为BE：ED＝1：3，故ED＝3x，根据射影定理，AD2＝3x（3x+x），即36＝12x2，x2＝3；由AE2＝BE•ED，AE2＝x•3x；即AE2＝3x2＝3×3＝9；AE＝3．14．解：连接BE，∵BF是△BCE的中线，∴S△BCE ＝2S△BCF＝12，又矩形ABCD与△BCE同底等高，∴矩形ABCD的面积＝2×S△BCE＝24．故答案为24．15．解：∵ABCD为矩形，O为重心，∴AB＝CD，∠ABC＝∠DCB，又∵BC＝BC，∴△ABC≌△DCB，同理△BAD≌△CDA，△ABC≌△ABD，△ABC≌△ACD，△BCD≌△ABD，△BCD≌△ACD ∵AO＝CO，BO＝DO，∠AOB＝∠COD，∴△AOB≌△COD，同理△AOD≌△COB，所以共8对全等三角形．故答案为8．16．解：∵长方形ABCD中，A（﹣3，2），C（0，4），∴点D的横坐标为﹣3，纵坐标为4，∴点D的坐标为（﹣3，4）．故答案为：（﹣3，4）．17．解：∵四边形ABCD是矩形，∴OB＝OD，OA＝OC，AC＝BD，∴OA＝OB，∵BE：ED＝1：3，∴BE：BD＝1：4，∴BE：OB＝1：2，即BE＝OE，∵AE⊥BD，∴AB＝OA，∴OA＝OB＝AB＝4cm，∴AC＝2OA＝8（cm）．故答案为：8cm．18．解：∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝12，BC＝AD＝13，∠B＝∠D＝∠C＝90°，∵AF＝AD＝13，∴BF＝＝＝5，∴CF＝BC﹣BF＝13﹣5＝8，∵∠DAF的平分线交边DC于点E，∴∠FAE＝∠DAE，在△AFE和△ADE中，，∴△AFE≌△ADE（SAS），初中数学精品教学∴FE＝DE，设FE＝DE＝x，则CE＝12﹣x，在Rt△CEF中，由勾股定理得：82+（12﹣x）2＝x2，解得：x＝，即DE＝；故答案为：．19．解：如图：∵∠AOD＝120°，∴∠AOB＝60°，∴△AOB是等边三角形，∵AB＝5cm，∴AC＝10cm，∴BC＝＝＝5cm，故答案为：5cm．20．解：∵有一个角是直角的平行四边形是矩形；有三个角是直角的四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形；对角线互相平分且相等的四边形是矩形；故答案为：直角；三；相等；互相平分且相等．初中数学精品教学11。

北师大版九年级上册矩形的性质与判定课时精练（附答案）一、单选题1.能判定四边形是平行四边形的是（）A. 对角线互相垂直B. 对角线相等C. 对角线互相垂直且相等D. 对角线互相平分2.已知▱ABCD，其对角线的交点为O，则下面说法正确的是（）A. 当OA＝OB时▱ABCD为矩形B. 当AB＝AD时▱ABCD为正方形C. 当∠ABC＝90°时▱ABCD为菱形D. 当AC⊥BD时▱ABCD为正方形3.下列说法正确的是（）A. 平行四边形的对角线互相平分且相等B. 矩形的对角线相等且互相平分C. 菱形的对角线互相垂直且相等D. 正方形的对角线是正方形的对称轴4.现有14米长的木材，要做成一个如图所示的窗户，若窗户横档的长度为a米，则窗户中能射进阳光的部分的面积（窗框面积忽略不计）是（）A. a（7﹣a）米2B. a（7﹣a）米2C. a（14﹣a）米2D. a（7﹣3a）米25.如图，下列条件中，能使平行四边形ABCD成为矩形的是（）A. AB=BCB. AB=CDC. AC⊥BDD. AC=BD6.如图，在矩形纸片ABCD中，已知AD＝8，折叠纸片，使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF＝3，则AB的长为（）A. 3B. 4C. 5D. 67.在▱ABCD 中，增加下列条件中的一个，就能断定它是矩形的是( )A. ∠A＋∠C＝180°B. AB＝BCC. AC⊥BDD. AC＝2AB8.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，B在反比例函数的图像上，纵坐标分别为1和3，则k的值为（）A. B. C. 2 D. 39.直线l1∥l2∥l3，且l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，把一块含有45°角的直角三角形如图放置，顶点A，B，C恰好分别落在三条直线上，AC与直线l2交于点D，则线段BD的长度为()A. B. C. D.二、填空题10.如图所示，已知平行四边形ABCD ，下列条件：①AC＝BD ，②AB＝AD ，③∠1＝∠2，④AB⊥BC 中，能说明平行四边形ABCD是矩形的有（填写序号）________ ．11.如图，要使平行四边形ABCD是矩形，则应添加的条件是________（添加一个条件即可）．12.已知矩形，给出三个关系式：① ② ③ 如果选择关系式________作为条件（写出一个即可），那么可以判定矩形为正方形，理由是________ .13.若矩形的面积为a2+ab，宽为a，则长为________．14.矩形ABCD的对角线相交于O ，AC＝2AB ，则△COD为________三角形．15.把一张矩形纸片（矩形ABCD）按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF．若AB=3cm，BC=5cm，则重叠部分△DEF的面积是________ cm2．16.如图，点A在轴的负半轴上，点B在轴的正半轴上，∠BAO=30°，将△ABO绕点A逆时针旋转得到△ACD，点O的对应点D刚好落在AB上，直线CB交轴于点E，已知E ，则点C的坐标是________．17.如图，在一张矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=8，点E，F分别在AD，BC上，将纸片ABCD沿直线EF折叠，点C落在AD上的一点H处，点D落在点G处，有下列结论：①FC=HE；②EC平分∠DCH；③线段BF的取值范围为3≤BF≤4；④当点H与点A重合时，EF=2 ．其中正确的是________．（把所有正确结论的序号都选上）18.如图，在矩形中，分别为边，的中点，与，分别交于点M，N．已知，，则的长为________．三、解答题19.如图，在▱ABCD中，∠ABD＝90°，延长AB至点E，使BE＝AB，连接CE.求证：四边形BECD是矩形.20.在矩形ABCD中，点O是AC的中点，AC=2AB，延长AB至G，使BG=AB，连接GO交BC于E，延长GO 交AD于F．（1）求证：△ABC≌△AOG；（2）猜测四边形AECF的形状并证明你的猜想．21.如图，在矩形ABCD中，以点D为圆心，DA长为半径画弧，交CD于点E，以点A为圆心，AE长为半径画弧，恰好经过点B，连结BE、AE．求∠EBC的度数．22.如图，菱形ABCD的对角线AC和BD交于点O，分别过点C、D作CE∥BD，DE∥AC，CE和DE交于点E．（1）求证：四边形ODEC是矩形；（2）当∠ADB=60°，AD=2时，求tan∠EAD的值．答案一、单选题1. D2. A3. B4. B5. D6. D7. A8. B9. A二、填空题10. ①④ 11. ∠ABC=90°或AC=BD．12. ①；一组邻边相等的矩形是正方形13. a+b 14. 等边15. 5.1 16. 17. ①③④ 18.三、解答题19. 证明：∵四边形ABD是平行四边形，∴CD＝AB，CD∥AB，∵BE＝AB，∴BE＝CD，∴四边形BECD是平行四边形，∵∠ABD＝90°，∴∠DBE＝90°，∴四边形BECD是矩形.20. （1）证明：∵点O是AC的中点，∴AO=CO=AC，∵AC=2AB，BG=AB，∴AB=AO，AC=AG，在△ABC和△AOG中，，∴△ABC≌△AOG（SAS）；（2）解：四边形AECF是菱形；理由如下：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，AD∥BC，∴∠OAF=∠COE，在△AOF和△COE中，，∴△AOF≌△COE（ASA），∴OF=OE，∴四边形AECF是平行四边形，∵△ABC≌△AOG，∴∠AOG=∠ABC=90°，∴AC⊥EF，∴四边形AECF是菱形．21. 解：由题意得：AD=DE，AE=AB，∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=∠ABC=∠DAB=90°，∵AD=DE，∴∠DAE=45°，∴∠EAB=45°，∵AE=AB，∴∠EBA=∠AEB= =67.5°，∴∠EBC=90°﹣67.5°=22.5°．22. （1）证明：∵CE∥BD，DE∥AC，∴四边形ODEC是平行四边形．又∵菱形ABCD，∴AC⊥BD，∴∠DOC=90°．∴四边形ODEC是矩形．（2）如图，过点E作EF⊥AD，交AD的延长线于F．∵AC⊥BD，∠ADB=60°，AD=2，∴OD=，AO=OC=3．∵四边形ODEC是矩形，∴DE=OC=3，∠ODE=90°．又∵∠ADO+∠ODE+∠EDF=180°，∴∠EDF=30°．在Rt△DEF中，∠F=90°，∠EDF=30°．∴EF=．∴DF=．在Rt△AFE中，∠DFE=90°，∴tan∠EAD=．。

北师大版九年级上册数学矩形的性质和判定课堂讲义及练习（含答案）【矩形的性质】1．矩形的定义有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.温馨提示①对于矩形的定义要注意两点a.是平行四边形.b.有一个角是直角；②定义说有一个角是直角的平行四边形才是矩形,不要错误地理解为有一个角是直角的四边形是矩形；③矩形的定义既是矩形的性质,也提供了矩形的种判定方法。

2. 矩形的性质（1）矩形具有平行四边形的所有性质 .（2）矩形的四个角都是直角.（3）矩形的对角线相等.（4）矩形是轴对称图形,它有两条对称轴,对角线所在直线就是它的对称轴. 矩形又是中心对称图形,对角线的交点为对称中心,过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分..矩形中相等的线段：AC=BD， OA = OC=OB = OD．矩形中相等的角：∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90°．矩形中的全等三角形：全等的等腰三角形有：，全等的直角三角形有：点拨：有关矩形问题可转化为直角三角形或等腰三角形的问题来解决 (转化思想).温馨提示：①矩形具有平行四边形的一切性质；②利用矩形的性质可以推出直角三角形斜边中线的性质,即：在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半；③“矩形的四个角都是直角”这一性质可用来证两条线段互相垂直或角相等,“矩形的对角线相等”这一性质可用来证线段相等；④矩形的两条对角线分矩形为面积相等的四个等腰三角形。

【练习】1.如图，在矩形ABCD中，E是BC边的中点，且AE平分∠BAD，CE＝2，则CD的长是( )A．2 B．3 C．4 D．52.如图，在矩形ABCD中，AB＝2BC，在CD上取一点E，使AE＝AB，则∠EBC的度数是( )A．30° B．° C．15° D．10°3第4题第5题第6题第7题4.在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是AO，AD的中点，若AB＝6 cm，BC＝8 cm，则EF ＝________cm.5.△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝55°，D是斜边AB的中点，那么∠ACD的度数为( )A．15° B．25° C．35° D．45°6.已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在点C′处，BC′交AD于点E，AD＝8，AB＝4，则DE的长为( ) A．3 B．4 C．5 D．67.在矩形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，连接DE，BF，分别取DE，BF的中点M，N，连接AM，CN，MN，若AB＝5，BC＝8，则图中阴影部分的面积为( )A．5 B．8 C．13 D．208.如图，已知△ABC和△ABD均为直角三角形，其中∠ACB＝∠ADB＝90°，E为AB的中点．求证：CE＝DE.9.如图，在矩形ABCD中，连接对角线AC，BD，将△ABC沿BC方向平移，使点B移到点C，得到△DCE.(1)求证：△ACD≌△EDC；(2)请探究△BDE的形状，并说明理由．【矩形的判定】1.矩形的判定定理（1）有三个角是直角的四边形是矩形.（2）对角线相等的平行四边形是矩形。

2021-2022年北师大版九年级数学上册期末压轴题综合复习题1、如图，矩形ABCD中，AD＝3，AB＝4，点P是对角线AC上一动点（不与A，C重合），连结BP，作PE⊥PB，交射线DC于点E，以线段PE，PB为邻边作矩形BPEF．过点P 作GH⊥CD，分别交AB、CD于点G、H．（1）求证：△PGB∽△EHP；（2）求的值；（3）求矩形BPEF的面积的最小值．2、已知：如图，菱形ABCD中，点E，F，G，H分别在边AB，BC，CD，DA上，且BE＝BF＝DH＝DG．（1）求证：四边形EFGH是矩形；（2）已知∠B＝60°，AB＝6．请从A，B两题中任选一题作答，我选择题．A题：当点E是AB的中点时，矩形EFGH的面积是．B题：当BE＝时，矩形EFGH的面积是8．3、在△ABC中，∠ABC＝90°，ABnBC，M是BC上一点，连接AM．（1）如图1，若n＝1，N是AB延长线上一点，CN与AM垂直，求证：BM＝BN．（2）过点B作BP⊥AM，P为垂足，连接CP并延长交AB于点Q．①如图2，若n＝1，求证：CP BM．PQ BQ②如图3，若M是BC的中点，求证：∠BPQ ＝∠BAC．4、已知：矩形OABC的顶点O在平面直角坐标系的原点，边OA、OC分别在x、y轴的正半轴上，且OA＝3cm，OC＝4cm，点M从点A出发沿AB向终点B运动，点N从点C 出发沿CA向终点A运动，点M、N同时出发，且运动的速度均为1cm/秒，当其中一个点到达终点时，另一点即停止运动．设运动的时间为t秒．（1）当点N运动1秒时，求点N的坐标；（2）试求出多边形OAMN的面积S与t的函数关系式；（3）t为何值时，以△OAN的一边所在直线为对称轴翻折△OAN，翻折前后的两个三角形所组成的四边形为菱形？5、已知：如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝3cm，点P由B点出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为2cm/s；点Q由A点出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为cm/s；若设运动的时间为t（s）（0＜t＜3），解答下列问题：（1）如图①，连接PC，当t为何值时△APC∽△ACB，并说明理由；（2）如图②，当点P，Q运动时，是否存在某一时刻t，使得点P在线段QC的垂直平分线上，请说明理由；（3）如图③，当点P，Q运动时，线段BC上是否存在一点G，使得四边形PQGB为菱形？若存在，试求出BG长；若不存在请说明理由．6、如图，已知菱形ABCD中，AB＝5，点E是BC边上一点（不与B，C重合），以BE为边构造菱形BEFG，使点G落在AB的延长线上，连接BD，GE，射线FE交BD于点H．（1）求证：四边形BGEH是平行四边形；（2）请从下面A，B两题中任选一题作答．我选择题．A．若四边形BGEH为菱形，则BD的长为．B．连接HC，CF，BF，若BD＝6，且四边形BHCF为矩形，则CF的长为3．7、如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣4，2），点B在第一象限，AB平行于x轴且AB＝5．（1）点B的坐标为．（2）如图1，过点A作AC⊥x轴于C，在x轴上是否存在点D，使得△AOC与△BOD 相似？（3）如图2，将△AOB折叠，使得点A刚好落在O处，此时折痕交AB于点D，交AO 于点E，在直线AO上有两个动点P，Q（点P在点Q的左侧），且线段PQ＝，求四边形BDPQ的周长最小值．8、如图1，已知四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点M是BC边的中点，过点M作ME∥AC交BD于点E，作MF∥BD交AC于点F．（1）如图2，若四边形ABCD是菱形，求证：四边形OEMF是矩形；（2）如图3，若四边形ABCD是矩形，则四边形OEMF是（在横线上填一个特殊平行四边形的名称）（3）如图4，若四边形ABCD是矩形，点M是BC延长线上的一个动点，点F落在AC的延长线上，点E落在线段OD上，其余条件不变，写出OB，ME，MF三条线段之间存在的数量关系，并说明理由．9、如图1，一张矩形纸片ABCD，其中AD＝8cm，AB＝6cm，先沿对角线BD折叠，点C落在点C′的位置，BC′交AD于点G．（1）求证：BG＝DG；（2）求C′G的长；（3）如图2，再折叠一次，使点D与A重合，折痕EN交AD于M，求EM的长．10、如图（1）是矩形纸片ABCD连续两次对折展开平铺后的图形，折痕分别为EF，MN，GH．（1）如图（2），连接BD，与折痕GH，EF，MN分别交于点S，O，T，求证：OE=OF；（2）如图（3），连接ET并延长交CD于点Q，连接FS并延长交AB于点P，连接EP，FQ．求证：四边形EPFQ是菱形；（3）若四边形EPFQ是正方形，则矩形ABCD需满足的条件是．12、如图1，在正方形ABCD的外部，分别以AB，CD为边作菱形ABEF和菱形CDGH，连接EH，FG（1）求证：FG=EH（2）请从A，B两个题目中任选一题作答A 如图2，若AB=4，∠BAF=60°，∠CDG=30°，求四边形AFGD的面积B 如图3，若∠BAF=∠CDG，求证；四边形EFGH是矩形13、问题情境：如图1，在菱形ABCD中，点E、F分别为AB，BC边上的点，连接AF，DE相交于点O，且∠AOE=∠ADC，试探究：AF与DE的数量关系．特例探究：如图2，当菱形ABCD是正方形时，AF与DE有怎样的数量关系呢？请你直接写出结论，不必证明；类比解答：类比特例探究的结论，猜想问题情境中AF与DE的数量关系，并说明理由；拓展延伸：将图1中的菱形ABCD改为▱ABCD（如图3）其中AB=a，AD=b，点E、F、G、H 分别为AB、BC、CD、DA边上的动点，连接EG、HF相交于点O，且∠HOE=∠ADC，试探究：EG与FH的数量关系，用含a、b的式子直接写出的值，不必说明理由．14、问题情境：已知，菱形ABCD，点B关于直线AD的对称点为点E，连接AE、CE，线段CE交直线AD于点F，连接BF．（1）特例研究：如图1，当∠ABC=90°时，点A、B、E在同一条直线上，求证：BF=CE．（2）类比思考：请从下列A、B两题中任选一题作答：我选择A或B题．当90°＜∠ABC＜180°时，小彬提出如下问题：A、若点E、D、C三点在同一直线上，请在下面画出符合条件的图形，并直接写出∠ABC的度数；B、如图2，若点E、D、C三点不在同一直线上，判断（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请证明；若不成立，说明理由．（3）拓展分析：请从下列A、B两题中任选一题作答，我选择A或B题．A：如图3，当∠ABC=135°时，CD的延长线交AE于点G，直接写出的值；B：当∠ABC=45°时，直线AE与CD相交于点G，请在下面画出符合条件的图形，并直接写出的值．15、阅读下列材料，完成任务：自相似图形定义：若某个图形可分割为若干个都与它相似的图形，则称这个图形是自相似图形．例如：正方形ABCD中，点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边的中点，连接EG，HF交于点O，易知分割成的四个四边形AEOH、EBFO、OFCG、HOGD均为正方形，且与原正方形相似，故正方形是自相似图形．任务：（1）图1中正方形ABCD分割成的四个小正方形中，每个正方形与原正方形的相似比为；（2）如图2，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，小明发现△ABC也是“自相似图形”，他的思路是：过点C作CD⊥AB于点D，则CD将△ABC分割成2个与它自己相似的小直角三角形．已知△ACD∽△ABC，则△ACD与△ABC的相似比为；（3）现有一个矩形ABCD是自相似图形，其中长AD=a，宽AB=b（a＞b）．请从下列A、B两题中任选一条作答：我选择题．A：①如图3﹣1，若将矩形ABCD纵向分割成两个全等矩形，且与原矩形都相似，则a=（用含b的式子表示）；②如图3﹣2若将矩形ABCD纵向分割成n个全等矩形，且与原矩形都相似，则a=（用含n，b的式子表示）；B：①如图4﹣1，若将矩形ABCD先纵向分割出2个全等矩形，再将剩余的部分横向分割成3个全等矩形，且分割得到的矩形与原矩形都相似，则a=或（用含b的式子表示）；②如图4﹣2，若将矩形ABCD先纵向分割出m个全等矩形，再将剩余的部分横向分割成n个全等矩形，且分割得到的矩形与原矩形都相似，则a=（用含m，n，b的式子表示）．16、综合与实践问题情境：正方形折叠中的数学已知正方形纸片ABCD中，AB＝4，点E是AB边上的一点，点G是CE的中点，将正方形纸片沿CE所在直线折叠，点B的对应点为点B′．（1）如图1，当∠BCE＝30°时，连接BG，B′G，求证：四边形BEB′G是菱形；深入探究：（2）在CD边上取点F，使DF＝BE，点H是AF的中点，再将正方形纸片ABCD沿AF 所在直线折叠，点D的对应点为D′，顺次连接B′，G，D′，H，B'，得到四边形B′GD′H．请你从A，B两题中任选一题作答，我选择题．A题：如图2，当点B'，D′均落在对角线AC上时，①判断B′G与D′H的数量关系与位置关系，并说明理由；②直写出此时点H，G之间的距离．B题：如图3，点M是AB的中点，MN∥BC交CD于点N，当点B'，D′均落在MN上时，①判断B′G与D′H的数量关系与位置关系，并说明理由；②直接写出此时点H，G之间的距离．17、如图，直线y＝x+n交x轴于点A（﹣8，0），直线y＝﹣x﹣4经过点A，交y轴于点B，点P是直线y＝﹣x﹣4上的一个动点，过点P作x轴的垂线，过点B作y轴的垂线，两条垂线交于点D，连接PB，设点P的横坐标为m．（1）若点P的横坐标为m，则PD的长度为（用含m的式子表示）；（2）如图1，已知点Q是直线y＝x+n上的一个动点，点E是x轴上的一个动点，是否存在以A，B，E，Q为顶点的平行四边形，若存在，求出E的坐标；若不存在，说明理由；（3）如图2，将△BPD绕点B旋转，得到△BD′P′，且旋转角∠PBP′＝∠OCA，当点P的对应点P′落在坐标轴上时，请直接写出点P的坐标．18、如图，在平面直角坐标系中，过原点O及A（8，0）、C（0，6）作矩形OABC，连接AC，一块直角三角形PDE的直角顶点P始终在对角线AC上运动（不与A、C重合），且保持一边PD始终经过矩形点B，PE交x轴于点Q（1）＝；（2）在点P从点C运动到点A的过程中，的值是否发生变化？如果变化，请求出其变化范围，如果不变，请说明理由，并求出其值；（3）若将△QAB沿直线BQ折叠后，点A与点P重合，则PC的长为．19、在直角坐标系中，过原点O及点A（8，0），C（0，6）作矩形OABC，连接OB，点D为OB的中点，点E是线段AB上的动点，连接DE，作DF⊥DE，交OA于点F，连接EF．已知点E从A点出发，以每秒1个单位长度的速度在线段AB上移动，设移动时间为t秒．（1）如图1，当t＝3时，求DF的长．（2）如图2，当点E在线段AB上移动的过程中，的大小是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出的值．（3）连接AD，当AD将△DEF分成的两部分的面积之比为1：2时，求相应的t的值．20、如图①，已知点A（﹣1，0），B（0，﹣2），▱ABCD的边AD与y轴交于点E，且E为AD的中点，双曲线y＝经过C、D两点．（1）求k的值；（2）点P在双曲线y＝上，点Q在y轴上，若以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，直接写出满足要求的所有点Q的坐标；（3）以线段AB为对角线作正方形AFBH（如图③），点T是边AF上一动点，M是HT 的中点，MN⊥HT，交AB于N，当点T在AF上运动时，的值是否发生改变？若改变，求出其变化范围：若不改变，请求出其值，并给出你的证明．参考答案1、如图，矩形ABCD中，AD＝3，AB＝4，点P是对角线AC上一动点（不与A，C重合），连结BP，作PE⊥PB，交射线DC于点E，以线段PE，PB为邻边作矩形BPEF．过点P 作GH⊥CD，分别交AB、CD于点G、H．（1）求证：△PGB∽△EHP；（2）求的值；（3）求矩形BPEF的面积的最小值．1、【解答】（1）证明：∵∠PGB＝∠EHP＝∠BPE＝90°，∴∠PBG＝∠EPH（同角的余角相等），∴△PGB∽△EHP；（2）解：连接BE，∵PE⊥PB，∴∠BPE＝90°，∵∠BCE＝90°，∴∠BCE+∠BPE＝180°，∴P，B，E，C四点共圆，∴∠PBE＝∠PCE，在Rt△BPE与Rt△ADC中，∠D＝∠BP E＝90°，∠ACD＝∠PBE，∴Rt△BPE∽Rt△ADC，∴＝，即＝＝；（3）设AP的长为x．∵AD＝3，AB＝4，∴由勾股定理得到：AC＝＝＝5∵cos∠GAP＝＝＝，∴AG＝AP＝x．同理，sin∠GAP＝＝＝．则GP＝x．在Rt△PBG中，PB2＝BG2+PG2＝（4﹣x）2+（x）2＝x2﹣x+16，∵＝＝．∴PE＝PB，∴S矩形BPEF＝PB•PE＝PB2＝（x2﹣x+16）＝（x﹣）2+，∵0＜x＜5，∴x＝时，S有最小值．2、已知：如图，菱形ABCD中，点E，F，G，H分别在边AB，BC，CD，DA上，且BE＝BF＝DH＝DG．（1）求证：四边形EFGH是矩形；（2）已知∠B＝60°，AB＝6．请从A，B两题中任选一题作答，我选择A或B题．A题：当点E是AB的中点时，矩形EFGH的面积是9．B题：当BE＝2或4时，矩形EFGH的面积是8．2、【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，AB＝BC＝CD＝AD，∴∠A+∠B＝180°，∵BE＝BF＝DH＝DG，∴AE＝AH＝CF＝CG，∴∠AEH＝∠AHE＝（180°﹣∠A），∠BEF＝∠BFE＝（180°﹣∠B），∴∠AEH+∠BEF＝（180°﹣∠A）+（180°﹣∠B）＝90°，同法可证：∠EFG＝∠EHG＝90°，∴四边形EFGH是矩形．（2）解：A题：连接AC，BD交于点O．∵AE＝BE，∴AH＝DH，BF＝CF，CG＝GD，∴EF＝AC，EH＝BD，∵AB＝BC＝6，∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AC＝AB＝6，∵OB⊥AC，∴OB＝3，BD＝2OB＝6，∴EF＝3，EH＝3，∴S矩形EFGH＝EF•EH＝9．故答案为9．B题：设BE＝x，则AE＝6﹣x，EF＝x，EH＝（6﹣x），由题意：x•（6﹣x）＝8，解得x＝4或2，∴BE＝2或4．故答案为A或B，9，2或4．3、在△ABC中，∠ABC＝90°，ABnBC=，M是BC上一点，连接AM．（1）如图1，若n＝1，N是AB延长线上一点，CN与AM垂直，求证：BM＝BN．（2）过点B作BP⊥AM，P为垂足，连接CP并延长交AB于点Q．①如图2，若n＝1，求证：CP BMPQ BQ=．②如图3，若M是BC的中点，求证：∠BPQ ＝∠BAC．3、【解答】（1）证明：如图1中，延长AM交CN于点H．∵AM⊥CN，∴∠AHC＝90°，∵∠ABC＝90°，∴∠BAM+∠AMB＝90°，∠BCN+∠CMH＝90°，∵∠AMB＝∠CMH，∴∠BAM＝∠BCN，∵BA＝BC，∠ABM＝∠CBN＝90°，∴△ABM≌△CBN（ASA），∴BM＝BN．（2）①证明：如图2中，作CH∥AB交BP的延长线于H．∵BP⊥AM，∴∠BPM＝∠ABM＝90°，∵∠BAM+∠AMB＝90°，∠CBH+∠BMP＝90°，∴∠BAM＝∠CBH，∵CH∥AB，∴∠HCB+∠ABC＝90°，∵∠ABC＝90°，∴∠ABM＝∠BCH＝90°，∵AB＝BC，∴△ABM≌△BCH（ASA），∴BM＝CH，∵CH ∥BQ ， ∴＝＝．②简解：(射影定理)证2BM PM AM = 由BM =CM 得2CM PM AM = 则△PMC ∽△CMA 可得∠BPQ ＝∠BAC4、已知：矩形OABC 的顶点O 在平面直角坐标系的原点，边OA 、OC 分别在x 、y 轴的正半轴 上，且OA ＝3cm ，OC ＝4cm ，点M 从点A 出发沿AB 向终点B 运动，点N 从点C 出发沿CA 向终点A 运动，点M 、N 同时出发，且运动的速度均为1cm /秒，当其中一个点到达终点时，另一点即停止运动．设运动的时间为t 秒． （1）当点N 运动1秒时，求点N 的坐标；（2）试求出多边形OAMN 的面积S 与t 的函数关系式；（3）t 为何值时，以△OAN 的一边所在直线为对称轴翻折△OAN ，翻折前后的两个三角形所组成的四边形为菱形？4、【解答】解：（1）∵t ＝1∴CN ＝1，AM ＝1 过N 作NE ⊥y 轴，作NF ⊥x 轴 ∴△CEN ∽△COA ，∴，即，∴EN ＝．（1分） 由勾股定理得：，，∴．（2分）（2）由（1）得，∴∴N 点坐标为． ∵多边形OAMN 由△ONA 和△AMN 组成 ∴＝（3分） ＝（4分） ∴多边形OAMN 的面积S ＝．（0≤t≤4）（5分）（3）①直线ON为对称轴时，翻折△OAN得到△OA′N，此时组成的四边形为OANA′，当AN＝A′N＝A′O＝OA，四边形OANA’是菱形．即AN＝OA，∴5﹣t＝3∴t＝2．（6分）②直线OA为对称轴时，翻折△OAN得到△OAN′，此时组成的四边形为ONAN′，连接NN′，交OA于点G．当NN′与OA互相垂直平分时，四边形ONAN′是菱形．即OA⊥NN′，OG＝AG＝，∴NG∥CO，∴点N是AC的中点，∴CN＝，∴（7分）③直线AN为对称轴时，翻折△OAN得到△O′AN，此时组成的四边形为ONO′A，连接OO’，交AN于点H．当OO′与AN互相垂直平分时，四边形ONO’A是菱形．即OH⊥AC，AH＝NH＝，由面积法可求得OH＝，在Rt△OAH中，由勾股定理得，AH＝．∴，∴．（8分）综上所述，t的值为．5、已知：如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝3cm，点P由B点出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为2cm/s；点Q由A点出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为cm/s；若设运动的时间为t（s）（0＜t＜3），解答下列问题：（1）如图①，连接PC，当t为何值时△APC∽△ACB，并说明理由；（2）如图②，当点P，Q运动时，是否存在某一时刻t，使得点P在线段QC的垂直平分线上，请说明理由；（3）如图③，当点P，Q运动时，线段BC上是否存在一点G，使得四边形PQGB为菱形？若存在，试求出BG长；若不存在请说明理由．5、【解答】解：（1）在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝3cm，∴AB＝6，由运动知，BP＝2t，AQ＝t，∴AP＝6﹣2t，∵△APC∽△ACB，∴，∴，∴t＝；（2）存在，理由：如图②，由运动知，BP＝2t，AQ＝t，∴AP＝6﹣2t，CQ＝3﹣t，∵点P是CQ的垂直平分线上，∴QM＝CM＝CQ＝（3﹣t）＝（3﹣t），∴AM＝AQ+QM＝t+（3﹣t）＝（t+3）过点P作PM⊥AC，∵∠ACB＝90°，∴PM∥BC，∴，∴∴t＝1（3）不存在，理由：由运动知，BP＝2t，AQ＝t，∴AP＝6﹣2t，假设线段BC上是存在一点G，使得四边形PQGB为平行四边形，∴PQ∥BG，PQ＝BG，∴△APQ∽△ABC，∴，∴，∴t＝，PQ＝，∴BP＝2t＝3，∴PQ≠BP，∴平行四边形PQGB不可能是菱形．即：线段BC上不存在一点G，使得四边形PQGB为菱形．6、如图，已知菱形ABCD中，AB＝5，点E是BC边上一点（不与B，C重合），以BE为边构造菱形BEFG，使点G落在AB的延长线上，连接BD，GE，射线FE交BD于点H．（1）求证：四边形BGEH是平行四边形；（2）请从下面A，B两题中任选一题作答．我选择A题．A．若四边形BGEH为菱形，则BD的长为5．B．连接HC，CF，BF，若BD＝6，且四边形BHCF为矩形，则CF的长为3．6、【解答】（1）证明：∵四边形ABCD和四边形BEFG是菱形，∴CD∥AG∥FH，BC∥GF，∠ABD＝∠ABC，∠BGE＝∠BGF，∴∠ABC＝∠BGF，∴∠ABD＝∠BGE，∴BH∥GE，∵EH∥BG，∴四边形BGEH是平行四边形；（2）解：A、∵四边形ABCD和四边形BGEH为菱形，∴AB＝AD，∠ABD＝∠CBD＝∠GBE＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴BD＝AB＝5；故答案为：A，5；B、如图所示：∵四边形BHCF为矩形，∴CE＝BE，∵EH∥BG，∴EH∥CD，∴EH是△BCD的中位线，∴BH＝BD＝3，∴CF＝3；故答案为：3；8、如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣4，2），点B在第一象限，AB平行于x轴且AB＝5．（1）点B的坐标为（1，2）．（2）如图1，过点A作AC⊥x轴于C，在x轴上是否存在点D，使得△AOC与△BOD 相似？（3）如图2，将△AOB折叠，使得点A刚好落在O处，此时折痕交AB于点D，交AO 于点E，在直线AO上有两个动点P，Q（点P在点Q的左侧），且线段PQ＝，求四边形BDPQ的周长最小值．7、【解答】解：（1）∵点A（﹣4，2），点B在第一象限，AB平行于x轴且AB＝5，∴点B（1，2），故答案为：B（1，2）；（2）如图1，过点B作BD⊥CO，则点D（1，0），∴OD＝1，BD＝2，∵AC⊥x轴，点A（﹣4，2），∴AC＝2，CO＝4，∴，且∠ACO＝∠ODB＝90°，∴△ACO∽△ODB，∴当点D为（1，0）时，△AOC与△BOD相似；∵△ACO∽△ODB，∴∠AOC＝∠OBD，∠CAO＝∠BOD，∵∠AOC+∠CAO＝90°，∴∠AOC+∠BOD＝90°，∴AO⊥BO，∵AC＝2，CO＝4，∴AO＝＝＝2，∵OD＝1，BD＝2，∴OB＝＝＝，过点B作BD'⊥OB，交x轴于D'，∵∠ACO＝∠OBD'，∠BOD＝∠CAO，∴△ACO∽△OCD'，∴，∴OD'＝＝5，∴D'（5，0）综上所述：当点D为（1，0）或（5，0）时，△AOC与△BOD相似；（3）连接DO，∵将△AOB折叠，使得点A刚好落在O处，∴AD＝DO，∵DN2+ON2＝DO2，∴DN2+4＝（4﹣DN）2，∴DN＝，∴点D坐标（﹣，2），∴BD＝2+＝，∵四边形BDPQ的周长＝BD+PQ+PD+BQ＝++PD+BQ，∴当PD+BQ最小时，四边形BDPQ的周长有最小值，作点B关于AO的对称点B'（﹣1，﹣2），过点D作DH∥AO，且DH＝，∴H（，1），∴B'H为PD+BQ的最小值，∴B'H＝＝，∴四边形BDPQ的周长最小值＝++＝．8、如图1，已知四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点M是BC边的中点，过点M作ME∥AC交BD于点E，作MF∥BD交AC于点F．（1）如图2，若四边形ABCD是菱形，求证：四边形OEMF是矩形；（2）如图3，若四边形ABCD是矩形，则四边形OEMF是菱形（在横线上填一个特殊平行四边形的名称）（3）如图4，若四边形ABCD是矩形，点M是BC延长线上的一个动点，点F落在AC的延长线上，点E落在线段OD上，其余条件不变，写出OB，ME，MF三条线段之间存在的数量关系，并说明理由．8、【解答】证明：（1）如图2，∵ME∥AC，MF∥BD，∴四边形OEMF是平行四边形，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠BOC=90°，∴▱OEMF是矩形；（2）如图3，若四边形ABCD是矩形，则四边形OEMF是菱形，理由是：由（1）得：四边形OEMF是平行四边形，∵四边形ABCD是矩形，∴OB=BD，OC=AC，AC=BD，∴OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，∵EM∥OC，∴∠EMB=∠OCB，∴∠EMB=∠OBC，∴BE=EM，∵BM=MC，EM∥OC，∴BE=OE，∴OE=EM，∴▱OEMF是菱形；故答案为：菱形；（3）如图4，ME=OB+MF，理由是：由（2）得：OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，∵MF∥BE，∴∠OBC=∠BMF，∴∠OCB=∠BMF，∵∠OCB=∠FCM，∴∠FCM=∠BMF，∴FC═FM，由（1）得四边形OEMF是平行四边形，∴OF=EM，∵OF=OC+FC=OB+FM，∴ME=OB+MF．9、如图1，一张矩形纸片ABCD，其中AD＝8cm，AB＝6cm，先沿对角线BD折叠，点C落在点C′的位置，BC′交AD于点G．（1）求证：BG＝DG；（2）求C′G的长；（3）如图2，再折叠一次，使点D与A重合，折痕EN交AD于M，求EM的长．9、【解答】解：（1）∵沿对角线BD对折，点C落在点C′的位置，∴∠A＝∠C′，AB＝C′D，∴在△GAB和△GC′D中，，∴△GAB≌△GC′D（AAS），∴BG＝DG；（2）∵△GAB≌△GC′D，∴AG＝C′G，设C′G＝x，则GD＝BG＝8﹣x，∴x2+62＝（8﹣x）2，解得：，∴；（3）∵点D与点A重合，得折痕EN，∴DM＝4cm，∵AD＝8cm，AB＝6cm，∴在Rt△ABD中，BD＝10cm，∵EN⊥AD，AB⊥AD，∴EN∥AB，∴MN是△ABD的中位线，∴DN＝BD＝5cm，在Rt△MND中，MN＝＝3（cm），由折叠的性质可知∠NDE＝∠NDC，∵EN∥CD，∴∠END＝∠NDC，∴∠END＝∠NDE，∴EN＝ED，设EM＝x，则ED＝EN＝x+3，由勾股定理得ED2＝EM2+DM2，即（x+3）2＝x2+42，解得x＝，即EM＝cm．10、如图（1）是矩形纸片ABCD连续两次对折展开平铺后的图形，折痕分别为EF，MN，GH．（1）如图（2），连接BD，与折痕GH，EF，MN分别交于点S，O，T，求证：OE=OF；（2）如图（3），连接ET并延长交CD于点Q，连接FS并延长交AB于点P，连接EP，FQ．求证：四边形EPFQ是菱形；（3）若四边形EPFQ是正方形，则矩形ABCD需满足的条件是AB=AD．11、【解答】证明：（1）如图（2），∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，AD∥BC，∴∠ADB=∠CBD，由折叠得：G、E、M将AD四等分，∴ED=BF，∵∠EOD=∠FOB，∴△EOD≌△FOB，∴OE=OF；（2）由（1）得：△EOD≌△FOB，∴OD=OB，连接AC，∴A、O、C共线，∵GT∥EO，∴=1，∴DT=OT，∵AE=ED，OT=DT，∴ET∥AC，ET=AO，即EQ∥AC，同理得：TQ=OC，∴EQ=AC，同理得：PF=AC，PF∥AC，∴PF=EQ，PF=EQ，∴四边形EPFQ是平行四边形，∵PF∥AC，F是BC的中点，∴P为AB的中点，同理得：Q为DC的中点，∴AP=QD=AB，∵AE=AD，∠BAD=∠ADC=90°，∴△APE≌△DQE，∴PE=EQ，∴▱EPFQ是菱形．（3）当AB=AD时，四边形EPFQ是正方形，理由是：∵E是AD的中点，P是AB的中点，∴AE=AD，AP=AB，∵AB=AD，∴AP=AE，∴△APE是等腰直角三角形，∴∠AEP=45°，同理∠QED=45°，∴∠PEQ=90°，由（2）得：四边形EPFQ是菱形，∴四边形EPFQ是正方形；故答案为：AB=AD．12、如图1，在正方形ABCD的外部，分别以AB，CD为边作菱形ABEF和菱形CDGH，连接EH，FG（1）求证：FG=EH（2）请从A，B两个题目中任选一题作答A 如图2，若AB=4，∠BAF=60°，∠CDG=30°，求四边形AFGD的面积B 如图3，若∠BAF=∠CDG，求证；四边形EFGH是矩形12、【解答】解：（1）∵AB，CD为边作菱形ABEF和菱形CDGH，∴EF∥AB，EF=AB，HG∥CD，HG=CD，∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，AB=CD，∴EF∥HG，EF=HG，∴四边形EFGH是平行四边形，∴FG=EH；（2）A、如图2，延长FA，GD交于M，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD=∠ADC=90°，∴∠BAF+∠DAM=90°，∠CDG+∠ADM=90°，∵∠BAF=60°，∠CDG=30°，∴∠DAM=30°，∠ADM=60°，∴∠ADM=180°﹣∠DAM﹣∠ADM=90°在Rt△ADM中，∠DAM=30°，AD=4，∴DM=AD=2，AM=2，∵AF=DG=4，∴FM=AF +AM=4+2，MG=MD +DG=6，∴S 四边形AFGD =S △FMG ﹣S △MAD=×FM ×GM ﹣×AM ×DM=×（4+2）×6﹣×2×2=12+4，B 、方法1、如图3．连接FD ，AG （简化图），∵∠BAF=∠CDG ，∴∠DAF=∠ADG在△ADF 和△ADG 中，，∴△ADF ≌△ADG ，∴∠ADF=∠DAG ，DF=AG ，∴∠ADF=（180°﹣∠AOD ）在△AFG 和△DGF 中，， ∴△AFG ≌△DGF ，∠AGF=∠DFG ，∴∠DFG=（180°﹣∠FOG ）∵∠FOG=∠AOD ，∴∠ADF=∠DFG ，∴AD ∥FG ，∵AB ⊥AD ，∴AB ⊥FG ，∵AB ∥EF ，∴EF ⊥FG ，∴∠EFG=90°，由（1）知，四边形EFGH 为平行四边形，∴平行四边形EFGH 是矩形，即：四边形EFGH是矩形．方法2、延长FA，GD交于M，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD=∠ADC=90°，∵∠BAF=∠CDG，∴∠MAD=∠MDA，∴MA=MD，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=CD，∵四边形ABEF，CDGH是菱形，∴MF=MG，∠AFE=∠DGH，∴∠EFG=∠HGF，由（1）知，四边形EFGH是平行四边形，∴∠AFE+∠HGF=180°，∴∠EFG=90°，∴平行四边形EFGH是矩形．13、问题情境：如图1，在菱形ABCD中，点E、F分别为AB，BC边上的点，连接AF，DE相交于点O，且∠AOE=∠ADC，试探究：AF与DE的数量关系．特例探究：如图2，当菱形ABCD是正方形时，AF与DE有怎样的数量关系呢？请你直接写出结论，不必证明；类比解答：类比特例探究的结论，猜想问题情境中AF与DE的数量关系，并说明理由；拓展延伸：将图1中的菱形ABCD改为▱ABCD（如图3）其中AB=a，AD=b，点E、F、G、H 分别为AB、BC、CD、DA边上的动点，连接EG、HF相交于点O，且∠HOE=∠ADC，试探究：EG与FH的数量关系，用含a、b的式子直接写出的值，不必说明理由．13、【解答】解：（1）特例探究：AF=DE．理由：如图2，∵四边形ABCD是正方形，∴AD=BA，∠DAE=∠B=90°，∵∠AOE=∠ADC=90°，∴∠ADE+∠DAO=∠BAF+∠DAO=90°，∴∠ADE=∠BAF，∴在ADE和△BAF中，，∴△ADE≌△BAF（ASA），∴AF=DE；（2）类比解答：AF与DE的数量关系为AF=DE．理由：如图1，在AB上取点M使得DM=DA，连接DM，交AF于N，则∠DAM=∠DMA，DM=AD=AB，∵∠DAB+∠B=180°，∠DMA+∠DME=180°，∴∠DME=∠B，∵∠AOE=∠ADC，∴∠ADO+∠DAO=∠ADO+∠CDO，∴∠DAO=∠CDO，又∵CD∥AB，AD∥BC，∴∠CDO=∠MED，∠DAO=∠BFA，∴∠MED=∠BFA，在△MED和△BFA中，，∴△MED≌△BFA（AAS），∴AF=DE；（3）拓展延伸：=．如图3，过G作GM⊥AB于M，过H作HN⊥BC于N，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，DC∥AB，∵平行四边形ABCD的面积=AB×GM=BC×HN，∵AB=a，AD=b，∴=，∵GM⊥AB，HN⊥BC，∴∠GME=∠HNF=90°，∵∠ADC=∠HOE，∴∠ADC+∠HOG=∠EOH+∠HOG=180°，∴∠DHO+∠DGE=360°﹣180°=180°，∵AD∥BC，DC∥AB，∴∠NFH=∠DHF，∠DGE+∠GEM=180°，∴∠HFN=∠GEM，∴△GME∽△HNF，∴==．14、问题情境：已知，菱形ABCD，点B关于直线AD的对称点为点E，连接AE、CE，线段CE交直线AD于点F，连接BF．（1）特例研究：如图1，当∠ABC=90°时，点A、B、E在同一条直线上，求证：BF=CE．（2）类比思考：请从下列A、B两题中任选一题作答：我选择A或B题．当90°＜∠ABC＜180°时，小彬提出如下问题：A、若点E、D、C三点在同一直线上，请在下面画出符合条件的图形，并直接写出∠ABC的度数；B、如图2，若点E、D、C三点不在同一直线上，判断（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请证明；若不成立，说明理由．（3）拓展分析：请从下列A、B两题中任选一题作答，我选择A或B题．A：如图3，当∠ABC=135°时，CD的延长线交AE于点G，直接写出的值；B：当∠ABC=45°时，直线AE与CD相交于点G，请在下面画出符合条件的图形，并直接写出的值．14、【解答】解：（1）如图1中，∵∠ABC=90°，四边形ABCD是菱形，∴四边形ABCD是正方形，根据对称性可知，AE=AB，BE⊥AD，∴B、A、E共线，∵AF∥BC，∴EF=FC，∴BF=EC．（2）A、如图2中，当E、D、C共线时，由（1）可知：DE=DC，∵EB⊥AD，AD∥BC，∴EB⊥BC，∴∠EBC=90°，∴BD=DC=DE=CB，∴△BDC是等边三角形，∴∠C=60°，∵AB∥CD，∴∠ABC=180°﹣60°=120°．B、（1）中结论成立．理由如下：如图3中，设BE交AD于H．∵B、E关于AD对称，∴BE⊥AD，EH=BH，∵AD∥BC，∴BE⊥BC，∴∠EBC=90°，∵EH=HB，HF∥BC，∴EF=FC，∴BF=EC．故答案为A或B．（3）A、如图4中，作FH⊥CD于H．∵∠ABC=135°，AD∥BC，∴∠EAF=∠BAF=45°，∠ADC=135°，∠ADG=45°，∴∠AGD=90°，∵∠FHC=90°，∴∠FHC=∠EGC=90°，∴FH∥FG，∵FE=FC，∴HC=HG，∴FH=EG，∵△DFH是等腰直角三角形，∴DF=FH，∴EG=DF，∴=．B、如图5中，作FH⊥CD于H．同法可证：EG=2FH，DF=FH，∴=．故答案为A或B．15、阅读下列材料，完成任务：自相似图形定义：若某个图形可分割为若干个都与它相似的图形，则称这个图形是自相似图形．例如：正方形ABCD中，点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边的中点，连接EG，HF交于点O，易知分割成的四个四边形AEOH、EBFO、OFCG、HOGD均为正方形，且与原正方形相似，故正方形是自相似图形．任务：（1）图1中正方形ABCD分割成的四个小正方形中，每个正方形与原正方形的相似比为；（2）如图2，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，小明发现△ABC也是“自相似图形”，他的思路是：过点C作CD⊥AB于点D，则CD将△ABC分割成2个与它自己相似的小直角三角形．已知△ACD∽△ABC，则△ACD与△ABC的相似比为；（3）现有一个矩形ABCD是自相似图形，其中长AD=a，宽AB=b（a＞b）．请从下列A、B两题中任选一条作答：我选择A或B题．A：①如图3﹣1，若将矩形ABCD纵向分割成两个全等矩形，且与原矩形都相似，则a=（用含b的式子表示）；②如图3﹣2若将矩形ABCD纵向分割成n个全等矩形，且与原矩形都相似，则a=（用含n，b的式子表示）；B：①如图4﹣1，若将矩形ABCD先纵向分割出2个全等矩形，再将剩余的部分横向分割成3个全等矩形，且分割得到的矩形与原矩形都相似，则a=或（用含b的式子表示）；②如图4﹣2，若将矩形ABCD先纵向分割出m个全等矩形，再将剩余的部分横向分割成n个全等矩形，且分割得到的矩形与原矩形都相似，则a=b 或b（用含m，n，b的式子表示）．15、【解答】解：（1）∵点H是AD的中点，∴AH=AD，∵正方形AEOH∽正方形ABCD，∴相似比为：==；故答案为：；（2）在Rt△ABC中，AC=4，BC=3，根据勾股定理得，AB=5，∴△ACD与△ABC相似的相似比为：=，故答案为：；（3）A、①∵矩形ABEF∽矩形FECD，∴AF：AB=AB：AD，即a：b=b：a，∴a=b；故答案为：②每个小矩形都是全等的，则其边长为b和a，则b：a=a：b，∴a=b；故答案为：B、①如图2，由①②可知纵向2块矩形全等，横向3块矩形也全等，∴DN=b，Ⅰ、当FM是矩形DFMN的长时，∵矩形FMND∽矩形ABCD，∴FD：DN=AD：AB，即FD：b=a：b，解得FD=a，∴AF=a﹣a=a，∴AG===a，∵矩形GABH∽矩形ABCD，∴AG：AB=AB：AD即a：b=b：a得：a=b；Ⅱ、当DF是矩形DFMN的长时，∵矩形DFMN∽矩形ABCD，∴FD：DN=AB：AD即FD：b=b：a解得FD=，∴AF=a﹣=，∴AG==，∵矩形GABH∽矩形ABCD，∴AG：AB=AB：AD即：b=b：a，得：a=b；故答案为：或；②如图3，由①②可知纵向m块矩形全等，横向n块矩形也全等，∴DN=b，Ⅰ、当FM是矩形DFMN的长时，∵矩形FMND∽矩形ABCD，∴FD：DN=AD：AB，即FD：b=a：b，解得FD=a，∴AF=a﹣a，∴AG===a，∵矩形GABH∽矩形ABCD，∴AG：AB=AB：AD即a：b=b：a得：a=b；Ⅱ、当DF是矩形DFMN的长时，∵矩形DFMN∽矩形ABCD，∴FD：DN=AB：AD即FD：b=b：a解得FD=，∴AF=a﹣，∴AG==，∵矩形GABH∽矩形ABCD，∴AG：AB=AB：AD即：b=b：a，得：a=b；故答案为：b或b．16、综合与实践问题情境：正方形折叠中的数学已知正方形纸片ABCD中，AB＝4，点E是AB边上的一点，点G是CE的中点，将正方形纸片沿CE所在直线折叠，点B的对应点为点B′．（1）如图1，当∠BCE＝30°时，连接BG，B′G，求证：四边形BEB′G是菱形；深入探究：（2）在CD边上取点F，使DF＝BE，点H是AF的中点，再将正方形纸片ABCD沿AF 所在直线折叠，点D的对应点为D′，顺次连接B′，G，D′，H，B'，得到四边形B′GD′H．请你从A，B两题中任选一题作答，我选择A或B题．A题：如图2，当点B'，D′均落在对角线AC上时，①判断B′G与D′H的数量关系与位置关系，并说明理由；②直写出此时点H，G之间的距离．B题：如图3，点M是AB的中点，MN∥BC交CD于点N，当点B'，D′均落在MN上时，①判断B′G与D′H的数量关系与位置关系，并说明理由；②直接写出此时点H，G之间的距离．16、【解答】（1）证明：如图1中，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°，由折叠可知：BE＝BE′，∠CB′E＝∠ABC＝90°，在Rt△BCE和Rt△ECB′中，∵EG＝GC，∴BG＝EC，GB′＝EC，∴BG＝GB′，在Rt△BCE中，∵∠BCE＝30°，∴BE＝CE，∴BE＝EB′＝B′G＝BG，∴四边形BEB′G是菱形．（2）选A或B．故答案为A或B．A题：①结论：B′G＝D′H，B′G∥D′H．理由：如图2中，由（1）得到：B′G＝CE，∵点G是CE的中点，∴CG＝CE，∴B′G＝CG，∴∠1＝∠2，∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠D＝90°，AD＝BC，∵BE＝DF，∴△BCE≌△ADF（SAS），∴CE＝CF，∠3＝∠4，由折叠可知：∠D＝∠AD′F＝90°，∠2＝∠3，∠4＝∠5，∴∠2＝∠5＝∠1，在Rt△AD′F中，∵H是AF的中点，∴D′H＝AH＝AF，∴B′G＝D′H，∠5＝∠6，∴∠1＝∠6，∴B′G∥D′H．②连接GH，则四边形AEGH是平行四边形，∴AE＝GH，设BE＝EB′＝m，则AE＝m，∴m+m＝4，∴m＝4﹣4，∴GH＝AE＝8﹣4B题：①结论：B′G＝D′H，B′G∥D′H．理由：由（1）得到：B′G＝CE，∵点G是CE的中点，∴CG＝CE，∴B′G＝CG，∴∠1＝∠2，∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠D＝90°，AD＝BC，AD∥BC，∵BE＝DF，∴△BCE≌△ADF（SAS），∴CE＝CF，∠3＝∠4，由折叠可知：∠D＝∠AD′F＝90°，∠2＝∠3，∠4＝∠5，∴∠2＝∠5＝∠1，在Rt△AD′F中，∵H是AF的中点，∴D′H＝AH＝AF，∴B′G＝D′H，∠5＝∠6，∴∠1＝∠6，∵MN∥BC，∴MN∥BC∥AD，∴∠AD′M＝∠DAD′＝2∠4，∠CB′N＝∠BCB′＝2∠3，∴∠AD′M＝∠CB′N，。

矩形的性质一．选择题（共13小题）1．下列结论中，菱形具有而矩形不一定具有的性质是（）A．对边相等B．对角相等C．对角线互相垂直D．对角线相等2．如图，矩形ABCD中，AD＝6，DC＝3，将长等于宽2倍的可变矩形EFGH（BE＞EF）如图放置，使E、B、C在同一直线上，则阴影部分面积为（）cm2．A．8B．9C．8D．93．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，CD＝3，若AE垂直平分OB于点E，则BC的长是（）A．4B．3C．6D．54．矩形ABCD与ECFG如图放置，点B，C，F共线，点C，E，D共线，连接AG，取AG的中点H，连接EH．若AB＝CF＝4，BC＝CE＝2，则EH＝（）A．B．2C．D．第2题第3题第4题5．如图，在矩形ABCD中，AD＝AB，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE于点H，连接BH并延长交CD 于点F，连接DE交BF于点O，下列结论：①AE＝AD；②∠AED＝∠CED；③BH＝HF；④BC﹣CF＝2HE，其中正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个6．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，EO⊥AC于点O，交BC于点E，若△ABE的周长为5，AB＝2，则AD的长为（）A．2B．2.5C．3D．47．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P是AD边上的一个动点，过点P分别作PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F．若AB＝6，BC＝8，则PE+PF的值为（）A．10B．9.6C．4.8D．2.4第5题第6题第7题8．如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，若AB＝6，AD＝8，则四边形ABOM的周长是（）A．14B．19C．18D．169．如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，∠ABD的平分线分别交AD，AC于点E，F．若AB＝AO＝6，则图中阴影部分的面积为（）A．B．C．D．10．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DF垂直平分OC，交AC于点E，交BC于点F，连接AF，若AB＝．则AF的长为（）A．B．2C．3D．第8题第9题第10题11．如图，矩形ABCD，点E是AD边上的一点，将矩形沿直线BE翻折，点A落在DC边上的点F处，若AB＝10，AD＝8，则线段AE的长为（）A．3B．4C．5D．612．如图，矩形ABCD，两条对角线相交于O点，过点O作AC的垂线EF，分别交AD、BC于E、F点，连接CE，若OC＝cm，CD＝4cm，则DE的长为（）A．cm B．5cm C．3cm D．2cm13．如图，四边形OABC是矩形，A（2，1），B（0，5），点C在第二象限，则点C的坐标是（）A．（﹣1，3）B．（﹣1，2）C．（﹣2，3）D．（﹣2，4）第11题第12题第13题二．填空题（共7小题）14．如图，点E是矩形ABCD边AD上一点，点F，G，H分别是BE，BC，CE的中点，AF＝3，则GH的长为．15．如图，矩形OABC的顶点A、C分别在坐标轴上，B（8，7），D（5，0），点P是边AB上的一点，连接OP，DP，当△ODP为等腰三角形时，点BP的长度为．16．如图，矩形ABCD中，AD＝2，AB＝3，过点A、C作相距为2的平行线段AE，CF，分别交CD，AB于点E，F，则DE的长是．第14题第15题第16题17．如图，在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，∠C＝90°，在边AB、BC、AC上分别取点D、E、F使四边形DECF 为矩形，则对角线EF的长能取到的所有整数值是．18．如图，∠MON＝90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在OM、ON上，当点B在ON上移动时，点A随之移动，AB＝2，BC＝1，运动过程中，点D到点O的最大距离为．19．如图，在矩形OABC中，点B的坐标是（1，3），则矩形OABC的对角线长是．第17题第18题第19题20．如图，矩形ABCD全等于矩形BEFG，点C在BG上，连接DF，点H为DF的中点，若AB＝10，BC＝6，则CH的长为．三．解答题（共7小题）21．如图，四边形ABCD是矩形，对角线相交于点O，点E为线段AO上一点（不含端点），点F是点E关于AD 的对称点，连接CF与BD相交于点G．（1）证明：AF∥BD；（2）若OG＝1，OE＝2．求BD的长．22．如图，矩形ABCD，延长CD至点E，使DE＝CD，连接AC，AE，过点C作CF∥AE交AD的延长线于点F，连接EF．（1）求证：四边形ACFE是菱形；（2）连接BE，当AC＝4，∠ACB＝30°时，求BE的长．23．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F．（1）求证：AE＝CF；（2）若AB＝6，∠COD＝60°，求矩形ABCD的面积．24．如图，在矩形ABCD中，E是AD上一点，PQ垂直平分BE，分别交AD、BE、BC于点P、O、Q，连接BP、EQ．（1）求证：四边形BPEQ是菱形；（2）若AB＝6，F为AB的中点，OF+OB＝9，求PE的长．25．已知，如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点C作BD的平行线，过点D作AC的平行线，两线相交于点P．（1）当四边形ABCD是矩形时，证明四边形CODP是菱形；（2）当四边形ABCD是菱形时，且AC＝12，BD＝16．求点O到点P的距离．26．如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，点E是OD的中点，DF∥AC交CE的延长线于点F，连接AF．（1）求证：四边形AODF是菱形；（2）若∠AOB＝60°，AB＝2，求CF的长．27．如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，AE＝AD，作DF⊥AE于点F．（1）求证：AB＝AF；（2）连BF并延长交DE于G．①求证：EG＝DG；②若EG＝1，求矩形ABCD的面积．参考答案与试题解析一．选择题（共13小题）1．下列结论中，菱形具有而矩形不一定具有的性质是（）A．对边相等B．对角相等C．对角线互相垂直D．对角线相等【解答】解：选项A，菱形和矩形都是平行四边形，对边都相等，不符合题意；选项B，菱形和矩形都是特殊的平行四边形，对角都相等，不符合题意；选项C，菱形的对角线互相平分且互相垂直，而矩形的对角线相等且互相平分但不垂直，符合题意；选项D，矩形的对角线相等，而菱形的对角线不相等，不符合题意．故选：C．2．如图，矩形ABCD中，AD＝6，DC＝3，将长等于宽2倍的可变矩形EFGH（BE＞EF）如图放置，使E、B、C在同一直线上，则阴影部分面积为（）cm2．A．8B．9C．8D．9【解答】解：设FG＝2a，GB＝a，则S阴影＝S△AFG+S矩形ABCD+S矩形EFGB﹣S△ADC﹣S△FEC＝AG•FG+FG•BG+AD•DC﹣EF•（EB+BC）﹣AD•DC＝（3﹣a）•2a+2a•a+6×3﹣a•（2a+6）﹣×6×3＝3a﹣a2+2a2+18﹣a2﹣3a﹣9＝9，故选：B．3．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，CD＝3，若AE垂直平分OB于点E，则BC的长是（）A．4B．3C．6D．5【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴OB＝OD，OA＝OC，AC＝BD，AB＝CD，∠BCD＝90°，∴OA＝OB，∵AE垂直平分OB，∴AB＝AO，∵CD＝3，∴AO＝AB＝OB＝3，∴BD＝2OB＝6，在Rt△BCD中，∴BC＝＝＝3；故选：B．4．矩形ABCD与ECFG如图放置，点B，C，F共线，点C，E，D共线，连接AG，取AG的中点H，连接EH．若AB＝CF＝4，BC＝CE＝2，则EH＝（）A．B．2C．D．【解答】解：连接DH，并延长交EG于N，∵AD∥EG，∴∠DAH＝∠AGN，∵点H是AG的中点，∴AH＝HG，在△ADH和△GNH中，，∴△ADH≌△GNH（ASA），∴DH＝HN，NG＝AD＝2，∵AB＝CD＝EG＝4，BC＝CE＝2，∴DE＝EN＝2，又∵∠DEN＝90°，∴DN＝DE＝2，∵DE＝EN，DH＝HN，∠DEN＝90°，∴EH＝DN＝，故选：A．5．如图，在矩形ABCD中，AD＝AB，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE于点H，连接BH并延长交CD 于点F，连接DE交BF于点O，下列结论：①AE＝AD；②∠AED＝∠CED；③BH＝HF；④BC﹣CF＝2HE，其中正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【解答】解：①设AB＝a，则AD＝a，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝45°，∴BA＝BE．在Rt△ABE中，AE＝a，∴AE＝AD，故①正确；②∵DH⊥AH，∠DAE＝45°，AD＝a，∴DH＝AH＝a，∴DH＝DC，∴DE平分∠AEC，∴∠AED＝∠CED，故②正确；③∵AH＝AB＝a，∴∠ABH＝∠AHB，∵AB∥CD，∴∠ABF+∠DFB＝180°，又∠AHB+∠BHE＝180°，∴∠BHE＝∠HFD，∠HEB＝∠FDH＝45°，在△DHF和△EBH中，，∴△DHF≌△EBH（AAS），∴BH＝HF，故③正确；④∵△BHE≌△HFD，∴HE＝DF，HE＝AE﹣AH＝a﹣a，∴CF＝a﹣（a﹣a）＝2a﹣a，∵BC＝a，CF＝2a﹣a，HE＝a﹣a，∴BC﹣CF＝2HE，故④正确；综上所述，正确的是①②③④共4个，故选：A．6．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，EO⊥AC于点O，交BC于点E，若△ABE的周长为5，AB＝2，则AD的长为（）A．2B．2.5C．3D．4【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AO＝CO，BC＝AD，∵EO⊥AC，∴AE＝EC，∵△ABE的周长为5，∴AB+AE+BE＝5，∴2+BC＝5，∴BC＝3＝AD，故选：C．7．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P是AD边上的一个动点，过点P分别作PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F．若AB＝6，BC＝8，则PE+PF的值为（）A．10B．9.6C．4.8D．2.4【解答】解：连接OP，∵矩形ABCD的两边AB＝6，BC＝8，∴S矩形ABCD＝AB•BC＝48，OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，AC＝＝10，∴S△AOD＝S矩形ABCD＝12，OA＝OD＝5，∴S△AOD＝S△AOP+S△DOP＝OA•PE+OD•PF＝OA（PE+PF）＝×5×（PE+PF）＝12，∴PE+PF＝＝4.8．故选：C．8．如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，若AB＝6，AD＝8，则四边形ABOM的周长是（）A．14B．19C．18D．16【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝8，AB＝CD＝6，∠ABC＝90°，∴AC＝＝10，∵AO＝OC，∴BO＝AC＝5，∵AO＝OC，AM＝MD＝4，∴OM＝CD＝3，∴四边形ABOM的周长为AB+OB+OM+AM＝6+5+3+4＝18．故选：C．9．如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，∠ABD的平分线分别交AD，AC于点E，F．若AB＝AO＝6，则图中阴影部分的面积为（）A．B．C．D．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AO＝BO＝CO＝DO，∵AB＝AO＝6，∴AB＝AO＝BO，∴△ABO是等边三角形，∴∠ABO＝60°，∴∠ADB＝30°，∵BE平分∠ABD，∴∠ABE＝∠DBE＝∠ADB＝30°，AF＝FO，∴BE＝DE，BE＝2AE，∵AB2+AE2＝BE2，∴AE＝2，BE＝4＝DE，∴阴影部分的面积＝×DE×AB﹣×AB2＝×4×6﹣＝，故选：C．10．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DF垂直平分OC，交AC于点E，交BC于点F，连接AF，若AB＝．则AF的长为（）A．B．2C．3D．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝，AO＝CO＝BO＝DO，∵DF垂直平分OC，∴OD＝DC，∴OD＝DC＝OC，∴△ODC是等边三角形，∴OD＝OC＝CD＝，∴AC＝2，∴BC＝＝＝3，∵△ODC是等边三角形，DE⊥AC，∴∠CDE＝∠ODE＝30°，∴DC＝CF＝，∴CF＝1，∴BF＝2，∴AF＝＝＝，故选：A．11．如图，矩形ABCD，点E是AD边上的一点，将矩形沿直线BE翻折，点A落在DC边上的点F处，若AB＝10，AD＝8，则线段AE的长为（）A．3B．4C．5D．6【解答】解：∵△EFB是由△EAB沿直线BE翻折得到，∴△EFB≌△EAB，则AE＝EF，BF＝AB＝10．∵四边形ABCD是矩形，∴BC＝AD＝8，CD＝AB＝10，∠C＝∠D＝90°．在Rt△BCF中，CF＝＝6，∴DF＝DC﹣CF＝10﹣6＝4．设AE＝x，则EF＝AE＝x，DE＝8﹣x，在Rt△DEF中，∵DE2+DF2＝EF2，∴（8﹣x）2+42＝x2．解得：x＝5．则AE＝5．故选：C．12．如图，矩形ABCD，两条对角线相交于O点，过点O作AC的垂线EF，分别交AD、BC于E、F点，连接CE，若OC＝cm，CD＝4cm，则DE的长为（）A．cm B．5cm C．3cm D．2cm【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝90°，OA＝OC，AC＝2OC＝4，∴AD＝＝＝8，∵EF⊥AC，∴AE＝CE，设AE＝CE＝x，则DE＝8﹣x，在Rt△CDE中，由勾股定理得：42+（8﹣x）2＝x2，解得：x＝5，∴DE＝8﹣5＝3（cm）；故选：C．13．如图，四边形OABC是矩形，A（2，1），B（0，5），点C在第二象限，则点C的坐标是（）A．（﹣1，3）B．（﹣1，2）C．（﹣2，3）D．（﹣2，4）【解答】解：过C作CE⊥y轴于E，过A作AF⊥y轴于F，∴∠CEO＝∠AFB＝90°，∵四边形ABCO是矩形，∴AB＝OC，AB∥OC，∴∠ABF＝∠COE，∴△OCE≌△ABF（AAS），同理△BCE≌△OAF，∴CE＝AF，OE＝BF，BE＝OF，∵A（2，1），B（0，5），∴AF＝CE＝2，BE＝OF＝1，OB＝5，∴OE＝4，∴点C的坐标是（﹣2，4）；故选：D．二．填空题（共7小题）14．如图，点E是矩形ABCD边AD上一点，点F，G，H分别是BE，BC，CE的中点，AF＝3，则GH的长为3．【解答】解：在矩形ABCD中，∠BAD＝90°，∵F为BE的中点，AF＝3，∴BE＝2AF＝6．∵G，H分别为BC，EC的中点，∴GH＝BE＝3，故答案为3．15．如图，矩形OABC的顶点A、C分别在坐标轴上，B（8，7），D（5，0），点P是边AB上的一点，连接OP，DP，当△ODP为等腰三角形时，点BP的长度为3．【解答】解：∵四边形OABC是矩形，B（8，7），∴OA＝BC＝8，OC＝AB＝7，∵D（5，0），∴OD＝5，∵点P是边AB的一点，∴OD＝DP＝5，∵AD＝3，∴P A＝＝4，∴PB＝3故答案为：3．16．如图，矩形ABCD中，AD＝2，AB＝3，过点A、C作相距为2的平行线段AE，CF，分别交CD，AB于点E，F，则DE的长是．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠F AH＝∠AED，∵∠ADE＝∠AHF＝∠DAF＝90°，AD＝2，FH＝2，∴AD＝FH，∴△ADE≌△F AH（AAS），∴AF＝AE，∵AE∥CF，AF∥EC，∴四边形AECF是平行四边形，∵AF＝AE，∴四边形AECF是菱形，设DE＝x，则BF＝x，CE＝CF＝3﹣x，在Rt△BCF中，（3﹣x）2＝x2+22，解得x＝；故答案为：．17．如图，在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，∠C＝90°，在边AB、BC、AC上分别取点D、E、F使四边形DECF 为矩形，则对角线EF的长能取到的所有整数值是5或6或7．【解答】解：如图，连接CD，∵AC＝6，BC＝8，∠C＝90°，∴AB＝＝10，∵四边形DECF为矩形，∴CD＝EF，当CD⊥AB时，CD有最小值，此时S△ABC＝×AC×BC＝×AB×CD，∴CD＝＝4.8，∴4.8≤CD＜8，∴4.8≤EF＜8，∴整数EF＝5或6或7，故答案为：5或6或7．18．如图，∠MON＝90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在OM、ON上，当点B在ON上移动时，点A随之移动，AB＝2，BC＝1，运动过程中，点D到点O的最大距离为+1．【解答】解：如图，取AB的中点E，连接OD、OE、DE，∵∠MON＝90°，AB＝2，∴OE＝AE＝AB＝1，∵BC＝1，四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝1，∴DE＝＝，根据三角形的三边关系，OD≤OE+DE，∴当OD过点E时，等号成立，DO的值最大，最大值为+1．故答案为：+1．19．如图，在矩形OABC中，点B的坐标是（1，3），则矩形OABC的对角线长是．【解答】解：连接OB，AC，过B作BM⊥x轴于M，∵点B的坐标是（1，3），∴OM＝1，BM＝3，由勾股定理得：OB＝，∵四边形OABC是矩形，∴AC＝OB，∴AC＝，故答案为：．20．如图，矩形ABCD全等于矩形BEFG，点C在BG上，连接DF，点H为DF的中点，若AB＝10，BC＝6，则CH的长为2．【解答】解：连接GH并延长GH交CD于Q，如图所示：∵矩形ABCD全等于矩形BEFG，∴AB＝CD＝BG＝10，BC＝FG＝6，FG∥AE∥CD，∠GCQ＝90°，∴∠HFG＝∠HDQ，∵点H为DF的中点，∴HF＝HD，在△HFG和△HDQ中，，∴△HFG≌△HDQ（ASA），∴DQ＝FG＝6，HG＝HQ，CG＝BG﹣BC＝10﹣6＝4，CQ＝CD﹣DQ＝10﹣6＝4，∴△GCQ是等腰直角三角形，∴GQ＝CQ＝4，在Rt△GCQ中，HG＝HQ，∴CH＝GQ＝×4＝2，故答案为：2．三．解答题（共7小题）21．如图，四边形ABCD是矩形，对角线相交于点O，点E为线段AO上一点（不含端点），点F是点E关于AD 的对称点，连接CF与BD相交于点G．（1）证明：AF∥BD；（2）若OG＝1，OE＝2．求BD的长．【解答】解：（1）∵点F是点E关于AD的对称点，∴∠EAD＝∠F AD，AE＝AF，∵四边形ABCD是矩形，∴∠OAD＝∠ODA，∴∠F AD＝∠ODA，∴AF∥BD；（2）∵O是矩形ABCD的对角线的交点，∴O是AC的中点，∵AF∥BD，∴G为CF的中点，∴OG是△CAF的中位线，∴AF＝2OG＝2×1＝2，∴AE＝2，∵OE＝2，∴OA＝4，∴AC＝2OA＝8，∴BD＝AC＝8．22．如图，矩形ABCD，延长CD至点E，使DE＝CD，连接AC，AE，过点C作CF∥AE交AD的延长线于点F，连接EF．（1）求证：四边形ACFE是菱形；（2）连接BE，当AC＝4，∠ACB＝30°时，求BE的长．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝90°，∴AF⊥CE，又∵CD＝DE，∴AE＝AC，EF＝CF，∴∠EAD＝∠CAD，∵AE∥CF，∴∠EAD＝∠AFC，∴∠CAD＝∠CF A，∴AC＝CF，∴AE＝EF＝AC＝CF，∴四边形ACFE是菱形；（2）∵AC＝4，∠ACB＝30°，∠ABC＝90°，∴AB＝AC＝2，BC＝AB＝2，∴CD＝AB＝2＝DE，∴BE＝＝＝2．23．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F．（1）求证：AE＝CF；（2）若AB＝6，∠COD＝60°，求矩形ABCD的面积．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，∠ABC＝90°，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF（AAS），∴AE＝CF；（2）解：∵OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，∴OA＝OB，∵∠AOB＝∠COD＝60°，∴△AOB是等边三角形，∴OA＝AB＝6，∴AC＝2OA＝12，在Rt△ABC中，BC＝＝＝6，∴矩形ABCD的面积＝AB•BC＝6×6＝36．24．如图，在矩形ABCD中，E是AD上一点，PQ垂直平分BE，分别交AD、BE、BC于点P、O、Q，连接BP、EQ．（1）求证：四边形BPEQ是菱形；（2）若AB＝6，F为AB的中点，OF+OB＝9，求PE的长．【解答】证明：（1）∵PQ垂直平分BE，∴PB＝PE，OB＝OE，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠PEO＝∠QBO，在△BOQ与△EOP中，，∴△BOQ≌△EOP（ASA），∴PE＝QB，又∵AD∥BC，∴四边形BPEQ是平行四边形，又∵QB＝QE，∴四边形BPEQ是菱形；（2）∵点F为AB的中点，OB＝OE，OF+OB＝9，∴AE＝2OF，BE＝2OB，AE+BE＝18设AE＝x，BE＝18﹣x，∵BE2＝AB2+AE2，∴（18﹣x）2＝36+x2，∴x＝8∵AB2+AP2＝PB2，∴36+（8﹣PB）2＝PB2，∴PB＝∴PE＝25．已知，如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点C作BD的平行线，过点D作AC的平行线，两线相交于点P．（1）当四边形ABCD是矩形时，证明四边形CODP是菱形；（2）当四边形ABCD是菱形时，且AC＝12，BD＝16．求点O到点P的距离．【解答】（1）证明：∵DP∥AC，CP∥BD∴四边形CODP是平行四边形，∵四边形ABCD是矩形，∴BD＝AC，OD＝BD，OC＝AC，∴OD＝OC，∴四边形CODP是菱形；(2)解：∵四边形ABCD是菱形，∴∠DOC＝90°,∴平行四边形OCPD是矩形，如图：连接OP,则OP＝CD,∵AC＝12,BD＝16,∴OC＝6,OD＝8,∴CD＝＝＝10,∴OP＝10．26．如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，点E是OD的中点，DF∥AC交CE的延长线于点F，连接AF．（1）求证：四边形AODF是菱形；（2）若∠AOB＝60°，AB＝2，求CF的长．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，OA＝OC，OB＝OD，∴OA＝OC＝OD＝OB，∵DF∥AC，∴∠FDE＝∠COE，∵点E是OD的中点，∴DE＝OE，在△FED和△CEO中，，∴△FED≌△CEO（ASA），∴DF＝OC，∵OA＝OC，∴DF＝AO，∵DF∥AC，∴四边形AODF是平行四边形，∵AO＝OD，∴四边形AODF是菱形；（2）解：∵∠AOB＝60°，∴∠DOC＝∠AOB＝60°，∵OD＝OC，∴△DOC是等边三角形，∵AB＝CD＝2，∴AO＝CO＝DC＝2，∵四边形AODF是菱形，∴AF＝OD＝2，∵E为OD中点，∴∠CEO＝90°，∴∠FCA＝90°﹣∠DOC＝30°，∵DF∥AC，∴∠DFC＝∠FCA＝30°，∵∠DOC＝60°，∴∠AOD＝180°﹣60°＝120°，∵四边形AODF是菱形，∴∠AFD＝∠AOD＝120°，∴∠AFC＝120°﹣30°＝90°，由勾股定理得：CF＝＝＝2．27．如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，AE＝AD，作DF⊥AE于点F．（1）求证：AB＝AF；（2）连BF并延长交DE于G．①求证：EG＝DG；②若EG＝1，求矩形ABCD的面积．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，∠DAB＝∠ABE＝90°，∴∠DAE＝∠AEB，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE＝45°，∴∠BAE＝∠AEB＝45°，∴AB＝EB，∵DF⊥AE，∴∠AFD＝90°，∴∠ABE＝∠AFD＝90°，∵AE＝AD，∴△ABE≌△AFD（AAS），∴AB＝AF；（2）①证明：∵AE＝AD，∠EAD＝45°，∴∠AED＝∠ADE＝67.5°，∴∠FDG＝22.5°，∵AB＝AF，∠BAF＝45°，∴∠AFB＝67.5°，∴∠EFG＝67.5°，∴∠EFG＝∠AED，∴FG＝EG，∠DFG＝22.5°，∴∠DFG＝∠FDG，∴FG＝DG，∴EG＝DG；②解：∵EG＝1，∴ED＝2，设AB＝x，则AE＝，DF＝AF＝x，∴EF＝﹣x，∴（﹣x）2+x2＝22，解得x2＝，∴矩形ABCD的面积＝＝。