新北师大九年级数学矩形的性质与判定
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北师大版九年级数学上册说课稿:1.2 矩形的性质与判定一. 教材分析《矩形的性质与判定》是北师大版九年级数学上册第一章第二节的内容。
本节内容是在学生已经掌握了四边形的性质,平行四边形的性质和判定,以及菱形、正方形的性质和判定基础上进行学习的。
通过本节内容的学习,使学生掌握矩形的性质和判定方法,培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何基础知识,对平行四边形的性质和判定,以及菱形、正方形的性质和判定有一定的了解。
但是,对于矩形的性质和判定,他们可能还比较陌生。
因此,在教学过程中,我将以学生为主体,引导他们通过观察、思考、讨论,自主探索矩形的性质和判定方法。
三. 说教学目标1.知识与技能:掌握矩形的性质,学会用矩形的性质解决几何问题;理解并掌握矩形的判定方法,能够运用矩形的判定方法判断一个四边形是否为矩形。
2.过程与方法:通过观察、思考、讨论,培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力;学会用归纳法、演绎法进行数学论证。
3.情感态度价值观:培养学生对数学的兴趣,激发学生学习数学的积极性;培养学生合作学习的意识,提高学生的团队协作能力。
四. 说教学重难点1.教学重点:矩形的性质和判定方法。
2.教学难点:矩形的判定方法的应用,以及如何运用矩形的性质解决几何问题。
五. 说教学方法与手段1.教学方法:采用问题驱动法、案例教学法、合作学习法、探究学习法等。
2.教学手段:利用多媒体课件、几何模型、黑板等辅助教学。
六. 说教学过程1.导入新课:通过展示生活中的矩形物体,如矩形桌子、矩形电视等,引导学生思考矩形的特征,激发学生的学习兴趣。
2.自主探究:让学生观察矩形的特点,引导学生发现矩形的性质,如矩形的对边平行且相等,矩形的对角相等等。
3.小组讨论:让学生分组讨论,归纳出矩形的性质,并学会用这些性质解决几何问题。
4.讲解判定:讲解矩形的判定方法,如对角线互相平分的四边形是矩形,有一个角是直角的平行四边形是矩形等。
1.2矩形的性质与判定知识精讲一.矩形的定义有一个角是直角的平行四边形叫做矩形,也就是长方形.二.矩形的性质矩形是特殊的平行四边形,平行四边形具有的性质它全都具有三.矩形的判定判断一个四边形是否为矩形时,需要分清是在四边形的基础上还是在平行四边形的基础上四.直角三角形的性质定理证明过程:如图,矩形ABCD中AO=CO=BO=DO=12AC=12BD在Rt△ABD中,AO是斜边BD的中线则有:AO=12 BD逆定理证明过程:边角对角线对称性平行四边形对边平行且相等对角相等邻角互补互相平分非轴对称矩形对边平行且相等四个角为直角互相平分且相等轴对称四边形平行四边形角有三个角是直角的四边形是矩形(判定定理)有一个角是直角的平行四边形是矩形(定义)对角线/ 对角线相等的平行四边形是矩形(判定定理)斜边中线定理直角三角形斜边中线等于斜边的一半逆定理如果一个三角形的一条边上的中线等于它的一半,那么这个三角形是直角三角形,且这条边所对的角为直角(不可直接使用,需证明)OCD已知:在ΔABC 中,BO 是边AC 上的中线,且BO=12AC 求证: ΔABC 是直角三角形 证明:延长BO 到D ,使DO=BO =12AC ,连接AD ,CD 。
∵BO=DO ,AO=CO∴四边形ABCD 是平行四边形 BO=12AC =12BD ∴AC =BD∴四边形ABCD 是矩形 ∴∠ACB =90°∴ΔABC 是直角三角形 五.思路点拨 矩形ABCD 中,六.易错点1.矩形的对角线相等,不一定互相垂直,如图1 2. 对角线相等的不一定是矩形,如等腰梯形,如图2 3.四边形两个角是直角,不一定是矩形,如图3图1 图2 图34.判断一个四边形是否为矩形的时候,需要分清是在四边形的基础上还是在平行四边形的基础上三点剖析一.考点:1.性质;2.判定;3.直角三角形的性质.ABCDDCBA4个直角三角形Rt △ADC ≌Rt △BCD ≌ Rt △DAB ≌Rt △CBA (两两全等)4个等腰三角形△ADO ≌△CBO △DOC ≌△AOB (两组全等)对角线将矩形面积四等分S △ADO = S △COB = S △DOC =S △AOB过对角线交点的直线将矩形面积平分S AEFB =S EDCF 矩形的问题可以转化为(1)内角均为直角,与勾股定理结合(2)利用矩形的性质,与等腰三角形、全等三角形结合,求线段长度或角度 O二.重难点:矩形的性质;矩形的判定;直角三角形斜边中线等于斜边的一半.三.易错点:1.矩形的对角线大小相等,不一定互相垂直. 2.四边形两个角是直角,不一定是矩形.性质例题1、 如图,矩形ABCD 的对角线AC ,BD 交于点O ,4cm AC =,120AOD ∠︒=,则BC 的长为( )A.43B.4C.23D.2 例题2、 如图,在Rt ABC 中,90A ∠=︒,3AB =,4AC =,P 为边BC 上一动点,PE AB ⊥于E ,PF AC ⊥于F ,则EF 的最小值为( )A.2B.115C.125D.52例题3、 如图,在矩形ABCD 中,AB=12cm ,BC=6cm ,点E 、F 分别在AB 、CD 上,将矩形ABCD 沿EF 折叠,使点A 、D 分别落在矩形ABCD 外部的点A′、D′处,则整个阴影部分图形的周长为____例题4、 如图,将矩形纸片ABCD 沿对角线BD 折叠,使点A 落在平面上的F 点处,DF 交BC 于点E . (1)求证:△DCE △△BFE ;(2)若CD=2,△ADB=30°,求BE 的长.随练1、 如图,矩形的两条对角线所夹锐角为60︒,两条对角线的长度的和为20cm ,则这个矩形的一条较短边的长度为( ).ABC D OA.10cmB.8cmC.6cmD.5cm随练2、如图,已知矩形ABCD,把矩形沿直线AC折叠,点B落在点E处,连接DE、BE,若△ABE是等边三角形,则DCEABESS=____.随练3、如图,四边形ABCD的对角线AC△BD,垂足为O,点E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点.求证:四边形EFGH是矩形.随练4、如图,点P是矩形ABCD的对角线AC上一点,过点P作EF∥BC,分别交AB,CD于E、F,连接PB、PD.若AE=2,PF=8.则图中阴影部分的面积为()A.10B.12C.16D.18判定例题1、连接对角线互相垂直的四边形的四边中点,所构成的四边形一定是()A.矩形B.菱形C.正方形D.梯形例题2、已知:如图,四边形ABCD是平行四边形,延长BA到点E,使AE=AB,联结ED、EC、AC.添加一个条件,能使四边形ACDE成为矩形的是()A.AC=CDB.AB=ADC.AD=AED.BC=CE.例题3、如图所示,△ABC中,D是BC边上一点,E是AD的中点,过点A作BC的平行线交CE的延长线于F,且AF=BD,连接BF.(1)求证:D是BC的中点;(2)若AB=AC,试判断四边形AFBD的形状,并证明你的结论.A DB CO例题4、 已知:如图,D 是△ABC 的边AB 上一点,CN △AB ,DN 交AC 于点M ,MA=MC . ①求证:CD=AN ;②若△AMD=2△MCD ,求证:四边形ADCN 是矩形.随练1、 如图,四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ,已知下列6个条件:AB DC ①∥;AB DC =②;AC BD =③;90ABC ∠=︒④;OA OC =⑤;OB OD =⑥. 则不能使四边形ABCD 成为矩形的是( )A.①②③B.②③④C.②⑤⑥D.④⑤⑥ 随练2、 矩形ABCD 中,AB =10,BC =6,点E 在线段AB 上.点F 在线段AD 上 (1)沿EF 折叠,使A 落在CD 边上的G 处(如图),若DG =3,求AF 的长;求AE 的长; (2)若按EF 折叠后,点A 落在矩形ABCD 的CD 边上,请直接写出AF 的范围.随练3、 如图,在▱ABCD 中,∠ABD 的平分线BE 交AD 于点E ,∠CDB 的平分线DF 交BC 于点F ,连接BD . (1)求证:△ABE ≌△CDF ;(2)若AB=DB ,求证:四边形DFBE 是矩形.直角三角形斜边中线等于斜边的一半例题1、 如图,在△ABC 中,BF 平分△ABC ,AF △BF 于点F ,D 为AB 的中点,连接DF 延长交AC 于点E .若AB=10,BC=16,则线段EF 的长为( )A.2B.3C.4D.5例题2、 如图,ABC ∆中,90C ∠=︒,D 在CB 上,E 为AB 之中点,AD 、CE 相交于F ,且AD DB =.若20B ∠=︒,则DFE ∠=( )A.40︒B.50︒C.60︒D.70︒随练1、 如图所示,在ABC ∆中,D 为AB 中点,分别延长CA 、CB 到点E 、F ,使DE DF =.过E 、F 分别作直线CA 、CB 的垂线,相交于点P ,设线段PA 、PB 的中点分别为M 、N .求证:(1)DEM FDN ∆∆≌;(2)PAE PBF ∠=∠.课后习题1、 下列关于矩形的说法中正确的是( ) A.对角线相等的四边形是矩形 B.矩形的对角线相等且互相平分 C.对角线互相平分的四边形是矩形 D.矩形的对角线互相垂直且平分2、 如图,O 是矩形ABCD 对角线AC 的中点,M 是AD 的中点,若BC=8,OB=5,则OM 的长为( )A.1B.2C.3D.43、 如图所示,矩形纸片ABCD 中,AB=6cm ,BC=8cm ,现将其沿EF 对折,使得点C 与点A 重合,则AF 长为( )PFEDC BAA.cmB.cmC.cmD.8cm4、如图,在矩形ABCD中,AB=3,将△ABD沿对角线BD对折,得到△EBD,DE与BC交于点F,∠ADB=30°,则EF=()A.3B.23C.3D.335、如图,在△ACB中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,AC=4,点D为边CB上动点,以AD为边在AD右侧作等边三角形ADE,连BE,取BE的中点P.当点D从点C出发沿CB方向向点B运动时,点P的运动路径长为___________6、把一张矩形纸片(矩形ABCD)按如图方式折叠,使顶点B和点D重合,折痕为EF.若AB=3cm,BC=5cm,则重叠部分△DEF的面积是____cm2.7、已知:在△ABC中,AB=AC,若将△ABC顺时针旋转180°,得到△FEC.(1)试猜想AE与BF有何关系?说明理由;(2)若△ABC的面积为3cm2,求四边形ABFE的面积;(3)当∠ACB为多少度时,四边形ABFE为矩形?说明理由.8、已知:如图,在ABCD□中,点E是BC的中点,连接AE并延长交DC的延长线于点F,连接BF.(1)求证:ABE FCE△≌△;(2)若AF AD=,求证:四边形ABFC是矩形.9、如图,在长方形ABCD中,AC是对角线,将长方形ABCD绕点B顺时针旋转90︒到长方形GBEF位置,H是EG的中点,若6AB=,8BC=,则线段CH的长为()AB CDEFA.C.HGFEDCBA。
《矩形的判定及性质综合》矩形的定义:________________________________________矩形的性质边 角 对角线 对称性补充性质: 矩形的周长: 矩形的面积计算:常用解题技巧:1. 矩形的两条对角线将矩形分为四个面积相等的等腰三角形;2. 矩形中含30°,60°时注意考虑等边三角形及含30°的直角三角形;3. 矩形折叠问题:计算线段长度时,利用勾股定理计算时常需要设未知数列方程解答;矩形的判定:典型例题:AODCB考点1:矩形的定义与性质:1.矩形具有而菱形不具有的性质是()A.对角相等B.对角线互相平分C.对角线相等D.对角线互相垂直2.如图,矩形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,若∠AOB=60°,BD=8,则DC长为()A.4B.4 C.3 D.5题2 题4 题53.四个内角都相等的四边形是()A.矩形B.菱形C.梯形D.平行四边形4.如图,在矩形ABCD中(AD>AB),点E是BC上一点,且DE=DA,AF⊥DE,垂足为点F,在下列结论中,不一定正确的是()A.△AFD≌△DCE B.AF=AD C.AB=AF D.BE=AD﹣DF5.如图,矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AE平分∠BAD交BC于点E,∠CAE=15°,则∠AOE的度数为()A.120°B.135°C.145°D.150°6.如图,矩形ABCD中,AB=4,BC=3,过对角线BD中点O的直线分别交AB,CD边于点E,F.当四边形BEDF是菱形时,EF=()A.B.C.3D.4.57.如图,点P是矩形ABCD的边上一动点,矩形两边长AB、BC长分别为15和20,那么P到矩形两条对角线AC和BD的距离之和是()A.6 B.12 C.24 D.不能确定题6 题7 题88. 如图,矩形ABCD 中,AC ,BD 交于点O ,M ,N 分别为BC ,OC 的中点,若MN =3,则BD = . 9. 如图,矩形ABCD 中,对角线AC ,BD 相交于点O ,AD =2,∠COB =60°,BF ⊥AC ,交AC 于点M ,交CD 于点F ,延长FO 交AB 于点E ,则下列结论:①FO =FC ;②四边形EBFD 是菱形;③△OBE ≌△CBF ;④MB =3.其中结论正确的序号是( ) A .②③④ B .①②③C .①④D .①②③④10. 如图,矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ,过点O 的直线EF 分别交AD 、BC 于点E 、F .若AB =4,BC =6,则图中阴影部分的面积为( ) A .6B .10C .12D .2411.如图,ABC ∆是以AB 为斜边的直角三角形,4=AC ,3=BC ,P 为AB 上一动点,且AC PE ⊥于E ,BC PF ⊥于F ,则线段EF 长度的最小值为___________.题10 题11 题1212. 如图,把矩形ABCD 沿EF 翻折,点B 恰好落在AD 边的B ′处,若AE =2,DE =6,∠EFB =60°,则矩形ABCD 的面积是( )A .12B .24C .12D .1613. 如图,在平面直角坐标系中,四边形COED 是矩形,点D 的坐标是(1,3),则C ,E 两点间的距离为 .14. 如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC 的顶点B (1,2),若锁定OA ,向左推矩形OABC ,使点B 落在y 轴的点B ′的位置,则点C 的对应点C ′的坐标为 .题13 题14 题15 题1615.如图,设矩形ABCD和矩形AEFC的面积分别为S1、S2,则二者的大小关系是:S1S2.16.如图,四边形ABCD为矩形,H、F分别为AD、BC边的中点,四边形EFGH为矩形,E、G分别在AB、CD 边上,则图中四个直角三角形面积之和与矩形EFGH的面积之比为.17.如图,在矩形ABCD中,BE⊥AC,DF⊥AC,垂足分别为E、F,连接DE、BF.(1)求证:BE=DF;(2)判断四边形BEDF的形状,并说明理由.18.如图,矩形ABCD中,AB=8,BC=6,过对角线BD中点O的直线分别交AB,CD边于点E,F.(1)求证:四边形BEDF是平行四边形;(2)当四边形BEDF是菱形时,求EF的长.考点2:直角三角形斜边上的中线的性质:1.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,AB=4,CD⊥AB于点D,E是AB的中点,则DE的长为()A.1B.2C.3D.4题1 题2 题32.如图,有一架梯子斜靠在与地面(OM)垂直的墙(ON)上,在墙角(点O处)有一只猫紧紧盯住位于梯子(AB)正中间(点P处)的老鼠,等待与老鼠距离最小时扑捉,把梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点,模型如图,若梯子A端沿墙下滑,且梯子B端沿地面向右滑行.在此滑动过程中,猫与老鼠的距离()A.不变B.变小C.变大D.无法判断3. 如图,线段CE的长度为10,点D为线段CE上一动点(不与点C,E重合),DE为一边在CE上方作矩形ABCD,DEFG,使CB=CD,DG=DE,连接AC,EG,并取AC,EG的中点,分别记为M、N,连接MN.下面结论正确的是()①∠ACD=30°;②当点A落在MN上时,S矩形ABCD:S矩形DEFG=1:3;③连接BF,则MN∥BF.A.①B.②C.③D.①②③4.如图,在△ABC中,AC=3、AB=4、BC=5,P为BC上一动点,PG⊥AC于点G,PH⊥AB于点H,M 是GH的中点,P在运动过程中PM的最小值为()A.2.4B.1.4C.1.3D.1.25.我们知道:在直角三角形中,如果有一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.已知:如图,在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,求证:BC=AB.考点3:矩形的判定:1.如图,直线EF∥MN,PQ交EF,MN于A,C两点,AB,CB,CD,AD分别是∠EAC,∠MCA,∠ACN,∠CAF的角平分线,则四边形ABCD是()A.菱形B.平行四边形B.矩形D.不能确定2.如图,四边形ABCD的对角线互相平分,要使它变为菱形,需要添加的条件是()A.AB=CD B.AD=BC C.AC=BD D.AB=BC题2 题3 题43.如图,要使▱ABCD为矩形,则可以添加的条件是()A.AC⊥BD B.AC=BD C.∠AOB=60°D.AB=BC4.(2020•威海)如图,在▱ABCD中,对角线BD⊥AD,AB=10,AD=6,O为BD的中点,E为边AB上一点,直线EO交CD于点F,连接DE,BF.下列结论不成立的是()A.四边形DEBF为平行四边形 B.若AE=3.6,则四边形DEBF为矩形C.若AE=5,则四边形DEBF为菱形 D.若AE=4.8,则四边形DEBF为正方形5. 如图,一个平行四边形的活动框架,对角线是两根橡皮筋.若改变框架的形状,则∠α也随之变化,两条对角线长度也在发生改变.当∠α为度时,两条对角线长度相等.6. 如图,在平行四边形ABCD中,若∠1=∠2,则四边形ABCD是.题5 题6 题77.如图,连接四边形ABCD各边中点,得到四边形EFGH,还要添加条件,才能保证四边形EFGH是矩形.8.已知:如图,在▱ABCD中,AF、BH、CH、DF分别是∠BAD、∠ABC、∠BCD、∠ADC的平分线.求证:四边形EFGH是矩形.9.如图,在▱ABCD中,过点D作DE⊥AB于点E,点F在边CD上,CF=AE,连接AF,BF.(1)求证:四边形BFDE是矩形;(2)已知∠DAB=60°,AF是∠DAB的平分线,若AD=3,求DC的长度.10.如图,在△ABC中,D是BC中点,E是AD,BF的中点,AB=AC.求证:四边形ADCF是矩形.考点4:矩形的性质与判定综合:1.如图,在△ABC中,点D、E、F分别在边AB、BC、CA上,且DE∥CA,DF∥BA.下列四种说法:①四边形AEDF是平行四边形;②如果∠BAC=90°,那么四边形AEDF是矩形;③如果AD平分∠BAC,那么四边形AEDF是菱形;④如果AD⊥BC且AB=AC,那么四边形AEDF是菱形.其中,正确的有(只填写序号).2.如图,△ABC中,点O是边AC上一个动点,过O作直线MN∥BC.设MN交∠ACB的平分线于点E,交∠ACD的外角平分线于点F.(1)求证:OE=OF;(2)若CE=12,CF=5,求OC的长;(3)当点O在边AC上运动到什么位置时,四边形AECF是矩形?并说明理由.3.如图,在矩形ABCD中,AB=8,BC=6.动点P、Q分别从点D、A同时出发向右运动,点P的运动速度为2个单位/秒,点Q的运动速度为1个单位/秒,当一个点到达终点时两个点都停止运动.设运动的时间为t(s)(1)当t=2时,PQ的长为;(2)若PQ=PB,求运动时间t的值;(3)若BQ=PQ,求运动时间t的值.4.如图,在菱形ABCD中,AB=2,∠DAB=60°,点E是AD边的中点.点M是AB边上一动点(不与点A重合),连接ME并延长交CD的延长线于点N,连接MD、AN.(1)求证:四边形AMDN是平行四边形;(2)当AM=1时,求证:四边形AMDN是矩形;(3)填空:当AM的值为时,四边形AMDN是菱形.课后作业1.如图,ABCD中,以A为圆心,DA的长为半径画弧,交BA于点F,作∠DAB的角平分线,交CD于点E,连接EF.(1)求证:四边形AFED是菱形;(2)若AD=4,∠DAB=60°,求四边形AFED的面积.2.如图,在ABCD中,对角线AC、BD交于点O,E是AD上一点,连接EO并延长交BC于点F,连接AF、CE,EF平分∠AEC.(1)求证:四边形AFCE是菱形.(2)若∠DAC=60°,EF=4,求四边形AFCE的面积.3.如图,在平行四边形ABCD中,EF垂直平分对角线AC,分别与边AD,BC交于点F,E.(1)求证:四边形AECF为菱形;(2)若AD=3,CD=,且∠D=45°,求菱形AECF的周长.1.如图,AE∥BF,点D、C分别是AE和BF上的点,连接AC、BD交于点O,此时OA=OC.若AC=6,BD=8,AB=5,AM⊥BC于M,解决下列问题:(1)求证:OB=OD;(2)求证:四边形ABCD是菱形;(3)求AM的长.2.矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是()A.对边相等B.对角相等C.对角线相等D.对角线互相平分3.菱形和矩形的对角线,具有的性质是下列的()A.对角线相等B.对角线互相垂直C.对角线互相垂直平分D.对角线互相平分4.如图,矩形ABCD中,对角线AC、BD交于点O.若∠AOB=50°,则∠OAD的度数为()A.25°B.30°C.35°D.15°5.如图,在矩形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,AE垂直平分BO,若AE=2,则OD=()A.2B.3C.4D.66.如图,矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,AE平分∠BAD交BC于点E,连接OE,若OE⊥BC,OE=1,则AC的长为()A.4B.2C.D.2题8 题9 题10 题11 7.如图,在矩形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O.点E、F分别是AB,AO的中点,且AC=8.则EF的长度为()A.2B.4C.6D.88.如图,在矩形ABCD中,AB=3,AD=4,点P在AD上,PE⊥AC于E,PF⊥BD于F,则PE+PF等于()B.C.D.A.9.如图所示,点O是菱形ABCD的对角线AC,BD的交点,AE=DE,点F,G在AB上,EF⊥AB于点F,OG∥EF,连接OE.(1)求证:四边形OEFG是矩形;(2)若BC=10,OG=4,求OE和BG的长.10.如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,过点A作AE⊥BC于点E,延长BC到点F,使CF=BE,连接DF.(1)求证:四边形AEFD是矩形;(2)连接OE,若AD=5,EC=2,求OE的长度.11.在矩形ABCD中,AB=2cm,BC=8cm,点P从点D出发向点A运动到点A即停止;同时点Q从点B出发向点C运动到点C即停止,点P、Q的速度都是1cm/s,连结PQ、AQ、CP,设点P、Q运动的时间为ts.(1)当t为何值时,四边形ABQP是矩形,请说明理由;(2)当t为何值时,四边形AQCP是菱形,请说明理由.12.如图,在▱ABCD中,G是CD的中点,E是边长AD上的动点,EG的延长线与BC的延长线相交于点F,连接CE,DF.(1)求证:四边形CEDF是平行四边形.(2)若BC=2AB=8,∠B=60°.填空:①当AE=时,四边形CEDF是矩形;②当AE=时,四边形CEDF是菱形.13.如图所示,点O是菱形ABCD对角线的交点,CE∥BD,EB∥AC,连接OE,交BC于F.(1)求证:四边形OBEC为矩形;(2)如果OC:OB=1:2,OE=2,求菱形ABCD的面积.。
新北师大九年级数学
矩形的性质与判定
一.选择题(共7小题)
1.(2007•莱芜)如图,四边形ABCD为矩形纸片,把纸片ABCD折叠,使点B恰好落在CD边的中点E处,折痕为AF,若CD=6,则AF等于()
(2题)
B
2.(2014•涉县一模)如图,矩形的两条对角线的一个交角为60°,两条对角线的长度的和
线EF分别交AB、CD于点E、F.若图中阴影部分的面积为6,则矩形ABCD的面积为()
(5题)
则
.C D.
(6题)
二.填空题(共5小题)
8.(2007•虹口区二模)如图,矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,AB=1,∠AOD=120°,则BD的长是_________.
(9题)
9.如图,已知矩形ABCD中,AC与BD相交于O,DE平分∠ADC交BC于E,∠BDE=15°,则∠COE=_________.
10.如图:两个相同的矩形摆成“L”字形,则∠CFA=_________度.
(11题)
11.(2012•盐城)如图,在四边形ABCD中,已知AB∥DC,AB=DC.在不添加任何辅助线的前提下,要想该四边形成为矩形,只需再加上的一个条件是_________.(填上你认为正确的一个答案即可)
12.(2008•淄博)如图,在△ABC中,AB=AC,将△ABC绕点C旋转180°得到△FEC,连接AE、BF.当∠ACB为_________度时,四边形ABFE为矩形.
(13题)
三.解答题(共11小题)
13.(2014•天河区一模)已知,如图,E、F分别为矩形ABCD的边AD和BC上的点,AE=CF.求证:BE=DF.
14.(2013•沐川县二模)如图,在矩形ABCD中,E是BC边上的点,AE=BC,DF⊥AE,垂足为F,连接DE.证明:AB=DF.
15.如图,矩形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,∠AOB=60°,AB=2cm
(1)求证:△AOB是等边三角形;
(2)求矩形ABCD的面积.
16.如图,矩形纸片ABCD中,AB=8,AD=10,沿AE对折,点D恰好落在BC边上的F 点处.
(1)求出线段BF、CE的长;
(2)求四边形AFCE的面积.
17.如图,O是矩形ABCD的对角线的交点,E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD上的点,且AE=BF=CG=DH.
(1)求证:四边形EFGH是矩形;
(2)若E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点,HG=OG,AB=2cm,求△AOD 的面积.
18.(2011•青岛)在▱ABCD中,E、F分别是AB、CD的中点,连接AF、CE.
(1)求证:△BEC≌△DFA;
(2)连接AC,当CA=CB时,判断四边形AECF是什么特殊四边形?并证明你的结论.
19.以△ABC的三边为边在BC的同一侧分别作三个等边三角形,即
△ABD、△BCE、△ACF.
(1)请猜想四边形ADEF是什么特殊四边形?并说明理由;
(2)当△ABC满足条件_________时,四边形ADEF为矩形;
(3)当△ABC满足条件_________时,四边形ADEF不存在.
20.(2014•贵阳模拟)如图,在△ABC中,点O在AB边上,过点O作BC的平行线交∠ABC的平分线于点D,过点B作NE⊥BD交直线OD于点E.
(1)求证:OE=OD;
(2)当点O在AB的什么位置时,四边形BDAE是矩形?说明理由.
21.(2013•南通)如图,AB=AC,AD=AE,DE=BC,且∠BAD=∠CAE.
求证:四边形BCDE是矩形.
22.(2013•定西)如图,在△ABC中,D是BC边上的一点,E是AD的中点,过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F,且AF=BD,连接BF.
(1)线段BD与CD有什么数量关系,并说明理由;
(2)当△ABC满足什么条件时,四边形AFBD是矩形?并说明理由.
23.(2012•吉林)如图,在△ABC中,AB=AC,D为边BC上一点,以AB,BD为邻边作▱ABDE,连接AD,EC.
(1)求证:△ADC≌△ECD;
(2)若BD=CD,求证:四边形ADCE是矩形.。